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Spécialité maths, Première • Fiche de révision à Montréal

Fiche de révision : la dérivation (Première spécialité)

La dérivation est le chapitre le plus long de l'année et celui où les erreurs sont les plus mécaniques : un signe inversé dans la dérivée d'un quotient, un (x−a)(x-a) oublié dans l'équation d'une tangente, un tableau de variations rempli avec le signe de ff au lieu de celui de f′f'. Aucune de ces erreurs ne vient d'une incompréhension, et toutes coûtent une question entière.

Cette fiche ne redit pas le tableau des dérivées usuelles. Elle montre les endroits où les copies se trompent, la phrase exacte à recopier pour chacun, l'arbre qui dit quelle formule employer selon la FORME de l'expression, et un problème de boîte de volume maximal décortiqué étape par étape. Elle suit le programme de Première en vigueur depuis la rentrée 2026 : approximation linéaire, notation dydx\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, exposants négatifs, valeur absolue et parité.

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Le fil du chapitre

Le nombre dérivé est une PENTE, pas une hauteur : f(a)f(a) et f′(a)f'(a) se lisent au même endroit de la courbe et ne mesurent pas la même chose. Tout le chapitre décline cette confusion, jusqu'au tableau de variations, qu'on remplit avec le signe de f′f' et jamais avec celui de ff. Et une formule de dérivée ne vaut que sur son DOMAINE : xnx^{n} pour nn négatif, la racine et la valeur absolue en 00 le rappellent à chaque fois.

Ce chapitre fait partie de Spécialité mathématiques en Première
Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 21 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (10 chapitres, les plus proches) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1 Multiplication et division de relatifs Quatrième
  2. 2 Calcul littéral et équations Quatrième
  3. 3 Proportionnalité, pourcentages et vitesses Quatrième
  4. 4 La notion de fonction Troisième
  5. 5 Les fonctions linéaires Troisième
  6. 6 Les fonctions affines Troisième
  7. 7 Développer et factoriser Troisième
  8. 8 Équations, équations produit et inéquations Troisième
  9. 9 Généralités sur les fonctions Seconde
  10. 10 Fonctions affines et systèmes Seconde

L'essentiel

Une hauteur et une pente, deux nombres différents au même point

  • • f(a)f(a) est l'ORDONNÉE du point de la courbe d'abscisse aa. f′(a)f'(a) est le COEFFICIENT DIRECTEUR de la tangente en ce point. Les deux se lisent au même endroit et ne se comparent pas.
  • • f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} : c'est la limite d'une pente de sécante, donc c'est une pente.
  • • Équation de la tangente en aa : y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)\left(x-a\right)+f(a). Les trois ingrédients sont aa, f(a)f(a) et f′(a)f'(a), et il en manque toujours un dans les copies.
  • • f′(a)=0f'(a)=0 signifie tangente HORIZONTALE, rien de plus. Cela n'annonce ni un maximum, ni un minimum.
−1123−2−1123456f(1) = 1pente f'(1) = 2
En x=1x=1 la courbe est à la hauteur f(1)=1f(1)=1; sa tangente, elle, monte de 22 quand on avance de 11, et c'est f′(1)=2f'(1)=2. Deux nombres lus au même point, jamais le même.

Avant d'écrire une tangente, poser les trois nombres sur le brouillon : a=…a=\dots, f(a)=…f(a)=\dots, f′(a)=…f'(a)=\dots. Trois lignes qui suppriment les deux tiers des erreurs du chapitre.

Les dérivées usuelles, et les deux opérations qui piègent

  • • (xn)′=nxn−1\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1} pour tout entier nn : sur R\mathbb{R} si n≥1n\geq 1, sur R∗\mathbb{R}^{*} si n≤−1n\leq -1. (x)′=12x\left(\sqrt{x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}} sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[, (1x)′=−1x2\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^{2}} sur R∗\mathbb{R}^{*}, et la dérivée d'une constante est nulle.
  • • Produit : (uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv'. Il y a DEUX termes, et jamais u′v′u'v'.
  • • Quotient : (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}. Le signe moins est au numérateur, et l'ordre u′vu'v puis uv′uv' n'est pas commutatif.
  • • Linéarité : (ku)′=ku′(ku)'=ku' et (u+v)′=u′+v′(u+v)'=u'+v'. Ce sont les deux seules opérations où l'on peut dériver terme à terme.

Avant de dériver un quotient, regarder si le dénominateur est un simple nombre : 3x2+15\frac{3x^{2}+1}{5} se dérive comme 15(3x2+1)\frac{1}{5}\left(3x^{2}+1\right), en trois secondes et sans risque de signe.

Du signe de f′f' au tableau de variations

  • • Sur un INTERVALLE : f′>0f'>0 entraîne ff strictement croissante, f′<0f'<0 entraîne ff strictement décroissante, f′=0f'=0 sur tout l'intervalle entraîne ff constante.
  • • Le tableau de variations se remplit avec le signe de f′f', jamais avec les valeurs de ff. La ligne du milieu est celle du signe de la dérivée, la ligne du bas celle des flèches.
  • • Le mot « sur un intervalle » est une hypothèse : une fonction dont la dérivée est négative sur ]−∞ ;0[]-\infty\,;0[ et sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[ n'est pas décroissante sur la réunion des deux.
  • • Pour étudier le signe de f′f', on la FACTORISE. Une dérivée qu'on n'arrive pas à factoriser est presque toujours mal calculée.
−4−3−2−11234−4−3−2−11234f(−1) = −1f(1) = 1
x↦1xx\mapsto\frac{1}{x} a une dérivée négative sur ]−∞ ;0[]-\infty\,;0[ et sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[, et pourtant f(−1)=−1<f(1)=1f(-1)=-1<f(1)=1 : elle décroît sur CHAQUE intervalle, pas sur leur réunion.

