Spécialité maths, Première • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : la dérivation (Première spécialité)

La dérivation est le chapitre le plus long de l'année et celui où les erreurs sont les plus mécaniques : un signe inversé dans la dérivée d'un quotient, un $(x-a)$ oublié dans l'équation d'une tangente, un tableau de variations rempli avec le signe de $f$ au lieu de celui de $f'$ . Aucune de ces erreurs ne vient d'une incompréhension, et toutes coûtent une question entière.

Cette fiche ne redit pas le tableau des dérivées usuelles. Elle montre les huit endroits où les copies se trompent, la phrase exacte à recopier pour chacun, l'arbre qui dit quelle formule employer selon la FORME de l'expression, et un problème de boîte de volume maximal décortiqué étape par étape.

Le fil du chapitre

Le nombre dérivé est une PENTE, pas une hauteur : $f(a)$ et $f'(a)$ se lisent au même endroit de la courbe et ne mesurent pas la même chose. Tout le chapitre décline cette confusion, jusqu'au tableau de variations, qu'on remplit avec le signe de $f'$ et jamais avec celui de $f$ .

Ce chapitre fait partie de Spécialité mathématiques en Première

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (11 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Généralités sur les fonctionsSeconde
2Fonctions affines et systèmesSeconde
3Le calcul littéralCinquième
4Multiplication et division de relatifsQuatrième
5Calcul littéral et équationsQuatrième
6Proportionnalité, pourcentages et vitessesQuatrième
7La notion de fonctionTroisième
8Les fonctions linéairesTroisième
9Les fonctions affinesTroisième
10Développer et factoriserTroisième
11Équations, équations produit et inéquationsTroisième

Notions couvertes

Taux d'accroissement
Nombre dérivé
Tangente à une courbe
Fonction dérivée
Dérivées des fonctions usuelles
Dérivée d'un produit
Dérivée d'un quotient
Signe de la dérivée
Tableau de variations
Extremum local
Optimisation

L'essentiel

Une hauteur et une pente, deux nombres différents au même point

• $f(a)$ est l'ORDONNÉE du point de la courbe d'abscisse $a$ . $f'(a)$ est le COEFFICIENT DIRECTEUR de la tangente en ce point. Les deux se lisent au même endroit et ne se comparent pas.
• $f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ : c'est la limite d'une pente de sécante, donc c'est une pente.
• Équation de la tangente en $a$ : $y=f'(a)\left(x-a\right)+f(a)$ . Les trois ingrédients sont $a$ , $f(a)$ et $f'(a)$ , et il en manque toujours un dans les copies.
• $f'(a)=0$ signifie tangente HORIZONTALE, rien de plus. Cela n'annonce ni un maximum, ni un minimum.

x=1

la courbe est à la hauteur

f(1)=1

; sa tangente, elle, monte de

2

quand on avance de

1

, et c'est

f'(1)=2

. Deux nombres lus au même point, jamais le même.

Avant d'écrire une tangente, poser les trois nombres sur le brouillon : $a=\dots$ , $f(a)=\dots$ , $f'(a)=\dots$ . Trois lignes qui suppriment les deux tiers des erreurs du chapitre.

Les dérivées usuelles, et les deux opérations qui piègent

• $\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$ , $\left(\sqrt{x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ sur $]0\,;+\infty[$ , $\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^{2}}$ sur $\mathbb{R}^{*}$ , et la dérivée d'une constante est nulle.
• Produit : $(uv)'=u'v+uv'$ . Il y a DEUX termes, et jamais $u'v'$ .
• Quotient : $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ . Le signe moins est au numérateur, et l'ordre $u'v$ puis $uv'$ n'est pas commutatif.
• Linéarité : $(ku)'=ku'$ et $(u+v)'=u'+v'$ . Ce sont les deux seules opérations où l'on peut dériver terme à terme.

Avant de dériver un quotient, regarder si le dénominateur est un simple nombre : $\frac{3x^{2}+1}{5}$ se dérive comme $\frac{1}{5}\left(3x^{2}+1\right)$ , en trois secondes et sans risque de signe.

