Exercices corrigés : la fonction exponentielle (Première spécialité)

a) On applique les règles sur les exposants, en traitant la division comme une soustraction : $A=\mathrm{e}^{3-5-(-4)}=\mathrm{e}^{3-5+4}=\mathrm{e}^{2}$. Le signe du dernier exposant est le piège de la question : diviser par $\mathrm{e}^{-4}$ revient à MULTIPLIER par $\mathrm{e}^{4}$, et l'oubli de ce double signe moins donne $\mathrm{e}^{-6}$, soit une réponse fausse d'un facteur $\mathrm{e}^{8}$.

b) $\left(\mathrm{e}^{2x}\right)^{3}=\mathrm{e}^{2x\times 3}=\mathrm{e}^{6x}$, une puissance de puissance MULTIPLIANT les exposants, puis $B=\mathrm{e}^{6x}\times\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{6x-x}=\mathrm{e}^{5x}$. Il faut bien distinguer les deux règles : $\left(\mathrm{e}^{a}\right)^{b}=\mathrm{e}^{ab}$ pour une puissance, mais $\mathrm{e}^{a}\times\mathrm{e}^{b}=\mathrm{e}^{a+b}$ pour un produit.

c) On reconnaît l'identité $(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab$, qui évite de développer deux carrés. Avec $a=\mathrm{e}^{x}$ et $b=\mathrm{e}^{-x}$ : $C=4\,\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{-x}=4\,\mathrm{e}^{x-x}=4\,\mathrm{e}^{0}=4$. Le résultat est une CONSTANTE, indépendante de $x$, ce qui surprend toujours et se vérifie facilement : en $x=0$, $C=(1+1)^{2}-(1-1)^{2}=4$ ✓, et en $x=1$, $C=(2{,}718+0{,}368)^{2}-(2{,}718-0{,}368)^{2}=9{,}524-5{,}524=4$ ✓.

d) Les deux fractions ont déjà le même dénominateur, il suffit donc d'additionner les numérateurs : $D=\frac{\mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{x}+1}=1$. La simplification est licite parce que $\mathrm{e}^{x}+1>0$ ne s'annule JAMAIS, l'exponentielle étant strictement positive : il n'y a donc aucune valeur interdite à écarter, contrairement à ce qui se passerait avec un dénominateur polynomial.

Les quatre questions reposent sur un seul fait, qu'il vaut mieux comprendre que mémoriser : l'exponentielle transforme les SOMMES en PRODUITS. C'est ce qui explique la règle $\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}$, dont toutes les autres découlent, et c'est aussi pourquoi $\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{0}=1$ fait de $\mathrm{e}^{-x}$ l'INVERSE de $\mathrm{e}^{x}$. Ce dernier point mérite d'être retenu tel quel : le signe moins en exposant ne rend pas l'exponentielle négative, il la retourne. C'est l'erreur que l'exercice 9 reprendra.

a) On écrit le membre de droite sous forme exponentielle : $1=\mathrm{e}^{0}$. L'exponentielle étant strictement croissante, donc INJECTIVE, l'égalité $\mathrm{e}^{a}=\mathrm{e}^{b}$ équivaut à $a=b$. Ici $2x-1=0$, soit $x=\frac{1}{2}$. La justification par l'injectivité est ce qui rend le passage légitime, et elle doit figurer sur la copie.

b) Par stricte croissance, l'équation équivaut à $x^{2}=3x-2$, c'est-à-dire $x^{2}-3x+2=0$. Le discriminant vaut $9-8=1$, donc $x=\frac{3\pm 1}{2}$, soit $x=1$ et $x=2$. Contrôle par la somme et le produit : $1+2=3=-\frac{b}{a}$ ✓ et $1\times 2=2=\frac{c}{a}$ ✓.

