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Maths Seconde, programme français • Anticipation de la Première spécialité • Exercices corrigés à Montréal

Exercices corrigés : le second degré en Seconde, pour anticiper la Première

Voici une série d'exercices corrigés de mathématiques sur le second degré, écrite pour la fin de la Seconde du programme français et pour qui vise la spécialité mathématiques en Première.

L'exercice 0.1 ouvre la série par dix trinômes à mettre directement sous forme canonique a(x−α)2+βa(x-\alpha)^{2}+\beta par complétion du carré, comme dans les listes des manuels de Première : coefficient de xx pair, positif ou négatif, comme x2+10x+21x^{2}+10x+21, constante nulle, coefficient impair comme x2+3x−1x^{2}+3x-1, puis a=2a=2, a=3a=3, a=−1a=-1, a=−3a=-3 et a=12a=\frac{1}{2}, chacun avec α\alpha et β\beta à trouver et vérifiés en direct.

Soyons clairs sur le programme : la forme canonique, la factorisation d'un trinôme, l'étude de son signe et de ses variations ne sont PAS au programme de Seconde, ni dans celui de 2019 ni dans celui de 2026. En Seconde, on résout x2=ax^{2}=a et les équations produit nul, et l'on utilise la fonction carré : c'est ce que travaillent les exercices 11 et 12. Le reste de la série est une ANTICIPATION de la Première, utile en fin d'année, pendant l'été, ou pour prendre de l'avance avant la spécialité. La suite naturelle est la série Le second degré en Première spécialité, qui ajoute le discriminant.

Le discriminant n'apparaît donc pas ici. Tout se joue sur la forme canonique et sur la différence de carrés, et c'est la meilleure préparation qui soit : le discriminant n'est que la forme canonique écrite une fois pour toutes. Chaque exercice est corrigé en détail.

Série autocorrigée Tape tes réponses et vérifie-les question par question : la page te dit juste ou faux avant d'ouvrir la correction. Avec un compte, chaque bonne réponse du premier coup rapporte des points, et tes réponses justes restent remplies quand tu reviens.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Seconde
Avant de commencer Fiche de révision : les pièges et la méthode de ce chapitre

Avant ce chapitre

Ces notions sont supposées acquises ici. Si le premier exercice résiste, le blocage vient presque toujours de l'une d'elles, pas du chapitre lui-même.

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1 Les nombres relatifs Cinquième
  2. 2 Multiplication et division de relatifs Quatrième
  3. 3 Puissances et écriture scientifique Quatrième
  4. 4 Développer et factoriser Troisième
  5. 5 Les trois identités remarquables Troisième
  6. 6 Les trois identités remarquables
  7. 7 Nombres et calcul littéral

Rappel de cours

  • • Trois formes d'un même trinôme : développée ax2+bx+cax^2+bx+c, canonique a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta de sommet (α, β)(\alpha,\ \beta), factorisée a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2) quand elle existe.
  • • Complétion du carré : on factorise aa dans les deux premiers termes, puis on complète x2+baxx^2+\frac{b}{a}x en (x+b2a)2−(b2a)2(x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2.
  • • Factorisation sans discriminant : depuis la forme canonique, a(x−α)2−ka(x-\alpha)^2-k se factorise par différence de carrés dès que k>0k>0 et a>0a>0 (et symétriquement).
  • • Signe : le trinôme est du signe de aa à l'extérieur des racines, du signe opposé entre les racines. S'il n'a pas de racine, il garde le signe de aa sur tout R\mathbb{R}.
  • • La parabole est symétrique par rapport à la droite x=αx=\alpha : deux abscisses à égale distance de α\alpha ont la même image.

Calculs : formes canoniques à calculer

Exercice 0.1 : Mettre un trinôme sous forme canonique : dix calculs directs

Pour chaque trinôme, écrivez la forme canonique a(x−α)2+βa(x-\alpha)^{2}+\beta par complétion du carré, puis donnez α\alpha et β\beta, en fraction si besoin. Cette liste anticipe la Première : la forme canonique n'est pas un attendu du programme de Seconde, elle prépare la spécialité.

Toujours le même geste, en trois temps. On met aa en facteur dans les deux termes en xx SEULEMENT, la constante restant dehors. Dans la parenthèse, on écrit x2+px=(x+p2)2−(p2)2x^{2}+px=\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}-\left(\frac{p}{2}\right)^{2}. Puis on redistribue aa sur le carré retiré et l'on réduit les constantes ; on contrôle en calculant l'image de α\alpha, qui doit valoir β\beta.

  • a) x2+10x+21x^{2}+10x+21
  • b) x2−12x+40x^{2}-12x+40
  • c) x2+14xx^{2}+14x
  • d) x2+3x−1x^{2}+3x-1
  • e) x2−5x+34x^{2}-5x+\frac{3}{4}
  • f) 2x2+8x+32x^{2}+8x+3
  • g) 3x2+9x+23x^{2}+9x+2
  • h) −x2+8x−7-x^{2}+8x-7
  • i) −3x2+12x−5-3x^{2}+12x-5
  • j) 12x2−3x+1\frac{1}{2}x^{2}-3x+1

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a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
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Réponses

  • a) (x+5)2−4(x+5)^{2}-4 ; α=−5\alpha=-5, β=−4\beta=-4
  • b) (x−6)2+4(x-6)^{2}+4 ; α=6\alpha=6, β=4\beta=4
  • c) (x+7)2−49(x+7)^{2}-49 ; α=−7\alpha=-7, β=−49\beta=-49
  • d) (x+32)2−134\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{13}{4} ; α=−32\alpha=-\frac{3}{2}, β=−134\beta=-\frac{13}{4}
  • e) (x−52)2−112\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{11}{2} ; α=52\alpha=\frac{5}{2}, β=−112\beta=-\frac{11}{2}
  • f) 2(x+2)2−52(x+2)^{2}-5 ; α=−2\alpha=-2, β=−5\beta=-5
  • g) 3(x+32)2−1943\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{19}{4} ; α=−32\alpha=-\frac{3}{2}, β=−194\beta=-\frac{19}{4}
  • h) −(x−4)2+9-(x-4)^{2}+9 ; α=4\alpha=4, β=9\beta=9
  • i) −3(x−2)2+7-3(x-2)^{2}+7 ; α=2\alpha=2, β=7\beta=7
  • j) 12(x−3)2−72\frac{1}{2}(x-3)^{2}-\frac{7}{2} ; α=3\alpha=3, β=−72\beta=-\frac{7}{2}

Le geste qui décide de tout est le CARRÉ RETIRÉ : on ajoute (p2)2\left(\frac{p}{2}\right)^{2} pour fabriquer l'identité remarquable, et on le retire aussitôt, multiplié par aa quand a≠1a\neq 1. Presque toutes les formes canoniques fausses ont la bonne parenthèse et le mauvais β\beta.

a)

x2+10x=(x+5)2−25x^{2}+10x=(x+5)^{2}-25, donc x2+10x+21=(x+5)2−25+21=(x+5)2−4x^{2}+10x+21=(x+5)^{2}-25+21=(x+5)^{2}-4. Comme x+5=x−(−5)x+5=x-(-5) : α=−5\alpha=-5, β=−4\beta=-4. Piège : lire α=5\alpha=5 dans (x+5)2(x+5)^{2}.

b)

x2−12x=(x−6)2−36x^{2}-12x=(x-6)^{2}-36, donc x2−12x+40=(x−6)2+4x^{2}-12x+40=(x-6)^{2}+4 : α=6\alpha=6, β=4\beta=4.

c)

x2+14x=(x+7)2−49x^{2}+14x=(x+7)^{2}-49 : α=−7\alpha=-7, β=−49\beta=-49. Piège : croire que β=0\beta=0 parce que le trinôme n'a pas de constante ; c'est le carré retiré qui donne β\beta.

d)

p=3p=3 est impair, donc p2=32\frac{p}{2}=\frac{3}{2} : x2+3x=(x+32)2−94x^{2}+3x=\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4}, puis x2+3x−1=(x+32)2−94−44=(x+32)2−134x^{2}+3x-1=\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4}-\frac{4}{4}=\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{13}{4}. Donc α=−32\alpha=-\frac{3}{2}, β=−134\beta=-\frac{13}{4}.

e)

x2−5x=(x−52)2−254x^{2}-5x=\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}, puis x2−5x+34=(x−52)2−254+34=(x−52)2−224x^{2}-5x+\frac{3}{4}=\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}+\frac{3}{4}=\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{22}{4}. Donc α=52\alpha=\frac{5}{2}, β=−112\beta=-\frac{11}{2}. Les quarts s'additionnent directement, puis on simplifie 224\frac{22}{4}.

f)

2x2+8x+3=2(x2+4x)+3=2[(x+2)2−4]+3=2(x+2)2−8+3=2(x+2)2−52x^{2}+8x+3=2\left(x^{2}+4x\right)+3=2\left[(x+2)^{2}-4\right]+3=2(x+2)^{2}-8+3=2(x+2)^{2}-5. Donc α=−2\alpha=-2, β=−5\beta=-5. Piège : oublier de multiplier le −4-4 par 22, ce qui donne β=−1\beta=-1.

g)

3x2+9x+2=3(x2+3x)+2=3[(x+32)2−94]+2=3(x+32)2−274+843x^{2}+9x+2=3\left(x^{2}+3x\right)+2=3\left[\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4}\right]+2=3\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{27}{4}+\frac{8}{4}. Donc α=−32\alpha=-\frac{3}{2}, β=−194\beta=-\frac{19}{4}.

h)