Du signe de $f'$ au tableau de variations

• Sur un INTERVALLE : $f'>0$ entraîne $f$ strictement croissante, $f'<0$ entraîne $f$ strictement décroissante, $f'=0$ sur tout l'intervalle entraîne $f$ constante.
• Le tableau de variations se remplit avec le signe de $f'$ , jamais avec les valeurs de $f$ . La ligne du milieu est celle du signe de la dérivée, la ligne du bas celle des flèches.
• Le mot « sur un intervalle » est une hypothèse : une fonction dont la dérivée est négative sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$ n'est pas décroissante sur la réunion des deux.
• Pour étudier le signe de $f'$ , on la FACTORISE. Une dérivée qu'on n'arrive pas à factoriser est presque toujours mal calculée.

Les valeurs de $f$ aux bornes se calculent APRÈS le tableau, pour le compléter. Les calculer avant fait perdre du temps et n'apporte aucun point.

Un extremum demande un changement de signe

• $f'(a)=0$ est nécessaire mais pas suffisant : il faut que $f'$ CHANGE de signe en $a$ .
• $f'$ passe du positif au négatif en $a$ : $f(a)$ est un maximum local. Du négatif au positif : $f(a)$ est un minimum local.
• $f'$ garde le même signe de part et d'autre : il n'y a pas d'extremum, seulement une tangente horizontale. C'est le cas de $x\mapsto x^{3}$ en $0$ .
• Sur un intervalle FERMÉ, le maximum peut aussi être atteint à une borne, sans que la dérivée s'y annule. Les bornes se testent toujours.

Un problème d'optimisation se termine par deux nombres : la valeur qui optimise, et l'optimum lui-même. Les deux sont demandés, et la copie n'en donne souvent qu'un.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Les dérivées usuelles du programme de Première

Six lignes, et le programme n'en demande pas une de plus cette année. Chacune est donnée avec la pente qu'elle produit en un point, parce que c'est ce nombre que la question de tangente réclame.

$f(x)$	Dérivable sur	$f'(x)$
$k$ , une constante	$\mathbb{R}$	$0$
Exemple : $\left(7\right)'=0$ : une constante a une courbe horizontale, donc une pente nulle partout.
$x$	$\mathbb{R}$	$1$
Exemple : La droite $y=x$ a la pente $1$ en chacun de ses points, ce que la dérivée confirme.
$x^{n}$ , $n$ entier	$\mathbb{R}$	$nx^{n-1}$
Exemple : $\left(x^{3}\right)'=3x^{2}$ , donc la pente vaut $12$ en $x=2$ et $0$ en $x=0$ , où la tangente est horizontale sans qu'il y ait d'extremum.
$\frac{1}{x}$	$]-\infty\,;0[$ et $]0\,;+\infty[$	$-\frac{1}{x^{2}}$
Exemple : En $x=2$ , la pente vaut $-0{,}25$ . Elle est négative partout, donc la fonction décroît sur CHAQUE intervalle, jamais sur leur réunion.
$\sqrt{x}$	$]0\,;+\infty[$ seulement	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
Exemple : En $x=4$ , la pente vaut $0{,}25$ . En $0$ la fonction existe mais n'est pas dérivable : la tangente y est verticale.
$x^{2}$	$\mathbb{R}$	$2x$
Exemple : La ligne la plus utilisée de l'année : la tangente en $x=3$ a pour pente $6$ , et pour équation $y=6(x-3)+9$ .

Une dérivée porte toujours son domaine. Les deux lignes à surveiller sont $\frac{1}{x}$ et $\sqrt{x}$ : leur domaine de DÉRIVABILITÉ est plus petit que leur domaine de définition.

Les quatre opérations

Seules les deux premières lignes se distribuent. Les deux autres sont les formules que le correcteur cherche des yeux, écrites avec $u$ , $v$ , $u'$ et $v'$ posés à part.

