Maths Seconde, programme français • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : les statistiques descriptives (Seconde)

Q: Comment calculer une moyenne avec un tableau d'effectifs ?

On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne tous ces produits, puis on divise par l'effectif total. Le dénominateur est le nombre total d'individus, jamais le nombre de valeurs différentes du tableau. Une valeur obtenue par cinq personnes pèse cinq fois plus qu'une valeur obtenue par une seule.

Q: Comment trouver la médiane quand il y a un nombre pair de valeurs ?

On ordonne la série, puis on prend la demi-somme des deux valeurs situées au milieu, celles dont les rangs sont la moitié de l'effectif et cette moitié plus un. La médiane obtenue n'appartient alors pas forcément à la série : c'est le seul indicateur du chapitre qui puisse être un nombre absent des données.

Q: Quelle différence entre la variance et l'écart-type ?

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, elle s'exprime donc en unités au carré et ne s'interprète pas. L'écart-type est sa racine carrée : il revient dans l'unité des données et se compare directement à elles. C'est toujours l'écart-type qu'on rend en conclusion.

Q: Pourquoi ajouter des points à toutes les notes ne change pas l'écart-type ?

Parce que la dispersion mesure des écarts entre les valeurs, et qu'une translation déplace toute la série sans modifier aucun de ces écarts. La moyenne, elle, augmente du même nombre de points. Seule une multiplication agit sur l'écart-type, en le multipliant par la valeur absolue du facteur.

Q: Quand faut-il préférer la médiane à la moyenne ?

Quand la série contient des valeurs très éloignées des autres, comme un salaire beaucoup plus élevé que les autres. La moyenne est tirée par ces valeurs extrêmes alors que la médiane ne l'est pas. Un écart important entre les deux indicateurs est justement le signe qu'il faut se fier à la médiane.

Q: Comment estimer la médiane d'une série regroupée en classes ?

On calcule les effectifs cumulés et on repère la classe médiane, la première où le cumul atteint la moitié de l'effectif total. On suppose ensuite les valeurs régulièrement réparties dans cette classe, et on avance dans la classe de la proportion qui manque : s'il manque soixante individus sur les quatre-vingts de la classe, on avance des trois quarts de son amplitude. Le résultat est une estimation, et il se lit aussi sur le polygone des fréquences cumulées, à mi-hauteur.

Cette fiche ne refait pas le cours sur les statistiques : vous l'avez déjà dans votre classeur. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note, l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, l'indicateur à choisir selon la question posée, et la rédaction que le correcteur de Seconde attend.

Elle est écrite pour les élèves de Seconde du programme français à Montréal, en particulier au Lycée Marie de France et au Collège Stanislas. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Mis à jour le 16 octobre 2026

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Le fil du chapitre

Un indicateur résume, donc il PERD de l'information : la vraie question n'est jamais « quelle est la moyenne » mais « qu'est-ce que cette moyenne cache ». Presque tous les points perdus en Seconde viennent d'une moyenne calculée sans tenir compte des effectifs, d'une médiane cherchée sur une série qu'on n'a pas ordonnée, ou d'une conclusion tirée d'un seul indicateur là où l'énoncé en attend deux, un de position et un de dispersion. Dès qu'on regroupe en classes, les valeurs sont perdues : la moyenne par les centres, le polygone des fréquences cumulées et la médiane interpolée reposent tous sur une hypothèse de répartition uniforme dans la classe, et la copie doit la nommer.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Seconde

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 19 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Moyenne, médiane, quartiles et étendueTroisième Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (5 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Durées, tableaux et graphiquesSixième
2Les fractionsCinquième
3Statistiques et probabilitésCinquième
4Statistiques et probabilitésQuatrième
5Moyenne, médiane, quartiles et étendueTroisième

L'essentiel

Position : moyenne, médiane, quartiles

• Moyenne : $\bar{x}=\frac{\sum n_{i}x_{i}}{\sum n_{i}}$ . Chaque valeur compte autant de fois que son EFFECTIF, jamais une seule fois.
• Médiane : la série étant ORDONNÉE, c'est la valeur de rang $\frac{n+1}{2}$ si $n$ est impair, la demi-somme des valeurs de rangs $\frac{n}{2}$ et $\frac{n}{2}+1$ si $n$ est pair.
• $Q_{1}$ est la plus petite valeur telle qu'au moins $25\ \%$ des données lui soient inférieures ou égales ; $Q_{3}$ correspond de même à $75\ \%$ .
• En pratique : on calcule $\frac{n}{4}$ et $\frac{3n}{4}$ , on arrondit à l'entier SUPÉRIEUR s'il n'est pas entier, et on lit la valeur de ce rang.
• La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, la médiane ne l'est pas. Un écart important entre les deux signale une série déséquilibrée.

Les dix salaires de l'entreprise A : la médiane (en bleu) reste au milieu du paquet, la moyenne (en orange) est tirée vers la droite par le seul salaire de

6\,200

dollars.

