Spécialité maths, Première • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : les probabilités conditionnelles (Première spécialité)

Les probabilités conditionnelles sont le chapitre où l'intuition trompe le plus. Un test fiable à $99\,\%$ peut se tromper une fois sur deux, et ce n'est pas un paradoxe : c'est ce que dit le calcul dès qu'on prend la peine de le faire. Le seul obstacle est de savoir SUR QUOI on divise.

Cette fiche ne redit pas les formules du polycopié. Elle montre les huit endroits où les copies se trompent, la phrase exacte à recopier pour chacun, l'arbre qui dit quelle formule employer selon ce que l'énoncé DONNE, et le problème du dépistage décortiqué étape par étape.

Le fil du chapitre

Conditionner, c'est CHANGER D'UNIVERS : $P_{A}(B)$ ne se lit pas sur la population entière mais sur la seule branche $A$ . Toutes les erreurs du chapitre reviennent à mélanger les deux mondes, à commencer par la plus coûteuse : $P_{A}(B)$ et $P_{B}(A)$ n'ont aucune raison d'être égales.

Ce chapitre fait partie de Spécialité mathématiques en Première

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Probabilités et échantillonnageSeconde Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Probabilités et échantillonnageSeconde
2Statistiques et probabilitésCinquième
3Statistiques et probabilitésQuatrième
4Probabilités et arbres à deux épreuvesTroisième

L'essentiel

Conditionner, c'est changer d'univers

• $P_{A}(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ , définie seulement lorsque $P(A)\neq 0$ . On divise par la probabilité de la CONDITION.
• $P(A\cap B)$ se lit sur la population entière, $P_{A}(B)$ se lit à l'intérieur de $A$ seulement. Les deux nombres sont différents, et le second est toujours le plus grand des deux.
• Conséquence directe, celle qu'on utilise partout : $P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)$ , la multiplication le long d'une branche de l'arbre.
• $P_{A}(B)$ et $P_{B}(A)$ divisent le même numérateur par des dénominateurs différents : elles ne sont égales que si $P(A)=P(B)$ , ce qui n'arrive presque jamais.

La colonne de gauche est

A

, de largeur

0{,}3

P(A\cap B)=0{,}24

se lit sur le rectangle entier, mais

P_{A}(B)=\frac{0{,}24}{0{,}30}=0{,}8

se lit sur cette colonne seule.

Le réflexe qui sauve : avant de calculer, dire à voix haute « parmi les $A$ , quelle proportion sont des $B$ ». Le mot « parmi » nomme le dénominateur, et c'est lui qu'on se trompe.

L'arbre pondéré : ce qui se multiplie, ce qui s'additionne

• Sur une BRANCHE, les probabilités se MULTIPLIENT : $P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)$ .
• Entre plusieurs CHEMINS menant au même événement, les probabilités s'ADDITIONNENT : c'est la formule des probabilités totales.
• La somme des probabilités partant d'un même nœud vaut toujours $1$ : $P_{A}(B)+P_{A}(\overline{B})=1$ . C'est ce qui permet de compléter un arbre incomplet.
• En revanche $P_{A}(B)+P_{\overline{A}}(B)$ n'a AUCUNE raison de valoir $1$ : ce sont deux conditionnements différents, lus dans deux univers différents.

Sur chaque nœud, les deux nombres qui partent font

1

0{,}8+0{,}2

0{,}1+0{,}9

. En revanche

0{,}8

0{,}1

, qui sont deux conditionnements différents, ne s'additionnent pas.

Un arbre se dessine toujours, même quand l'énoncé ne le demande pas. Il coûte deux minutes, il structure toutes les questions suivantes, et il vaut souvent un point à lui seul.

