Exercices corrigés : la convexité (Terminale spécialité)

$f'(x)=6x^{2}+2x-5$, puis $f''(x)=12x+2$. En $x=2$ : $f''(2)=24+2=26$. La constante $-5$ et le $+4$ disparaissent dès la première dérivation.

$g'(x)=4x^{3}-6x^{2}+3$, puis $g''(x)=12x^{2}-12x=12x(x-1)$. En $x=-1$ : $g''(-1)=12+12=24$. Piège : $-12x$ en $x=-1$ donne $+12$, pas $-12$, d'où le $0$ trouvé par erreur.

$h'(x)=6\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^{-x}$, puis $h''(x)=12\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^{-x}$. En $x=0$ : $h''(0)=12-1=11$. Piège : le signe du terme en $\mathrm{e}^{-x}$ change à CHAQUE dérivation, $-\mathrm{e}^{-x}$ devient $+\mathrm{e}^{-x}$ puis redevient $-\mathrm{e}^{-x}$ ; qui l'oublie trouve $13$.

Produit : $k'(x)=2\mathrm{e}^{x}+(2x+1)\mathrm{e}^{x}=(2x+3)\mathrm{e}^{x}$. Produit encore : $k''(x)=2\mathrm{e}^{x}+(2x+3)\mathrm{e}^{x}=(2x+5)\mathrm{e}^{x}$. En $x=0$ : $k''(0)=5$. À chaque étage, la partie affine gagne $2$, la dérivée de $2x+1$.

Produit : $m'(x)=1\times\ln x+x\times\frac{1}{x}=\ln x+1$, puis $m''(x)=\frac{1}{x}$. En $x=4$ : $m''(4)=\frac{1}{4}$. Piège : dériver le produit facteur par facteur, $m'(x)=1\times\frac{1}{x}$, ce qui mène à $m''(x)=-\frac{1}{x^{2}}$ et à $-\frac{1}{16}$.

$p(x)=4x^{-1}$, donc $p'(x)=-4x^{-2}=-\frac{4}{x^{2}}$ et $p''(x)=8x^{-3}=\frac{8}{x^{3}}$. En $x=-2$ : $p''(-2)=\frac{8}{-8}=-1$, négatif : $p$ est concave sur $]-\infty\,;0[$. Piège : deux signes moins se compensent, $p''$ porte un coefficient POSITIF, et c'est le cube de $x$ qui donne le signe.

$q'(x)=-3x^{2}+12x+2$, puis $q''(x)=-6x+12=-6(x-2)$. $q''$ est affine non constante : elle s'annule en $2$ en changeant de signe, positive avant, négative après. L'abscisse du point d'inflexion est $2$.

$r'(x)=3x^{2}+18x-4$, puis $r''(x)=6x+18=6(x+3)$. $r''(x)\geq 0$ si et seulement si $x\geq-3$ : $r$ est convexe sur $[-3\,;+\infty[$ et concave sur $]-\infty\,;-3]$. Piège : répondre par l'intervalle où $r$ est CROISSANTE ; la convexité se lit sur $r''$, pas sur $r'$.

$s'(x)=4x^{3}-12x^{2}-36x+1$, puis $s''(x)=12x^{2}-24x-36=12(x^{2}-2x-3)=12(x+1)(x-3)$. Le trinôme change de signe en chacune de ses deux racines, positif à l'extérieur, négatif entre elles : deux points d'inflexion, d'abscisses $-1$ et $3$. La plus grande vaut $3$.

$t'(x)=\frac{1}{x}+\frac{x}{4}$, puis $t''(x)=-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{4}=\frac{x^{2}-4}{4x^{2}}$. Sur $]0\,;+\infty[$, le dénominateur est positif et $x^{2}-4\leq 0$ équivaut à $x\leq 2$ : $t$ est concave sur $]0\,;2]$ et convexe sur $[2\,;+\infty[$. Piège : garder la solution $x\geq-2$ du trinôme, alors que la fonction n'est définie que pour $x>0$, d'où le crochet ouvert en $0$.

$f'(x)=4x^{3}-12x$, obtenue terme à terme, puis $f''(x)=12x^{2}-12$. On FACTORISE systématiquement la dérivée seconde, car c'est son signe qui intéresse et non sa valeur : $f''(x)=12(x^{2}-1)=12(x-1)(x+1)$. Cette factorisation n'est pas un ornement, elle est le vrai travail de la question, et sans elle l'exercice 2 devient impossible à traiter proprement.

$g'(x)=3x^{2}-6x$ et $g''(x)=6x-6=6(x-1)$. La dérivée seconde d'un polynôme de degré $3$ est toujours AFFINE, donc de signe très simple, ce qui explique que les exercices de convexité sur les cubiques donnent toujours exactement un point d'inflexion.

