Spécialité maths, Première • Exercices corrigés à Montréal
La géométrie repérée est le chapitre où l'algèbre remplace le dessin : une droite devient une équation, un cercle une autre, et l'orthogonalité un produit de coefficients. Le prix à payer est une couche de vocabulaire supplémentaire, et c'est là que les points partent : le couple lu sur une équation n'est pas un vecteur directeur, c'est un vecteur normal.
Cette fiche ne redit pas les formules du polycopié. Elle montre les huit endroits où les copies se trompent, la phrase exacte à recopier pour chacun, l'arbre qui dit quelle méthode employer selon ce que l'énoncé FOURNIT, et un problème de cercle et de tangente décortiqué étape par étape.
Le fil du chapitre
Une équation cartésienne n'est JAMAIS unique : deux écritures très différentes décrivent souvent la même droite. Le seul invariant est la direction, portée par le vecteur directeur ou par le vecteur normal, et c'est en la lisant correctement sur l'équation qu'on évite presque toutes les erreurs du chapitre.
La méthode la plus rapide en contrôle : écrire avec pris comme normal, puis remplacer par les coordonnées d'un point connu pour trouver . Deux lignes, aucun système.
Pour comparer votre réponse à celle d'un camarade, testez deux points : si les deux équations sont vérifiées par les deux mêmes points, elles décrivent la même droite.
Le déterminant se retient comme un produit en croix : on multiplie en diagonale et on soustrait. Un déterminant non nul mesure aussi l'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs.
Le cercle de diamètre a pour centre le milieu de et pour rayon la MOITIÉ de . C'est le cercle des points tels que .
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« : un vecteur directeur de cette droite est . »
Ce qu'il faut écrire
« : le vecteur est NORMAL à la droite, et un vecteur directeur est . »
Pourquoi : Le contrôle prend cinq secondes : un vecteur directeur relie deux points de la droite. Ici et sont sur la droite, et , pas .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« et ne sont pas la même équation, donc ce sont deux droites différentes. »
Ce qu'il faut écrire
« est le double de : les trois coefficients sont proportionnels, donc les deux équations décrivent la MÊME droite. »
Pourquoi : Une équation cartésienne est définie à un facteur non nul près. Le test complet porte sur les TROIS coefficients : si seuls et sont proportionnels, les droites sont parallèles et distinctes.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« et : , donc ils ne sont pas colinéaires. »
Ce qu'il faut écrire
« Le déterminant est , donc et SONT colinéaires, et l'on a même . »
Pourquoi : Le déterminant se calcule EN CROIX : première abscisse par seconde ordonnée, moins première ordonnée par seconde abscisse. Le contrôle : deux vecteurs dont l'un est visiblement le double de l'autre doivent donner zéro.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La droite et la droite : leurs coefficients directeurs sont... la première n'en a pas, donc on ne peut pas conclure. »
Ce qu'il faut écrire
« a pour vecteur normal et a pour vecteur normal ; leur produit scalaire vaut , donc les deux droites sont perpendiculaires. »
Pourquoi : Le test suppose que les deux droites ont un coefficient directeur, ce qu'une verticale n'a pas. Le test par les vecteurs normaux, lui, ne connaît aucune exception.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« donne , donc un rayon de . »
Ce qu'il faut écrire
« et , donc l'équation devient , soit : le rayon vaut . »
Pourquoi : Compléter un carré ajoute quelque chose : il faut le retrancher aussitôt pour ne pas changer l'expression. Les deux constantes retranchées passent au second membre et s'ajoutent à la constante déjà présente.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« : le cercle a pour centre et pour rayon . »
Ce qu'il faut écrire
« Une somme de deux carrés est toujours positive ou nulle, donc elle ne peut pas valoir : l'ensemble des points cherché est VIDE. »
Pourquoi : La discussion des trois cas fait partie de la méthode : second membre strictement positif donne un cercle, nul donne un point unique, strictement négatif donne l'ensemble vide. Le rayon n'est pas la racine d'un nombre négatif.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le système donne , dont je calcule les deux solutions, et je m'arrête là. »
Ce qu'il faut écrire
« , donc le système admet deux solutions : la droite est SÉCANTE au cercle en deux points, dont je donne les coordonnées. »
Pourquoi : Le discriminant répond à la question posée avant même les racines : deux points si , un seul point de tangence si , aucun point si . Écrire le signe de et sa traduction rapporte plus que les racines.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La tangente au cercle en a pour vecteur directeur . »
Ce qu'il faut écrire
« Le rayon est PERPENDICULAIRE à la tangente, donc est un vecteur NORMAL de la tangente. Si , une équation de la tangente est , avec obtenu en remplaçant par les coordonnées de . »
Pourquoi : C'est exactement le piège du vecteur normal, appliqué au cercle. La droite trouvée à tort est le rayon prolongé, qui coupe le cercle en deux points au lieu de le toucher en un seul.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Cercle de diamètre avec et : le rayon vaut . »
Ce qu'il faut écrire
« Le rayon est la MOITIÉ du diamètre : , et le centre est le milieu . »
Pourquoi : Le contrôle imparable : les points et doivent VÉRIFIER l'équation trouvée. Avec un rayon doublé, ni ni ne sont sur le cercle, et cela se voit en deux substitutions.