La formule des probabilités totales

• Avec la partition $\left\{A\ ;\ \overline{A}\right\}$ : $P(B)=P(A)\times P_{A}(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)$ .
• Avec trois ateliers, trois machines, trois fournisseurs : il y a TROIS termes, un par chemin menant à $B$ . Le nombre de termes est le nombre de branches du premier niveau.
• La condition d'application est que les événements du premier niveau forment une PARTITION : deux à deux incompatibles, et de réunion égale à l'univers. Leurs probabilités doivent donc totaliser $1$ .
• Chaque terme est le produit des probabilités rencontrées le long d'un chemin, du tronc jusqu'à la feuille.

Le contrôle qui attrape la branche oubliée : la somme des probabilités du premier niveau doit valoir exactement $1$ . Si elle vaut $0{,}85$ , il manque un atelier.

Indépendant n'est pas incompatible : ce sont des contraires

• $A$ et $B$ sont INDÉPENDANTS lorsque $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ , ce qui équivaut à $P_{A}(B)=P(B)$ : savoir que $A$ est réalisé ne change rien.
• $A$ et $B$ sont INCOMPATIBLES lorsque $A\cap B=\varnothing$ , donc $P(A\cap B)=0$ : ils ne peuvent pas se produire ensemble.
• Deux événements incompatibles de probabilités non nulles sont toujours DÉPENDANTS : savoir que $A$ est réalisé rend $B$ impossible, ce qui est un changement maximal.
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ toujours; le terme se supprime seulement si les événements sont incompatibles.

L'indépendance ne se devine pas sur l'énoncé, elle se VÉRIFIE par le calcul : on compare $P(A\cap B)$ à $P(A)\times P(B)$ , et on conclut par une phrase. Deux tirages successifs sans remise ne sont jamais indépendants.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Confondre une probabilité conditionnelle et une intersection

toute la question, et la suite de l'exercice repose sur ce nombre

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $30\,\%$ des élèves sont internes, et $80\,\%$ des internes font du sport, donc $P(I\cap S)=0{,}8$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $P_{I}(S)=0{,}8$ et $P(I)=0{,}3$ , donc $P(I\cap S)=0{,}3\times 0{,}8=0{,}24$ . »

Pourquoi : Le mot « des internes » indique un univers réduit : la proportion est calculée PARMI les internes. Pour revenir à la population entière, il faut multiplier par la probabilité de la condition.

2. Inverser le conditionnement sans s'en apercevoir

toute la question finale, celle qui vaut le plus de points du sujet

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le test est positif chez $99\,\%$ des malades, donc quand le test est positif il y a $99\,\%$ de chances d'être malade. »

Ce qu'il faut écrire

« $P_{M}(T)=0{,}99$ est une donnée; $P_{T}(M)$ est une autre question, qui se calcule par $P_{T}(M)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}$ et vaut ici environ $0{,}40$ . »

La zone grisée est

B

tout entier, soit

0{,}31

. Lue dedans,

P_{B}(A)=\frac{0{,}24}{0{,}31}\approx 0{,}77

, alors que

P_{A}(B)

valait

0{,}8

: deux lectures, deux dénominateurs.

Pourquoi : Les deux probabilités divisent le même numérateur par des dénominateurs différents : l'une par la population des malades, l'autre par celle des tests positifs. Quand la maladie est rare, les faux positifs sont bien plus nombreux que les vrais.

3. Additionner au lieu de multiplier le long d'une branche

toute la question, et le résultat sort de l'intervalle $[0\ ;\ 1]$

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P(A\cap B)=P(A)+P_{A}(B)=0{,}3+0{,}8=1{,}1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)=0{,}3\times 0{,}8=0{,}24$ . On multiplie le long d'une branche, on additionne entre des chemins différents. »

Pourquoi : Le contrôle le plus rapide du chapitre : une probabilité vaut toujours entre $0$ et $1$ . Un résultat de $1{,}1$ est faux avant même d'être relu.