$h'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$, le signe moins venant de la dérivation de la composée $-x$, puis $h''(x)=-\left(-\mathrm{e}^{-x}\right)=\mathrm{e}^{-x}$. Les deux signes moins se compensent, et c'est le piège de la question : beaucoup de copies concluent à une dérivée seconde négative en oubliant le second facteur $-1$.

$k'(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$, dont la dérivée est $-x^{-2}$, soit $k''(x)=-\frac{1}{x^{2}}$. Ici encore le signe moins est décisif, puisqu'il donnera la concavité du logarithme, propriété exploitée aux exercices 7 et 10.

$f''(x)=12(x-1)(x+1)$ est un trinôme de coefficient dominant positif, de racines $-1$ et $1$ : il est donc positif à l'EXTÉRIEUR des racines et négatif entre elles. Par conséquent $f$ est CONVEXE sur $]-\infty;-1]$ et sur $[1;+\infty[$, et CONCAVE sur $[-1;1]$. La règle de signe d'un trinôme, positif à l'extérieur des racines quand $a>0$, évite ici de dresser un tableau complet.

$f''$ étant remplacée par $g''(x)=6(x-1)$, affine et croissante, elle est négative pour $x<1$ et positive pour $x>1$. Donc $g$ est concave sur $]-\infty;1]$ et convexe sur $[1;+\infty[$. Le passage de la concavité à la convexité en un point unique est le comportement typique d'une fonction du troisième degré.

$h''(x)=\mathrm{e}^{-x}>0$ pour tout réel, l'exponentielle ne s'annulant jamais : $h$ est convexe sur $\mathbb{R}$ tout entier, sans aucun point d'inflexion. Et pourtant elle est STRICTEMENT DÉCROISSANTE, puisque $h'(x)=-\mathrm{e}^{-x}<0$. Cet exemple est à retenir tel quel, car il réfute d'un coup l'idée fausse que convexe voudrait dire croissant, idée reprise à l'exercice 9.

$k''(x)=-\frac{1}{x^{2}}<0$ sur tout $]0;+\infty[$, un carré étant strictement positif : la fonction logarithme est CONCAVE sur tout son ensemble de définition. Elle est pourtant strictement croissante, ce qui donne le contre-exemple symétrique du précédent : concave n'implique pas décroissant.

$f''(x)=12(x-1)(x+1)$ s'annule en $-1$ et en $1$, et le tableau de signes de l'exercice 2 montre qu'elle CHANGE DE SIGNE en chacun de ces deux points, passant de positive à négative en $-1$, puis de négative à positive en $1$. Les deux abscisses sont donc bien celles de points d'inflexion. Restent les ordonnées, que la question demande explicitement : $f(-1)=1-6+5=0$ et $f(1)=1-6+5=0$. Les points d'inflexion sont $(-1\,;\,0)$ et $(1\,;\,0)$.

$g''(x)=6(x-1)$ s'annule en $1$ en changeant de signe, puisqu'une fonction affine non constante change toujours de signe en sa racine. Comme $g(1)=1-3+2=0$, le point d'inflexion est $(1\,;\,0)$.

Non, et c'est tout l'objet de l'exercice. On a $p''(x)=12x^{2}$, qui s'annule bien en $0$, mais qui est POSITIVE de part et d'autre, par exemple $p''(-0{,}5)=3$ et $p''(0{,}5)=3$. Il n'y a donc aucun changement de signe : la fonction $x\mapsto x^{4}$ reste convexe sur $\mathbb{R}$ tout entier. Géométriquement, sa courbe reste au-dessus de la tangente en $0$, qui est l'axe des abscisses, et se contente de l'effleurer sans jamais la traverser.

La règle correcte est la suivante : le point d'abscisse $a$ est un point d'inflexion SI ET SEULEMENT SI $f''$ change de signe en $a$. L'annulation de $f''$ est une condition NÉCESSAIRE mais jamais suffisante, ce qui impose de toujours l'accompagner d'une étude de signe et d'écrire cette étude sur la copie.

La courbe tourne sa concavité vers le bas jusqu'à $x=1$, où elle bascule vers le haut : elle est concave sur $]-\infty;1]$ et convexe sur $[1;+\infty[$. Le repère visuel à installer est simple : une portion concave a l'allure d'une colline, une portion convexe celle d'une vallée.

Le point marqué a pour abscisse $1$. Le calcul le confirme : $g''(x)=6x-6$ s'annule en changeant de signe en $x=1$, et la lecture graphique se trouve validée. On notera que la lecture seule ne suffirait pas en examen, un point d'inflexion étant difficile à localiser à l'œil ; le graphique donne la conjecture, le calcul donne la preuve.

