Spécialité maths, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : dérivation et trigonométrie (Terminale spécialité)

Q: Comment dériver une fonction composée sans oublier de facteur ?

On identifie d'abord la fonction intérieure, on la nomme u, et on calcule sa dérivée à part. On applique ensuite la formule de la fonction extérieure en gardant u tel quel, puis on multiplie tout par la dérivée de u. Le contrôle final est visuel : si la dérivée de la fonction intérieure n'apparaît nulle part dans le résultat, le calcul est faux.

Q: Quelle est l'équation de la tangente à une courbe en un point ?

Elle vaut le nombre dérivé au point, multiplié par x moins l'abscisse du point, plus l'image du point. Le décalage en x moins a est indispensable : c'est lui qui fait passer la droite par le point de contact. Pour vérifier, on remplace x par l'abscisse du point dans l'équation obtenue, et on doit retrouver exactement l'image.

Q: Pourquoi la calculatrice doit-elle être en radians en Terminale ?

Parce que les formules de dérivation du sinus et du cosinus ne sont vraies qu'en radians. En degrés, chaque dérivation ferait apparaître un facteur pi sur cent quatre-vingts, qui n'est jamais écrit au programme. Le test rapide est de calculer le cosinus de pi : la machine doit afficher moins un, pas zéro virgule neuf neuf huit.

Q: Combien de solutions a une équation avec un cosinus ?

Deux par tour complet, dès que la valeur cherchée est strictement comprise entre moins un et un. Elles sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses sur le cercle trigonométrique, donc opposées l'une de l'autre. La calculatrice n'en donne qu'une, celle de l'intervalle de zéro à pi : la seconde se lit sur le cercle.

Q: Comment factoriser une dérivée trigonométrique pour en étudier le signe ?

On remplace le sinus ou le cosinus de l'angle double par sa formule de duplication, ce qui fait apparaître un facteur commun avec les autres termes. On met ce facteur en évidence, puis on étudie le signe de chaque facteur séparément sur l'intervalle. Une dérivée développée n'a pratiquement jamais de signe lisible.

Q: Une dérivée qui s'annule signifie-t-elle qu'il y a un extremum ?

Non. Il faut en plus que la dérivée change de signe en ce point. Une dérivée qui s'annule sans changer de signe donne un simple palier, comme pour la fonction cube en zéro. C'est le tableau de signes, et non l'équation dérivée égale zéro, qui prouve l'existence de l'extremum et dit s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.

La dérivation de Terminale n'est pas plus difficile que celle de Première : c'est la même définition, appliquée à des fonctions emboîtées. Ce qui change, c'est qu'une erreur de facteur ne se voit plus. Une copie qui écrit que la dérivée de $\sin(2x)$ vaut $\cos(2x)$ obtient un tableau de signes cohérent, une courbe plausible, et une note divisée par deux.

Cette fiche liste les huit endroits où la dérivée et la trigonométrie font perdre des points, avec la phrase exacte qui les remet, l'arbre qui dit quelle formule employer selon la FORME de l'expression, et une étude complète de fonction trigonométrique décortiquée ligne par ligne, avec la raison de chaque étape.

Le fil du chapitre

Toute la dérivation de Terminale tient dans un seul facteur : le $u'$ de la fonction intérieure, que la moitié des copies oublient. Et toute la trigonométrie tient dans une seule habitude : le radian, qui n'est pas une unité mais la seule dans laquelle les formules de dérivation sont vraies.

Ce chapitre fait partie de Spécialité mathématiques en Terminale

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (15 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Configurations et trigonométrieSeconde
2Généralités sur les fonctionsSeconde
3Fonctions affines et systèmesSeconde
4La dérivationPremière
5La trigonométriePremière
6Calcul littéral et équationsQuatrième
7Pythagore et cosinusQuatrième
8Thalès et les agrandissementsQuatrième
9La notion de fonctionTroisième
10Les fonctions linéairesTroisième
11Les fonctions affinesTroisième
12Trigonométrie : sinus et cosinusTroisième
13Thalès, réciproque et agrandissementsTroisième
14Développer et factoriserTroisième
15Équations, équations produit et inéquationsTroisième

Notions couvertes

Dérivée d'une fonction composée
Dérivée d'un produit
Dérivée d'un quotient
Équation de la tangente
Dérivée seconde
Fonctions sinus et cosinus
Cercle trigonométrique
Formules de duplication
Nombre dérivé en zéro
Périodicité et parité
Mesure en radians
Signe de la dérivée