Ordonner la série est la première ligne de toute question de médiane ou de quartile. Une série non ordonnée rend fausse la totalité des lectures de rang, sans qu'aucun calcul ne paraisse faux.

Dispersion : étendue, écart interquartile, écart-type

• Étendue $=$ maximum $-$ minimum. C'est l'indicateur le plus fragile, car il ne dépend que de deux valeurs sur toute la série.
• Écart interquartile $=Q_{3}-Q_{1}$ : il mesure l'étalement de la moitié centrale et ignore les valeurs extrêmes.
• Variance : $V=\frac{\sum n_{i}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{\sum n_{i}}$ . C'est la moyenne des CARRÉS des écarts à la moyenne.
• Écart-type : $\sigma=\sqrt{V}$ . C'est lui qu'on rend, jamais la variance, car lui seul s'exprime dans la même unité que les données.
• Un écart-type est toujours positif ou nul, et il vaut $0$ si et seulement si toutes les valeurs sont égales.

La boîte de l'entreprise A : l'écart interquartile ne mesure que la moitié centrale,

500

dollars ; l'étendue,

4\,400

dollars, est faite presque entière par la seule valeur extrême.

Moyenne et écart-type vont ensemble ; médiane et écart interquartile vont ensemble. On ne mélange pas un indicateur de position d'une famille avec un indicateur de dispersion de l'autre.

Ce que les transformations et les classes changent

• Transformation affine $y=ax+b$ : la moyenne devient $a\bar{x}+b$ , et l'écart-type devient $|a|\sigma$ .
• Ajouter une constante $b$ déplace toute la série sans l'étaler : la dispersion est donc INCHANGÉE. Seul le facteur $a$ agit sur elle.
• La valeur absolue est indispensable : multiplier par $-2$ multiplie l'écart-type par $2$ , jamais par $-2$ , puisqu'un écart-type est positif.
• Série groupée en classes : on remplace chaque classe par son CENTRE, c'est-à-dire la demi-somme de ses deux bornes.
• Les indicateurs calculés par les centres sont des valeurs APPROCHÉES, et il faut le dire dans la conclusion ; la moyenne tirée des moyennes de classe, elle, est EXACTE.

Le centre de la classe $[10\,;20[$ vaut $15$ , pas $10$ ni $20$ . Prendre une borne décale la moyenne de la moitié de l'amplitude de classe, ce qui est énorme sur une série entière.

Séries regroupées en classes de même amplitude, ajout d'une valeur

• Histogramme : des rectangles ACCOLÉS, dont l'AIRE représente l'effectif. Les classes ayant la même amplitude, la hauteur est proportionnelle à l'effectif, et l'axe vertical peut porter les effectifs.
• Moyenne par les centres $c_{i}$ : $\bar{x}\approx\frac{\sum n_{i}c_{i}}{N}$ , valeur approchée. Moyenne par les moyennes de classe $m_{i}$ : $\bar{x}=\frac{\sum n_{i}m_{i}}{N}$ , valeur EXACTE.
• Classe médiane : celle où l'effectif cumulé atteint $\frac{N}{2}$ , c'est-à-dire où la fréquence cumulée franchit $0{,}5$ .
• Médiane estimée, en supposant la répartition uniforme dans la classe médiane $[a\,;b[$ d'effectif $n$ , avec $C$ l'effectif cumulé avant elle : $\text{Me}\approx a+(b-a)\times\frac{N/2-C}{n}$ .
• Polygone des fréquences cumulées croissantes : il part de $0$ à la première borne, puis joint chaque point (borne DROITE de la classe, fréquence cumulée). La médiane estimée est l'abscisse de son point d'ordonnée $0{,}5$ .
• Ajouter une valeur $x$ à $n$ valeurs de moyenne $\bar{x}$ donne la moyenne $\bar{x}+\frac{x-\bar{x}}{n+1}$ . La médiane ne dépend que des rangs : elle ne se déplace que jusqu'aux valeurs voisines, quel que soit $x$ .

Les

200

coureurs en cinq classes de

10

minutes : les classes ont la même amplitude, donc chaque hauteur se lit directement comme un effectif.

Le polygone et la formule d'interpolation font le MÊME calcul : entre deux sommets, le polygone est le segment qu'on obtient en supposant les valeurs régulièrement réparties dans la classe. Une lecture graphique juste redonne donc exactement le calcul.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Calculer une moyenne sans tenir compte des effectifs

toute la question, et l'écart-type calculé ensuite est faux lui aussi

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Notes $10$ , $12$ et $15$ obtenues par $2$ , $5$ et $3$ élèves : $\bar{x}=\frac{10+12+15}{3}\approx 12{,}33$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\bar{x}=\frac{2\times 10+5\times 12+3\times 15}{2+5+3}=\frac{20+60+45}{10}=12{,}5$ . »

La barre du

12

porte cinq élèves : la moyenne juste,

12{,}5

(en vert), penche vers elle ;

12{,}33

(en rouge) traite les trois notes comme si chacune n'avait qu'un élève.

