Maths Seconde, programme français • Fiche de révision à Montréal

Fiche de révision : probabilités, modèle et loi des grands nombres (Seconde)

Cette fiche ne refait pas le cours sur les probabilités : vous l'avez déjà dans votre classeur. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note, l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, l'outil à choisir selon la manière dont l'expérience est décrite, et la rédaction que le correcteur de Seconde attend.

Elle suit le programme de Seconde entré en vigueur à la rentrée 2026 : l'intervalle de fluctuation en racine de n n'y figure plus, la loi des grands nombres observée par simulation reste. Les deux notions qui entrent ont leur propre fiche : probabilités conditionnelles et arbres pondérés, et tableaux croisés et fréquences conditionnelles. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Mis à jour le 3 novembre 2026

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Le fil du chapitre

Une probabilité n'est pas un comptage, c'est un RAPPORT entre deux comptages faits dans le même univers. Presque tous les points perdus en Seconde viennent d'un dénominateur qui change en cours de route sans qu'on s'en aperçoive, d'une addition de probabilités d'événements qui ne sont pas incompatibles, ou d'une équiprobabilité supposée alors que rien dans l'énoncé ne l'autorise.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Seconde

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 15 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Probabilités et arbres à deux épreuves Troisième Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (5 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1 Durées, tableaux et graphiques Sixième
2 Les fractions Cinquième
3 Statistiques et probabilités Cinquième
4 Statistiques et probabilités Quatrième
5 Probabilités et arbres à deux épreuves Troisième

Notions couvertes

Univers et issues
Loi de probabilité
Équiprobabilité
Événement contraire
Réunion et intersection
Événements incompatibles
Arbre pondéré
Tableau à double entrée
Tirage sans remise
Loi des grands nombres
Fluctuation d'échantillonnage
Probabilité conditionnelle

L'essentiel

Ce qu'une loi de probabilité doit vérifier

• Chaque issue reçoit un nombre compris entre $0$ et $1$ , et la somme de tous ces nombres vaut EXACTEMENT $1$ .
• Une probabilité négative ou supérieure à $1$ n'existe pas : c'est un diagnostic d'erreur, pas un résultat à rendre.
• En situation d'ÉQUIPROBABILITÉ seulement, $P(A)=\frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues totales}}$ .
• L'équiprobabilité ne se démontre pas : c'est une hypothèse du modèle, que l'énoncé donne par un mot comme « équilibré », « au hasard », « non truqué », et qu'on énonce explicitement dans la copie.
• Événement contraire : $P(\overline{A})=1-P(A)$ . C'est la formule la plus rentable du chapitre.

L'univers

\Omega

est partagé en deux :

A

(en bleu) et tout le reste,

\overline{A}

(en orange). Les deux morceaux couvrent

\Omega

sans se chevaucher, d'où

P(\overline{A})=1-P(A)

Le comptage du dénominateur se fait une fois pour toutes, au début : c'est le nombre d'issues de l'univers. S'il change d'une question à l'autre, c'est que l'univers a changé, et il faut le dire.

Réunion, intersection, incompatibilité

• $A\cup B$ se lit « $A$ OU $B$ », au sens large : l'un, l'autre, ou les deux. $A\cap B$ se lit « $A$ ET $B$ », les deux à la fois.
• Formule générale, toujours vraie : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ . On retire l'intersection comptée deux fois.
• $A$ et $B$ sont INCOMPATIBLES lorsque $A\cap B=\varnothing$ , donc $P(A\cap B)=0$ : alors seulement $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ .
• Deux événements contraires sont incompatibles, mais deux événements incompatibles ne sont pas forcément contraires.
• Dans un tableau à double entrée, l'intersection est une CASE, la réunion se lit en ajoutant le total d'une ligne et celui d'une colonne, puis en retirant la case commune.

À gauche,

A

B

se chevauchent : la zone verte

A\cap B

est comptée dans

P(A)

ET dans

P(B)

, on la retire une fois. À droite, les disques sont séparés :

A\cap B=\varnothing

et les probabilités s'additionnent.

Avant d'additionner deux probabilités, se demander : ces deux événements peuvent-ils se produire en même temps ? Si la réponse est oui, la formule complète est obligatoire.

