Exercices corrigés : probabilités et échantillonnage (Seconde)

a) La somme des probabilités vaut 1 : $0{,}1\times 3+0{,}15\times 2+P(6)=1$, soit $0{,}6+P(6)=1$, donc $P(6)=0{,}4$.

b) Nombres pairs : 2, 4 et 6. $P=0{,}1+0{,}15+0{,}4=0{,}65$.

c) Au moins 4 signifie 4, 5 ou 6 : $P=0{,}15+0{,}15+0{,}4=0{,}7$.

d) Directement : $P(1)+P(2)+P(3)=0{,}3$. Par l'événement contraire : c'est le contraire de « au moins 4 », donc $1-0{,}7=0{,}3$. Les deux méthodes concordent.

a) $P(\text{cœur})=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$.

b) $P(\text{roi})=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$.

c) Une seule carte convient : $P=\frac{1}{52}$.

d) Les deux événements ne sont pas incompatibles : le roi de cœur appartient aux deux. On applique donc la formule générale : $P=\frac{13}{52}+\frac{4}{52}-\frac{1}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}$. Additionner sans retrancher reviendrait à compter le roi de cœur deux fois et donnerait $\frac{17}{52}$, un résultat faux.

a) $P(A\cup B)=0{,}45+0{,}3-0{,}12=0{,}63$.

b) $P(\overline{A})=1-0{,}45=0{,}55$.

c) $A$ se décompose en « $A$ et $B$ » et « $A$ sans $B$ », donc $P(A\cap\overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=0{,}45-0{,}12=0{,}33$.

d) « Aucun des deux » est le contraire de « au moins un des deux », c'est-à-dire de $A\cup B$ : $P=1-0{,}63=0{,}37$.

e) Non : deux événements incompatibles vérifient $P(A\cap B)=0$, or ici cette probabilité vaut $0{,}12$, qui n'est pas nulle.

a) Sport sans musique : $70-25=45$. Pas de sport : $120-70=50$. Pas de sport avec musique : $45-25=20$. Pas de sport ni musique : $50-20=30$. Total sans musique : $45+30=75$, et $45+75=120$ : le tableau est cohérent.

b) $P(\text{sport})=\frac{70}{120}=\frac{7}{12}$, soit environ $0{,}583$.

c) Au moins une activité : $\frac{70+45-25}{120}=\frac{90}{120}=\frac{3}{4}$.

d) Aucune des deux : la case correspondante contient 30 élèves, donc $\frac{30}{120}=\frac{1}{4}$. C'est bien $1-\frac{3}{4}$, ce qui confirme la question c).

a) À chaque tirage, la composition de l'urne est identique : chaque branche rouge porte $\frac{3}{5}$ et chaque branche verte $\frac{2}{5}$. L'arbre a donc quatre chemins : RR, RV, VR et VV.

b) $P(RR)=\frac{3}{5}\times\frac{3}{5}=\frac{9}{25}$.

c) $P(VV)=\frac{2}{5}\times\frac{2}{5}=\frac{4}{25}$.

d) Deux chemins conviennent : $P(RV)+P(VR)=\frac{3}{5}\times\frac{2}{5}+\frac{2}{5}\times\frac{3}{5}=\frac{6}{25}+\frac{6}{25}=\frac{12}{25}$. Vérification : $\frac{9}{25}+\frac{4}{25}+\frac{12}{25}=\frac{25}{25}=1$.

a) Les probabilités du second tirage dépendent du résultat du premier : il ne reste que 4 boules, et la composition a changé. L'arbre n'a plus les mêmes valeurs sur les branches de second niveau.

b) $P(RR)=\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$.

c) $P(VV)=\frac{2}{5}\times\frac{1}{4}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$. Pour une de chaque : $\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}+\frac{2}{5}\times\frac{3}{4}=\frac{6}{20}+\frac{6}{20}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$. Somme : $\frac{3}{10}+\frac{1}{10}+\frac{6}{10}=1$.

