Exercices corrigés : le second degré (Première spécialité)

1) Réponse A. $\Delta=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\times 2\times 3=25-24=1$. Attention au carré d'un nombre négatif, qui vaut $+25$ : la réponse B, $49$, correspondrait à l'oubli du carré sur le signe combiné à une erreur, et la réponse C au calcul $24-25$, c'est-à-dire à l'inversion de l'ordre de la soustraction.

2) Réponse A. On complète le carré : $x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$, en prenant la moitié de $-6$ et en retranchant son carré. Donc $x^{2}-6x+11=(x-3)^{2}-9+11=(x-3)^{2}+2$. Le contrôle est immédiat, il suffit d'évaluer en un point : en $x=0$, l'énoncé donne $11$ et la forme canonique $9+2=11$ ✓.

3) Réponse B. $\Delta=4^{2}-4\times(-1)\times(-5)=16-20=-4<0$, donc le trinôme ne s'annule JAMAIS et garde partout le signe de $a=-1$ : il est toujours strictement négatif. La réponse D est un piège tentant, car $2$ est bien l'abscisse du sommet, mais le trinôme y vaut $-4+8-5=-1$ et non $0$.

4) Réponse B. La somme des racines vaut $-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{1}=7$. La réponse A correspond à l'oubli du signe moins, erreur si fréquente qu'un contrôle mental s'impose : les racines sont ici $2$ et $5$, toutes deux positives, donc leur somme ne peut pas être négative. Leur produit vaut d'ailleurs $\frac{c}{a}=10=2\times 5$ ✓.

5) Réponse B. $x^{2}-9=(x-3)(x+3)$, trinôme de coefficient dominant POSITIF : il est donc positif à l'EXTÉRIEUR de ses racines $-3$ et $3$, et négatif entre elles. La réponse A intervertit exactement les deux zones, et la réponse C oublie la moitié gauche, celle des $x$ très négatifs, dont le carré est pourtant grand.

La règle de signe utilisée aux questions 3 et 5 est celle qu'il faut retenir avant toute autre, car elle résout à elle seule la moitié des questions du chapitre : un trinôme est TOUJOURS du signe de $a$, sauf strictement entre ses racines lorsqu'il en possède deux. Autrement dit, le discriminant ne sert pas d'abord à trouver les racines, il sert à savoir s'il y a une exception à la règle, et le cas $\Delta<0$ signifie simplement qu'il n'y en a aucune.

a) $\Delta=(-5)^{2}-4\times 2\times 3=25-24=1>0$, donc l'équation admet DEUX racines distinctes : $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm 1}{4}$, soit $x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$ et $x=\frac{4}{4}=1$. Contrôle par la somme et le produit : $1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}=-\frac{b}{a}$ ✓ et $1\times\frac{3}{2}=\frac{3}{2}=\frac{c}{a}$ ✓.

b) $\Delta=4^{2}-4\times 1\times 7=16-28=-12<0$ : l'équation n'admet AUCUNE solution réelle. La rédaction attendue s'arrête là, sans tentative de racine carrée d'un nombre négatif. Géométriquement, la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses ; comme $a=1>0$, elle est entièrement au-dessus.

c) $\Delta=(-6)^{2}-4\times 9\times 1=36-36=0$ : il y a une RACINE DOUBLE, $x=\frac{-b}{2a}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$. On peut d'ailleurs s'en passer du discriminant en reconnaissant l'identité remarquable $9x^{2}-6x+1=(3x-1)^{2}$, nulle si et seulement si $3x=1$. Un discriminant nul signale toujours un carré parfait, et la parabole est alors TANGENTE à l'axe des abscisses, situation reprise à l'exercice 5.

d) $\Delta=5^{2}-4\times 3\times(-2)=25+24=49>0$, l'attention portant sur le double signe moins qui donne un $+24$. Donc $\sqrt{\Delta}=7$ et $x=\frac{-5\pm 7}{6}$, soit $x=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ et $x=\frac{-12}{6}=-2$. Contrôle : $\frac{1}{3}\times(-2)=-\frac{2}{3}=\frac{c}{a}$ ✓.

