Exercices corrigés : les variables aléatoires (Première spécialité)

a) $X$ prend les valeurs $10$, $2$ et $-3$.

b) $P(X=10)=\frac{1}{6}$ (une seule face). $P(X=2)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ (les faces 4 et 5). $P(X=-3)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ (les faces 1, 2 et 3).

c) $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{1+2+3}{6}=1$.

d) $E(X)=10\times\frac{1}{6}+2\times\frac{1}{3}+(-3)\times\frac{1}{2}=\frac{10}{6}+\frac{2}{3}-\frac{3}{2}=\frac{5}{6}\approx 0{,}833$. Sur un grand nombre de parties, le joueur gagne en moyenne environ 0,83 dollar par partie : le jeu lui est favorable.

a) $0{,}1+0{,}2+0{,}3+0{,}4=1$, et toutes les valeurs sont comprises entre 0 et 1 : c'est bien une loi de probabilité.

b) $E(X)=1\times 0{,}1+2\times 0{,}2+3\times 0{,}3+4\times 0{,}4=0{,}1+0{,}4+0{,}9+1{,}6=3$.

c) Non. La valeur la plus probable est 4, avec une probabilité de $0{,}4$, alors que $E(X)=3$. L'espérance est une moyenne pondérée, pas un mode : les deux coïncident rarement.

d) $P(X\geq 3)=0{,}3+0{,}4=0{,}7$. $P(X<3)=0{,}1+0{,}2=0{,}3$.

a) $E(X^2)=1\times 0{,}1+4\times 0{,}2+9\times 0{,}3+16\times 0{,}4=0{,}1+0{,}8+2{,}7+6{,}4=10$.

b) $V(X)=10-3^2=10-9=1$.

c) $\sigma(X)=\sqrt{1}=1$.

d) Il trouverait $9-10=-1$. C'est impossible : la variance est une moyenne de carrés d'écarts, donc toujours positive ou nulle. Obtenir une variance négative est le signe certain d'une inversion des deux termes.

a) $E(Y)=3\times 3-2=7$. $V(Y)=3^2\times V(X)=9\times 1=9$. $\sigma(Y)=\sqrt{9}=3$, ce qui est aussi $|3|\times\sigma(X)$.

b) $E(Z)=3+7=10$. $V(Z)=1^2\times V(X)=1$. $\sigma(Z)=1$.

c) $Z$ a exactement la même dispersion que $X$ : ajouter une constante translate toutes les valeurs sans les écarter les unes des autres. Seul le coefficient multiplicatif modifie la dispersion.

d) Deux erreurs. D'abord le coefficient multiplicatif doit être élevé au carré : c'est $a^2V(X)$ et non $aV(X)$. Ensuite la constante additive disparaît complètement de la variance : on n'ajoute pas $-2$. Le résultat correct est $V(3X-2)=9V(X)=9$.

a) $X$ peut valoir 0, 1 ou 2.

b) On raisonne sur deux tirages successifs sans remise. $P(X=0)=\frac{3}{8}\times\frac{2}{7}=\frac{6}{56}=\frac{3}{28}$. $P(X=2)=\frac{5}{8}\times\frac{4}{7}=\frac{20}{56}=\frac{5}{14}$. Pour $X=1$, deux ordres sont possibles : $\frac{5}{8}\times\frac{3}{7}+\frac{3}{8}\times\frac{5}{7}=\frac{15+15}{56}=\frac{30}{56}=\frac{15}{28}$.

c) $\frac{3}{28}+\frac{15}{28}+\frac{10}{28}=\frac{28}{28}=1$.

d) $E(X)=0\times\frac{3}{28}+1\times\frac{15}{28}+2\times\frac{10}{28}=\frac{35}{28}=\frac{5}{4}=1{,}25$. En moyenne, un tirage de deux boules contient 1,25 boule rouge, ce qui est cohérent avec la proportion de rouges dans l'urne : $2\times\frac{5}{8}=1{,}25$.

a) $P(G=50)=\frac{1}{8}$, $P(G=10)=\frac{3}{8}$, $P(G=0)=\frac{4}{8}$. Donc $E(G)=50\times\frac{1}{8}+10\times\frac{3}{8}+0=\frac{50+30}{8}=\frac{80}{8}=10$ dollars.

b) $E(X)=E(G-m)=E(G)-m=10-m$.

c) Le jeu est équitable lorsque $E(X)=0$, donc pour une mise de $m=10$ dollars.

d) Avec $m=12$, $E(X)=10-12=-2$ : le joueur perd en moyenne 2 dollars par partie. Sur 500 parties, l'organisateur peut espérer un bénéfice moyen de $500\times 2=1000$ dollars.

