Exercices corrigés : la convexité (Terminale spécialité)

a) $f'(x)=4x^{3}-12x$, obtenue terme à terme, puis $f''(x)=12x^{2}-12$. On FACTORISE systématiquement la dérivée seconde, car c'est son signe qui intéresse et non sa valeur : $f''(x)=12(x^{2}-1)=12(x-1)(x+1)$. Cette factorisation n'est pas un ornement, elle est le vrai travail de la question, et sans elle l'exercice 2 devient impossible à traiter proprement.

b) $g'(x)=3x^{2}-6x$ et $g''(x)=6x-6=6(x-1)$. La dérivée seconde d'un polynôme de degré $3$ est toujours AFFINE, donc de signe très simple, ce qui explique que les exercices de convexité sur les cubiques donnent toujours exactement un point d'inflexion.

c) $h'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$, le signe moins venant de la dérivation de la composée $-x$, puis $h''(x)=-\left(-\mathrm{e}^{-x}\right)=\mathrm{e}^{-x}$. Les deux signes moins se compensent, et c'est le piège de la question : beaucoup de copies concluent à une dérivée seconde négative en oubliant le second facteur $-1$.

d) $k'(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$, dont la dérivée est $-x^{-2}$, soit $k''(x)=-\frac{1}{x^{2}}$. Ici encore le signe moins est décisif, puisqu'il donnera la concavité du logarithme, propriété exploitée aux exercices 7 et 10.

Une remarque d'ordre général avant de passer à la suite. Dériver deux fois ne présente aucune difficulté nouvelle, il s'agit des mêmes règles appliquées une seconde fois, et l'unique risque est l'erreur de calcul. En revanche il faut fixer clairement ce que chaque étage RACONTE, car c'est ce que la suite du chapitre va exploiter : $f$ donne la position de la courbe, $f'$ donne son sens de variation par son signe, et $f''$ donne sa COURBURE. Les trois informations sont indépendantes, et c'est le sujet de l'exercice 2.

a) $f''(x)=12(x-1)(x+1)$ est un trinôme de coefficient dominant positif, de racines $-1$ et $1$ : il est donc positif à l'EXTÉRIEUR des racines et négatif entre elles. Par conséquent $f$ est CONVEXE sur $]-\infty;-1]$ et sur $[1;+\infty[$, et CONCAVE sur $[-1;1]$. La règle de signe d'un trinôme, positif à l'extérieur des racines quand $a>0$, évite ici de dresser un tableau complet.

b) $f''$ étant remplacée par $g''(x)=6(x-1)$, affine et croissante, elle est négative pour $x<1$ et positive pour $x>1$. Donc $g$ est concave sur $]-\infty;1]$ et convexe sur $[1;+\infty[$. Le passage de la concavité à la convexité en un point unique est le comportement typique d'une fonction du troisième degré.

c) $h''(x)=\mathrm{e}^{-x}>0$ pour tout réel, l'exponentielle ne s'annulant jamais : $h$ est convexe sur $\mathbb{R}$ tout entier, sans aucun point d'inflexion. Et pourtant elle est STRICTEMENT DÉCROISSANTE, puisque $h'(x)=-\mathrm{e}^{-x}<0$. Cet exemple est à retenir tel quel, car il réfute d'un coup l'idée fausse que convexe voudrait dire croissant, idée reprise à l'exercice 9.

d) $k''(x)=-\frac{1}{x^{2}}<0$ sur tout $]0;+\infty[$, un carré étant strictement positif : la fonction logarithme est CONCAVE sur tout son ensemble de définition. Elle est pourtant strictement croissante, ce qui donne le contre-exemple symétrique du précédent : concave n'implique pas décroissant.

On peut résumer par un tableau à deux entrées que les quatre fonctions remplissent à elles seules, et qu'il vaut la peine de se représenter. Croissante et convexe : $\mathrm{e}^{x}$, la courbe monte de plus en plus vite. Croissante et concave : $\ln x$, la courbe monte de moins en moins vite. Décroissante et convexe : $\mathrm{e}^{-x}$, la courbe descend de moins en moins vite. Décroissante et concave : $-\mathrm{e}^{x}$, la courbe descend de plus en plus vite. Les quatre combinaisons existent, ce qui prouve que le signe de $f'$ et celui de $f''$ sont LOGIQUEMENT INDÉPENDANTS. La bonne formule à retenir est que la convexité ne dit pas si l'on monte, mais si l'on ACCÉLÈRE.