−x2+8x−7=−(x2−8x)−7=−[(x−4)2−16]−7=−(x−4)2+16−7=−(x−4)2+9-x^{2}+8x-7=-\left(x^{2}-8x\right)-7=-\left[(x-4)^{2}-16\right]-7=-(x-4)^{2}+16-7=-(x-4)^{2}+9. Donc α=4\alpha=4, β=9\beta=9. Piège : mettre −1-1 en facteur sur +8x+8x et garder x2+8xx^{2}+8x dans la parenthèse ; le signe de chaque terme change.

i)

−3x2+12x−5=−3(x2−4x)−5=−3[(x−2)2−4]−5=−3(x−2)2+12−5=−3(x−2)2+7-3x^{2}+12x-5=-3\left(x^{2}-4x\right)-5=-3\left[(x-2)^{2}-4\right]-5=-3(x-2)^{2}+12-5=-3(x-2)^{2}+7. Donc α=2\alpha=2, β=7\beta=7. Piège : −3×(−4)=+12-3\times(-4)=+12 ; avec −12-12, on trouve β=−17\beta=-17.

j)

12x2−3x+1=12(x2−6x)+1=12[(x−3)2−9]+1=12(x−3)2−92+1\frac{1}{2}x^{2}-3x+1=\frac{1}{2}\left(x^{2}-6x\right)+1=\frac{1}{2}\left[(x-3)^{2}-9\right]+1=\frac{1}{2}(x-3)^{2}-\frac{9}{2}+1. Donc α=3\alpha=3, β=−72\beta=-\frac{7}{2}. Mettre 12\frac{1}{2} en facteur dans −3x-3x, c'est multiplier −3-3 par 22 : la parenthèse contient −6x-6x.

Contrôle : β\beta est l'image de α\alpha. En g), 3×94−272+2=274−544+84=−1943\times\frac{9}{4}-\frac{27}{2}+2=\frac{27}{4}-\frac{54}{4}+\frac{8}{4}=-\frac{19}{4} ; en j), 92−9+1=−72\frac{9}{2}-9+1=-\frac{7}{2}. Si l'image de α\alpha ne redonne pas β\beta, l'erreur est dans le carré retiré.

Coche ici les exercices faits ou à revoir : un compte gratuit, sans mot de passe, retient tes coches et tes réponses justes d'une visite à l'autre, te dit quel chapitre attaquer ensuite et te permet de demander l'exercice qui te manque. Crée ton espace, un courriel suffit.

Partie A : Les bases (/50)

Exercice 1 : Forme canonique

Écrivez chaque trinôme sous la forme canonique a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta en détaillant la complétion du carré.

La complétion du carré consiste à reconstituer une identité remarquable : x2+pxx^2+px est le début du développement de (x+p2)2(x+\frac{p}{2})^2, auquel il manque (p2)2(\frac{p}{2})^2. On ajoute donc ce terme, et on le retire aussitôt pour ne rien changer.

  • a) f(x)=x2−8x+11f(x)=x^2-8x+11
  • b) g(x)=3x2+12x+5g(x)=3x^2+12x+5
  • c) h(x)=−2x2+6x−1h(x)=-2x^2+6x-1
  • d) Un élève écrit −2x2+6x−1=−2(x2−3x−1)-2x^2+6x-1=-2(x^2-3x-1) pour commencer la question c). Repérez son erreur et expliquez pourquoi elle fausse tout le reste.

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a)
b)
c)
d)
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Réponses

  • a) f(x)=(x−4)2−5f(x)=(x-4)^2-5
  • b) g(x)=3(x+2)2−7g(x)=3(x+2)^2-7
  • c) h(x)=−2(x−32)2+72h(x)=-2(x-\frac{3}{2})^2+\frac{7}{2}
  • d) Le −1-1 ne se factorise pas par −2-2 : l'écriture fausse décale la courbe de 33
a)

Le coefficient de xx vaut −8-8, sa moitié vaut −4-4 : on vise donc (x−4)2(x-4)^2, qui vaut x2−8x+16x^2-8x+16. Il faut retirer le 1616 en trop : x2−8x=(x−4)2−16x^2-8x=(x-4)^2-16. D'où f(x)=(x−4)2−16+11=(x−4)2−5f(x)=(x-4)^2-16+11=(x-4)^2-5. Vérification en redéveloppant : (x−4)2−5=x2−8x+16−5=x2−8x+11(x-4)^2-5=x^2-8x+16-5=x^2-8x+11 ✓. On lit au passage le sommet (4, −5)(4,\ -5) sans aucun calcul supplémentaire, et c'est bien pour cela qu'on met un trinôme sous cette forme.

b)

On factorise d'abord le coefficient dominant dans les DEUX premiers termes seulement : g(x)=3(x2+4x)+5g(x)=3(x^2+4x)+5. La moitié de 44 vaut 22, donc x2+4x=(x+2)2−4x^2+4x=(x+2)^2-4, et g(x)=3((x+2)2−4)+5=3(x+2)2−12+5=3(x+2)2−7g(x)=3((x+2)^2-4)+5=3(x+2)^2-12+5=3(x+2)^2-7. Attention : le −4-4 est à l'intérieur de la parenthèse, il ressort multiplié par 33, pas tel quel. Vérification : 3(x+2)2−7=3x2+12x+12−7=3x2+12x+53(x+2)^2-7=3x^2+12x+12-7=3x^2+12x+5 ✓.

c)

h(x)=−2(x2−3x)−1h(x)=-2(x^2-3x)-1. La moitié de −3-3 vaut −32-\frac{3}{2}, donc x2−3x=(x−32)2−94x^2-3x=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}. En reportant : h(x)=−2((x−32)2−94)−1=−2(x−32)2+92−1=−2(x−32)2+72h(x)=-2\left((x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}\right)-1=-2(x-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{2}-1=-2(x-\frac{3}{2})^2+\frac{7}{2}. Le −94-\frac{9}{4} multiplié par −2-2 redevient positif : c'est le double changement de signe que les copies ratent le plus souvent. Vérification en x=0x=0 : −2×94+72=−92+72=−1=h(0)-2\times\frac{9}{4}+\frac{7}{2}=-\frac{9}{2}+\frac{7}{2}=-1=h(0) ✓.

d)

L'erreur est d'avoir factorisé le −2-2 dans le terme constant aussi. On a bien −2x2+6x=−2(x2−3x)-2x^2+6x=-2(x^2-3x), mais le −1-1 ne participe pas à la mise en facteur : l'écriture proposée vaut −2x2+6x+2-2x^2+6x+2, pas −2x2+6x−1-2x^2+6x-1. La différence est de 33 sur toute la courbe. Conséquence : le sommet trouvé aurait la bonne abscisse 32\frac{3}{2}, mais une ordonnée fausse de 33, et toute la suite (variations, signe, résolution) serait décalée. Règle à retenir : on ne factorise le coefficient dominant que dans les termes en x2x^2 et en xx.

Exercice 2 : De la forme canonique à la forme factorisée

Chaque trinôme est donné sous forme canonique. Factorisez-le lorsque c'est possible, puis donnez ses racines. Si la factorisation est impossible, justifiez-le.

Sans discriminant, le seul outil disponible est l'identité A2−B2=(A−B)(A+B)A^2-B^2=(A-B)(A+B). Tout l'exercice consiste donc à faire apparaître, ou à constater qu'on ne peut pas faire apparaître, une différence de deux carrés.

  • a) f(x)=(x−4)2−9f(x)=(x-4)^2-9
  • b) g(x)=2(x+1)2−8g(x)=2(x+1)^2-8
  • c) h(x)=(x−2)2+3h(x)=(x-2)^2+3
  • d) À partir de ces trois cas, énoncez un critère général : à quelle condition sur aa et β\beta le trinôme a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta admet-il des racines ?

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a)
b)
c)
d)
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Réponses

  • a) (x−7)(x−1)(x-7)(x-1), racines 11 et 77
  • b) 2(x−1)(x+3)2(x-1)(x+3), racines −3-3 et 11
  • c) h(x)≥3h(x)\geq 3 : aucune racine, pas de factorisation
  • d) Racines si et seulement si aa et β\beta sont de signes contraires, ou β=0\beta=0
a)

Le 99 est un carré, 9=329=3^2, donc on a bien une différence de carrés avec A=x−4A=x-4 et B=3B=3 : f(x)=(x−4)2−32=(x−4−3)(x−4+3)=(x−7)(x−1)f(x)=(x-4)^2-3^2=(x-4-3)(x-4+3)=(x-7)(x-1). Racines : 11 et 77. Vérification : leur moyenne vaut 1+72=4\frac{1+7}{2}=4, l'abscisse du sommet, ce qui est normal puisque les racines sont symétriques par rapport à l'axe ✓.

b)

Ici le 22 empêche de voir la différence de carrés. On le met en facteur d'abord : g(x)=2((x+1)2−4)=2(x+1−2)(x+1+2)=2(x−1)(x+3)g(x)=2\left((x+1)^2-4\right)=2(x+1-2)(x+1+2)=2(x-1)(x+3). Racines : −3-3 et 11. Le facteur 22 ne change aucune racine, il ne fait qu'étirer verticalement la parabole : une erreur de 22 oubliée se voit sur les valeurs de gg, jamais sur les racines. Vérification : 2(x−1)(x+3)=2(x2+2x−3)=2x2+4x−62(x-1)(x+3)=2(x^2+2x-3)=2x^2+4x-6, et 2(x+1)2−8=2x2+4x+2−8=2x2+4x−62(x+1)^2-8=2x^2+4x+2-8=2x^2+4x-6 ✓.

c)

Pour tout réel xx, (x−2)2≥0(x-2)^2\geq 0 donc h(x)≥3h(x)\geq 3. La fonction ne descend jamais en dessous de 33 : elle ne s'annule jamais, n'a aucune racine et ne se factorise pas dans R\mathbb{R}. Le sommet (2, 3)(2,\ 3) est au-dessus de l'axe des abscisses et la parabole est tournée vers le haut, donc la courbe entière est au-dessus de l'axe. On ne peut pas écrire (x−2)2+3(x-2)^2+3 comme une différence de carrés, puisqu'il faudrait −3-3 et non +3+3.

d)

Le trinôme a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta s'annule quand (x−α)2=−βa(x-\alpha)^2=-\frac{\beta}{a}. Un carré ne peut valoir qu'un nombre positif ou nul, donc il y a des racines exactement lorsque −βa≥0-\frac{\beta}{a}\geq 0, c'est-à-dire lorsque aa et β\beta sont de signes contraires (ou que β=0\beta=0, cas de la racine double x=αx=\alpha). Lecture géométrique : le sommet doit être du côté de l'axe opposé à l'ouverture de la parabole, sinon la parabole reste tout entière d'un même côté de l'axe. C'est exactement ce que le discriminant dira en Première, sous une autre écriture.

