Maths Seconde, programme français • Exercices corrigés à Montréal
Cette fiche ne refait pas le cours sur les statistiques : vous l'avez déjà dans votre classeur. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note, l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, l'indicateur à choisir selon la question posée, et la rédaction que le correcteur de Seconde attend.
Elle est écrite pour les élèves de Seconde du programme français à Montréal, en particulier au Lycée Marie de France et au Collège Stanislas. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.
Le fil du chapitre
Un indicateur résume, donc il PERD de l'information : la vraie question n'est jamais « quelle est la moyenne » mais « qu'est-ce que cette moyenne cache ». Presque tous les points perdus en Seconde viennent d'une moyenne calculée sans tenir compte des effectifs, d'une médiane cherchée sur une série qu'on n'a pas ordonnée, ou d'une conclusion tirée d'un seul indicateur là où l'énoncé en attend deux, un de position et un de dispersion.
Ordonner la série est la première ligne de toute question de médiane ou de quartile. Une série non ordonnée rend fausse la totalité des lectures de rang, sans qu'aucun calcul ne paraisse faux.
Moyenne et écart-type vont ensemble ; médiane et écart interquartile vont ensemble. On ne mélange pas un indicateur de position d'une famille avec un indicateur de dispersion de l'autre.
Le centre de la classe vaut , pas ni . Prendre une borne décale la moyenne de la moitié de l'amplitude de classe, ce qui est énorme sur une série entière.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Notes , et obtenues par , et élèves : . »
Ce qu'il faut écrire
« . »
Pourquoi : Une valeur obtenue par cinq élèves pèse cinq fois plus dans la moyenne de la classe qu'une valeur obtenue par un seul. Le contrôle qui alerte : le dénominateur d'une moyenne pondérée est l'EFFECTIF TOTAL, ici , jamais le nombre de valeurs différentes.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Série , , , , : la médiane est la valeur du milieu, donc . »
Ce qu'il faut écrire
« On ordonne d'abord : , , , , . L'effectif est impair, la médiane est la valeur de rang , donc . »
Pourquoi : La médiane partage la série ORDONNÉE en deux groupes de même effectif : sans tri, la notion de rang n'a aucun sens. Le contrôle : la médiane doit avoir autant de valeurs au-dessus qu'en dessous, ce que ne vérifie pas ici.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Série ordonnée de valeurs : la médiane est la cinquième valeur, donc dollars. »
Ce qu'il faut écrire
« est pair, donc la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs et : dollars. »
Pourquoi : Avec un effectif pair, aucune valeur ne partage la série en deux groupes égaux : la médiane est un nombre construit, qui n'appartient pas nécessairement à la série. C'est le seul indicateur du chapitre qui puisse être absent des données.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La classe A compte élèves de moyenne , la classe B élèves de moyenne : la moyenne des deux classes est . »
Ce qu'il faut écrire
« . »
Pourquoi : La classe la plus nombreuse pèse davantage, donc la moyenne globale penche de son côté. Le contrôle de bon sens : la moyenne globale est forcément PLUS PROCHE de que de , puisque plus d'élèves ont la moyenne .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc l'écart-type de la série est centaines de dollars. »
Ce qu'il faut écrire
« centaines de dollars, soit environ dollars. »
Pourquoi : La variance est une moyenne de CARRÉS : elle s'exprime donc en unités au carré, ce qui ne se compare à rien. L'écart-type ramène l'indicateur dans l'unité des données, et c'est la seule valeur interprétable. Le contrôle : l'écart-type ne dépasse jamais l'étendue.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le professeur ajoute points à toutes les copies : la moyenne augmente de et l'écart-type aussi. »
Ce qu'il faut écrire
« La moyenne augmente de , mais l'écart-type est INCHANGÉ : toutes les notes se déplacent du même nombre de points, donc les écarts entre elles ne bougent pas. »
Pourquoi : La dispersion mesure des ÉCARTS, et une translation ne change aucun écart. Seul le facteur multiplicatif agit, en multipliant l'écart-type par sa valeur absolue. Le contrôle sur deux notes suffit : et deviennent et , et l'écart reste .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les deux entreprises ont un salaire moyen de dollars, donc elles proposent des conditions équivalentes. »
Ce qu'il faut écrire
« Les moyennes sont égales, mais les écarts-types valent environ et dollars : la seconde entreprise a des salaires nettement plus homogènes. »
Pourquoi : Une moyenne est un indicateur de POSITION : elle ne dit rien de l'étalement. Deux séries de même moyenne peuvent être radicalement différentes, et c'est précisément ce que le chapitre veut faire comprendre. Une comparaison complète cite toujours deux indicateurs.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Classe d'effectif : je compte dans la somme. »
Ce qu'il faut écrire
« Le centre de la classe est , donc je compte . »
Pourquoi : On suppose les valeurs réparties uniformément dans la classe, donc leur représentant est le milieu. Prendre la borne inférieure sur toutes les classes décale la moyenne de cinq unités entières ici, ce qui est du même ordre que l'écart-type.