On regarde les données, pas la question. Chaque jeu de données mène à une seule méthode, et aucune ne demande de système.
Si deux points et → calculer , écrire , puis trouver avec
Exemple : et donnent , puis
Si un point et un vecteur NORMAL → écrire directement et trouver avec le point
Exemple : et donnent
C'est le cas le plus rapide du chapitre, et celui des questions de tangente et de hauteur.
Si un point et une droite à laquelle la nouvelle doit être PARALLÈLE → reprendre les mêmes coefficients et , et recalculer seulement
Si un point et une droite à laquelle la nouvelle doit être PERPENDICULAIRE → échanger les coefficients et changer un signe : de on passe à
Exemple : perpendiculaire à :
Si une équation développée avec → compléter les carrés en puis en , et discuter le signe du second membre
Exemple : donne
Si une droite et un cercle, et la question porte sur leur position → substituer l'équation de la droite dans celle du cercle, puis lire le SIGNE du discriminant
Exemple : : sécante en deux points. : tangente. : aucun point commun
Aucune branche ne s'applique ? Il manque un point, et il se trouve presque toujours en cherchant l'intersection de deux droites déjà écrites, par simple résolution du système de leurs deux équations.
Les questions du contrôle se ressemblent toutes. Le verbe désigne l'outil, et il n'y en a que six.
Si « déterminer une équation cartésienne de la droite » → vecteur normal ou directeur, puis un point pour la constante
Si « les points , et sont-ils alignés » → déterminant de et , nul si et seulement s'ils sont alignés
Si « montrer que les droites sont parallèles » ou « perpendiculaires » → déterminant nul dans le premier cas, produit scalaire des normaux nul dans le second
Si « déterminer les coordonnées du point d'intersection » → résoudre le système des deux équations, puis VÉRIFIER le couple trouvé dans les deux
Si « préciser le centre et le rayon », « réduire l'équation » → complétion du carré, puis racine carrée du second membre, avec discussion des trois cas
Si « déterminer une équation de la tangente au point » → prendre comme vecteur NORMAL, puis remplacer par pour la constante
La tangente est perpendiculaire au rayon : c'est la seule chose à savoir, et elle transforme la question en deux lignes.
Le mot « conjecturer » n'appelle aucun calcul : il demande une figure et une phrase au conditionnel. C'est la question suivante qui demandera la démonstration.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : La première question de presque tous les exercices du chapitre, et celle dont dépendent toutes les autres.
Phrase de conclusion
est un vecteur directeur de , donc en est un vecteur normal et une équation est ; comme appartient à la droite, , donc et convient.
Le piège : Oublier de vérifier avec le second point. La substitution du deuxième point coûte cinq secondes et attrape toutes les erreurs de signe sur , qui sont les plus fréquentes.
Barème : 0,5 point pour le vecteur, 0,5 point pour la forme, 1 point pour la constante, 0,5 point pour la vérification et la conclusion.
Quand l'utiliser : L'énoncé donne une équation contenant et demande la nature de l'ensemble, ou son centre et son rayon.
Phrase de conclusion
L'équation s'écrit ; le second membre étant strictement positif, l'ensemble est le cercle de centre et de rayon .
Le piège : Lire le centre avec les signes de la parenthèse. Dans , l'abscisse du centre est ; dans , l'ordonnée est . Le signe s'inverse, systématiquement.
Barème : 1 point par carré complété, 0,5 point pour la discussion du signe, 0,5 point pour le centre et le rayon annoncés correctement.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Faire passer la droite par ses points
Remplacer et par les coordonnées de chaque point donné dans l'équation trouvée. Le résultat doit être exactement à chaque fois.
testée en donne , et en donne . L'équation est bonne.
Vérifier qu'un vecteur directeur relie deux points de la droite
Prendre deux points de la droite, calculer le vecteur qui les joint, et le comparer au vecteur annoncé. Ils doivent être colinéaires.
Sur , les points et donnent : c'est bien le directeur, et non .
Tester deux points du cercle sur son équation
Pour un cercle de diamètre , les deux extrémités doivent vérifier l'équation. Deux substitutions, et le rayon comme le centre sont validés d'un coup.
testée en donne , et en donne . C'est bon.