Pourquoi : Une valeur obtenue par cinq élèves pèse cinq fois plus dans la moyenne de la classe qu'une valeur obtenue par un seul. Le contrôle qui alerte : le dénominateur d'une moyenne pondérée est l'EFFECTIF TOTAL, ici $10$ , jamais le nombre de valeurs différentes.

2. Chercher la médiane sans avoir ordonné la série

toute la question, et les quartiles qui suivent sont faux eux aussi

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Série $7$ , $12$ , $5$ , $9$ , $3$ : la médiane est la valeur du milieu, donc $5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« On ordonne d'abord : $3$ , $5$ , $7$ , $9$ , $12$ . L'effectif $5$ est impair, la médiane est la valeur de rang $3$ , donc $7$ . »

Pourquoi : La médiane partage la série ORDONNÉE en deux groupes de même effectif : sans tri, la notion de rang n'a aucun sens. Le contrôle : la médiane doit avoir autant de valeurs au-dessus qu'en dessous, ce que $5$ ne vérifie pas ici.

3. Oublier la demi-somme quand l'effectif est pair

1 à 2 points, et une comparaison de séries faussée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Série ordonnée de $10$ valeurs : la médiane est la cinquième valeur, donc $2\,200$ dollars. »

Ce qu'il faut écrire

« $n=10$ est pair, donc la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs $5$ et $6$ : $\frac{2\,200+2\,300}{2}=2\,250$ dollars. »

Dix valeurs rangées : cinq à gauche du trait vert, cinq à droite. La médiane tombe ENTRE les rangs

5

6

, d'où la demi-somme de

2\,200

2\,300

Pourquoi : Avec un effectif pair, aucune valeur ne partage la série en deux groupes égaux : la médiane est un nombre construit, qui n'appartient pas nécessairement à la série. C'est le seul indicateur du chapitre qui puisse être absent des données.

4. Prendre la moyenne de deux moyennes

2 points, et une erreur invisible car le résultat reste plausible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La classe A compte $20$ élèves de moyenne $12$ , la classe B $30$ élèves de moyenne $14$ : la moyenne des deux classes est $\frac{12+14}{2}=13$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\bar{x}=\frac{20\times 12+30\times 14}{20+30}=\frac{240+420}{50}=13{,}2$ . »

La classe B, plus nombreuse, tire la moyenne globale vers

14

13{,}2

(en vert), pas le milieu

13

(en rouge).

Pourquoi : La classe la plus nombreuse pèse davantage, donc la moyenne globale penche de son côté. Le contrôle de bon sens : la moyenne globale est forcément PLUS PROCHE de $14$ que de $12$ , puisque plus d'élèves ont la moyenne $14$ .

5. Rendre la variance à la place de l'écart-type

1 point à chaque occurrence, et une comparaison de dispersions sans aucun sens

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $V=150$ , donc l'écart-type de la série est $150$ centaines de dollars. »

Ce qu'il faut écrire

« $\sigma=\sqrt{V}=\sqrt{150}\approx 12{,}25$ centaines de dollars, soit environ $1\,225$ dollars. »

Pourquoi : La variance est une moyenne de CARRÉS : elle s'exprime donc en unités au carré, ce qui ne se compare à rien. L'écart-type ramène l'indicateur dans l'unité des données, et c'est la seule valeur interprétable. Le contrôle : l'écart-type ne dépasse jamais l'étendue.

6. Croire qu'ajouter une constante change la dispersion

2 points, et souvent la question de raisonnement du contrôle

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le professeur ajoute $2$ points à toutes les copies : la moyenne augmente de $2$ et l'écart-type aussi. »

Ce qu'il faut écrire

« La moyenne augmente de $2$ , mais l'écart-type est INCHANGÉ : toutes les notes se déplacent du même nombre de points, donc les écarts entre elles ne bougent pas. »

Chaque note se déplace de la même quantité : la moyenne avance de

2

, mais les distances entre les points sont exactement les mêmes. L'écart-type ne bouge pas.

Pourquoi : La dispersion mesure des ÉCARTS, et une translation ne change aucun écart. Seul le facteur multiplicatif agit, en multipliant l'écart-type par sa valeur absolue. Le contrôle sur deux notes suffit : $8$ et $12$ deviennent $10$ et $14$ , et l'écart reste $4$ .

7. Conclure que deux séries sont semblables parce qu'elles ont la même moyenne

toute la question d'interprétation, souvent notée sur 3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les deux entreprises ont un salaire moyen de $2\,600$ dollars, donc elles proposent des conditions équivalentes. »

Ce qu'il faut écrire

« Les moyennes sont égales, mais les écarts-types valent environ $1\,225$ et $141$ dollars : la seconde entreprise a des salaires nettement plus homogènes. »

Les deux séries ont la MÊME moyenne, marquée en pointillés. L'entreprise B est un paquet serré, l'entreprise A est étalée et tirée par un seul salaire : c'est l'écart-type qui les sépare.