Arbres, remise, et loi des grands nombres

• Dans un arbre pondéré, on MULTIPLIE les probabilités le long d'un chemin, et on ADDITIONNE les chemins qui réalisent l'événement.
• La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$ : c'est le contrôle instantané d'un arbre bien construit.
• Tirage AVEC remise : la composition ne change pas, le dénominateur reste le même à chaque étape.
• Tirage SANS remise, ou tirage simultané : il y a une boule de moins à chaque étape, donc le dénominateur diminue de $1$ .
• Loi des grands nombres, version du programme : lorsque $n$ est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité. Elle parle d'un GRAND nombre de répétitions, jamais de la suivante.

Simulation de

1\,000

lancers : la fréquence de pile oscille au début, puis se resserre autour de

\frac{1}{2}

sur un GRAND nombre de lancers.

D'un échantillon à l'autre, la fréquence observée change : c'est la fluctuation d'échantillonnage, et elle se resserre quand la taille de l'échantillon augmente. Une probabilité est une hypothèse du MODÈLE ; une fréquence est une mesure de la RÉALITÉ. La loi des grands nombres relie les deux sans jamais les confondre.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Additionner deux probabilités d'événements qui peuvent se produire ensemble

toute la question, et l'erreur se répète à chaque question de réunion

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Dans un jeu de $52$ cartes, $P(\text{cœur ou roi})=\frac{13}{52}+\frac{4}{52}=\frac{17}{52}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le roi de cœur appartient aux deux événements, donc $P(\text{cœur ou roi})=\frac{13}{52}+\frac{4}{52}-\frac{1}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}$ . »

Le roi de cœur appartient aux deux disques : l'additionner deux fois donne

17

cartes au lieu de

16

. On retire l'intersection une fois.

Pourquoi : En additionnant, le roi de cœur est compté deux fois : une fois comme cœur, une fois comme roi. Le contrôle par le comptage direct tranche, il y a bien $13+3=16$ cartes qui sont un cœur ou un roi, pas $17$ .

2. Ne pas vérifier que la somme des probabilités vaut $1$

toute la suite du problème, puisque toutes les probabilités calculées ensuite sont fausses

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le dé truqué donne $P(1)=0{,}1$ , $P(2)=0{,}1$ , $P(3)=0{,}2$ , $P(4)=0{,}2$ , $P(5)=0{,}2$ et $P(6)=0{,}3$ : je passe à la question suivante. »

Ce qu'il faut écrire

« La somme vaut $1{,}1$ , donc cette loi est impossible. Il y a une erreur de lecture de l'énoncé ou une inconnue à déterminer par l'équation somme $=1$ . »

Pourquoi : La condition somme $=1$ est la définition même d'une loi de probabilité, et c'est aussi l'équation qui permet de trouver la probabilité manquante d'un dé truqué. Le contrôle coûte cinq secondes et sécurise tout l'exercice.

3. Garder le même dénominateur dans un tirage sans remise

toute la question, et toutes les branches de l'arbre sont fausses

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Une urne contient $5$ boules rouges et $3$ vertes ; on tire deux boules sans remise : $P(\text{deux rouges})=\frac{5}{8}\times\frac{5}{8}=\frac{25}{64}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Après un premier tirage rouge, il reste $4$ rouges sur $7$ boules : $P(\text{deux rouges})=\frac{5}{8}\times\frac{4}{7}=\frac{20}{56}=\frac{5}{14}$ . »

Le dénominateur du second niveau vaut

7

et non

8

: une boule est partie. Le numérateur baisse aussi dans la couleur déjà tirée,

4

rouges au lieu de

5

Pourquoi : Sans remise, l'univers du second tirage n'est plus celui du premier : il a une boule de moins, et une de moins dans la couleur tirée. Le contrôle de bon sens : sans remise la probabilité de deux rouges est forcément PLUS PETITE qu'avec remise, ici $0{,}357$ contre $0{,}391$ .

4. Traiter « au moins un » comme une somme

toute la question, et la méthode fausse donne des probabilités supérieures à

1

dès sept lancers

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On lance deux fois un dé équilibré : $P(\text{au moins un six})=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'événement contraire est « aucun six », de probabilité $\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$ . Donc $P(\text{au moins un six})=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$ . »

Les cases contenant au moins un six forment un L de

11

cases, pas

12

: la case

(6\,;6)

appartient aux deux lignes et ne se compte qu'une fois. La probabilité est

\frac{11}{36}

Pourquoi : L'addition compte deux fois le cas où les deux dés donnent six. L'expression « au moins un » appelle systématiquement l'événement contraire, « aucun », qui est un seul chemin de l'arbre au lieu de plusieurs. Avec trois lancers, la méthode fausse donnerait $\frac{1}{2}$ au lieu de $\frac{91}{216}$ .