c) La stricte croissance vaut aussi pour les INÉGALITÉS, et sans changement de sens : $\mathrm{e}^{x}\geq\mathrm{e}^{4-x}$ équivaut à $x\geq 4-x$, soit $2x\geq 4$ et $x\geq 2$. L'ensemble des solutions est $[2\,;\,+\infty[$. Contrôle : en $x=3$, $\mathrm{e}^{3}\approx 20{,}09$ face à $\mathrm{e}^{1}\approx 2{,}72$, l'inégalité tient ✓ ; en $x=1$, $\mathrm{e}\approx 2{,}72$ face à $\mathrm{e}^{3}\approx 20{,}09$, elle ne tient pas ✓.

d) Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est, et il faut traiter les deux. Premier facteur : $\mathrm{e}^{x}-1=0$ donne $\mathrm{e}^{x}=1=\mathrm{e}^{0}$, soit $x=0$. Second facteur : $\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^{x+3}=0$ donne $\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^{x+3}$, soit $2x=x+3$ et $x=3$. L'ensemble des solutions est $\{0\,;\,3\}$.

L'énoncé annonçait qu'aucun logarithme n'est nécessaire, et c'est le point de méthode central de cet exercice. Tant que les deux membres s'écrivent comme des exponentielles, on identifie les exposants et l'on retombe sur une équation ou une inéquation ordinaire. Le logarithme ne devient indispensable que lorsqu'un membre est un nombre qui n'est PAS une puissance évidente de $\mathrm{e}$, comme dans $\mathrm{e}^{x}=5$. Une dernière précaution : on n'écrit jamais $\mathrm{e}^{x}=-2$ suivi d'un logarithme, car cette équation n'a tout simplement pas de solution, ce que l'exercice 9 rappellera.

a) $f'(x)=\mathrm{e}^{x}+6x$. La dérivée de l'exponentielle est elle-même : c'est sa définition, et c'est l'unique fonction non nulle qui possède cette propriété avec $f(0)=1$. Le terme $3x^{2}$ se dérive séparément par linéarité.

b) Formule du produit : $g'(x)=1\times\mathrm{e}^{x}+x\times\mathrm{e}^{x}=(1+x)\mathrm{e}^{x}$. On FACTORISE systématiquement par l'exponentielle, non par élégance mais parce que le signe de $g'$ se lira ensuite sur le seul facteur $1+x$.

c) Exponentielle d'une fonction affine : $h'(x)=3\,\mathrm{e}^{3x-2}$. Le facteur $3$ est le coefficient de $x$ dans l'exposant ; l'oublier est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Le contrôle mental consiste à tester le cas $u(x)=x$, où le facteur vaut $1$ et où l'on retombe sur $\left(\mathrm{e}^{x}\right)'=\mathrm{e}^{x}$ ✓, ce qui explique justement pourquoi on oublie si facilement un facteur habituellement invisible.

d) Produit, avec $\left(\mathrm{e}^{-x}\right)'=-\mathrm{e}^{-x}$, le facteur valant ici $-1$ : $k'(x)=2\,\mathrm{e}^{-x}+(2x+1)\times\left(-\mathrm{e}^{-x}\right)=\left(2-2x-1\right)\mathrm{e}^{-x}=(1-2x)\mathrm{e}^{-x}$. Le développement de la parenthèse est le second point de vigilance, le signe moins portant sur les DEUX termes de $2x+1$.

Une remarque qui vaut pour tout le chapitre : après avoir dérivé une expression contenant une exponentielle, le résultat se met TOUJOURS sous la forme $Q(x)\,\mathrm{e}^{u(x)}$ où $Q$ est un polynôme ou une fraction rationnelle. Cette forme n'est pas un hasard, elle vient de ce que l'exponentielle se reproduit en se dérivant. Sa conséquence pratique est décisive et sera exploitée aux exercices 5 et 6 : comme l'exponentielle est strictement positive, le signe de la dérivée est entièrement porté par $Q$, et l'étude de signe se ramène à celle d'un polynôme.