4. Croire que $P_{A}(B)+P_{\overline{A}}(B)=1$

toute la formule des probabilités totales, donc en général 3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P_{A}(B)=0{,}8$ , donc $P_{\overline{A}}(B)=0{,}2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $P_{A}(B)=0{,}8$ donne seulement $P_{A}(\overline{B})=0{,}2$ . La valeur de $P_{\overline{A}}(B)$ est une donnée indépendante, ici $0{,}1$ . »

Pourquoi : La somme à $1$ vaut pour les branches issues d'un MÊME nœud, jamais entre deux nœuds différents. Le repère : sur l'arbre, deux branches qui totalisent $1$ partent du même point.

5. Oublier une branche dans la formule des probabilités totales

toute la question, et la probabilité trouvée est systématiquement trop petite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Trois ateliers produisent $50\,\%$ , $30\,\%$ et $20\,\%$ des pièces. $P(D)=0{,}5\times 0{,}02+0{,}3\times 0{,}05$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $P(D)=0{,}5\times 0{,}02+0{,}3\times 0{,}05+0{,}2\times 0{,}04=0{,}033$ : il y a autant de termes que d'ateliers, et leurs proportions doivent totaliser $1$ . »

Pourquoi : Le contrôle imparable : additionner les probabilités du premier niveau. Si la somme ne fait pas exactement $1$ , une branche manque, et c'est presque toujours la dernière de l'énoncé.

6. Prendre l'indépendance pour l'incompatibilité

toute la question, et la conclusion est exactement l'inverse de la vérité

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $A$ et $B$ sont incompatibles, donc ils sont indépendants : l'un n'influence pas l'autre. »

Ce qu'il faut écrire

« $A$ et $B$ sont incompatibles, donc $P(A\cap B)=0$ ; comme $P(A)\times P(B)>0$ , ils ne sont PAS indépendants. Savoir que $A$ est réalisé rend $B$ impossible. »

Pourquoi : Ce sont deux notions opposées. Incompatible veut dire que la réalisation de l'un interdit l'autre, ce qui est l'influence maximale. Indépendant veut dire qu'elle n'y change rien.

7. Diviser par le mauvais total en lisant un tableau

toute la question, et l'erreur se répète sur chaque conditionnelle du tableau

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Sur $200$ élèves, $48$ sont internes et sportifs, donc la probabilité qu'un interne fasse du sport est $\frac{48}{200}=0{,}24$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Il y a $60$ internes en tout, donc $P_{I}(S)=\frac{48}{60}=0{,}8$ . Le total à utiliser est celui de la LIGNE ou de la COLONNE de la condition, jamais le total général. »

Pourquoi : Le dénominateur d'une conditionnelle est l'effectif de la condition. Le total général donne l'intersection, la marge donne la conditionnelle : deux cases différentes du tableau.

8. Additionner les probabilités d'une réunion sans vérifier l'incompatibilité

toute la question, et le résultat dépasse $1$

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0{,}6+0{,}7=1{,}3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}6+0{,}7-0{,}42=0{,}88$ . Le terme d'intersection ne disparaît que si les événements sont incompatibles. »

Pourquoi : Sans retrancher l'intersection, on compte deux fois les issues qui appartiennent aux deux événements. Le contrôle : une probabilité supérieure à $1$ signale toujours ce terme oublié.

Quelle méthode choisir

Quelle formule selon ce que l'énoncé donne

On repère d'abord le MOT de l'énoncé qui désigne l'univers : « parmi », « sachant que », « des », « sur les ». Il nomme le dénominateur.

Si « parmi les $A$ , une proportion $p$ sont $B$ », ou « sachant $A$ » → c'est $P_{A}(B)=p$ , une donnée conditionnelle, à placer sur une branche de second niveau

Exemple : « $80\,\%$ des internes font du sport » donne $P_{I}(S)=0{,}8$
Si « une proportion $p$ des élèves sont $A$ ET $B$ » → c'est $P(A\cap B)=p$ , une donnée globale, à placer au bout d'un chemin complet

