Exercice 0.1 : Résoudre une équation du second degré : douze calculs directs

Pour chaque équation, résolvez dans $\mathbb{R}$ , puis donnez les solutions de la plus petite à la plus grande. Une solution exacte non entière se tape en fraction, comme $-1/3$ ; une solution irrationnelle se donne au millième.

Une seule méthode pour les douze lignes : ramener d'abord le second membre à zéro, puis REGARDER le trinôme avant de calculer. Un terme constant nul se factorise par $x$ , un terme en $x$ nul s'isole en $x^{2}=k$ , une racine évidente ou deux entiers de somme $-\frac{b}{a}$ et de produit $\frac{c}{a}$ donnent tout sans calcul. Le discriminant $\Delta=b^{2}-4ac$ ne sert que quand rien ne se voit.

a) $4x^{2}+6x=0$
b) $3x^{2}-48=0$
c) $x^{2}-13x+40=0$
d) $2x^{2}+7x+5=0$
e) $x^{2}+6x-16=0$
f) $6x^{2}-x-2=0$
g) $4x^{2}+20x+25=0$
h) $2x^{2}-3x+4=0$
i) $-3x^{2}+5x+2=0$
j) $3x^{2}=7x+6$
k) $2x^{2}+2x-1=0$
l) $(2x+1)(x-3)=-5$

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/23

a)

Plus petite solution

Plus grande solution

b)

Plus petite solution

Plus grande solution

c)

Plus petite solution

Plus grande solution

d)

Plus petite solution

Plus grande solution

e)

Plus petite solution

Plus grande solution

f)

Plus petite solution

Plus grande solution

g)

Nombre de solutions

Solution

h)

Nombre de solutions

i)

Plus petite solution

Plus grande solution

j)

Plus petite solution

Plus grande solution

k)

Plus petite solution

Plus grande solution

l)

Plus petite solution

Plus grande solution

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Réponses

a) $2x(2x+3)=0$ ; $-\frac{3}{2}$ et $0$
b) $x^{2}=16$ ; $-4$ et $4$
c) $(x-5)(x-8)=0$ ; $5$ et $8$
d) racine évidente $-1$ ; $-\frac{5}{2}$ et $-1$
e) $\Delta=100$ ; $-8$ et $2$
f) $\Delta=49$ ; $-\frac{1}{2}$ et $\frac{2}{3}$
g) $\Delta=0$ , $(2x+5)^{2}=0$ ; une solution, $-\frac{5}{2}$
h) $\Delta=-23<0$ ; aucune solution
i) $\Delta=49$ ; $-\frac{1}{3}$ et $2$
j) $3x^{2}-7x-6=0$ , $\Delta=121$ ; $-\frac{2}{3}$ et $3$
k) $\Delta=12$ ; $\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$ , soit $-1{,}366$ et $0{,}366$
l) $2x^{2}-5x+2=0$ , $\Delta=9$ ; $\frac{1}{2}$ et $2$

Le geste qui décide de tout se fait AVANT le discriminant : mettre l'équation sous la forme $ax^{2}+bx+c=0$ , puis lire $a$ , $b$ et $c$ avec leur signe. La moitié des lignes se résout sans $\Delta$ , et dans l'autre moitié les erreurs viennent presque toutes d'un signe de $b$ ou de $c$ mal recopié.

a)

Pas de terme constant : on factorise par $2x$ , $2x(2x+3)=0$ . Un produit est nul si l'un de ses facteurs l'est : $x=0$ ou $x=-\frac{3}{2}$ . Solutions $-\frac{3}{2}$ et $0$ . Piège : diviser les deux membres par $x$ , qui fait perdre la solution $0$ .

b)

Pas de terme en $x$ : $3x^{2}=48$ , donc $x^{2}=16$ , et $x=-4$ ou $x=4$ . Piège : écrire seulement $x=4$ , alors que $(-4)^{2}=16$ aussi.

c)

On cherche deux entiers de somme $13$ et de produit $40$ : $5$ et $8$ . Donc $x^{2}-13x+40=(x-5)(x-8)$ , et les solutions sont $5$ et $8$ . Vérification : $25-65+40=0$ .

d)

$2\times(-1)^{2}+7\times(-1)+5=2-7+5=0$ : $-1$ est racine évidente. Le produit des racines vaut $\frac{c}{a}=\frac{5}{2}$ , donc l'autre racine est $\frac{5}{2}\div(-1)=-\frac{5}{2}$ . Solutions $-\frac{5}{2}$ et $-1$ . Piège : tester seulement $x=1$ , qui donne $14$ , et partir au discriminant ; ou oublier le signe de la racine évidente dans la division.

e)

$\Delta=6^{2}-4\times1\times(-16)=36+64=100$ , $\sqrt{\Delta}=10$ . $x=\frac{-6-10}{2}=-8$ et $x=\frac{-6+10}{2}=2$ . Solutions $-8$ et $2$ .

f)

$\Delta=(-1)^{2}-4\times6\times(-2)=1+48=49$ , $\sqrt{\Delta}=7$ . $x=\frac{1-7}{12}=-\frac{1}{2}$ et $x=\frac{1+7}{12}=\frac{2}{3}$ . Piège : $-b$ vaut $+1$ ici, et le dénominateur est $2a=12$ , pas $6$ .

g)

$\Delta=20^{2}-4\times4\times25=400-400=0$ : une seule solution, $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{20}{8}=-\frac{5}{2}$ . On le voit aussi : $4x^{2}+20x+25=(2x+5)^{2}$ .

h)

$\Delta=(-3)^{2}-4\times2\times4=9-32=-23<0$ : aucune solution réelle. Piège : écrire $(-3)^{2}=-9$ , qui donne $\Delta=-41$ par chance du même signe, mais une erreur qui coûtera ailleurs.

i)

$a=-3$ , $b=5$ , $c=2$ : $\Delta=25-4\times(-3)\times2=25+24=49$ . $x=\frac{-5+7}{-6}=-\frac{1}{3}$ et $x=\frac{-5-7}{-6}=2$ . Solutions $-\frac{1}{3}$ et $2$ . Piège : avec $2a=-6$ , le « $+\sqrt{\Delta}$ » donne la PLUS PETITE racine ; plus sûr, multiplier d'abord par $-1$ : $3x^{2}-5x-2=0$ .

j)

On ramène à zéro : $3x^{2}-7x-6=0$ . $\Delta=49-4\times3\times(-6)=49+72=121$ , $\sqrt{\Delta}=11$ . $x=\frac{7-11}{6}=-\frac{2}{3}$ et $x=\frac{7+11}{6}=3$ . Piège : garder $+6$ en passant le terme à gauche, ce qui donne $\Delta=-23$ et « aucune solution ».

k)

$\Delta=4-4\times2\times(-1)=12$ , $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ . $x=\frac{-2\pm2\sqrt{3}}{4}=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$ , soit $x\approx-1{,}366$ et $x\approx0{,}366$ .

l)

Le second membre n'est pas nul : on développe, $2x^{2}-6x+x-3=-5$ , soit $2x^{2}-5x+2=0$ . $\Delta=25-16=9$ , $x=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}$ et $x=\frac{5+3}{4}=2$ . Piège : écrire $2x+1=-5$ ou $x-3=-5$ ; la règle du produit nul ne vaut que pour un produit égal à $0$ .

Contrôle : chaque solution, remise dans l'équation de départ, doit donner une égalité vraie ; et pour deux solutions, leur somme vaut $-\frac{b}{a}$ et leur produit $\frac{c}{a}$ , ce qui se vérifie de tête ( $-\frac{1}{3}+2=\frac{5}{3}$ et $-\frac{1}{3}\times2=-\frac{2}{3}$ à la ligne i).

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Exercice 0.2 : Résoudre une inéquation du second degré : dix calculs directs

Pour chaque inéquation, résolvez dans $\mathbb{R}$ et donnez l'ensemble des solutions. Un intervalle se tape avec ses crochets, comme $]-\infty\,;3]$ en écrivant ]-inf;3] ; une réunion de deux intervalles se donne morceau par morceau ; $\mathbb{R}$ s'écrit ]-inf;+inf[.

Une seule méthode pour les dix lignes : ramener le second membre à zéro, trouver les racines du trinôme (à vue ou par $\Delta$ ), puis appliquer la règle du signe. Le trinôme a le signe de $a$ À L'EXTÉRIEUR des racines et le signe contraire ENTRE elles ; sans racine, il a partout le signe de $a$ . Les crochets suivent l'inégalité : fermés pour une inégalité large, ouverts pour une stricte, toujours ouverts sur l'infini.

a) $x^{2}-x-12>0$
b) $2x^{2}+3x-2\leq 0$
c) $-x^{2}+2x+8\leq 0$
d) $4x^{2}-12x+9\geq 0$
e) $x^{2}+10x+25>0$
f) $3x^{2}-2x+1>0$
g) $-2x^{2}+x-1>0$
h) $(3-x)(2x+5)\geq 0$
i) $x^{2}-3x+4\geq 14$
j) $3x^{2}+7x<0$

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/14

a)

Morceau de gauche ;

Morceau de droite ;

b)

Ensemble des solutions ;

c)

Morceau de gauche ;

Morceau de droite ;

d)

Ensemble des solutions ;

e)

Morceau de gauche ;

Morceau de droite ;

f)

Ensemble des solutions ;

g)

Ensemble des solutions

h)

Ensemble des solutions ;

i)

Morceau de gauche ;

Morceau de droite ;

j)

Ensemble des solutions ;