Exercice 3 : Sommet, axe de symétrie et variations

On considère f(x)=−x2+6x−5f(x)=-x^2+6x-5 et g(x)=2x2−4x+7g(x)=2x^2-4x+7.

Le tableau de variations d'un trinôme ne demande aucun calcul de dérivée : la forme canonique donne le sommet, et le signe de aa donne le sens de la parabole.

  • a) Donnez la forme canonique de ff, puis les coordonnées de son sommet et l'équation de son axe de symétrie.
  • b) Dressez le tableau de variations de ff et précisez si le sommet est un maximum ou un minimum.
  • c) Même travail pour gg.
  • d) Sans calculer f(−1)f(-1) ni f(8)f(8), comparez ces deux nombres en utilisant la symétrie de la parabole. Vérifiez ensuite par le calcul.

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a)
b)
ff est croissante sur ;
c)
d)
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Réponses

  • a) f(x)=−(x−3)2+4f(x)=-(x-3)^2+4, sommet (3 ;4)(3\,;4), axe x=3x=3
  • b) Croissante sur ]−∞;3]]-\infty;3], décroissante sur [3;+∞[[3;+\infty[, maximum 44
  • c) g(x)=2(x−1)2+5g(x)=2(x-1)^2+5, sommet (1 ;5)(1\,;5), décroissante puis croissante, minimum 55
  • d) f(−1)=−12>f(8)=−21f(-1)=-12>f(8)=-21
a)

f(x)=−(x2−6x)−5=−((x−3)2−9)−5=−(x−3)2+9−5=−(x−3)2+4f(x)=-(x^2-6x)-5=-((x-3)^2-9)-5=-(x-3)^2+9-5=-(x-3)^2+4. Sommet S(3, 4)S(3,\ 4), axe de symétrie x=3x=3. Pourquoi l'axe est-il en x=3x=3 : la valeur de ff ne dépend de xx que par (x−3)2(x-3)^2, et deux nombres opposés ont le même carré. Donc 3+d3+d et 3−d3-d ont toujours la même image, quelle que soit la distance dd.

b)

Ici a=−1<0a=-1<0, donc −(x−3)2-(x-3)^2 est toujours négatif ou nul, et vaut 00 uniquement en x=3x=3 : la valeur 44 est la plus grande atteinte. ff croît sur ]−∞;3]]-\infty;3] puis décroît sur [3;+∞[[3;+\infty[, et le sommet est un maximum, f(3)=4f(3)=4. Contrôle rapide de plausibilité : f(0)=−5f(0)=-5 et f(3)=4f(3)=4, la fonction a bien monté ✓.

c)

g(x)=2(x2−2x)+7=2((x−1)2−1)+7=2(x−1)2−2+7=2(x−1)2+5g(x)=2(x^2-2x)+7=2((x-1)^2-1)+7=2(x-1)^2-2+7=2(x-1)^2+5. Sommet S′(1, 5)S'(1,\ 5), axe x=1x=1. Comme a=2>0a=2>0, le terme 2(x−1)22(x-1)^2 est positif ou nul : gg décroît sur ]−∞;1]]-\infty;1] puis croît sur [1;+∞[[1;+\infty[, et le sommet est un minimum. On note au passage que gg ne s'annule jamais, puisque son minimum vaut 5>05>0.

d)

−1-1 est à distance ∣−1−3∣=4|{-1}-3|=4 de l'axe x=3x=3, et 88 est à distance ∣8−3∣=5|8-3|=5. La parabole est tournée vers le bas, donc plus on s'éloigne de l'axe, plus l'image est petite : comme 4<54<5, on conclut f(−1)>f(8)f(-1)>f(8). Vérification par le calcul : f(−1)=−1−6−5=−12f(-1)=-1-6-5=-12 et f(8)=−64+48−5=−21f(8)=-64+48-5=-21, et l'on a bien −12>−21-12>-21 ✓. Cette lecture par distance à l'axe est le raccourci que les contrôles récompensent : elle compare deux images sans les calculer, et elle fonctionne même avec des nombres inconfortables.

Exercice 4 : Signe du trinôme et inéquations

Résolvez chaque inéquation dans R\mathbb{R}. Justifiez par une factorisation et un tableau de signes, ou par la forme canonique lorsque le trinôme n'a pas de racine.

Une inéquation du second degré ne se résout jamais en isolant xx : on ramène tout d'un côté, on factorise, puis on lit le signe du produit.

  • a) x2−5x+6>0x^2-5x+6>0
  • b) −x2+4x−3≥0-x^2+4x-3\geq 0
  • c) x2+2x+5>0x^2+2x+5>0
  • d) Un élève résout la question b) en multipliant d'abord par −1-1 et en gardant le sens de l'inégalité. Quelle solution obtient-il, et pourquoi est-elle fausse ?

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a)
Partie gauche ;
Partie droite ;
b)
Ensemble des solutions ;
c)
d)
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Réponses

  • a) ]−∞;2[ ∪ ]3;+∞[]-\infty;2[\ \cup\ ]3;+\infty[
  • b) [1;3][1;3]
  • c) R\mathbb{R}
  • d) Il obtient ]−∞;1]∪[3;+∞[]-\infty;1]\cup[3;+\infty[, faux : multiplier par −1-1 renverse le sens
a)

On cherche deux nombres de somme 55 et de produit 66, méthode de Première qui se contrôle en développant : ce sont 22 et 33, donc x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2-5x+6=(x-2)(x-3). Tableau de signes : le produit de deux facteurs est positif quand ils sont de même signe, ce qui arrive avant 22 (les deux négatifs) et après 33 (les deux positifs), et négatif entre les deux. Solution : ]−∞;2[ ∪ ]3;+∞[]-\infty;2[\ \cup\ ]3;+\infty[. Contrôle sur trois valeurs test, une par intervalle : x=0x=0 donne 6>06>0 ✓, x=2,5x=2{,}5 donne −0,25<0-0{,}25<0 ✓, x=4x=4 donne 2>02>0 ✓. Les bornes sont exclues car l'inégalité est stricte.

b)

On met le signe moins en facteur : −x2+4x−3=−(x2−4x+3)=−(x−1)(x−3)-x^2+4x-3=-(x^2-4x+3)=-(x-1)(x-3). Le coefficient dominant est négatif, donc le trinôme est positif ENTRE les racines et négatif à l'extérieur, exactement l'inverse du cas a). Solution : [1;3][1;3], bornes comprises puisque l'inégalité est large et que le trinôme s'annule en 11 et en 33. Contrôle : x=2x=2 donne −4+8−3=1≥0-4+8-3=1\geq 0 ✓, x=0x=0 donne −3<0-3<0 ✓.

c)

Ce trinôme n'a pas de racine évidente, et il n'en a aucune : forme canonique x2+2x+5=(x+1)2−1+5=(x+1)2+4x^2+2x+5=(x+1)^2-1+5=(x+1)^2+4. Or (x+1)2≥0(x+1)^2\geq 0, donc le trinôme est toujours supérieur ou égal à 44, donc strictement positif. La solution est R\mathbb{R} tout entier. Le réflexe utile : quand on ne trouve pas de racine, on ne conclut pas qu'il n'y en a pas, on passe à la forme canonique, qui le démontre.

d)

En multipliant −x2+4x−3≥0-x^2+4x-3\geq 0 par −1-1 sans changer le sens, il obtient x2−4x+3≥0x^2-4x+3\geq 0, soit (x−1)(x−3)≥0(x-1)(x-3)\geq 0, donc ]−∞;1]∪[3;+∞[]-\infty;1]\cup[3;+\infty[ : le complémentaire de la bonne réponse, aux bornes près. L'erreur est la règle de base sur les inégalités : multiplier les deux membres par un nombre négatif RENVERSE le sens. La bonne écriture est −x2+4x−3≥0  ⟺  x2−4x+3≤0-x^2+4x-3\geq 0\iff x^2-4x+3\leq 0. Contre-exemple immédiat à lui donner : x=2x=2 vérifie l'inéquation de départ mais pas celle qu'il a écrite.

Exercice 5 : Lecture graphique et choix de la forme

La parabole ci-dessous représente une fonction polynôme du second degré ff.

Les trois formes décrivent la même fonction, mais chacune rend une information immédiate et les deux autres invisibles. Savoir laquelle choisir fait gagner la moitié du temps d'un contrôle.