Les valeurs de ff aux bornes se calculent APRÈS le tableau, pour le compléter. Les calculer avant fait perdre du temps et n'apporte aucun point.

Un extremum demande un changement de signe

  • • f′(a)=0f'(a)=0 est nécessaire mais pas suffisant : il faut que f′f' CHANGE de signe en aa.
  • • f′f' passe du positif au négatif en aa : f(a)f(a) est un maximum local. Du négatif au positif : f(a)f(a) est un minimum local.
  • • f′f' garde le même signe de part et d'autre : il n'y a pas d'extremum, seulement une tangente horizontale. C'est le cas de x↦x3x\mapsto x^{3} en 00.
  • • Sur un intervalle FERMÉ, le maximum peut aussi être atteint à une borne, sans que la dérivée s'y annule. Les bornes se testent toujours.
−3−2−1123−3−2−1123max (−1 ; 2)min (1 ; −2)f′ > 0f′ < 0f′ > 0
f(x)=x3−3xf(x)=x^{3}-3x, f′(x)=3(x−1)(x+1)f'(x)=3(x-1)(x+1) : f′f' passe de ++ à −- en −1-1 (maximum local 22), de −- à ++ en 11 (minimum local −2-2). Les tangentes y sont horizontales.

Un problème d'optimisation se termine par deux nombres : la valeur qui optimise, et l'optimum lui-même. Les deux sont demandés, et la copie n'en donne souvent qu'un.

La tangente sert aussi à calculer : l'approximation linéaire

  • • Fonction affine tangente en aa : x↦f(a)+f′(a)(x−a)x\mapsto f(a)+f'(a)(x-a). Sa courbe est la tangente.
  • • Approximation linéaire : pour hh proche de 00, f(a+h)≈f(a)+f′(a)hf(a+h)\approx f(a)+f'(a)h. Le coefficient de hh est le nombre dérivé, et le hh ne s'oublie pas.
  • • En a=1a=1, à savoir par cœur : (1+h)2≈1+2h(1+h)^{2}\approx 1+2h, 11+h≈1−h\frac{1}{1+h}\approx 1-h, 1+h≈1+h2\sqrt{1+h}\approx 1+\frac{h}{2}. Ainsi 1,003≈1,0015\sqrt{1{,}003}\approx 1{,}0015 sans calculatrice.
  • • L'erreur est de l'ordre de h2h^{2} : exactement h2h^{2} pour le carré, h21+h\frac{h^{2}}{1+h} pour l'inverse. Son signe dit si la courbe est au-dessus ou au-dessous de sa tangente.
  • • En contexte, dydx=f′(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f'(x) si y=f(x)y=f(x) : dxdt\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} est une vitesse instantanée, dCdq\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}q} un coût marginal, dans l'unité de yy par unité de xx.
0,511,522,530,511,522,5racinetangente en 1
Près de 11, la tangente en pointillés colle à la courbe de la racine : en 1,211{,}21 elle donne 1,1051{,}105 au lieu de 1,11{,}1, un écart de 0,0050{,}005, et elle reste au-dessus.

Une approximation se donne avec son sens. Pour la racine, 1,21≈1,105\sqrt{1{,}21}\approx 1{,}105 alors que 1,21=1,1\sqrt{1{,}21}=1{,}1 : la tangente est au-dessus de la courbe, l'approximation est par excès.

Paire, impaire : le domaine d'abord, la formule ensuite

  • • Le domaine DD doit être SYMÉTRIQUE par rapport à 00 : si x∈Dx\in D, alors −x∈D-x\in D. Sinon la question de la parité ne se pose même pas.
  • • Paire : f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) pour TOUT xx de DD, et la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Exemples : x2x^{2}, ∣x∣|x|, 1x4\frac{1}{x^{4}}.
  • • Impaire : f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) pour TOUT xx de DD, et la courbe est symétrique par rapport à l'origine. Exemples : x3x^{3}, 1x\frac{1}{x}, x3−5xx^{3}-5x. Si 0∈D0\in D, alors f(0)=0f(0)=0.
  • • Un exemple numérique ne DÉMONTRE jamais une parité, il ne sert qu'à la RÉFUTER : v(x)=x2+xv(x)=x^{2}+x donne v(1)=2v(1)=2 et v(−1)=0v(-1)=0, ni égaux ni opposés.
−5−4−3−2−112345−3−2−1123|x| : pairex³/4 : impaire
Trait plein, ∣x∣|x| : les points d'abscisses 11 et −1-1 sont à la même hauteur, symétrie d'axe vertical. Pointillés, x34\frac{x^{3}}{4} : (2 ;2)(2\,;2) et (−2 ;−2)(-2\,;-2) sont symétriques par rapport à l'origine.

La plupart des fonctions ne sont ni paires ni impaires : « ni l'une ni l'autre » est une réponse normale.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Les dérivées usuelles du programme de Première, avec leur domaine

Les lignes que le programme de Première demande, chacune avec la pente qu'elle produit en un point, parce que c'est ce nombre que la question de tangente réclame. La deuxième colonne est un DOMAINE, et c'est elle qu'on oublie.

f(x)f(x)Dérivable surf′(x)f'(x)
kk, une constante R\mathbb{R} 00

Exemple : (7)′=0\left(7\right)'=0 : une constante a une courbe horizontale, donc une pente nulle partout.

xx R\mathbb{R} 11

Exemple : La droite y=xy=x a la pente 11 en chacun de ses points, ce que la dérivée confirme.

xnx^{n}, nn entier, n≥1n\geq 1 R\mathbb{R} nxn−1nx^{n-1}

Exemple : (x3)′=3x2\left(x^{3}\right)'=3x^{2}, donc la pente vaut 1212 en x=2x=2 et 00 en x=0x=0, où la tangente est horizontale sans qu'il y ait d'extremum.

xnx^{n}, nn entier, n≤−1n\leq -1 ]−∞ ;0[]-\infty\,;0[ et ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[ nxn−1nx^{n-1}

Exemple : 1x4=x−4\frac{1}{x^{4}}=x^{-4} a pour dérivée −4x−5=−4x5-4x^{-5}=-\frac{4}{x^{5}} : l'exposant passe de −4-4 à −5-5, pas à −3-3. Elle vaut −4-4 en x=1x=1 et 44 en x=−1x=-1.