e) $E(G^2)=2500\times\frac{1}{8}+100\times\frac{3}{8}+0=\frac{2500+300}{8}=350$, donc $V(G)=350-100=250$. Comme $X=G-12$ est une translation, $V(X)=V(G)=250$ : la mise ne change pas du tout la dispersion, elle ne fait que décaler l'espérance.

a) Sans sinistre, l'assureur encaisse 300 dollars : $P(X=300)=0{,}98$. Avec sinistre, il encaisse 300 et débourse 8000 : $X=300-8000=-7700$, avec $P(X=-7700)=0{,}02$.

b) $E(X)=0{,}98\times 300+0{,}02\times(-7700)=294-154=140$ dollars. En moyenne, chaque contrat rapporte 140 dollars par an à l'assureur.

c) Avec une prime $p$, l'espérance vaut $0{,}98p+0{,}02(p-8000)=p-160$. Elle s'annule pour $p=160$ dollars : c'est la prime pure, exactement le coût moyen du risque.

d) $10\ 000\times 140=1\ 400\ 000$ dollars de bénéfice moyen annuel.

e) La prime pure ne couvre que le coût moyen des sinistres. Elle ne finance ni les frais de gestion, ni la marge, ni surtout la sécurité face aux fluctuations : certaines années, le nombre de sinistres dépasse la moyenne, et l'assureur doit pouvoir absorber ces écarts sans faire faillite.

a) $E(X_A)=0\times 0{,}5+10\times 0{,}5=5$ et $E(X_B)=4\times 0{,}5+6\times 0{,}5=5$. Les deux jeux ont la même espérance.

b) $E(X_A^2)=0\times 0{,}5+100\times 0{,}5=50$, donc $V(X_A)=50-25=25$ et $\sigma(X_A)=5$.

c) $E(X_B^2)=16\times 0{,}5+36\times 0{,}5=26$, donc $V(X_B)=26-25=1$ et $\sigma(X_B)=1$.

d) Les deux jeux rapportent 5 dollars en moyenne, mais le jeu A est cinq fois plus dispersé. Le jeu B garantit un résultat proche de 5, le jeu A alterne entre rien et 10. Un joueur prudent choisit B, un joueur qui recherche le gros gain choisit A. L'espérance mesure le centre, l'écart-type mesure le risque : les deux sont nécessaires pour décider.

e) $E(X_C)=5$ également, et $V(X_C)=25-25=0$, donc $\sigma(X_C)=0$. Un écart-type nul caractérise une variable certaine, qui ne fluctue pas.

a) $S$ prend les valeurs de 2 à 12. Les effectifs sur 36 sont, dans l'ordre : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Ainsi $P(S=2)=\frac{1}{36}$, $P(S=7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$, et ainsi de suite symétriquement.

b) $E(S)=\frac{1}{36}\sum k\times n_k=\frac{252}{36}=7$. Par symétrie : chaque dé a pour espérance $\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3{,}5$, et l'espérance d'une somme est la somme des espérances, soit $2\times 3{,}5=7$.

c) $E(S^2)=\frac{1974}{36}=\frac{329}{6}\approx 54{,}833$. Donc $V(S)=\frac{329}{6}-49=\frac{329-294}{6}=\frac{35}{6}\approx 5{,}833$, et $\sigma(S)=\sqrt{\frac{35}{6}}\approx 2{,}415$.

d) Pour un dé seul : $E(X)=3{,}5$ et $E(X^2)=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}$, donc $V(X)=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{182-147}{12}=\frac{35}{12}$. On a bien $2\times\frac{35}{12}=\frac{35}{6}=V(S)$.

a) Faux. Avec la variable des exercices 2 et 3 : $E(X^2)=10$ alors que $(E(X))^2=9$. L'écart entre les deux est précisément la variance : $V(X)=E(X^2)-(E(X))^2=1$. Les deux quantités ne coïncident que si la variable est certaine.

b) Faux. Ajouter une constante translate toutes les valeurs et l'espérance, mais ne modifie pas les écarts entre les valeurs : $V(X+3)=V(X)=1$, et non 4.

c) Faux. Dans l'exercice 1, $E(X)=\frac{5}{6}\approx 0{,}83$ alors que $X$ ne prend que les valeurs $10$, $2$ et $-3$. L'espérance est une moyenne, elle n'a pas à faire partie des valeurs possibles.

d) Faux, pour une raison d'unités. Si $X$ est en dollars, $E(X)$ est en dollars mais $V(X)$ est en dollars au carré : les deux ne sont pas comparables. C'est justement le rôle de l'écart-type $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$, qui revient à l'unité de départ et peut, lui, être comparé à l'espérance.