−2−1123456−3−2−112345
  • a) Lisez les coordonnées du sommet et les racines de ff.
  • b) Sachant que le coefficient dominant vaut 12\frac{1}{2}, écrivez ff sous forme canonique, puis sous forme factorisée, puis sous forme développée.
  • c) Pour chacune des trois questions suivantes, dites quelle forme est la plus rapide à utiliser, et répondez : le sommet, les racines, l'ordonnée à l'origine.
  • d) Calculez f(1)f(1) à partir des trois formes et vérifiez la cohérence avec le graphique.

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a)
b)
c)
d)
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Réponses

  • a) Sommet (2 ;−2)(2\,;-2), racines 00 et 44
  • b) 12(x−2)2−2=12x(x−4)=12x2−2x\frac{1}{2}(x-2)^2-2=\frac{1}{2}x(x-4)=\frac{1}{2}x^2-2x
  • c) Sommet : canonique ; racines : factorisée ; f(0)=0f(0)=0 : développée
  • d) f(1)=−32f(1)=-\frac{3}{2} avec les trois formes
a)

Le point le plus bas de la courbe se lit en S(2, −2)S(2,\ -2). La courbe coupe l'axe des abscisses en x=0x=0 et x=4x=4, qui sont bien symétriques par rapport à l'axe x=2x=2 : la lecture est cohérente ✓.

b)

Canonique, à partir du sommet : f(x)=12(x−2)2−2f(x)=\frac{1}{2}(x-2)^2-2. Factorisée, à partir des racines : f(x)=12(x−0)(x−4)=12x(x−4)f(x)=\frac{1}{2}(x-0)(x-4)=\frac{1}{2}x(x-4). Développée, en développant l'une des deux : 12(x2−4x)=12x2−2x\frac{1}{2}(x^2-4x)=\frac{1}{2}x^2-2x. Le même coefficient 12\frac{1}{2} apparaît dans les trois : c'est toujours le coefficient dominant, il ne change jamais d'une forme à l'autre.

c)

Le sommet se lit sur la forme canonique, où α=2\alpha=2 et β=−2\beta=-2 sont écrits noir sur blanc. Les racines se lisent sur la forme factorisée, puisqu'un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est : 00 et 44. L'ordonnée à l'origine se lit sur la forme développée, où le terme constant est directement f(0)f(0) : ici il n'y a pas de terme constant, donc f(0)=0f(0)=0, ce que le graphique confirme puisque la courbe passe par l'origine.

d)

Canonique : 12(1−2)2−2=12−2=−32\frac{1}{2}(1-2)^2-2=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}. Factorisée : 12×1×(1−4)=−32\frac{1}{2}\times 1\times(1-4)=-\frac{3}{2}. Développée : 12−2=−32\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}. Les trois donnent −1,5-1{,}5 ✓, et le graphique montre bien la courbe à mi-hauteur entre −1-1 et −2-2 pour x=1x=1. Trois écritures, une seule fonction : si les trois ne coïncident pas, c'est qu'une des formes est fausse, et ce test à une seule valeur suffit presque toujours à le détecter.

Partie B : Niveau examen (/50)

Exercice 6 : Déterminer un trinôme à partir de conditions

Dans chaque cas, déterminez la fonction polynôme du second degré demandée, ou expliquez pourquoi elle n'existe pas.

Un trinôme dépend de trois nombres, donc il faut en principe trois informations. Un sommet en compte deux à lui seul, une racine n'en compte qu'une : c'est ce décompte qui dicte la forme de départ.

  • a) La parabole a pour sommet S(1, −4)S(1,\ -4) et passe par A(3, 4)A(3,\ 4).
  • b) La parabole coupe l'axe des abscisses en −2-2 et en 55, et passe par B(0, −10)B(0,\ -10).
  • c) La parabole a pour sommet S(2, 3)S(2,\ 3) et passe par C(2, 5)C(2,\ 5).
  • d) Dans la question a), la parabole a-t-elle un autre point d'ordonnée 44 que AA ? Donnez ses coordonnées, puis vérifiez qu'il aurait conduit à la même fonction.

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a)
b)
c)
d)
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Réponses

  • a) f(x)=2(x−1)2−4=2x2−4x−2f(x)=2(x-1)^2-4=2x^2-4x-2
  • b) g(x)=(x+2)(x−5)=x2−3x−10g(x)=(x+2)(x-5)=x^2-3x-10
  • c) Impossible : deux images pour x=2x=2
  • d) Oui, A′(−1 ;4)A'(-1\,;4), symétrique de AA par rapport à l'axe x=1x=1 ; il donne aussi a=2a=2
a)

Le sommet est donné, donc on part de la forme canonique, qui le contient déjà : f(x)=a(x−1)2−4f(x)=a(x-1)^2-4. Il ne reste qu'une inconnue, aa, et il ne reste qu'une information, le point AA. La condition f(3)=4f(3)=4 donne a(3−1)2−4=4a(3-1)^2-4=4, soit 4a=84a=8, donc a=2a=2. Ainsi f(x)=2(x−1)2−4=2x2−4x−2f(x)=2(x-1)^2-4=2x^2-4x-2. Vérification des deux conditions sur la forme développée : f(1)=2−4−2=−4f(1)=2-4-2=-4 ✓ et f(3)=18−12−2=4f(3)=18-12-2=4 ✓.

b)

Les racines sont données, donc on part de la forme factorisée : g(x)=a(x+2)(x−5)g(x)=a(x+2)(x-5). Cette écriture encode déjà les deux racines, quel que soit aa. La condition g(0)=−10g(0)=-10 donne a×2×(−5)=−10a=−10a\times 2\times(-5)=-10a=-10, donc a=1a=1, et g(x)=(x+2)(x−5)=x2−3x−10g(x)=(x+2)(x-5)=x^2-3x-10. Vérification : g(−2)=0g(-2)=0 ✓, g(5)=0g(5)=0 ✓, g(0)=−10g(0)=-10 ✓. Remarque utile : le terme constant de la forme développée vaut a×(−2)×5a\times(-2)\times 5, ce qui donne une lecture directe de aa dès qu'on connaît g(0)g(0).

c)

Impossible, et la raison n'est pas une histoire de calcul. Le sommet a pour abscisse 22 et le point CC a lui aussi pour abscisse 22 : on demanderait à ff de valoir 33 et 55 en un même xx. Une fonction associe à chaque nombre une image et une seule, donc aucune fonction, du second degré ou non, ne convient. Le réflexe de contrôle : avant de chercher aa, comparer les abscisses du sommet et du point donné, et se méfier dès qu'elles sont égales.

d)

Oui, et un seul. 2(x−1)2−4=42(x-1)^2-4=4 équivaut à (x−1)2=4(x-1)^2=4, donc à x=3x=3 ou x=−1x=-1. L'autre point est le symétrique de AA par rapport à l'axe x=1x=1, c'est-à-dire A′(−1, 4)A'(-1,\ 4), puisque −1-1 et 33 sont tous deux à distance 22 de l'axe. Avec A′A' à la place de AA, la condition s'écrit a(−1−1)2−4=4a(-1-1)^2-4=4, soit encore 4a=84a=8 : le même a=2a=2, donc la même fonction. Un point de la parabole d'une autre ordonnée, (0, −2)(0,\ -2) par exemple, donnerait lui aussi a=2a=2 : le sommet étant donné, n'importe quel autre point de la courbe fixe aa.

Exercice 7 : Problème : aire maximale d'un enclos

Un éleveur dispose de 60 mètres de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire adossé à un long mur. Le mur constitue l'un des côtés : la clôture ne sert donc que pour les trois autres côtés.

On note xx la longueur, en mètres, de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur.

La figure représente la situation : le mur est hachuré, et seuls les trois autres côtés sont clôturés.

murxx?
  • a) Exprimez la longueur du côté parallèle au mur en fonction de xx, et précisez l'intervalle des valeurs possibles pour xx.
  • b) Montrez que l'aire de l'enclos est A(x)=−2x2+60xA(x)=-2x^2+60x.
  • c) Mettez AA sous forme canonique et déduisez-en les dimensions qui rendent l'aire maximale, ainsi que cette aire maximale.
  • d) Déterminez toutes les largeurs xx pour lesquelles l'aire est d'au moins 400 mètres carrés.
  • e) L'enclos optimal est-il un carré ? Comparez avec le cas d'un enclos entièrement clôturé sur ses quatre côtés.