a) $f''(x)=12(x-1)(x+1)$ s'annule en $-1$ et en $1$, et le tableau de signes de l'exercice 2 montre qu'elle CHANGE DE SIGNE en chacun de ces deux points, passant de positive à négative en $-1$, puis de négative à positive en $1$. Les deux abscisses sont donc bien celles de points d'inflexion. Restent les ordonnées, que la question demande explicitement : $f(-1)=1-6+5=0$ et $f(1)=1-6+5=0$. Les points d'inflexion sont $(-1\,;\,0)$ et $(1\,;\,0)$.

b) $g''(x)=6(x-1)$ s'annule en $1$ en changeant de signe, puisqu'une fonction affine non constante change toujours de signe en sa racine. Comme $g(1)=1-3+2=0$, le point d'inflexion est $(1\,;\,0)$.

c) Non, et c'est tout l'objet de l'exercice. On a $p''(x)=12x^{2}$, qui s'annule bien en $0$, mais qui est POSITIVE de part et d'autre, par exemple $p''(-0{,}5)=3$ et $p''(0{,}5)=3$. Il n'y a donc aucun changement de signe : la fonction $x\mapsto x^{4}$ reste convexe sur $\mathbb{R}$ tout entier. Géométriquement, sa courbe reste au-dessus de la tangente en $0$, qui est l'axe des abscisses, et se contente de l'effleurer sans jamais la traverser.

d) La règle correcte est la suivante : le point d'abscisse $a$ est un point d'inflexion SI ET SEULEMENT SI $f''$ change de signe en $a$. L'annulation de $f''$ est une condition NÉCESSAIRE mais jamais suffisante, ce qui impose de toujours l'accompagner d'une étude de signe et d'écrire cette étude sur la copie.

Le parallèle avec le chapitre sur les variations est frappant et rend la règle facile à mémoriser. Pour un extremum, on ne se contente pas de $f'(a)=0$, on exige que $f'$ change de signe, faute de quoi on prendrait pour un extremum le point d'abscisse $0$ de la fonction cube, où la dérivée s'annule sans que rien de particulier n'arrive. Pour un point d'inflexion, la situation est identique d'un étage plus haut : $f''(a)=0$ ne suffit pas, il faut le changement de signe, et $x\mapsto x^{4}$ joue exactement le rôle que jouait $x\mapsto x^{3}$ un étage plus bas. Il faut retenir la structure commune plutôt que deux règles séparées : ce qui compte n'est jamais l'annulation d'une dérivée, mais son CHANGEMENT DE SIGNE.

a) La courbe tourne sa concavité vers le bas jusqu'à $x=1$, où elle bascule vers le haut : elle est concave sur $]-\infty;1]$ et convexe sur $[1;+\infty[$. Le repère visuel à installer est simple : une portion concave a l'allure d'une colline, une portion convexe celle d'une vallée.

b) Le point marqué a pour abscisse $1$. Le calcul le confirme : $g''(x)=6x-6$ s'annule en changeant de signe en $x=1$, et la lecture graphique se trouve validée. On notera que la lecture seule ne suffirait pas en examen, un point d'inflexion étant difficile à localiser à l'œil ; le graphique donne la conjecture, le calcul donne la preuve.

c) Non. Sur $[1;+\infty[$, la fonction commence par DÉCROÎTRE jusqu'à son minimum en $x=2$, où $g'(2)=12-12=0$, puis elle croît. Elle est donc convexe sur cet intervalle sans y être croissante. La conclusion est celle déjà tirée à l'exercice 2 : la convexité décrit la façon dont la courbe se courbe, pas son sens de variation, et les deux notions sont indépendantes.

d) La tangente au point d'inflexion a pour coefficient directeur $g'(1)=3-6=-3$ et passe par $(1\,;\,0)$, d'où son équation $y=-3(x-1)$. Sur $]-\infty;1]$ la fonction est concave, donc sa courbe est EN DESSOUS de la tangente ; sur $[1;+\infty[$ elle est convexe, donc AU-DESSUS. La vérification numérique le confirme : $g(0{,}5)=1{,}375$ contre une tangente à $1{,}5$, donc en dessous ✓, puis $g(1{,}5)=-1{,}375$ contre une tangente à $-1{,}5$, donc au-dessus ✓.