Lire la question et repérer si elle porte sur le centre de la série ou sur son étalement.
Si « quelle est la valeur typique », sans valeur extrême visible → la MOYENNE, qui utilise toutes les données
Exemple :
Si la série contient une ou deux valeurs très éloignées des autres → la MÉDIANE, insensible aux extrêmes, et il faut le justifier
Exemple : un salaire de dollars parmi neuf autres autour de
Si « la moitié des élèves », « au moins la moitié » → la MÉDIANE, par définition
Exemple : la moitié des salariés gagnent moins de dollars
Si « au moins », « le quart des données » → les QUARTILES, et l'écart interquartile pour la moitié centrale
Exemple : et
Si « les résultats sont-ils réguliers », « quelle machine est la plus fiable » → un indicateur de DISPERSION, écart-type ou écart interquartile
Exemple : contre
Si deux séries ont la même moyenne et il faut choisir → comparer les dispersions, c'est la seule information qui reste
Exemple : même moyenne , écarts-types très différents
Une comparaison de deux séries se rédige toujours avec DEUX indicateurs, un de position et un de dispersion. Un seul chiffre ne répond jamais complètement à la question.
Regarder sous quelle forme l'énoncé présente la série.
Si une liste brute de valeurs → ordonner d'abord, puis lire les rangs pour la médiane et les quartiles
Exemple : , , , , donne une médiane de
Si un tableau valeurs et effectifs → moyenne PONDÉRÉE, et effectifs cumulés croissants pour situer les rangs
Exemple :
Si des données groupées en CLASSES → remplacer chaque classe par son centre, et annoncer que le résultat est approché
Exemple : devient
Si deux sous-groupes d'effectifs différents → moyenne pondérée par les effectifs, jamais la moyenne des deux moyennes
Exemple :
Si toutes les valeurs sont transformées par → moyenne , écart-type , sans recalculer la série
Exemple : ajouter points laisse l'écart-type inchangé
Dans tous les cas, la première ligne de la copie donne l'effectif total. C'est lui qui sert de dénominateur à la moyenne et de référence aux rangs des quartiles.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé présente deux séries et demande de les comparer, de choisir entre elles ou de conseiller quelqu'un.
Phrase de conclusion
« Les deux entreprises versent le même salaire moyen de dollars, mais l'écart-type vaut environ dollars dans la première contre dollars dans la seconde : les salaires sont donc bien plus homogènes dans la seconde entreprise. »
Le piège : Conclure sur la seule moyenne. Deux séries de même moyenne peuvent être radicalement différentes, et c'est exactement ce que l'énoncé cherche à faire dire.
Barème : Souvent 1 point par indicateur de position, 1 point par indicateur de dispersion, 2 points pour la comparaison rédigée.
Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé demande une médiane, un quartile, un écart interquartile ou un diagramme en boîte.
Phrase de conclusion
« dollars signifie qu'au moins un quart des salariés gagnent au plus dollars par mois. »
Le piège : Lire les rangs sur la série non ordonnée, ou confondre le rang et la valeur. Le rang est une position dans la liste, la réponse est la valeur qui occupe cette position.
Barème : Souvent 1 point pour la série ordonnée, 1 point pour la médiane, 1 point par quartile, 1 point pour l'interprétation.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
La moyenne est comprise entre le minimum et le maximum
Comparer la moyenne trouvée aux deux valeurs extrêmes de la série. Une moyenne en dehors de cet encadrement est impossible.
Une moyenne de dollars sur une série dont la plus petite valeur est signale une division par un mauvais effectif.
L'ordre
Vérifier que les trois valeurs se rangent dans cet ordre. Ce contrôle attrape une erreur de rang ou une série mal ordonnée.
, médiane et : l'ordre est respecté, la lecture des rangs est cohérente.
L'écart-type ne dépasse pas l'étendue
Comparer à l'étendue de la série. L'écart-type doit être nettement plus petit, et toujours positif.
Un écart-type de annoncé sur une série d'étendue signale une variance rendue à la place de l'écart-type.
Le contrôle du total des effectifs
Additionner la colonne des effectifs et comparer au total annoncé par l'énoncé. C'est le dénominateur de toute la suite.
Un tableau dont les effectifs totalisent alors que l'énoncé parle de élèves rend fausses la moyenne et toutes les fréquences.
Deux entreprises publient les salaires mensuels, en dollars, de leurs dix employés.