Contrôler la cohérence d'une position relative sur un dessin
Tracer rapidement le cercle et la droite dans le repère, même à main levée. Le nombre de points d'intersection lu sur le dessin doit correspondre au signe du discriminant trouvé.
Un annoncé alors que le dessin montre la droite traversant le cercle : il y a une erreur de substitution, souvent un signe dans le développement du carré.
Vérifier qu'une tangente touche sans traverser
Substituer l'équation de la tangente trouvée dans celle du cercle. Le discriminant obtenu doit être exactement nul, ce qui est la définition même de la tangence.
Une tangente qui donne n'est pas une tangente : le vecteur normal utilisé était sans doute un vecteur directeur du rayon mal orienté.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé. On considère les points et , ainsi que la droite d'équation .
1. Déterminer une équation cartésienne de la droite . 2. Déterminer une équation du cercle de diamètre . 3. Étudier la position relative de et de . 4. Déterminer une équation de la tangente à au point .
Étape 1
, donc est aussi directeur et est normal. Une équation est ; avec : , donc et a pour équation .
Pourquoi
Simplifier en avant de passer au normal évite de traîner des coefficients pairs jusqu'au bout. La vérification avec est immédiate : .
Étape 2
Le centre est le milieu , et le rayon vaut . Donc a pour équation .
Pourquoi
Le second membre est , donc et non . Contrôle immédiat : donne et donne , les deux extrémités sont bien sur le cercle.
Étape 3
donne . En substituant : , soit , donc .
Pourquoi
On substitue l'expression de , jamais l'inverse : le cercle est de degré , la droite de degré , donc c'est la droite qui entre dans le cercle. Le calcul est celui qu'on rate.
Étape 4
: le système admet deux solutions, donc est SÉCANTE au cercle en deux points, d'abscisses et .
Pourquoi
Le signe du discriminant répond à la question de position AVANT les racines : c'est lui qu'il faut écrire en premier. Les abscisses ne sont demandées que si l'énoncé le précise.
Étape 5
La tangente en est perpendiculaire au rayon, donc en est un vecteur normal. Une équation est ; avec : , donc et la tangente a pour équation , soit .
Pourquoi
Le vecteur se calcule dans ce sens, du centre vers le point, mais son opposé conviendrait aussi : un vecteur normal est défini à un facteur près, exactement comme l'équation elle-même.
Étape 6
Vérification : la tangente et la droite d'équation ont les mêmes coefficients et , donc elles sont PARALLÈLES et distinctes; et vérifie bien .
Pourquoi
Deux contrôles indépendants qui ne refont aucun calcul : l'appartenance de à sa tangente, et le parallélisme avec , cohérent avec le fait que coupe le cercle du même côté. Une tangente qui ne passerait pas par serait immédiatement fausse.
Conclusion rédigée
La droite a pour équation , le cercle de diamètre a pour équation , la droite lui est sécante en deux points, et la tangente au cercle en a pour équation .
L'erreur classique sur cet exercice : Prendre comme vecteur DIRECTEUR de la tangente à la question 4. La droite obtenue serait , c'est-à-dire elle-même, qui coupe le cercle en deux points au lieu de l'effleurer en un seul.
Le couple des deux coefficients devant x et y donne un vecteur normal, c'est-à-dire perpendiculaire à la droite. Le vecteur directeur s'obtient en échangeant les deux nombres et en changeant le signe de l'un. Le contrôle qui ne trompe pas : un vecteur directeur relie deux points de la droite.
Oui, et c'est même le cas général. Multiplier une équation par un nombre non nul décrit exactement la même droite. Deux équations décrivent la même droite si et seulement si leurs trois coefficients sont proportionnels. Si seuls les deux premiers le sont, les droites sont parallèles et distinctes.
On calcule le déterminant, c'est-à-dire la première abscisse multipliée par la seconde ordonnée, moins la première ordonnée multipliée par la seconde abscisse. Les deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si ce nombre est nul. La multiplication se fait en croix, jamais terme à terme.
On regroupe les termes en x et ceux en y, puis on complète chaque carré en retranchant aussitôt le carré de la moitié du coefficient. Les termes retranchés passent au second membre. Le centre se lit avec les signes inversés de ceux des parenthèses, et le rayon est la racine carrée du second membre.
L'ensemble est vide, et c'est une réponse complète. Une somme de deux carrés ne peut pas être négative, donc aucun point du plan ne convient. Si le second membre est nul, l'ensemble se réduit au seul centre; s'il est strictement positif, c'est un cercle dont le rayon est sa racine carrée.
La tangente est perpendiculaire au rayon, donc le vecteur qui va du centre au point de contact est un vecteur normal de la tangente. Ses coordonnées deviennent directement les coefficients devant x et y, et la constante s'obtient en remplaçant par les coordonnées du point de contact.
