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Maths Seconde, programme français • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : probabilités et échantillonnage (Seconde)

Cette fiche ne refait pas le cours sur les probabilités : vous l'avez déjà dans votre classeur. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note, l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, l'outil à choisir selon la manière dont l'expérience est décrite, et la rédaction que le correcteur de Seconde attend.

Elle est écrite pour les élèves de Seconde du programme français à Montréal, en particulier au Lycée Marie de France et au Collège Stanislas. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Une probabilité n'est pas un comptage, c'est un RAPPORT entre deux comptages faits dans le même univers. Presque tous les points perdus en Seconde viennent d'un dénominateur qui change en cours de route sans qu'on s'en aperçoive, d'une addition de probabilités d'événements qui ne sont pas incompatibles, ou d'une équiprobabilité supposée alors que l'énoncé ne la donne pas.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Seconde

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (5 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Durées, tableaux et graphiquesSixième
  2. 2Les fractionsCinquième
  3. 3Statistiques et probabilitésCinquième
  4. 4Statistiques et probabilitésQuatrième
  5. 5Probabilités et arbres à deux épreuvesTroisième

L'essentiel

Ce qu'une loi de probabilité doit vérifier

  • • Chaque issue reçoit un nombre compris entre 00 et 11, et la somme de tous ces nombres vaut EXACTEMENT 11.
  • • Une probabilité négative ou supérieure à 11 n'existe pas : c'est un diagnostic d'erreur, pas un résultat à rendre.
  • • En situation d'ÉQUIPROBABILITÉ seulement, P(A)=nombre d’issues favorablesnombre d’issues totalesP(A)=\frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues totales}}.
  • • L'équiprobabilité doit être donnée par l'énoncé, par un mot comme « équilibré », « au hasard », « non truqué ». Elle ne se suppose jamais.
  • • Événement contraire : P(A‾)=1−P(A)P(\overline{A})=1-P(A). C'est la formule la plus rentable du chapitre.

Le comptage du dénominateur se fait une fois pour toutes, au début : c'est le nombre d'issues de l'univers. S'il change d'une question à l'autre, c'est que l'univers a changé, et il faut le dire.

Réunion, intersection, incompatibilité

  • • A∪BA\cup B se lit « AA OU BB », au sens large : l'un, l'autre, ou les deux. A∩BA\cap B se lit « AA ET BB », les deux à la fois.
  • • Formule générale, toujours vraie : P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B). On retire l'intersection comptée deux fois.
  • • AA et BB sont INCOMPATIBLES lorsque A∩B=∅A\cap B=\varnothing, donc P(A∩B)=0P(A\cap B)=0 : alors seulement P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A\cup B)=P(A)+P(B).
  • • Deux événements contraires sont incompatibles, mais deux événements incompatibles ne sont pas forcément contraires.
  • • Dans un tableau à double entrée, l'intersection est une CASE, la réunion se lit en ajoutant deux lignes ou deux colonnes et en retirant la case commune.

Avant d'additionner deux probabilités, se demander : ces deux événements peuvent-ils se produire en même temps ? Si la réponse est oui, la formule complète est obligatoire.

Arbres, remise, et échantillonnage

  • • Dans un arbre pondéré, on MULTIPLIE les probabilités le long d'un chemin, et on ADDITIONNE les chemins qui réalisent l'événement.
  • • La somme des probabilités des branches issues d'un même noeud vaut 11 : c'est le contrôle instantané d'un arbre bien construit.
  • • Tirage AVEC remise : la composition ne change pas, le dénominateur reste le même à chaque étape.
  • • Tirage SANS remise, ou tirage simultané : il y a une boule de moins à chaque étape, donc le dénominateur diminue de 11.
  • • Intervalle de fluctuation au seuil de 95 %95\ \% pour un échantillon de taille nn : [p−1n ; p+1n]\Big[p-\frac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ p+\frac{1}{\sqrt{n}}\Big].

