Exercices corrigés : loi binomiale et concentration (Terminale spécialité)

a) Chaque lancer n'a que deux issues, succès (obtenir 6) de probabilité $\frac{1}{6}$ et échec de probabilité $\frac{5}{6}$. Les lancers sont identiques et indépendants, et il y en a trois. Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=\frac{1}{6}$.

b) $P(X=3)=\left(\frac{1}{6}\right)^{3}=\frac{1}{216}\approx 0{,}0046$.

c) Trois chemins conviennent : le succès peut être au premier, au deuxième ou au troisième lancer. Chacun a pour probabilité $\frac{1}{6}\times\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{25}{216}$. Donc $P(X=1)=3\times\frac{25}{216}=\frac{75}{216}=\frac{25}{72}\approx 0{,}3472$.

d) L'événement contraire est de n'obtenir aucun succès : $P(X=0)=\left(\frac{5}{6}\right)^{3}=\frac{125}{216}$. Donc $P(X\geq 1)=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}\approx 0{,}4213$.

a) $\binom{5}{2}=\frac{5\times 4}{2}=10$. $\binom{5}{0}=1$ et $\binom{5}{5}=1$ : il n'y a qu'une façon de ne choisir aucun élément, et qu'une façon de les choisir tous.

b) $\binom{6}{3}=\frac{6\times 5\times 4}{6}=20$ et $\binom{10}{2}=\frac{10\times 9}{2}=45$.

c) $\binom{7}{5}=21$ et $\binom{7}{2}=21$ : les deux sont égaux, conformément à $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$. Choisir 5 éléments parmi 7 revient à choisir les 2 qu'on écarte.

d) $\binom{5}{2}+\binom{5}{3}=10+10=20=\binom{6}{3}$. La formule de Pascal est vérifiée.

e) La somme vaut $1+4+6+4+1=16=2^{4}$. C'est le nombre total de parties d'un ensemble à 4 éléments : en sommant sur toutes les tailles possibles, on compte toutes les parties.

a) $P(X=3)=\binom{10}{3}\times 0{,}3^{3}\times 0{,}7^{7}=120\times 0{,}027\times 0{,}0823543\approx 0{,}2668$.

b) $P(X=0)=\binom{10}{0}\times 0{,}3^{0}\times 0{,}7^{10}=0{,}7^{10}\approx 0{,}0282$.

c) $P(X=10)=0{,}3^{10}\approx 0{,}0000059$. Obtenir dix succès d'affilée avec une probabilité de 0,3 est extrêmement improbable : moins d'une chance sur 150 000.

d) La somme des $P(X=k)$ vaut exactement 1, car les événements $X=0$, $X=1$, ..., $X=10$ forment une partition de l'univers : la variable prend nécessairement une de ces onze valeurs.

a) $P(X=0)\approx 0{,}0282$, $P(X=1)=10\times 0{,}3\times 0{,}7^{9}\approx 0{,}1211$ et $P(X=2)=45\times 0{,}09\times 0{,}7^{8}\approx 0{,}2335$. La somme vaut environ $0{,}3828$.

b) $P(X\geq 3)=1-P(X\leq 2)\approx 1-0{,}3828=0{,}6172$.

c) $P(X\geq 1)=1-P(X=0)\approx 1-0{,}0282=0{,}9718$.

d) Il confond $\geq 3$ et $>3$. L'événement contraire de $X\geq 3$ est $X\leq 2$, et non $X\leq 3$ : la valeur $X=3$ appartient au premier événement, pas au second. Son calcul donnerait $P(X>3)$, soit environ $0{,}3504$, ce qui est différent.

a) $E(X)=10\times 0{,}3=3$. $V(X)=10\times 0{,}3\times 0{,}7=2{,}1$. $\sigma(X)=\sqrt{2{,}1}\approx 1{,}449$.

b) $E(Y)=50\times 0{,}2=10$. $V(Y)=50\times 0{,}2\times 0{,}8=8$. $\sigma(Y)=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2{,}828$.

c) La variance vaut $np(1-p)$. À $n$ fixé, il faut maximiser $p(1-p)=-p^{2}+p$, trinôme de coefficient dominant négatif dont le sommet est en $p=\frac{1}{2}$. La variance est donc maximale pour $p=0{,}5$, et vaut alors $\frac{n}{4}$. C'est cohérent : l'incertitude est maximale quand succès et échec sont équiprobables.

d) Il a oublié le facteur $(1-p)$. La bonne valeur est $V(X)=np(1-p)=10\times 0{,}3\times 0{,}7=2{,}1$, et non 3. La confusion vient de ce que $np$ est l'espérance, pas la variance.

a) Chaque pièce prélevée est défectueuse avec la probabilité $0{,}04$, indépendamment des autres puisque le lot est très important. On répète 20 fois : $X$ suit $\mathcal{B}(20\ ;\ 0{,}04)$.

b) $P(X=0)=0{,}96^{20}\approx 0{,}4420$.