Voir la correction

Réponses

a) racines $-3$ et $4$ , $a>0$ ; $\left]-\infty\,;-3\right[\cup\left]4\,;+\infty\right[$
b) racines $-2$ et $\frac{1}{2}$ , $a>0$ ; $\left[-2\,;\frac{1}{2}\right]$
c) racines $-2$ et $4$ , $a<0$ ; $\left]-\infty\,;-2\right]\cup\left[4\,;+\infty\right[$
d) $(2x-3)^{2}\geq 0$ ; $\mathbb{R}$
e) $(x+5)^{2}>0$ ; $\left]-\infty\,;-5\right[\cup\left]-5\,;+\infty\right[$
f) $\Delta=-8$ , $a>0$ ; $\mathbb{R}$
g) $\Delta=-7$ , $a<0$ ; $\varnothing$
h) racines $-\frac{5}{2}$ et $3$ , $a=-2$ ; $\left[-\frac{5}{2}\,;3\right]$
i) $x^{2}-3x-10\geq 0$ ; $\left]-\infty\,;-2\right]\cup\left[5\,;+\infty\right[$
j) $x(3x+7)<0$ ; $\left]-\frac{7}{3}\,;0\right[$

Le geste qui décide de tout : lire le signe de $a$ AVANT de conclure. Les racines disent où le trinôme change de signe, le signe de $a$ dit lequel des deux côtés est positif. Un tableau de signes à trois colonnes, ou la parabole esquissée tournée vers le haut ou vers le bas, suffit à chaque ligne.

a)

Deux entiers de somme $1$ et de produit $-12$ : $-3$ et $4$ . $a=1>0$ , le trinôme est positif à l'extérieur des racines, et l'inégalité est stricte : $S=\left]-\infty\,;-3\right[\cup\left]4\,;+\infty\right[$ .

b)

$\Delta=9+16=25$ , racines $\frac{-3-5}{4}=-2$ et $\frac{-3+5}{4}=\frac{1}{2}$ . $a=2>0$ : négatif entre les racines, bornes comprises : $S=\left[-2\,;\frac{1}{2}\right]$ .

c)

$\Delta=4+32=36$ , racines $\frac{-2+6}{-2}=-2$ et $\frac{-2-6}{-2}=4$ . $a=-1<0$ : le trinôme est NÉGATIF à l'extérieur des racines, donc $S=\left]-\infty\,;-2\right]\cup\left[4\,;+\infty\right[$ . Piège : répondre $[-2\,;4]$ en appliquant la règle d'un $a$ positif.

d)

$\Delta=144-144=0$ et $4x^{2}-12x+9=(2x-3)^{2}$ . Un carré est toujours positif ou nul : $S=\mathbb{R}$ .

e)

$x^{2}+10x+25=(x+5)^{2}$ , positif partout et nul seulement en $-5$ . L'inégalité est STRICTE, donc $-5$ est exclu : $S=\left]-\infty\,;-5\right[\cup\left]-5\,;+\infty\right[$ . Piège : répondre $\mathbb{R}$ comme à la ligne d).

f)

$\Delta=4-12=-8<0$ : pas de racine, le trinôme a partout le signe de $a=3>0$ . $S=\mathbb{R}$ .

g)

$\Delta=1-8=-7<0$ : pas de racine, le trinôme a partout le signe de $a=-2<0$ , il n'est jamais strictement positif. $S=\varnothing$ .

h)

Le trinôme est déjà factorisé : racines $3$ et $-\frac{5}{2}$ . En développant le seul terme en $x^{2}$ , $-x\times2x=-2x^{2}$ , donc $a=-2<0$ : positif entre les racines, bornes comprises. $S=\left[-\frac{5}{2}\,;3\right]$ . Piège : prendre $a=2$ en lisant le facteur $2x+5$ seul.

i)

On ramène à zéro : $x^{2}-3x-10\geq 0$ . Deux entiers de somme $3$ et de produit $-10$ : $-2$ et $5$ . $a>0$ : positif à l'extérieur, bornes comprises : $S=\left]-\infty\,;-2\right]\cup\left[5\,;+\infty\right[$ . Piège : étudier $x^{2}-3x+4$ , dont le discriminant est négatif, et répondre $\mathbb{R}$ .

j)

Facteur commun : $x(3x+7)<0$ , racines $-\frac{7}{3}$ et $0$ . $a=3>0$ : négatif entre les racines, inégalité stricte : $S=\left]-\frac{7}{3}\,;0\right[$ . Piège : diviser par $x$ , dont le signe est inconnu.

Contrôle : on teste un réel dans chaque morceau trouvé et un réel hors de l'ensemble. À la ligne c), $x=5$ donne $-25+10+8=-7\leq 0$ , il est bien solution, et $x=0$ donne $8$ , il ne l'est pas.

Exercice 1 : QCM

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée. Chaque bonne réponse rapporte 2 points, une absence de réponse 0 point.

1) Le discriminant de $2x^2-5x+3$ vaut : A) $1$ • B) $49$ • C) $-1$ • D) $25$
2) La forme canonique de $x^2-6x+11$ est : A) $(x-3)^2+2$ • B) $(x-3)^2-2$ • C) $(x+3)^2+2$ • D) $(x-6)^2+11$
3) Le trinôme $-x^2+4x-5$ est : A) toujours positif • B) toujours négatif • C) de signe variable • D) nul en $2$
4) Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $x^2-7x+10$ , alors $x_1+x_2$ vaut : A) $-7$ • B) $7$ • C) $10$ • D) $-10$
5) L'ensemble des solutions de $x^2-9\geq 0$ est : A) $[-3;3]$ • B) $]-\infty;-3]\cup[3;+\infty[$ • C) $[3;+\infty[$ • D) l'ensemble vide

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Réponses

1) A ( $\Delta=1$ )
2) A : $(x-3)^{2}+2$
3) B : toujours négatif
4) B : $7$
5) B : $]-\infty;-3]\cup[3;+\infty[$

1)

Réponse A. $\Delta=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\times 2\times 3=25-24=1$ . Attention au carré d'un nombre négatif, qui vaut $+25$ : la réponse B, $49$ , correspondrait à l'oubli du carré sur le signe combiné à une erreur, et la réponse C au calcul $24-25$ , c'est-à-dire à l'inversion de l'ordre de la soustraction.

2)

Réponse A. On complète le carré : $x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$ , en prenant la moitié de $-6$ et en retranchant son carré. Donc $x^{2}-6x+11=(x-3)^{2}-9+11=(x-3)^{2}+2$ . Le contrôle est immédiat, il suffit d'évaluer en un point : en $x=0$ , l'énoncé donne $11$ et la forme canonique $9+2=11$ ✓.

3)

Réponse B. $\Delta=4^{2}-4\times(-1)\times(-5)=16-20=-4<0$ , donc le trinôme ne s'annule JAMAIS et garde partout le signe de $a=-1$ : il est toujours strictement négatif. La réponse D est un piège tentant, car $2$ est bien l'abscisse du sommet, mais le trinôme y vaut $-4+8-5=-1$ et non $0$ .

4)

Réponse B. La somme des racines vaut $-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{1}=7$ . La réponse A correspond à l'oubli du signe moins, erreur si fréquente qu'un contrôle mental s'impose : les racines sont ici $2$ et $5$ , toutes deux positives, donc leur somme ne peut pas être négative. Leur produit vaut d'ailleurs $\frac{c}{a}=10=2\times 5$ ✓.

5)

Réponse B. $x^{2}-9=(x-3)(x+3)$ , trinôme de coefficient dominant POSITIF : il est donc positif à l'EXTÉRIEUR de ses racines $-3$ et $3$ , et négatif entre elles. La réponse A intervertit exactement les deux zones, et la réponse C oublie la moitié gauche, celle des $x$ très négatifs, dont le carré est pourtant grand.

La règle de signe utilisée aux questions 3 et 5 est celle qu'il faut retenir avant toute autre, car elle résout à elle seule la moitié des questions du chapitre : un trinôme est TOUJOURS du signe de $a$ , sauf strictement entre ses racines lorsqu'il en possède deux. Autrement dit, le discriminant ne sert pas d'abord à trouver les racines, il sert à savoir s'il y a une exception à la règle, et le cas $\Delta<0$ signifie simplement qu'il n'y en a aucune.

Exercice 2 : Résoudre par le discriminant

Résolvez dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes. Calculez à chaque fois le discriminant et concluez.

a) $2x^2-5x+3=0$
b) $x^2+4x+7=0$
c) $9x^2-6x+1=0$
d) $3x^2+5x-2=0$

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Réponses

a) $\Delta=1$ : $x=1$ ou $x=\frac{3}{2}$
b) $\Delta=-12$ : aucune solution réelle
c) $\Delta=0$ : racine double $x=\frac{1}{3}$
d) $\Delta=49$ : $x=-2$ ou $x=\frac{1}{3}$

a)

$\Delta=(-5)^{2}-4\times 2\times 3=25-24=1>0$ , donc l'équation admet DEUX racines distinctes : $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm 1}{4}$ , soit $x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$ et $x=\frac{4}{4}=1$ . Contrôle par la somme et le produit : $1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}=-\frac{b}{a}$ ✓ et $1\times\frac{3}{2}=\frac{3}{2}=\frac{c}{a}$ ✓.

b)

$\Delta=4^{2}-4\times 1\times 7=16-28=-12<0$ : l'équation n'admet AUCUNE solution réelle. La rédaction attendue s'arrête là, sans tentative de racine carrée d'un nombre négatif. Géométriquement, la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses ; comme $a=1>0$ , elle est entièrement au-dessus.

c)

$\Delta=(-6)^{2}-4\times 9\times 1=36-36=0$ : il y a une RACINE DOUBLE, $x=\frac{-b}{2a}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$ . On peut d'ailleurs s'en passer du discriminant en reconnaissant l'identité remarquable $9x^{2}-6x+1=(3x-1)^{2}$ , nulle si et seulement si $3x=1$ . Un discriminant nul signale toujours un carré parfait, et la parabole est alors TANGENTE à l'axe des abscisses, situation reprise à l'exercice 5.

d)

$\Delta=5^{2}-4\times 3\times(-2)=25+24=49>0$ , l'attention portant sur le double signe moins qui donne un $+24$ . Donc $\sqrt{\Delta}=7$ et $x=\frac{-5\pm 7}{6}$ , soit $x=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ et $x=\frac{-12}{6}=-2$ . Contrôle : $\frac{1}{3}\times(-2)=-\frac{2}{3}=\frac{c}{a}$ ✓.