Une fréquence observée en dehors de l'intervalle conduit à REJETER l'hypothèse sur pp ; une fréquence à l'intérieur ne la prouve pas, elle ne permet simplement pas de la rejeter. La nuance est explicitement notée.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Additionner deux probabilités d'événements qui peuvent se produire ensemble

toute la question, et l'erreur se répète à chaque question de réunion

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Dans un jeu de 5252 cartes, P(coeur ou roi)=1352+452=1752P(\text{coeur ou roi})=\frac{13}{52}+\frac{4}{52}=\frac{17}{52}. »

Ce qu'il faut écrire

« Le roi de coeur appartient aux deux événements, donc P(coeur ou roi)=1352+452−152=1652=413P(\text{coeur ou roi})=\frac{13}{52}+\frac{4}{52}-\frac{1}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}. »

coeurs : 13rois : 4le roi de coeur, compté deux fois13 + 4 - 1 = 16 cartes
Le roi de coeur appartient aux deux disques : l'additionner deux fois donne 1717 cartes au lieu de 1616. On retire l'intersection une fois.

Pourquoi : En additionnant, le roi de coeur est compté deux fois : une fois comme coeur, une fois comme roi. Le contrôle par le comptage direct tranche, il y a bien 13+3=1613+3=16 cartes qui sont un coeur ou un roi, pas 1717.

2. Ne pas vérifier que la somme des probabilités vaut 11

toute la suite du problème, puisque toutes les probabilités calculées ensuite sont fausses

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le dé truqué donne P(1)=0,1P(1)=0{,}1, P(2)=0,1P(2)=0{,}1, P(3)=0,2P(3)=0{,}2, P(4)=0,2P(4)=0{,}2, P(5)=0,2P(5)=0{,}2 et P(6)=0,3P(6)=0{,}3 : je passe à la question suivante. »

Ce qu'il faut écrire

« La somme vaut 1,11{,}1, donc cette loi est impossible. Il y a une erreur de lecture de l'énoncé ou une inconnue à déterminer par l'équation somme =1=1. »

Pourquoi : La condition somme =1=1 est la définition même d'une loi de probabilité, et c'est aussi l'équation qui permet de trouver la probabilité manquante d'un dé truqué. Le contrôle coûte cinq secondes et sécurise tout l'exercice.

3. Garder le même dénominateur dans un tirage sans remise

toute la question, et toutes les branches de l'arbre sont fausses

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Une urne contient 55 boules rouges et 33 vertes ; on tire deux boules sans remise : P(deux rouges)=58×58=2564P(\text{deux rouges})=\frac{5}{8}\times\frac{5}{8}=\frac{25}{64}. »

Ce qu'il faut écrire

« Après un premier tirage rouge, il reste 44 rouges sur 77 boules : P(deux rouges)=58×47=2056=514P(\text{deux rouges})=\frac{5}{8}\times\frac{4}{7}=\frac{20}{56}=\frac{5}{14}. »

RVRVRV5/83/84/73/75/72/7sur 8 boulespuis sur 7 boules
Le dénominateur du second niveau vaut 77 et non 88 : une boule est partie. Le numérateur baisse aussi dans la couleur déjà tirée, 44 rouges au lieu de 55.

Pourquoi : Sans remise, l'univers du second tirage n'est plus celui du premier : il a une boule de moins, et une de moins dans la couleur tirée. Le contrôle de bon sens : sans remise la probabilité de deux rouges est forcément PLUS PETITE qu'avec remise, ici 0,3570{,}357 contre 0,3910{,}391.

4. Traiter « au moins un » comme une somme

toute la question, et la méthode fausse donne des probabilités supérieures à $1$ dès trois lancers

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On lance deux fois un dé équilibré : P(au moins un six)=16+16=13P(\text{au moins un six})=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}. »

Ce qu'il faut écrire

« L'événement contraire est « aucun six », de probabilité (56)2=2536\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}. Donc P(au moins un six)=1−2536=1136P(\text{au moins un six})=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}. »

123456123456premier désecond dé11 cases sur 36, pas 12
Les cases contenant au moins un six forment un L de 1111 cases, pas 1212 : la case (6 ;6)(6\,;6) appartient aux deux lignes et ne se compte qu'une fois. La probabilité est 1136\frac{11}{36}.

Pourquoi : L'addition compte deux fois le cas où les deux dés donnent six. L'expression « au moins un » appelle systématiquement l'événement contraire, « aucun », qui est un seul chemin de l'arbre au lieu de plusieurs. Avec trois lancers, la méthode fausse donnerait 12\frac{1}{2} au lieu de 91216\frac{91}{216}.