5. Supposer l'équiprobabilité parce qu'il n'y a que deux issues

toute la question, et un raisonnement invalidé même si le résultat tombe juste par hasard

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Un sac contient $20$ tickets, dont $3$ gagnants. Soit je gagne, soit je perds : il y a deux issues, donc $P(\text{gagner})=\frac{1}{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'équiprobabilité porte sur les $20$ tickets, tirés au hasard, et non sur les deux issues « gagner » et « perdre » : $P(\text{gagner})=\frac{3}{20}$ . »

Pourquoi : Le nombre d'issues ne dit rien de leur probabilité : gagner au loto et perdre au loto sont deux issues, et elles ne sont pas équiprobables. Le mot déclencheur est dans l'énoncé, « équilibré », « au hasard », « indiscernables au toucher ».

6. Additionner les probabilités le long d'un chemin de l'arbre

toute la question, et le résultat dépasse

1

, ce qui est impossible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le chemin rouge puis vert donne $\frac{5}{8}+\frac{3}{7}=\frac{59}{56}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le long d'un chemin, on MULTIPLIE : $\frac{5}{8}\times\frac{3}{7}=\frac{15}{56}$ . L'addition ne sert qu'entre chemins DIFFÉRENTS. »

Le chemin rouge puis vert décrit « rouge ET vert » : on MULTIPLIE les deux probabilités rencontrées,

\frac{5}{8}\times\frac{3}{7}=\frac{15}{56}

. L'addition

\frac{5}{8}+\frac{3}{7}

dépasse

1

Pourquoi : Un chemin décrit deux conditions qui doivent être vraies EN MÊME TEMPS, donc une intersection. Sa probabilité est le produit des probabilités portées par ses branches, la seconde étant conditionnelle : $P(R_{1}\cap V_{2})=P(R_{1})\times P_{R_{1}}(V_{2})$ . La règle se retient en une phrase : le long du chemin on multiplie, entre les chemins on additionne.

7. Lire le mauvais total dans un tableau à double entrée

toute la question, et le nombre trouvé peut être presque trois fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Sur $120$ élèves, $45$ sont demi-pensionnaires et $18$ d'entre eux font de l'allemand : $P(\text{allemand et demi-pensionnaire})=\frac{18}{45}=0{,}4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La question porte sur un élève choisi parmi TOUS les élèves, donc le dénominateur est $120$ : $P(\text{allemand et demi-pensionnaire})=\frac{18}{120}=0{,}15$ . »

Pourquoi : Le dénominateur est fixé par la population dans laquelle on tire, pas par la ligne du tableau où se trouve la case. Le total de la marge sert seulement quand l'énoncé restreint explicitement le tirage, par exemple « parmi les demi-pensionnaires ».

8. Croire que la loi des grands nombres décide du prochain lancer

toute la question, et la conclusion inverse de celle attendue

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La pièce est tombée cinq fois de suite sur pile : face a maintenant plus d'une chance sur deux de sortir, puisque les fréquences doivent s'équilibrer. »

Ce qu'il faut écrire

« La pièce n'a pas de mémoire : au sixième lancer, $P(\text{face})=\frac{1}{2}$ , comme au premier. La loi des grands nombres dit que la fréquence se rapproche de $\frac{1}{2}$ sur un GRAND nombre de lancers, pas que le hasard compense. »

Pourquoi : Cinq piles de suite ont une probabilité de $\frac{1}{32}$ au départ, mais une fois qu'ils sont sortis, le sixième lancer repart de zéro. La fréquence se rapproche de $\frac{1}{2}$ parce que cinq lancers pèsent de moins en moins au milieu de milliers d'autres : $\frac{5}{1\,000}$ ne vaut plus que $0{,}005$ , pas parce que des faces viendraient rattraper.

Quelle méthode choisir

Quel outil selon la description de l'expérience

Lire comment l'énoncé décrit l'expérience et ce qu'il donne comme données.