Pourquoi : Une moyenne est un indicateur de POSITION : elle ne dit rien de l'étalement. Deux séries de même moyenne peuvent être radicalement différentes, et c'est précisément ce que le chapitre veut faire comprendre. Une comparaison complète cite toujours deux indicateurs.

8. Prendre une borne de classe au lieu de son centre

toute la moyenne, décalée de la moitié de l'amplitude de classe

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Classe $[10\,;20[$ d'effectif $8$ : je compte $8\times 10=80$ dans la somme. »

Ce qu'il faut écrire

« Le centre de la classe $[10\,;20[$ est $\frac{10+20}{2}=15$ , donc je compte $8\times 15=120$ . »

Une classe est remplacée par son MILIEU : les huit valeurs de

[10\,;20[

comptent pour

15

chacune, pas pour la borne

10

écrite à gauche de la barre.

Pourquoi : On suppose les valeurs réparties uniformément dans la classe, donc leur représentant est le milieu. Prendre la borne inférieure sur toutes les classes décale la moyenne de cinq unités entières ici, ce qui est du même ordre que l'écart-type.

9. Dessiner la hauteur égale à l'effectif quand les classes n'ont plus la même amplitude

toute la question de construction, souvent 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je regroupe $[180\,;200[$ et $[200\,;220[$ , soit $20+8=28$ pommes, en une seule barre de hauteur $28$ . »

Ce qu'il faut écrire

« C'est l'AIRE qui représente l'effectif. La classe $[180\,;220[$ est deux fois plus large, donc sa hauteur vaut $\frac{28}{2}=14$ pommes par tranche de $20$ g. Tant que les classes ont la même amplitude, hauteur et effectif sont proportionnels, et l'axe vertical peut porter les effectifs. »

À gauche, deux classes de

20

g portant

20

8

pommes. Fusionnées sur

40

g, une barre de hauteur

28

doublerait l'aire ; la hauteur juste est

14

Pourquoi : L'œil compare des surfaces, pas des hauteurs : une barre de hauteur $28$ sur une base double montrerait l'aire de $56$ pommes. C'est pour cela que le programme de Seconde travaille avec des classes de même amplitude, où lire la hauteur revient à lire l'effectif.

10. Confondre la classe médiane et la médiane

1 point pour un intervalle rendu à la place d'un nombre, toute la question pour le centre

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La médiane est $[60\,;70[$ . » ou « La médiane est $65$ , le centre de la classe médiane. »

Ce qu'il faut écrire

« La classe médiane est $[60\,;70[$ . En supposant la répartition uniforme dans cette classe, la médiane est estimée à $60+10\times\frac{100-40}{80}=67{,}5$ minutes. »

La classe médiane

[60\,;70[

(en vert) contient la médiane, qui n'est pas son centre :

40

coureurs la précèdent, il en faut

60

de plus sur

80

, donc les trois quarts de la classe,

67{,}5

Pourquoi : Une médiane est un NOMBRE, la classe médiane l'intervalle qui le contient. Le centre ne serait juste que si la moitié de l'effectif était atteinte au milieu de la classe : ici $40$ coureurs la précèdent et il en manque $60$ sur $80$ , donc on avance des trois quarts, pas de la moitié.

11. Lire la médiane au milieu de l'axe des valeurs

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les temps vont de $40$ à $90$ minutes, donc la médiane est $\frac{40+90}{2}=65$ minutes. »

Ce qu'il faut écrire

« On part de $50\ \%$ sur l'axe des fréquences cumulées, on rejoint le polygone horizontalement, puis on descend sur l'axe des temps : $\text{Me}\approx 67{,}5$ minutes. »

On part de

50\ \%

en ordonnée et on lit

67{,}5

min. Le milieu des valeurs,

65

min, ne laisse que

40\ \%

des coureurs à sa gauche : ce n'est pas la médiane.

Pourquoi : Le milieu de l'ÉTENDUE ne partage pas l'effectif en deux : à $65$ minutes, le polygone ne vaut que $40\ \%$ . La médiane se lit toujours en partant de l'axe des fréquences, jamais de l'axe des valeurs.

12. Croire que la moyenne d'une série en classes est toujours approchée

1 à 2 points, dont celui de la justification « exacte » ou « approchée »

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On ne connaît pas les masses une à une, donc la moyenne est forcément approchée : $170{,}5$ g. »

Ce qu'il faut écrire

« Le producteur donne la moyenne de chaque classe : la masse totale vaut exactement $\sum n_{i}m_{i}=13\,548$ g, et la moyenne EXACTE est $\frac{13\,548}{80}=169{,}35$ g. »

Pourquoi : Effectif fois moyenne donne la somme EXACTE d'une classe. Seul le remplacement par le CENTRE fait une hypothèse, celle d'une répartition uniforme dans la classe, et c'est elle qui rend le résultat approché.