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a)
Valeurs possibles de xx ;
c)
d)
Largeurs xx convenables ;
e)
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Réponses

  • a) Côté parallèle 60−2x60-2x, x∈ ]0;30[x\in\ ]0;30[
  • b) A(x)=x(60−2x)=−2x2+60xA(x)=x(60-2x)=-2x^2+60x
  • c) A(x)=−2(x−15)2+450A(x)=-2(x-15)^2+450 : 1515 m sur 3030 m, aire maximale 450450 m²
  • d) 10≤x≤2010\leq x\leq 20
  • e) Non (15×3015\times 30) ; avec quatre côtés, carré de 1515 m et 225225 m² seulement
a)

Les trois côtés clôturés mesurent xx, xx et le côté parallèle au mur. La longueur totale disponible étant 6060, ce dernier mesure 60−2x60-2x. Pour que le rectangle existe, il faut x>0x>0 et 60−2x>060-2x>0, c'est-à-dire x<30x<30 : donc x∈ ]0;30[x\in\ ]0;30[. Cet intervalle n'est pas une formalité, c'est lui qui écartera plus loin les solutions parasites.

b)

L'aire d'un rectangle est le produit de ses deux dimensions : A(x)=x(60−2x)=60x−2x2=−2x2+60xA(x)=x(60-2x)=60x-2x^2=-2x^2+60x. Contrôle de bon sens : A(0)=0A(0)=0 et A(30)=0A(30)=0, l'aire s'annule aux deux extrémités de l'intervalle, ce qui est bien ce qu'on attend d'un rectangle aplati ✓.

c)

A(x)=−2(x2−30x)=−2((x−15)2−225)=−2(x−15)2+450A(x)=-2(x^2-30x)=-2((x-15)^2-225)=-2(x-15)^2+450. Le coefficient −2-2 est négatif, donc −2(x−15)2-2(x-15)^2 est toujours négatif ou nul et s'annule uniquement en x=15x=15 : l'aire est maximale pour x=15x=15. L'enclos mesure alors 1515 m sur 60−30=3060-30=30 m, et l'aire maximale vaut 450450 mètres carrés. Vérification : 15×30=45015\times 30=450 ✓, et 15+15+30=6015+15+30=60 m de clôture, tout est utilisé ✓.

d)

A(x)≥400A(x)\geq 400 équivaut à −2(x−15)2+450≥400-2(x-15)^2+450\geq 400, soit −2(x−15)2≥−50-2(x-15)^2\geq -50, soit (x−15)2≤25(x-15)^2\leq 25 (on divise par −2-2, donc on renverse le sens), c'est-à-dire −5≤x−15≤5-5\leq x-15\leq 5, donc 10≤x≤2010\leq x\leq 20. Toutes ces valeurs appartiennent bien à ]0;30[]0;30[, aucune n'est à écarter. Vérification aux bornes : A(10)=10×40=400A(10)=10\times 40=400 ✓ et A(20)=20×20=400A(20)=20\times 20=400 ✓. L'intervalle est symétrique autour de 1515, comme toujours pour une parabole.

e)

Non : l'enclos optimal mesure 1515 m sur 3030 m, le côté le long du mur est deux fois plus long que les autres. C'est logique, puisque ce côté est gratuit en clôture. Avec quatre côtés à clôturer et 6060 m de fil, on aurait A(x)=x(30−x)=−(x−15)2+225A(x)=x(30-x)=-(x-15)^2+225, maximale en x=15x=15 pour un carré de 1515 m sur 1515 m et 225225 mètres carrés seulement. Le mur double donc l'aire atteignable. Retenir la règle sous-jacente : parmi les rectangles de périmètre fixé, c'est le carré qui a l'aire maximale, mais dès qu'un côté ne coûte rien, l'optimum se déforme dans sa direction.

Exercice 8 : Problème : trajectoire d'un ballon

Un ballon est frappé du pied au-dessus d'un terrain plat. Sa hauteur, en mètres, tt secondes après la frappe, est modélisée par h(t)=−5t2+20t+1h(t)=-5t^2+20t+1 pour t≥0t\geq 0.

Le discriminant n'étant pas au programme, toutes les réponses doivent s'obtenir à partir de la forme canonique.

Le coefficient −5-5 n'est pas choisi au hasard : c'est l'opposé de la moitié de l'intensité de la pesanteur, g≈9,8g\approx 9{,}8 N/kg, arrondie à 1010 pour rester calculable à la main.

  • a) À quelle hauteur le ballon est-il frappé ?
  • b) Mettez hh sous forme canonique. Déduisez-en l'instant où le ballon atteint sa hauteur maximale, et cette hauteur.
  • c) Déterminez l'instant où le ballon touche le sol, arrondi au centième de seconde.
  • d) Pendant combien de temps le ballon reste-t-il à plus de 18 mètres de hauteur ? Arrondissez au centième de seconde.
  • e) Le modèle donne aussi une hauteur pour t=−1t=-1. Que vaut-elle et pourquoi n'a-t-elle aucun sens ici ?

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a)
b)
c)
d)
e)
Voir la correction

Réponses

  • a) h(0)=1h(0)=1 m
  • b) h(t)=−5(t−2)2+21h(t)=-5(t-2)^2+21 : maximum 2121 m à t=2t=2 s
  • c) t=2+4,2≈4,05t=2+\sqrt{4{,}2}\approx 4{,}05 s
  • d) 20,6≈1,552\sqrt{0{,}6}\approx 1{,}55 s
  • e) h(−1)=−24h(-1)=-24 : hors du domaine de validité du modèle
a)

L'instant de la frappe correspond à t=0t=0 : h(0)=1h(0)=1. Le ballon est frappé à 11 mètre du sol, ce qui correspond bien à un ballon frappé du pied en pleine volée plutôt que posé au sol.

b)

h(t)=−5(t2−4t)+1=−5((t−2)2−4)+1=−5(t−2)2+20+1=−5(t−2)2+21h(t)=-5(t^2-4t)+1=-5((t-2)^2-4)+1=-5(t-2)^2+20+1=-5(t-2)^2+21. Le coefficient −5-5 est négatif, donc le terme −5(t−2)2-5(t-2)^2 est maximal quand il est nul, c'est-à-dire en t=2t=2 : la hauteur est maximale à t=2t=2 secondes et vaut 2121 mètres. Vérification directe : h(2)=−20+40+1=21h(2)=-20+40+1=21 ✓.

c)

Toucher le sol signifie h(t)=0h(t)=0, soit −5(t−2)2+21=0-5(t-2)^2+21=0, soit (t−2)2=215=4,2(t-2)^2=\frac{21}{5}=4{,}2, donc t−2=±4,2t-2=\pm\sqrt{4{,}2}. La solution t=2−4,2≈−0,05t=2-\sqrt{4{,}2}\approx-0{,}05 est négative : elle correspondrait à un instant avant la frappe, on l'écarte. Le ballon touche le sol à t=2+4,2≈4,05t=2+\sqrt{4{,}2}\approx 4{,}05 s. Contrôle de cohérence : la montée dure 22 s et la descente 2,052{,}05 s, très légèrement plus longue parce que le ballon part de 11 m mais retombe jusqu'à 00 ✓.

d)

h(t)>18h(t)>18 équivaut à −5(t−2)2+21>18-5(t-2)^2+21>18, soit −5(t−2)2>−3-5(t-2)^2>-3, soit (t−2)2<35=0,6(t-2)^2<\frac{3}{5}=0{,}6 (division par −5-5, le sens se renverse), c'est-à-dire 2−0,6<t<2+0,62-\sqrt{0{,}6}<t<2+\sqrt{0{,}6}. La durée cherchée est la longueur de cet intervalle : 20,6≈1,552\sqrt{0{,}6}\approx 1{,}55 s. On remarque que l'intervalle est centré sur t=2t=2 : c'est la symétrie de la parabole, le ballon passe autant de temps au-dessus de 1818 m en montant qu'en descendant.

e)

h(−1)=−5−20+1=−24h(-1)=-5-20+1=-24. Le calcul se fait sans difficulté, mais il n'a aucun sens : t=−1t=-1 désigne un instant une seconde AVANT la frappe, où le modèle ne s'applique pas, et une hauteur de −24-24 mètres placerait le ballon sous le terrain. C'est le rappel que le domaine de validité t∈[0; 2+4,2]t\in[0;\ 2+\sqrt{4{,}2}] fait partie du modèle : une fonction peut être définie sur R\mathbb{R} sans que la situation le soit.

−0,50,511,522,533,544,55481216202428S(2 ; 21)18 m1,55 st = 4,05 st (s)h (m)

Exercice 9 : Discussion selon un paramètre

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2−6x+5f(x)=x^2-6x+5, et mm un nombre réel.

Résoudre f(x)=mf(x)=m revient à chercher les points d'intersection de la parabole et de la droite horizontale d'équation y=my=m : garder cette image en tête rend la discussion presque évidente.

  • a) Écrivez ff sous forme canonique.
  • b) Discutez, selon les valeurs de mm, le nombre de solutions de l'équation f(x)=mf(x)=m.
  • c) Lorsqu'il y a deux solutions, exprimez-les en fonction de mm.
  • d) Déterminez toutes les valeurs de mm pour lesquelles la droite d'équation y=my=m coupe la parabole en deux points dont les abscisses sont toutes les deux strictement positives.
  • e) Que vaut la somme des deux solutions ? Le résultat dépend-il de mm ? Interprétez.

