Exercices corrigés : la convexité (Terminale spécialité)

a) $f'(x)=4x^{3}-12x$ et $f''(x)=12x^{2}-12=12(x^{2}-1)=12(x-1)(x+1)$.

b) $g'(x)=3x^{2}-6x$ et $g''(x)=6x-6=6(x-1)$.

c) $h'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$ et $h''(x)=\mathrm{e}^{-x}$.

d) $k'(x)=\frac{1}{x}$ et $k''(x)=-\frac{1}{x^{2}}$.

a) $f''(x)=12(x-1)(x+1)$, trinôme de coefficient dominant positif et de racines $-1$ et $1$ : il est positif à l'extérieur, négatif entre les racines. Donc $f$ est convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[1;+\infty[$, et concave sur $[-1;1]$.

b) $g''(x)=6(x-1)$, négatif pour $x<1$ et positif pour $x>1$. Donc $g$ est concave sur $]-\infty;1]$ et convexe sur $[1;+\infty[$.

c) $h''(x)=\mathrm{e}^{-x}>0$ pour tout réel : $h$ est convexe sur $\mathbb{R}$. On remarquera qu'elle est pourtant strictement décroissante.

d) $k''(x)=-\frac{1}{x^{2}}<0$ sur $]0;+\infty[$ : la fonction logarithme est concave sur tout son ensemble de définition.

a) $f''(x)=12(x-1)(x+1)$ s'annule en $-1$ et en $1$, en changeant de signe à chaque fois. Les ordonnées valent $f(-1)=1-6+5=0$ et $f(1)=1-6+5=0$. Les points d'inflexion sont $(-1,\ 0)$ et $(1,\ 0)$.

b) $g''(x)=6(x-1)$ s'annule en $1$ en changeant de signe. Comme $g(1)=1-3+2=0$, le point d'inflexion est $(1,\ 0)$.

c) Non. On a $p''(x)=12x^{2}$, qui s'annule bien en $0$, mais qui est positif de part et d'autre : il n'y a aucun changement de signe. La fonction reste convexe sur tout $\mathbb{R}$, sa courbe reste au-dessus de la tangente en $0$, qui est l'axe des abscisses, et ne la traverse pas.

d) La règle correcte est : le point d'abscisse $a$ est un point d'inflexion si et seulement si $f''$ change de signe en $a$. L'annulation de $f''$ est une condition nécessaire, jamais suffisante.

a) La courbe tourne sa concavité vers le bas jusqu'à $x=1$, puis vers le haut : elle est concave sur $]-\infty;1]$ et convexe sur $[1;+\infty[$.

b) Le point marqué a pour abscisse $1$. Par le calcul, $g''(x)=6x-6$ s'annule en changeant de signe en $x=1$, ce qui confirme la lecture.

c) Non. Sur $[1;+\infty[$, la fonction commence par décroître jusqu'à son minimum en $x=2$, puis croît. Elle est donc convexe sur cet intervalle sans y être croissante : la convexité décrit la façon dont la courbe se courbe, pas son sens de variation. Les deux notions sont indépendantes.

d) La tangente au point d'inflexion a pour coefficient directeur $g'(1)=3-6=-3$, et pour équation $y=-3(x-1)$. Sur $]-\infty;1]$ la fonction est concave, donc sa courbe est en dessous de la tangente ; sur $[1;+\infty[$ elle est convexe, donc au-dessus. Par exemple $g(0{,}5)=1{,}375$ contre $-3\times(-0{,}5)=1{,}5$, puis $g(1{,}5)=-1{,}375$ contre $-1{,}5$. La courbe traverse donc sa tangente en $x=1$, ce qui est la caractéristique d'un point d'inflexion.

a) $f'(x)=\mathrm{e}^{x}$ et $f''(x)=\mathrm{e}^{x}$, qui est strictement positive pour tout réel. Donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

b) $f(0)=1$ et $f'(0)=1$, donc $T$ a pour équation $y=1\times(x-0)+1$, soit $y=x+1$.

