Exercices corrigés : la géométrie repérée (Première spécialité)

$\vec{AB}\,(3\,;6)$ est directeur, et $\vec{n}\,(2\,;-1)$ lui est orthogonal, puisque $3\times 2+6\times(-1)=0$ : d'où la forme $2x-y+c=0$. Avec $A$ : $2\times 2-1+c=0$, donc $c=-3$. Vérification avec $B$ : $10-7-3=0$.

Le vecteur directeur $(2\,;5)$ donne le vecteur normal $(5\,;-2)$, d'où $5x-2y+c=0$. Avec $C$ : $5\times(-3)-2\times 2+c=0$, soit $-19+c=0$ et $c=19$. Piège : prendre $(2\,;5)$ lui-même comme coefficients, c'est-à-dire confondre directeur et normal.

Le vecteur normal donne directement $3x+2y+c=0$. Avec $D$ : $12-2+c=0$, donc $c=-10$.

Le vecteur normal $(1\,;3)$ de la droite donnée est DIRECTEUR de la perpendiculaire ; un vecteur normal de celle-ci est donc $(3\,;-1)$, d'où $3x-y+c=0$. Avec $E$ : $6+1+c=0$, donc $c=-7$. Piège : garder $(1\,;3)$ comme vecteur normal, ce qui donne une parallèle.

Deux droites parallèles ont le même vecteur normal $(4\,;-5)$ : $4x-5y+c=0$. Avec $F$ : $12+10+c=0$, donc $c=-22$. Piège : recopier $c=3$, qui redonne la droite de départ.

On isole $y$ : $-4y=-3x-8$, puis on divise par $-4$ : $y=\frac{3}{4}x+2$. Donc $m=\frac{3}{4}$ et $p=2$. Piège : diviser $-3x$ par $-4$ et garder le signe moins, ce qui donne $m=-\frac{3}{4}$.

$(x+4)^{2}+(y-1)^{2}=4$, soit $x^{2}+8x+16+y^{2}-2y+1-4=0$, donc $c=16+1-4=13$. Piège : ajouter $r^{2}$ au lieu de le retrancher, ce qui donne $21$.

On divise d'abord par $2$ : $x^{2}+y^{2}+2x-6y-15=0$. Puis $x^{2}+2x=(x+1)^{2}-1$ et $y^{2}-6y=(y-3)^{2}-9$, d'où $(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=25$. Centre $\Omega\,(-1\,;3)$, rayon $5$. Piège : prendre l'opposé de la moitié des coefficients AVANT de diviser par $2$, ce qui donne $(-2\,;6)$ ; la règle ne vaut qu'une fois $x^{2}$ et $y^{2}$ de coefficient $1$.

$x^{2}-8x=(x-4)^{2}-16$ et $y^{2}+2y=(y+1)^{2}-1$, d'où $(x-4)^{2}+(y+1)^{2}=16+1-5=12$. Le rayon vaut $\sqrt{12}=2\sqrt{3}\approx 3{,}464$. Piège : donner $12$, qui est le CARRÉ du rayon.

$(x-3)^{2}+(y+1)^{2}=9+1+10=20$ : centre $(3\,;-1)$, rayon $\sqrt{20}$. Pour $P$ : $(4-3)^{2}+(3+1)^{2}=1+16=17<20$, donc $P$ est à l'INTÉRIEUR du cercle. Directement sur la forme développée : $16+9-24+6-10=-3$, négatif, même conclusion.

On soustrait les coordonnées de l'origine à celles de l'extrémité : $\vec{AB}\,(3-(-1)\,;\,5-3)$, soit $\vec{AB}\,(4\,;\,2)$, en prenant garde au double signe moins. En divisant par $2$, le vecteur $\vec{u}\,(2\,;\,1)$ est lui aussi un vecteur directeur de $(AB)$ : un vecteur directeur n'est défini qu'à un FACTEUR non nul près, et l'on choisit toujours le représentant à coordonnées entières les plus petites, qui simplifie tous les calculs suivants.

Le passage du directeur à l'équation se fait en ÉCHANGEANT les coordonnées et en changeant un signe : à partir de $\vec{u}\,(2\,;\,1)$, on écrit $1\times x-2\times y+c=0$, soit $x-2y+c=0$. Le point $A$ donne $-1-2\times 3+c=0$, donc $c=7$ et une équation cartésienne est $x-2y+7=0$. Vérification avec $B$, qui n'a pas servi : $3-10+7=0$ ✓.

On isole $y$ : de $x-2y+7=0$ on tire $2y=x+7$, donc $y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$. Contrairement à l'équation cartésienne, l'équation RÉDUITE est unique, mais elle n'existe que pour une droite non verticale. Vérification : en $x=-1$ on obtient $-\frac{1}{2}+\frac{7}{2}=3$ ✓, et en $x=3$ on obtient $\frac{3}{2}+\frac{7}{2}=5$ ✓.

