Exercices corrigés : le second degré (Seconde, programme français)

a) Le coefficient de $x$ vaut $-8$, sa moitié vaut $-4$ : on vise donc $(x-4)^2$, qui vaut $x^2-8x+16$. Il faut retirer le $16$ en trop : $x^2-8x=(x-4)^2-16$. D'où $f(x)=(x-4)^2-16+11=(x-4)^2-5$. Vérification en redéveloppant : $(x-4)^2-5=x^2-8x+16-5=x^2-8x+11$ ✓. On lit au passage le sommet $(4,\ -5)$ sans aucun calcul supplémentaire, et c'est bien pour cela qu'on met un trinôme sous cette forme.

b) On factorise d'abord le coefficient dominant dans les DEUX premiers termes seulement : $g(x)=3(x^2+4x)+5$. La moitié de $4$ vaut $2$, donc $x^2+4x=(x+2)^2-4$, et $g(x)=3((x+2)^2-4)+5=3(x+2)^2-12+5=3(x+2)^2-7$. Attention : le $-4$ est à l'intérieur de la parenthèse, il ressort multiplié par $3$, pas tel quel. Vérification : $3(x+2)^2-7=3x^2+12x+12-7=3x^2+12x+5$ ✓.

c) $h(x)=-2(x^2-3x)-1$. La moitié de $-3$ vaut $-\frac{3}{2}$, donc $x^2-3x=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}$. En reportant : $h(x)=-2\left((x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}\right)-1=-2(x-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{2}-1=-2(x-\frac{3}{2})^2+\frac{7}{2}$. Le $-\frac{9}{4}$ multiplié par $-2$ redevient positif : c'est le double changement de signe que les copies ratent le plus souvent. Vérification en $x=0$ : $-2\times\frac{9}{4}+\frac{7}{2}=-\frac{9}{2}+\frac{7}{2}=-1=h(0)$ ✓.

d) L'erreur est d'avoir factorisé le $-2$ dans le terme constant aussi. On a bien $-2x^2+6x=-2(x^2-3x)$, mais le $-1$ ne participe pas à la mise en facteur : l'écriture proposée vaut $-2x^2+6x+2$, pas $-2x^2+6x-1$. La différence est de $3$ sur toute la courbe. Conséquence : le sommet trouvé aurait la bonne abscisse $\frac{3}{2}$, mais une ordonnée fausse de $3$, et toute la suite (variations, signe, résolution) serait décalée. Règle à retenir : on ne factorise le coefficient dominant que dans les termes en $x^2$ et en $x$.

a) Le $9$ est un carré, $9=3^2$, donc on a bien une différence de carrés avec $A=x-4$ et $B=3$ : $f(x)=(x-4)^2-3^2=(x-4-3)(x-4+3)=(x-7)(x-1)$. Racines : $1$ et $7$. Vérification : leur moyenne vaut $\frac{1+7}{2}=4$, l'abscisse du sommet, ce qui est normal puisque les racines sont symétriques par rapport à l'axe ✓.

b) Ici le $2$ empêche de voir la différence de carrés. On le met en facteur d'abord : $g(x)=2\left((x+1)^2-4\right)=2(x+1-2)(x+1+2)=2(x-1)(x+3)$. Racines : $-3$ et $1$. Le facteur $2$ ne change aucune racine, il ne fait qu'étirer verticalement la parabole : une erreur de $2$ oubliée se voit sur les valeurs de $g$, jamais sur les racines. Vérification : $2(x-1)(x+3)=2(x^2+2x-3)=2x^2+4x-6$, et $2(x+1)^2-8=2x^2+4x+2-8=2x^2+4x-6$ ✓.

c) Pour tout réel $x$, $(x-2)^2\geq 0$ donc $h(x)\geq 3$. La fonction ne descend jamais en dessous de $3$ : elle ne s'annule jamais, n'a aucune racine et ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$. Le sommet $(2,\ 3)$ est au-dessus de l'axe des abscisses et la parabole est tournée vers le haut, donc la courbe entière est au-dessus de l'axe. On ne peut pas écrire $(x-2)^2+3$ comme une différence de carrés, puisqu'il faudrait $-3$ et non $+3$.