Forme de $f$	Ce qu'on pose au brouillon	$f'$
$u+v$	rien	$u'+v'$
Exemple : $\left(x^{2}+\frac{1}{x}\right)'=2x-\frac{1}{x^{2}}$ , qui vaut $2-1=1$ en $x=1$ : les deux morceaux se dérivent séparément, puis on additionne.
$ku$ , $k$ constante	on sort $k$	$ku'$
Exemple : $\left(3x^{2}\right)'=6x$ , donc $12$ en $x=2$ . Le $3$ ne se dérive pas, il attend.
$uv$	$u$ , $v$ , $u'$ , $v'$	$u'v+uv'$
Exemple : $\left(x^{2}(x+1)\right)'=2x(x+1)+x^{2}$ , soit $4 imes 3+4=16$ en $x=2$ . DEUX termes, et jamais $u'v'$ , qui donnerait $4$ ici.
$\frac{u}{v}$	$u$ , $v$ , $u'$ , $v'$	$\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$
Exemple : $\left(\frac{2x+1}{x-3}\right)'=\frac{-7}{(x-3)^{2}}$ , soit $-1{,}75$ en $x=1$ . Le signe moins est au numérateur, et l'ordre $u'v$ puis $uv'$ ne se permute pas.
$\frac{1}{v}$	$v$ et $v'$	$-\frac{v'}{v^{2}}$
Exemple : $\left(\frac{1}{x^{2}+1}\right)'=\frac{-2x}{(x^{2}+1)^{2}}$ , soit $-0{,}5$ en $x=1$ . C'est la ligne du quotient avec $u=1$ , donc $u'=0$ .

Le dénominateur $v^{2}$ ne se développe pas : il sert ensuite au tableau de signes, où un carré est toujours positif et ne change donc jamais le signe de $f'$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Écrire la tangente sans le facteur $\left(x-a\right)$

1,5 point, et la droite obtenue ne touche même pas la courbe

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La tangente en $1$ est $y=f'(1)x+f(1)$ , soit $y=2x+1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La tangente en $1$ est $y=f'(1)\left(x-1\right)+f(1)=2\left(x-1\right)+1=2x-1$ . »

Pourquoi : La formule est celle d'une droite passant par le point $\left(a\,;f(a)\right)$ : le $\left(x-a\right)$ est ce qui l'y accroche. Le contrôle prend deux secondes : remplacer $x$ par $a$ doit redonner $f(a)$ .

2. Confondre $f(a)$ et $f'(a)$ dans la lecture graphique

1 point par lecture fausse, et il y en a souvent trois dans la même question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La courbe passe par le point $\left(2\,;5\right)$ , donc $f'(2)=5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La courbe passe par $\left(2\,;5\right)$ , donc $f(2)=5$ . Pour $f'(2)$ , il faut lire le coefficient directeur de la tangente en ce point, par exemple avec un déplacement de $+1$ en abscisse. »

Pourquoi : Une hauteur se lit sur l'axe des ordonnées, une pente se lit sur l'inclinaison. Le repère : la pente d'une tangente est le nombre de carreaux montés quand on avance d'un carreau.

3. Dériver un produit en multipliant les dérivées

toute la question, et l'étude des variations qui en découle

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=\left(2x+1\right)\left(x^{2}-3\right)$ , donc $f'(x)=2\times 2x=4x$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $u=2x+1$ , $v=x^{2}-3$ , $u'=2$ , $v'=2x$ , donc $f'(x)=2\left(x^{2}-3\right)+\left(2x+1\right)\times 2x=6x^{2}+2x-6$ . »

Pourquoi : La dérivation n'est pas multiplicative. Le contrôle imparable : développer d'abord, dériver ensuite, et comparer. Ici $f(x)=2x^{3}+x^{2}-6x-3$ donne bien $f'(x)=6x^{2}+2x-6$ .

4. Inverser les deux termes du numérateur d'un quotient

toute la question : la dérivée obtenue est l'opposée de la vraie, donc le tableau de variations est inversé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{uv'-u'v}{v^{2}}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ : le terme qui commence par $u'$ vient EN PREMIER. »

Pourquoi : L'ordre se retient sur un cas connu : $\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^{2}}$ est négatif. Avec $u=1$ et $v=x$ , la formule juste donne $\frac{0\times x-1\times 1}{x^{2}}=-\frac{1}{x^{2}}$ , la formule fausse donnerait $+\frac{1}{x^{2}}$ .