13. Croire qu'une valeur extrême déplace la médiane autant que la moyenne

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Un dixième membre du club a lu $131$ livres : la moyenne passe de $11$ à $23$ , donc la médiane augmente elle aussi d'une douzaine de livres. »

Ce qu'il faut écrire

« La moyenne passe à $11+\frac{131-11}{10}=23$ . La médiane ne dépend que des rangs : $131$ est dernier, et $\text{Me}=\frac{11+12}{2}=11{,}5$ , la même valeur qu'avec $13$ ou $31$ livres. »

Pourquoi : La moyenne se gouverne par la SOMME, la médiane par les RANGS. Un seul ajout ne déplace la médiane que jusqu'aux valeurs voisines, ici entre $9{,}5$ et $11{,}5$ , quelle que soit la valeur ajoutée.

Quelle méthode choisir

Quel indicateur selon la question posée

Lire la question et repérer si elle porte sur le centre de la série ou sur son étalement.

Si « quelle est la valeur typique », sans valeur extrême visible → la MOYENNE, qui utilise toutes les données

Exemple : $\bar{x}=12{,}5$
Si la série contient une ou deux valeurs très éloignées des autres → la MÉDIANE, insensible aux extrêmes, et il faut le justifier

Exemple : un salaire de $6\,200$ dollars parmi neuf autres autour de $2\,200$
Si « la moitié des élèves », « au moins la moitié » → la MÉDIANE, par définition

Exemple : la moitié des salariés gagnent moins de $2\,250$ dollars
Si « au moins $25\ \%$ », « le quart des données » → les QUARTILES, et l'écart interquartile pour la moitié centrale

Exemple : $Q_{1}=2\,000$ et $Q_{3}=2\,500$
Si « les résultats sont-ils réguliers », « quelle machine est la plus fiable » → un indicateur de DISPERSION, écart-type ou écart interquartile

Exemple : $\sigma\approx 141$ contre $\sigma\approx 1\,225$
Si deux séries ont la même moyenne et il faut choisir → comparer les dispersions, c'est la seule information qui reste

Exemple : même moyenne $2\,600$ , écarts-types très différents

Une comparaison de deux séries se rédige toujours avec DEUX indicateurs, un de position et un de dispersion. Un seul chiffre ne répond jamais complètement à la question.

Comment calculer selon la forme des données

Regarder sous quelle forme l'énoncé présente la série.

Si une liste brute de valeurs → ordonner d'abord, puis lire les rangs pour la médiane et les quartiles

Exemple : $3$ , $5$ , $7$ , $9$ , $12$ donne une médiane de $7$
Si un tableau valeurs et effectifs → moyenne PONDÉRÉE, et effectifs cumulés croissants pour situer les rangs

Exemple : $\frac{2\times 10+5\times 12+3\times 15}{10}=12{,}5$
Si des données groupées en CLASSES → remplacer chaque classe par son centre, et annoncer que le résultat est approché

Exemple : $[10\,;20[$ devient $15$
Si deux sous-groupes d'effectifs différents → moyenne pondérée par les effectifs, jamais la moyenne des deux moyennes

Exemple : $\frac{20\times 12+30\times 14}{50}=13{,}2$
Si toutes les valeurs sont transformées par $y=ax+b$ → moyenne $a\bar{x}+b$ , écart-type $|a|\sigma$ , sans recalculer la série

Exemple : ajouter $2$ points laisse l'écart-type inchangé
Si des classes AVEC la moyenne de chaque classe → moyenne des moyennes de classe pondérée par les effectifs : le résultat est EXACT

Exemple : $\frac{13\,548}{80}=169{,}35$ g
Si une médiane demandée sur des données en classes → classe médiane par les effectifs cumulés, puis interpolation dans cette classe : le résultat est ESTIMÉ

Exemple : $60+10\times\frac{100-40}{80}=67{,}5$
Si un polygone des fréquences cumulées donné → partir de $0{,}5$ en ordonnée et lire l'abscisse du point du polygone

Exemple : $50\ \%$ atteint à $67{,}5$ minutes
Si une valeur ajoutée à la série ou retirée → moyenne par la SOMME, médiane par les RANGS avec la nouvelle parité de l'effectif

Exemple : $11+\frac{31-11}{10}=13$ et $\text{Me}=\frac{11+12}{2}=11{,}5$

Dans tous les cas, la première ligne de la copie donne l'effectif total. C'est lui qui sert de dénominateur à la moyenne et de référence aux rangs des quartiles.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Comparer deux séries statistiques

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé présente deux séries et demande de les comparer, de choisir entre elles ou de conseiller quelqu'un.