Entreprise A : , , , , , , , , , .
Entreprise B : , , , , , , , , , .
1. Calculer le salaire moyen de chaque entreprise.
2. Déterminer la médiane et les quartiles de chaque série.
3. Calculer l'écart-type de chaque série.
4. Quelle entreprise conseiller à un candidat, et pourquoi ?
Étape 1
Les deux sommes valent dollars, donc dollars.
Pourquoi
L'égalité des moyennes est voulue par l'énoncé : elle ferme la porte à toute conclusion fondée sur ce seul indicateur, et oblige à en chercher d'autres. C'est le point de départ du raisonnement, pas sa conclusion.
Étape 2
Les deux séries sont déjà ordonnées et est pair. Médiane de A : dollars. Médiane de B : dollars.
Pourquoi
L'écart entre la moyenne et la médiane dans l'entreprise A est le premier signal fort : il révèle une valeur très élevée qui tire la moyenne vers le haut sans concerner la majorité des salariés.
Étape 3
donne le rang et donne le rang . Pour A : et , donc un écart interquartile de dollars. Pour B : et , soit dollars.
Pourquoi
Les quartiles se lisent sur des rangs ARRONDIS À L'ENTIER SUPÉRIEUR, jamais interpolés en Seconde. L'écart interquartile confirme déjà la différence de régularité, sans être perturbé par le salaire extrême.
Étape 4
Pour A : , donc dollars.
Pourquoi
Le salaire de dollars contribue à lui seul pour dans une somme des carrés de , soit plus de quatre-vingt-cinq pour cent du total. Le carré amplifie les écarts, et c'est ce qui rend l'écart-type si sensible aux valeurs extrêmes.
Étape 5
Pour B : , donc dollars.
Pourquoi
L'écart-type se rend TOUJOURS après la racine, dans l'unité des données. Comparer à n'aurait aucun sens interprétable, alors que dollars contre dollars se lit immédiatement.
Étape 6
Contrôle de l'effet de la valeur extrême : sans le salaire de dollars, la moyenne de A tombe à dollars, très proche de sa médiane.
Pourquoi
Retirer une seule valeur et voir la moyenne chuter de dollars prouve chiffres à l'appui que cette valeur est atypique. C'est l'argument le plus convaincant d'une comparaison rédigée, et il tient en un calcul.
Étape 7
Conclusion : à salaire moyen identique, l'entreprise B offre des salaires nettement plus homogènes, avec un écart-type presque neuf fois plus petit, et une médiane supérieure de dollars à celle de A.
Pourquoi
La réponse s'appuie sur un indicateur de position ET un indicateur de dispersion, ce qui est exactement le barème. Un candidat ordinaire a bien plus de chances d'être payé autour de dollars en B qu'en A.
Conclusion rédigée
Les deux entreprises ont le même salaire moyen de dollars, mais la médiane de dollars et l'écart-type de dollars de l'entreprise B, contre dollars et environ dollars pour l'entreprise A, montrent que B offre des salaires beaucoup plus réguliers : c'est elle qu'il faut conseiller.
L'erreur classique sur cet exercice : Répondre « les deux se valent, la moyenne est la même ». C'est précisément la conclusion que l'énoncé est construit pour piéger, et elle vaut zéro à la dernière question même si tous les calculs précédents sont justes.
On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne tous ces produits, puis on divise par l'effectif total. Le dénominateur est le nombre total d'individus, jamais le nombre de valeurs différentes du tableau. Une valeur obtenue par cinq personnes pèse cinq fois plus qu'une valeur obtenue par une seule.
On ordonne la série, puis on prend la demi-somme des deux valeurs situées au milieu, celles dont les rangs sont la moitié de l'effectif et cette moitié plus un. La médiane obtenue n'appartient alors pas forcément à la série : c'est le seul indicateur du chapitre qui puisse être un nombre absent des données.
La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, elle s'exprime donc en unités au carré et ne s'interprète pas. L'écart-type est sa racine carrée : il revient dans l'unité des données et se compare directement à elles. C'est toujours l'écart-type qu'on rend en conclusion.
Parce que la dispersion mesure des écarts entre les valeurs, et qu'une translation déplace toute la série sans modifier aucun de ces écarts. La moyenne, elle, augmente du même nombre de points. Seule une multiplication agit sur l'écart-type, en le multipliant par la valeur absolue du facteur.
Quand la série contient des valeurs très éloignées des autres, comme un salaire beaucoup plus élevé que les autres. La moyenne est tirée par ces valeurs extrêmes alors que la médiane ne l'est pas. Un écart important entre les deux indicateurs est justement le signe qu'il faut se fier à la médiane.