L'essentiel

Une dérivée de composée porte toujours deux morceaux

• $\bigl(v\circ u\bigr)'=u'\times\bigl(v'\circ u\bigr)$ : la dérivée de l'extérieur évaluée en $u$ , MULTIPLIÉE par la dérivée de l'intérieur.
• Les cinq formes à savoir sans réfléchir : $\bigl(u^{n}\bigr)'=nu'u^{n-1}$ , $\bigl(\sqrt{u}\bigr)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ , $\bigl(\mathrm{e}^{u}\bigr)'=u'\mathrm{e}^{u}$ , $\bigl(\ln u\bigr)'=\frac{u'}{u}$ , $\left(\frac{1}{u}\right)'=-\frac{u'}{u^{2}}$ .
• Cas particulier omniprésent : $\bigl(f(ax+b)\bigr)'=a\,f'(ax+b)$ . Le $a$ sort DEVANT et ne disparaît jamais.
• Produit et quotient : $(uv)'=u'v+uv'$ et $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ . Le signe moins du quotient est au numérateur, dans cet ordre.

Test en deux secondes sur toute dérivée de composée : le facteur $u'$ est-il visible ? S'il n'y est pas, la dérivée est fausse, sauf dans le cas $u=x$ où $u'=1$ .

L'équation de la tangente, avec son décalage

• Tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $a$ : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ .
• Le $(x-a)$ n'est pas décoratif : c'est lui qui fait passer la droite par le point $\bigl(a\,;f(a)\bigr)$ et non par l'origine décalée.
• $f'(a)$ est un NOMBRE, pas une fonction : on dérive d'abord, on remplace ensuite. Écrire $f'(x)$ dans l'équation est une faute de nature.
• Tangente horizontale $\iff f'(a)=0$ . Cela n'implique pas un extremum : il faut que $f'$ CHANGE de signe en $a$ .

Contrôle immédiat : remplacer $x$ par $a$ dans l'équation trouvée doit redonner $f(a)$ . Si ce n'est pas le cas, le décalage a sauté.

Le cercle trigonométrique décide du nombre de solutions

• $\cos x=a$ avec $-1<a<1$ : deux solutions par tour, symétriques par rapport à l'axe des abscisses, de la forme $x=\alpha+2k\pi$ ou $x=-\alpha+2k\pi$ .
• $\sin x=a$ avec $-1<a<1$ : deux solutions par tour, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées, de la forme $x=\alpha+2k\pi$ ou $x=\pi-\alpha+2k\pi$ .
• $\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$ , $\cos(2x)=2\cos^{2}x-1=1-2\sin^{2}x$ et $\sin(2x)=2\sin x\cos x$ .
• $\cos$ est paire, $\sin$ est impaire, toutes deux $2\pi$ -périodiques; mais $t\mapsto\cos(\omega t)$ a pour période $\frac{2\pi}{\omega}$ , pas $2\pi$ .

Une seule verticale, deux intersections : voilà pourquoi

\cos x=0{,}5

a deux solutions par tour, symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

Les deux limites qui viennent de la dérivée en zéro

• $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ : c'est exactement le nombre dérivé de $\sin$ en $0$ , puisque $\frac{\sin x-\sin 0}{x-0}\to\sin'(0)=\cos 0=1$ .
• $\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x}=0$ : de même, c'est $\cos'(0)=-\sin 0=0$ .
• Les deux ne valent QU'EN RADIANS. En degrés, le premier quotient vaut $\frac{\pi}{180}\approx 0{,}01745$ .
• Elles se reconnaissent à la forme $\frac{0}{0}$ avec un sinus dont l'argument est exactement le dénominateur; sinon, il faut fabriquer cette forme en multipliant et divisant.

Une question du type « déterminer $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x}$ » se traite en écrivant $\frac{\sin 3x}{x}=3\times\frac{\sin 3x}{3x}\to 3$ . Le facteur fabriqué doit apparaître sur la copie.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Les dérivées composées, avec le facteur $u'$

Cinq formes, et le programme de Terminale n'en emploie pas d'autre. Le facteur $u'$ est ce qui distingue une dérivée juste d'une dérivée à moitié écrite, donc il est en gras dans chaque exemple.