Si une seule épreuve, et l'énoncé dit « équilibré », « au hasard » ou « indiscernables » → comptage : nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles

Exemple : $P(\text{roi})=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$
Si deux caractères croisés sur une même population → TABLEAU à double entrée, avec les totaux en marge

Exemple : langue choisie et régime de restauration

l'intersection est une case, jamais une multiplication
Si deux épreuves SUCCESSIVES → ARBRE pondéré, en multipliant le long des chemins

Exemple : deux tirages dans une urne
Si l'énoncé contient « au moins un » → passer par l'événement CONTRAIRE, « aucun »

Exemple : $1-\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{11}{36}$
Si l'énoncé contient « ou » → formule de la réunion, avec l'intersection retirée si elle n'est pas vide

Exemple : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
Si l'énoncé contient « sachant que », « parmi ceux qui » → probabilité CONDITIONNELLE : on restreint l'univers, $P_{A}(B)=\frac{\text{Card}(A\cap B)}{\text{Card}(A)}$

Exemple : parmi les $45$ demi-pensionnaires, $18$ font de l'allemand : $\frac{18}{45}=0{,}4$

voir la fiche des probabilités conditionnelles pour les arbres pondérés
Si une expérience répétée un grand nombre de fois, et des fréquences observées → loi des grands nombres : la fréquence ESTIME la probabilité et sert à choisir un modèle

Exemple : $6\,200$ punaises pointe en haut sur $10\,000$ lancers : modèle $p=0{,}62$

Si aucune branche ne s'applique, revenir au dénombrement de l'univers : lister les issues, vérifier qu'elles sont équiprobables, puis compter.

Avec remise ou sans remise ? Le mot de l'énoncé décide

Chercher dans l'énoncé la phrase qui décrit ce qui se passe entre les deux tirages.

Après une rouge, l'arbre avec remise répète

\frac{5}{8}

; l'arbre sans remise passe à

\frac{4}{7}

: une boule de moins au total, une rouge de moins.

Si « on remet la boule dans l'urne », « on relance le dé », « on repose la carte » → AVEC remise : le dénominateur ne change pas, les branches se répètent à l'identique

Exemple : $\frac{5}{8}\times\frac{5}{8}$
Si « sans remise », « on garde la boule », « on tire deux cartes de suite » → SANS remise : une unité de moins au dénominateur, et une de moins dans la couleur tirée

Exemple : $\frac{5}{8}\times\frac{4}{7}$
Si « on tire SIMULTANÉMENT deux boules » → sans remise également, et l'ordre des deux boules ne compte pas

Exemple : une rouge et une verte : $\frac{15}{56}+\frac{15}{56}=\frac{15}{28}$

les deux chemins de l'arbre s'additionnent, car les deux ordres conviennent
Si l'énoncé ne précise rien mais la population est très grande → traiter comme avec remise, en le justifiant d'une phrase

Exemple : un sondage sur mille personnes dans une ville

Le contrôle qui tranche toujours : sans remise, la probabilité de deux résultats identiques est PLUS PETITE qu'avec remise. Si le calcul dit le contraire, un dénominateur n'a pas été mis à jour.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger un calcul de probabilité avec un arbre pondéré

Quand l'utiliser : Dès que l'expérience comporte deux épreuves successives, avec ou sans remise.

1 Définir les événements par une phrase, avec une lettre : « soit $R_{1}$ l'événement le premier tirage donne une boule rouge ».
2 Construire l'arbre en écrivant la probabilité SUR chaque branche, y compris celles qui ne serviront pas.
3 Vérifier que la somme des branches issues de chaque nœud vaut $1$ : c'est le contrôle qui valide toute la structure.
4 Identifier le ou les chemins qui réalisent l'événement demandé, et les nommer avant de calculer.
5 Multiplier le long de chaque chemin, additionner les chemins retenus, puis donner le résultat en fraction irréductible et en valeur décimale approchée.

Phrase de conclusion

« Un seul chemin réalise cet événement : $P(R_{1}\cap R_{2})=\frac{5}{8}\times\frac{4}{7}=\frac{20}{56}=\frac{5}{14}\approx 0{,}36$ . »

Le piège : Écrire les probabilités du second niveau comme celles du premier dans un tirage sans remise. Les branches de droite ne sont jamais identiques à celles de gauche.