Les quatre cas de cet exercice couvrent les trois situations possibles et méritent d'être vus comme un tout. Un discriminant strictement positif donne deux racines et une parabole qui TRAVERSE l'axe deux fois ; un discriminant nul donne une racine double et une parabole tangente ; un discriminant négatif ne donne aucune racine et une parabole entièrement d'un côté. Le contrôle par la somme et le produit, illustré en a) et d), coûte dix secondes et détecte presque toutes les erreurs de calcul ; il est d'autant plus utile que la formule des racines comporte quatre occasions de se tromper de signe.

a) $\Delta=7^{2}-4\times(-2)\times(-3)=49-24=25>0$, donc $\sqrt{\Delta}=5$ et les racines sont $x=\frac{-7\pm 5}{2\times(-2)}=\frac{-7\pm 5}{-4}$, soit $x=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}$ et $x=\frac{-12}{-4}=3$. Comme $a=-2<0$, le trinôme est NÉGATIF à l'extérieur des racines et POSITIF entre elles. On peut le confirmer en testant trois valeurs, une par zone : $f(0)=-3<0$, $f(1)=2>0$ et $f(4)=-7<0$ ✓.

b) D'après le tableau de signes, l'ensemble solution de $f(x)\geq 0$ est le segment $\left[\frac{1}{2}\,;\,3\right]$. Les crochets sont FERMÉS parce que l'inégalité est large et que le trinôme s'annule effectivement en ces deux points.

c) On factorise le numérateur : $x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$, de racines $2$ et $3$, et le dénominateur s'annule en $-1$. Le tableau de signes se dresse donc sur quatre intervalles, $]-\infty;-1[$, $]-1;2[$, $]2;3[$ et $]3;+\infty[$, où le quotient vaut respectivement négatif, positif, négatif puis positif. L'ensemble solution est $]-1;2]\cup[3;+\infty[$. Le point de méthode est de ne JAMAIS multiplier par le dénominateur, dont le signe est inconnu et renverserait l'inégalité une fois sur deux : on étudie le signe du quotient tel quel.

d) En $2$ et en $3$, le NUMÉRATEUR s'annule : le quotient vaut $0$, ce qui satisfait une inégalité large, et ces valeurs sont donc incluses. En $-1$, c'est le DÉNOMINATEUR qui s'annule : le quotient n'existe pas, la valeur est hors du domaine et doit être exclue, le crochet restant ouvert.

La question d) porte le vrai enseignement de l'exercice, et c'est le genre de détail qui distingue une copie soignée : une borne s'inclut ou s'exclut pour deux raisons distinctes qu'il ne faut pas confondre. Une racine du numérateur s'inclut si l'inégalité est large et s'exclut si elle est stricte ; une valeur interdite s'exclut TOUJOURS, quelle que soit l'inégalité, car il n'y a rien à évaluer. On peut ajouter une remarque utile pour la suite du programme : le signe du quotient change bien en $-1$ comme il changerait en une racine simple, un dénominateur qui s'annule inversant le signe exactement comme un numérateur.

a) Les relations coefficients-racines donnent directement $S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{1}=7$ et $P=x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{10}{1}=10$. Le signe moins ne porte que sur la somme, jamais sur le produit, et c'est la seule chose à retenir dans ces deux formules.

b) On ne calcule pas les racines, on utilise l'identité remarquable dans l'autre sens : $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=S^{2}-2P=49-20=29$. Le geste consiste à faire apparaître le carré de la somme, puis à retirer le double produit qu'il a introduit en trop.

c) On met au même dénominateur : $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{S}{P}=\frac{7}{10}=0{,}7$. Cette écriture suppose implicitement que ni $x_{1}$ ni $x_{2}$ n'est nul, ce qui est garanti ici par $P=10\neq 0$.