Les quatre cas de cet exercice couvrent les trois situations possibles et méritent d'être vus comme un tout. Un discriminant strictement positif donne deux racines et une parabole qui TRAVERSE l'axe deux fois ; un discriminant nul donne une racine double et une parabole tangente ; un discriminant négatif ne donne aucune racine et une parabole entièrement d'un côté. Le contrôle par la somme et le produit, illustré en a) et d), coûte dix secondes et détecte presque toutes les erreurs de calcul ; il est d'autant plus utile que la formule des racines comporte quatre occasions de se tromper de signe.

Exercice 3 : Signe du trinôme et inéquations

Chaque réponse doit être justifiée par un tableau de signe.

a) Étudiez le signe de $f(x)=-2x^2+7x-3$ sur $\mathbb{R}$ .
b) Résolvez $-2x^2+7x-3\geq 0$ .
c) Résolvez $\frac{x^2-5x+6}{x+1}\geq 0$ .
d) Pour la question c), expliquez pourquoi la valeur $-1$ est exclue alors que $2$ et $3$ sont incluses.

Voir la correction

Réponses

a) Racines $\frac{1}{2}$ et $3$ ; $f$ positive entre elles, négative à l'extérieur
b) $S=\left[\frac{1}{2};3\right]$
c) $S=]-1;2]\cup[3;+\infty[$
d) $2$ et $3$ annulent le numérateur (inclus) ; $-1$ annule le dénominateur (toujours exclu)

a)

$\Delta=7^{2}-4\times(-2)\times(-3)=49-24=25>0$ , donc $\sqrt{\Delta}=5$ et les racines sont $x=\frac{-7\pm 5}{2\times(-2)}=\frac{-7\pm 5}{-4}$ , soit $x=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}$ et $x=\frac{-12}{-4}=3$ . Comme $a=-2<0$ , le trinôme est NÉGATIF à l'extérieur des racines et POSITIF entre elles. On peut le confirmer en testant trois valeurs, une par zone : $f(0)=-3<0$ , $f(1)=2>0$ et $f(4)=-7<0$ ✓.

b)

D'après le tableau de signes, l'ensemble solution de $f(x)\geq 0$ est le segment $\left[\frac{1}{2}\,;\,3\right]$ . Les crochets sont FERMÉS parce que l'inégalité est large et que le trinôme s'annule effectivement en ces deux points.

c)

On factorise le numérateur : $x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$ , de racines $2$ et $3$ , et le dénominateur s'annule en $-1$ . Le tableau de signes se dresse donc sur quatre intervalles, $]-\infty;-1[$ , $]-1;2[$ , $]2;3[$ et $]3;+\infty[$ , où le quotient vaut respectivement négatif, positif, négatif puis positif. L'ensemble solution est $]-1;2]\cup[3;+\infty[$ . Le point de méthode est de ne JAMAIS multiplier par le dénominateur, dont le signe est inconnu et renverserait l'inégalité une fois sur deux : on étudie le signe du quotient tel quel.

d)

En $2$ et en $3$ , le NUMÉRATEUR s'annule : le quotient vaut $0$ , ce qui satisfait une inégalité large, et ces valeurs sont donc incluses. En $-1$ , c'est le DÉNOMINATEUR qui s'annule : le quotient n'existe pas, la valeur est hors du domaine et doit être exclue, le crochet restant ouvert.

La question d) porte le vrai enseignement de l'exercice, et c'est le genre de détail qui distingue une copie soignée : une borne s'inclut ou s'exclut pour deux raisons distinctes qu'il ne faut pas confondre. Une racine du numérateur s'inclut si l'inégalité est large et s'exclut si elle est stricte ; une valeur interdite s'exclut TOUJOURS, quelle que soit l'inégalité, car il n'y a rien à évaluer. On peut ajouter une remarque utile pour la suite du programme : le signe du quotient change bien en $-1$ comme il changerait en une racine simple, un dénominateur qui s'annule inversant le signe exactement comme un numérateur.

Exercice 4 : Somme et produit des racines

On note $x_1$ et $x_2$ les racines de l'équation $x^2-7x+10=0$ .

Les questions a) à c) se traitent sans calculer les racines.

a) Donnez $S=x_1+x_2$ et $P=x_1x_2$ .
b) Calculez $x_1^2+x_2^2$ à l'aide de $S$ et $P$ .
c) Calculez $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$ .
d) Déterminez un trinôme du second degré, de coefficient dominant 1, dont les racines sont $3$ et $-4$ .
e) Déterminez deux nombres dont la somme vaut $12$ et le produit $35$ .

Voir la correction

Réponses

a) $S=7$ , $P=10$
b) $S^{2}-2P=29$
c) $\frac{S}{P}=0{,}7$
d) $x^{2}+x-12$
e) $5$ et $7$

a)

Les relations coefficients-racines donnent directement $S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{1}=7$ et $P=x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{10}{1}=10$ . Le signe moins ne porte que sur la somme, jamais sur le produit, et c'est la seule chose à retenir dans ces deux formules.

b)

On ne calcule pas les racines, on utilise l'identité remarquable dans l'autre sens : $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=S^{2}-2P=49-20=29$ . Le geste consiste à faire apparaître le carré de la somme, puis à retirer le double produit qu'il a introduit en trop.

c)

On met au même dénominateur : $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{S}{P}=\frac{7}{10}=0{,}7$ . Cette écriture suppose implicitement que ni $x_{1}$ ni $x_{2}$ n'est nul, ce qui est garanti ici par $P=10\neq 0$ .

d)

On procède à l'envers : la somme vaut $3+(-4)=-1$ et le produit $3\times(-4)=-12$ . Un trinôme unitaire de somme $S$ et de produit $P$ s'écrit $x^{2}-Sx+P$ , donc ici $x^{2}-(-1)x+(-12)=x^{2}+x-12$ . Vérification par factorisation : $(x-3)(x+4)=x^{2}+4x-3x-12=x^{2}+x-12$ ✓.

e)

Ces deux nombres sont, par définition des relations coefficients-racines, les racines de $x^{2}-12x+35=0$ . Le discriminant vaut $144-140=4$ , donc $\sqrt{\Delta}=2$ et $x=\frac{12\pm 2}{2}$ : les nombres cherchés sont $5$ et $7$ . Vérification : $5+7=12$ ✓ et $5\times 7=35$ ✓.

Ces relations valent d'être vues comme un OUTIL DE CONTOURNEMENT plutôt que comme des formules de plus. Chaque fois qu'une question porte sur une expression SYMÉTRIQUE des deux racines, c'est-à-dire inchangée quand on les échange, comme leur somme, leur produit, la somme de leurs carrés ou celle de leurs inverses, on peut répondre sans jamais les calculer. C'est décisif quand les racines sont irrationnelles : pour $x^{2}-4x+1$ , dont les racines valent $2\pm\sqrt{3}$ , la somme des carrés se calcule mentalement, $16-2=14$ , alors que le calcul direct exigerait de développer deux carrés de sommes contenant des racines.

Exercice 5 : Position relative de deux courbes

Dans un repère, on note $P$ la parabole d'équation $y=x^2-2x+3$ , $D$ la droite d'équation $y=2x-1$ et $D'$ la droite d'équation $y=-2x+2$ .

a) Déterminez les points d'intersection de $P$ et $D$ .
b) Étudiez le signe de la différence et déduisez-en la position de $P$ par rapport à $D$ .
c) Quelle particularité géométrique le résultat de la question a) traduit-il ?
d) Déterminez les points d'intersection de $P$ et $D'$ , et concluez.

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Réponses

a) Un seul point : $(2\,;3)$
b) $P(x)-D(x)=(x-2)^{2}\geq 0$ : $P$ au-dessus de $D$
c) $D$ est tangente à $P$ en $(2\,;3)$
d) $x^{2}+1=0$ sans solution : aucun point commun, $P$ strictement au-dessus de $D'$

a)

Chercher les points communs revient à résoudre $x^{2}-2x+3=2x-1$ , soit $x^{2}-4x+4=0$ après avoir tout ramené du même côté. Le discriminant vaut $16-16=0$ : il y a une racine DOUBLE, $x=2$ . L'ordonnée s'obtient dans l'une ou l'autre équation, de préférence la plus simple : $2\times 2-1=3$ . Le point d'intersection unique est donc $(2\,;\,3)$ , et l'on vérifie avec la parabole : $4-4+3=3$ ✓.

b)

La différence vaut $P(x)-D(x)=x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}$ , qui est positive ou nulle pour tout réel. La parabole est donc TOUJOURS au-dessus de la droite $D$ , avec un contact unique en $x=2$ . Étudier la différence est la seule méthode correcte pour comparer deux courbes ; comparer les expressions terme à terme n'a aucun sens.

c)

Un point d'intersection double, accompagné d'une différence qui ne CHANGE PAS de signe, signifie que la droite $D$ est TANGENTE à la parabole au point $(2\,;\,3)$ . Les deux caractères comptent : deux courbes peuvent se couper en un seul point sans être tangentes, si la différence y change de signe.

d)

On résout $x^{2}-2x+3=-2x+2$ , soit $x^{2}+1=0$ après simplification, les termes en $x$ disparaissant. Cette équation n'a aucune solution réelle, car $x^{2}+1\geq 1>0$ pour tout réel. Les courbes n'ont donc AUCUN point commun, et comme la différence $x^{2}+1$ est toujours strictement positive, la parabole est strictement au-dessus de $D'$ .