La courbe TRAVERSE donc sa tangente en $x=1$, et c'est là la caractérisation géométrique d'un point d'inflexion : c'est le seul endroit où une courbe croise sa propre tangente. Partout ailleurs, la tangente reste d'un seul côté, au-dessus dans les zones concaves et en dessous dans les zones convexes. Cette lecture est utile en sens inverse : devant un graphique, on repère un point d'inflexion en cherchant où la tangente semble percer la courbe plutôt que la frôler, ce qui est bien plus fiable que d'essayer de voir où la courbure change.

a) $f'(x)=\mathrm{e}^{x}$ et $f''(x)=\mathrm{e}^{x}$, qui est strictement positive pour tout réel puisque l'exponentielle ne s'annule jamais et reste positive. Donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$, et même strictement convexe, l'inégalité étant stricte.

b) L'équation d'une tangente au point d'abscisse $a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$. Ici $a=0$, avec $f(0)=1$ et $f'(0)=1$, donc $T$ a pour équation $y=1\times(x-0)+1$, soit $y=x+1$.

c) Une fonction convexe a sa courbe AU-DESSUS de chacune de ses tangentes, propriété admise du cours. En l'appliquant à la tangente en $0$, on obtient directement $\mathrm{e}^{x}\geq x+1$ pour tout réel $x$, sans le moindre calcul supplémentaire. C'est le mécanisme le plus rentable du chapitre : la convexité TRANSFORME une propriété géométrique en inégalité algébrique valable partout.

d) Pour $x=-2$ : $\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}135$ face à $x+1=-1$, et l'inégalité est largement vérifiée, l'exponentielle restant positive quand la droite est négative. Pour $x=0$ : $1\geq 1$, cas d'égalité. Pour $x=1$ : $\mathrm{e}\approx 2{,}718$ face à $x+1=2$, vérifiée également.

e) L'égalité a lieu UNIQUEMENT en $x=0$, qui est le point de contact avec la tangente. Ailleurs l'inégalité est stricte, car l'exponentielle est strictement convexe : sa courbe ne peut pas coller à une droite sur un intervalle, faute de quoi la dérivée seconde y serait nulle.

Cette inégalité est l'une des deux les plus utilisées de toute la Terminale, l'autre étant $\ln x\leq x-1$ que l'exercice 7 établira. Elle rend de grands services dès qu'il faut minorer une exponentielle, notamment pour établir des limites par comparaison. Elle fournit aussi une intuition juste sur l'exponentielle : au voisinage de $0$, la fonction ressemble à la droite $y=x+1$, dont elle s'écarte ensuite vers le haut de plus en plus vite. Retenir la méthode plus encore que le résultat, car elle se rejoue à l'identique sur n'importe quelle fonction convexe : on établit le signe de $f''$, on écrit la tangente en un point bien choisi, et l'on conclut par la position courbe-tangente.

a) $f'(x)=6x^{2}-6x-12=6(x^{2}-x-2)=6(x-2)(x+1)$, la factorisation venant des racines évidentes $2$ et $-1$ du trinôme, dont la somme vaut $1$ et le produit $-2$. Le coefficient dominant étant positif, la dérivée est positive à l'extérieur de $[-1;2]$ et négative entre. Donc $f$ CROÎT sur $]-\infty;-1]$, DÉCROÎT sur $[-1;2]$, puis croît de nouveau sur $[2;+\infty[$.

b) Le changement de croissante à décroissante en $x=-1$ signale un MAXIMUM local, de valeur $f(-1)=-2-3+12+5=12$. Le changement inverse en $x=2$ signale un MINIMUM local, de valeur $f(2)=16-12-24+5=-15$. Ces extremums sont locaux et non globaux, puisque la fonction tend vers $-\infty$ en $-\infty$ et vers $+\infty$ en $+\infty$.

c) $f''(x)=12x-6=6(2x-1)$, affine et croissante, donc négative pour $x<\frac{1}{2}$ et positive pour $x>\frac{1}{2}$.

d) La fonction est donc concave sur $\left]-\infty;\frac{1}{2}\right]$ et convexe sur $\left[\frac{1}{2};+\infty\right[$. La dérivée seconde changeant de signe en $\frac{1}{2}$, le point d'inflexion a pour abscisse $\frac{1}{2}$ et pour ordonnée $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}-6+5=-\frac{3}{2}$.

e) Non, $\frac{1}{2}$ n'est pas un extremum, et le calcul le prouve : $f'\left(\frac{1}{2}\right)=6\times\frac{1}{4}-3-12=1{,}5-15=-13{,}5$, qui est loin d'être nul. La question a un sens parce que les deux notions se confondent constamment dans les copies, alors qu'elles portent sur des étages différents : un extremum annule $f'$ en changeant son signe, un point d'inflexion fait changer de signe $f''$. Ici les abscisses concernées sont $-1$ et $2$ pour les extremums, et $\frac{1}{2}$ pour l'inflexion : elles sont bien distinctes.