5. Annoncer un extremum dès que la dérivée s'annule

1,5 point, et le tableau de variations est faux sur toute sa longueur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $g'(1)=0$ , donc $g$ admet un extremum en $1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $g'(x)=3\left(x-1\right)^{2}\ge 0$ , donc $g'$ s'annule en $1$ SANS changer de signe : la tangente y est horizontale, mais $g$ est croissante sur $\mathbb{R}$ et n'admet aucun extremum. »

La tangente en

x=1

est horizontale, donc

g'(1)=0

; et pourtant la courbe continue de monter, parce que

g'

ne change pas de signe. Une dérivée nulle ne fait pas un extremum.

Pourquoi : L'annulation de la dérivée est une condition nécessaire, jamais suffisante. C'est le CHANGEMENT de signe qui fait l'extremum, et il se lit sur le tableau, pas sur l'équation $f'(x)=0$ .

6. Lire la courbe de $f'$ comme si c'était celle de $f$

toute la question de lecture graphique, qui vaut souvent 3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La courbe de $f'$ descend sur $[1\,;6]$ , donc $f$ est décroissante sur $[1\,;6]$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Sur $[1\,;6]$ , la courbe de $f'$ reste AU-DESSUS de l'axe des abscisses, donc $f'>0$ et $f$ est croissante sur cet intervalle, même si $f'$ y décroît. »

La courbe en pointillés est celle de

f'

: elle DESCEND, et pourtant elle reste au-dessus de l'axe, donc

f

monte sans interruption. Position et sens de variation sont deux lectures différentes.

Pourquoi : Sur la courbe de $f'$ , seule la POSITION par rapport à l'axe compte pour les variations de $f$ . Le sens de variation de $f'$ raconte autre chose : la façon dont la courbe de $f$ se creuse ou s'aplatit.

7. Dériver une racine ou un inverse sans regarder le domaine

1 point de rigueur, systématiquement retiré quand l'énoncé demande le domaine de dérivabilité

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=\sqrt{x}$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ , avec $f'(0)=\frac{1}{2\sqrt{0}}=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f$ est définie sur $[0\,;+\infty[$ mais dérivable seulement sur $]0\,;+\infty[$ , avec $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ . En $0$ , la courbe admet une tangente VERTICALE. »

Pourquoi : Le domaine de dérivabilité est parfois plus petit que le domaine de définition, et la racine carrée en est l'exemple unique du programme. Le quotient $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ explose quand $x$ tend vers $0$ , il ne tend pas vers $0$ .

8. Remplir le tableau de variations avec le signe de $f$

toute la question, et la réponse est fausse même quand elle semble plausible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=x^{2}-4$ est négative sur $]-2\,;2[$ , donc $f$ décroît sur $]-2\,;2[$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f'(x)=2x$ , négative sur $]-\infty\,;0[$ et positive sur $]0\,;+\infty[$ : $f$ décroît sur $]-\infty\,;0]$ puis croît sur $[0\,;+\infty[$ . Le signe de $f$ n'intervient pas. »

Pourquoi : Le signe de $f$ dit où la courbe est au-dessus ou au-dessous de l'axe; le signe de $f'$ dit où elle monte ou descend. Ce sont deux tableaux différents, et l'énoncé demande parfois les deux à la suite.

Quelle méthode choisir

Quelle formule selon la forme de l'expression

On regarde la structure de l'expression, avant de savoir ce que l'exercice demande. La question à se poser en premier : quelle est la DERNIÈRE opération effectuée ?

Si une somme de termes en $x^{n}$ → dériver terme à terme, $\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$

Exemple : $5x^{3}-2x+7$ a pour dérivée $15x^{2}-2$

Le terme constant disparaît. Un exposant $1$ devient un exposant $0$ , donc une constante.
Si un nombre multiplie toute l'expression, ou la divise → sortir le nombre et dériver ce qui reste : $(ku)'=ku'$

Exemple : $\frac{3x^{2}+1}{5}$ a pour dérivée $\frac{6x}{5}$

Ne JAMAIS appliquer la formule du quotient quand le dénominateur est un nombre : c'est trois fois plus long et cela crée une erreur de signe.
Si un produit de deux expressions dépendant de $x$ → $u'v+uv'$ , en posant $u$ , $v$ , $u'$ , $v'$ au brouillon avant de remplacer