a) Formule du produit : $f'(x)=1\times\mathrm{e}^{x}+(x-1)\times\mathrm{e}^{x}=\left(1+x-1\right)\mathrm{e}^{x}=x\,\mathrm{e}^{x}$. La simplification du crochet est ce qui rend la suite facile, le facteur polynomial se réduisant au seul $x$.

b) Comme $\mathrm{e}^{x}>0$ pour tout réel, $f'(x)$ a exactement le signe de $x$ : négatif sur $]-\infty\,;\,0[$, nul en $0$, positif sur $]0\,;\,+\infty[$. Donc $f$ est strictement DÉCROISSANTE sur $]-\infty\,;\,0]$ puis strictement CROISSANTE sur $[0\,;\,+\infty[$. Il n'y a qu'un seul changement de sens sur tout $\mathbb{R}$.

c) Le minimum est donc atteint en $x=0$ et vaut $f(0)=(0-1)\mathrm{e}^{0}=-1\times 1=-1$. Il s'agit d'un minimum GLOBAL et non seulement local, puisque la fonction ne fait que décroître avant et que croître après : aucune autre valeur ne peut descendre plus bas.

d) En $0$ : $f(0)=-1$ et $f'(0)=0\times\mathrm{e}^{0}=0$, donc la tangente est HORIZONTALE, d'équation $y=-1$. C'est cohérent avec c), une tangente horizontale étant la signature d'un extremum. En $1$ : $f(1)=(1-1)\mathrm{e}^{1}=0$ et $f'(1)=1\times\mathrm{e}=\mathrm{e}$, donc la tangente a pour équation $y=\mathrm{e}(x-1)$, soit $y=\mathrm{e}x-\mathrm{e}$.

Deux observations pour finir. La tangente en $1$ coupe l'axe des abscisses exactement au point où la courbe le coupe, ce qui n'a rien de mystérieux : le point de tangence $(1\,;\,0)$ appartient aux deux, et il est justement sur l'axe puisque $f(1)=0$. Par ailleurs il faut noter que $f$ prend des valeurs NÉGATIVES alors qu'elle contient une exponentielle : c'est le facteur $x-1$ qui fournit le signe, l'exponentielle n'apportant qu'un coefficient positif. Confondre le signe de $f$ avec celui de l'exponentielle qu'elle contient est une erreur fréquente, et c'est l'objet de l'exercice suivant.

a) Deux arguments sont nécessaires, l'un pour la positivité au sens large et l'autre pour exclure zéro. D'abord $\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}}=\left(\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}\right)^{2}\geq 0$, comme tout carré. Ensuite $\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{0}=1\neq 0$, ce qui interdit à $\mathrm{e}^{x}$ d'être nul, un produit contenant un facteur nul étant nul. En combinant : $\mathrm{e}^{x}>0$ strictement, pour tout réel $x$.

b) Le facteur $\mathrm{e}^{x}$ étant strictement positif, l'expression a exactement le signe de $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$, trinôme de coefficient dominant positif : positive sur $]-\infty\,;\,-2[$, négative sur $]-2\,;\,2[$, positive sur $]2\,;\,+\infty[$, et nulle en $-2$ et en $2$. On notera que les zéros de l'expression sont ceux du polynôme SEUL, l'exponentielle n'en apportant aucun.

c) Comme $\mathrm{e}^{2x}>0$, l'inéquation équivaut à $3-x\geq 0$, soit $x\leq 3$. L'ensemble des solutions est $]-\infty\,;\,3]$, borne INCLUSE puisque l'inégalité est large et que l'expression s'annule effectivement en $3$.

d) On FACTORISE d'abord, ce qui est le geste attendu : $\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x}\left(1-\mathrm{e}^{x}\right)$. Le premier facteur est strictement positif, donc l'expression a le signe de $1-\mathrm{e}^{x}$, qui est positif lorsque $\mathrm{e}^{x}<1=\mathrm{e}^{0}$, c'est-à-dire lorsque $x<0$ par stricte croissance. L'expression est donc strictement positive sur $]-\infty\,;\,0[$, nulle en $0$, strictement négative sur $]0\,;\,+\infty[$.