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a)
b)
c)
d)
Valeurs de mm ;
e)
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Réponses

  • a) f(x)=(x−3)2−4f(x)=(x-3)^2-4
  • b) m<−4m<-4 : aucune ; m=−4m=-4 : une (x=3x=3) ; m>−4m>-4 : deux
  • c) x=3−m+4x=3-\sqrt{m+4} et x=3+m+4x=3+\sqrt{m+4}
  • d) m∈ ]−4;5[m\in\ ]-4;5[
  • e) Somme 66, indépendante de mm : symétrie par rapport à x=3x=3
a)

f(x)=(x2−6x)+5=((x−3)2−9)+5=(x−3)2−4f(x)=(x^2-6x)+5=((x-3)^2-9)+5=(x-3)^2-4. Sommet (3, −4)(3,\ -4), parabole tournée vers le haut.

b)

f(x)=mf(x)=m équivaut à (x−3)2=m+4(x-3)^2=m+4. Un carré vaut un nombre positif ou nul, donc tout dépend du signe de m+4m+4. Si m<−4m<-4, aucune solution : la droite passe sous le sommet et ne rencontre pas la courbe. Si m=−4m=-4, une solution double x=3x=3 : la droite est tangente au sommet. Si m>−4m>-4, deux solutions distinctes : la droite coupe les deux branches. Le seuil −4-4 n'est rien d'autre que l'ordonnée du sommet, ce qui est la lecture graphique de toute la discussion.

c)

Pour m>−4m>-4 : x−3=±m+4x-3=\pm\sqrt{m+4}, donc x=3−m+4x=3-\sqrt{m+4} et x=3+m+4x=3+\sqrt{m+4}. Vérification sur un cas simple, m=0m=0 : on retrouve x=3±2x=3\pm 2, soit 11 et 55, qui sont bien les racines de x2−6x+5x^2-6x+5 ✓.

d)

Les deux abscisses sont strictement positives dès que la plus petite l'est, puisque l'autre est plus grande. On résout 3−m+4>03-\sqrt{m+4}>0, soit m+4<3\sqrt{m+4}<3, et comme les deux membres sont positifs on peut élever au carré : m+4<9m+4<9, donc m<5m<5. En tenant compte de la condition d'existence des deux solutions, m>−4m>-4, on obtient m∈ ]−4;5[m\in\ ]-4;5[. Lecture graphique du seuil m=5m=5 : c'est exactement f(0)f(0), l'ordonnée du point où la parabole traverse l'axe des ordonnées. Au-dessus, la droite attrape une abscisse négative. Vérification : pour m=5m=5, les solutions sont 00 et 66, et l'une n'est pas strictement positive ✓.

e)

La somme vaut (3−m+4)+(3+m+4)=6(3-\sqrt{m+4})+(3+\sqrt{m+4})=6, indépendamment de mm. Interprétation : les deux points d'intersection sont symétriques par rapport à l'axe x=3x=3, donc leur milieu est toujours 33 et leur somme toujours 66. C'est la raison pour laquelle on peut lire l'axe de symétrie d'une parabole en faisant la moyenne de deux abscisses de même image, et c'est aussi l'annonce de la relation somme-produit vue en Première.

−11234567−8−6−4−22468m = 3m = −4m = −6

Exercice 10 : Équations qui se ramènent au second degré

Chacune de ces trois équations se traite sans discriminant. Attention aux solutions perdues.

Deux pièges reviennent chaque année dans les copies : oublier qu'un changement de variable impose une condition, et simplifier une égalité de carrés comme si c'était une égalité tout court.

  • a) Résolvez x4−13x2+36=0x^4-13x^2+36=0 en posant X=x2X=x^2.
  • b) Démontrez que le trinôme x2−4x+7x^2-4x+7 ne s'annule pour aucun réel.
  • c) Résolvez (x−1)2=(2x+3)2(x-1)^2=(2x+3)^2. Cherchez toutes les solutions.
  • d) Un élève résout la question c) en écrivant x−1=2x+3x-1=2x+3 et trouve une seule solution. Expliquez son erreur.
  • e) Dans la question a), quelle condition le changement de variable impose-t-il à XX ? Aurait-elle pu éliminer une solution ?

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a)
b)
c)
d)
e)
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Réponses

  • a) x∈{−3 ;−2 ;2 ;3}x\in\{-3\,;-2\,;2\,;3\}
  • b) x2−4x+7=(x−2)2+3≥3>0x^2-4x+7=(x-2)^2+3\geq 3>0
  • c) x=−4x=-4 ou x=−23x=-\frac{2}{3}
  • d) A2=B2A^2=B^2 donne A=BA=B ou A=−BA=-B : il perd x=−23x=-\frac{2}{3}
  • e) X≥0X\geq 0 ; ici rien n'est éliminé, mais x4+13x2+36=0x^4+13x^2+36=0 n'aurait aucune solution
a)

Avec X=x2X=x^2, l'équation devient X2−13X+36=0X^2-13X+36=0. Forme canonique : (X−132)2−1694+36=(X−132)2−254(X-\frac{13}{2})^2-\frac{169}{4}+36=(X-\frac{13}{2})^2-\frac{25}{4}. Donc (X−132)2=254(X-\frac{13}{2})^2=\frac{25}{4}, soit X=132±52X=\frac{13}{2}\pm\frac{5}{2}, c'est-à-dire X=9X=9 ou X=4X=4. On revient ensuite à xx, et c'est là que le nombre de solutions double : x2=9x^2=9 donne x=±3x=\pm 3, et x2=4x^2=4 donne x=±2x=\pm 2. Quatre solutions : −3, −2, 2, 3-3,\ -2,\ 2,\ 3. Vérification sur une seule d'entre elles, x=2x=2 : 16−52+36=016-52+36=0 ✓. Les quatre solutions sont symétriques deux à deux, ce qui est normal puisque l'équation ne contient que des puissances paires de xx.

b)

Complétion du carré : x2−4x+7=(x−2)2−4+7=(x−2)2+3x^2-4x+7=(x-2)^2-4+7=(x-2)^2+3. Or (x−2)2≥0(x-2)^2\geq 0 pour tout réel xx, donc x2−4x+7≥3>0x^2-4x+7\geq 3>0 : le trinôme est toujours strictement positif, donc jamais nul. Noter la structure de la démonstration : on ne teste pas des valeurs, on encadre. Un test sur quelques nombres n'aurait rien prouvé.

c)

On ne simplifie pas les carrés, on ramène tout d'un côté pour reconnaître une différence de carrés : (x−1)2−(2x+3)2=0(x-1)^2-(2x+3)^2=0, avec A=x−1A=x-1 et B=2x+3B=2x+3, donne (A−B)(A+B)=0(A-B)(A+B)=0, soit ((x−1)−(2x+3))((x−1)+(2x+3))=0((x-1)-(2x+3))((x-1)+(2x+3))=0, c'est-à-dire (−x−4)(3x+2)=0(-x-4)(3x+2)=0. Un produit est nul si l'un des facteurs l'est : x=−4x=-4 ou x=−23x=-\frac{2}{3}. Vérification de la seconde : (−23−1)2=(−53)2=259(-\frac{2}{3}-1)^2=(-\frac{5}{3})^2=\frac{25}{9} et (−43+3)2=(53)2=259(-\frac{4}{3}+3)^2=(\frac{5}{3})^2=\frac{25}{9} ✓.

d)

De A2=B2A^2=B^2 on ne peut pas déduire A=BA=B : deux nombres opposés ont le même carré, donc on déduit A=BA=B ou A=−BA=-B, ce qui s'écrit aussi ∣A∣=∣B∣|A|=|B|. L'élève n'a traité que le premier cas, x−1=2x+3x-1=2x+3, qui donne x=−4x=-4, et il a perdu la solution issue de x−1=−(2x+3)x-1=-(2x+3), soit 3x=−23x=-2 et x=−23x=-\frac{2}{3}. La méthode par différence de carrés a l'avantage de produire les deux cas automatiquement, sans avoir à y penser.

e)

Comme X=x2X=x^2, on a nécessairement X≥0X\geq 0 : toute valeur négative trouvée pour XX devrait être rejetée, car aucun réel n'a un carré négatif. Ici les deux valeurs, 99 et 44, sont positives, donc rien n'est éliminé et l'on obtient bien quatre solutions. Mais avec x4+13x2+36=0x^4+13x^2+36=0, par exemple, on trouverait X=−9X=-9 et X=−4X=-4, tous deux à rejeter, et l'équation n'aurait aucune solution réelle. Écrire la condition X≥0X\geq 0 dès la substitution est ce qui distingue une copie complète d'une copie chanceuse.

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 11 : Équations produit nul et équations carrées

Résolvez chaque équation dans R\mathbb{R} sans discriminant. Donnez toutes les solutions.

Deux outils suffisent pour tout l'exercice : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, et X2=kX^2=k a deux solutions ±k\pm\sqrt{k} si k>0k>0, une seule si k=0k=0, aucune si k<0k<0.

  • a) (2x−1)(x+3)=0(2x-1)(x+3)=0
  • b) x2=5xx^2=5x
  • c) 4x2−9=04x^2-9=0
  • d) (x+1)2=16(x+1)^2=16
  • e) x2+9=0x^2+9=0

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a)
b)
c)
d)
e)
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Réponses

  • a) x=−3x=-3 ou x=12x=\frac{1}{2}
  • b) x=0x=0 ou x=5x=5
  • c) x=−32x=-\frac{3}{2} ou x=32x=\frac{3}{2}
  • d) x=−5x=-5 ou x=3x=3
  • e) Aucune solution réelle
a)

L'équation est DÉJÀ un produit nul : on ne développe surtout pas. 2x−1=02x-1=0 donne x=12x=\frac{1}{2}, et x+3=0x+3=0 donne x=−3x=-3. Solutions : −3-3 et 12\frac{1}{2}. Contrôle : (2×12−1)(12+3)=0×3,5=0(2\times\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}+3)=0\times 3{,}5=0 ✓. Développer en 2x2+5x−3=02x^2+5x-3=0 aurait transformé une question de dix secondes en une question sans méthode au programme.

b)

Le piège classique est de diviser par xx pour obtenir x=5x=5 : c'est interdit tant qu'on ne sait pas si xx est nul, et c'est précisément la solution x=0x=0 qu'on perd. On ramène tout d'un côté : x2−5x=0x^2-5x=0, on factorise par xx : x(x−5)=0x(x-5)=0. Solutions : 00 et 55. Contrôle : 02=5×00^2=5\times 0 ✓ et 52=25=5×55^2=25=5\times 5 ✓.

c)

On reconnaît une différence de deux carrés, 4x2=(2x)24x^2=(2x)^2 et 9=329=3^2 : 4x2−9=(2x−3)(2x+3)4x^2-9=(2x-3)(2x+3). Produit nul : x=32x=\frac{3}{2} ou x=−32x=-\frac{3}{2}. On peut aussi isoler le carré, x2=94x^2=\frac{9}{4}, donc x=±32x=\pm\frac{3}{2}. Oublier la solution négative est l'erreur qui coûte le plus souvent la moitié des points.

d)

Deux nombres ont pour carré 1616 : 44 et −4-4. Donc x+1=4x+1=4 ou x+1=−4x+1=-4, soit x=3x=3 ou x=−5x=-5. Contrôle : (3+1)2=16(3+1)^2=16 ✓ et (−5+1)2=(−4)2=16(-5+1)^2=(-4)^2=16 ✓. Développer donnerait x2+2x−15=0x^2+2x-15=0, qu'il faudrait ensuite refactoriser : prendre la racine des deux côtés, en n'oubliant pas le ±\pm, est trois fois plus rapide.

e)

x2=−9x^2=-9 : un carré est toujours positif ou nul, il ne peut donc jamais valoir −9-9. L'équation n'a AUCUNE solution réelle. Écrire x=±3x=\pm 3 est faux : 32=93^2=9, pas −9-9.

