Exercice 0.1 : Simplifier et résoudre avec l'exponentielle : onze calculs directs

Pour a), b) et c), écrivez l'expression sous la forme d'une seule exponentielle et donnez son exposant. Pour d) à k), résolvez dans $\mathbb{R}$ et donnez la solution demandée, ou l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

Une seule méthode pour les onze lignes : ramener chaque membre à UNE exponentielle avec $\mathrm{e}^{a}\times\mathrm{e}^{b}=\mathrm{e}^{a+b}$ , $\frac{\mathrm{e}^{a}}{\mathrm{e}^{b}}=\mathrm{e}^{a-b}$ et $\left(\mathrm{e}^{a}\right)^{n}=\mathrm{e}^{na}$ , puis comparer les exposants : $\mathrm{e}^{A}=\mathrm{e}^{B}$ équivaut à $A=B$ et $\mathrm{e}^{A}<\mathrm{e}^{B}$ à $A<B$ , parce que l'exponentielle est strictement croissante. Aucun logarithme n'est nécessaire.

a) $A=\frac{\mathrm{e}^{7}}{\mathrm{e}^{2}\times\mathrm{e}^{-1}}$ : donnez l'exposant $k$ tel que $A=\mathrm{e}^{k}$ .
b) $B=\left(\mathrm{e}^{3}\right)^{-2}\times\mathrm{e}^{4}\times\mathrm{e}$ : donnez l'exposant $k$ tel que $B=\mathrm{e}^{k}$ .
c) $C=\frac{\mathrm{e}^{3x}\times\mathrm{e}^{1-x}}{\mathrm{e}^{x-2}}$ : écrivez $C=\mathrm{e}^{ax+b}$ et donnez $a$ et $b$ .
d) $\mathrm{e}^{3x+6}=1$ .
e) $\mathrm{e}^{5x-3}=\mathrm{e}^{2x+9}$ .
f) $\mathrm{e}^{x^{2}}=\mathrm{e}^{x+6}$ : donnez les deux solutions.
g) $\mathrm{e}^{3x}=\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{-6}$ .
h) $\mathrm{e}^{4x-1}\geq\mathrm{e}^{x+5}$ .
i) $\mathrm{e}^{-3x+2}<\mathrm{e}^{x+10}$ .
j) $\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{2}\right)(3x+12)=0$ : donnez les deux solutions.
k) $\mathrm{e}^{1-x^{2}}\geq\mathrm{e}^{-8}$ .

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a)

k

b)

k

c)

a

b

d)

x

e)

x

f)

Plus petite solution

Plus grande solution

g)

x

h)

Solutions ;

i)

Solutions ;

j)

Plus petite solution

Plus grande solution

k)

Solutions ;

Voir la correction

Réponses

a) $A=\mathrm{e}^{6}$ ; $k=6$
b) $B=\mathrm{e}^{-1}$ ; $k=-1$
c) $C=\mathrm{e}^{x+3}$ ; $a=1$ , $b=3$
d) $3x+6=0$ ; $x=-2$
e) $3x=12$ ; $x=4$
f) $x^{2}-x-6=0$ ; $x=-2$ ou $x=3$
g) $3x=x-6$ ; $x=-3$
h) $3x\geq 6$ ; $[2\,;+\infty[$
i) $-4x<8$ ; $]-2\,;+\infty[$
j) $\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{2}$ ou $3x+12=0$ ; $x=-4$ ou $x=2$
k) $x^{2}\leq 9$ ; $[-3\,;3]$

Le geste qui décide de tout : ne jamais comparer deux expressions tant qu'il reste plusieurs exponentielles d'un même côté. On regroupe d'abord, membre par membre, en une seule exponentielle ; ensuite seulement on compare les exposants, et l'équation ou l'inéquation devient du premier ou du second degré.

a)

Le dénominateur vaut $\mathrm{e}^{2+(-1)}=\mathrm{e}^{1}$ , donc $A=\mathrm{e}^{7-1}=\mathrm{e}^{6}$ : $k=6$ . Piège : écrire $7-2-1=4$ ; diviser par $\mathrm{e}^{-1}$ revient à multiplier par $\mathrm{e}$ , d'où $7-2+1$ .

b)

$\left(\mathrm{e}^{3}\right)^{-2}=\mathrm{e}^{-6}$ , donc $B=\mathrm{e}^{-6+4+1}=\mathrm{e}^{-1}$ : $k=-1$ . Piège : additionner $3+(-2)$ dans une puissance de puissance, où l'on MULTIPLIE les exposants ; et oublier que $\mathrm{e}=\mathrm{e}^{1}$ compte aussi.

c)

Numérateur : $\mathrm{e}^{3x+1-x}=\mathrm{e}^{2x+1}$ . Quotient : $C=\mathrm{e}^{2x+1-(x-2)}=\mathrm{e}^{2x+1-x+2}=\mathrm{e}^{x+3}$ , donc $a=1$ et $b=3$ . Piège : $-(x-2)=-x+2$ , le signe moins porte sur les deux termes ; sans parenthèse on trouve $b=-1$ .