$f(x)$	Ce qu'est $u$	$f'(x)$
$u^{n}$	l'intérieur de la puissance	$nu'u^{n-1}$
Exemple : $\left((2x+3)^{5}\right)'=10(2x+3)^{4}$ , donc $10$ en $x=-1$ . Le $u'=2$ multiplié par le $5$ donne le $10$ .
$\sqrt{u}$	l'intérieur de la racine	$\frac{u'}{2\sqrt{u}}$
Exemple : $\left(\sqrt{x^{2}+3}\right)'=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}$ , soit $0{,}5$ en $x=1$ . Le $2$ du dénominateur se simplifie avec le $u'=2x$ .
$\mathrm{e}^{u}$	l'exposant entier	$u'\mathrm{e}^{u}$
Exemple : $\left(\mathrm{e}^{-2x}\right)'=-2\mathrm{e}^{-2x}$ , soit $-2$ en $x=0$ . Une exponentielle décroissante a bien une dérivée négative.
$\ln u$	l'intérieur du logarithme, avec $u>0$	$\frac{u'}{u}$
Exemple : $\left(\ln(x^{2}+1)\right)'=\frac{2x}{x^{2}+1}$ , soit $1$ en $x=1$ . Le $u'$ monte au numérateur, il ne reste jamais devant le logarithme.
$f(ax+b)$	la transformation affine	$a\,f'(ax+b)$
Exemple : $\left(\cos(3x)\right)'=-3\sin(3x)$ , soit $-3\sin 3\approx -0{,}42$ en $x=1$ . Le $a$ sort devant et ne disparaît jamais.

Contrôle de compte, valable partout : autant de facteurs multipliés dans la dérivée que de fonctions emboîtées dans l'énoncé. Deux emboîtements et un seul facteur, il en manque un.

Combien de solutions pour $\cos x=a$ et $\sin x=a$

La question « résoudre sur $[0\,;2\pi[$ » attend un NOMBRE de solutions avant leur valeur, et ce nombre se lit sur le cercle sans calcul.

Équation	Valeur de $a$	Solutions sur un tour
$\cos x=a$	$-1<a<1$	deux, $\alpha$ et $-\alpha$
Exemple : $\cos x=\frac{1}{2}$ donne $x=\frac{\pi}{3}$ et $x=\frac{5\pi}{3}$ sur $[0\,;2\pi[$ , soit environ $1{,}047$ et $5{,}236$ .
$\sin x=a$	$-1<a<1$	deux, $\alpha$ et $\pi-\alpha$
Exemple : $\sin x=\frac{1}{2}$ donne $x=\frac{\pi}{6}$ et $x=\frac{5\pi}{6}$ , soit environ $0{,}524$ et $2{,}618$ . La seconde n'est PAS $-\frac{\pi}{6}$ .
$\cos x=1$ ou $\cos x=-1$	$a=\pm 1$	une seule
Exemple : $\cos x=1$ ne donne que $x=0$ sur un tour, et $\cos x=-1$ que $x=\pi\approx 3{,}142$ : les deux solutions se confondent au sommet du cercle.
$\sin x=1$ ou $\sin x=-1$	$a=\pm 1$	une seule
Exemple : $\sin x=1$ ne donne que $x=\frac{\pi}{2}\approx 1{,}571$ sur un tour.
$\cos x=a$ ou $\sin x=a$	$\|a\|>1$	aucune
Exemple : $\cos x=1{,}5$ n'a pas de solution : le cosinus est borné par $1$ , et la calculatrice répond « erreur de domaine », pas $0$ .

Une fois les familles écrites avec leur $+2k\pi$ , on fait varier $k$ et on ne garde que ce qui tombe dans l'intervalle demandé. C'est cette dernière étape, et non la résolution, que les copies oublient.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Oublier le facteur intérieur dans une dérivée de composée

1 point, et souvent tout le tableau de variations qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=\sin(2x)$ donc $f'(x)=\cos(2x)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f(x)=\sin(2x)$ avec $u(x)=2x$ et $u'(x)=2$ , donc $f'(x)=2\cos(2x)$ . »

Pourquoi : La dérivée mesure une vitesse de variation : comprimer l'axe des abscisses d'un facteur $2$ double cette vitesse. Un tableau de signes construit sur $\cos(2x)$ au lieu de $2\cos(2x)$ semble cohérent, ce qui rend l'erreur invisible à la relecture.

2. Écrire l'équation de la tangente sans le décalage

1 point, et la question de position relative qui suit devient absurde

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=x^{2}$ , $f'(1)=2$ et $f(1)=1$ , donc la tangente en $1$ a pour équation $y=2x+1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La tangente au point d'abscisse $1$ a pour équation $y=f'(1)(x-1)+f(1)=2(x-1)+1=2x-1$ . »

Les deux droites ont le même coefficient directeur, et une seule touche la courbe. Celle du haut a la bonne pente au mauvais endroit : c'est exactement ce que fait l'oubli du

(x-a)

Pourquoi : Le coefficient directeur est juste, mais la droite ne touche plus la courbe : elle passe deux unités trop haut. Le contrôle imparable est de remplacer $x$ par $a$ dans l'équation trouvée, ce qui doit redonner $f(a)$ .