La méthode à retenir : on regarde la forme AVANT de calculer. Produit déjà factorisé, on conclut ; carré isolé, on prend ± \pm\sqrt{\ } ; sinon, on ramène tout à zéro et on cherche un facteur commun ou une identité remarquable.

Exercice 12 : Fonction carré : inéquations et encadrements

On utilise uniquement les propriétés de la fonction carré x↦x2x\mapsto x^2 : décroissante sur ]−∞;0]]-\infty;0], croissante sur [0;+∞[[0;+\infty[, et deux nombres opposés ont le même carré.

La figure montre la parabole d'équation y=x2y=x^2 et une droite horizontale y=ky=k, avec k>0k>0 : la parabole est en dessous de la droite entre −k-\sqrt{k} et k\sqrt{k}, au-dessus à l'extérieur. Pour chaque question, placez la droite correspondante : ce croquis évite les erreurs de sens.

−4−3−2−11234−112345678910y = x²−√k√ky = k
  • a) Résolvez x2≤9x^2\le 9.
  • b) Résolvez x2>2x^2>2 et donnez la valeur approchée au centième de la borne positive.
  • c) On sait que −3≤x≤1-3\le x\le 1. Donnez le meilleur encadrement possible de x2x^2.
  • d) Sans calculatrice, comparez (−2,7)2(-2{,}7)^2 et (−2,5)2(-2{,}5)^2.
  • e) Résolvez x2<−4x^2<-4.

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a)
Ensemble des solutions ;
b)
c)
d)
e)
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Réponses

  • a) [−3;3][-3;3]
  • b) ]−∞;−2[ ∪ ]2;+∞[]-\infty;-\sqrt{2}[\ \cup\ ]\sqrt{2};+\infty[, 2≈1,41\sqrt{2}\approx 1{,}41
  • c) 0≤x2≤90\leq x^2\leq 9
  • d) (−2,7)2>(−2,5)2(-2{,}7)^2>(-2{,}5)^2
  • e) ∅\varnothing
a)

La droite y=9y=9 coupe la parabole en x=−3x=-3 et x=3x=3, et la parabole est EN DESSOUS de cette droite entre ces deux abscisses. Solution : [−3;3][-3;3], bornes comprises car l'inégalité est large. L'erreur fréquente est d'écrire x≤3x\le 3 tout court : x=−5x=-5 vérifie x≤3x\le 3 mais (−5)2=25>9(-5)^2=25>9.

b)

Cette fois on veut la parabole AU-DESSUS de y=2y=2, donc à l'extérieur des deux points d'intersection ±2\pm\sqrt{2} : ]−∞;−2[ ∪ ]2;+∞[]-\infty;-\sqrt{2}[\ \cup\ ]\sqrt{2};+\infty[. La borne positive vaut 2≈1,41\sqrt{2}\approx 1{,}41. Contrôle : x=1,5x=1{,}5 donne 2,25>22{,}25>2 ✓ et x=1,4x=1{,}4 donne 1,96<21{,}96<2 ✓.

c)

Le piège est d'élever les bornes au carré : on obtiendrait 9≤x2≤19\le x^2\le 1, ce qui est absurde, ou bien 1≤x2≤91\le x^2\le 9, ce qui est faux car x=0x=0 est dans l'intervalle et donne x2=0x^2=0. La fonction carré n'est pas monotone sur [−3;1][-3;1] : elle descend de 99 à 00 sur [−3;0][-3;0], puis remonte de 00 à 11 sur [0;1][0;1]. Son minimum est 00, atteint en 00, et son maximum est 99, atteint en −3-3. Donc 0≤x2≤90\le x^2\le 9.

d)

Sur ]−∞;0]]-\infty;0], la fonction carré est DÉCROISSANTE : elle renverse l'ordre. Comme −2,7<−2,5≤0-2{,}7<-2{,}5\le 0, on a (−2,7)2>(−2,5)2(-2{,}7)^2>(-2{,}5)^2. Contrôle : 7,29>6,257{,}29>6{,}25 ✓. Plus un nombre négatif est loin de zéro, plus son carré est grand.

e)

Un carré est toujours positif ou nul, il ne peut jamais être strictement inférieur à −4-4. L'ensemble des solutions est vide : ∅\varnothing.

Le fil de l'exercice : la fonction carré CHANGE de sens en 00. Tant qu'on reste d'un seul côté de 00, on peut comparer les carrés en conservant ou en renversant l'ordre ; dès qu'un intervalle contient 00, il faut couper en deux et le minimum vaut 00.

−4−3−2−11234−11234567891011y = x²0 ≤ x² ≤ 9xy

Exercice 13 : Parabole et droite : points d'intersection

On considère f(x)=x2−2x−3f(x)=x^2-2x-3 et g(x)=x+1g(x)=x+1, définies sur R\mathbb{R}, et leurs courbes P\mathcal{P} et D\mathcal{D}.

  • a) Vérifiez que f(x)=(x−3)(x+1)f(x)=(x-3)(x+1) et donnez les abscisses des points où P\mathcal{P} coupe l'axe des abscisses.
  • b) Vérifiez que x2−3x−4=(x−4)(x+1)x^2-3x-4=(x-4)(x+1), puis résolvez f(x)=g(x)f(x)=g(x) et donnez les coordonnées des points d'intersection de P\mathcal{P} et D\mathcal{D}.
  • c) Étudiez le signe de f(x)−g(x)f(x)-g(x) et déduisez-en sur quel intervalle la parabole est en dessous de la droite.
  • d) On remplace D\mathcal{D} par la droite d'équation y=x+by=x+b. Pour quelle valeur de bb cette droite n'a-t-elle qu'un seul point commun avec P\mathcal{P} ? Donnez l'abscisse de ce point.

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a)
b)
c)
Parabole sous la droite sur ;
d)
Voir la correction

Réponses

  • a) x=−1x=-1 et x=3x=3
  • b) Points (−1 ;0)(-1\,;0) et (4 ;5)(4\,;5)
  • c) f(x)−g(x)=(x−4)(x+1)<0f(x)-g(x)=(x-4)(x+1)<0 sur ]−1;4[]-1;4[ : parabole sous la droite
  • d) b=−5,25b=-5{,}25, point de tangence d'abscisse 32\frac{3}{2}
a)

(x−3)(x+1)=x2+x−3x−3=x2−2x−3=f(x)(x-3)(x+1)=x^2+x-3x-3=x^2-2x-3=f(x) ✓. Un produit est nul si l'un des facteurs l'est : P\mathcal{P} coupe l'axe des abscisses en x=−1x=-1 et en x=3x=3.

b)

On ramène tout d'un côté : x2−2x−3=x+1  ⟺  x2−3x−4=0x^2-2x-3=x+1\iff x^2-3x-4=0. En développant, (x−4)(x+1)=x2+x−4x−4=x2−3x−4(x-4)(x+1)=x^2+x-4x-4=x^2-3x-4 ✓, donc (x−4)(x+1)=0(x-4)(x+1)=0, soit x=−1x=-1 ou x=4x=4. On calcule les ordonnées avec la fonction la plus simple, gg : g(−1)=0g(-1)=0 et g(4)=5g(4)=5. Points d'intersection : (−1 ;0)(-1\,;0) et (4 ;5)(4\,;5). Contrôle sur ff : f(4)=16−8−3=5f(4)=16-8-3=5 ✓.

c)

f(x)−g(x)=(x−4)(x+1)f(x)-g(x)=(x-4)(x+1). Tableau de signes : ce produit est négatif ENTRE les racines −1-1 et 44, positif à l'extérieur. Or f(x)−g(x)<0f(x)-g(x)<0 signifie f(x)<g(x)f(x)<g(x), c'est-à-dire parabole sous la droite : c'est le cas sur ]−1;4[]-1;4[. Contrôle en x=0x=0 : f(0)=−3<g(0)=1f(0)=-3<g(0)=1 ✓. Le réflexe : pour comparer deux courbes, on étudie le signe de la DIFFÉRENCE, jamais les deux fonctions séparément.

d)

f(x)=x+b  ⟺  x2−3x−3−b=0f(x)=x+b\iff x^2-3x-3-b=0. Forme canonique : (x−32)2−94−3−b=0\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}-3-b=0, soit (x−32)2=214+b\left(x-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{21}{4}+b. Il y a une seule solution exactement lorsque le membre de droite est nul : b=−214=−5,25b=-\frac{21}{4}=-5{,}25. Le point commun a pour abscisse x=32x=\frac{3}{2} et pour ordonnée 32−5,25=−3,75\frac{3}{2}-5{,}25=-3{,}75. Contrôle : f(1,5)=2,25−3−3=−3,75f(1{,}5)=2{,}25-3-3=-3{,}75 ✓. La droite est alors tangente à la parabole : on retrouve le même raisonnement que pour la discussion d'une équation selon un paramètre.