Les trois positions relatives possibles se lisent donc entièrement sur le DISCRIMINANT de la différence, ce qui donne une méthode uniforme. Un discriminant strictement positif donne deux points d'intersection et une droite qui traverse la parabole ; un discriminant nul donne un point de tangence, la courbe restant d'un seul côté ; un discriminant négatif signifie aucun point commun. Cette lecture rend inutile tout tracé, et elle fournit une méthode d'examen classique : pour trouver les droites tangentes à une parabole, on écrit la différence, on impose $\Delta=0$ , et l'on résout en le paramètre, exactement comme le fera l'exercice 6 avec $m$ .

Exercice 6 : Discussion selon un paramètre

Pour tout réel $m$ , on considère le trinôme $f_m(x)=x^2-2mx+m+2$ .

a) Exprimez le discriminant $\Delta(m)$ en fonction de $m$ , puis factorisez-le.
b) Discutez, selon les valeurs de $m$ , le nombre de racines de $f_m$ .
c) Déterminez toutes les valeurs de $m$ pour lesquelles $f_m(x)>0$ pour tout réel $x$ .
d) Pour $m=3$ , résolvez $f_m(x)=0$ .
e) Pour $m=3$ , vérifiez le résultat à l'aide de la somme et du produit des racines.

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Réponses

a) $\Delta(m)=4(m-2)(m+1)$
b) Deux racines si $m<-1$ ou $m>2$ ; une si $m=-1$ ou $m=2$ ; aucune si $-1<m<2$
c) $m\in\,]-1;2[$
d) $x=1$ ou $x=5$
e) Somme $6=2m$ , produit $5=m+2$

a)

$\Delta(m)=(-2m)^{2}-4\times 1\times(m+2)=4m^{2}-4m-8=4\left(m^{2}-m-2\right)$ . Le trinôme en $m$ entre parenthèses a pour racines évidentes $2$ et $-1$ , de somme $1$ et de produit $-2$ , d'où $\Delta(m)=4(m-2)(m+1)$ . Il faut bien voir que le discriminant est devenu lui-même un trinôme, mais en la variable $m$ et non en $x$ .

b)

Le signe de $\Delta(m)$ est celui de $(m-2)(m+1)$ , trinôme de coefficient dominant positif et de racines $-1$ et $2$ : il est donc positif à l'extérieur et négatif entre. Trois cas s'ensuivent. Si $m<-1$ ou $m>2$ , alors $\Delta>0$ et $f_{m}$ a deux racines distinctes. Si $m=-1$ ou $m=2$ , alors $\Delta=0$ et $f_{m}$ a une racine double. Si $-1<m<2$ , alors $\Delta<0$ et $f_{m}$ n'a aucune racine réelle.

c)

Le coefficient dominant de $f_{m}$ vaut $1>0$ , donc le trinôme est strictement positif partout EXACTEMENT lorsqu'il ne s'annule jamais, c'est-à-dire lorsque $\Delta<0$ . La condition est donc $m\in\ ]-1\,;\,2[$ . Le raisonnement combine les deux informations, signe de $a$ et signe de $\Delta$ , et aucune des deux ne suffit seule : avec $a<0$ , la même condition $\Delta<0$ donnerait un trinôme toujours NÉGATIF.

d)

Pour $m=3$ : $f_{3}(x)=x^{2}-6x+5$ . Le discriminant vaut $\Delta(3)=4\times(3-2)\times(3+1)=4\times 1\times 4=16$ , ce qui confirme au passage la factorisation de a), le calcul direct donnant aussi $36-20=16$ ✓. Donc $\sqrt{\Delta}=4$ et $x=\frac{6\pm 4}{2}$ : les racines sont $1$ et $5$ . Cohérence avec b) : $m=3>2$ , on attendait bien deux racines distinctes ✓.

e)

La somme des racines doit valoir $-\frac{b}{a}=2m=6$ , et le produit $\frac{c}{a}=m+2=5$ . Or $1+5=6$ ✓ et $1\times 5=5$ ✓ : les deux relations sont vérifiées, ce qui valide les racines trouvées.

Une discussion selon un paramètre se mène toujours dans le même ordre, et l'énoncé le suggère par sa progression. On calcule d'abord le discriminant en fonction du paramètre, on le FACTORISE pour pouvoir en étudier le signe, on discute les trois cas, puis seulement on répond aux questions de positivité en croisant avec le signe de $a$ . La difficulté psychologique est qu'il y a deux variables aux rôles très différents : $x$ est l'inconnue de l'équation, $m$ est le paramètre dont on discute, et $\Delta(m)$ est un trinôme en $m$ dont on étudie le signe comme à l'exercice 3. Confondre les deux rôles rend l'exercice incompréhensible.

Exercice 7 : Problème : bénéfice et seuil de rentabilité

Une entreprise fabrique et vend $q$ centaines d'articles, avec $0\leq q\leq 15$ .

Le coût total de production, en milliers de dollars, est $C(q)=q^2+4q+20$ . Chaque centaine d'articles est vendue 24 milliers de dollars, donc la recette est $R(q)=24q$ .

a) Montrez que le bénéfice, en milliers de dollars, est $B(q)=-q^2+20q-20$ .
b) Calculez le discriminant de $B$ et déterminez ses racines en valeur exacte.
c) Déterminez le seuil de rentabilité, c'est-à-dire la production à partir de laquelle le bénéfice devient positif. Arrondissez à l'article près.
d) Mettez $B$ sous forme canonique et déduisez-en la production qui maximise le bénéfice, ainsi que ce bénéfice maximal.
e) L'entreprise peut-elle atteindre un bénéfice de 100 milliers de dollars ? Justifiez.

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Réponses

a) $B(q)=24q-(q^{2}+4q+20)=-q^{2}+20q-20$
b) $\Delta=320$ ; racines $10-4\sqrt{5}\approx 1{,}056$ et $10+4\sqrt{5}\approx 18{,}944$
c) Seuil : $106$ articles
d) $B(q)=-(q-10)^{2}+80$ : maximum $80$ milliers de dollars pour $1\,000$ articles
e) Non : $B(q)\leq 80$

a)

Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût : $B(q)=R(q)-C(q)=24q-\left(q^{2}+4q+20\right)=24q-q^{2}-4q-20=-q^{2}+20q-20$ . La parenthèse est indispensable, son oubli changeant le signe de $4q$ et de $20$ .

b)

$\Delta=20^{2}-4\times(-1)\times(-20)=400-80=320$ , en veillant au produit de deux nombres négatifs qui redonne $-80$ une fois multiplié par $-4$ . Donc $\sqrt{\Delta}=\sqrt{320}=\sqrt{64\times 5}=8\sqrt{5}$ , et les racines sont $q=\frac{-20\pm 8\sqrt{5}}{-2}=10\mp 4\sqrt{5}$ , c'est-à-dire $10-4\sqrt{5}$ et $10+4\sqrt{5}$ . Notez l'inversion des signes due au dénominateur négatif.

c)

Numériquement, $4\sqrt{5}\approx 8{,}944$ , donc les racines valent environ $1{,}0557$ et $18{,}944$ , la seconde dépassant la borne $15$ de l'intervalle d'étude. Comme $a=-1<0$ , le bénéfice est positif ENTRE les racines : il l'est donc pour $q\in\ ]10-4\sqrt{5}\,;\,15]$ compte tenu de la contrainte. Le seuil de rentabilité correspond à environ $1{,}06$ centaine d'articles, soit $106$ articles, en arrondissant vers le HAUT puisqu'il faut dépasser le seuil.

d)

On met sous forme canonique : $B(q)=-\left(q^{2}-20q\right)-20=-\left((q-10)^{2}-100\right)-20=-(q-10)^{2}+100-20=-(q-10)^{2}+80$ . Le coefficient devant le carré étant négatif, le bénéfice est MAXIMAL lorsque le carré est nul, soit $q=10$ , et vaut alors $80$ milliers de dollars. L'entreprise doit donc produire $1\,000$ articles pour un bénéfice de $80\,000$ dollars.

e)

Non. La forme canonique le montre sans aucun calcul supplémentaire : $-(q-10)^{2}+80\leq 80$ pour tout $q$ , puisqu'on retranche toujours un carré positif ou nul. Le bénéfice maximal possible est donc $80$ milliers de dollars, et l'objectif de $100$ est hors d'atteinte quelle que soit la production.