1x\frac{1}{x} ]−∞ ;0[]-\infty\,;0[ et ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[ −1x2-\frac{1}{x^{2}}

Exemple : En x=2x=2, la pente vaut −0,25-0{,}25. Elle est négative partout, donc la fonction décroît sur CHAQUE intervalle, jamais sur leur réunion.

x\sqrt{x} ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[ seulement 12x\frac{1}{2\sqrt{x}}

Exemple : En x=4x=4, la pente vaut 0,250{,}25. En 00 la fonction existe mais n'est pas dérivable : la tangente y est verticale.

x2x^{2} R\mathbb{R} 2x2x

Exemple : La ligne la plus utilisée de l'année : la tangente en x=3x=3 a pour pente 66, et pour équation y=6(x−3)+9y=6(x-3)+9.

∣x∣|x| ]−∞ ;0[]-\infty\,;0[ et ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[ −1-1 si x<0x<0, 11 si x>0x>0

Exemple : En 00, le taux ∣h∣h\frac{|h|}{h} vaut 11 pour h>0h>0 et −1-1 pour h<0h<0 : pas de limite commune, donc pas de nombre dérivé, et la courbe fait un angle.

Une dérivée porte toujours son domaine. Les lignes à surveiller sont xnx^{n} pour nn négatif, 1x\frac{1}{x}, x\sqrt{x} et ∣x∣|x| : leur domaine de DÉRIVABILITÉ est plus petit que R\mathbb{R}, et pour les deux dernières il est même plus petit que leur domaine de définition.

Les quatre opérations

Seules les deux premières lignes se distribuent. Les deux autres sont les formules que le correcteur cherche des yeux, écrites avec uu, vv, u′u' et v′v' posés à part.

Forme de ffCe qu'on pose au brouillonf′f'
u+vu+v rien u′+v′u'+v'

Exemple : (x2+1x)′=2x−1x2\left(x^{2}+\frac{1}{x}\right)'=2x-\frac{1}{x^{2}}, qui vaut 2−1=12-1=1 en x=1x=1 : les deux morceaux se dérivent séparément, puis on additionne.

kuku, kk constante on sort kk ku′ku'

Exemple : (3x2)′=6x\left(3x^{2}\right)'=6x, donc 1212 en x=2x=2. Le 33 ne se dérive pas, il attend.

uvuv uu, vv, u′u', v′v' u′v+uv′u'v+uv'

Exemple : (x2(x+1))′=2x(x+1)+x2\left(x^{2}(x+1)\right)'=2x(x+1)+x^{2}, soit 4×3+4=164\times 3+4=16 en x=2x=2. DEUX termes, et jamais u′v′u'v', qui donnerait 44 ici.

uv\frac{u}{v} uu, vv, u′u', v′v' u′v−uv′v2\frac{u'v-uv'}{v^{2}}

Exemple : (2x+1x−3)′=−7(x−3)2\left(\frac{2x+1}{x-3}\right)'=\frac{-7}{(x-3)^{2}}, soit −1,75-1{,}75 en x=1x=1. Le signe moins est au numérateur, et l'ordre u′vu'v puis uv′uv' ne se permute pas.

1v\frac{1}{v} vv et v′v' −v′v2-\frac{v'}{v^{2}}

Exemple : (1x2+1)′=−2x(x2+1)2\left(\frac{1}{x^{2}+1}\right)'=\frac{-2x}{(x^{2}+1)^{2}}, soit −0,5-0{,}5 en x=1x=1. C'est la ligne du quotient avec u=1u=1, donc u′=0u'=0.

Le dénominateur v2v^{2} ne se développe pas : il sert ensuite au tableau de signes, où un carré est toujours positif et ne change donc jamais le signe de f′f'.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Écrire la tangente sans le facteur (x−a)\left(x-a\right)

1,5 point, et la droite obtenue ne touche même pas la courbe

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La tangente en 11 est y=f′(1)x+f(1)y=f'(1)x+f(1), soit y=2x+1y=2x+1. »

Ce qu'il faut écrire

« La tangente en 11 est y=f′(1)(x−1)+f(1)=2(x−1)+1=2x−1y=f'(1)\left(x-1\right)+f(1)=2\left(x-1\right)+1=2x-1. »

−2−1123−3−2−1123456y = x²(1 ; 1)y = 2x + 1y = 2x − 1
La tangente à y=x2y=x^{2} en 11 passe par (1 ;1)(1\,;1) : c'est y=2x−1y=2x-1 (vert). Sans le facteur (x−1)(x-1), on obtient une droite de même pente qui passe à côté du point (rouge).

Pourquoi : La formule est celle d'une droite passant par le point (a ;f(a))\left(a\,;f(a)\right) : le (x−a)\left(x-a\right) est ce qui l'y accroche. Le contrôle prend deux secondes : remplacer xx par aa doit redonner f(a)f(a).

2. Confondre f(a)f(a) et f′(a)f'(a) dans la lecture graphique

1 point par lecture fausse, et il y en a souvent trois dans la même question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La courbe passe par le point (2 ;5)\left(2\,;5\right), donc f′(2)=5f'(2)=5. »

Ce qu'il faut écrire

« La courbe passe par (2 ;5)\left(2\,;5\right), donc f(2)=5f(2)=5. Pour f′(2)f'(2), il faut lire le coefficient directeur de la tangente en ce point, par exemple avec un déplacement de +1+1 en abscisse. »

Pourquoi : Une hauteur se lit sur l'axe des ordonnées, une pente se lit sur l'inclinaison. Le repère : la pente d'une tangente est le nombre de carreaux montés quand on avance d'un carreau.