3. Dériver un quotient morceau par morceau

toute la question, environ 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=\frac{x^{2}+1}{x-3}$ donc $f'(x)=\frac{2x}{1}=2x$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Avec $u=x^{2}+1$ et $v=x-3$ : $f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{2x(x-3)-(x^{2}+1)}{(x-3)^{2}}=\frac{x^{2}-6x-1}{(x-3)^{2}}$ . »

Pourquoi : La dérivation n'est pas compatible avec la division, pas plus qu'avec la multiplication. Le repère qui sauve : au dénominateur d'une dérivée de quotient, il y a TOUJOURS un carré, et il ne change jamais le signe.

4. Calculer une limite ou une dérivée trigonométrique en degrés

1 à 2 points, et toutes les valeurs approchées du problème sont fausses

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$ : la calculatrice affiche $0{,}01745$ , donc la limite vaut $0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« En radians, $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ , car c'est le nombre dérivé de $\sin$ en $0$ . Le $0{,}01745$ affiché est $\frac{\pi}{180}$ : la calculatrice est en mode degré. »

Autour de

0

la sinusoïde et la droite

y=x

sont confondues : c'est le contenu géométrique de

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

. En degrés, la sinusoïde serait presque plate et cette tangence disparaîtrait.

Pourquoi : Les formules $\sin'=\cos$ et $\cos'=-\sin$ ne sont vraies qu'en radians. En degrés il faudrait un facteur $\frac{\pi}{180}$ partout, ce qui n'est jamais le programme de Terminale.

5. Ne donner qu'une solution à une équation trigonométrique

la moitié des points de la question, mécaniquement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\cos x=\frac{1}{2}$ donc $x=\frac{\pi}{3}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\cos x=\frac{1}{2}$ donc $x=\frac{\pi}{3}+2k\pi$ ou $x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi$ , avec $k$ entier. Sur $[0\,;2\pi]$ , les solutions sont $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{5\pi}{3}$ . »

Pourquoi : La touche $\arccos$ de la calculatrice ne renvoie qu'une valeur, celle de $[0\,;\pi]$ . Le cercle en montre deux, symétriques par rapport à l'axe des abscisses pour un cosinus, par rapport à l'axe des ordonnées pour un sinus.

6. Dériver un carré trigonométrique comme s'il était l'argument

1 point, et la factorisation de la question suivante devient impossible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=\cos^{2}x$ donc $f'(x)=-\sin^{2}x$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f(x)=\bigl(\cos x\bigr)^{2}$ est de la forme $u^{2}$ avec $u=\cos x$ , donc $f'(x)=2u'u=-2\sin x\cos x=-\sin(2x)$ . »

Pourquoi : $\cos^{2}x$ est une notation abrégée de $(\cos x)^{2}$ , jamais de $\cos(x^{2})$ . La confusion se voit tout de suite en $x=0$ : la première vaut $1$ , la seconde aussi, mais leurs dérivées valent $0$ et $0$ pour des raisons différentes.

7. Déduire les variations des zéros de la dérivée, sans tableau de signes

1 à 2 points, et l'extremum annoncé est du mauvais type

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f'(x)=0$ pour $x=\frac{2\pi}{3}$ , donc $f$ admet un maximum en $\frac{2\pi}{3}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f'(x)=-2\sin x\,(2\cos x+1)$ . Sur $]0\,;\frac{2\pi}{3}[$ , $\sin x>0$ et $2\cos x+1>0$ donc $f'(x)<0$ ; sur $]\frac{2\pi}{3}\,;\pi[$ , $2\cos x+1<0$ donc $f'(x)>0$ . La fonction admet donc un MINIMUM en $\frac{2\pi}{3}$ . »

Pourquoi : Une dérivée nulle ne dit rien à elle seule : elle peut correspondre à un maximum, à un minimum, ou à un simple palier comme en $0$ pour $x\mapsto x^{3}$ . Seul le CHANGEMENT de signe tranche.

8. Prendre $2\pi$ pour période d'une fonction en $\cos(\omega t)$

1 point, et l'étude compte trois fois le même motif

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(t)=\cos(3t)$ est $2\pi$ -périodique, donc on l'étudie sur $[0\,;2\pi]$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f(t)=\cos(3t)$ a pour période $\frac{2\pi}{3}$ , donc on l'étudie sur $\left[0\,;\frac{2\pi}{3}\right]$ puis on complète par périodicité. »

Pourquoi : La période est la longueur au bout de laquelle l'ARGUMENT a parcouru $2\pi$ : il faut $\omega T=2\pi$ , donc $T=\frac{2\pi}{\omega}$ . Plus $\omega$ est grand, plus le motif est resserré.

Quelle méthode choisir

Quelle formule de dérivation selon la forme de l'expression

On regarde la structure de l'expression, de l'extérieur vers l'intérieur, avant d'écrire quoi que ce soit.