d) Avec remise : $\frac{9}{25}=0{,}36$. Sans remise : $\frac{3}{10}=0{,}30$. La probabilité diminue, et c'était prévisible : après avoir retiré une rouge, il en reste moins dans l'urne, donc la seconde rouge devient moins probable.

a) « Aucune des deux » est le contraire de $E\cup A$, donc $P(E\cup A)=1-0{,}15=0{,}85$.

b) La formule $P(E\cup A)=P(E)+P(A)-P(E\cap A)$ donne $0{,}85=0{,}60+0{,}45-P(E\cap A)$, donc $P(E\cap A)=1{,}05-0{,}85=0{,}20$. Ainsi 20 % des élèves étudient les deux langues.

c) $P(E\cap\overline{A})=P(E)-P(E\cap A)=0{,}60-0{,}20=0{,}40$, soit 40 %.

d) L'énoncé est parfaitement cohérent. La somme $60+45$ dépasse 100 précisément parce que certains élèves sont comptés deux fois : ce sont les bilingues. Le surplus $105-85=20$ est exactement le pourcentage d'élèves qui étudient les deux langues.

a) Fréquence observée : $f=\frac{58}{100}=0{,}58$. Intervalle : $[0{,}5-\frac{1}{10}\ ;\ 0{,}5+\frac{1}{10}]=[0{,}4\ ;\ 0{,}6]$. Comme $0{,}58$ appartient à cet intervalle, on ne rejette pas l'hypothèse : rien ne permet de dire que la pièce est truquée.

b) Fréquence observée : $f=\frac{580}{1000}=0{,}58$. Intervalle : $\frac{1}{\sqrt{1000}}\approx 0{,}0316$, donc l'intervalle est environ $[0{,}468\ ;\ 0{,}532]$. Cette fois $0{,}58$ n'appartient pas à l'intervalle : on rejette l'hypothèse au seuil de 95 %, la pièce est probablement truquée.

c) L'amplitude de l'intervalle vaut $\frac{2}{\sqrt{n}}$ : elle diminue quand $n$ augmente. Un même écart à $0{,}5$ peut s'expliquer par le hasard sur 100 lancers, mais devient très improbable sur 1000 lancers. Plus l'échantillon est grand, plus le test est exigeant.

a) Le dé est équilibré, donc $P(6)=\frac{1}{6}$.

b) Sur 600 parties, on attend environ $600\times\frac{1}{6}=100$ apparitions du 6, donc 500 échecs. Gain estimé : $100\times 5+500\times(-1)=500-500=0$ dollar.

c) Le gain moyen attendu étant nul, le jeu est équitable : sur un grand nombre de parties, ni le joueur ni l'organisateur ne sont avantagés.

d) Avec un gain de 4 dollars : $100\times 4+500\times(-1)=400-500=-100$ dollars sur 600 parties, soit environ $-0{,}17$ dollar par partie. Le jeu devient défavorable au joueur.

e) Avec une perte de 2 dollars en cas d'échec, le total sur 600 parties vaut $100g+500\times(-2)=100g-1000$. Le jeu est équitable lorsque ce total est nul, donc $g=10$ dollars.

a) Impossible. Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=1{,}1$, ce qui dépasse 1 : une probabilité ne peut jamais excéder 1. Deux événements de probabilités $0{,}5$ et $0{,}6$ ont nécessairement une intersection non vide.

b) L'égalité n'est valable que si $A$ et $B$ sont incompatibles. Dans le cas général il faut retrancher l'intersection : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

c) Compter les issues ne suffit pas : encore faut-il qu'elles soient équiprobables. La conclusion n'est valable que si la pièce est équilibrée. Une pièce truquée a bien deux issues, mais pas des probabilités égales.

d) Même erreur, en plus visible. Les 11 sommes ne sont pas équiprobables : il n'y a qu'une seule façon d'obtenir 2 (1 et 1) contre six façons d'obtenir 7. Sur les 36 couples équiprobables, $P(7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ alors que $P(2)=\frac{1}{36}$.