3. Dériver un produit en multipliant les dérivées

toute la question, et l'étude des variations qui en découle

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f(x)=(2x+1)(x2−3)f(x)=\left(2x+1\right)\left(x^{2}-3\right), donc f′(x)=2×2x=4xf'(x)=2\times 2x=4x. »

Ce qu'il faut écrire

« u=2x+1u=2x+1, v=x2−3v=x^{2}-3, u′=2u'=2, v′=2xv'=2x, donc f′(x)=2(x2−3)+(2x+1)×2x=6x2+2x−6f'(x)=2\left(x^{2}-3\right)+\left(2x+1\right)\times 2x=6x^{2}+2x-6. »

Pourquoi : La dérivation n'est pas multiplicative. Le contrôle imparable : développer d'abord, dériver ensuite, et comparer. Ici f(x)=2x3+x2−6x−3f(x)=2x^{3}+x^{2}-6x-3 donne bien f′(x)=6x2+2x−6f'(x)=6x^{2}+2x-6.

4. Inverser les deux termes du numérateur d'un quotient

toute la question : la dérivée obtenue est l'opposée de la vraie, donc le tableau de variations est inversé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« (uv)′=uv′−u′vv2\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{uv'-u'v}{v^{2}}. »

Ce qu'il faut écrire

« (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} : le terme qui commence par u′u' vient EN PREMIER. »

Pourquoi : L'ordre se retient sur un cas connu : (1x)′=−1x2\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^{2}} est négatif. Avec u=1u=1 et v=xv=x, la formule juste donne 0×x−1×1x2=−1x2\frac{0\times x-1\times 1}{x^{2}}=-\frac{1}{x^{2}}, la formule fausse donnerait +1x2+\frac{1}{x^{2}}.

5. Annoncer un extremum dès que la dérivée s'annule

1,5 point, et le tableau de variations est faux sur toute sa longueur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« g′(1)=0g'(1)=0, donc gg admet un extremum en 11. »

Ce qu'il faut écrire

« g′(x)=3(x−1)2≥0g'(x)=3\left(x-1\right)^{2}\ge 0, donc g′g' s'annule en 11 SANS changer de signe : la tangente y est horizontale, mais gg est croissante sur R\mathbb{R} et n'admet aucun extremum. »

−0,50,511,522,5−1−0,50,511,522,53tangente horizontaleet pourtant g croît
La tangente en x=1x=1 est horizontale, donc g′(1)=0g'(1)=0; et pourtant la courbe continue de monter, parce que g′g' ne change pas de signe. Une dérivée nulle ne fait pas un extremum.

Pourquoi : L'annulation de la dérivée est une condition nécessaire, jamais suffisante. C'est le CHANGEMENT de signe qui fait l'extremum, et il se lit sur le tableau, pas sur l'équation f′(x)=0f'(x)=0.

6. Lire la courbe de f′f' comme si c'était celle de ff

toute la question de lecture graphique, qui vaut souvent 3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La courbe de f′f' descend sur [1 ;6][1\,;6], donc ff est décroissante sur [1 ;6][1\,;6]. »

Ce qu'il faut écrire

« Sur [1 ;6][1\,;6], la courbe de f′f' reste AU-DESSUS de l'axe des abscisses, donc f′>0f'>0 et ff est croissante sur cet intervalle, même si f′f' y décroît. »

123456123456789courbe de fcourbe de f'
La courbe en pointillés est celle de f′f' : elle DESCEND, et pourtant elle reste au-dessus de l'axe, donc ff monte sans interruption. Position et sens de variation sont deux lectures différentes.

Pourquoi : Sur la courbe de f′f', seule la POSITION par rapport à l'axe compte pour les variations de ff. Le sens de variation de f′f' raconte autre chose : la façon dont la courbe de ff se creuse ou s'aplatit.

7. Dériver une racine ou un inverse sans regarder le domaine

1 point de rigueur, systématiquement retiré quand l'énoncé demande le domaine de dérivabilité

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f(x)=xf(x)=\sqrt{x} est dérivable sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[, avec f′(0)=120=0f'(0)=\frac{1}{2\sqrt{0}}=0. »

Ce qu'il faut écrire

« ff est définie sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[ mais dérivable seulement sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[, avec f′(x)=12xf'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}. En 00, la courbe admet une tangente VERTICALE. »

−11234−1−0,50,511,522,5tangente verticalef′(0) = 0 ?y = √x
En 00, la courbe de x\sqrt{x} part à la verticale : sa tangente est l'axe des ordonnées (vert), de pente infinie. Une tangente horizontale (rouge) ne la touche pas.

Pourquoi : Le domaine de dérivabilité est parfois plus petit que le domaine de définition, et la racine carrée en est l'exemple unique du programme. Le quotient 12x\frac{1}{2\sqrt{x}} explose quand xx tend vers 00, il ne tend pas vers 00.

8. Remplir le tableau de variations avec le signe de ff

toute la question, et la réponse est fausse même quand elle semble plausible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f(x)=x2−4f(x)=x^{2}-4 est négative sur ]−2 ;2[]-2\,;2[, donc ff décroît sur ]−2 ;2[]-2\,;2[. »

Ce qu'il faut écrire

« f′(x)=2xf'(x)=2x, négative sur ]−∞ ;0[]-\infty\,;0[ et positive sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[ : ff décroît sur ]−∞ ;0]]-\infty\,;0] puis croît sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[. Le signe de ff n'intervient pas. »

−3−2−1123−6−5−4−3−2−112345f < 0f′(0) = 0décroîtcroît
x2−4x^{2}-4 est négative sur ]−2 ;2[]-2\,;2[ (rouge), mais elle décroît jusqu'en 00 puis croît : c'est f′(x)=2xf'(x)=2x qui change de signe en 00, pas ff.