c) $P(X\geq 1)=1-P(X=0)\approx 1-0{,}4420=0{,}5580$. Il y a donc plus d'une chance sur deux de trouver au moins un défaut, alors que le taux n'est que de 4 %.

d) $P(X=2)=\binom{20}{2}\times 0{,}04^{2}\times 0{,}96^{18}=190\times 0{,}0016\times 0{,}4796\approx 0{,}1458$.

e) $E(X)=20\times 0{,}04=0{,}8$ pièce défectueuse en moyenne par échantillon.

a) $P(X_{n}\geq 1)=1-P(X_{n}=0)=1-0{,}96^{n}$.

b) La condition s'écrit $1-0{,}96^{n}\geq 0{,}99$, soit $0{,}96^{n}\leq 0{,}01$.

c) En passant au logarithme, qui est croissant : $n\ln(0{,}96)\leq\ln(0{,}01)$. Comme $\ln(0{,}96)<0$, la division par ce nombre inverse l'inégalité : $n\geq\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}96)}\approx\frac{-4{,}6052}{-0{,}0408}\approx 112{,}81$.

d) Le plus petit entier convenant est $n=113$. Vérification : $0{,}96^{112}\approx 0{,}010337$, qui dépasse encore $0{,}01$, alors que $0{,}96^{113}\approx 0{,}009923$, qui lui est inférieur. Il faut donc prélever au moins 113 pièces.

e) Parce que $\ln(0{,}96)$ est strictement négatif : $0{,}96$ est inférieur à 1, donc son logarithme est négatif. Diviser les deux membres d'une inégalité par un nombre négatif en change le sens. C'est l'erreur la plus fréquente sur ce type de question.

a) $E(X)=100\times 0{,}5=50$ et $V(X)=100\times 0{,}5\times 0{,}5=25$.

b) L'inégalité donne $P(|X-50|\geq 10)\leq\frac{V(X)}{10^{2}}=\frac{25}{100}=0{,}25$.

c) La majoration vaut $0{,}25$ alors que la probabilité réelle vaut environ $0{,}0569$ : la borne est plus de quatre fois trop grande. Elle est correcte, mais très large.

d) Elle a l'avantage d'être universelle : elle ne demande de connaître que l'espérance et la variance, sans rien supposer de la loi. C'est ce qui permet de l'utiliser pour démontrer la loi des grands nombres, valable pour n'importe quelle loi. Quand la loi est connue précisément, comme ici, on préfère bien sûr le calcul exact.

e) $P(|X-50|\geq 25)\leq\frac{25}{25^{2}}=\frac{25}{625}=0{,}04$.

a) $p(1-p)=0{,}5\times 0{,}5=0{,}25$ et $\delta^{2}=0{,}0025$, donc la majoration vaut $\frac{0{,}25}{0{,}0025n}=\frac{100}{n}$.

b) On résout $\frac{100}{n}\leq 0{,}05$, soit $n\geq\frac{100}{0{,}05}=2000$. Le plus petit entier est $n=2000$.

c) On résout $\frac{100}{n}\leq 0{,}01$, soit $n\geq 10\ 000$. Le plus petit entier est $n=10\ 000$.

d) La majoration $\frac{100}{n}$ tend vers 0. Donc $P(|M_{n}-p|\geq\delta)$ tend vers 0 pour tout $\delta>0$ : c'est la loi des grands nombres. La fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique quand le nombre d'expériences augmente.

e) La majoration contient $\delta^{2}$ au dénominateur. Diviser $\delta$ par 10 multiplie $\delta^{2}$ par $\frac{1}{100}$, donc multiplie la majoration par 100. Pour la ramener au même niveau, il faut multiplier $n$ par 100. La précision coûte cher : gagner un chiffre demande cent fois plus d'expériences.

a) Faux. Sans remise, les tirages ne sont pas indépendants et la probabilité de succès change à chaque étape : après une rouge il ne reste que 4 rouges sur 9. La loi binomiale exige des épreuves identiques et indépendantes. Le calcul exact donne $P(X=3)=\frac{5}{10}\times\frac{4}{9}\times\frac{3}{8}=\frac{1}{12}\approx 0{,}0833$, alors que la loi binomiale prédirait $0{,}5^{3}=0{,}125$.

b) Faux. Il manque le coefficient binomial, qui compte le nombre de chemins de l'arbre menant à $k$ succès. La formule correcte est $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$. Sans lui, la somme des probabilités ne vaudrait pas 1.

c) Faux. D'abord $np$ n'est pas toujours entier : pour $\mathcal{B}(10\ ;\ 0{,}3)$ on aurait $np=3$, mais pour $\mathcal{B}(20\ ;\ 0{,}04)$ on obtient $0{,}8$, qui n'est pas une valeur possible pour un nombre de succès. Ensuite, même quand $np$ est entier, l'espérance est une moyenne et non un mode, même si les deux coïncident souvent.

d) Faux. Il manque le facteur $(1-p)$ : la formule est $V(X)=np(1-p)$. La confusion avec l'espérance est fréquente. On remarque d'ailleurs que $V(X)<E(X)$ dès que $p>0$, puisque $np(1-p)<np$.