La méthode est la même dans les quatre cas et se résume en une phrase : on isole l'exponentielle en FACTEUR, on l'écarte parce qu'elle est strictement positive, et l'on étudie le signe de ce qui reste. La question d) ajoute la seule difficulté réelle, qui est de reconnaître qu'une SOMME de deux exponentielles peut se factoriser : $\mathrm{e}^{2x}=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}$ permet de mettre $\mathrm{e}^{x}$ en évidence. Une erreur à éviter absolument, et l'on en verra une variante à l'exercice 9 : on ne simplifie jamais une somme d'exponentielles terme à terme, $\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{2x}$ ne valant surtout pas $\mathrm{e}^{-x}$.

a) Formule du produit, en n'oubliant pas que $\left(\mathrm{e}^{-x}\right)'=-\mathrm{e}^{-x}$ : $f'(x)=2x\,\mathrm{e}^{-x}+\left(x^{2}-3\right)\times\left(-\mathrm{e}^{-x}\right)=\left(2x-x^{2}+3\right)\mathrm{e}^{-x}=-\left(x^{2}-2x-3\right)\mathrm{e}^{-x}$. Le trinôme $x^{2}-2x-3$ a pour racines évidentes $3$ et $-1$, de somme $2$ et de produit $-3$, d'où $f'(x)=-\left(x-3\right)\left(x+1\right)\mathrm{e}^{-x}$ ✓.

b) Comme $\mathrm{e}^{-x}>0$, la dérivée a le signe de $-\left(x-3\right)\left(x+1\right)$, c'est-à-dire l'OPPOSÉ du signe d'un trinôme de coefficient dominant positif et de racines $-1$ et $3$. Elle est donc négative à l'extérieur de $[-1\,;\,3]$ et positive entre. Ainsi $f$ décroît sur $]-\infty\,;\,-1]$, croît sur $[-1\,;\,3]$, puis décroît sur $[3\,;\,+\infty[$. Contrôle sur un point par plage : $f'(-2)<0$, $f'(1)>0$ et $f'(4)<0$ ✓.

c) Minimum local en $x=-1$ : $f(-1)=\left((-1)^{2}-3\right)\mathrm{e}^{1}=(1-3)\mathrm{e}=-2\mathrm{e}\approx-5{,}44$. Maximum local en $x=3$ : $f(3)=\left(9-3\right)\mathrm{e}^{-3}=6\,\mathrm{e}^{-3}\approx 0{,}30$. L'écart entre les deux extremums est frappant, presque un facteur vingt en valeur absolue : l'exponentielle décroissante ÉCRASE le maximum, alors qu'elle amplifie le minimum situé du côté des $x$ négatifs.

d) Avec l'axe des ordonnées, il y a toujours au plus un point, obtenu en $x=0$ : $f(0)=(0-3)\times 1=-3$, donc le point $(0\,;\,-3)$. Avec l'axe des abscisses, on résout $f(x)=0$, ce qui équivaut à $x^{2}-3=0$ puisque $\mathrm{e}^{-x}$ ne s'annule jamais : d'où $x=-\sqrt{3}\approx-1{,}73$ et $x=\sqrt{3}\approx 1{,}73$, soit deux points.

Il vaut la peine de se représenter l'allure obtenue, car elle est typique des fonctions de la forme polynôme fois exponentielle décroissante. La courbe part de $+\infty$ en $-\infty$, l'exponentielle $\mathrm{e}^{-x}$ y explosant tandis que $x^{2}-3$ tend aussi vers $+\infty$ ; elle plonge jusqu'à $-2\mathrm{e}$ en $-1$, traverse l'axe en $-\sqrt{3}$, remonte en coupant l'axe en $\sqrt{3}$, culmine faiblement à $6\mathrm{e}^{-3}$ en $3$, puis retombe vers $0$ par valeurs positives. C'est l'exponentielle qui gouverne les deux extrémités, et le polynôme qui gouverne le milieu : cette répartition des rôles est le fil de tout le chapitre.