Barème : Souvent 2 points pour l'arbre complet et correctement pondéré, 1 point pour le chemin identifié, 1 point pour le calcul et la conclusion.

Choisir un modèle à partir de fréquences observées

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé fournit les résultats d'un grand nombre de répétitions, par une expérience réelle ou une simulation en Python ou au tableur, et demande une probabilité.

1 Nommer l'expérience et l'issue étudiée : « on lance une punaise, on regarde si elle tombe pointe en haut ».
2 Calculer la fréquence observée, quotient d'EFFECTIFS : $f=\frac{6\,200}{10\,000}=0{,}62$ .
3 Constater la fluctuation : sur de petits échantillons les fréquences varient beaucoup, sur de grands elles se resserrent.
4 Invoquer la loi des grands nombres : le nombre de lancers est grand, donc, sauf exception, la fréquence est proche de la probabilité.
5 Conclure en proposant un MODÈLE, et dire que c'est une hypothèse, pas une valeur démontrée.

Phrase de conclusion

« Sur $10\,000$ lancers, la fréquence observée de l'issue pointe en haut est $0{,}62$ . D'après la loi des grands nombres, on choisit comme modèle $P(\text{pointe en haut})=0{,}62$ , en sachant que c'est une hypothèse de modélisation et non une valeur démontrée. »

Le piège : Écrire « la probabilité est exactement 0,62 » ou tirer un modèle de dix lancers. Une fréquence estime une probabilité seulement quand le nombre de répétitions est grand, et elle ne la prouve jamais.

Barème : Souvent 1 point pour la fréquence, 1 point pour la loi des grands nombres citée, 1 point pour la distinction entre modèle et réalité.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La somme vaut $1$

Additionner les probabilités de toutes les issues d'une loi, ou de toutes les branches issues d'un même nœud d'un arbre. Le total doit être exactement $1$ .

Un dé truqué dont les six probabilités totalisent $1{,}1$ est impossible : la loi est mal lue ou mal recopiée.
Toute probabilité reste entre $0$ et $1$

Regarder chaque résultat intermédiaire. Un nombre négatif ou supérieur à $1$ signale une addition faite là où il fallait multiplier, ou une intersection oubliée.

$\frac{5}{8}+\frac{3}{7}=\frac{59}{56}>1$ : le chemin de l'arbre a été additionné au lieu d'être multiplié.
Le contrôle par l'événement contraire

Calculer aussi la probabilité du contraire, séparément, et vérifier que la somme des deux vaut $1$ . Si l'une a été obtenue par $1-P$ , la somme vaut $1$ par construction et ne contrôle rien.

$P(\text{au moins une verte})=\frac{15}{56}+\frac{15}{56}+\frac{6}{56}=\frac{9}{14}$ , par les trois chemins, et $P(\text{deux rouges})=\frac{5}{14}$ : la somme vaut bien $1$ .
La comparaison avec remise et sans remise

Refaire mentalement le calcul dans l'autre configuration : sans remise, la probabilité d'obtenir deux fois la même couleur est toujours plus petite.

$\frac{5}{14}\approx 0{,}357$ sans remise contre $\frac{25}{64}\approx 0{,}391$ avec remise : l'ordre attendu est respecté.

L'exercice type décortiqué

Deux tirages dans une urne, sans remise

Une urne contient $5$ boules rouges et $3$ boules vertes, indiscernables au toucher.

On tire successivement et sans remise deux boules de l'urne.

1. Construire l'arbre pondéré de cette expérience.

2. Calculer la probabilité d'obtenir deux boules rouges.

3. Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule verte.

4. Calculer la probabilité d'obtenir une boule de chaque couleur.

L'urne de l'énoncé :

5

boules rouges (R) et

3

vertes (V), soit

8

boules indiscernables au toucher.

Étape 1

L'urne contient $8$ boules. Au premier tirage, $P(R_{1})=\frac{5}{8}$ et $P(V_{1})=\frac{3}{8}$ . Ces deux probabilités totalisent $1$ .

Pourquoi

Le mot « indiscernables au toucher » est ce qui autorise l'équiprobabilité : sans lui, le comptage favorables sur possibles serait injustifié. Le contrôle de la somme valide déjà le premier niveau de l'arbre.