Même méthode avec $\vec{u}\,(3\,;\,-4)$ : on échange et l'on change un signe, ce qui donne $-4x-3y+c=0$. On préfère écrire $4x+3y+c'=0$ en multipliant tout par $-1$, afin d'avoir un premier coefficient positif. Le point $C$ donne $4\times 2+3\times(-1)+c'=8-3+c'=0$, donc $c'=-5$. Une équation cartésienne est $4x+3y-5=0$.

Dans $ax+by+c=0$, le couple des coefficients de $x$ et de $y$ donne directement le vecteur NORMAL : $\vec{n}\,(3\,;\,-2)$. Un vecteur DIRECTEUR s'obtient en échangeant les coordonnées et en changeant un signe : $\vec{u}\,(2\,;\,3)$. Aucun calcul n'est nécessaire, uniquement une lecture, et c'est ce qui rend la suite rapide.

La droite $d'$ est perpendiculaire à $d$, donc son vecteur DIRECTEUR est un vecteur normal de $d$, à savoir $\vec{n}\,(3\,;\,-2)$. On applique alors la règle de l'exercice 1 : une équation de $d'$ est de la forme $-2x-3y+c=0$, qu'on réécrit $2x+3y+c'=0$. Le point $A$ donne $2\times 1+3\times 4+c'=2+12+c'=0$, donc $c'=-14$ et $d'$ a pour équation $2x+3y-14=0$.

Deux droites parallèles ont la même DIRECTION, donc le même vecteur normal : $d''$ a une équation de la forme $3x-2y+c=0$, avec exactement les mêmes coefficients que $d$. Le point $B$ donne $3\times 0-2\times 5+c=-10+c=0$, donc $c=10$ et $d''$ a pour équation $3x-2y+10=0$. Seule la CONSTANTE change, et c'est la signature du parallélisme : deux équations qui ne diffèrent que par leur terme constant décrivent deux droites parallèles distinctes.

Un vecteur directeur de $d$ est $\vec{u}\,(2\,;\,3)$ et un vecteur directeur de $d'$ est $\vec{v}\,(3\,;\,-2)$, lu sur son équation $2x+3y-14=0$ par la même règle. Leur produit scalaire vaut $2\times 3+3\times(-2)=6-6=0$ ✓, donc les deux droites sont bien perpendiculaires.

Un vecteur directeur de $d_{1}$ est $\vec{u_{1}}\,(3\,;\,2)$ et un vecteur directeur de $d_{2}$ est $\vec{u_{2}}\,(-6\,;\,-4)$. Le DÉTERMINANT vaut $3\times(-4)-2\times(-6)=-12+12=0$, donc les deux directeurs sont colinéaires et les droites sont parallèles. Reste à savoir si elles sont confondues. En multipliant $d_{1}$ par $-2$ on obtient $-4x+6y-2=0$, qui a les mêmes coefficients que $d_{2}$ mais une constante différente, $-2$ contre $+5$. Les droites sont donc STRICTEMENT parallèles.

L'équation de $d_{3}$ est exactement celle de $d_{1}$ multipliée par $2$, puisque $2\times(2x-3y+1)=4x-6y+2$. Cette fois TOUS les coefficients, terme constant compris, sont proportionnels avec le même facteur : les deux droites sont CONFONDUES. C'est le rappel que l'équation cartésienne n'est pas unique, contrairement à l'équation réduite, et l'exercice 9 y reviendra.

Un vecteur directeur de $d_{4}$ est $\vec{u_{4}}\,(-1\,;\,1)$. Le déterminant avec $\vec{u_{1}}\,(3\,;\,2)$ vaut $3\times 1-2\times(-1)=3+2=5\neq 0$, donc les droites sont SÉCANTES et l'on peut chercher leur point d'intersection. On résout le système par substitution : de $d_{4}$ on tire $x=4-y$, que l'on reporte dans $d_{1}$ : $2(4-y)-3y+1=8-2y-3y+1=9-5y=0$, donc $y=\frac{9}{5}$. Alors $x=4-\frac{9}{5}=\frac{20-9}{5}=\frac{11}{5}$. Le point d'intersection est $I\left(\frac{11}{5}\,;\,\frac{9}{5}\right)$.

La vérification doit porter sur les DEUX équations, la substitution n'en ayant réellement utilisé qu'une. Dans $d_{1}$ : $2\times\frac{11}{5}-3\times\frac{9}{5}+1=\frac{22-27+5}{5}=\frac{0}{5}=0$ ✓. Dans $d_{4}$ : $\frac{11}{5}+\frac{9}{5}-4=\frac{20}{5}-4=4-4=0$ ✓. Le point convient.