Exemple : $\left(2x+1\right)\left(x^{2}-3\right)$ a pour dérivée $2\left(x^{2}-3\right)+\left(2x+1\right)2x$

Si les deux facteurs sont des polynômes courts, développer d'abord va souvent plus vite et se contrôle mieux.
Si un quotient dont le dénominateur dépend de $x$ → $\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , sans développer $v^{2}$ au dénominateur

Exemple : $\frac{x+1}{x-2}$ a pour dérivée $\frac{\left(x-2\right)-\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)^{2}}=\frac{-3}{\left(x-2\right)^{2}}$

Le dénominateur reste sous forme de carré : il est alors visiblement positif, et le signe de la dérivée se lit sur le seul numérateur.
Si une racine carrée ou un inverse → formule usuelle, et domaine de dérivabilité écrit AVANT

Exemple : $\sqrt{x}$ a pour dérivée $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ sur $]0\,;+\infty[$

Aucune branche ne s'applique ? Développer l'expression avant de dériver : en Première, toute fonction rationnelle du programme se ramène à ces cinq cas. Une expression du type $\left(2x+3\right)^{2}$ se développe, la dérivée d'une composée n'est pas au programme de Première.

Quel outil selon le verbe de l'énoncé

Les questions du contrôle se ressemblent toutes. Le verbe désigne l'outil, et il n'y en a que six.

Si « déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ » → calculer $f(a)$ , calculer $f'(a)$ , remplacer dans $y=f'(a)\left(x-a\right)+f(a)$ , puis développer

Exemple : $f(x)=x^{2}$ en $a=1$ donne $y=2\left(x-1\right)+1=2x-1$
Si « étudier les variations », « dresser le tableau de variations » → dériver, factoriser $f'$ , tableau de signes de $f'$ , flèches, puis valeurs aux bornes
Si « montrer que $f$ est croissante sur $I$ » → montrer que $f'\ge 0$ sur $I$ , en factorisant, et conclure sur l'intervalle $I$ précisément
Si « déterminer le maximum », « optimiser », « le plus grand volume » → poser la fonction et son domaine, dériver, tableau, et lire la valeur qui optimise PUIS l'optimum

Exemple : $V(x)=x\left(12-2x\right)^{2}$ sur $]0\,;6[$ est maximal en $x=2$ , où $V(2)=128$
Si « la courbe admet-elle une tangente horizontale » → résoudre $f'(x)=0$ , puis vérifier si le signe change de part et d'autre

Tangente horizontale et extremum ne sont pas la même question, et les sujets exploitent constamment cet écart.
Si un graphique de $f'$ est donné et l'énoncé demande les variations de $f$ → lire la POSITION de la courbe par rapport à l'axe des abscisses, jamais son sens de variation

Le mot « conjecturer » n'appelle aucune dérivée : il demande la calculatrice et une phrase au conditionnel. C'est la question suivante qui demandera la démonstration, et elle rapporte trois fois plus.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle

Quand l'utiliser : La question type du contrôle, qui vaut à elle seule un tiers du sujet et sert de support à toutes les suivantes.

1 Annoncer l'intervalle d'étude et la dérivabilité. « $f$ est une fonction polynôme, donc dérivable sur $\mathbb{R}$ , et on l'étudie sur $[0\,;6]$ . »
2 Calculer $f'(x)$ en écrivant $u$ , $v$ , $u'$ , $v'$ quand il y a un produit ou un quotient. Le brouillon apparent rapporte le point de méthode.
3 FACTORISER $f'(x)$ . C'est l'étape que les copies sautent, et sans elle le tableau de signes est impossible.
4 Résoudre $f'(x)=0$ et étudier le signe de chaque facteur dans un tableau, ligne par ligne.
5 Reporter le signe de $f'$ dans le tableau de variations et tracer les flèches.
6 Calculer les valeurs de $f$ aux bornes et aux extremums, et les placer aux extrémités des flèches.

Phrase de conclusion

$f'(x)=\left(12-2x\right)\left(12-6x\right)$ , positive sur $[0\,;2]$ et négative sur $[2\,;6]$ ; donc $f$ est croissante sur $[0\,;2]$ puis décroissante sur $[2\,;6]$ , et admet un maximum en $x=2$ .