Non. Sur $[1;+\infty[$, la fonction commence par DÉCROÎTRE jusqu'à son minimum en $x=2$, où $g'(2)=12-12=0$, puis elle croît. Elle est donc convexe sur cet intervalle sans y être croissante. La conclusion est celle déjà tirée à l'exercice 2 : la convexité décrit la façon dont la courbe se courbe, pas son sens de variation, et les deux notions sont indépendantes.

La tangente au point d'inflexion a pour coefficient directeur $g'(1)=3-6=-3$ et passe par $(1\,;\,0)$, d'où son équation $y=-3(x-1)$. Sur $]-\infty;1]$ la fonction est concave, donc sa courbe est EN DESSOUS de la tangente ; sur $[1;+\infty[$ elle est convexe, donc AU-DESSUS. La vérification numérique le confirme : $g(0{,}5)=1{,}375$ contre une tangente à $1{,}5$, donc en dessous ✓, puis $g(1{,}5)=-1{,}375$ contre une tangente à $-1{,}5$, donc au-dessus ✓.

$f'(x)=\mathrm{e}^{x}$ et $f''(x)=\mathrm{e}^{x}$, qui est strictement positive pour tout réel puisque l'exponentielle ne s'annule jamais et reste positive. Donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$, et même strictement convexe, l'inégalité étant stricte.

L'équation d'une tangente au point d'abscisse $a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$. Ici $a=0$, avec $f(0)=1$ et $f'(0)=1$, donc $T$ a pour équation $y=1\times(x-0)+1$, soit $y=x+1$.

Une fonction convexe a sa courbe AU-DESSUS de chacune de ses tangentes, propriété admise du cours. En l'appliquant à la tangente en $0$, on obtient directement $\mathrm{e}^{x}\geq x+1$ pour tout réel $x$, sans le moindre calcul supplémentaire. C'est le mécanisme le plus rentable du chapitre : la convexité TRANSFORME une propriété géométrique en inégalité algébrique valable partout.

Pour $x=-2$ : $\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}135$ face à $x+1=-1$, et l'inégalité est largement vérifiée, l'exponentielle restant positive quand la droite est négative. Pour $x=0$ : $1\geq 1$, cas d'égalité. Pour $x=1$ : $\mathrm{e}\approx 2{,}718$ face à $x+1=2$, vérifiée également.

L'égalité a lieu UNIQUEMENT en $x=0$, qui est le point de contact avec la tangente. Ailleurs l'inégalité est stricte, car l'exponentielle est strictement convexe : sa courbe ne peut pas coller à une droite sur un intervalle, faute de quoi la dérivée seconde y serait nulle.

$f'(x)=6x^{2}-6x-12=6(x^{2}-x-2)=6(x-2)(x+1)$, la factorisation venant des racines évidentes $2$ et $-1$ du trinôme, dont la somme vaut $1$ et le produit $-2$. Le coefficient dominant étant positif, la dérivée est positive à l'extérieur de $[-1;2]$ et négative entre. Donc $f$ CROÎT sur $]-\infty;-1]$, DÉCROÎT sur $[-1;2]$, puis croît de nouveau sur $[2;+\infty[$.

Le changement de croissante à décroissante en $x=-1$ signale un MAXIMUM local, de valeur $f(-1)=-2-3+12+5=12$. Le changement inverse en $x=2$ signale un MINIMUM local, de valeur $f(2)=16-12-24+5=-15$. Ces extremums sont locaux et non globaux, puisque la fonction tend vers $-\infty$ en $-\infty$ et vers $+\infty$ en $+\infty$.

$f''(x)=12x-6=6(2x-1)$, affine et croissante, donc négative pour $x<\frac{1}{2}$ et positive pour $x>\frac{1}{2}$.

La fonction est donc concave sur $\left]-\infty;\frac{1}{2}\right]$ et convexe sur $\left[\frac{1}{2};+\infty\right[$. La dérivée seconde changeant de signe en $\frac{1}{2}$, le point d'inflexion a pour abscisse $\frac{1}{2}$ et pour ordonnée $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}-6+5=-\frac{3}{2}$.

Non, $\frac{1}{2}$ n'est pas un extremum, et le calcul le prouve : $f'\left(\frac{1}{2}\right)=6\times\frac{1}{4}-3-12=1{,}5-15=-13{,}5$, qui est loin d'être nul. La question a un sens parce que les deux notions se confondent constamment dans les copies, alors qu'elles portent sur des étages différents : un extremum annule $f'$ en changeant son signe, un point d'inflexion fait changer de signe $f''$. Ici les abscisses concernées sont $-1$ et $2$ pour les extremums, et $\frac{1}{2}$ pour l'inflexion : elles sont bien distinctes.