Si l'expression est une SOMME de morceaux → dériver chaque morceau séparément, c'est la seule opération compatible avec la dérivation

Exemple : $\bigl(3x^{2}+\sin x\bigr)'=6x+\cos x$
Si l'expression est un PRODUIT de deux fonctions non constantes → $(uv)'=u'v+uv'$ , en écrivant $u$ , $v$ , $u'$ et $v'$ à part avant de recoller

Exemple : $\bigl(x\sin x\bigr)'=\sin x+x\cos x$

Un facteur constant sort simplement : $(3u)'=3u'$ , inutile de dérouler la formule du produit.
Si l'expression est un QUOTIENT → $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , avec le carré au dénominateur et le moins au numérateur

Exemple : $\left(\frac{x^{2}+1}{x-3}\right)'=\frac{x^{2}-6x-1}{(x-3)^{2}}$
Si une fonction est EMBOÎTÉE dans une autre : puissance, racine, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus → identifier $u$ intérieure, appliquer la forme correspondante, et n'oublier jamais le facteur $u'$

Exemple : $\bigl(\sqrt{3x+1}\bigr)'=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$
Si l'expression est du type $f(ax+b)$ → dériver $f$ et multiplier par $a$ , sans rien changer d'autre à l'argument

Exemple : $\bigl(\cos(5x-2)\bigr)'=-5\sin(5x-2)$
Si un carré trigonométrique apparaît, du type $\cos^{2}x$ ou $\sin^{3}x$ → le lire comme $u^{n}$ avec $u$ trigonométrique, puis simplifier avec une formule de duplication

Exemple : $\bigl(\cos^{2}x\bigr)'=-2\sin x\cos x=-\sin(2x)$

Après toute dérivation, on FACTORISE avant d'étudier le signe. Une dérivée développée est presque toujours impossible à signer, alors que la même factorisée se lit en trois lignes de tableau.

Quel outil pour une équation ou une inéquation trigonométrique

On regarde ce qui est isolé dans l'équation, et sur quel intervalle l'énoncé demande les solutions.

Si $\cos x=a$ avec $-1<a<1$ → deux familles de solutions, symétriques par rapport à l'axe des abscisses

Exemple : $\cos x=\frac{1}{2}$ donne $x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi$
Si $\sin x=a$ avec $-1<a<1$ → deux familles de solutions, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées

Exemple : $\sin x=\frac{1}{2}$ donne $x=\frac{\pi}{6}+2k\pi$ ou $x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$
Si l'équation contient $\sin$ ET $\cos$ du même angle, au premier degré chacun → factoriser, souvent grâce à $\sin(2x)=2\sin x\cos x$ , puis résoudre le produit nul

Exemple : $\sin(2x)=\sin x$ donne $\sin x\,(2\cos x-1)=0$
Si l'équation contient $\cos^{2}x$ et $\sin^{2}x$ → tout ramener à une seule fonction avec $\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$ , puis poser $X=\cos x$ et résoudre un trinôme

Exemple : $2\cos^{2}x+\sin x=2$ devient $2\sin^{2}x-\sin x=0$
Si l'énoncé demande les solutions sur un intervalle donné → écrire d'abord toutes les familles, puis faire varier $k$ et NE GARDER que ce qui tombe dans l'intervalle

Exemple : sur $[0\,;2\pi]$ , $\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi$ donne $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{5\pi}{3}$

Une inéquation trigonométrique se lit sur le cercle, jamais sur un tableau de signes : on repère les deux points solutions de l'équation associée, puis on parcourt l'arc qui vérifie l'inégalité.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Étude complète des variations d'une fonction trigonométrique

Quand l'utiliser : L'énoncé donne $f$ avec des sinus ou des cosinus et demande le tableau de variations sur un intervalle.

1 Annoncer l'intervalle d'étude et, s'il y a lieu, la période et la parité qui permettent de le réduire : « $f$ est $2\pi$ -périodique et paire, on l'étudie donc sur $[0\,;\pi]$ . »
2 Dériver en nommant les composées : « $f'(x)=-2\sin(2x)-2\sin x$ », avec le facteur intérieur visible.
3 FACTORISER la dérivée, presque toujours avec une formule de duplication : « $f'(x)=-2\sin x\,(2\cos x+1)$ ».
4 Étudier le signe de CHAQUE facteur séparément sur l'intervalle, en disant pourquoi : « sur $[0\,;\pi]$ , $\sin x\ge 0$ ».
5 Résoudre l'annulation du second facteur et donner les valeurs exactes : « $2\cos x+1=0$ équivaut à $\cos x=-\frac{1}{2}$ , donc $x=\frac{2\pi}{3}$ sur $[0\,;\pi]$ . »
6 Dresser le tableau, puis calculer les valeurs exactes aux bornes et aux extremums.