5. Supposer l'équiprobabilité parce qu'il n'y a que deux issues

toute la question, et un raisonnement invalidé même si le résultat tombe juste par hasard

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Soit je gagne, soit je perds : il y a deux issues, donc P(gagner)=12P(\text{gagner})=\frac{1}{2}. »

Ce qu'il faut écrire

« L'équiprobabilité n'est pas donnée par le nombre d'issues mais par l'énoncé. Ici, la loi doit être lue dans le tableau ou calculée à partir des effectifs : P(gagner)=320P(\text{gagner})=\frac{3}{20}. »

Pourquoi : Le nombre d'issues ne dit rien de leur probabilité : gagner au loto et perdre au loto sont deux issues, et elles ne sont pas équiprobables. Le mot déclencheur est dans l'énoncé, « équilibré », « au hasard », « indiscernables au toucher ».

6. Additionner les probabilités le long d'un chemin de l'arbre

toute la question, et le résultat dépasse $1$, ce qui est impossible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le chemin rouge puis vert donne 58+37=5956\frac{5}{8}+\frac{3}{7}=\frac{59}{56}. »

Ce qu'il faut écrire

« Le long d'un chemin, on MULTIPLIE : 58×37=1556\frac{5}{8}\times\frac{3}{7}=\frac{15}{56}. L'addition ne sert qu'entre chemins DIFFÉRENTS. »

Pourquoi : Un chemin décrit deux conditions qui doivent être vraies EN MÊME TEMPS, donc une intersection, et une intersection se calcule par un produit. La règle se retient en une phrase : le long du chemin on multiplie, entre les chemins on additionne.

7. Lire le mauvais total dans un tableau à double entrée

toute la question, et le nombre trouvé peut être presque trois fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Sur 120120 élèves, 4545 sont demi-pensionnaires et 1818 d'entre eux font de l'allemand : P(allemand)=1845=0,4P(\text{allemand})=\frac{18}{45}=0{,}4. »

Ce qu'il faut écrire

« La question porte sur un élève choisi parmi TOUS les élèves, donc le dénominateur est 120120 : P(allemand et demi-pensionnaire)=18120=0,15P(\text{allemand et demi-pensionnaire})=\frac{18}{120}=0{,}15. »

Pourquoi : Le dénominateur est fixé par la population dans laquelle on tire, pas par la ligne du tableau où se trouve la case. Le total de la marge sert seulement quand l'énoncé restreint explicitement le tirage, par exemple « parmi les demi-pensionnaires ».

8. Oublier la racine dans l'intervalle de fluctuation

toute la question, et surtout la conclusion, qui bascule du rejet à l'acceptation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour n=100n=100 et p=0,4p=0{,}4, l'intervalle est [0,4−1100 ; 0,4+1100]=[0,39 ; 0,41]\Big[0{,}4-\frac{1}{100}\ ;\ 0{,}4+\frac{1}{100}\Big]=[0{,}39\ ;\ 0{,}41]. »

Ce qu'il faut écrire

« L'amplitude est 1n=110=0,1\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{1}{10}=0{,}1, donc l'intervalle est [0,3 ; 0,5][0{,}3\ ;\ 0{,}5]. »

Pourquoi : L'intervalle faux est dix fois trop étroit, donc presque toute fréquence observée en sort et l'hypothèse est rejetée à tort. Le contrôle d'ordre de grandeur est simple : avec cent observations, une fluctuation de un pour cent seulement serait absurde.

Quelle méthode choisir

Quel outil selon la description de l'expérience

Lire comment l'énoncé décrit l'expérience et ce qu'il donne comme données.

  • Si une seule épreuve, et l'énoncé dit « équilibré », « au hasard » ou « indiscernables » → comptage : nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles

    Exemple : P(roi)=452=113P(\text{roi})=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}

  • Si deux caractères croisés sur une même population → TABLEAU à double entrée, avec les totaux en marge

    Exemple : langue choisie et régime de restauration

    l'intersection est une case, jamais une multiplication

  • Si deux épreuves SUCCESSIVES → ARBRE pondéré, en multipliant le long des chemins

    Exemple : deux tirages dans une urne

  • Si l'énoncé contient « au moins un » → passer par l'événement CONTRAIRE, « aucun »

    Exemple : 1−(56)2=11361-\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{11}{36}

  • Si l'énoncé contient « ou » → formule de la réunion, avec l'intersection retirée si elle n'est pas vide

    Exemple : P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

  • Si un échantillon de taille nn et une proportion pp annoncée → intervalle de fluctuation, puis comparaison avec la fréquence observée

    Exemple : [0,3 ; 0,5][0{,}3\ ;\ 0{,}5] pour n=100n=100 et p=0,4p=0{,}4

Si aucune branche ne s'applique, revenir au dénombrement de l'univers : lister les issues, vérifier qu'elles sont équiprobables, puis compter.