c) Une fonction convexe a sa courbe au-dessus de chacune de ses tangentes. Donc $\mathrm{e}^{x}\geq x+1$ pour tout réel $x$.

d) Pour $x=-2$ : $\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}135$ et $x+1=-1$, l'inégalité est vérifiée. Pour $x=0$ : $1\geq 1$. Pour $x=1$ : $\mathrm{e}\approx 2{,}718$ et $x+1=2$, vérifiée également.

e) L'égalité a lieu uniquement en $x=0$, le point de contact avec la tangente. Ailleurs l'inégalité est stricte, car l'exponentielle est strictement convexe.

a) $f'(x)=6x^{2}-6x-12=6(x^{2}-x-2)=6(x-2)(x+1)$. La dérivée est positive à l'extérieur de $[-1;2]$ et négative entre. Donc $f$ croît sur $]-\infty;-1]$, décroît sur $[-1;2]$, puis croît sur $[2;+\infty[$.

b) Maximum local en $x=-1$ : $f(-1)=-2-3+12+5=12$. Minimum local en $x=2$ : $f(2)=16-12-24+5=-15$.

c) $f''(x)=12x-6=6(2x-1)$, négative pour $x<\frac{1}{2}$ et positive pour $x>\frac{1}{2}$.

d) La fonction est concave sur $\left]-\infty;\frac{1}{2}\right]$ et convexe sur $\left[\frac{1}{2};+\infty\right[$. La dérivée seconde change de signe en $\frac{1}{2}$, donc le point d'inflexion a pour abscisse $\frac{1}{2}$ et pour ordonnée $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}-6+5=-\frac{3}{2}$.

e) Non, $\frac{1}{2}$ n'est pas un extremum : $f'\left(\frac{1}{2}\right)=6\times\frac{1}{4}-3-12=-13{,}5$, qui n'est pas nul. La question a un sens parce que les deux notions se confondent souvent dans les copies : un extremum annule $f'$, un point d'inflexion fait changer de signe $f''$. Ici les abscisses concernées sont $-1$ et $2$ pour les extremums, et $\frac{1}{2}$ pour l'inflexion : elles sont bien distinctes.

a) La fonction logarithme est concave sur $]0;+\infty[$ car sa dérivée seconde $-\frac{1}{x^{2}}$ est négative. Sa courbe est donc en dessous de chacune de ses tangentes. Au point d'abscisse 1 : $\ln 1=0$ et la dérivée vaut $\frac{1}{1}=1$, donc la tangente a pour équation $y=1\times(x-1)+0=x-1$. La concavité donne alors $\ln x\leq x-1$ pour tout $x>0$.

b) Pour $x=0{,}5$ : $\ln 0{,}5\approx-0{,}693$ et $x-1=-0{,}5$, l'inégalité est vérifiée. Pour $x=1$ : $0\leq 0$. Pour $x=3$ : $\ln 3\approx 1{,}099$ et $x-1=2$, vérifiée.

c) Il suffit de poser $x=1+u$, qui est strictement positif dès que $u>-1$. L'inégalité $\ln x\leq x-1$ devient alors $\ln(1+u)\leq(1+u)-1=u$.

d) En posant $x=\ln t$ avec $t>0$, l'inégalité $\mathrm{e}^{x}\geq x+1$ s'écrit $t\geq\ln t+1$, soit $\ln t\leq t-1$. C'est exactement l'inégalité de la question a). Les deux énoncés sont donc deux lectures d'un même fait, l'un du côté de l'exponentielle convexe, l'autre du côté du logarithme concave.

e) Dans les deux cas l'égalité a lieu au point de contact avec la tangente : en $x=0$ pour $\mathrm{e}^{x}\geq x+1$, et en $x=1$ pour $\ln x\leq x-1$. Ces deux points se correspondent d'ailleurs par la substitution de la question d), puisque $\ln 1=0$.