Phrase de conclusion

Sur $[0\,;\pi]$ , $f$ est strictement décroissante sur $\left[0\,;\frac{2\pi}{3}\right]$ puis strictement croissante sur $\left[\frac{2\pi}{3}\,;\pi\right]$ ; elle admet donc un minimum en $\frac{2\pi}{3}$ , égal à $-\frac{3}{2}$ .

Le piège : Donner les valeurs du tableau en décimales. Le baccalauréat attend les valeurs EXACTES aux points remarquables : $-\frac{3}{2}$ et non $-1{,}5$ , $\frac{\sqrt{3}}{2}$ et non $0{,}87$ .

Barème : 1 point pour la dérivée, 1 point pour la factorisation, 1 à 2 points pour le tableau de signes justifié, 1 point pour les valeurs exactes.

Tangente et position relative de la courbe et de la droite

Quand l'utiliser : L'énoncé demande l'équation de la tangente en un point, puis « étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et de $T$ ».

1 Calculer $f'(x)$ , puis le NOMBRE $f'(a)$ , et le nombre $f(a)$ , chacun sur sa ligne.
2 Écrire l'équation avec le décalage : « $T$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ », puis développer.
3 Vérifier immédiatement que $x=a$ redonne $f(a)$ dans l'équation développée.
4 Former la différence $d(x)=f(x)-\bigl(f'(a)(x-a)+f(a)\bigr)$ et la factoriser : $(x-a)$ est toujours en facteur, souvent au carré.
5 Étudier le signe de $d$ et traduire : positif, la courbe est au-dessus; négatif, en dessous.

Phrase de conclusion

La tangente au point d'abscisse $1$ a pour équation $y=2x-1$ ; comme $f(x)-(2x-1)=(x-1)^{2}\ge 0$ , la courbe est toujours au-dessus de sa tangente, avec contact en $x=1$ .

Le piège : Oublier que $(x-a)^{2}$ est positif mais s'ANNULE en $a$ : la courbe est au-dessus de la tangente au sens large, et le point de contact doit être signalé.

Barème : 1 point pour l'équation de la tangente, 1 point pour la différence factorisée, 1 point pour la conclusion en intervalles.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Vérifier la calculatrice en mode RADIAN avant tout

Calculer $\cos(\pi)$ : la réponse doit être $-1$ . Si l'écran affiche $0{,}998$ , la machine est en degrés et toutes les valeurs approchées du problème seront fausses.

Le nombre $0{,}01745$ dans un calcul de limite est un signal net : c'est $\frac{\pi}{180}$ , donc le mode degré.
Contrôler une dérivée par le nombre dérivé numérique

Sur TI, la fonction nDeriv, sur Casio, d/dx, donnent $f'(a)$ numériquement. On compare avec la valeur obtenue en substituant $a$ dans la dérivée calculée à la main.

Une dérivée manuelle qui donne $0{,}54$ là où la machine affiche $1{,}08$ : le facteur $2$ de la composée a sauté, l'écart est exactement double.
Faire passer la tangente par son point de contact

Remplacer $x$ par $a$ dans l'équation trouvée. Le résultat doit être exactement $f(a)$ . Trois secondes, et cela attrape tous les oublis du $(x-a)$ .

$y=2x+1$ en $x=1$ donne $3$ , alors que $f(1)=1$ : la droite passe deux unités trop haut.
Compter les solutions sur le cercle avant de rendre

Toute équation en $\cos$ ou en $\sin$ avec une valeur strictement comprise entre $-1$ et $1$ a DEUX solutions par tour. Une réponse qui n'en donne qu'une est incomplète par construction.

Sur $[0\,;2\pi]$ , $\cos x=\frac{1}{2}$ a pour solutions $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{5\pi}{3}$ ; la seconde est celle que la calculatrice ne donne pas.
Comparer le tableau de variations et la courbe de la calculatrice

Tracer la fonction sur l'intervalle d'étude et vérifier que les extremums tombent aux abscisses trouvées. Un décalage régulier signale un facteur oublié dans la dérivée.

Un minimum lu à $2{,}09$ sur l'écran valide $\frac{2\pi}{3}$ ; un minimum lu à $1{,}05$ dirait que la dérivée a été divisée par deux.

L'exercice type décortiqué

Étude complète d'une fonction trigonométrique, comme au baccalauréat

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\cos(2x)+2\cos x$ .

1. Montrer que $f$ est paire et $2\pi$ -périodique, et en déduire un intervalle d'étude. 2. Calculer $f'(x)$ et la factoriser. 3. Étudier les variations de $f$ sur $[0\,;\pi]$ . 4. Donner les valeurs exactes du maximum et du minimum.