d) Le trinôme $a(x-\alpha)^2+\beta$ s'annule quand $(x-\alpha)^2=-\frac{\beta}{a}$. Un carré ne peut valoir qu'un nombre positif ou nul, donc il y a des racines exactement lorsque $-\frac{\beta}{a}\geq 0$, c'est-à-dire lorsque $a$ et $\beta$ sont de signes contraires (ou que $\beta=0$, cas de la racine double $x=\alpha$). Lecture géométrique : le sommet et la concavité doivent pointer dans des directions opposées, sinon la parabole reste tout entière d'un même côté de l'axe. C'est exactement ce que le discriminant dira en Première, sous une autre écriture.

a) $f(x)=-(x^2-6x)-5=-((x-3)^2-9)-5=-(x-3)^2+9-5=-(x-3)^2+4$. Sommet $S(3,\ 4)$, axe de symétrie $x=3$. Pourquoi l'axe est-il en $x=3$ : la valeur de $f$ ne dépend de $x$ que par $(x-3)^2$, et deux nombres opposés ont le même carré. Donc $3+d$ et $3-d$ ont toujours la même image, quelle que soit la distance $d$.

b) Ici $a=-1<0$, donc $-(x-3)^2$ est toujours négatif ou nul, et vaut $0$ uniquement en $x=3$ : la valeur $4$ est la plus grande atteinte. $f$ croît sur $]-\infty;3]$ puis décroît sur $[3;+\infty[$, et le sommet est un maximum, $f(3)=4$. Contrôle rapide de plausibilité : $f(0)=-5$ et $f(3)=4$, la fonction a bien monté ✓.

c) $g(x)=2(x^2-2x)+7=2((x-1)^2-1)+7=2(x-1)^2-2+7=2(x-1)^2+5$. Sommet $S'(1,\ 5)$, axe $x=1$. Comme $a=2>0$, le terme $2(x-1)^2$ est positif ou nul : $g$ décroît sur $]-\infty;1]$ puis croît sur $[1;+\infty[$, et le sommet est un minimum. On note au passage que $g$ ne s'annule jamais, puisque son minimum vaut $5>0$.

d) $-1$ est à distance $|{-1}-3|=4$ de l'axe $x=3$, et $8$ est à distance $|8-3|=5$. La parabole est tournée vers le bas, donc plus on s'éloigne de l'axe, plus l'image est petite : comme $4<5$, on conclut $f(-1)>f(8)$. Vérification par le calcul : $f(-1)=-1-6-5=-12$ et $f(8)=-64+48-5=-21$, et l'on a bien $-12>-21$ ✓. Cette lecture par distance à l'axe est le raccourci que les contrôles récompensent : elle compare deux images sans les calculer, et elle fonctionne même avec des nombres inconfortables.

a) On cherche deux nombres de somme $5$ et de produit $6$ : ce sont $2$ et $3$, donc $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$. Tableau de signe : le produit de deux facteurs est positif quand ils sont de même signe, ce qui arrive avant $2$ (les deux négatifs) et après $3$ (les deux positifs), et négatif entre les deux. Solution : $]-\infty;2[\ \cup\ ]3;+\infty[$. Contrôle sur trois valeurs test, une par intervalle : $x=0$ donne $6>0$ ✓, $x=2{,}5$ donne $-0{,}25<0$ ✓, $x=4$ donne $2>0$ ✓. Les bornes sont exclues car l'inégalité est stricte.