Exemple : « $24\,\%$ des élèves sont internes et sportifs » donne $P(I\cap S)=0{,}24$
Si on connaît $P(A)$ et $P_{A}(B)$ , et on cherche l'intersection → MULTIPLIER le long de la branche : $P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)$
Si on connaît $P(A\cap B)$ et $P(A)$ , et on cherche la conditionnelle → DIVISER : $P_{A}(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ , en vérifiant que $P(A)\neq 0$
Si l'événement cherché peut être atteint par plusieurs chemins → probabilités totales : une somme de produits, autant de termes que de branches au premier niveau

Exemple : $P(B)=0{,}3\times 0{,}8+0{,}7\times 0{,}1=0{,}31$
Si l'énoncé donne le RÉSULTAT et demande la cause, avec « sachant que le test est positif » → conditionnelle INVERSÉE : calculer d'abord $P(B)$ par les probabilités totales, puis diviser

Exemple : $P_{T}(M)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}$

C'est la dernière question de presque tous les sujets, et elle vaut le plus de points. Elle exige deux calculs, jamais un seul.

Aucune branche ne s'applique ? C'est en général qu'il faut compléter l'arbre d'abord : la somme des branches d'un même nœud vaut $1$ , et cela suffit à retrouver la donnée manquante.

Quel outil selon le verbe de l'énoncé

Les questions du contrôle se ressemblent toutes. Le verbe désigne l'outil, et il n'y en a que cinq.

Si « construire un arbre » ou « compléter l'arbre » → placer les données à leur niveau, puis compléter chaque nœud par complément à $1$
Si « calculer la probabilité que ... et ... » → intersection : produit le long d'un chemin unique
Si « calculer la probabilité que ... » sans condition, sur un événement de second niveau → probabilités totales : somme des produits sur tous les chemins qui y mènent
Si « sachant que », « on sait déjà que », « on apprend que » → probabilité conditionnelle : quotient, avec au dénominateur la probabilité de ce qui est SU
Si « les événements sont-ils indépendants » → comparer $P(A\cap B)$ et $P(A)\times P(B)$ , puis conclure par une phrase, quel que soit le résultat

La réponse « non » est aussi recevable que « oui », à condition d'être appuyée sur les deux nombres.

Le mot « estimer » ou « commenter » attend une phrase en français, pas un calcul supplémentaire : on interprète le nombre trouvé dans le contexte de l'énoncé, et cela vaut un point.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer une probabilité par la formule des probabilités totales

Quand l'utiliser : L'énoncé demande la probabilité d'un événement de second niveau, atteignable par plusieurs chemins de l'arbre.

1 NOMMER les événements avec des lettres, et écrire ce que chacune désigne. « Soit $A$ l'événement : la pièce vient de l'atelier 1. »
2 Dessiner l'arbre et y placer toutes les données, en distinguant les conditionnelles des globales.
3 Écrire que les événements du premier niveau forment une partition de l'univers, et vérifier que leurs probabilités totalisent $1$ .
4 Écrire la formule littérale AVANT de remplacer, avec autant de termes que de branches.
5 Remplacer, calculer chaque produit séparément, puis additionner.
6 Conclure par une phrase en français avec une valeur arrondie et son contexte.

Phrase de conclusion

Les événements $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers, donc d'après la formule des probabilités totales, $P(B)=P(A)\times P_{A}(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)=0{,}3\times 0{,}8+0{,}7\times 0{,}1=0{,}31$ .

Le piège : Ne pas écrire la phrase sur la partition. Elle est l'hypothèse du théorème, elle vaut un demi-point à elle seule, et elle est absente d'une copie sur deux.

Barème : 0,5 point pour la partition citée, 0,5 point pour la formule littérale, 1 point pour le calcul, 0,5 point pour la conclusion en français.

Justifier que deux événements sont indépendants, ou qu'ils ne le sont pas

Quand l'utiliser : L'énoncé demande « les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ». La réponse est aussi souvent non que oui.