Pourquoi : Le signe de ff dit où la courbe est au-dessus ou au-dessous de l'axe; le signe de f′f' dit où elle monte ou descend. Ce sont deux tableaux différents, et l'énoncé demande parfois les deux à la suite.

9. Déclarer x puissance n dérivable sur R quand n est négatif

1 point pour le domaine, et toute la question si l'exposant est faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f(x)=1x2=x−2f(x)=\frac{1}{x^{2}}=x^{-2} est dérivable sur R\mathbb{R} et f′(x)=−2x−1f'(x)=-2x^{-1}. »

Ce qu'il faut écrire

« f(x)=x−2f(x)=x^{-2} est définie et dérivable sur ]−∞ ;0[]-\infty\,;0[ et sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[, avec f′(x)=−2x−3=−2x3f'(x)=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^{3}}. »

Pourquoi : Deux erreurs se cumulent. Le domaine : x−2=1x2x^{-2}=\frac{1}{x^{2}} n'existe pas en 00. L'exposant : n−1=−2−1=−3n-1=-2-1=-3, il s'éloigne de zéro. Le contrôle : la dérivée de l'inverse, −2xx4=−2x3-\frac{2x}{x^{4}}=-\frac{2}{x^{3}}, redonne le même résultat.

10. Lire le signe d'une dérivée sur le seul signe moins devant

toute la question de variations, la moitié du tableau étant fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f′(x)=−4x5f'(x)=-\frac{4}{x^{5}} a un signe moins devant, donc ff est décroissante. »

Ce qu'il faut écrire

« −4<0-4<0 et x5x^{5} a le signe de xx : f′(x)>0f'(x)>0 sur ]−∞ ;0[]-\infty\,;0[ et f′(x)<0f'(x)<0 sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[. Donc ff est croissante sur ]−∞ ;0[]-\infty\,;0[ et décroissante sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[. »

−3−2−1123−11234croissantedécroissantey = 1/x⁴
f(x)=1x4f(x)=\frac{1}{x^{4}} a pour dérivée −4x5-\frac{4}{x^{5}} : malgré le signe moins, ff croît à gauche de 00 et décroît à droite, car x5x^{5} change de signe.

Pourquoi : Un signe devant une fraction ne décide de rien tant que le dénominateur peut changer de signe. Une puissance IMPAIRE de xx au dénominateur change de signe en 00, une puissance paire jamais.

11. Oublier le facteur h dans l'approximation linéaire

toute la question, et un résultat absurde que personne ne relit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« 1,02≈1+121=1,5\sqrt{1{,}02}\approx\sqrt{1}+\frac{1}{2\sqrt{1}}=1{,}5. »

Ce qu'il faut écrire

« Avec a=1a=1 et h=0,02h=0{,}02 : 1+h≈1+12h=1+0,01=1,01\sqrt{1+h}\approx 1+\frac{1}{2}h=1+0{,}01=1{,}01. La calculatrice donne 1,009951{,}00995 : l'approximation est juste à 55 cent-millièmes près. »

Pourquoi : La formule est f(a)+f′(a)×hf(a)+f'(a)\times h : le nombre dérivé est une PENTE, il faut le multiplier par le déplacement. Le contrôle d'ordre de grandeur suffit : 1,02\sqrt{1{,}02} est à peine plus grand que 11, pas proche de 1,51{,}5.

12. Affirmer une parité sans regarder le domaine

toute la question, car c'est exactement ce qu'elle teste

Ce qu'il ne faut pas écrire

« s(x)=x2s(x)=x^{2} sur [−2 ;3][-2\,;3] est paire, car (−x)2=x2(-x)^{2}=x^{2}. »

Ce qu'il faut écrire

« 33 appartient à [−2 ;3][-2\,;3] mais −3-3 non : le domaine n'est pas symétrique par rapport à 00, donc ss n'est pas paire. »

−4−3−2−11234−112345678910(3 ; 9)hors domaine[−2 ; 3]
Sur [−2 ;3][-2\,;3], le point (3 ;9)(3\,;9) n'a pas de symétrique sur la courbe : −3-3 n'est pas dans le domaine (rouge). La formule (−x)2=x2(-x)^{2}=x^{2} ne suffit pas.

Pourquoi : La parité est une propriété de la FONCTION, domaine compris. La formule x2x^{2} est la même que pour la fonction carré sur R\mathbb{R}, mais s(−3)s(-3) n'existe pas : l'égalité s(−x)=s(x)s(-x)=s(x) ne peut pas être vraie pour tout xx du domaine.

13. Dériver la valeur absolue en 0

1 à 2 points, et la démonstration attendue est exactement ce calcul de taux des deux côtés

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ∣x∣|x| est définie sur R\mathbb{R}, donc dérivable sur R\mathbb{R}, et sa dérivée en 00 vaut 00. »

Ce qu'il faut écrire

« Pour h>0h>0, ∣h∣h=1\frac{|h|}{h}=1 ; pour h<0h<0, ∣h∣h=−1\frac{|h|}{h}=-1. Le taux n'a pas de limite en 00 : la valeur absolue n'est pas dérivable en 00, sa courbe y fait un angle. »

−2−1,5−1−0,50,511,52−0,50,511,52|x| : un anglex|x| : lisse
Trait plein, ∣x∣|x| : deux demi-droites de pentes −1-1 et 11 se rejoignent en angle, pas de tangente en 00. Pointillés, x∣x∣x|x| : la courbe passe à plat, sa tangente en 00 est l'axe.