Étape 1

$f(-x)=\cos(-2x)+2\cos(-x)=\cos(2x)+2\cos x=f(x)$ car $\cos$ est paire, et $f(x+2\pi)=\cos(2x+4\pi)+2\cos(x+2\pi)=f(x)$ . On étudie donc $f$ sur $[0\,;\pi]$ .

Pourquoi

La parité divise l'intervalle par deux, la périodicité le rend fini. Sans ces deux lignes, l'étude porte sur $\mathbb{R}$ tout entier et la question n'a pas de réponse finie.

Étape 2

$f'(x)=-2\sin(2x)-2\sin x$ . Le premier terme vient de la composée $\cos(2x)$ , dont la dérivée intérieure vaut $2$ .

Pourquoi

C'est le seul endroit de l'exercice où le facteur $2$ peut disparaître, et sa disparition rend la factorisation suivante impossible : le sujet est construit autour de lui.

Étape 3

Avec $\sin(2x)=2\sin x\cos x$ : $f'(x)=-4\sin x\cos x-2\sin x=-2\sin x\,(2\cos x+1)$ .

Pourquoi

La factorisation n'est pas une élégance : une dérivée développée en $\sin(2x)$ et $\sin x$ n'a pas de signe lisible, alors que le produit de deux facteurs se signe en deux lignes.

Étape 4

Sur $[0\,;\pi]$ , $\sin x\ge 0$ , donc le signe de $f'$ est l'OPPOSÉ de celui de $2\cos x+1$ . Or $2\cos x+1=0$ équivaut à $\cos x=-\frac{1}{2}$ , soit $x=\frac{2\pi}{3}$ sur cet intervalle.

Pourquoi

On signe chaque facteur à part, et on n'oublie pas le signe moins global. C'est lui qui transforme le maximum attendu en minimum, et c'est l'erreur la plus fréquente sur cet exercice.

Étape 5

Sur $\left[0\,;\frac{2\pi}{3}\right[$ , $\cos x>-\frac{1}{2}$ donc $2\cos x+1>0$ et $f'(x)\le 0$ : $f$ décroît. Sur $\left]\frac{2\pi}{3}\,;\pi\right]$ , $2\cos x+1<0$ et $f'(x)\ge 0$ : $f$ croît.

Pourquoi

Le changement de signe est écrit explicitement des deux côtés. C'est lui, et non l'annulation, qui prouve qu'il y a un extremum et qu'il s'agit d'un minimum.

Étape 6

Valeurs exactes : $f(0)=\cos 0+2\cos 0=3$ ; $f\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\frac{4\pi}{3}+2\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}+2\times\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{2}$ ; $f(\pi)=\cos(2\pi)+2\cos\pi=1-2=-1$ .

Pourquoi

Trois valeurs exactes, aucune décimale. Le calcul de $\cos\frac{4\pi}{3}$ passe par le cercle et non par la calculatrice : c'est le cosinus de l'angle symétrique de $\frac{\pi}{3}$ par rapport à l'origine.

Étape 7

Contrôle : la calculatrice en mode radian donne $f(2{,}094)\approx-1{,}500$ et $f(3{,}142)\approx-1{,}000$ , conformes aux valeurs exactes trouvées.

Pourquoi

Deux évaluations qui valident à la fois la factorisation, l'abscisse du minimum et le mode de la calculatrice. Un $-0{,}5$ à l'écran signalerait un $\cos\frac{4\pi}{3}$ mal lu.

Conclusion rédigée

Sur $[0\,;\pi]$ , $f$ décroît de $3$ à $-\frac{3}{2}$ puis croît jusqu'à $-1$ ; elle admet donc un maximum de $3$ atteint en $0$ et un minimum de $-\frac{3}{2}$ atteint en $\frac{2\pi}{3}$ , et ces valeurs se répètent par parité et par périodicité sur $\mathbb{R}$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $f'(x)=-\sin(2x)-2\sin x$ en oubliant le facteur intérieur du premier terme. La factorisation devient $-\sin x(2\cos x+2)$ , qui ne s'annule qu'en $x=\pi$ : le minimum disparaît et tout le tableau est faux.

À savoir par cœur

• Dérivée d'une composée : dérivée de l'extérieur évaluée en $u$ , FOIS $u'$ . Le facteur $u'$ est visible ou la dérivée est fausse.
• $\bigl(f(ax+b)\bigr)'=a\,f'(ax+b)$ : le coefficient $a$ sort devant et ne disparaît jamais.
• Tangente en $a$ : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ . Remplacer $x$ par $a$ doit redonner $f(a)$ .
• $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ : moins au numérateur, carré au dénominateur, et l'ordre des termes compte.
• $\sin'=\cos$ , $\cos'=-\sin$ , EN RADIANS uniquement.
• $\cos x=a$ ou $\sin x=a$ avec $-1<a<1$ : DEUX solutions par tour, jamais une.
• $\sin(2x)=2\sin x\cos x$ et $\cos(2x)=2\cos^{2}x-1=1-2\sin^{2}x$ : ce sont elles qui factorisent les dérivées.
• Période de $t\mapsto\cos(\omega t)$ : $\frac{2\pi}{\omega}$ , pas $2\pi$ .
• Une dérivée nulle n'est pas un extremum : il faut que la dérivée CHANGE de signe.