d) On procède à l'envers : la somme vaut $3+(-4)=-1$ et le produit $3\times(-4)=-12$. Un trinôme unitaire de somme $S$ et de produit $P$ s'écrit $x^{2}-Sx+P$, donc ici $x^{2}-(-1)x+(-12)=x^{2}+x-12$. Vérification par factorisation : $(x-3)(x+4)=x^{2}+4x-3x-12=x^{2}+x-12$ ✓.

e) Ces deux nombres sont, par définition des relations coefficients-racines, les racines de $x^{2}-12x+35=0$. Le discriminant vaut $144-140=4$, donc $\sqrt{\Delta}=2$ et $x=\frac{12\pm 2}{2}$ : les nombres cherchés sont $5$ et $7$. Vérification : $5+7=12$ ✓ et $5\times 7=35$ ✓.

Ces relations valent d'être vues comme un OUTIL DE CONTOURNEMENT plutôt que comme des formules de plus. Chaque fois qu'une question porte sur une expression SYMÉTRIQUE des deux racines, c'est-à-dire inchangée quand on les échange, comme leur somme, leur produit, la somme de leurs carrés ou celle de leurs inverses, on peut répondre sans jamais les calculer. C'est décisif quand les racines sont irrationnelles : pour $x^{2}-4x+1$, dont les racines valent $2\pm\sqrt{3}$, la somme des carrés se calcule mentalement, $16-2=14$, alors que le calcul direct exigerait de développer deux carrés de sommes contenant des racines.

a) Chercher les points communs revient à résoudre $x^{2}-2x+3=2x-1$, soit $x^{2}-4x+4=0$ après avoir tout ramené du même côté. Le discriminant vaut $16-16=0$ : il y a une racine DOUBLE, $x=2$. L'ordonnée s'obtient dans l'une ou l'autre équation, de préférence la plus simple : $2\times 2-1=3$. Le point d'intersection unique est donc $(2\,;\,3)$, et l'on vérifie avec la parabole : $4-4+3=3$ ✓.

b) La différence vaut $P(x)-D(x)=x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}$, qui est positive ou nulle pour tout réel. La parabole est donc TOUJOURS au-dessus de la droite $D$, avec un contact unique en $x=2$. Étudier la différence est la seule méthode correcte pour comparer deux courbes ; comparer les expressions terme à terme n'a aucun sens.

c) Un point d'intersection double, accompagné d'une différence qui ne CHANGE PAS de signe, signifie que la droite $D$ est TANGENTE à la parabole au point $(2\,;\,3)$. Les deux caractères comptent : deux courbes peuvent se couper en un seul point sans être tangentes, si la différence y change de signe.

d) On résout $x^{2}-2x+3=-2x+2$, soit $x^{2}+1=0$ après simplification, les termes en $x$ disparaissant. Cette équation n'a aucune solution réelle, car $x^{2}+1\geq 1>0$ pour tout réel. Les courbes n'ont donc AUCUN point commun, et comme la différence $x^{2}+1$ est toujours strictement positive, la parabole est strictement au-dessus de $D'$.

Les trois positions relatives possibles se lisent donc entièrement sur le DISCRIMINANT de la différence, ce qui donne une méthode uniforme. Un discriminant strictement positif donne deux points d'intersection et une droite qui traverse la parabole ; un discriminant nul donne un point de tangence, la courbe restant d'un seul côté ; un discriminant négatif signifie aucun point commun. Cette lecture rend inutile tout tracé, et elle fournit une méthode d'examen classique : pour trouver les droites tangentes à une parabole, on écrit la différence, on impose $\Delta=0$, et l'on résout en le paramètre, exactement comme le fera l'exercice 6 avec $m$.

a) $\Delta(m)=(-2m)^{2}-4\times 1\times(m+2)=4m^{2}-4m-8=4\left(m^{2}-m-2\right)$. Le trinôme en $m$ entre parenthèses a pour racines évidentes $2$ et $-1$, de somme $1$ et de produit $-2$, d'où $\Delta(m)=4(m-2)(m+1)$. Il faut bien voir que le discriminant est devenu lui-même un trinôme, mais en la variable $m$ et non en $x$.

