Exercices corrigés : le second degré (Première spécialité)

1) Réponse A. $\Delta=(-5)^2-4\times 2\times 3=25-24=1$.

2) Réponse A. $x^2-6x=(x-3)^2-9$, donc $x^2-6x+11=(x-3)^2-9+11=(x-3)^2+2$.

3) Réponse B. $\Delta=16-20=-4<0$, donc le trinôme ne s'annule jamais et garde le signe de $a=-1$ : il est toujours strictement négatif.

4) Réponse B. $x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{7}{1}=7$. Les racines sont d'ailleurs $2$ et $5$.

5) Réponse B. $x^2-9=(x-3)(x+3)$, de coefficient dominant positif : le trinôme est positif à l'extérieur des racines $-3$ et $3$.

a) $\Delta=25-24=1>0$, donc deux racines : $x=\frac{5\pm 1}{4}$, soit $x=1$ et $x=\frac{3}{2}$.

b) $\Delta=16-28=-12<0$ : l'équation n'admet aucune solution réelle.

c) $\Delta=36-36=0$ : une racine double $x=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$. On peut le voir directement : $9x^2-6x+1=(3x-1)^2$.

d) $\Delta=25+24=49>0$, donc $\sqrt{\Delta}=7$ et $x=\frac{-5\pm 7}{6}$, soit $x=\frac{1}{3}$ et $x=-2$.

a) $\Delta=49-24=25>0$, donc $\sqrt{\Delta}=5$ et les racines sont $x=\frac{-7\pm 5}{-4}$, soit $x=\frac{1}{2}$ et $x=3$. Comme $a=-2<0$, le trinôme est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles.

b) D'après le tableau de signe, l'ensemble solution est $\left[\frac{1}{2};3\right]$.

c) Le numérateur se factorise : $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, de racines $2$ et $3$. Le dénominateur s'annule en $-1$. Tableau de signe sur $]-\infty;-1[$, $]-1;2[$, $]2;3[$, $]3;+\infty[$ : le quotient vaut respectivement négatif, positif, négatif, positif. L'ensemble solution est $]-1;2]\cup[3;+\infty[$.

d) En $2$ et en $3$ le numérateur s'annule : le quotient vaut $0$, ce qui satisfait une inégalité large. En $-1$ le dénominateur s'annule : le quotient n'existe pas, la valeur doit donc être exclue, et le crochet reste ouvert.

a) $S=\frac{-b}{a}=7$ et $P=\frac{c}{a}=10$.

b) $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=S^2-2P=49-20=29$.

c) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}=\frac{S}{P}=\frac{7}{10}$.

d) La somme vaut $3+(-4)=-1$ et le produit $3\times(-4)=-12$. Le trinôme cherché est $x^2-(-1)x+(-12)=x^2+x-12$. On vérifie : $x^2+x-12=(x-3)(x+4)$.

e) Ces deux nombres sont les racines de $x^2-12x+35=0$. Le discriminant vaut $144-140=4$, donc $x=\frac{12\pm 2}{2}$ : les nombres cherchés sont $5$ et $7$. Vérification : $5+7=12$ et $5\times 7=35$.

a) On résout $x^2-2x+3=2x-1$, soit $x^2-4x+4=0$. Le discriminant vaut $16-16=0$ : il y a une racine double $x=2$. Le point d'intersection unique est $(2,\ 3)$, car $2\times 2-1=3$.

b) La différence vaut $x^2-4x+4=(x-2)^2$, qui est positive ou nulle pour tout réel. La parabole est donc toujours au-dessus de la droite $D$, avec contact en $x=2$.

c) Un point d'intersection double, avec une différence qui ne change pas de signe, signifie que la droite $D$ est tangente à la parabole au point $(2,\ 3)$.

d) On résout $x^2-2x+3=-2x+2$, soit $x^2+1=0$. Cette équation n'a aucune solution réelle, car $x^2+1\geq 1>0$. Les courbes n'ont aucun point commun, et comme la différence $x^2+1$ est toujours strictement positive, la parabole est strictement au-dessus de $D'$.

a) $\Delta(m)=(-2m)^2-4(m+2)=4m^2-4m-8=4(m^2-m-2)=4(m-2)(m+1)$.

b) Le signe de $\Delta(m)$ est celui de $(m-2)(m+1)$, trinôme en $m$ de coefficient dominant positif et de racines $-1$ et $2$. Donc : si $m<-1$ ou $m>2$, alors $\Delta>0$ et $f_m$ a deux racines distinctes. Si $m=-1$ ou $m=2$, alors $\Delta=0$ et $f_m$ a une racine double. Si $-1<m<2$, alors $\Delta<0$ et $f_m$ n'a aucune racine réelle.

c) Le coefficient dominant vaut $1>0$. Le trinôme est strictement positif partout exactement lorsqu'il n'a aucune racine, c'est-à-dire lorsque $\Delta<0$ : la condition est $m\in\ ]-1;2[$.

d) Pour $m=3$ : $f_3(x)=x^2-6x+5$. Le discriminant vaut $\Delta(3)=4\times 1\times 4=16$, donc $\sqrt{\Delta}=4$ et $x=\frac{6\pm 4}{2}$ : les racines sont $1$ et $5$.

e) La somme des racines doit valoir $2m=6$, et le produit $m+2=5$. Or $1+5=6$ et $1\times 5=5$ : les deux relations sont vérifiées.

a) $B(q)=R(q)-C(q)=24q-(q^2+4q+20)=-q^2+20q-20$.