Étape 2

Après une rouge, il reste $4$ rouges et $3$ vertes, soit $7$ boules : $P_{R_{1}}(R_{2})=\frac{4}{7}$ et $\frac{3}{7}$ pour la verte. Après une verte, il reste $5$ rouges et $2$ vertes : $\frac{5}{7}$ et $\frac{2}{7}$ .

Pourquoi

Les deux branches du second niveau sont DIFFÉRENTES, et c'est toute la particularité du tirage sans remise. Chaque paire totalise encore $1$ , ce qui valide le second niveau sans refaire un seul calcul.

Étape 3

Deux rouges : un seul chemin, $P=\frac{5}{8}\times\frac{4}{7}=\frac{20}{56}=\frac{5}{14}\approx 0{,}357$ .

Pourquoi

Le long d'un chemin on multiplie, parce que les deux conditions doivent être réalisées ensemble. La fraction se simplifie par $4$ , et le correcteur attend la forme irréductible autant que la valeur décimale.

Étape 4

Au moins une verte est le CONTRAIRE de deux rouges : $P=1-\frac{5}{14}=\frac{9}{14}\approx 0{,}643$ .

Pourquoi

Sans l'événement contraire, il faudrait additionner trois chemins au lieu d'un. C'est le calcul le plus court et le moins risqué, et il se signale par les mots « au moins un » dans l'énoncé.

Étape 5

Une de chaque couleur : deux chemins, rouge puis verte et verte puis rouge. $P=\frac{5}{8}\times\frac{3}{7}+\frac{3}{8}\times\frac{5}{7}=\frac{15}{56}+\frac{15}{56}=\frac{30}{56}=\frac{15}{28}\approx 0{,}536$ .

Pourquoi

L'énoncé ne fixe pas l'ordre des couleurs, donc les deux chemins conviennent et s'ADDITIONNENT. Oublier le second chemin divise le résultat par deux, et c'est l'erreur la plus fréquente de cette question.

Étape 6

Contrôle : les quatre chemins de l'arbre sont $\frac{20}{56}$ , $\frac{15}{56}$ , $\frac{15}{56}$ et $\frac{3}{8}\times\frac{2}{7}=\frac{6}{56}$ . Leur somme vaut $\frac{56}{56}=1$ .

Pourquoi

Additionner tous les chemins d'un arbre doit toujours donner $1$ , quel que soit le problème. Ce contrôle final teste d'un coup les six probabilités écrites sur les branches, et il est gratuit.

Étape 7

Cohérence supplémentaire : avec remise, deux rouges auraient donné $\frac{25}{64}\approx 0{,}391$ , valeur supérieure à $0{,}357$ . L'ordre attendu est respecté.

Pourquoi

Retirer une boule rouge diminue la proportion de rouges restantes, donc la probabilité d'en tirer une seconde. Un résultat sans remise plus grand qu'avec remise serait la signature d'un dénominateur oublié.

Conclusion rédigée

La probabilité d'obtenir deux boules rouges est $\frac{5}{14}$ , celle d'obtenir au moins une verte est $\frac{9}{14}$ , et celle d'obtenir une boule de chaque couleur est $\frac{15}{28}$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Ne compter qu'un seul chemin à la question 4, en oubliant l'ordre verte puis rouge. Le résultat $\frac{15}{56}$ reste plausible et compris entre $0$ et $1$ , donc aucun contrôle de vraisemblance ne le détecte : seul le contrôle $P(\text{deux rouges})+P(\text{deux vertes})+P(\text{une de chaque})=1$ , qui donne ici $\frac{20}{56}+\frac{6}{56}+\frac{15}{56}=\frac{41}{56}$ , le révèle.

À savoir par cœur

• Une loi de probabilité : chaque valeur entre $0$ et $1$ , et somme égale à $1$ exactement.
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ toujours ; la somme simple n'est valable que si $A\cap B=\varnothing$ .
• $P(\overline{A})=1-P(A)$ : c'est la formule à utiliser dès que l'énoncé dit « au moins un ».
• Dans un arbre, on MULTIPLIE le long d'un chemin et on ADDITIONNE entre les chemins.
• La somme des branches issues d'un même nœud vaut $1$ .
• Sans remise, le dénominateur diminue de $1$ à chaque tirage, et l'effectif de la catégorie tirée aussi.
• En équiprobabilité seulement : $P(A)=\frac{\text{favorables}}{\text{possibles}}$ , et l'équiprobabilité vient de l'énoncé.
• Loi des grands nombres : pour $n$ grand, sauf exception, fréquence observée proche de la probabilité. Elle ne dit RIEN du prochain essai.