b) Le signe de $\Delta(m)$ est celui de $(m-2)(m+1)$, trinôme de coefficient dominant positif et de racines $-1$ et $2$ : il est donc positif à l'extérieur et négatif entre. Trois cas s'ensuivent. Si $m<-1$ ou $m>2$, alors $\Delta>0$ et $f_{m}$ a deux racines distinctes. Si $m=-1$ ou $m=2$, alors $\Delta=0$ et $f_{m}$ a une racine double. Si $-1<m<2$, alors $\Delta<0$ et $f_{m}$ n'a aucune racine réelle.

c) Le coefficient dominant de $f_{m}$ vaut $1>0$, donc le trinôme est strictement positif partout EXACTEMENT lorsqu'il ne s'annule jamais, c'est-à-dire lorsque $\Delta<0$. La condition est donc $m\in\ ]-1\,;\,2[$. Le raisonnement combine les deux informations, signe de $a$ et signe de $\Delta$, et aucune des deux ne suffit seule : avec $a<0$, la même condition $\Delta<0$ donnerait un trinôme toujours NÉGATIF.

d) Pour $m=3$ : $f_{3}(x)=x^{2}-6x+5$. Le discriminant vaut $\Delta(3)=4\times(3-2)\times(3+1)=4\times 1\times 4=16$, ce qui confirme au passage la factorisation de a), le calcul direct donnant aussi $36-20=16$ ✓. Donc $\sqrt{\Delta}=4$ et $x=\frac{6\pm 4}{2}$ : les racines sont $1$ et $5$. Cohérence avec b) : $m=3>2$, on attendait bien deux racines distinctes ✓.

e) La somme des racines doit valoir $-\frac{b}{a}=2m=6$, et le produit $\frac{c}{a}=m+2=5$. Or $1+5=6$ ✓ et $1\times 5=5$ ✓ : les deux relations sont vérifiées, ce qui valide les racines trouvées.

Une discussion selon un paramètre se mène toujours dans le même ordre, et l'énoncé le suggère par sa progression. On calcule d'abord le discriminant en fonction du paramètre, on le FACTORISE pour pouvoir en étudier le signe, on discute les trois cas, puis seulement on répond aux questions de positivité en croisant avec le signe de $a$. La difficulté psychologique est qu'il y a deux variables aux rôles très différents : $x$ est l'inconnue de l'équation, $m$ est le paramètre dont on discute, et $\Delta(m)$ est un trinôme en $m$ dont on étudie le signe comme à l'exercice 3. Confondre les deux rôles rend l'exercice incompréhensible.

a) Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût : $B(q)=R(q)-C(q)=24q-\left(q^{2}+4q+20\right)=24q-q^{2}-4q-20=-q^{2}+20q-20$. La parenthèse est indispensable, son oubli changeant le signe de $4q$ et de $20$.

b) $\Delta=20^{2}-4\times(-1)\times(-20)=400-80=320$, en veillant au produit de deux nombres négatifs qui redonne $-80$ une fois multiplié par $-4$. Donc $\sqrt{\Delta}=\sqrt{320}=\sqrt{64\times 5}=8\sqrt{5}$, et les racines sont $q=\frac{-20\pm 8\sqrt{5}}{-2}=10\mp 4\sqrt{5}$, c'est-à-dire $10-4\sqrt{5}$ et $10+4\sqrt{5}$. Notez l'inversion des signes due au dénominateur négatif.

c) Numériquement, $4\sqrt{5}\approx 8{,}944$, donc les racines valent environ $1{,}0557$ et $18{,}944$, la seconde dépassant la borne $15$ de l'intervalle d'étude. Comme $a=-1<0$, le bénéfice est positif ENTRE les racines : il l'est donc pour $q\in\ ]10-4\sqrt{5}\,;\,15]$ compte tenu de la contrainte. Le seuil de rentabilité correspond à environ $1{,}06$ centaine d'articles, soit $106$ articles, en arrondissant vers le HAUT puisqu'il faut dépasser le seuil.