Le piège : Écrire « $f$ est croissante puis décroissante » sans nommer les intervalles. Un sens de variation sans son intervalle ne vaut aucun point : c'est une propriété locale, pas une propriété de la fonction.

Barème : En général 1 point pour la dérivée, 1 point pour la factorisation, 1 point pour le tableau de signes, 1 point pour le tableau de variations complété.

Écrire l'équation d'une tangente

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé dit « tangente au point d'abscisse $a$ », ou « au point $A$ de la courbe ».

1 Poser $a$ explicitement, même s'il est évident. « Ici $a=1$ . »
2 Calculer $f(a)$ et l'écrire seul sur une ligne.
3 Calculer $f'(x)$ , puis $f'(a)$ , et l'écrire seul sur une ligne. Ce sont deux calculs distincts, dans cet ordre.
4 Remplacer dans $y=f'(a)\left(x-a\right)+f(a)$ sans rien simplifier d'abord.
5 Développer et réduire pour obtenir la forme $y=mx+p$ .
6 Vérifier : remplacer $x$ par $a$ dans le résultat doit redonner $f(a)$ .

Phrase de conclusion

La tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $1$ a pour équation $y=f'(1)\left(x-1\right)+f(1)=2\left(x-1\right)+1$ , soit $y=2x-1$ .

Le piège : Calculer $f'(a)$ en dérivant le nombre $f(a)$ au lieu de dériver la fonction puis d'y remplacer $x$ par $a$ . La dérivée d'un nombre est nulle, et la tangente obtenue est horizontale à tort.

Barème : 0,5 point pour $f(a)$ , 1 point pour $f'(a)$ , 0,5 point pour la formule appliquée, 0,5 point pour la forme réduite.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Faire passer la tangente par son point de contact

Remplacer $x$ par $a$ dans l'équation trouvée. Le résultat doit être exactement $f(a)$ . Une seule substitution, et toutes les erreurs de $\left(x-a\right)$ sont attrapées.

Tangente annoncée $y=2x+1$ en $a=1$ pour $f(x)=x^{2}$ : elle donne $3$ alors que $f(1)=1$ , donc elle est fausse.
Tracer la courbe et la tangente sur la calculatrice

Entrer $f$ en $Y_{1}$ et la tangente en $Y_{2}$ , puis regarder. Les deux doivent se toucher au point d'abscisse $a$ et ne pas se croiser en travers.

Une droite qui coupe la courbe franchement au lieu de l'effleurer signale une erreur de coefficient directeur, donc un $f'(a)$ mal calculé.
Contrôler la dérivée par un taux d'accroissement numérique

Calculer $\frac{f(a+0{,}001)-f(a)}{0{,}001}$ à la calculatrice. Le résultat doit être très proche de la valeur trouvée pour $f'(a)$ .

Pour $f(x)=\left(2x+1\right)\left(x^{2}-3\right)$ en $a=1$ , le taux donne environ $2{,}008$ : la dérivée $4x$ prédisait $4$ , elle est donc fausse.
Tester un point dans chaque zone du tableau de signes

Choisir une valeur simple de chaque côté d'une racine de $f'$ , et calculer $f'$ dessus. Le signe obtenu doit correspondre à la case du tableau.

Pour $V'(x)=\left(12-2x\right)\left(12-6x\right)$ : $V'(1)=10\times 6>0$ et $V'(3)=6\times(-6)<0$ , ce qui confirme le maximum en $2$ .
Encadrer un optimum par ses deux voisins

Calculer la fonction juste avant et juste après la valeur trouvée. Un maximum doit être supérieur aux deux, un minimum inférieur aux deux.

$V(1{,}9)\approx 127{,}76$ et $V(2{,}1)\approx 127{,}76$ , tous deux inférieurs à $V(2)=128$ : le maximum est confirmé sans refaire l'étude.

L'exercice type décortiqué

La boîte de volume maximal, comme au contrôle

Dans une plaque carrée de $12$ cm de côté, on découpe aux quatre coins un carré de côté $x$ , puis on relève les bords pour former une boîte sans couvercle.

1. Justifier que le volume de la boîte est $V(x)=x\left(12-2x\right)^{2}$ et préciser l'intervalle sur lequel $x$ varie. 2. Déterminer la valeur de $x$ qui rend ce volume maximal, et calculer ce volume.