a) $Q(0)=12\,\mathrm{e}^{0}=12\times 1=12$ mg, ce qui correspond bien à la dose injectée : le modèle est cohérent avec l'énoncé. Ensuite $Q(4)=12\,\mathrm{e}^{-0{,}25\times 4}=12\,\mathrm{e}^{-1}\approx 4{,}41$ mg. Cela représente $\frac{4{,}41}{12}\approx 37\ \%$ de la dose : après quatre heures, près des deux tiers du médicament ont été éliminés.

b) $\frac{Q(t+1)}{Q(t)}=\frac{12\,\mathrm{e}^{-0{,}25(t+1)}}{12\,\mathrm{e}^{-0{,}25t}}=\mathrm{e}^{-0{,}25t-0{,}25+0{,}25t}=\mathrm{e}^{-0{,}25}\approx 0{,}7788$. Le $t$ DISPARAÎT, le rapport ne dépend donc pas de l'instant considéré. Chaque heure, il reste environ $77{,}88\ \%$ de ce qu'il y avait, autrement dit environ $22{,}12\ \%$ du médicament présent est éliminé. La quantité éliminée, elle, diminue avec le temps : c'est le POURCENTAGE qui est constant, pas la variation.

c) D'après b), $Q(n+1)=\mathrm{e}^{-0{,}25}\times Q(n)$ pour tout entier naturel $n$ : on passe d'un terme au suivant en multipliant par une constante, ce qui est exactement la définition d'une suite GÉOMÉTRIQUE. Sa raison est $\mathrm{e}^{-0{,}25}\approx 0{,}78$ et son premier terme $Q(0)=12$. C'est la propriété caractéristique des modèles exponentiels, et elle fait le pont avec le chapitre sur les suites.

d) On tabule à la calculatrice autour du seuil, en encadrant : $Q(9{,}9)=12\,\mathrm{e}^{-2{,}475}\approx 1{,}01$ mg, encore au-dessus, et $Q(10)=12\,\mathrm{e}^{-2{,}5}\approx 0{,}99$ mg, en dessous. Le premier instant demandé est donc $t=10{,}0$ heures. Comme $Q$ est strictement décroissante, la quantité reste ensuite définitivement sous $1$ mg, et il n'y a pas d'autre franchissement à chercher.

Le résultat de b) explique pourquoi un médicament ne s'élimine jamais complètement dans ce modèle : à chaque heure il en reste une FRACTION fixe, donc jamais rien. La quantité tend vers $0$ sans l'atteindre, et c'est la raison pour laquelle la pharmacologie raisonne en DEMI-VIE plutôt qu'en durée totale. On la trouve à la calculatrice en cherchant quand il reste la moitié : $\mathrm{e}^{-0{,}25T}=0{,}5$ pour $T\approx 2{,}77$ heures. Toutes les $2{,}77$ heures, la quantité est divisée par deux, indépendamment de la dose initiale, ce qui se vérifie sur les valeurs déjà calculées : $12$ mg au départ, environ $6$ mg à $2{,}77$ h, environ $3$ mg à $5{,}55$ h ✓.

a) $g'(x)=\mathrm{e}^{x}-1$, la dérivée de $-x-1$ valant $-1$. Pour en étudier le signe, on résout $\mathrm{e}^{x}\geq 1$, c'est-à-dire $\mathrm{e}^{x}\geq\mathrm{e}^{0}$, ce qui équivaut à $x\geq 0$ par stricte croissance de l'exponentielle. Donc $g'$ est négative sur $]-\infty\,;\,0[$, nulle en $0$ et positive sur $]0\,;\,+\infty[$.

b) La fonction $g$ décroît donc sur $]-\infty\,;\,0]$ puis croît sur $[0\,;\,+\infty[$. Son minimum est atteint en $x=0$ et vaut $g(0)=\mathrm{e}^{0}-0-1=1-0-1=0$. Le fait que ce minimum tombe exactement sur $0$ n'est pas une coïncidence, c'est ce qui rend la démonstration concluante.