d) On met sous forme canonique : $B(q)=-\left(q^{2}-20q\right)-20=-\left((q-10)^{2}-100\right)-20=-(q-10)^{2}+100-20=-(q-10)^{2}+80$. Le coefficient devant le carré étant négatif, le bénéfice est MAXIMAL lorsque le carré est nul, soit $q=10$, et vaut alors $80$ milliers de dollars. L'entreprise doit donc produire $1\,000$ articles pour un bénéfice de $80\,000$ dollars.

e) Non. La forme canonique le montre sans aucun calcul supplémentaire : $-(q-10)^{2}+80\leq 80$ pour tout $q$, puisqu'on retranche toujours un carré positif ou nul. Le bénéfice maximal possible est donc $80$ milliers de dollars, et l'objectif de $100$ est hors d'atteinte quelle que soit la production.

Cet exercice montre que les deux écritures d'un trinôme répondent à des questions DIFFÉRENTES, et qu'il faut choisir la bonne plutôt que de tout développer par réflexe. La forme factorisée, obtenue via le discriminant en b), donne les racines et donc les seuils de rentabilité. La forme canonique, obtenue en d), donne le sommet et donc l'optimum. Chercher le maximum par le discriminant serait impossible, et chercher le seuil par la forme canonique demanderait de résoudre $(q-10)^{2}=80$, ce qui revient au même travail en moins lisible. On notera enfin la cohérence des deux réponses : le sommet $q=10$ est bien le MILIEU des deux racines, $\frac{(10-4\sqrt{5})+(10+4\sqrt{5})}{2}=10$ ✓, ce qui vaut pour tout trinôme et fournit un contrôle gratuit.

a) On pose $X=x^{2}$, ce qui est licite pour tout réel $x$, avec la contrainte $X\geq 0$. L'équation devient $X^{2}-5X+4=0$, de discriminant $25-16=9$, donc $X=\frac{5\pm 3}{2}$, soit $X=4$ ou $X=1$. Les deux valeurs étant positives, on peut revenir à $x$ : $x^{2}=4$ donne $x=\pm 2$, et $x^{2}=1$ donne $x=\pm 1$. Il y a donc QUATRE solutions : $-2$, $-1$, $1$ et $2$. Oublier les valeurs négatives est l'erreur classique, une équation bicarrée ayant des solutions symétriques deux à deux.

b) On pose $X=2x-1$. L'équation devient $X^{2}-3X-4=0$, de discriminant $9+16=25$, donc $X=\frac{3\pm 5}{2}$, soit $X=4$ ou $X=-1$. Ici aucune contrainte de signe, $2x-1$ pouvant prendre toute valeur réelle. On revient à $x$ : $2x-1=4$ donne $x=\frac{5}{2}$, et $2x-1=-1$ donne $x=0$. Les solutions sont $0$ et $\frac{5}{2}$.

c) On pose d'abord les CONDITIONS : $x+7\geq 0$ pour que la racine existe, et $x+1\geq 0$ car une racine carrée est toujours positive et doit donc égaler une quantité positive, d'où $x\geq-1$. En élevant au carré : $x+7=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$, soit $x^{2}+x-6=0$. Le discriminant vaut $1+24=25$, donc $x=\frac{-1\pm 5}{2}$ : $x=2$ ou $x=-3$. La valeur $-3$ ne vérifie pas $x\geq-1$ et doit être REJETÉE. Il reste $x=2$, que l'on vérifie dans l'équation de départ : $\sqrt{9}=3$ et $2+1=3$ ✓.

d) Parce que l'élévation au carré n'est PAS une équivalence : elle peut créer des solutions parasites. De $A=B$ on déduit bien $A^{2}=B^{2}$, mais la réciproque est fausse, car $A^{2}=B^{2}$ autorise aussi $A=-B$. Ici $x=-3$ vérifie $x+7=(x+1)^{2}$, soit $4=4$, mais pas l'équation initiale, puisque $\sqrt{4}=2$ alors que $-3+1=-2$ : cette valeur est solution de $\sqrt{x+7}=-(x+1)$, l'équation jumelle involontairement introduite.