Avec remise ou sans remise ? Le mot de l'énoncé décide

Chercher dans l'énoncé la phrase qui décrit ce qui se passe entre les deux tirages.

  • Si « on remet la boule dans l'urne », « on relance le dé », « on repose la carte » → AVEC remise : le dénominateur ne change pas, les branches se répètent à l'identique

    Exemple : 58×58\frac{5}{8}\times\frac{5}{8}

  • Si « sans remise », « on garde la boule », « on tire deux cartes de suite » → SANS remise : une unité de moins au dénominateur, et une de moins dans la couleur tirée

    Exemple : 58×47\frac{5}{8}\times\frac{4}{7}

  • Si « on tire SIMULTANÉMENT deux boules » → sans remise également, et l'ordre des deux boules ne compte pas

    Exemple : une rouge et une verte : 1556+1556=1528\frac{15}{56}+\frac{15}{56}=\frac{15}{28}

    les deux chemins de l'arbre s'additionnent, car les deux ordres conviennent

  • Si l'énoncé ne précise rien mais la population est très grande → traiter comme avec remise, en le justifiant d'une phrase

    Exemple : un sondage sur mille personnes dans une ville

Le contrôle qui tranche toujours : sans remise, la probabilité de deux résultats identiques est PLUS PETITE qu'avec remise. Si le calcul dit le contraire, un dénominateur n'a pas été mis à jour.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger un calcul de probabilité avec un arbre pondéré

Quand l'utiliser : Dès que l'expérience comporte deux épreuves successives, avec ou sans remise.

  1. 1 Définir les événements par une phrase, avec une lettre : « soit R1R_{1} l'événement le premier tirage donne une boule rouge ».
  2. 2 Construire l'arbre en écrivant la probabilité SUR chaque branche, y compris celles qui ne serviront pas.
  3. 3 Vérifier que la somme des branches issues de chaque noeud vaut 11 : c'est le contrôle qui valide toute la structure.
  4. 4 Identifier le ou les chemins qui réalisent l'événement demandé, et les nommer avant de calculer.
  5. 5 Multiplier le long de chaque chemin, additionner les chemins retenus, puis donner le résultat en fraction irréductible et en valeur décimale approchée.

Phrase de conclusion

« Un seul chemin réalise cet événement : P(R1∩R2)=58×47=2056=514≈0,36P(R_{1}\cap R_{2})=\frac{5}{8}\times\frac{4}{7}=\frac{20}{56}=\frac{5}{14}\approx 0{,}36. »

Le piège : Écrire les probabilités du second niveau comme celles du premier dans un tirage sans remise. Les branches de droite ne sont jamais identiques à celles de gauche.

Barème : Souvent 2 points pour l'arbre complet et correctement pondéré, 1 point pour le chemin identifié, 1 point pour le calcul et la conclusion.

Conclure à partir d'un intervalle de fluctuation

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé annonce une proportion théorique et fournit une fréquence observée sur un échantillon.

  1. 1 Écrire l'hypothèse testée : « on suppose que la proportion dans la population est p=0,4p=0{,}4 ».
  2. 2 Calculer l'intervalle [p−1n ; p+1n]\Big[p-\frac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ p+\frac{1}{\sqrt{n}}\Big], en donnant les bornes arrondies.
  3. 3 Calculer la fréquence OBSERVÉE dans l'échantillon, qui est un quotient d'effectifs et non un effectif.
  4. 4 Comparer la fréquence observée aux deux bornes, en disant explicitement si elle appartient ou non à l'intervalle.
  5. 5 Conclure avec la bonne nuance : à l'extérieur, on rejette l'hypothèse au seuil de 95 %95\ \% ; à l'intérieur, on ne peut pas la rejeter.