1 Annoncer les deux effectifs, et vérifier qu'ils sont comparables. Si les effectifs diffèrent, il faudra raisonner en fréquences.
2 Calculer un indicateur de POSITION pour chacune, moyenne et médiane si les deux sont demandées, et commenter leur écart.
3 Calculer un indicateur de DISPERSION pour chacune, écart-type ou écart interquartile, dans la même unité que les données.
4 Comparer les indicateurs deux à deux, en nommant explicitement ce que chacun mesure : position d'un côté, régularité de l'autre.
5 Conclure par une phrase en français qui répond à la question posée, et qui s'appuie sur les DEUX types d'indicateurs.

Phrase de conclusion

« Les deux entreprises versent le même salaire moyen de $2\,600$ dollars, mais l'écart-type vaut environ $1\,225$ dollars dans la première contre $141$ dollars dans la seconde : les salaires sont donc bien plus homogènes dans la seconde entreprise. »

Le piège : Conclure sur la seule moyenne. Deux séries de même moyenne peuvent être radicalement différentes, et c'est exactement ce que l'énoncé cherche à faire dire.

Barème : Souvent 1 point par indicateur de position, 1 point par indicateur de dispersion, 2 points pour la comparaison rédigée.

Déterminer la médiane et les quartiles d'une série

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé demande une médiane, un quartile, un écart interquartile ou un diagramme en boîte.

1 Ordonner la série dans l'ordre croissant, et l'écrire entièrement sur la copie : c'est une étape notée.
2 Annoncer l'effectif total $n$ , et préciser s'il est pair ou impair, car la règle de lecture en dépend.
3 Médiane : valeur de rang $\frac{n+1}{2}$ si $n$ est impair, demi-somme des rangs $\frac{n}{2}$ et $\frac{n}{2}+1$ si $n$ est pair.
4 Quartiles : calculer $\frac{n}{4}$ et $\frac{3n}{4}$ , arrondir à l'entier supérieur si le résultat n'est pas entier, puis lire la valeur de ce rang.
5 Vérifier l'ordre $Q_{1}\leq \text{Me}\leq Q_{3}$ et interpréter chaque valeur par une phrase, avec l'unité.

Phrase de conclusion

« $Q_{1}=2\,000$ dollars signifie qu'au moins un quart des salariés gagnent au plus $2\,000$ dollars par mois. »

Le piège : Lire les rangs sur la série non ordonnée, ou confondre le rang et la valeur. Le rang est une position dans la liste, la réponse est la valeur qui occupe cette position.

Barème : Souvent 1 point pour la série ordonnée, 1 point pour la médiane, 1 point par quartile, 1 point pour l'interprétation.

Estimer la médiane d'une série regroupée en classes

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé donne un tableau de classes ou un polygone des fréquences cumulées et demande la médiane.

1 Annoncer l'effectif total $N$ et calculer les effectifs cumulés croissants, classe par classe.
2 Désigner la classe médiane : la première classe dont l'effectif cumulé atteint $\frac{N}{2}$ . Écrire l'inégalité qui le prouve, par exemple $40<100\leqslant 120$ .
3 Nommer l'hypothèse : les valeurs sont supposées réparties uniformément dans la classe médiane.
4 Interpoler : $\text{Me}\approx a+(b-a)\times\frac{N/2-C}{n}$ , avec $C$ l'effectif cumulé avant la classe et $n$ son effectif.
5 Contrôler que le résultat est dans la classe médiane, et le recouper sur le polygone à l'ordonnée $0{,}5$ .

Phrase de conclusion

« La classe médiane est $[60\,;70[$ . En supposant la répartition uniforme dans cette classe, la médiane est estimée à $60+10\times\frac{100-40}{80}=67{,}5$ minutes. »

Le piège : Écrire « la médiane vaut 67,5 » sans l'hypothèse : sur des données regroupées, c'est une estimation, et le mot est attendu.

Barème : Souvent 1 point pour la classe médiane justifiée, 1 point pour l'interpolation, 1 point pour la phrase avec l'hypothèse.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La moyenne est comprise entre le minimum et le maximum

Comparer la moyenne trouvée aux deux valeurs extrêmes de la série. Une moyenne en dehors de cet encadrement est impossible.

Une moyenne de $1\,700$ dollars sur une série dont la plus petite valeur est $1\,800$ signale une division par un mauvais effectif.
L'ordre $Q_{1}\leq \text{Me}\leq Q_{3}$

Vérifier que les trois valeurs se rangent dans cet ordre. Ce contrôle attrape une erreur de rang ou une série mal ordonnée.

$Q_{1}=2\,000$ , médiane $2\,250$ et $Q_{3}=2\,500$ : l'ordre est respecté, la lecture des rangs est cohérente.
L'écart-type ne dépasse pas l'étendue

Comparer $\sigma$ à l'étendue de la série. L'écart-type doit être nettement plus petit, et toujours positif.

Un écart-type de $150$ annoncé sur une série d'étendue $4$ signale une variance rendue à la place de l'écart-type.
Le contrôle du total des effectifs

Additionner la colonne des effectifs et comparer au total annoncé par l'énoncé. C'est le dénominateur de toute la suite.