Étape 1

La base de la boîte est un carré de côté $12-2x$ et sa hauteur vaut $x$ , donc $V(x)=x\left(12-2x\right)^{2}$ . Il faut $x>0$ et $12-2x>0$ , donc $x\in\,]0\,;6[$ .

Pourquoi

L'intervalle est la moitié des points de la première question, et c'est celle qui s'oublie. Le côté est diminué de $2x$ et non de $x$ : on découpe aux DEUX extrémités de chaque bord.

Étape 2

On pose $u=x$ et $v=\left(12-2x\right)^{2}$ . En développant $v=144-48x+4x^{2}$ , on obtient $V(x)=144x-48x^{2}+4x^{3}$ , donc $V'(x)=144-96x+12x^{2}$ .

Pourquoi

Développer d'abord évite la dérivation d'une composée, qui n'est pas au programme de Première. Le calcul est plus long de trente secondes et il ne comporte aucun risque.

Étape 3

$V'(x)=12\left(x^{2}-8x+12\right)=12\left(x-2\right)\left(x-6\right)$ , ce qui s'écrit aussi $\left(12-2x\right)\left(12-6x\right)$ .

Pourquoi

La factorisation n'est pas facultative : sans elle, le signe de $V'$ est illisible. Mettre $12$ en facteur ramène à un trinôme unitaire, dont le discriminant vaut $64-48=16$ .

Étape 4

Sur $]0\,;6[$ , le facteur $x-6$ est négatif. Donc $V'(x)$ est du signe de $-\left(x-2\right)$ : positif sur $]0\,;2[$ , nul en $2$ , négatif sur $]2\,;6[$ .

Pourquoi

Réduire l'étude à un seul facteur variable est le geste qui fait gagner du temps : sur l'intervalle imposé, $x-6$ ne change jamais de signe, donc il ne fait que retourner celui de l'autre.

Étape 5

$V$ croît sur $]0\,;2]$ puis décroît sur $[2\,;6[$ : elle admet un maximum en $x=2$ , et $V(2)=2\times 8^{2}=128$ .

Pourquoi

Le changement de signe de $V'$ est ce qui autorise le mot « maximum ». Sans lui, on n'aurait le droit d'écrire que « tangente horizontale en $2$ ».

Étape 6

Vérification : $V(1)=1\times 100=100$ , $V(3)=3\times 36=108$ , $V(1{,}9)\approx 127{,}8$ et $V(2{,}1)\approx 127{,}8$ , toutes inférieures à $128$ .

Pourquoi

Quatre valeurs calculées en trente secondes, dont deux très proches du maximum. Elles prouvent l'extremum sans refaire l'étude, et elles auraient détecté une factorisation fausse.

Conclusion rédigée

Le volume de la boîte est maximal lorsqu'on découpe aux coins des carrés de $2$ cm de côté, et ce volume maximal vaut $128$ cm cubes.

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre « le volume maximal est $2$ » en confondant la valeur de $x$ et celle du volume. L'énoncé demande deux nombres distincts, et la conclusion doit les nommer tous les deux avec leur unité.

À savoir par cœur

• $f(a)$ est une hauteur, $f'(a)$ est une pente. Les deux se lisent au même point et ne se comparent pas.
• Tangente en $a$ : $y=f'(a)\left(x-a\right)+f(a)$ . Le contrôle : $x=a$ doit redonner $f(a)$ .
• $(uv)'=u'v+uv'$ , DEUX termes. $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , le $u'v$ en premier.
• $\left(\sqrt{x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ sur $]0\,;+\infty[$ seulement : la racine n'est pas dérivable en $0$ .
• Le tableau de variations se remplit avec le signe de $f'$ , jamais avec les valeurs de $f$ .
• Un extremum demande que $f'$ CHANGE de signe. $f'(a)=0$ seul ne donne qu'une tangente horizontale.
• Une dérivée qu'on ne parvient pas à factoriser est presque toujours mal calculée.
• Sur la courbe de $f'$ , c'est la position par rapport à l'axe qui donne les variations de $f$ , pas le sens de variation de $f'$ .