c) Puisque le minimum de $g$ vaut $0$, on a $g(x)\geq 0$ pour tout réel $x$, c'est-à-dire $\mathrm{e}^{x}-x-1\geq 0$, soit $\mathrm{e}^{x}\geq x+1$ ✓. L'égalité n'a lieu QU'EN $x=0$, puisque $g$ est strictement monotone de part et d'autre et ne peut donc reprendre la valeur $0$ ailleurs. Géométriquement, la droite d'équation $y=x+1$ est la TANGENTE à la courbe de l'exponentielle au point d'abscisse $0$, comme le confirme le calcul $\left(\mathrm{e}^{x}\right)'_{x=0}=1$ et $\mathrm{e}^{0}=1$, et la courbe reste toujours au-dessus de cette tangente.

d) En prenant $x=0{,}1$, l'inégalité donne $\mathrm{e}^{0{,}1}\geq 1{,}1$. La calculatrice donne $\mathrm{e}^{0{,}1}\approx 1{,}1052$, ce qui confirme l'inégalité avec un écart de seulement $0{,}0052$. En revanche, pour $x=-1$ elle ne donne que $\mathrm{e}^{-1}\geq 0$, information correcte mais très grossière puisque $\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}368$ : l'inégalité est d'autant plus FINE que $x$ est proche de $0$, ce qui est logique puisqu'on y touche la tangente.

Cette inégalité est l'une des deux les plus utilisées de toute la Terminale, avec sa jumelle $\ln x\leq x-1$, et la méthode qui la produit vaut mieux que le résultat lui-même. Le schéma est invariable : pour démontrer $A(x)\geq B(x)$, on étudie la DIFFÉRENCE $g=A-B$ et l'on montre que son minimum est positif. Il fonctionne pour n'importe quelle paire de fonctions dérivables, et il évite toute manipulation d'inégalité, qui est la source d'erreur habituelle. On notera enfin la conséquence la plus utile de $\mathrm{e}^{x}\geq x+1$ : elle prouve à elle seule que l'exponentielle tend vers $+\infty$ en $+\infty$, puisqu'elle est minorée par une droite qui y tend elle-même.

a) Faux : l'exponentielle transforme les sommes en PRODUITS, pas en sommes. La formule correcte est $\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}$. Contre-exemple avec $a=b=1$ : le membre de gauche vaut $\mathrm{e}^{2}\approx 7{,}39$, tandis que le membre de droite annoncé vaudrait $\mathrm{e}+\mathrm{e}=2\mathrm{e}\approx 5{,}44$. Les deux diffèrent de près de $2$, l'égalité est donc bien fausse.

b) Faux : il manque le facteur donné par le coefficient de $x$ dans l'exposant. La bonne réponse est $3\,\mathrm{e}^{3x}$. Le contrôle numérique tranche immédiatement : en $x=0$, la vraie pente vaut $3$ et non $1$, comme le confirme un taux d'accroissement entre $0$ et $0{,}001$, qui donne environ $3{,}005$.

c) Faux : l'équation n'a AUCUNE solution, ni négative ni positive. Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x}>0$, donc l'exponentielle ne prend jamais de valeur négative. La confusion vient de ce qu'un exposant négatif donne un résultat PETIT, mais toujours strictement positif : $\mathrm{e}^{-10}\approx 0{,}0000454$, ce qui est proche de zéro sans jamais être négatif. Signe de l'exposant et signe du résultat sont deux choses sans rapport.

d) Faux : $\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}=\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x+x}=\mathrm{e}^{2x}$, et non $\mathrm{e}^{x^{2}}$. Contre-exemple avec $x=3$ : $\mathrm{e}^{6}\approx 403{,}4$ tandis que $\mathrm{e}^{9}\approx 8\,103{,}1$, soit vingt fois plus. Les deux écritures ne coïncident que lorsque $2x=x^{2}$, c'est-à-dire pour $x=0$ et $x=2$, deux valeurs particulières qui ne prouvent rien en général.