Le fil commun des trois premières questions est le CHANGEMENT D'INCONNUE, qui ramène une équation compliquée à un second degré, et il impose toujours deux précautions symétriques. En amont, vérifier quelles valeurs la nouvelle inconnue peut prendre, ce qui a servi en a) et en c) mais pas en b) ; en aval, revenir à l'inconnue de départ sans oublier de solutions, un $X$ pouvant en donner deux comme en a). La question d) ajoute la précaution propre aux racines : quand une transformation n'est pas réversible, la vérification finale dans l'équation d'origine n'est pas un luxe, c'est une étape de la résolution.

a) $\Delta=(-5)^{2}-4\times 2\times 3=25-24=1>0$, donc la fonction renvoie $2$. Les solutions sont $\frac{5-1}{4}=1$ et $\frac{5+1}{4}=\frac{3}{2}$, comme à l'exercice 2. La fonction ne renvoie que le NOMBRE de solutions, pas les solutions elles-mêmes, ce qui est l'objet de la question c).

b) Pour $(1,\ -6,\ 9)$ : $\Delta=36-36=0$, la fonction renvoie $1$, la racine double étant $\frac{6}{2}=3$, et l'on reconnaît $(x-3)^{2}$. Pour $(1,\ 4,\ 7)$ : $\Delta=16-28=-12<0$, la fonction renvoie $0$.

c) On calcule le discriminant, puis on renvoie selon son signe une liste vide, une liste à un élément contenant $\frac{-b}{2a}$, ou une liste à deux éléments contenant $\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$. La structure du code reproduit exactement la disjonction de cas du cours, ce qui est la marque d'une bonne traduction : trois branches pour trois situations mathématiques.

d) L'appel donne $\Delta=0^{2}-4\times 1\times(-2)=8>0$, donc $2$, ce qui est CORRECT : les solutions sont $\pm\sqrt{2}$. En revanche, tester l'égalité stricte `delta == 0` devient dangereux dès que les coefficients proviennent de calculs approchés. Un discriminant qui devrait valoir exactement $0$ peut être calculé comme $10^{-16}$ à cause des arrondis de la représentation en virgule flottante, et la fonction renverrait alors $2$ au lieu de $1$, en produisant deux racines quasi identiques. En pratique on teste donc `abs(delta) < epsilon` pour un seuil $\varepsilon$ petit mais non nul.

Le problème soulevé en d) dépasse largement cet exercice et vaut d'être retenu : en machine, on ne teste JAMAIS l'égalité de deux nombres décimaux issus de calculs, on teste que leur écart est inférieur à une tolérance. L'exemple canonique est $0{,}1+0{,}2$, qui ne vaut pas exactement $0{,}3$ en représentation binaire. C'est aussi pourquoi tous les contrôles numériques de ces corrigés s'écrivent sous la forme d'une valeur absolue comparée à un seuil, plutôt que par une égalité stricte. Le choix du seuil est un vrai arbitrage : trop grand, il fusionne des racines réellement distinctes ; trop petit, il ne corrige rien.

from math import sqrt

def solutions(a, b, c):
    delta = b*b - 4*a*c
    if delta > 0:
        return [(-b - sqrt(delta))/(2*a), (-b + sqrt(delta))/(2*a)]
    elif delta == 0:
        return [-b/(2*a)]
    else:
        return []

a) FAUX. Un discriminant strictement positif signifie exactement que le trinôme possède deux racines distinctes, donc qu'il CHANGE DE SIGNE en les traversant : il ne peut pas être positif partout. Contre-exemple : $x^{2}-1$ a pour discriminant $0-4\times 1\times(-1)=4>0$, et pourtant il vaut $-1$ en $x=0$. La confusion vient sans doute du mot positif, appliqué tantôt au discriminant, tantôt au trinôme, alors que les deux n'ont aucun rapport direct.