Une observation pour finir, valable pour toutes les fonctions du troisième degré et bonne à connaître comme contrôle. L'abscisse du point d'inflexion, $\frac{1}{2}$, est exactement le MILIEU des deux abscisses des extremums, puisque $\frac{-1+2}{2}=\frac{1}{2}$ ✓. Ce n'est pas un hasard : $f''$ est la dérivée de $f'$, et $f'$ est ici un trinôme dont le sommet se situe au milieu des racines ; l'annulation de $f''$ repère précisément ce sommet. La courbe d'une cubique est d'ailleurs symétrique par rapport à son point d'inflexion, ce qui explique que celui-ci soit à mi-chemin entre les deux extremums.

a) La fonction logarithme est concave sur $]0;+\infty[$, sa dérivée seconde valant $-\frac{1}{x^{2}}<0$ d'après l'exercice 1. Sa courbe est donc EN DESSOUS de chacune de ses tangentes. Au point d'abscisse $1$ : $\ln 1=0$ et la dérivée vaut $\frac{1}{1}=1$, donc la tangente a pour équation $y=1\times(x-1)+0=x-1$. La concavité donne alors directement $\ln x\leq x-1$ pour tout $x>0$. Le point $1$ n'est pas choisi au hasard, c'est celui où le logarithme s'annule et où sa tangente est la plus simple.

b) Pour $x=0{,}5$ : $\ln 0{,}5\approx-0{,}693$ face à $x-1=-0{,}5$, et l'inégalité est vérifiée. Pour $x=1$ : $0\leq 0$, cas d'égalité. Pour $x=3$ : $\ln 3\approx 1{,}099$ face à $x-1=2$, vérifiée avec une marge confortable, l'écart se creusant à mesure que $x$ grandit.

c) Il suffit de poser $x=1+u$, qui est strictement positif dès que $u>-1$, ce qui est exactement l'hypothèse faite. L'inégalité $\ln x\leq x-1$ devient alors $\ln(1+u)\leq(1+u)-1=u$. Cette forme est celle que l'on rencontre le plus souvent en pratique, notamment dans les études de suites où $u$ est un petit accroissement.

d) En posant $x=\ln t$ avec $t>0$, ce qui est légitime puisque $\ln$ réalise une bijection de $]0;+\infty[$ sur $\mathbb{R}$ et que $x$ décrit donc bien tout $\mathbb{R}$, l'inégalité $\mathrm{e}^{x}\geq x+1$ s'écrit $\mathrm{e}^{\ln t}\geq\ln t+1$, soit $t\geq\ln t+1$, c'est-à-dire $\ln t\leq t-1$. C'est exactement l'inégalité de la question a). Les deux énoncés sont donc DEUX LECTURES D'UN MÊME FAIT, l'une du côté de l'exponentielle convexe, l'autre du côté du logarithme concave.

e) Dans les deux cas l'égalité a lieu au point de contact avec la tangente : en $x=0$ pour $\mathrm{e}^{x}\geq x+1$, et en $x=1$ pour $\ln x\leq x-1$. Ces deux points se correspondent d'ailleurs par la substitution de la question d), puisque $x=0$ donne $t=\mathrm{e}^{0}=1$ ✓.

La question d) illustre un phénomène qui dépasse cet exercice : la symétrie des graphes de $\exp$ et $\ln$ par rapport à la première bissectrice échange systématiquement convexité et concavité. Une fonction convexe a nécessairement une réciproque concave lorsqu'elle est croissante, car la réflexion qui échange les axes retourne la courbure. Il est donc inutile de mémoriser séparément que l'exponentielle est convexe et que le logarithme est concave : l'un des deux faits suffit, l'autre s'en déduit, tout comme les deux inégalités de référence n'en font qu'une.

a) $C'(q)=3q^{2}-24q+60$, dérivée terme à terme du polynôme, la constante $100$ disparaissant. Elle s'exprime en milliers de dollars par centaine d'articles.

b) $C''(q)=6q-24=6(q-4)$, négative pour $q<4$ et positive pour $q>4$.

c) La dérivée seconde change de signe en $q=4$, donc le point d'inflexion de la courbe de $C$ a pour abscisse $q=4$, soit une production de $400$ articles.