Phrase de conclusion

« La fréquence observée 0,520{,}52 n'appartient pas à l'intervalle [0,3 ; 0,5][0{,}3\ ;\ 0{,}5], donc on rejette l'hypothèse p=0,4p=0{,}4 au seuil de 95 %95\ \%. »

Le piège : Écrire « donc l'hypothèse est vraie » quand la fréquence est dans l'intervalle. Un intervalle de fluctuation ne prouve jamais une hypothèse, il permet seulement de ne pas la rejeter.

Barème : Souvent 1 point pour l'intervalle, 1 point pour la fréquence observée, 1 point pour la comparaison, 1 point pour la nuance de la conclusion.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Deux tirages dans une urne, sans remise

Une urne contient 55 boules rouges et 33 boules vertes, indiscernables au toucher.

On tire successivement et sans remise deux boules de l'urne.

1. Construire l'arbre pondéré de cette expérience.

2. Calculer la probabilité d'obtenir deux boules rouges.

3. Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule verte.

4. Calculer la probabilité d'obtenir une boule de chaque couleur.

Étape 1

L'urne contient 88 boules. Au premier tirage, P(R1)=58P(R_{1})=\frac{5}{8} et P(V1)=38P(V_{1})=\frac{3}{8}. Ces deux probabilités totalisent 11.

Pourquoi

Le mot « indiscernables au toucher » est ce qui autorise l'équiprobabilité : sans lui, le comptage favorables sur possibles serait injustifié. Le contrôle de la somme valide déjà le premier niveau de l'arbre.

Étape 2

Après une rouge, il reste 44 rouges et 33 vertes, soit 77 boules : P(R2 sachant R1)=47P(R_{2}\ \text{sachant}\ R_{1})=\frac{4}{7} et 37\frac{3}{7} pour la verte. Après une verte, il reste 55 rouges et 22 vertes : 57\frac{5}{7} et 27\frac{2}{7}.

Pourquoi

Les deux branches du second niveau sont DIFFÉRENTES, et c'est toute la particularité du tirage sans remise. Chaque paire totalise encore 11, ce qui valide le second niveau sans refaire un seul calcul.

Étape 3

Deux rouges : un seul chemin, P=58×47=2056=514≈0,357P=\frac{5}{8}\times\frac{4}{7}=\frac{20}{56}=\frac{5}{14}\approx 0{,}357.

Pourquoi

Le long d'un chemin on multiplie, parce que les deux conditions doivent être réalisées ensemble. La fraction se simplifie par 44, et le correcteur attend la forme irréductible autant que la valeur décimale.

Étape 4

Au moins une verte est le CONTRAIRE de deux rouges : P=1−514=914≈0,643P=1-\frac{5}{14}=\frac{9}{14}\approx 0{,}643.

Pourquoi

Sans l'événement contraire, il faudrait additionner trois chemins au lieu d'un. C'est le calcul le plus court et le moins risqué, et il se signale par les mots « au moins un » dans l'énoncé.

Étape 5

Une de chaque couleur : deux chemins, rouge puis verte et verte puis rouge. P=58×37+38×57=1556+1556=3056=1528≈0,536P=\frac{5}{8}\times\frac{3}{7}+\frac{3}{8}\times\frac{5}{7}=\frac{15}{56}+\frac{15}{56}=\frac{30}{56}=\frac{15}{28}\approx 0{,}536.

Pourquoi

L'énoncé ne fixe pas l'ordre des couleurs, donc les deux chemins conviennent et s'ADDITIONNENT. Oublier le second chemin divise le résultat par deux, et c'est l'erreur la plus fréquente de cette question.

Étape 6

Contrôle : les quatre chemins de l'arbre sont 2056\frac{20}{56}, 1556\frac{15}{56}, 1556\frac{15}{56} et 38×27=656\frac{3}{8}\times\frac{2}{7}=\frac{6}{56}. Leur somme vaut 5656=1\frac{56}{56}=1.

Pourquoi

Additionner tous les chemins d'un arbre doit toujours donner 11, quel que soit le problème. Ce contrôle final teste d'un coup les huit probabilités écrites sur les branches, et il est gratuit.

Étape 7

Cohérence supplémentaire : avec remise, deux rouges auraient donné 2564≈0,391\frac{25}{64}\approx 0{,}391, valeur supérieure à 0,3570{,}357. L'ordre attendu est respecté.