a) $C'(q)=3q^{2}-24q+60$.

b) $C''(q)=6q-24=6(q-4)$, négative pour $q<4$ et positive pour $q>4$.

c) La dérivée seconde change de signe en $q=4$ : le point d'inflexion a pour abscisse $q=4$.

d) Sur $[0;4]$, $C''<0$ donc le coût marginal $C'$ est décroissant : chaque centaine supplémentaire coûte moins cher que la précédente, l'entreprise bénéficie d'économies d'échelle. Au-delà de $q=4$, $C''>0$ et le coût marginal se met à croître : les rendements deviennent décroissants. Le point d'inflexion marque donc exactement le basculement entre les deux régimes.

e) Le coût marginal est minimal là où sa propre dérivée s'annule, c'est-à-dire en $q=4$ : $C'(4)=48-96+60=12$ milliers de dollars par centaine d'articles. Le coût total y vaut $C(4)=64-192+240+100=212$ milliers de dollars.

a) Sa dérivée seconde vaut $-\frac{1}{x^{2}}$, strictement négative sur $]0;+\infty[$ : le logarithme y est concave.

b) $\ln\left(\frac{a+b}{2}\right)\geq\frac{\ln a+\ln b}{2}$.

c) Le membre de droite s'écrit $\frac{1}{2}\ln(ab)=\ln\left((ab)^{\frac{1}{2}}\right)=\ln\sqrt{ab}$. L'inégalité devient $\ln\left(\frac{a+b}{2}\right)\geq\ln\sqrt{ab}$. Le logarithme étant strictement croissant, on peut l'éliminer des deux côtés : $\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$. C'est l'inégalité entre moyenne arithmétique et moyenne géométrique.

d) Pour $a=2$ et $b=8$ : $\frac{2+8}{2}=5$ et $\sqrt{16}=4$, et bien $5\geq 4$. Pour $a=5$ et $b=5$ : $\frac{10}{2}=5$ et $\sqrt{25}=5$, il y a égalité.

e) L'égalité a lieu si et seulement si $a=b$, car c'est le seul cas où la corde se réduit à un point. Géométriquement : parmi tous les rectangles de périmètre donné, le carré est celui d'aire maximale. La moyenne arithmétique correspond au demi-périmètre divisé par deux, la moyenne géométrique au côté du carré de même aire.

a) Faux. Contre-exemple : $p(x)=x^{4}$ vérifie $p''(0)=0$, mais $p''(x)=12x^{2}$ reste positive de part et d'autre. Il n'y a pas de changement de signe, donc pas de point d'inflexion. La condition correcte est le changement de signe de $f''$.

b) Faux. Contre-exemple : $h(x)=\mathrm{e}^{-x}$ a pour dérivée seconde $\mathrm{e}^{-x}>0$, elle est donc convexe sur $\mathbb{R}$, et pourtant strictement décroissante. Convexité et sens de variation sont deux propriétés indépendantes : la première porte sur $f''$, la seconde sur $f'$.

c) Faux. La fonction inverse a pour dérivée seconde $\frac{2}{x^{3}}$, qui est positive pour $x>0$ et négative pour $x<0$. Elle est donc convexe sur $]0;+\infty[$ et concave sur $]-\infty;0[$, mais pas convexe sur la réunion des deux. Comme pour le sens de variation, une propriété de convexité s'énonce toujours sur un intervalle.

d) Faux. C'est la définition d'un point critique, pas d'un point d'inflexion. Contre-exemple pris à l'exercice 6 : la fonction $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+5$ a son point d'inflexion en $\frac{1}{2}$, où $f'\left(\frac{1}{2}\right)=-13{,}5$ n'est pas nul, tandis que sa dérivée s'annule en $-1$ et en $2$, qui ne sont pas des points d'inflexion.