d) Sur $[0;4]$, on a $C''<0$, donc le coût MARGINAL $C'$ est décroissant : chaque centaine supplémentaire coûte moins cher à produire que la précédente, l'entreprise bénéficiant d'économies d'échelle liées par exemple à l'amortissement des coûts fixes ou à l'apprentissage des équipes. Au-delà de $q=4$, on a $C''>0$ et le coût marginal se met à croître : les rendements deviennent décroissants, l'atelier saturant, les heures supplémentaires se payant plus cher. Le point d'inflexion marque donc exactement le BASCULEMENT entre les deux régimes.

e) Le coût marginal est minimal là où sa propre dérivée, c'est-à-dire $C''$, s'annule en changeant de signe, donc en $q=4$ : $C'(4)=3\times 16-24\times 4+60=48-96+60=12$ milliers de dollars par centaine d'articles. Le coût total à ce niveau vaut $C(4)=64-192+240+100=212$ milliers de dollars.

Deux remarques qui donnent tout son sens à l'exercice. D'abord, il ne faut surtout pas confondre coût minimal et coût MARGINAL minimal : le coût total $C$ est croissant sur tout l'intervalle, puisque le discriminant de $C'$ vaut $576-720=-144<0$, ce qui rend $C'$ strictement positive partout ; produire davantage coûte donc toujours plus cher, et ce que $q=4$ minimise est le coût de l'unité SUPPLÉMENTAIRE, pas le coût total. Ensuite, c'est ici que la convexité prend un sens concret plutôt que graphique : la dérivée seconde d'un coût mesure si le processus s'améliore ou se dégrade quand on monte en volume, et un dirigeant qui lit $C''>0$ sait qu'il est entré dans la zone où grossir devient de plus en plus coûteux. Contrôle numérique : $C'(0)=60$ et $C'(10)=300-240+60=120$, deux valeurs bien supérieures au minimum de $12$ atteint en $q=4$ ✓.

a) Faux. Contre-exemple : $p(x)=x^{4}$ vérifie $p''(0)=0$, mais $p''(x)=12x^{2}$ reste POSITIVE de part et d'autre de $0$. Il n'y a pas de changement de signe, donc pas de point d'inflexion, et la fonction demeure convexe sur $\mathbb{R}$. La condition correcte, établie à l'exercice 3, est le changement de signe de $f''$, l'annulation n'étant que nécessaire.

b) Faux, et le contre-exemple est immédiat : $h(x)=\mathrm{e}^{-x}$ a pour dérivée seconde $\mathrm{e}^{-x}>0$, elle est donc convexe sur $\mathbb{R}$, et pourtant strictement décroissante puisque $h'(x)=-\mathrm{e}^{-x}<0$. Convexité et sens de variation sont deux propriétés INDÉPENDANTES : la première porte sur le signe de $f''$, la seconde sur celui de $f'$, et l'exercice 2 a montré que les quatre combinaisons possibles se rencontrent toutes.

c) Faux, et l'erreur porte ici sur le DOMAINE plutôt que sur la notion. La fonction inverse a pour dérivée seconde $\frac{2}{x^{3}}$, positive pour $x>0$ et négative pour $x<0$. Elle est donc convexe sur $]0;+\infty[$ et concave sur $]-\infty;0[$, mais certainement pas convexe sur la réunion des deux. Exactement comme pour le sens de variation, une propriété de convexité s'énonce toujours SUR UN INTERVALLE, et une réunion de deux intervalles disjoints n'en est pas un.

d) Faux. La condition $f'(a)=0$ définit un point critique, candidat à être un extremum, ce qui n'a rien à voir avec un point d'inflexion. Contre-exemple pris à l'exercice 6 : la fonction $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+5$ a son point d'inflexion en $\frac{1}{2}$, où $f'\left(\frac{1}{2}\right)=-13{,}5$ n'est pas nul, tandis que sa dérivée s'annule en $-1$ et en $2$, deux abscisses où $f''$ ne s'annule pas, $f''(-1)=-18$ et $f''(2)=18$, et qui ne sont donc pas des points d'inflexion.