Cet exercice montre que les deux écritures d'un trinôme répondent à des questions DIFFÉRENTES, et qu'il faut choisir la bonne plutôt que de tout développer par réflexe. La forme factorisée, obtenue via le discriminant en b), donne les racines et donc les seuils de rentabilité. La forme canonique, obtenue en d), donne le sommet et donc l'optimum. Chercher le maximum par le discriminant serait impossible, et chercher le seuil par la forme canonique demanderait de résoudre $(q-10)^{2}=80$ , ce qui revient au même travail en moins lisible. On notera enfin la cohérence des deux réponses : le sommet $q=10$ est bien le MILIEU des deux racines, $\frac{(10-4\sqrt{5})+(10+4\sqrt{5})}{2}=10$ ✓, ce qui vaut pour tout trinôme et fournit un contrôle gratuit.

Exercice 8 : Équations qui se ramènent au second degré

Chacune de ces équations se résout en posant un changement d'inconnue, ou en revenant à la définition. Pensez à vérifier les solutions obtenues.

a) Résolvez $x^4-5x^2+4=0$ en posant $X=x^2$ .
b) Résolvez $(2x-1)^2-3(2x-1)-4=0$ en posant $X=2x-1$ .
c) Résolvez $\sqrt{x+7}=x+1$ .
d) Pour la question c), expliquez pourquoi il est indispensable de vérifier les solutions dans l'équation de départ.

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Réponses

a) $x\in\{-2;-1;1;2\}$
b) $x=0$ ou $x=\frac{5}{2}$
c) $x=2$ ; $x=-3$ rejeté
d) L'élévation au carré n'est pas une équivalence : elle crée la solution parasite $-3$

a)

On pose $X=x^{2}$ , ce qui est licite pour tout réel $x$ , avec la contrainte $X\geq 0$ . L'équation devient $X^{2}-5X+4=0$ , de discriminant $25-16=9$ , donc $X=\frac{5\pm 3}{2}$ , soit $X=4$ ou $X=1$ . Les deux valeurs étant positives, on peut revenir à $x$ : $x^{2}=4$ donne $x=\pm 2$ , et $x^{2}=1$ donne $x=\pm 1$ . Il y a donc QUATRE solutions : $-2$ , $-1$ , $1$ et $2$ . Oublier les valeurs négatives est l'erreur classique, une équation bicarrée ayant des solutions symétriques deux à deux.

b)

On pose $X=2x-1$ . L'équation devient $X^{2}-3X-4=0$ , de discriminant $9+16=25$ , donc $X=\frac{3\pm 5}{2}$ , soit $X=4$ ou $X=-1$ . Ici aucune contrainte de signe, $2x-1$ pouvant prendre toute valeur réelle. On revient à $x$ : $2x-1=4$ donne $x=\frac{5}{2}$ , et $2x-1=-1$ donne $x=0$ . Les solutions sont $0$ et $\frac{5}{2}$ .

c)

On pose d'abord les CONDITIONS : $x+7\geq 0$ pour que la racine existe, et $x+1\geq 0$ car une racine carrée est toujours positive et doit donc égaler une quantité positive, d'où $x\geq-1$ . En élevant au carré : $x+7=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ , soit $x^{2}+x-6=0$ . Le discriminant vaut $1+24=25$ , donc $x=\frac{-1\pm 5}{2}$ : $x=2$ ou $x=-3$ . La valeur $-3$ ne vérifie pas $x\geq-1$ et doit être REJETÉE. Il reste $x=2$ , que l'on vérifie dans l'équation de départ : $\sqrt{9}=3$ et $2+1=3$ ✓.

d)

Parce que l'élévation au carré n'est PAS une équivalence : elle peut créer des solutions parasites. De $A=B$ on déduit bien $A^{2}=B^{2}$ , mais la réciproque est fausse, car $A^{2}=B^{2}$ autorise aussi $A=-B$ . Ici $x=-3$ vérifie $x+7=(x+1)^{2}$ , soit $4=4$ , mais pas l'équation initiale, puisque $\sqrt{4}=2$ alors que $-3+1=-2$ : cette valeur est solution de $\sqrt{x+7}=-(x+1)$ , l'équation jumelle involontairement introduite.

Le fil commun des trois premières questions est le CHANGEMENT D'INCONNUE, qui ramène une équation compliquée à un second degré, et il impose toujours deux précautions symétriques. En amont, vérifier quelles valeurs la nouvelle inconnue peut prendre, ce qui a servi en a) et en c) mais pas en b) ; en aval, revenir à l'inconnue de départ sans oublier de solutions, un $X$ pouvant en donner deux comme en a). La question d) ajoute la précaution propre aux racines : quand une transformation n'est pas réversible, la vérification finale dans l'équation d'origine n'est pas un luxe, c'est une étape de la résolution.

Exercice 9 : Algorithmique : résoudre en Python

On donne la fonction Python suivante, qui renvoie le nombre de solutions réelles de l'équation $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$ .

python

def nombre_solutions(a, b, c):
    delta = b*b - 4*a*c
    if delta > 0:
        return 2
    elif delta == 0:
        return 1
    else:
        return 0

a) Que renvoie l'appel nombre_solutions(2, -5, 3) ? Justifiez par le calcul.
b) Que renvoient les appels nombre_solutions(1, -6, 9) et nombre_solutions(1, 4, 7) ?
c) Écrivez une fonction solutions(a, b, c) qui renvoie la liste des solutions réelles, éventuellement vide.
d) On appelle nombre_solutions(1, 0, -2). Le résultat est-il correct ? Et si l'on remplaçait le test delta == 0 par une comparaison sur des valeurs décimales issues de calculs approchés, quel problème pourrait apparaître ?

Voir la correction

Réponses

a) $2$ ( $\Delta=1$ )
b) $1$ puis $0$
c) Trois branches selon le signe de $\Delta$ : liste à deux, un ou zéro éléments
d) $2$ , correct ; avec des décimaux, tester $|\Delta|<\varepsilon$ plutôt que $\Delta=0$

a)

$\Delta=(-5)^{2}-4\times 2\times 3=25-24=1>0$ , donc la fonction renvoie $2$ . Les solutions sont $\frac{5-1}{4}=1$ et $\frac{5+1}{4}=\frac{3}{2}$ , comme à l'exercice 2. La fonction ne renvoie que le NOMBRE de solutions, pas les solutions elles-mêmes, ce qui est l'objet de la question c).

b)

Pour $(1,\ -6,\ 9)$ : $\Delta=36-36=0$ , la fonction renvoie $1$ , la racine double étant $\frac{6}{2}=3$ , et l'on reconnaît $(x-3)^{2}$ . Pour $(1,\ 4,\ 7)$ : $\Delta=16-28=-12<0$ , la fonction renvoie $0$ .

c)

On calcule le discriminant, puis on renvoie selon son signe une liste vide, une liste à un élément contenant $\frac{-b}{2a}$ , ou une liste à deux éléments contenant $\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ . La structure du code reproduit exactement la disjonction de cas du cours, ce qui est la marque d'une bonne traduction : trois branches pour trois situations mathématiques.

d)

L'appel donne $\Delta=0^{2}-4\times 1\times(-2)=8>0$ , donc $2$ , ce qui est CORRECT : les solutions sont $\pm\sqrt{2}$ . En revanche, tester l'égalité stricte delta == 0 devient dangereux dès que les coefficients proviennent de calculs approchés. Un discriminant qui devrait valoir exactement $0$ peut être calculé comme $10^{-16}$ à cause des arrondis de la représentation en virgule flottante, et la fonction renverrait alors $2$ au lieu de $1$ , en produisant deux racines quasi identiques. En pratique on teste donc abs(delta) < epsilon pour un seuil $\varepsilon$ petit mais non nul.

Le problème soulevé en d) dépasse largement cet exercice et vaut d'être retenu : en machine, on ne teste JAMAIS l'égalité de deux nombres décimaux issus de calculs, on teste que leur écart est inférieur à une tolérance. L'exemple canonique est $0{,}1+0{,}2$ , qui ne vaut pas exactement $0{,}3$ en représentation binaire. C'est aussi pourquoi tous les contrôles numériques de ces corrigés s'écrivent sous la forme d'une valeur absolue comparée à un seuil, plutôt que par une égalité stricte. Le choix du seuil est un vrai arbitrage : trop grand, il fusionne des racines réellement distinctes ; trop petit, il ne corrige rien.

python

from math import sqrt

def solutions(a, b, c):
    delta = b*b - 4*a*c
    if delta > 0:
        return [(-b - sqrt(delta))/(2*a), (-b + sqrt(delta))/(2*a)]
    elif delta == 0:
        return [-b/(2*a)]
    else:
        return []

Exercice 10 : Vrai ou faux, avec justification

Pour chaque affirmation, indiquez si elle est vraie ou fausse. Toute réponse doit être justifiée : une démonstration si l'affirmation est vraie, un contre-exemple si elle est fausse.

a) Si $\Delta>0$ , alors le trinôme est positif sur $\mathbb{R}$ .
b) Si $\Delta<0$ , alors le trinôme garde le signe de $a$ sur $\mathbb{R}$ .
c) Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $ax^2+bx+c$ , alors $ax^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)$ .
d) L'équation $x^2+bx+1=0$ admet au moins une solution réelle quel que soit le réel $b$ .
e) Si la somme des racines d'un trinôme $ax^2+bx+c$ est nulle, alors $b=0$ .