Un tableau dont les effectifs totalisent $48$ alors que l'énoncé parle de $50$ élèves rend fausses la moyenne et toutes les fréquences.
La médiane estimée tombe dans la classe médiane

Comparer le résultat de l'interpolation aux bornes de la classe médiane. S'il en sort, l'effectif cumulé C ou l'effectif n est faux.

Un résultat de $57{,}5$ minutes pour une classe médiane $[60\,;70[$ signale qu'on a pris pour $C$ le cumul $120$ , qui contient déjà la classe, au lieu de $40$ .
Le calcul et la lecture sur le polygone se recoupent

Reporter la médiane calculée sur le polygone : le point d'abscisse trouvée doit avoir pour ordonnée $0{,}5$ , ou $50\ \%$ .

Sur le polygone de la course, $67{,}5$ minutes correspond bien à $50\ \%$ ; $65$ minutes ne donnerait que $40\ \%$ .

L'exercice type décortiqué

Deux entreprises qui recrutent

Deux entreprises publient les salaires mensuels, en dollars, de leurs dix employés.

Entreprise A : $1\,800$ , $1\,900$ , $2\,000$ , $2\,100$ , $2\,200$ , $2\,300$ , $2\,400$ , $2\,500$ , $2\,600$ , $6\,200$ .

Entreprise B : $2\,400$ , $2\,400$ , $2\,500$ , $2\,500$ , $2\,600$ , $2\,600$ , $2\,700$ , $2\,700$ , $2\,800$ , $2\,800$ .

1. Calculer le salaire moyen de chaque entreprise.

2. Déterminer la médiane et les quartiles de chaque série.

3. Calculer l'écart-type de chaque série.

4. Quelle entreprise conseiller à un candidat, et pourquoi ?

Étape 1

Les deux sommes valent $26\,000$ dollars, donc $\bar{x}_{A}=\bar{x}_{B}=\frac{26\,000}{10}=2\,600$ dollars.

Pourquoi

L'égalité des moyennes est voulue par l'énoncé : elle ferme la porte à toute conclusion fondée sur ce seul indicateur, et oblige à en chercher d'autres. C'est le point de départ du raisonnement, pas sa conclusion.

Étape 2

Les deux séries sont déjà ordonnées et $n=10$ est pair. Médiane de A : $\frac{2\,200+2\,300}{2}=2\,250$ dollars. Médiane de B : $\frac{2\,600+2\,600}{2}=2\,600$ dollars.

Pourquoi

L'écart entre la moyenne $2\,600$ et la médiane $2\,250$ dans l'entreprise A est le premier signal fort : il révèle une valeur très élevée qui tire la moyenne vers le haut sans concerner la majorité des salariés.

Étape 3

$\frac{n}{4}=2{,}5$ donne le rang $3$ et $\frac{3n}{4}=7{,}5$ donne le rang $8$ . Pour A : $Q_{1}=2\,000$ et $Q_{3}=2\,500$ , donc un écart interquartile de $500$ dollars. Pour B : $Q_{1}=2\,500$ et $Q_{3}=2\,700$ , soit $200$ dollars.

Pourquoi

Les quartiles se lisent sur des rangs ARRONDIS À L'ENTIER SUPÉRIEUR, jamais interpolés en Seconde. L'écart interquartile confirme déjà la différence de régularité, sans être perturbé par le salaire extrême.

Étape 4

Pour A : $V_{A}=\frac{\sum (x_{i}-2\,600)^{2}}{10}=1\,500\,000$ , donc $\sigma_{A}=\sqrt{1\,500\,000}\approx 1\,225$ dollars.

Pourquoi

Le salaire de $6\,200$ dollars contribue à lui seul pour $12\,960\,000$ dans une somme des carrés de $15\,000\,000$ , soit plus de quatre-vingt-cinq pour cent du total. Le carré amplifie les écarts, et c'est ce qui rend l'écart-type si sensible aux valeurs extrêmes.

Étape 5

Pour B : $V_{B}=\frac{200\,000}{10}=20\,000$ , donc $\sigma_{B}=\sqrt{20\,000}\approx 141$ dollars.

Pourquoi

L'écart-type se rend TOUJOURS après la racine, dans l'unité des données. Comparer $1\,500\,000$ à $20\,000$ n'aurait aucun sens interprétable, alors que $1\,225$ dollars contre $141$ dollars se lit immédiatement.

Étape 6

Contrôle de l'effet de la valeur extrême : sans le salaire de $6\,200$ dollars, la moyenne de A tombe à $\frac{19\,800}{9}=2\,200$ dollars, très proche de sa médiane.

Pourquoi

Retirer une seule valeur et voir la moyenne chuter de $400$ dollars prouve chiffres à l'appui que cette valeur est atypique. C'est l'argument le plus convaincant d'une comparaison rédigée, et il tient en un calcul.

Étape 7

Conclusion : à salaire moyen identique, l'entreprise B offre des salaires nettement plus homogènes, avec un écart-type presque neuf fois plus petit, et une médiane supérieure de $350$ dollars à celle de A.