La forme canonique traduit directement $\Omega M=r$ élevée au carré : $(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=25$, le $+3$ venant de $y-(-3)$. En développant : $x^{2}-4x+4+y^{2}+6y+9=25$, soit $x^{2}+y^{2}-4x+6y+13-25=0$, c'est-à-dire $x^{2}+y^{2}-4x+6y-12=0$.

On complète les carrés, en prenant à chaque fois la moitié du coefficient et en retranchant son carré : $x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$ et $y^{2}+4y=(y+2)^{2}-4$. L'équation devient $(x-3)^{2}-9+(y+2)^{2}-4-3=0$, soit $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=16$. C'est bien un cercle, de centre $\Omega\,(3\,;\,-2)$ et de rayon $\sqrt{16}=4$.

Même traitement : $x^{2}+2x=(x+1)^{2}-1$ et $y^{2}-8y=(y-4)^{2}-16$. L'équation devient $(x+1)^{2}-1+(y-4)^{2}-16+20=0$, soit $(x+1)^{2}+(y-4)^{2}=-3$. Une somme de deux carrés ne peut pas être strictement NÉGATIVE : l'ensemble des points est VIDE. Conclure trop vite à un cercle de rayon $\sqrt{20}$ centré en $(-1\,;\,4)$, en lisant le rayon sur la constante de l'équation développée, est l'erreur emblématique du chapitre.

On calcule $(6-3)^{2}+(1+2)^{2}=9+9=18$. Or le rayon au carré vaut $16$, et $18>16$ : le point $A$ n'appartient pas au cercle, il lui est EXTÉRIEUR. Sa distance au centre vaut $\sqrt{18}=3\sqrt{2}\approx 4{,}24$, contre un rayon de $4$ : il dépasse d'environ $0{,}24$ unité.

Avec l'axe des ABSCISSES, tous les points ont une ordonnée nulle : on pose $y=0$, ce qui donne $3x-12=0$, donc $x=4$ et le point est $(4\,;\,0)$. Avec l'axe des ORDONNÉES, on pose $x=0$ : $4y-12=0$, donc $y=3$ et le point est $(0\,;\,3)$. Ces deux points suffisent d'ailleurs à tracer la droite, et c'est la méthode la plus rapide pour la représenter.

On remplace les coordonnées dans l'équation : $3\times 2+4\times 1{,}5-12=6+6-12=0$. Le point $A$ appartient donc bien à $d$. Tester l'appartenance revient toujours à cela, substituer et comparer à zéro, sans jamais passer par l'équation réduite.

De $d'$ on tire $y=x+1$, que l'on reporte dans $d$ : $3x+4(x+1)-12=3x+4x+4-12=7x-8=0$, donc $x=\frac{8}{7}$. Alors $y=\frac{8}{7}+1=\frac{15}{7}$. Le point d'intersection est $\left(\frac{8}{7}\,;\,\frac{15}{7}\right)$. Vérification dans $d$, qui n'a pas servi à isoler : $3\times\frac{8}{7}+4\times\frac{15}{7}-12=\frac{24+60-84}{7}=0$ ✓.

Le point $M$ est décrit par un PARAMÈTRE, mais la méthode ne change pas : on substitue ses coordonnées dans l'équation et l'on résout en $m$. Cela donne $3m+4\times 2m-12=3m+8m-12=11m-12=0$, donc $m=\frac{12}{11}\approx 1{,}09$. Le point cherché est alors $\left(\frac{12}{11}\,;\,\frac{24}{11}\right)$.

On SUBSTITUE $y=x+6$ dans l'équation du cercle, ce qui ramène le problème à une équation à une seule inconnue : $(x-1)^{2}+(x+6-2)^{2}=25$, soit $(x-1)^{2}+(x+4)^{2}=25$. En développant : $x^{2}-2x+1+x^{2}+8x+16=25$, donc $2x^{2}+6x-8=0$, que l'on simplifie par $2$ en $x^{2}+3x-4=0$. Le discriminant vaut $9+16=25>0$, d'où $x=\frac{-3\pm 5}{2}$, soit $x=1$ et $x=-4$. Les points d'intersection sont $(1\,;\,7)$ et $(-4\,;\,2)$, obtenus en reportant dans $y=x+6$.

On substitue $x=6$ : $(6-1)^{2}+(y-2)^{2}=25$, soit $25+(y-2)^{2}=25$, donc $(y-2)^{2}=0$ et $y=2$. Il y a un SEUL point d'intersection, $(6\,;\,2)$ : la droite est TANGENTE au cercle. On reconnaît la signature d'une racine double, exactement comme un discriminant nul pour une parabole et une droite.

On substitue $x=7$ : $(7-1)^{2}+(y-2)^{2}=25$, soit $36+(y-2)^{2}=25$, donc $(y-2)^{2}=-11$, ce qui est impossible, un carré ne pouvant être négatif. La droite et le cercle n'ont AUCUN point commun.