1 Calculer $P(A\cap B)$ , en général déjà obtenu à une question précédente.
2 Calculer $P(A)$ et $P(B)$ séparément, la seconde souvent par les probabilités totales.
3 Calculer le PRODUIT $P(A)\times P(B)$ , et l'écrire explicitement sur la copie.
4 Comparer les deux nombres obtenus, avec assez de décimales pour trancher.
5 Conclure par une phrase complète, qui rappelle le critère utilisé.

Phrase de conclusion

On a $P(A\cap B)=0{,}24$ et $P(A)\times P(B)=0{,}3\times 0{,}31=0{,}093$ ; ces deux nombres sont différents, donc les événements $A$ et $B$ ne sont PAS indépendants.

Le piège : Répondre « oui, ils sont indépendants car ils n'ont pas de rapport ». L'indépendance est une propriété NUMÉRIQUE : elle se démontre par une égalité, jamais par une intuition sur l'énoncé.

Barème : 0,5 point par probabilité calculée, 0,5 point pour la comparaison explicite, 0,5 point pour la conclusion rédigée avec le critère.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Vérifier que chaque nœud de l'arbre totalise $1$

Additionner les probabilités des branches issues d'un même point. Le total doit valoir exactement $1$ , à chaque nœud et à chaque niveau.

Un nœud portant $0{,}8$ et $0{,}3$ : la somme fait $1{,}1$ , donc l'une des deux valeurs est une donnée d'un autre nœud, recopiée au mauvais endroit.
Contrôler que toute probabilité reste entre $0$ et $1$

C'est le contrôle le plus rapide du chapitre. Un nombre négatif ou supérieur à $1$ est faux, sans exception et sans avoir à relire le calcul.

Un $P(A\cap B)=1{,}1$ signale une addition là où il fallait multiplier; un $P(A\cup B)=1{,}3$ signale l'intersection oubliée.
Comparer une intersection à chacune de ses composantes

$P(A\cap B)$ est toujours inférieure ou égale à $P(A)$ et à $P(B)$ : l'intersection est plus petite que chacun des deux événements.

Un $P(A\cap B)=0{,}45$ avec $P(A)=0{,}3$ est impossible : on ne peut pas avoir plus d'internes sportifs que d'internes.
Recalculer une probabilité totale par le complémentaire

Calculer aussi $P(\overline{B})$ par la même méthode, et vérifier que les deux résultats totalisent $1$ . Deux minutes, et toute erreur de branche apparaît.

$P(B)=0{,}31$ et $P(\overline{B})=0{,}3\times 0{,}2+0{,}7\times 0{,}9=0{,}69$ : la somme fait $1$ , les deux calculs se valident mutuellement.
Confronter une conditionnelle inversée à l'intuition, puis se fier au calcul

Quand $P_{T}(M)$ surprend, revenir aux effectifs sur $10\,000$ personnes. Le calcul en nombres entiers rend le résultat évident.

Sur $10\,000$ personnes : $200$ malades dont $198$ positifs, $9\,800$ sains dont $294$ positifs. Sur $492$ positifs, $198$ sont malades, soit $40\,\%$ .

L'exercice type décortiqué

Le dépistage qui surprend, comme au contrôle

Une maladie touche $2\,\%$ d'une population. On dispose d'un test dont on sait qu'il est positif chez $99\,\%$ des personnes malades, et positif chez $3\,\%$ des personnes saines. On choisit une personne au hasard, on note $M$ l'événement « la personne est malade » et $T$ l'événement « le test est positif ».

1. Construire un arbre pondéré. 2. Calculer $P(M\cap T)$ . 3. Calculer $P(T)$ . 4. Une personne a un test positif : quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ?

Étape 1

Premier niveau : $P(M)=0{,}02$ et $P(\overline{M})=0{,}98$ . Second niveau : $P_{M}(T)=0{,}99$ donc $P_{M}(\overline{T})=0{,}01$ ; et $P_{\overline{M}}(T)=0{,}03$ donc $P_{\overline{M}}(\overline{T})=0{,}97$ .