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Réponses

a) Fausse : $x^{2}-1$
b) Vraie
c) Fausse : il manque le facteur $a$
d) Fausse : $b=0$
e) Vraie

a)

FAUX. Un discriminant strictement positif signifie exactement que le trinôme possède deux racines distinctes, donc qu'il CHANGE DE SIGNE en les traversant : il ne peut pas être positif partout. Contre-exemple : $x^{2}-1$ a pour discriminant $0-4\times 1\times(-1)=4>0$ , et pourtant il vaut $-1$ en $x=0$ . La confusion vient sans doute du mot positif, appliqué tantôt au discriminant, tantôt au trinôme, alors que les deux n'ont aucun rapport direct.

b)

VRAI, et c'est le résultat central du chapitre. Si $\Delta<0$ , le trinôme ne s'annule jamais, donc par continuité il ne change pas de signe. La démonstration passe par la forme canonique : $ax^{2}+bx+c=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{\Delta}{4a^{2}}\right]$ , et le crochet est strictement positif puisque le carré est positif ou nul et que $-\frac{\Delta}{4a^{2}}>0$ quand $\Delta<0$ . Le signe du trinôme est donc celui de $a$ en tout point.

c)

FAUX, le facteur $a$ manque. Contre-exemple : $2x^{2}-6x+4$ a pour racines $1$ et $2$ , mais $(x-1)(x-2)=x^{2}-3x+2$ , qui n'est pas égal au trinôme de départ, tous ses coefficients étant divisés par deux. La factorisation correcte est $a(x-x_{1})(x-x_{2})=2(x-1)(x-2)$ ✓. Le contrôle est immédiat : le coefficient de $x^{2}$ dans la forme factorisée doit valoir $a$ , et il vaut $1$ dans l'écriture proposée.

d)

FAUX. Le discriminant vaut $b^{2}-4\times 1\times 1=b^{2}-4$ , qui est strictement négatif dès que $-2<b<2$ . Contre-exemple : pour $b=0$ , l'équation devient $x^{2}+1=0$ , sans solution réelle puisque $x^{2}+1\geq 1$ . L'affirmation ne redevient vraie qu'à partir de $|b|\geq 2$ .

e)

VRAI. La somme des racines vaut $-\frac{b}{a}$ ; si elle est nulle, alors $-\frac{b}{a}=0$ , et comme $a\neq 0$ cela impose $b=0$ . Le trinôme est alors de la forme $ax^{2}+c$ , dont les racines éventuelles sont bien OPPOSÉES, ce qui est cohérent : leur somme est nulle par construction.

Une remarque sur la rédaction, car l'énoncé l'exige explicitement et les correcteurs y veillent. Pour une affirmation VRAIE, un exemple ne prouve rien, il faut une démonstration valable dans tous les cas, comme en b) et en e). Pour une affirmation FAUSSE, un seul contre-exemple suffit et une démonstration serait impossible, comme en a), c) et d). Cette asymétrie est la règle logique la plus utile du lycée, et elle explique la structure de la question : trois affirmations fausses à réfuter par un cas, deux vraies à établir par un raisonnement général.

Exercice 11 : Racine évidente et factorisation

Quand une racine se voit à l'œil nu, le produit des racines donne l'autre sans discriminant, et la factorisation suit.

a) Vérifiez que $1$ est racine de $f(x)=3x^{2}-7x+4$ , puis déduisez-en l'autre racine à l'aide du produit des racines.
b) Factorisez $f(x)$ .
c) Déterminez le réel $m$ pour lequel $-2$ est racine de $g(x)=x^{2}+mx-6$ , puis donnez l'autre racine de $g$ .
d) Simplifiez l'expression $\frac{3x^{2}-7x+4}{x^{2}-1}$ pour $x\neq 1$ et $x\neq -1$ .

Voir la correction

Réponses

a) $f(1)=0$ ; autre racine $\frac{4}{3}$
b) $f(x)=(x-1)(3x-4)$
c) $m=-1$ ; autre racine $3$
d) $\frac{3x-4}{x+1}$

a)

$f(1)=3-7+4=0$ : $1$ est bien racine. Le produit des racines vaut $\frac{c}{a}=\frac{4}{3}$ , donc l'autre racine $x_{2}$ vérifie $1\times x_{2}=\frac{4}{3}$ , soit $x_{2}=\frac{4}{3}$ . Contrôle par la somme : $1+\frac{4}{3}=\frac{7}{3}=-\frac{b}{a}$ ✓. Le réflexe à avoir : quand $a+b+c=0$ , $1$ est racine ; quand $a-b+c=0$ , c'est $-1$ .

b)

Un trinôme de racines $x_{1}$ et $x_{2}$ s'écrit $a(x-x_{1})(x-x_{2})$ : $f(x)=3(x-1)\left(x-\frac{4}{3}\right)=(x-1)(3x-4)$ , en faisant entrer le facteur $3$ dans la seconde parenthèse. Vérification : $(x-1)(3x-4)=3x^{2}-4x-3x+4=3x^{2}-7x+4$ ✓. Écrire $(x-1)\left(x-\frac{4}{3}\right)$ en oubliant le $3$ donne un trinôme trois fois trop petit.

c)

$-2$ est racine si et seulement si $g(-2)=0$ , soit $4-2m-6=0$ , donc $m=-1$ . Le produit des racines de $g$ vaut $\frac{-6}{1}=-6$ , donc l'autre racine vaut $\frac{-6}{-2}=3$ . Contrôle : $g(x)=x^{2}-x-6=(x+2)(x-3)$ ✓, et la somme $-2+3=1=-\frac{m}{1}$ ✓.

d)

Le dénominateur est une identité remarquable : $x^{2}-1=(x-1)(x+1)$ . D'après b), le numérateur vaut $(x-1)(3x-4)$ . Pour $x\neq 1$ , le facteur $x-1$ est non nul et se simplifie : $\frac{(x-1)(3x-4)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x-4}{x+1}$ . On ne simplifie JAMAIS des termes d'une somme, seulement des facteurs communs, et c'est la factorisation préalable qui les fait apparaître.

Ces quatre questions reposent sur un seul fait : les relations $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$ et $x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$ transforment UNE racine connue en DEUX. Le discriminant reste la méthode universelle, mais une racine évidente, ou une racine imposée par l'énoncé comme en c), fait gagner le calcul entier et supprime les risques d'erreur de signe.

Exercice 12 : Signe d'un produit de deux trinômes

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\left(x^{2}-4x+3\right)\left(-x^{2}+x+2\right)$ .

a) Déterminez les racines de chacun des deux facteurs.
b) Dressez le tableau de signes de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
c) Résolvez l'inéquation $f(x)<0$ .
d) Résolvez l'inéquation $f(x)\geq 0$ .
e) Contrôlez le tableau en calculant $f(0)$ et $f(1{,}5)$ .

Voir la correction

Réponses

a) $1$ et $3$ ; $-1$ et $2$
b) $f$ : $-$ , $+$ , $-$ , $+$ , $-$ sur les intervalles délimités par $-1$ , $1$ , $2$ , $3$
c) $S=]-\infty;-1[\cup]1;2[\cup]3;+\infty[$
d) $S=[-1;1]\cup[2;3]$
e) $f(0)=6$ , $f(1{,}5)=-0{,}9375$

a)

Premier facteur : $\Delta=16-12=4$ , racines $\frac{4\pm 2}{2}$ , soit $1$ et $3$ (on pouvait voir la racine évidente $1$ , puisque $1-4+3=0$ , puis le produit $3$ ). Second facteur : $\Delta=1+8=9$ , racines $\frac{-1\pm 3}{-2}$ , soit $-1$ et $2$ ; le dénominateur négatif inverse l'ordre des valeurs, d'où l'intérêt de contrôler : $-1-1+2=0$ ✓ et $-4+2+2=0$ ✓.

b)

Le premier facteur a un coefficient dominant POSITIF : il est négatif entre $1$ et $3$ , positif à l'extérieur. Le second a un coefficient dominant NÉGATIF : il est positif entre $-1$ et $2$ , négatif à l'extérieur. On range les quatre racines, $-1<1<2<3$ , et on fait le produit des signes sur les cinq intervalles : sur $]-\infty;-1[$ , $(+)(-)$ donne $-$ ; sur $]-1;1[$ , $(+)(+)$ donne $+$ ; sur $]1;2[$ , $(-)(+)$ donne $-$ ; sur $]2;3[$ , $(-)(-)$ donne $+$ ; sur $]3;+\infty[$ , $(+)(-)$ donne $-$ . La fonction s'annule en $-1$ , $1$ , $2$ et $3$ .

c)

$f(x)<0$ sur les intervalles marqués $-$ , bornes EXCLUES puisque l'inégalité est stricte : $S=]-\infty;-1[\,\cup\,]1;2[\,\cup\,]3;+\infty[$ .

d)

$f(x)\geq 0$ sur les intervalles marqués $+$ , bornes INCLUSES puisque $f$ s'y annule : $S=[-1;1]\cup[2;3]$ . Les ensembles de c) et d) sont complémentaires dans $\mathbb{R}$ , ce qui fournit un contrôle : chaque réel appartient à l'un ou à l'autre, et les quatre racines vont du côté de l'inégalité large.

e)

$f(0)=3\times 2=6>0$ , et $0\in\,]-1;1[$ est bien dans une zone $+$ ✓. $f(1{,}5)=(2{,}25-6+3)(-2{,}25+1{,}5+2)=(-0{,}75)\times 1{,}25=-0{,}9375<0$ , et $1{,}5\in\,]1;2[$ est bien dans une zone $-$ ✓.

L'erreur qui ruine ce type d'exercice est de développer le produit : on obtient un polynôme de degré $4$ dont on ne sait pas étudier le signe. La factorisation est au contraire le but, et le tableau de signes n'est qu'une règle des signes appliquée ligne par ligne. Retenez aussi que le signe d'un trinôme se lit sur son coefficient dominant : un $-x^{2}$ inverse tout le motif, et c'est précisément le facteur qu'on traite trop vite.