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre f de a et f prime de a ?

Le premier est la hauteur du point de la courbe d'abscisse a, lue sur l'axe vertical. Le second est le coefficient directeur de la tangente en ce point, c'est-à-dire son inclinaison. Les deux se lisent au même endroit de la courbe et ne mesurent pas la même chose, donc ils n'ont aucune raison d'être égaux.

Comment écrire l'équation d'une tangente sans se tromper ?

On pose d'abord les trois nombres séparément : la valeur de a, celle de la fonction en a, celle de la dérivée en a. On remplace ensuite dans la formule qui donne y égal à la dérivée en a multipliée par x moins a, le tout ajouté à la valeur de la fonction en a. Le contrôle final consiste à remplacer x par a : on doit retrouver la valeur de la fonction.

Comment dériver un produit de deux fonctions ?

On applique la formule à deux termes : la dérivée du premier facteur multipliée par le second, plus le premier facteur multiplié par la dérivée du second. On ne multiplie jamais les deux dérivées entre elles. Quand les deux facteurs sont des polynômes courts, développer avant de dériver va souvent plus vite et se vérifie mieux.

Est-ce qu'une dérivée nulle signifie toujours un maximum ou un minimum ?

Non. Une dérivée nulle signifie seulement que la tangente est horizontale en ce point. Pour qu'il y ait un extremum, il faut en plus que la dérivée change de signe de part et d'autre. La fonction cube en zéro a une dérivée nulle et pourtant elle est croissante partout, donc elle n'admet aucun extremum.

Comment lire les variations de f sur la courbe de sa dérivée ?

On regarde uniquement la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses. Là où elle est au-dessus, la dérivée est positive, donc la fonction croît. Là où elle est au-dessous, la fonction décroît. Le sens de variation de la courbe de la dérivée ne dit rien des variations de la fonction elle-même.

Pourquoi faut-il factoriser la dérivée avant d'étudier son signe ?

Parce que le signe d'un produit se lit facteur par facteur, alors que celui d'une somme ne se lit pas. Une dérivée qui refuse de se factoriser est presque toujours mal calculée : c'est un signal d'alerte plutôt qu'une difficulté. En Première, la dérivée d'une fonction d'exercice est toujours factorisable ou du second degré.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La dérivation

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

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Fiche de révision : la dérivation (Première spécialité)

L'essentiel

Une hauteur et une pente, deux nombres différents au même point

Les dérivées usuelles, et les deux opérations qui piègent

Du signe de f′f'f′ au tableau de variations

Un extremum demande un changement de signe

Les règles de calcul en tableau

Les dérivées usuelles du programme de Première

Les quatre opérations

Les pièges qui coûtent des points

1. Écrire la tangente sans le facteur (x−a)\left(x-a\right)(x−a)

2. Confondre f(a)f(a)f(a) et f′(a)f'(a)f′(a) dans la lecture graphique

3. Dériver un produit en multipliant les dérivées

4. Inverser les deux termes du numérateur d'un quotient

5. Annoncer un extremum dès que la dérivée s'annule

6. Lire la courbe de f′f'f′ comme si c'était celle de fff

7. Dériver une racine ou un inverse sans regarder le domaine

8. Remplir le tableau de variations avec le signe de fff

Quelle méthode choisir

Quelle formule selon la forme de l'expression

Quel outil selon le verbe de l'énoncé

La rédaction attendue

Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle

Écrire l'équation d'une tangente

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

La boîte de volume maximal, comme au contrôle

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre f de a et f prime de a ?

Comment écrire l'équation d'une tangente sans se tromper ?

Comment dériver un produit de deux fonctions ?

Est-ce qu'une dérivée nulle signifie toujours un maximum ou un minimum ?

Comment lire les variations de f sur la courbe de sa dérivée ?

Pourquoi faut-il factoriser la dérivée avant d'étudier son signe ?

Exercices corrigés : La dérivation

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Du signe de $f'$ au tableau de variations

1. Écrire la tangente sans le facteur $\left(x-a\right)$

2. Confondre $f(a)$ et $f'(a)$ dans la lecture graphique

6. Lire la courbe de $f'$ comme si c'était celle de $f$

8. Remplir le tableau de variations avec le signe de $f$