b) On met le signe moins en facteur : $-x^2+4x-3=-(x^2-4x+3)=-(x-1)(x-3)$. Le coefficient dominant est négatif, donc le trinôme est positif ENTRE les racines et négatif à l'extérieur, exactement l'inverse du cas a). Solution : $[1;3]$, bornes comprises puisque l'inégalité est large et que le trinôme s'annule en $1$ et en $3$. Contrôle : $x=2$ donne $-1+8-3=1\geq 0$ ✓, $x=0$ donne $-3<0$ ✓.

c) Ce trinôme n'a pas de racine évidente, et il n'en a aucune : forme canonique $x^2+2x+5=(x+1)^2-1+5=(x+1)^2+4$. Or $(x+1)^2\geq 0$, donc le trinôme est toujours supérieur ou égal à $4$, donc strictement positif. La solution est $\mathbb{R}$ tout entier. Le réflexe utile : quand on ne trouve pas de racine, on ne conclut pas qu'il n'y en a pas, on passe à la forme canonique, qui le démontre.

d) En multipliant $-x^2+4x-3\geq 0$ par $-1$ sans changer le sens, il obtient $x^2-4x+3\geq 0$, soit $(x-1)(x-3)\geq 0$, donc $]-\infty;1]\cup[3;+\infty[$ : exactement le complémentaire de la bonne réponse, aux bornes près. L'erreur est la règle de base sur les inégalités : multiplier les deux membres par un nombre négatif RENVERSE le sens. La bonne écriture est $-x^2+4x-3\geq 0\iff x^2-4x+3\leq 0$. Contre-exemple immédiat à lui donner : $x=2$ vérifie l'inéquation de départ mais pas celle qu'il a écrite.

a) Le point le plus bas de la courbe se lit en $S(2,\ -2)$. La courbe coupe l'axe des abscisses en $x=0$ et $x=4$, qui sont bien symétriques par rapport à l'axe $x=2$ : la lecture est cohérente ✓.

b) Canonique, à partir du sommet : $f(x)=\frac{1}{2}(x-2)^2-2$. Factorisée, à partir des racines : $f(x)=\frac{1}{2}(x-0)(x-4)=\frac{1}{2}x(x-4)$. Développée, en développant l'une des deux : $\frac{1}{2}(x^2-4x)=\frac{1}{2}x^2-2x$. Le même coefficient $\frac{1}{2}$ apparaît dans les trois : c'est toujours le coefficient dominant, il ne change jamais d'une forme à l'autre.

c) Le sommet se lit sur la forme canonique, où $\alpha=2$ et $\beta=-2$ sont écrits noir sur blanc. Les racines se lisent sur la forme factorisée, puisqu'un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est : $0$ et $4$. L'ordonnée à l'origine se lit sur la forme développée, où le terme constant est directement $f(0)$ : ici il n'y a pas de terme constant, donc $f(0)=0$, ce que le graphique confirme puisque la courbe passe par l'origine.

d) Canonique : $\frac{1}{2}(1-2)^2-2=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}$. Factorisée : $\frac{1}{2}\times 1\times(1-4)=-\frac{3}{2}$. Développée : $\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}$. Les trois donnent $-1{,}5$ ✓, et le graphique montre bien la courbe à mi-hauteur entre $-1$ et $-2$ pour $x=1$. Trois écritures, une seule fonction : si les trois ne coïncident pas, c'est qu'une des formes est fausse, et ce test à une seule valeur suffit presque toujours à le détecter.

a) Le sommet est donné, donc on part de la forme canonique, qui le contient déjà : $f(x)=a(x-1)^2-4$. Il ne reste qu'une inconnue, $a$, et il ne reste qu'une information, le point $A$. La condition $f(3)=4$ donne $a(3-1)^2-4=4$, soit $4a=8$, donc $a=2$. Ainsi $f(x)=2(x-1)^2-4=2x^2-4x-2$. Vérification des deux conditions sur la forme développée : $f(1)=2-4-2=-4$ ✓ et $f(3)=18-12-2=4$ ✓.