Pourquoi

Les deux données de l'énoncé sont des conditionnelles, reconnaissables au mot « chez » : elles vont au second niveau. Les compléments à $1$ se calculent nœud par nœud, jamais entre deux nœuds.

Étape 2

$P(M\cap T)=P(M)\times P_{M}(T)=0{,}02\times 0{,}99=0{,}0198$ .

Pourquoi

Produit le long d'une branche. Le résultat, environ $2\,\%$ , est bien inférieur à $P(M)=0{,}02$ comme à $P_{M}(T)=0{,}99$ : le contrôle de cohérence est immédiat.

Étape 3

$M$ et $\overline{M}$ forment une partition de l'univers, donc $P(T)=P(M)\times P_{M}(T)+P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T)=0{,}0198+0{,}98\times 0{,}03=0{,}0198+0{,}0294=0{,}0492$ .

Pourquoi

La phrase sur la partition est l'hypothèse du théorème et vaut un demi-point. Le second terme, $0{,}0294$ , est plus GRAND que le premier : il y a plus de faux positifs que de vrais, et c'est déjà tout le problème.

Étape 4

$P_{T}(M)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}=\frac{0{,}0198}{0{,}0492}\approx 0{,}402$ .

Pourquoi

Le dénominateur est la probabilité de ce qui est SU, donc $P(T)$ et non $P(M)$ . C'est exactement là que le conditionnement s'inverse, et c'est la seule difficulté de l'exercice.

Étape 5

Interprétation : parmi les personnes dont le test est positif, environ $40\,\%$ seulement sont réellement malades. Un test positif ne signifie donc pas que la personne est malade.

Pourquoi

L'interprétation est demandée et vaut un point entier. Elle est aussi ce que l'exercice cherche à faire comprendre : la fiabilité annoncée d'un test ne se lit pas dans le sens que l'intuition suppose.

Étape 6

Vérification sur $10\,000$ personnes : $200$ malades, dont $198$ positifs; $9\,800$ saines, dont $294$ positives. Total des positifs : $492$ , dont $198$ malades, soit $\frac{198}{492}\approx 0{,}402$ .

Pourquoi

Le passage aux effectifs entiers confirme le résultat sans refaire le calcul en probabilités, et il rend le paradoxe lisible : les $9\,800$ personnes saines produisent, même à $3\,\%$ , plus de positifs que les $200$ malades.

Conclusion rédigée

La probabilité qu'une personne dont le test est positif soit réellement malade vaut environ $0{,}402$ , soit à peine plus de quatre chances sur dix, alors que le test détecte pourtant $99\,\%$ des malades.

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre $0{,}99$ à la question 4 en recopiant la donnée de l'énoncé. Cette donnée est $P_{M}(T)$ , la probabilité d'être positif SACHANT qu'on est malade; la question demande $P_{T}(M)$ , qui est l'autre conditionnement.

À savoir par cœur

• $P_{A}(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ : on divise par la probabilité de la CONDITION.
• Sur une branche on MULTIPLIE, entre plusieurs chemins on ADDITIONNE.
• La somme des branches d'un même nœud vaut $1$ . Entre deux nœuds différents, elle ne vaut rien.
• Probabilités totales : autant de termes que de branches au premier niveau, et ces branches doivent former une partition.
• $P_{A}(B)$ et $P_{B}(A)$ ne sont pas la même chose : même numérateur, dénominateurs différents.
• Indépendants : $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ . Incompatibles : $P(A\cap B)=0$ . Ce sont des notions opposées.
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ , toujours. Le terme retranché ne disparaît que si l'intersection est vide.
• Toute probabilité est comprise entre $0$ et $1$ , et $P(A\cap B)$ ne dépasse jamais $P(A)$ ni $P(B)$ .

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une probabilité conditionnelle et une intersection ?

