Exercices corrigés : probabilités conditionnelles (Première spécialité)

a) $P(H)=\frac{110}{200}=0{,}55$ ; $P(F)=\frac{70}{200}=0{,}35$ ; $P(H\cap F)=\frac{45}{200}=0{,}225$.

b) $P_H(F)=\frac{P(H\cap F)}{P(H)}=\frac{0{,}225}{0{,}55}=\frac{45}{110}=\frac{9}{22}\approx 0{,}409$. Parmi les hommes, environ 40,9 % fument.

c) $P_F(H)=\frac{P(H\cap F)}{P(F)}=\frac{0{,}225}{0{,}35}=\frac{45}{70}=\frac{9}{14}\approx 0{,}643$. Parmi les fumeurs, environ 64,3 % sont des hommes.

d) Les deux questions ne portent pas sur la même population de référence : la première se restreint aux 110 hommes, la seconde aux 70 fumeurs. Le numérateur est le même (les 45 hommes fumeurs) mais le dénominateur change. En général $P_A(B)\neq P_B(A)$.

a) Au premier niveau : branche $A$ pondérée $0{,}4$ et branche $\overline{A}$ pondérée $0{,}6$. Au second niveau, depuis $A$ : $B$ à $0{,}75$ et $\overline{B}$ à $0{,}25$ ; depuis $\overline{A}$ : $B$ à $0{,}25$ et $\overline{B}$ à $0{,}75$.

b) $P(A\cap B)=0{,}4\times 0{,}75=0{,}30$ et $P(\overline{A}\cap B)=0{,}6\times 0{,}25=0{,}15$.

c) $P(B)=0{,}30+0{,}15=0{,}45$.

d) $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0{,}30}{0{,}45}=\frac{2}{3}\approx 0{,}667$.

e) $P_A(B)+P_A(\overline{B})=0{,}75+0{,}25=1$ : c'est normal, ce sont les deux branches issues du même nœud. En revanche $P_A(B)+P_{\overline{A}}(B)=0{,}75+0{,}25=1$ ici par coïncidence numérique, mais cette somme n'a aucune raison de valoir 1 en général : si $P_{\overline{A}}(B)$ valait $0{,}4$, la somme ferait $1{,}15$.

a) $P(X)=0{,}65$ et $P(Y)=0{,}35$ sont des probabilités simples. « Parmi les ampoules de $X$, 3 % sont défectueuses » se traduit par la probabilité conditionnelle $P_X(D)=0{,}03$, et de même $P_Y(D)=0{,}08$.

b) $P(X\cap D)=P(X)\times P_X(D)=0{,}65\times 0{,}03=0{,}0195$.

c) $P(Y\cap D)=0{,}35\times 0{,}08=0{,}028$. D'où $P(D)=0{,}0195+0{,}028=0{,}0475$.

d) $P_D(Y)=\frac{P(Y\cap D)}{P(D)}=\frac{0{,}028}{0{,}0475}\approx 0{,}589$. Bien que $Y$ ne fournisse que 35 % du stock, il est responsable de près de 59 % des ampoules défectueuses.

a) $P(A)\times P(B)=0{,}4\times 0{,}5=0{,}2$, qui est bien égal à $P(A\cap B)$ : les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

b) $P(C)\times P(D)=0{,}3\times 0{,}6=0{,}18$, alors que $P(C\cap D)=0{,}2$. Les deux valeurs diffèrent : $C$ et $D$ ne sont pas indépendants.

c) $P_A(B)=\frac{0{,}2}{0{,}4}=0{,}5=P(B)$. Savoir que $A$ est réalisé ne change rien à la probabilité de $B$, ce qui est exactement le sens de l'indépendance.

d) $P_C(D)=\frac{0{,}2}{0{,}3}=\frac{2}{3}\approx 0{,}667$, contre $P(D)=0{,}6$. Savoir que $C$ est réalisé augmente la probabilité de $D$ : les deux événements sont positivement liés.

a) $P(R)=0{,}12$, $P_R(V)=0{,}30$ et $P(V)=0{,}20$.

b) $P(R\cap V)=P(R)\times P_R(V)=0{,}12\times 0{,}30=0{,}036$.

c) $P_V(R)=\frac{P(R\cap V)}{P(V)}=\frac{0{,}036}{0{,}20}=0{,}18$.

d) Non : $P(R)\times P(V)=0{,}12\times 0{,}20=0{,}024$, différent de $0{,}036$. On peut aussi comparer $P_V(R)=0{,}18$ à $P(R)=0{,}12$ : un colis expédié le vendredi a une probabilité de retard une fois et demie plus grande que la moyenne. L'entreprise devrait examiner son organisation du vendredi.

a) $P(M)=0{,}02$ et $P(\overline{M})=0{,}98$. $P_M(T)=0{,}95$ donc $P_M(\overline{T})=0{,}05$. $P_{\overline{M}}(\overline{T})=0{,}96$ donc $P_{\overline{M}}(T)=0{,}04$.

b) $P(M\cap T)=0{,}02\times 0{,}95=0{,}019$ et $P(\overline{M}\cap T)=0{,}98\times 0{,}04=0{,}0392$.