b) Les racines sont données, donc on part de la forme factorisée : $g(x)=a(x+2)(x-5)$. Cette écriture encode déjà les deux racines, quel que soit $a$. La condition $g(0)=-10$ donne $a\times 2\times(-5)=-10a=-10$, donc $a=1$, et $g(x)=(x+2)(x-5)=x^2-3x-10$. Vérification : $g(-2)=0$ ✓, $g(5)=0$ ✓, $g(0)=-10$ ✓. Remarque utile : le terme constant de la forme développée vaut $a\times(-2)\times 5$, ce qui donne une lecture directe de $a$ dès qu'on connaît $g(0)$.

c) Impossible, et la raison n'est pas une histoire de calcul. Le sommet a pour abscisse $2$ et le point $C$ a lui aussi pour abscisse $2$ : on demanderait à $f$ de valoir $3$ et $5$ en un même $x$. Une fonction associe à chaque nombre une image et une seule, donc aucune fonction, du second degré ou non, ne convient. Le réflexe de contrôle : avant de chercher $a$, comparer les abscisses du sommet et du point donné, et se méfier dès qu'elles sont égales.

d) Oui, un et un seul : le symétrique de $A$ par rapport à l'axe $x=1$, c'est-à-dire le point $A'(-1,\ 4)$, puisque $-1$ et $3$ sont tous deux à distance $2$ de l'axe. On vérifie : $f(-1)=2(-1-1)^2-4=8-4=4$ ✓. Tout autre point de la parabole donnerait bien sûr la même fonction, mais parmi les points d'ordonnée $4$, il n'y en a que ces deux. Cela dit aussi pourquoi une donnée du type sommet plus un point suffit : la symétrie fournit gratuitement le troisième renseignement.

a) Les trois côtés clôturés mesurent $x$, $x$ et le côté parallèle au mur. La longueur totale disponible étant $60$, ce dernier mesure $60-2x$. Pour que le rectangle existe, il faut $x>0$ et $60-2x>0$, c'est-à-dire $x<30$ : donc $x\in\ ]0;30[$. Cet intervalle n'est pas une formalité, c'est lui qui écartera plus loin les solutions parasites.

b) L'aire d'un rectangle est le produit de ses deux dimensions : $A(x)=x(60-2x)=60x-2x^2=-2x^2+60x$. Contrôle de bon sens : $A(0)=0$ et $A(30)=0$, l'aire s'annule aux deux extrémités de l'intervalle, ce qui est bien ce qu'on attend d'un rectangle aplati ✓.

c) $A(x)=-2(x^2-30x)=-2((x-15)^2-225)=-2(x-15)^2+450$. Le coefficient $-2$ est négatif, donc $-2(x-15)^2$ est toujours négatif ou nul et s'annule uniquement en $x=15$ : l'aire est maximale pour $x=15$. L'enclos mesure alors $15$ m sur $60-30=30$ m, et l'aire maximale vaut $450$ mètres carrés. Vérification : $15\times 30=450$ ✓, et $15+15+30=60$ m de clôture, tout est utilisé ✓.

d) $A(x)\geq 400$ équivaut à $-2(x-15)^2+450\geq 400$, soit $-2(x-15)^2\geq -50$, soit $(x-15)^2\leq 25$ (on divise par $-2$, donc on renverse le sens), c'est-à-dire $-5\leq x-15\leq 5$, donc $10\leq x\leq 20$. Toutes ces valeurs appartiennent bien à $]0;30[$, aucune n'est à écarter. Vérification aux bornes : $A(10)=10\times 40=400$ ✓ et $A(20)=20\times 20=400$ ✓. L'intervalle est symétrique autour de $15$, comme toujours pour une parabole.

e) Non : l'enclos optimal mesure $15$ m sur $30$ m, le côté le long du mur est deux fois plus long que les autres. C'est logique, puisque ce côté est gratuit en clôture. Avec quatre côtés à clôturer et $60$ m de fil, on aurait $A(x)=x(30-x)=-(x-15)^2+225$, maximale en $x=15$ pour un carré de $15$ m sur $15$ m et $225$ mètres carrés seulement. Le mur double donc l'aire atteignable. Retenir la règle sous-jacente : parmi les rectangles de périmètre fixé, c'est le carré qui a l'aire maximale, mais dès qu'un côté ne coûte rien, l'optimum se déforme dans sa direction.