Pourquoi

Retirer une boule rouge diminue la proportion de rouges restantes, donc la probabilité d'en tirer une seconde. Un résultat sans remise plus grand qu'avec remise serait la signature d'un dénominateur oublié.

Conclusion rédigée

La probabilité d'obtenir deux boules rouges est 514\frac{5}{14}, celle d'obtenir au moins une verte est 914\frac{9}{14}, et celle d'obtenir une boule de chaque couleur est 1528\frac{15}{28}.

L'erreur classique sur cet exercice : Ne compter qu'un seul chemin à la question 4, en oubliant l'ordre verte puis rouge. Le résultat 1556\frac{15}{56} reste plausible et compris entre 00 et 11, donc aucun contrôle de vraisemblance ne le détecte : seule la somme des quatre chemins le révèle.

À savoir par cœur

  • • Une loi de probabilité : chaque valeur entre 00 et 11, et somme égale à 11 exactement.
  • • P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) toujours ; la somme simple n'est valable que si A∩B=∅A\cap B=\varnothing.
  • • P(A‾)=1−P(A)P(\overline{A})=1-P(A) : c'est la formule à utiliser dès que l'énoncé dit « au moins un ».
  • • Dans un arbre, on MULTIPLIE le long d'un chemin et on ADDITIONNE entre les chemins.
  • • La somme des branches issues d'un même noeud vaut 11.
  • • Sans remise, le dénominateur diminue de 11 à chaque tirage, et l'effectif de la catégorie tirée aussi.
  • • En équiprobabilité seulement : P(A)=favorablespossiblesP(A)=\frac{\text{favorables}}{\text{possibles}}, et l'équiprobabilité vient de l'énoncé.
  • • Intervalle de fluctuation : [p−1n ; p+1n]\Big[p-\frac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ p+\frac{1}{\sqrt{n}}\Big], avec une RACINE au dénominateur.

Questions fréquentes

Quand peut-on additionner deux probabilités ?

Seulement quand les deux événements sont incompatibles, c'est-à-dire quand ils ne peuvent pas se produire en même temps. Sinon il faut retrancher la probabilité de leur intersection, sans quoi les cas communs sont comptés deux fois. Le test à faire avant toute addition : ces deux choses peuvent-elles arriver ensemble ?

Comment calculer une probabilité avec au moins un ?

On passe par l'événement contraire, qui est aucun. On calcule la probabilité de n'obtenir aucun résultat favorable, ce qui ne demande souvent qu'un seul chemin de l'arbre, puis on soustrait ce nombre à un. Additionner directement les probabilités de chaque tirage compte plusieurs fois les cas où le résultat apparaît deux fois.

Quelle différence entre un tirage avec remise et sans remise ?

Avec remise, la composition de l'urne est la même à chaque tirage, donc le dénominateur ne change pas. Sans remise, il y a un objet de moins à chaque étape, et un de moins dans la catégorie déjà tirée. Un tirage simultané se traite comme un tirage sans remise, avec les deux ordres qui s'additionnent.

Comment savoir si les issues sont équiprobables ?

C'est l'énoncé qui le dit, par des mots comme équilibré, non truqué, au hasard, ou indiscernables au toucher. Le nombre d'issues ne prouve rien : gagner ou perdre au loto font deux issues qui ne sont évidemment pas équiprobables. Sans ces mots, il faut lire la loi dans le tableau fourni.

Que conclure quand la fréquence observée est dans l'intervalle de fluctuation ?

On ne peut pas rejeter l'hypothèse au seuil de quatre-vingt-quinze pour cent, ce qui n'est pas la même chose que de la démontrer. Un intervalle de fluctuation ne prouve jamais une proportion, il indique seulement si l'écart observé est compatible avec elle. Cette nuance est explicitement notée par les correcteurs.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Probabilités et échantillonnage

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 15 exercices corrigés
  • 150 points
  • 225 minutes
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Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Probabilités conditionnellesPremièreUne histoire du vivantTerminale, Enseignement scientifique

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Contactez-moi pour une première séance. On reprend les gestes des probabilités qui coûtent des points, de la construction d'un arbre pondéré jusqu'à l'interprétation d'un intervalle de fluctuation, puis on les met à l'épreuve sur des exercices du niveau réel des contrôles au Lycée Marie de France et au Collège Stanislas.

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