L'intersection se lit sur la population entière : c'est la proportion de gens qui vérifient les deux conditions à la fois. La conditionnelle se lit à l'intérieur d'un seul groupe : c'est la proportion, parmi ceux qui vérifient la première condition, de ceux qui vérifient aussi la seconde. On passe de l'une à l'autre en multipliant ou en divisant par la probabilité de la condition.

Pourquoi la probabilité d'être malade sachant que le test est positif n'est pas celle annoncée ?

Parce que ce sont deux conditionnements différents. La fiabilité annoncée est la proportion de tests positifs parmi les malades. La question porte sur la proportion de malades parmi les tests positifs. Quand la maladie est rare, les personnes saines sont si nombreuses que leurs faux positifs dépassent les vrais positifs.

Quand faut-il multiplier et quand faut-il additionner sur un arbre ?

On multiplie en suivant une branche du tronc jusqu'à la feuille : c'est le calcul d'une intersection. On additionne entre plusieurs chemins qui aboutissent au même événement : c'est la formule des probabilités totales. Multiplier donne toujours un nombre plus petit que chacun des facteurs, ce qui sert de contrôle.

La somme des probabilités conditionnelles vaut-elle toujours un ?

Seulement pour les branches qui partent d'un même nœud. La probabilité de B sachant A et celle du contraire de B sachant A totalisent bien un. En revanche la probabilité de B sachant A et celle de B sachant le contraire de A sont deux conditionnements différents, lus dans deux univers différents : leur somme n'a aucune raison de valoir un.

Deux événements incompatibles sont-ils indépendants ?

Non, c'est même le contraire. Incompatible signifie que la réalisation de l'un rend l'autre impossible, ce qui est l'influence maximale. Indépendant signifie qu'elle n'y change rien. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles sont donc toujours dépendants, et c'est un piège classique de contrôle.

Comment démontrer que deux événements sont indépendants ?

On calcule la probabilité de leur intersection, puis le produit de leurs deux probabilités, et on compare les deux nombres. Ils sont indépendants si et seulement si les deux résultats coïncident. L'indépendance ne se devine pas sur l'énoncé : elle se vérifie par le calcul et se conclut par une phrase qui rappelle le critère.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Probabilités conditionnelles

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
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Fiche de révision : les probabilités conditionnelles (Première spécialité)

L'essentiel

Conditionner, c'est changer d'univers

L'arbre pondéré : ce qui se multiplie, ce qui s'additionne

La formule des probabilités totales

Indépendant n'est pas incompatible : ce sont des contraires

Les pièges qui coûtent des points

1. Confondre une probabilité conditionnelle et une intersection

2. Inverser le conditionnement sans s'en apercevoir

3. Additionner au lieu de multiplier le long d'une branche

4. Croire que PA(B)+PA‾(B)=1P_{A}(B)+P_{\overline{A}}(B)=1PA​(B)+PA​(B)=1

5. Oublier une branche dans la formule des probabilités totales

6. Prendre l'indépendance pour l'incompatibilité

7. Diviser par le mauvais total en lisant un tableau

8. Additionner les probabilités d'une réunion sans vérifier l'incompatibilité

Quelle méthode choisir

Quelle formule selon ce que l'énoncé donne

Quel outil selon le verbe de l'énoncé

La rédaction attendue

Calculer une probabilité par la formule des probabilités totales

Justifier que deux événements sont indépendants, ou qu'ils ne le sont pas

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Le dépistage qui surprend, comme au contrôle

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une probabilité conditionnelle et une intersection ?

Pourquoi la probabilité d'être malade sachant que le test est positif n'est pas celle annoncée ?

Quand faut-il multiplier et quand faut-il additionner sur un arbre ?

La somme des probabilités conditionnelles vaut-elle toujours un ?

Deux événements incompatibles sont-ils indépendants ?

Comment démontrer que deux événements sont indépendants ?

Exercices corrigés : Probabilités conditionnelles

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4. Croire que $P_{A}(B)+P_{\overline{A}}(B)=1$