a) L'instant de la frappe correspond à $t=0$ : $h(0)=1$. Le ballon est frappé à $1$ mètre du sol, ce qui correspond bien à un ballon frappé du pied en pleine volée plutôt que posé au sol.

b) $h(t)=-5(t^2-4t)+1=-5((t-2)^2-4)+1=-5(t-2)^2+20+1=-5(t-2)^2+21$. Le coefficient $-5$ est négatif, donc le terme $-5(t-2)^2$ est maximal quand il est nul, c'est-à-dire en $t=2$ : la hauteur est maximale à $t=2$ secondes et vaut $21$ mètres. Vérification directe : $h(2)=-20+40+1=21$ ✓.

c) Toucher le sol signifie $h(t)=0$, soit $-5(t-2)^2+21=0$, soit $(t-2)^2=\frac{21}{5}=4{,}2$, donc $t-2=\pm\sqrt{4{,}2}$. La solution $t=2-\sqrt{4{,}2}\approx-0{,}05$ est négative : elle correspondrait à un instant avant la frappe, on l'écarte. Le ballon touche le sol à $t=2+\sqrt{4{,}2}\approx 4{,}05$ s. Contrôle de cohérence : la montée dure $2$ s et la descente $2{,}05$ s, très légèrement plus longue parce que le ballon part de $1$ m mais retombe jusqu'à $0$ ✓.

d) $h(t)>18$ équivaut à $-5(t-2)^2+21>18$, soit $-5(t-2)^2>-3$, soit $(t-2)^2<\frac{3}{5}=0{,}6$ (division par $-5$, le sens se renverse), c'est-à-dire $2-\sqrt{0{,}6}<t<2+\sqrt{0{,}6}$. La durée cherchée est la longueur de cet intervalle : $2\sqrt{0{,}6}\approx 1{,}55$ s. On remarque que l'intervalle est centré sur $t=2$ : c'est la symétrie de la parabole, le ballon passe autant de temps au-dessus de $18$ m en montant qu'en descendant.

e) $h(-1)=-5-20+1=-24$. Le calcul se fait sans difficulté, mais il n'a aucun sens : $t=-1$ désigne un instant une seconde AVANT la frappe, où le modèle ne s'applique pas, et une hauteur de $-24$ mètres placerait le ballon sous le terrain. C'est le rappel que le domaine de validité $t\in[0;\ 2+\sqrt{4{,}2}]$ fait partie du modèle : une fonction peut être définie sur $\mathbb{R}$ sans que la situation le soit.

a) $f(x)=(x^2-6x)+5=((x-3)^2-9)+5=(x-3)^2-4$. Sommet $(3,\ -4)$, parabole tournée vers le haut.

b) $f(x)=m$ équivaut à $(x-3)^2=m+4$. Un carré vaut un nombre positif ou nul, donc tout dépend du signe de $m+4$. Si $m<-4$, aucune solution : la droite passe sous le sommet et ne rencontre pas la courbe. Si $m=-4$, une solution double $x=3$ : la droite est tangente au sommet. Si $m>-4$, deux solutions distinctes : la droite coupe les deux branches. Le seuil $-4$ n'est rien d'autre que l'ordonnée du sommet, ce qui est la lecture graphique de toute la discussion.

c) Pour $m>-4$ : $x-3=\pm\sqrt{m+4}$, donc $x=3-\sqrt{m+4}$ et $x=3+\sqrt{m+4}$. Vérification sur un cas simple, $m=0$ : on retrouve $x=3\pm 2$, soit $1$ et $5$, qui sont bien les racines de $x^2-6x+5$ ✓.