Ces quatre erreurs se ramènent à deux confusions, et les nommer aide à ne plus les commettre. La première est la confusion d'ÉTAGE, qui consiste à attribuer à $f''$ ce qui relève de $f'$, ou l'inverse ; elle produit les affirmations b) et d). La seconde est la confusion entre ANNULATION et CHANGEMENT DE SIGNE, qui produit l'affirmation a) et qui frappe aussi bien les extremums que les inflexions. L'affirmation c) rappelle en prime que toute propriété locale de ce chapitre s'énonce sur un intervalle. Une méthode de relecture efficace consiste à se demander, devant chaque conclusion écrite, de quelle dérivée elle parle et sur quel intervalle elle est affirmée.

a) Sa dérivée seconde vaut $-\frac{1}{x^{2}}$, strictement négative sur $]0;+\infty[$ puisqu'un carré y est strictement positif : le logarithme est concave sur tout son ensemble de définition.

b) L'inégalité de concavité s'écrit, pour $a>0$ et $b>0$ : $\ln\left(\frac{a+b}{2}\right)\geq\frac{\ln a+\ln b}{2}$. Elle traduit que le milieu de la corde joignant deux points de la courbe se situe EN DESSOUS de la courbe, ce qui est la définition géométrique de la concavité.

c) On transforme le membre de droite à l'aide des propriétés du logarithme : $\frac{\ln a+\ln b}{2}=\frac{1}{2}\ln(ab)=\ln\left((ab)^{\frac{1}{2}}\right)=\ln\sqrt{ab}$. L'inégalité devient donc $\ln\left(\frac{a+b}{2}\right)\geq\ln\sqrt{ab}$. Le logarithme étant STRICTEMENT CROISSANT, on peut l'éliminer des deux côtés sans changer le sens : $\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$. C'est l'inégalité entre moyenne arithmétique et moyenne géométrique, et le passage par la croissance stricte n'est pas une formalité, c'est lui qui autorise le dernier pas.

d) Pour $a=2$ et $b=8$ : la moyenne arithmétique vaut $\frac{2+8}{2}=5$ et la moyenne géométrique $\sqrt{16}=4$, et l'on a bien $5\geq 4$. Pour $a=5$ et $b=5$ : les deux valent $5$, il y a égalité.

e) L'égalité a lieu si et seulement si $a=b$, car c'est le seul cas où la corde se réduit à un point et où la stricte concavité n'a plus de place pour créer un écart. Géométriquement, l'énoncé se traduit ainsi : parmi tous les rectangles de PÉRIMÈTRE donné, le carré est celui d'AIRE maximale. La moyenne arithmétique $\frac{a+b}{2}$ est le côté du carré de même périmètre que le rectangle de côtés $a$ et $b$, tandis que la moyenne géométrique $\sqrt{ab}$ est le côté du carré de même aire ; l'inégalité dit que le premier est le plus grand, donc qu'à périmètre égal le carré gagne en aire.

Il vaut la peine de mesurer combien l'écart peut être grand, car cela donne du contenu à une inégalité qui reste sinon abstraite. Pour $a=1$ et $b=100$, la moyenne arithmétique vaut $50{,}5$ tandis que la géométrique vaut $10$ : un rapport de plus de cinq. Pour $a=1$ et $b=1{,}2$, elles valent respectivement $1{,}1$ et environ $1{,}0954$, un écart de moins d'un demi pour cent. La moyenne géométrique est donc toujours la plus petite, et d'autant plus petite que les deux nombres sont DÉSÉQUILIBRÉS. C'est cette propriété qui la fait préférer en finance pour moyenner des taux de croissance, où une seule très mauvaise année doit peser lourd.

a) $f$ est convexe là où $f'$ est croissante, concave là où $f'$ est décroissante. Donc $f$ est convexe sur $]-\infty\,;-1]$ et sur $[3\,;+\infty[$, concave sur $[-1\,;3]$. C'est la définition même : la convexité se lit sur les variations de $f'$, c'est-à-dire sur le signe de $f''$.

b) La convexité change en $-1$ (convexe puis concave) et en $3$ (concave puis convexe) : $2$ points d'inflexion, d'abscisses $-1$ et $3$. Un point d'inflexion de $f$ correspond à un EXTREMUM de $f'$.

c) $f'$ s'annule en $1$ et en $5$. Sur $[-1\,;3]$, $f'$ décroît de $4$ à $-2$ et s'annule en $1$ : positive avant, négative après. Sur $[3\,;+\infty[$, $f'$ croît depuis $-2$ et s'annule en $5$ : négative avant, positive après. Sur $]-\infty\,;-1]$, $f'$ croît jusqu'à $4$ sans s'annuler (ses seuls zéros sont $1$ et $5$) : elle y est positive. Donc $f'>0$ sur $]-\infty\,;1[$, $<0$ sur $]1\,;5[$, $>0$ sur $]5\,;+\infty[$ : $f$ admet un maximum local en $1$ et un minimum local en $5$.