Exercice 13 : Équations rationnelles qui mènent au second degré

On considère les équations $(E_{1})$ : $\frac{3}{x-2}+\frac{x}{x+2}=\frac{12}{x^{2}-4}$ et $(E_{2})$ : $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{4}{3}$ .

a) Donnez les valeurs interdites de $(E_{1})$ .
b) Résolvez $(E_{1})$ .
c) Résolvez $(E_{2})$ .
d) Expliquez pourquoi on ne peut pas se dispenser de comparer les solutions trouvées aux valeurs interdites.

Voir la correction

Réponses

a) $-2$ et $2$
b) $S=\{-3\}$ ; $x=2$ rejeté
c) $S=\left\{-\frac{3}{2};1\right\}$
d) L'équation polynomiale est définie aux valeurs interdites : elle peut avoir des solutions en trop

a)

Les dénominateurs $x-2$ , $x+2$ et $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$ s'annulent en $2$ et en $-2$ : ce sont les deux valeurs interdites. On travaille donc sur $\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}$ .

b)

Le dénominateur commun est $(x-2)(x+2)=x^{2}-4$ . En multipliant les deux membres par cette quantité non nulle sur le domaine : $3(x+2)+x(x-2)=12$ , soit $x^{2}+x+6-12=0$ , c'est-à-dire $x^{2}+x-6=0$ . $\Delta=1+24=25$ , racines $\frac{-1\pm 5}{2}$ , soit $2$ et $-3$ . Or $2$ est une valeur INTERDITE : il est rejeté. $S=\{-3\}$ . Vérification : $\frac{3}{-5}+\frac{-3}{-1}=-0{,}6+3=2{,}4$ et $\frac{12}{9-4}=2{,}4$ ✓.

c)

Valeurs interdites : $0$ et $-2$ . On multiplie par $3x(x+2)$ : $3(x+2)+3x=4x(x+2)$ , soit $6x+6=4x^{2}+8x$ , donc $4x^{2}+2x-6=0$ , ou encore $2x^{2}+x-3=0$ après division par $2$ . $\Delta=1+24=25$ , racines $\frac{-1\pm 5}{4}$ , soit $1$ et $-\frac{3}{2}$ . Aucune n'est interdite : $S=\left\{-\frac{3}{2};1\right\}$ . Vérification en $1$ : $1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$ ✓.

d)

Multiplier par le dénominateur commun transforme l'équation en une équation POLYNOMIALE qui est définie partout, y compris aux valeurs interdites. Cette nouvelle équation peut donc avoir des solutions que l'équation de départ n'a pas : c'est ce qui arrive en b), où $x=2$ vérifie $x^{2}+x-6=0$ mais rend $\frac{3}{x-2}$ impossible. L'équivalence ne vaut que SUR LE DOMAINE, d'où l'obligation de le fixer au début et de trier à la fin.

La méthode tient en quatre temps, toujours les mêmes : valeurs interdites, dénominateur commun, second degré, tri des solutions. Le piège de b) n'est pas un accident de l'énoncé : les exercices d'examen choisissent souvent des coefficients pour qu'une racine du trinôme tombe exactement sur une valeur interdite, précisément pour vérifier que le tri est fait.

Exercice 14 : Un rectangle connu par son périmètre et sa diagonale

Un rectangle a pour périmètre $34$ cm et pour diagonale $13$ cm. On note $L$ et $\ell$ sa longueur et sa largeur, en centimètres, avec $L\geq\ell>0$ .

La figure donne la situation ; elle n'est pas à l'échelle.

a) Traduisez les données par deux égalités portant sur $L+\ell$ et $L^{2}+\ell^{2}$ .
b) Déduisez-en le produit $L\ell$ , c'est-à-dire l'aire du rectangle.
c) Déterminez $L$ et $\ell$ .
d) Existe-t-il un rectangle de périmètre $34$ cm dont la diagonale mesure $12$ cm ?
e) Pour un périmètre de $34$ cm, quelle est la plus petite diagonale possible ? Donnez-la au centième.

Voir la correction

Réponses

a) $L+\ell=17$ et $L^{2}+\ell^{2}=169$
b) $L\ell=60$ cm²
c) $L=12$ cm, $\ell=5$ cm
d) Non : $\Delta=-1<0$
e) $\sqrt{144{,}5}\approx 12{,}02$ cm, pour le carré de côté $8{,}5$ cm

a)

Le périmètre donne $2(L+\ell)=34$ , soit $L+\ell=17$ . Le théorème de Pythagore dans le triangle formé par deux côtés et la diagonale donne $L^{2}+\ell^{2}=13^{2}=169$ .

b)

On développe le carré de la somme : $(L+\ell)^{2}=L^{2}+2L\ell+\ell^{2}$ , donc $289=169+2L\ell$ , d'où $L\ell=60$ . L'aire vaut $60$ cm², obtenue sans connaître les côtés.

c)

$L$ et $\ell$ ont pour somme $17$ et pour produit $60$ : ce sont les racines de $X^{2}-17X+60=0$ . $\Delta=289-240=49$ , racines $\frac{17\pm 7}{2}$ , soit $12$ et $5$ . Donc $L=12$ cm et $\ell=5$ cm. Contrôle : $2\times 17=34$ ✓ et $144+25=169$ ✓.

d)

Avec une diagonale de $12$ cm, $L^{2}+\ell^{2}=144$ et $2L\ell=289-144=145$ , soit $L\ell=72{,}5$ . Les côtés seraient les racines de $X^{2}-17X+72{,}5=0$ , dont le discriminant vaut $289-290=-1<0$ . Il n'y a aucune racine réelle : un tel rectangle n'existe PAS.

e)

Pour un périmètre de $34$ cm et une aire $P$ , les côtés sont les racines de $X^{2}-17X+P$ , qui existent si et seulement si $289-4P\geq 0$ , soit $P\leq 72{,}25$ . Or la diagonale vérifie $d^{2}=289-2P$ , qui est minimale quand $P$ est maximale : $d^{2}\geq 289-144{,}5=144{,}5$ , donc $d\geq\sqrt{144{,}5}\approx 12{,}02$ cm. Le minimum est atteint pour $\Delta=0$ , c'est-à-dire la racine double $X=8{,}5$ : le rectangle est alors un CARRÉ de côté $8{,}5$ cm.

Deux nombres dont on connaît la somme $S$ et le produit $P$ sont les racines de $X^{2}-SX+P$ : c'est la réciproque des relations coefficients-racines, et elle transforme un système non linéaire en une seule équation. Le discriminant $S^{2}-4P$ dit en plus si ces deux nombres EXISTENT, ce qui répond aux questions d'existence comme d) et aux questions d'optimum comme e), où la frontière $\Delta=0$ désigne toujours le cas symétrique.

Exercice 15 : Le cycliste qui aurait pu gagner une heure

Un cycliste parcourt $60$ km à vitesse constante $v$ , en km/h. S'il avait roulé $5$ km/h plus vite, il aurait mis une heure de moins.

La figure ci-dessous représente la situation.

a) Exprimez la durée du trajet, en heures, en fonction de $v$ .
b) Montrez que $v$ vérifie l'équation $v^{2}+5v-300=0$ .
c) Déterminez $v$ , puis la durée du trajet.
d) Au retour, face au vent, il ne roule plus qu'à $10$ km/h sur les mêmes $60$ km. Calculez sa vitesse moyenne sur l'aller-retour.
e) À quelle vitesse aurait-il dû rouler au retour pour obtenir une vitesse moyenne de $14$ km/h sur l'aller-retour ? Donnez-la au centième.

Voir la correction

Réponses

a) $t=\frac{60}{v}$
b) $\frac{60}{v}-\frac{60}{v+5}=1$ donne $v^{2}+5v-300=0$
c) $v=15$ km/h ( $-20$ rejeté), trajet de $4$ h
d) $12$ km/h (et non $12{,}5$ )
e) $13{,}125\approx 13{,}13$ km/h

a)

La durée est la distance divisée par la vitesse : $t=\frac{60}{v}$ . À la vitesse $v+5$ , elle serait $\frac{60}{v+5}$ .

b)

Une heure de moins s'écrit $\frac{60}{v}-\frac{60}{v+5}=1$ . On multiplie par $v(v+5)$ , qui est strictement positif : $60(v+5)-60v=v(v+5)$ , soit $300=v^{2}+5v$ , c'est-à-dire $v^{2}+5v-300=0$ .

c)

$\Delta=25+1\,200=1\,225=35^{2}$ , racines $\frac{-5\pm 35}{2}$ , soit $15$ et $-20$ . Une vitesse est positive : $-20$ est rejeté, et $v=15$ km/h. La durée vaut $\frac{60}{15}=4$ h. Contrôle : à $20$ km/h, le trajet dure $3$ h, soit une heure de moins ✓.

d)

Le retour dure $\frac{60}{10}=6$ h. La vitesse moyenne est la distance TOTALE divisée par la durée TOTALE : $\frac{120}{4+6}=12$ km/h. Ce n'est PAS la moyenne des deux vitesses, $\frac{15+10}{2}=12{,}5$ km/h : le cycliste passe plus de temps à la vitesse lente, qui pèse donc davantage.

e)

Une moyenne de $14$ km/h sur $120$ km impose une durée totale de $\frac{120}{14}=\frac{60}{7}$ h. L'aller ayant pris $4$ h, le retour doit durer $\frac{60}{7}-4=\frac{32}{7}$ h, soit une vitesse de $\frac{60}{32/7}=\frac{420}{32}=13{,}125$ km/h, environ $13{,}13$ km/h. Contrôle : $\frac{120}{4+60/13{,}125}=\frac{120}{8{,}571\ldots}=14$ ✓.