Les quatre erreurs se ramènent à deux confusions qu'il vaut mieux nommer pour ne plus les commettre. Les affirmations a) et d) confondent les RÈGLES D'EXPOSANTS, en additionnant là où il faut multiplier ou en élevant l'exposant au carré au lieu de le doubler ; le remède est de toujours revenir à la seule règle fondatrice, $\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}$, dont toutes les autres se déduisent. Les affirmations b) et c) portent sur les PROPRIÉTÉS de la fonction, le facteur intérieur oublié dans la dérivée d'une composée et la stricte positivité méconnue. Une habitude protège des quatre : tester la formule douteuse sur une valeur simple, en général $x=1$ ou $x=3$, ce qui démolit une fausse identité en dix secondes.

a) À $t=5$ : $C_{A}(5)=1\,000+80\times 5=1\,400$ dollars, et $C_{B}(5)=1\,000\,\mathrm{e}^{0{,}3}\approx 1\,349{,}86$ dollars. La formule A est en avance de plus de $50$ dollars. À $t=10$ : $C_{A}(10)=1\,000+800=1\,800$ dollars, et $C_{B}(10)=1\,000\,\mathrm{e}^{0{,}6}\approx 1\,822{,}12$ dollars. La formule B est passée devant, avec $22{,}12$ dollars d'avance. Le croisement a donc eu lieu entre la cinquième et la dixième année.

b) La formule A ajoute chaque année $80$ dollars, un montant FIXE : sa croissance est affine et son graphique est une droite. La formule B multiplie chaque année le capital par $\mathrm{e}^{0{,}06}\approx 1{,}0618$, soit un gain de $6{,}18\ \%$ qui porte sur un capital lui-même croissant : le montant ajouté AUGMENTE d'année en année. Concrètement, la onzième année, la formule B rapporte déjà environ $113$ dollars contre toujours $80$ pour la formule A. Une croissance exponentielle finit donc toujours par dépasser une croissance affine, quel que soit le retard initial, parce que son gain annuel croît sans borne tandis que l'autre reste constant.

c) On tabule les deux fonctions au voisinage du croisement. À $t=9{,}1$ : $C_{A}=1\,000+728=1\,728$ dollars et $C_{B}\approx 1\,726{,}33$ dollars, la formule A mène encore de moins de deux dollars. À $t=9{,}2$ : $C_{A}=1\,736$ dollars et $C_{B}\approx 1\,736{,}72$ dollars, la formule B est passée devant. L'instant cherché est donc $t\approx 9{,}2$ années, soit courant mars 2035.

d) À $t=20$ : $C_{A}(20)=1\,000+1\,600=2\,600$ dollars et $C_{B}(20)=1\,000\,\mathrm{e}^{1{,}2}\approx 3\,320{,}12$ dollars, soit un écart de $720{,}12$ dollars en faveur de la formule B. Le conseil dépend donc ENTIÈREMENT de l'horizon de placement : pour moins de neuf ans la formule A est meilleure, au-delà la formule B l'emporte, et l'écart grandit ensuite très vite.

Deux enseignements méritent d'être formulés, car un problème de synthèse les attend. Le premier est méthodologique : comparer deux modèles sur une SEULE valeur ne prouve jamais rien, et l'on aurait conclu à l'inverse en s'arrêtant à la cinquième année. Il faut comparer les NATURES de croissance, ce que fait la question b), avant de comparer des montants. Le second est financier : un taux continu de $6\ \%$ correspond en réalité à un taux annuel effectif de $6{,}18\ \%$, l'écart venant de la capitalisation continue, et c'est cette différence entre taux affiché et taux effectif que les publicités exploitent volontiers. On peut vérifier la cohérence du tout sur trente ans, où l'écart atteindrait $1\,000\,\mathrm{e}^{1{,}8}-3\,400\approx 2\,650$ dollars, près de quatre fois celui de vingt ans.