c) $P(T)=0{,}019+0{,}0392=0{,}0582$.

d) $P_T(M)=\frac{0{,}019}{0{,}0582}\approx 0{,}326$. Environ 32,6 % seulement des personnes testées positives sont réellement malades.

e) Le résultat surprend parce que la maladie est rare : les 4 % de faux positifs s'appliquent aux 98 % de personnes saines, ce qui produit plus de faux positifs (3,92 %) que de vrais positifs (1,9 %). Le test reste très utile : avant le test la probabilité d'être malade était de 2 %, après un test positif elle passe à 32,6 %, soit seize fois plus. Il sert à sélectionner les personnes à qui proposer un second examen, plus lourd et plus précis.

a) Par la formule des probabilités totales : $P(D)=0{,}5\times 0{,}02+0{,}3\times 0{,}04+0{,}2\times 0{,}05=0{,}01+0{,}012+0{,}01=0{,}032$.

b) $P_D(M_1)=\frac{0{,}01}{0{,}032}=0{,}3125$ ; $P_D(M_2)=\frac{0{,}012}{0{,}032}=0{,}375$ ; $P_D(M_3)=\frac{0{,}01}{0{,}032}=0{,}3125$.

c) $0{,}3125+0{,}375+0{,}3125=1$. C'est logique : une pièce défectueuse provient nécessairement de l'une des trois machines.

d) C'est $M_2$, avec 37,5 %. Ce n'est pas la machine au plus fort taux de défaut : $M_3$ défaille davantage (5 % contre 4 %) mais produit beaucoup moins. Ce qui compte est le produit du volume par le taux de défaut, pas le taux seul.

a) $A$ et $B$ sont incompatibles lorsqu'ils ne peuvent pas se produire en même temps, c'est-à-dire $A\cap B=\varnothing$ et donc $P(A\cap B)=0$. Ils sont indépendants lorsque $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$, c'est-à-dire quand la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre.

b) L'incompatibilité donne $P(A\cap B)=0$, alors que $P(A)\times P(B)=0{,}5\times 0{,}4=0{,}2$. Les deux valeurs diffèrent, donc $A$ et $B$ ne sont pas indépendants. Ils sont même très fortement liés.

c) Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $P(A\cap B)=0$. S'ils étaient de plus indépendants, on aurait $P(A)\times P(B)=0$, donc $P(A)=0$ ou $P(B)=0$, ce qui contredit l'hypothèse que les deux probabilités sont strictement positives. Ils ne peuvent donc pas être indépendants.

d) $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{0}{P(A)}=0$, alors que $P(B)>0$. Savoir que $A$ est réalisé rend $B$ complètement impossible : c'est l'exact contraire de l'indépendance, où cette information ne changerait rien.

a) $P(RRR)=\frac{4}{7}\times\frac{3}{6}\times\frac{2}{5}=\frac{24}{210}=\frac{4}{35}$.

b) Trois chemins conviennent. $RRV$ : $\frac{4}{7}\times\frac{3}{6}\times\frac{3}{5}=\frac{36}{210}$. $RVR$ : $\frac{4}{7}\times\frac{3}{6}\times\frac{3}{5}=\frac{36}{210}$. $VRR$ : $\frac{3}{7}\times\frac{4}{6}\times\frac{3}{5}=\frac{36}{210}$. Total : $\frac{108}{210}=\frac{18}{35}$.

c) Exactement une rouge, trois chemins de $\frac{24}{210}$ chacun : total $\frac{72}{210}=\frac{12}{35}$. Aucune rouge : $P(VVV)=\frac{3}{7}\times\frac{2}{6}\times\frac{1}{5}=\frac{6}{210}=\frac{1}{35}$.

d) $\frac{24+108+72+6}{210}=\frac{210}{210}=1$. Toutes les issues sont bien couvertes.

a) Faux. Reprenons l'exercice 1 : $P_H(F)=\frac{9}{22}\approx 0{,}409$ alors que $P_F(H)=\frac{9}{14}\approx 0{,}643$. Le numérateur est commun, mais le dénominateur change : c'est $P(A)$ dans un cas et $P(B)$ dans l'autre.

b) Faux. Avec $P_A(B)=0{,}75$ et $P_{\overline{A}}(B)=0{,}40$, la somme vaut $1{,}15$. Ce qui vaut toujours 1, c'est $P_A(B)+P_A(\overline{B})$, la somme des branches partant d'un même nœud.

c) Faux. Dans l'exercice 3, $P(X\cap D)=0{,}0195$ alors que $P_X(D)=0{,}03$. La relation entre les deux est $P(X\cap D)=P(X)\times P_X(D)$ : on passe de l'une à l'autre en multipliant par $P(X)$, qui vaut ici $0{,}65$.

d) Faux. L'inégalité indique seulement une association statistique, pas un lien de cause à effet. Dans l'exercice 5, les colis du vendredi sont plus souvent en retard, mais ce n'est pas le vendredi qui cause le retard : c'est probablement une cause commune, comme une organisation différente en fin de semaine. Corrélation n'est pas causalité.