b) $\Delta=400-4\times(-1)\times(-20)=400-80=320$. Donc $\sqrt{\Delta}=\sqrt{320}=8\sqrt{5}$, et les racines sont $q=\frac{-20\pm 8\sqrt{5}}{-2}=10\mp 4\sqrt{5}$, c'est-à-dire $10-4\sqrt{5}$ et $10+4\sqrt{5}$.

c) $10-4\sqrt{5}\approx 1{,}0557$ et $10+4\sqrt{5}\approx 18{,}944$, qui dépasse 15. Comme $a=-1<0$, le bénéfice est positif entre les racines : il l'est pour $q\in\ ]10-4\sqrt{5}\ ;\ 15]$. Le seuil de rentabilité correspond à environ $1{,}06$ centaine d'articles, soit 106 articles.

d) $B(q)=-(q^2-20q)-20=-((q-10)^2-100)-20=-(q-10)^2+80$. Le coefficient étant négatif, le bénéfice est maximal pour $q=10$, et vaut alors 80 milliers de dollars. L'entreprise doit donc produire 1000 articles pour un bénéfice de 80 000 dollars.

e) Non. Le bénéfice maximal possible est de 80 milliers de dollars, atteint en $q=10$. Aucune production ne permet d'atteindre 100 milliers de dollars, puisque $-(q-10)^2+80\leq 80$ pour tout $q$.

a) Avec $X=x^2$ : $X^2-5X+4=0$, de discriminant $25-16=9$, donc $X=\frac{5\pm 3}{2}$, soit $X=4$ ou $X=1$. En revenant à $x$ : $x^2=4$ donne $x=\pm 2$, et $x^2=1$ donne $x=\pm 1$. Il y a quatre solutions : $-2$, $-1$, $1$ et $2$.

b) Avec $X=2x-1$ : $X^2-3X-4=0$, de discriminant $9+16=25$, donc $X=\frac{3\pm 5}{2}$, soit $X=4$ ou $X=-1$. Alors $2x-1=4$ donne $x=\frac{5}{2}$, et $2x-1=-1$ donne $x=0$. Les solutions sont $0$ et $\frac{5}{2}$.

c) Conditions : $x+7\geq 0$ pour la racine, et $x+1\geq 0$ car une racine carrée est positive, donc $x\geq -1$. En élevant au carré : $x+7=(x+1)^2=x^2+2x+1$, soit $x^2+x-6=0$. Le discriminant vaut $1+24=25$, donc $x=\frac{-1\pm 5}{2}$ : $x=2$ ou $x=-3$. La valeur $-3$ ne vérifie pas $x\geq -1$ et doit être rejetée. Il reste $x=2$, que l'on vérifie : $\sqrt{9}=3$ et $2+1=3$.

d) Parce que l'élévation au carré n'est pas une équivalence : elle peut créer des solutions parasites. De $A=B$ on déduit $A^2=B^2$, mais la réciproque est fausse, car $A^2=B^2$ autorise aussi $A=-B$. Ici $x=-3$ vérifie $x+7=(x+1)^2$ mais pas $\sqrt{x+7}=x+1$, puisque $\sqrt{4}=2$ alors que $-3+1=-2$.

a) $\Delta=(-5)^2-4\times 2\times 3=25-24=1>0$, donc la fonction renvoie 2. Les solutions sont $1$ et $\frac{3}{2}$.

b) Pour $(1,-6,9)$ : $\Delta=36-36=0$, la fonction renvoie 1, la racine double étant $3$. Pour $(1,4,7)$ : $\Delta=16-28=-12<0$, la fonction renvoie 0.

c) Voir le code ci-dessous : on calcule le discriminant, puis on renvoie une liste vide, une liste à un élément ou une liste à deux éléments selon son signe.

d) L'appel donne $\Delta=0-4\times 1\times(-2)=8>0$, donc 2, ce qui est correct : les solutions sont $\pm\sqrt{2}$. En revanche, tester l'égalité stricte delta == 0 est dangereux dès que les coefficients proviennent de calculs approchés : un discriminant qui devrait valoir exactement 0 peut être calculé comme $10^{-16}$, et la fonction renverrait 2 au lieu de 1. En pratique on teste abs(delta) < epsilon pour un seuil epsilon petit.

from math import sqrt

def solutions(a, b, c):
    delta = b*b - 4*a*c
    if delta > 0:
        return [(-b - sqrt(delta))/(2*a), (-b + sqrt(delta))/(2*a)]
    elif delta == 0:
        return [-b/(2*a)]
    else:
        return []

a) Faux. $\Delta>0$ signifie exactement que le trinôme possède deux racines distinctes, donc qu'il change de signe. Contre-exemple : $x^2-1$ a pour discriminant $4>0$, et vaut $-1$ en $0$.

b) Vrai. Si $\Delta<0$, le trinôme ne s'annule jamais. Sa forme canonique s'écrit $a\left[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]$, et le crochet est strictement positif puisque $-\frac{\Delta}{4a^2}>0$. Le signe du trinôme est donc celui de $a$ partout.

c) Faux. Le facteur $a$ manque. Contre-exemple : $2x^2-6x+4$ a pour racines $1$ et $2$, mais $(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$, qui n'est pas égal au trinôme de départ. La factorisation correcte est $2(x-1)(x-2)$.

d) Faux. Le discriminant vaut $b^2-4$, qui est strictement négatif dès que $-2<b<2$. Contre-exemple : pour $b=0$, l'équation $x^2+1=0$ n'a aucune solution réelle.

e) Vrai. La somme des racines vaut $\frac{-b}{a}$. Si elle est nulle, alors $\frac{-b}{a}=0$, et comme $a\neq 0$ cela impose $b=0$. Le trinôme est alors de la forme $ax^2+c$, dont les racines éventuelles sont bien opposées.