Le problème de mise en équation se joue sur deux points : traduire « une heure de moins » par une DIFFÉRENCE de durées, puis se débarrasser des dénominateurs en multipliant par une quantité dont on connaît le signe. Le second degré obtenu a presque toujours une racine sans sens physique, qu'il faut rejeter en le disant. La question d) rappelle enfin qu'une vitesse moyenne se calcule avec les totaux, jamais en moyennant des vitesses.

Exercice 16 : Compléter le carré, factoriser à vue, choisir la bonne forme

Le programme de Première demande de savoir mettre un trinôme sous forme canonique dans des cas simples, en COMPLÉTANT LE CARRÉ avec l'identité $x^{2}+2ax=(x+a)^{2}-a^{2}$ , et de factoriser directement quand une racine se voit. Aucun discriminant n'est utilisé dans cet exercice.

On note $A(x)=x^{2}+8x+7$ , $B(x)=x^{2}-5x+4$ et $C(x)=2x^{2}-12x+10$ . On écrit une forme canonique $a(x-\alpha)^{2}+\beta$ .

a) Mettez $A$ et $B$ sous forme canonique en complétant le carré, et donnez $\alpha$ et $\beta$ dans chaque cas.
b) Pour $C$ , mettez d'abord $2$ en facteur dans $2x^{2}-12x$ , puis complétez le carré. Déduisez-en l'extremum de $C$ et sa nature.
c) Sans discriminant, trouvez les racines de $A$ en écrivant sa forme canonique comme une différence de deux carrés, puis factorisez $D(x)=x^{2}-49$ , $E(x)=3x^{2}+5x$ et $F(x)=x^{2}-9x+20$ , en cherchant pour $F$ deux entiers de somme $9$ et de produit $20$ .
d) On pose $f=C$ . Vérifiez que $f(x)=2(x-3)^{2}-8=2(x-1)(x-5)=2x^{2}-12x+10$ . Quelle forme choisir pour résoudre $f(x)=0$ ? Pour résoudre $f(x)=10$ ? Résolvez $f(x)=10$ .
e) Résolvez l'inéquation $f(x)<-6$ à l'aide de la forme canonique.

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a)

\alpha

pour

A

\beta

pour

A

\alpha

pour

B

\beta

pour

B

b)

\alpha

pour

C

\beta

pour

C

C

admet un

c)

Plus petite racine de

A

Plus grande racine de

A

Racine non nulle de

E

Plus petite racine de

F

Plus grande racine de

F

d)

Forme pour

f(x)=0

Forme pour

f(x)=10

Plus petite solution de

f(x)=10

Plus grande solution de

f(x)=10

e)

Ensemble solution ;

Voir la correction

Réponses

a) $A(x)=(x+4)^{2}-9$ : $\alpha=-4$ , $\beta=-9$ ; $B(x)=\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4}$ : $\alpha=2{,}5$ , $\beta=-2{,}25$
b) $C(x)=2\left[(x-3)^{2}-9\right]+10=2(x-3)^{2}-8$ : minimum $-8$ en $3$
c) $A(x)=(x+1)(x+7)$ ; $D(x)=(x-7)(x+7)$ ; $E(x)=x(3x+5)$ ; $F(x)=(x-4)(x-5)$
d) Factorisée pour $f(x)=0$ ( $1$ et $5$ ) ; développée pour $f(x)=10$ : $2x(x-6)=0$ , $x=0$ ou $x=6$
e) $(x-3)^{2}<1$ : $S=]2;4[$

a)

Pour $A$ : $x^{2}+8x$ est le début de $(x+4)^{2}=x^{2}+8x+16$ , on prend la MOITIÉ du coefficient de $x$ . Donc $x^{2}+8x=(x+4)^{2}-16$ et $A(x)=(x+4)^{2}-16+7=(x+4)^{2}-9$ . Attention au signe : $(x+4)^{2}=(x-(-4))^{2}$ , donc $\alpha=-4$ et $\beta=-9$ . Pour $B$ : la moitié de $-5$ est $-\frac{5}{2}$ , donc $x^{2}-5x=\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}$ et $B(x)=\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}+4=\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4}$ , soit $\alpha=2{,}5$ et $\beta=-2{,}25$ . Contrôle en $x=0$ : $16-9=7=A(0)$ et $\frac{25}{4}-\frac{9}{4}=4=B(0)$ . L'erreur classique est d'oublier de RETRANCHER le carré ajouté : $(x+4)^{2}+7$ vaut $23$ en $0$ , pas $7$ .

b)

$C(x)=2\left(x^{2}-6x\right)+10=2\left[(x-3)^{2}-9\right]+10=2(x-3)^{2}-18+10=2(x-3)^{2}-8$ . Le piège est le $-9$ resté DANS le crochet : il est multiplié par $2$ , et l'écrire $2(x-3)^{2}-9+10$ donne $2(x-3)^{2}+1$ , qui vaut $19$ en $0$ au lieu de $10$ . Comme $2(x-3)^{2}\geq 0$ , on a $C(x)\geq -8$ pour tout $x$ , avec égalité seulement en $x=3$ : $C$ admet un MINIMUM égal à $-8$ , atteint en $3$ . La forme canonique donne l'extremum sans aucun calcul supplémentaire, et le signe de $a=2$ en dit la nature.

c)

$A(x)=(x+4)^{2}-3^{2}$ est une différence de deux carrés : $A(x)=(x+4-3)(x+4+3)=(x+1)(x+7)$ , de racines $-7$ et $-1$ . Contrôle par somme et produit : $-7-1=-8=-\frac{b}{a}$ et $(-7)\times(-1)=7=\frac{c}{a}$ . Pour $D$ , le coefficient de $x$ est nul : $x^{2}-49=(x-7)(x+7)$ , racines $-7$ et $7$ . Pour $E$ , pas de terme constant, $0$ est une racine APPARENTE : $3x^{2}+5x=x(3x+5)$ , racines $0$ et $-\frac{5}{3}$ , et diviser par $x$ aurait perdu la racine $0$ . Pour $F$ , deux racines de somme $9$ et de produit $20$ : on essaie les couples d'entiers dont le produit est $20$ , $1\times 20$ , $2\times 10$ , $4\times 5$ , et $4+5=9$ convient. Donc $F(x)=(x-4)(x-5)$ . Quatre factorisations, aucune formule du discriminant.

d)

$2(x-1)(x-5)=2(x^{2}-6x+5)=2x^{2}-12x+10$ , et d'après b) c'est aussi $2(x-3)^{2}-8$ : les trois écritures sont la même fonction. Pour $f(x)=0$ , la forme FACTORISÉE donne tout de suite, par produit nul, $x=1$ ou $x=5$ . Pour $f(x)=10$ , la forme DÉVELOPPÉE est la bonne, parce que le $10$ s'élimine : $2x^{2}-12x+10=10$ équivaut à $2x^{2}-12x=0$ , soit $2x(x-6)=0$ , donc $x=0$ ou $x=6$ . Avec la forme factorisée, on aurait $2(x-1)(x-5)=10$ , où le produit nul ne s'applique pas ; avec la forme canonique, $(x-3)^{2}=9$ , qui marche aussi mais demande une étape de plus. Contrôle : $f(6)=72-72+10=10$ .

e)

$2(x-3)^{2}-8<-6$ équivaut à $2(x-3)^{2}<2$ , soit $(x-3)^{2}<1$ , c'est-à-dire $-1<x-3<1$ , donc $2<x<4$ . L'ensemble des solutions est $]2\,;4[$ , bornes exclues car l'inégalité est stricte. La forme canonique permet de résoudre une inéquation de la forme $f(x)<k$ en isolant le carré, sans passer par une nouvelle factorisation. Contrôle : $f(3)=-8<-6$ et $f(4)=2-8=-6$ , qui n'est pas strictement inférieur.

À retenir : forme factorisée pour les racines et le signe, forme canonique pour l'extremum et les inéquations $f(x)<k$ , forme développée pour $f(0)$ et les équations où le terme constant s'élimine. On complète le carré en prenant la moitié du coefficient de $x$ , et on retranche ce qu'on a ajouté.

Exercices corrigés : le second degré (Première spécialité)

Rappel de cours

Calculs : les équations du second degré à résoudre

Exercice 0.1 : Résoudre une équation du second degré : douze calculs directs

Calculs : les inéquations du second degré à résoudre

Exercice 0.2 : Résoudre une inéquation du second degré : dix calculs directs

Partie A : Les bases (/50)

Exercice 1 : QCM

Exercice 2 : Résoudre par le discriminant

Exercice 3 : Signe du trinôme et inéquations

Exercice 4 : Somme et produit des racines

Exercice 5 : Position relative de deux courbes

Partie B : Niveau contrôle (/50)

Exercice 6 : Discussion selon un paramètre

Exercice 7 : Problème : bénéfice et seuil de rentabilité

Exercice 8 : Équations qui se ramènent au second degré

Exercice 9 : Algorithmique : résoudre en Python

Exercice 10 : Vrai ou faux, avec justification

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 11 : Racine évidente et factorisation

Exercice 12 : Signe d'un produit de deux trinômes

Exercice 13 : Équations rationnelles qui mènent au second degré

Exercice 14 : Un rectangle connu par son périmètre et sa diagonale

Exercice 15 : Le cycliste qui aurait pu gagner une heure

Partie D : programme 2026, complétion du carré (/10)

Exercice 16 : Compléter le carré, factoriser à vue, choisir la bonne forme

Ce chapitre au bac 2025 et 2026

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