Questions fréquentes

Quand peut-on additionner deux probabilités ?

Seulement quand les deux événements sont incompatibles, c'est-à-dire quand ils ne peuvent pas se produire en même temps. Sinon il faut retrancher la probabilité de leur intersection, sans quoi les cas communs sont comptés deux fois. Le test à faire avant toute addition : ces deux choses peuvent-elles arriver ensemble ?

Comment calculer une probabilité avec au moins un ?

On passe par l'événement contraire, qui est aucun. On calcule la probabilité de n'obtenir aucun résultat favorable, ce qui ne demande souvent qu'un seul chemin de l'arbre, puis on soustrait ce nombre à un. Additionner directement les probabilités de chaque tirage compte plusieurs fois les cas où le résultat apparaît deux fois.

Quelle différence entre un tirage avec remise et sans remise ?

Avec remise, la composition de l'urne est la même à chaque tirage, donc le dénominateur ne change pas. Sans remise, il y a un objet de moins à chaque étape, et un de moins dans la catégorie déjà tirée. Un tirage simultané se traite comme un tirage sans remise, avec les deux ordres qui s'additionnent.

Comment savoir si les issues sont équiprobables ?

C'est l'énoncé qui le dit, par des mots comme équilibré, non truqué, au hasard, ou indiscernables au toucher. Le nombre d'issues ne prouve rien : gagner ou perdre au loto font deux issues qui ne sont évidemment pas équiprobables. Sans ces mots, il faut lire la loi dans le tableau fourni.

Que dit la loi des grands nombres en Seconde ?

Elle dit que lorsque l'on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire, la fréquence observée d'une issue est, sauf exception, proche de sa probabilité. On l'observe en simulant l'expérience en Python ou au tableur, et elle sert à choisir un modèle quand aucune symétrie ne donne la probabilité, comme pour une punaise. Elle ne dit rien du prochain lancer : le hasard ne compense pas.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Probabilités, modèle et loi des grands nombres

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
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Probabilités conditionnelles et arbres pondérés Une histoire du vivant Terminale, Enseignement scientifique

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/2nde-probabilites. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Contactez-moi pour une première séance. On reprend les gestes des probabilités qui coûtent des points, de la construction d'un arbre pondéré jusqu'au choix d'un modèle à partir de fréquences observées, puis on les met à l'épreuve sur des exercices du niveau réel des contrôles au Lycée Marie de France et au Collège Stanislas.

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Fiche de révision : probabilités, modèle et loi des grands nombres (Seconde)

L'essentiel

Ce qu'une loi de probabilité doit vérifier

Réunion, intersection, incompatibilité

Arbres, remise, et loi des grands nombres

Les pièges qui coûtent des points

1. Additionner deux probabilités d'événements qui peuvent se produire ensemble

2. Ne pas vérifier que la somme des probabilités vaut 111

3. Garder le même dénominateur dans un tirage sans remise

4. Traiter « au moins un » comme une somme

5. Supposer l'équiprobabilité parce qu'il n'y a que deux issues

6. Additionner les probabilités le long d'un chemin de l'arbre

7. Lire le mauvais total dans un tableau à double entrée

8. Croire que la loi des grands nombres décide du prochain lancer

Quelle méthode choisir

Quel outil selon la description de l'expérience

Avec remise ou sans remise ? Le mot de l'énoncé décide

La rédaction attendue

Rédiger un calcul de probabilité avec un arbre pondéré

Choisir un modèle à partir de fréquences observées

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Deux tirages dans une urne, sans remise

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quand peut-on additionner deux probabilités ?

Comment calculer une probabilité avec au moins un ?

Quelle différence entre un tirage avec remise et sans remise ?

Comment savoir si les issues sont équiprobables ?

Que dit la loi des grands nombres en Seconde ?

Exercices corrigés : Probabilités, modèle et loi des grands nombres

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2. Ne pas vérifier que la somme des probabilités vaut $1$