Pourquoi : Être définie en un point ne suffit pas pour y être dérivable : la racine carrée l'avait déjà montré avec une tangente verticale, la valeur absolue le montre avec un angle. À l'inverse, x∣x∣x|x| a un taux ∣h∣|h| qui tend vers 00 : elle est dérivable en 00.

Quelle méthode choisir

Quelle formule selon la forme de l'expression

On regarde la structure de l'expression, avant de savoir ce que l'exercice demande. La question à se poser en premier : quelle est la DERNIÈRE opération effectuée ?

  • Si une somme de termes en xnx^{n} → dériver terme à terme, (xn)′=nxn−1\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}

    Exemple : 5x3−2x+75x^{3}-2x+7 a pour dérivée 15x2−215x^{2}-2

    Le terme constant disparaît. Un exposant 11 devient un exposant 00, donc une constante.

  • Si un nombre multiplie toute l'expression, ou la divise → sortir le nombre et dériver ce qui reste : (ku)′=ku′(ku)'=ku'

    Exemple : 3x2+15\frac{3x^{2}+1}{5} a pour dérivée 6x5\frac{6x}{5}

    Ne JAMAIS appliquer la formule du quotient quand le dénominateur est un nombre : c'est trois fois plus long et cela crée une erreur de signe.

  • Si un produit de deux expressions dépendant de xx → u′v+uv′u'v+uv', en posant uu, vv, u′u', v′v' au brouillon avant de remplacer

    Exemple : (2x+1)(x2−3)\left(2x+1\right)\left(x^{2}-3\right) a pour dérivée 2(x2−3)+(2x+1)2x2\left(x^{2}-3\right)+\left(2x+1\right)2x

    Si les deux facteurs sont des polynômes courts, développer d'abord va souvent plus vite et se contrôle mieux.

  • Si un quotient dont le dénominateur dépend de xx → u′v−uv′v2\frac{u'v-uv'}{v^{2}}, sans développer v2v^{2} au dénominateur

    Exemple : x+1x−2\frac{x+1}{x-2} a pour dérivée (x−2)−(x+1)(x−2)2=−3(x−2)2\frac{\left(x-2\right)-\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)^{2}}=\frac{-3}{\left(x-2\right)^{2}}

    Le dénominateur reste sous forme de carré : il est alors visiblement positif, et le signe de la dérivée se lit sur le seul numérateur.

  • Si une racine carrée ou un inverse → formule usuelle, et domaine de dérivabilité écrit AVANT

    Exemple : x\sqrt{x} a pour dérivée 12x\frac{1}{2\sqrt{x}} sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[

Aucune branche ne s'applique ? Développer l'expression avant de dériver : en Première, toute fonction rationnelle du programme se ramène à ces cinq cas. Une expression du type (2x+3)2\left(2x+3\right)^{2} se développe, la dérivée d'une composée n'est pas au programme de Première.

Quel outil selon le verbe de l'énoncé

Les questions du contrôle se ressemblent toutes. Le verbe désigne l'outil, et il n'y en a que huit.

  • Si « déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse aa » → calculer f(a)f(a), calculer f′(a)f'(a), remplacer dans y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)\left(x-a\right)+f(a), puis développer

    Exemple : f(x)=x2f(x)=x^{2} en a=1a=1 donne y=2(x−1)+1=2x−1y=2\left(x-1\right)+1=2x-1

  • Si « étudier les variations », « dresser le tableau de variations » → dériver, factoriser f′f', tableau de signes de f′f', flèches, puis valeurs aux bornes

  • Si « montrer que ff est croissante sur II » → montrer que f′≥0f'\ge 0 sur II, en factorisant, et conclure sur l'intervalle II précisément

  • Si « déterminer le maximum », « optimiser », « le plus grand volume » → poser la fonction et son domaine, dériver, tableau, et lire la valeur qui optimise PUIS l'optimum

    Exemple : V(x)=x(12−2x)2V(x)=x\left(12-2x\right)^{2} sur ]0 ;6[]0\,;6[ est maximal en x=2x=2, où V(2)=128V(2)=128

  • Si « la courbe admet-elle une tangente horizontale » → résoudre f′(x)=0f'(x)=0, puis vérifier si le signe change de part et d'autre

    Tangente horizontale et extremum ne sont pas la même question, et les sujets exploitent constamment cet écart.

  • Si un graphique de f′f' est donné et l'énoncé demande les variations de ff → lire la POSITION de la courbe par rapport à l'axe des abscisses, jamais son sens de variation

  • Si « donner une valeur approchée de f(a+h)f(a+h) », « sans calculatrice » → approximation linéaire f(a)+f′(a)hf(a)+f'(a)h, en écrivant aa et hh séparément

    Exemple : 1,003≈1+0,0032=1,0015\sqrt{1{,}003}\approx 1+\frac{0{,}003}{2}=1{,}0015

  • Si « étudier la parité », « la fonction est-elle paire ? » → vérifier d'abord que le domaine est symétrique, puis calculer f(−x)f(-x) pour tout xx et le comparer à f(x)f(x) et à −f(x)-f(x)

    Exemple : u(x)=x3−5xu(x)=x^{3}-5x : u(−x)=−x3+5x=−u(x)u(-x)=-x^{3}+5x=-u(x), impaire

    Pour répondre « ni l'une ni l'autre », un seul contre-exemple suffit, par exemple en 1 et en moins 1.

Le mot « conjecturer » n'appelle aucune dérivée : il demande la calculatrice et une phrase au conditionnel. C'est la question suivante qui demandera la démonstration, et elle rapporte trois fois plus.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle

Quand l'utiliser : La question type du contrôle, qui vaut à elle seule un tiers du sujet et sert de support à toutes les suivantes.