Questions fréquentes

Comment dériver une fonction composée sans oublier de facteur ?

On identifie d'abord la fonction intérieure, on la nomme u, et on calcule sa dérivée à part. On applique ensuite la formule de la fonction extérieure en gardant u tel quel, puis on multiplie tout par la dérivée de u. Le contrôle final est visuel : si la dérivée de la fonction intérieure n'apparaît nulle part dans le résultat, le calcul est faux.

Quelle est l'équation de la tangente à une courbe en un point ?

Elle vaut le nombre dérivé au point, multiplié par x moins l'abscisse du point, plus l'image du point. Le décalage en x moins a est indispensable : c'est lui qui fait passer la droite par le point de contact. Pour vérifier, on remplace x par l'abscisse du point dans l'équation obtenue, et on doit retrouver exactement l'image.

Pourquoi la calculatrice doit-elle être en radians en Terminale ?

Parce que les formules de dérivation du sinus et du cosinus ne sont vraies qu'en radians. En degrés, chaque dérivation ferait apparaître un facteur pi sur cent quatre-vingts, qui n'est jamais écrit au programme. Le test rapide est de calculer le cosinus de pi : la machine doit afficher moins un, pas zéro virgule neuf neuf huit.

Combien de solutions a une équation avec un cosinus ?

Deux par tour complet, dès que la valeur cherchée est strictement comprise entre moins un et un. Elles sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses sur le cercle trigonométrique, donc opposées l'une de l'autre. La calculatrice n'en donne qu'une, celle de l'intervalle de zéro à pi : la seconde se lit sur le cercle.

Comment factoriser une dérivée trigonométrique pour en étudier le signe ?

On remplace le sinus ou le cosinus de l'angle double par sa formule de duplication, ce qui fait apparaître un facteur commun avec les autres termes. On met ce facteur en évidence, puis on étudie le signe de chaque facteur séparément sur l'intervalle. Une dérivée développée n'a pratiquement jamais de signe lisible.

Une dérivée qui s'annule signifie-t-elle qu'il y a un extremum ?

Non. Il faut en plus que la dérivée change de signe en ce point. Une dérivée qui s'annule sans changer de signe donne un simple palier, comme pour la fonction cube en zéro. C'est le tableau de signes, et non l'équation dérivée égale zéro, qui prouve l'existence de l'extremum et dit s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Dérivation et trigonométrie

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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Exponentielle et logarithme La convexité

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Fiche de révision : dérivation et trigonométrie (Terminale spécialité)

L'essentiel

Une dérivée de composée porte toujours deux morceaux

L'équation de la tangente, avec son décalage

Le cercle trigonométrique décide du nombre de solutions

Les deux limites qui viennent de la dérivée en zéro

Les règles de calcul en tableau

Les dérivées composées, avec le facteur u′u'u′

Combien de solutions pour cos⁡x=a\cos x=acosx=a et sin⁡x=a\sin x=asinx=a

Les pièges qui coûtent des points

1. Oublier le facteur intérieur dans une dérivée de composée

2. Écrire l'équation de la tangente sans le décalage

3. Dériver un quotient morceau par morceau

4. Calculer une limite ou une dérivée trigonométrique en degrés

5. Ne donner qu'une solution à une équation trigonométrique

6. Dériver un carré trigonométrique comme s'il était l'argument

7. Déduire les variations des zéros de la dérivée, sans tableau de signes

8. Prendre 2π2\pi2π pour période d'une fonction en cos⁡(ωt)\cos(\omega t)cos(ωt)

Quelle méthode choisir

Quelle formule de dérivation selon la forme de l'expression

Quel outil pour une équation ou une inéquation trigonométrique

La rédaction attendue

Étude complète des variations d'une fonction trigonométrique

Tangente et position relative de la courbe et de la droite

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Étude complète d'une fonction trigonométrique, comme au baccalauréat

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment dériver une fonction composée sans oublier de facteur ?

Quelle est l'équation de la tangente à une courbe en un point ?

Pourquoi la calculatrice doit-elle être en radians en Terminale ?

Combien de solutions a une équation avec un cosinus ?

Comment factoriser une dérivée trigonométrique pour en étudier le signe ?

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