Pourquoi

La réponse s'appuie sur un indicateur de position ET un indicateur de dispersion, ce qui est exactement le barème. Un candidat ordinaire a bien plus de chances d'être payé autour de $2\,600$ dollars en B qu'en A.

Conclusion rédigée

Les deux entreprises ont le même salaire moyen de $2\,600$ dollars, mais la médiane de $2\,600$ dollars et l'écart-type de $141$ dollars de l'entreprise B, contre $2\,250$ dollars et environ $1\,225$ dollars pour l'entreprise A, montrent que B offre des salaires beaucoup plus réguliers : c'est elle qu'il faut conseiller.

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre « les deux se valent, la moyenne est la même ». C'est précisément la conclusion que l'énoncé est construit pour piéger, et elle vaut zéro à la dernière question même si tous les calculs précédents sont justes.

À savoir par cœur

• Moyenne pondérée : $\bar{x}=\frac{\sum n_{i}x_{i}}{\sum n_{i}}$ , avec l'EFFECTIF TOTAL au dénominateur.
• La médiane se lit sur la série ORDONNÉE : rang $\frac{n+1}{2}$ si $n$ impair, demi-somme des rangs $\frac{n}{2}$ et $\frac{n}{2}+1$ si $n$ pair.
• Quartiles : rangs $\frac{n}{4}$ et $\frac{3n}{4}$ , arrondis à l'entier SUPÉRIEUR, et $Q_{1}\leq \text{Me}\leq Q_{3}$ .
• Écart-type $\sigma=\sqrt{V}$ : c'est lui qu'on rend, jamais la variance, car lui seul a l'unité des données.
• Transformation $y=ax+b$ : moyenne $a\bar{x}+b$ , écart-type $|a|\sigma$ . Ajouter une constante ne change pas la dispersion.
• Série en classes : par les CENTRES, moyenne approchée ; par les MOYENNES DE CLASSE, moyenne exacte. Histogramme : l'AIRE représente l'effectif.
• La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, la médiane ne l'est pas : un grand écart entre les deux signale une série déséquilibrée.
• Une comparaison complète cite un indicateur de position ET un indicateur de dispersion.
• Médiane estimée : $\text{Me}\approx a+(b-a)\times\frac{N/2-C}{n}$ dans la classe médiane, soit l'abscisse du point d'ordonnée $0{,}5$ du polygone des fréquences cumulées.
• Ajout d'une valeur $x$ : nouvelle moyenne $\bar{x}+\frac{x-\bar{x}}{n+1}$ ; la médiane ne bouge que jusqu'aux valeurs voisines.

Questions fréquentes

Comment calculer une moyenne avec un tableau d'effectifs ?

On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne tous ces produits, puis on divise par l'effectif total. Le dénominateur est le nombre total d'individus, jamais le nombre de valeurs différentes du tableau. Une valeur obtenue par cinq personnes pèse cinq fois plus qu'une valeur obtenue par une seule.

Comment trouver la médiane quand il y a un nombre pair de valeurs ?

On ordonne la série, puis on prend la demi-somme des deux valeurs situées au milieu, celles dont les rangs sont la moitié de l'effectif et cette moitié plus un. La médiane obtenue n'appartient alors pas forcément à la série : c'est le seul indicateur du chapitre qui puisse être un nombre absent des données.

Quelle différence entre la variance et l'écart-type ?

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, elle s'exprime donc en unités au carré et ne s'interprète pas. L'écart-type est sa racine carrée : il revient dans l'unité des données et se compare directement à elles. C'est toujours l'écart-type qu'on rend en conclusion.

Pourquoi ajouter des points à toutes les notes ne change pas l'écart-type ?

Parce que la dispersion mesure des écarts entre les valeurs, et qu'une translation déplace toute la série sans modifier aucun de ces écarts. La moyenne, elle, augmente du même nombre de points. Seule une multiplication agit sur l'écart-type, en le multipliant par la valeur absolue du facteur.

Quand faut-il préférer la médiane à la moyenne ?

Quand la série contient des valeurs très éloignées des autres, comme un salaire beaucoup plus élevé que les autres. La moyenne est tirée par ces valeurs extrêmes alors que la médiane ne l'est pas. Un écart important entre les deux indicateurs est justement le signe qu'il faut se fier à la médiane.

Comment estimer la médiane d'une série regroupée en classes ?

On calcule les effectifs cumulés et on repère la classe médiane, la première où le cumul atteint la moitié de l'effectif total. On suppose ensuite les valeurs régulièrement réparties dans cette classe, et on avance dans la classe de la proportion qui manque : s'il manque soixante individus sur les quatre-vingts de la classe, on avance des trois quarts de son amplitude. Le résultat est une estimation, et il se lit aussi sur le polygone des fréquences cumulées, à mi-hauteur.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les statistiques descriptives

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

19 exercices corrigés
190 points
270 minutes

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/2nde-statistiques. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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