  1. 1 Annoncer l'intervalle d'étude et la dérivabilité. « ff est une fonction polynôme, donc dérivable sur R\mathbb{R}, et on l'étudie sur [0 ;6][0\,;6]. »
  2. 2 Calculer f′(x)f'(x) en écrivant uu, vv, u′u', v′v' quand il y a un produit ou un quotient. Le brouillon apparent rapporte le point de méthode.
  3. 3 FACTORISER f′(x)f'(x). C'est l'étape que les copies sautent, et sans elle le tableau de signes est impossible.
  4. 4 Résoudre f′(x)=0f'(x)=0 et étudier le signe de chaque facteur dans un tableau, ligne par ligne.
  5. 5 Reporter le signe de f′f' dans le tableau de variations et tracer les flèches.
  6. 6 Calculer les valeurs de ff aux bornes et aux extremums, et les placer aux extrémités des flèches.

Phrase de conclusion

f′(x)=(12−2x)(12−6x)f'(x)=\left(12-2x\right)\left(12-6x\right), positive sur [0 ;2][0\,;2] et négative sur [2 ;6][2\,;6]; donc ff est croissante sur [0 ;2][0\,;2] puis décroissante sur [2 ;6][2\,;6], et admet un maximum en x=2x=2.

Le piège : Écrire « ff est croissante puis décroissante » sans nommer les intervalles. Un sens de variation sans son intervalle ne vaut aucun point : c'est une propriété locale, pas une propriété de la fonction.

Barème : En général 1 point pour la dérivée, 1 point pour la factorisation, 1 point pour le tableau de signes, 1 point pour le tableau de variations complété.

Écrire l'équation d'une tangente

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé dit « tangente au point d'abscisse aa », ou « au point AA de la courbe ».

  1. 1 Poser aa explicitement, même s'il est évident. « Ici a=1a=1. »
  2. 2 Calculer f(a)f(a) et l'écrire seul sur une ligne.
  3. 3 Calculer f′(x)f'(x), puis f′(a)f'(a), et l'écrire seul sur une ligne. Ce sont deux calculs distincts, dans cet ordre.
  4. 4 Remplacer dans y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)\left(x-a\right)+f(a) sans rien simplifier d'abord.
  5. 5 Développer et réduire pour obtenir la forme y=mx+py=mx+p.
  6. 6 Vérifier : remplacer xx par aa dans le résultat doit redonner f(a)f(a).

Phrase de conclusion

La tangente à Cf\mathcal{C}_{f} au point d'abscisse 11 a pour équation y=f′(1)(x−1)+f(1)=2(x−1)+1y=f'(1)\left(x-1\right)+f(1)=2\left(x-1\right)+1, soit y=2x−1y=2x-1.

Le piège : Calculer f′(a)f'(a) en dérivant le nombre f(a)f(a) au lieu de dériver la fonction puis d'y remplacer xx par aa. La dérivée d'un nombre est nulle, et la tangente obtenue est horizontale à tort.

Barème : 0,5 point pour f(a)f(a), 1 point pour f′(a)f'(a), 0,5 point pour la formule appliquée, 0,5 point pour la forme réduite.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

La boîte de volume maximal, comme au contrôle

Dans une plaque carrée de 1212 cm de côté, on découpe aux quatre coins un carré de côté xx, puis on relève les bords pour former une boîte sans couvercle.

1. Justifier que le volume de la boîte est V(x)=x(12−2x)2V(x)=x\left(12-2x\right)^{2} et préciser l'intervalle sur lequel xx varie. 2. Déterminer la valeur de xx qui rend ce volume maximal, et calculer ce volume.

12 cmxx12 − 2x
La plaque de 1212 cm : on retire les quatre carrés gris de côté xx, puis on relève les bords le long des pointillés. Le fond est un carré de côté 12−2x12-2x, la hauteur vaut xx.

Étape 1

La base de la boîte est un carré de côté 12−2x12-2x et sa hauteur vaut xx, donc V(x)=x(12−2x)2V(x)=x\left(12-2x\right)^{2}. Il faut x>0x>0 et 12−2x>012-2x>0, donc x∈ ]0 ;6[x\in\,]0\,;6[.

Pourquoi

L'intervalle est la moitié des points de la première question, et c'est celle qui s'oublie. Le côté est diminué de 2x2x et non de xx : on découpe aux DEUX extrémités de chaque bord.

Étape 2

On pose u=xu=x et v=(12−2x)2v=\left(12-2x\right)^{2}. En développant v=144−48x+4x2v=144-48x+4x^{2}, on obtient V(x)=144x−48x2+4x3V(x)=144x-48x^{2}+4x^{3}, donc V′(x)=144−96x+12x2V'(x)=144-96x+12x^{2}.

Pourquoi

Développer d'abord évite la dérivation d'une composée, qui n'est pas au programme de Première. Le calcul est plus long de trente secondes et il ne comporte aucun risque.

Étape 3

V′(x)=12(x2−8x+12)=12(x−2)(x−6)V'(x)=12\left(x^{2}-8x+12\right)=12\left(x-2\right)\left(x-6\right), ce qui s'écrit aussi (12−2x)(12−6x)\left(12-2x\right)\left(12-6x\right).

Pourquoi

La factorisation n'est pas facultative : sans elle, le signe de V′V' est illisible. Mettre 1212 en facteur ramène à un trinôme unitaire, dont le discriminant vaut 64−48=1664-48=16.

Étape 4

Sur ]0 ;6[]0\,;6[, le facteur x−6x-6 est négatif. Donc V′(x)V'(x) est du signe de −(x−2)-\left(x-2\right) : positif sur ]0 ;2[]0\,;2[, nul en 22, négatif sur ]2 ;6[]2\,;6[.