Une seule méthode pour tout l'exercice : une intersection se trouve en résolvant f(x)=g(x)f(x)=g(x), une position relative en étudiant le signe de f(x)−g(x)f(x)-g(x).

−3−2−1123456−6−4−2246810PDy = x − 21/4(4 ; 5)(−1 ; 0)

Exercice 14 : Problème : bénéfice d'un atelier

Un atelier fabrique et vend des lampes. Pour xx lampes produites dans la semaine, avec 0≤x≤400\le x\le 40, le coût de production est C(x)=x2+10x+100C(x)=x^2+10x+100 euros, et chaque lampe est vendue 5050 euros.

On suppose que toutes les lampes produites sont vendues.

  • a) Exprimez la recette R(x)R(x), puis montrez que le bénéfice vaut B(x)=−x2+40x−100B(x)=-x^2+40x-100. Que vaut B(0)B(0) et que représente-t-il ?
  • b) Mettez BB sous forme canonique. Combien de lampes faut-il produire pour un bénéfice maximal, et quel est ce bénéfice ?
  • c) Déterminez pour quelles quantités le bénéfice est d'au moins 200200 euros.
  • d) L'atelier est rentable lorsque B(x)>0B(x)>0. Déterminez le plus petit et le plus grand nombre entier de lampes qui rendent l'atelier rentable.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/6

a)
b)
c)
Quantités xx ;
d)
Voir la correction

Réponses

  • a) R(x)=50xR(x)=50x, B(x)=−x2+40x−100B(x)=-x^2+40x-100 ; B(0)=−100B(0)=-100 euros de charges fixes
  • b) B(x)=−(x−20)2+300B(x)=-(x-20)^2+300 : 2020 lampes, 300300 euros
  • c) Entre 1010 et 3030 lampes
  • d) De 33 à 3737 lampes
a)

La recette est le prix de vente fois la quantité : R(x)=50xR(x)=50x. Le bénéfice est la recette moins le coût : B(x)=50x−(x2+10x+100)=−x2+40x−100B(x)=50x-(x^2+10x+100)=-x^2+40x-100. Attention aux parenthèses : le signe moins porte sur les TROIS termes du coût. B(0)=−100B(0)=-100 : sans rien produire, l'atelier perd 100100 euros, ce sont ses charges fixes (loyer, machines).

b)

B(x)=−(x2−40x)−100=−((x−20)2−400)−100=−(x−20)2+300B(x)=-(x^2-40x)-100=-\left((x-20)^2-400\right)-100=-(x-20)^2+300. Le terme −(x−20)2-(x-20)^2 est négatif ou nul et vaut 00 seulement en x=20x=20 : le bénéfice est maximal pour 2020 lampes et vaut 300300 euros. Contrôle : B(20)=−400+800−100=300B(20)=-400+800-100=300 ✓.

c)

B(x)≥200  ⟺  −(x−20)2+300≥200  ⟺  (x−20)2≤100  ⟺  −10≤x−20≤10  ⟺  10≤x≤30B(x)\ge 200\iff -(x-20)^2+300\ge 200\iff (x-20)^2\le 100\iff -10\le x-20\le 10\iff 10\le x\le 30. Il faut produire entre 1010 et 3030 lampes. Contrôle aux bornes : B(10)=−100+400−100=200B(10)=-100+400-100=200 ✓ et B(30)=−900+1200−100=200B(30)=-900+1200-100=200 ✓. L'intervalle est centré sur 2020, l'abscisse du sommet.

d)

B(x)>0  ⟺  (x−20)2<300  ⟺  20−300<x<20+300B(x)>0\iff (x-20)^2<300\iff 20-\sqrt{300}<x<20+\sqrt{300}. Or 300≈17,32\sqrt{300}\approx 17{,}32, donc 2,68<x<37,322{,}68<x<37{,}32. En nombres entiers de lampes : de 33 à 3737. Contrôle : B(2)=−4+80−100=−24<0B(2)=-4+80-100=-24<0 mais B(3)=−9+120−100=11>0B(3)=-9+120-100=11>0 ✓ ; B(37)=−1369+1480−100=11>0B(37)=-1369+1480-100=11>0 mais B(38)=−1444+1520−100=−24<0B(38)=-1444+1520-100=-24<0 ✓. On ne choisit pas 33 parce que c'est l'arrondi de 2,682{,}68, mais parce que c'est le premier entier qui VÉRIFIE l'inégalité ; de même, 37,3237{,}32 donne 3737, le dernier.

Ce qu'il faut retenir : produire plus n'est pas toujours gagner plus. Au-delà de 2020 lampes, chaque lampe supplémentaire coûte plus qu'elle ne rapporte, et la forme canonique le montre sans aucun tableau de valeurs.

Exercice 15 : Problème : l'allée autour d'une pelouse

Un terrain rectangulaire mesure 2020 m sur 1414 m. On veut y tracer une allée de largeur constante xx mètres le long des quatre bords, à l'intérieur du terrain. La partie centrale, qui reste rectangulaire, sera engazonnée.

On souhaite que la pelouse occupe exactement la MOITIÉ de la surface du terrain.

La figure représente le terrain, l'allée le long des quatre bords et la pelouse centrale.

20 m14 mxxalléepelouse
  • a) Quelles sont les dimensions de la pelouse en fonction de xx ? Dans quel intervalle xx doit-il se trouver ?
  • b) Calculez l'aire de la pelouse pour une allée de 22 m, puis montrez que la condition cherchée s'écrit x2−17x+35=0x^2-17x+35=0.
  • c) Mettez x2−17x+35x^2-17x+35 sous forme canonique.
  • d) Résolvez l'équation et donnez la largeur de l'allée au centimètre près. Que faire de l'autre solution ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/5

a)
Valeurs possibles de xx ;
b)
c)
d)
Voir la correction

Réponses

  • a) (20−2x)(20-2x) sur (14−2x)(14-2x), x∈ ]0;7[x\in\ ]0;7[
  • b) 160160 m² ; (20−2x)(14−2x)=140  ⟺  x2−17x+35=0(20-2x)(14-2x)=140\iff x^2-17x+35=0
  • c) (x−8,5)2−37,25(x-8{,}5)^2-37{,}25
  • d) x=8,5−37,25≈2,40x=8{,}5-\sqrt{37{,}25}\approx 2{,}40 m ; 14,6014{,}60 rejetée
a)

L'allée prend xx mètres de CHAQUE côté, donc 2x2x sur chaque dimension : la pelouse mesure 20−2x20-2x sur 14−2x14-2x. Il faut x>0x>0 et 14−2x>014-2x>0, c'est-à-dire x<7x<7 : donc x∈ ]0;7[x\in\ ]0;7[. C'est la plus petite dimension qui limite, pas la plus grande. Oublier le facteur 22 est l'erreur la plus fréquente sur ce type d'énoncé.

b)

Pour x=2x=2 : (20−4)(14−4)=16×10=160(20-4)(14-4)=16\times 10=160 mètres carrés, un peu plus que la moitié du terrain, qui vaut 2802=140\frac{280}{2}=140. La condition s'écrit (20−2x)(14−2x)=140(20-2x)(14-2x)=140. On développe : 280−40x−28x+4x2=140280-40x-28x+4x^2=140, soit 4x2−68x+140=04x^2-68x+140=0, et en divisant par 44 : x2−17x+35=0x^2-17x+35=0.

c)

La moitié de −17-17 vaut −172-\frac{17}{2} : x2−17x=(x−172)2−2894x^2-17x=\left(x-\frac{17}{2}\right)^2-\frac{289}{4}. Donc x2−17x+35=(x−172)2−2894+1404=(x−8,5)2−37,25x^2-17x+35=\left(x-\frac{17}{2}\right)^2-\frac{289}{4}+\frac{140}{4}=\left(x-8{,}5\right)^2-37{,}25.

d)

(x−8,5)2=37,25(x-8{,}5)^2=37{,}25 donne x=8,5−37,25x=8{,}5-\sqrt{37{,}25} ou x=8,5+37,25x=8{,}5+\sqrt{37{,}25}. Avec 37,25≈6,103\sqrt{37{,}25}\approx 6{,}103 : x≈2,40x\approx 2{,}40 ou x≈14,60x\approx 14{,}60. La seconde valeur est hors de ]0;7[]0;7[ : une allée de 14,6014{,}60 m de large ne tient pas dans un terrain de 1414 m, on la rejette. L'allée mesure donc environ 2,402{,}40 m. Contrôle : (20−4,79)(14−4,79)≈15,21×9,21≈140,1(20-4{,}79)(14-4{,}79)\approx 15{,}21\times 9{,}21\approx 140{,}1 ✓. C'est cohérent avec la question b) : à 22 m l'aire valait 160160, il fallait élargir un peu l'allée.

Le point de méthode : l'intervalle écrit à la question a) n'est pas décoratif, c'est lui qui trie les solutions à la fin. Une équation du second degré en situation donne souvent deux nombres, et le contexte en élimine un.

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Le second degré Première Modélisation quadratique Première, Maths du tronc commun

© Ahmed Squalli Houssaini. Série publiée sur www.letuteurscientifique.ca/exercices/2nde-second-degre. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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