Pourquoi

Réduire l'étude à un seul facteur variable est le geste qui fait gagner du temps : sur l'intervalle imposé, x−6x-6 ne change jamais de signe, donc il ne fait que retourner celui de l'autre.

Étape 5

VV croît sur ]0 ;2]]0\,;2] puis décroît sur [2 ;6[[2\,;6[ : elle admet un maximum en x=2x=2, et V(2)=2×82=128V(2)=2\times 8^{2}=128.

Pourquoi

Le changement de signe de V′V' est ce qui autorise le mot « maximum ». Sans lui, on n'aurait le droit d'écrire que « tangente horizontale en 22 ».

Étape 6

Vérification : V(1)=1×100=100V(1)=1\times 100=100, V(3)=3×36=108V(3)=3\times 36=108, V(1,9)≈127,8V(1{,}9)\approx 127{,}8 et V(2,1)≈127,8V(2{,}1)\approx 127{,}8, toutes inférieures à 128128.

Pourquoi

Quatre valeurs calculées en trente secondes, dont deux très proches du maximum. Elles prouvent l'extremum sans refaire l'étude, et elles auraient détecté une factorisation fausse.

Conclusion rédigée

Le volume de la boîte est maximal lorsqu'on découpe aux coins des carrés de 22 cm de côté, et ce volume maximal vaut 128128 cm cubes.

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre « le volume maximal est 22 » en confondant la valeur de xx et celle du volume. L'énoncé demande deux nombres distincts, et la conclusion doit les nommer tous les deux avec leur unité.

À savoir par cœur

  • • f(a)f(a) est une hauteur, f′(a)f'(a) est une pente. Les deux se lisent au même point et ne se comparent pas.
  • • Tangente en aa : y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)\left(x-a\right)+f(a). Le contrôle : x=ax=a doit redonner f(a)f(a).
  • • (uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv', DEUX termes. (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}, le u′vu'v en premier.
  • • (x)′=12x\left(\sqrt{x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}} sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[ seulement : la racine n'est pas dérivable en 00.
  • • Le tableau de variations se remplit avec le signe de f′f', jamais avec les valeurs de ff.
  • • Un extremum demande que f′f' CHANGE de signe. f′(a)=0f'(a)=0 seul ne donne qu'une tangente horizontale.
  • • Une dérivée qu'on ne parvient pas à factoriser est presque toujours mal calculée.
  • • Sur la courbe de f′f', c'est la position par rapport à l'axe qui donne les variations de ff, pas le sens de variation de f′f'.
  • • (xn)′=nxn−1(x^{n})'=nx^{n-1} pour tout entier nn, sur R∗\mathbb{R}^{*} si n≤−1n\leq -1 : (1x4)′=−4x5\left(\frac{1}{x^{4}}\right)'=-\frac{4}{x^{5}}.
  • • Approximation linéaire : f(a+h)≈f(a)+f′(a)hf(a+h)\approx f(a)+f'(a)h ; en 11, 1+2h1+2h, 1−h1-h, 1+h21+\frac{h}{2}.
  • • Paire : domaine symétrique et f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) ; impaire : f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x). Un exemple réfute, il ne démontre pas.
  • • ∣x∣|x| n'est pas dérivable en 00 : taux 11 à droite, −1-1 à gauche.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre f de a et f prime de a ?

Le premier est la hauteur du point de la courbe d'abscisse a, lue sur l'axe vertical. Le second est le coefficient directeur de la tangente en ce point, c'est-à-dire son inclinaison. Les deux se lisent au même endroit de la courbe et ne mesurent pas la même chose, donc ils n'ont aucune raison d'être égaux.

Comment écrire l'équation d'une tangente sans se tromper ?

On pose d'abord les trois nombres séparément : la valeur de a, celle de la fonction en a, celle de la dérivée en a. On remplace ensuite dans la formule qui donne y égal à la dérivée en a multipliée par x moins a, le tout ajouté à la valeur de la fonction en a. Le contrôle final consiste à remplacer x par a : on doit retrouver la valeur de la fonction.

Comment montrer qu'une fonction est paire ou impaire ?

On vérifie d'abord que l'ensemble de définition est symétrique par rapport à zéro. On calcule ensuite f de moins x pour un x quelconque : s'il vaut toujours f de x, la fonction est paire et sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; s'il vaut toujours l'opposé, elle est impaire et sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. Un seul exemple chiffré ne démontre rien, il sert seulement à prouver qu'une fonction n'est ni paire ni impaire.

Est-ce qu'une dérivée nulle signifie toujours un maximum ou un minimum ?

Non. Une dérivée nulle signifie seulement que la tangente est horizontale en ce point. Pour qu'il y ait un extremum, il faut en plus que la dérivée change de signe de part et d'autre. La fonction cube en zéro a une dérivée nulle et pourtant elle est croissante partout, donc elle n'admet aucun extremum.

Comment lire les variations de f sur la courbe de sa dérivée ?

On regarde uniquement la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses. Là où elle est au-dessus, la dérivée est positive, donc la fonction croît. Là où elle est au-dessous, la fonction décroît. Le sens de variation de la courbe de la dérivée ne dit rien des variations de la fonction elle-même.

Qu'est-ce que l'approximation linéaire d'une fonction en un point ?

C'est remplacer la fonction, près d'un point a, par sa tangente en ce point. La valeur en a plus h est alors à peu près la valeur en a, plus le nombre dérivé en a multiplié par h. Près de un, le carré de un plus h vaut environ un plus deux h, l'inverse environ un moins h, la racine environ un plus h sur deux. L'erreur est de l'ordre de h au carré, donc très petite quand h est petit.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La dérivation

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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La fonction exponentielle Limites et continuité Terminale Dérivation et trigonométrie Terminale Mouvement dans un champ uniforme Terminale, Physique-chimie

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/1spe-derivation. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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