d)

$1=\mathrm{e}^{0}$ , donc $3x+6=0$ et $x=-2$ . Piège : poser $3x+6=1$ , comme si $\mathrm{e}^{1}$ valait $1$ .

e)

Même exponentielle des deux côtés : $5x-3=2x+9$ , soit $3x=12$ et $x=4$ .

f)

$x^{2}=x+6$ , soit $x^{2}-x-6=0$ , de discriminant $\Delta=1+24=25$ : $x=\frac{1-5}{2}=-2$ ou $x=\frac{1+5}{2}=3$ . Les deux conviennent, aucune condition ne pèse sur l'exposant.

g)

Le second membre vaut $\mathrm{e}^{x-6}$ , donc $3x=x-6$ , $2x=-6$ et $x=-3$ . Piège : lire $\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{-6}$ comme $\mathrm{e}^{-6x}$ ; un produit d'exponentielles ADDITIONNE les exposants.

h)

Par stricte croissance, l'inégalité passe aux exposants dans le même sens : $4x-1\geq x+5$ , soit $3x\geq 6$ et $x\geq 2$ . Ensemble des solutions : $[2\,;+\infty[$ , crochet fermé en $2$ puisque l'inégalité est large.

i)

$-3x+2<x+10$ , soit $-4x<8$ , puis $x>-2$ : on divise par $-4$ , NÉGATIF, donc le sens change. Ensemble des solutions : $]-2\,;+\infty[$ . Piège : le passage aux exposants ne change jamais le sens, seule la division par un négatif le fait ; inverser deux fois ou jamais donne $]-\infty\,;-2[$ .

j)

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est : $\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{2}$ donne $x=2$ , et $3x+12=0$ donne $x=-4$ . Les deux solutions sont $-4$ et $2$ .

k)

$1-x^{2}\geq -8$ , soit $x^{2}\leq 9$ , c'est-à-dire $-3\leq x\leq 3$ . Ensemble des solutions : $[-3\,;3]$ . Piège : écrire $x\leq 3$ seulement ; le trinôme $9-x^{2}$ est positif ENTRE ses racines $-3$ et $3$ .

Contrôle : on remplace $x$ par la solution trouvée dans chaque exposant, et les deux exposants doivent être égaux ; pour une inéquation, on teste un nombre de l'intervalle et un nombre hors de l'intervalle, par exemple $x=0$ et $x=-3$ en i), où $2<10$ est vrai et $11<7$ est faux.

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Exercice 0.2 : Dériver des fonctions avec exponentielle : onze calculs directs

Pour chaque fonction, calculez la dérivée, factorisez-la par l'exponentielle quand c'est possible, puis évaluez-la au point indiqué.

Une seule méthode pour les onze lignes : repérer la DERNIÈRE opération (somme, produit, quotient ou inverse), appliquer la règle qui lui correspond, puis dériver chaque exponentielle avec $\left(\mathrm{e}^{x}\right)'=\mathrm{e}^{x}$ et $\left(\mathrm{e}^{ax}\right)'=a\,\mathrm{e}^{ax}$ . Une exponentielle $\mathrm{e}^{ax+b}$ s'écrit d'abord $\mathrm{e}^{b}\times\mathrm{e}^{ax}$ , où $\mathrm{e}^{b}$ est une constante.

a) $f(x)=4\mathrm{e}^{x}-x^{3}+2x$ , puis $f'(1)$ .
b) $g(x)=5\mathrm{e}^{-4x}$ , puis $g'(0)$ .
c) $h(x)=\mathrm{e}^{2x+3}$ , puis $h'(-1)$ .
d) $f(x)=(3x-2)\mathrm{e}^{x}$ , puis $f'(1)$ .
e) $g(x)=\left(x^{2}+x\right)\mathrm{e}^{x}$ , puis $g'(1)$ .
f) $h(x)=(4x+1)\mathrm{e}^{-2x}$ , puis $h'(0)$ .
g) $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ , puis $f'(2)$ .
h) $g(x)=\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}$ , puis $g'(2)$ .
i) $h(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}$ , puis $h'(0)$ .
j) $k(x)=\frac{3}{2+\mathrm{e}^{-x}}$ , puis $k'(0)$ .
k) $m(x)=\frac{\mathrm{e}^{2x}-1}{\mathrm{e}^{2x}+1}$ , puis $m'(0)$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/11

a)

f'(1)

b)

g'(0)

c)

h'(-1)

d)

f'(1)

e)

g'(1)

f)

h'(0)

g)

f'(2)

h)

g'(2)

i)

h'(0)

j)

k'(0)

k)

m'(0)

Voir la correction

Réponses

a) $f'(x)=4\mathrm{e}^{x}-3x^{2}+2$ ; $f'(1)=4\mathrm{e}-1\approx 9{,}873$
b) $g'(x)=-20\mathrm{e}^{-4x}$ ; $g'(0)=-20$
c) $h'(x)=2\mathrm{e}^{2x+3}$ ; $h'(-1)=2\mathrm{e}\approx 5{,}437$
d) $f'(x)=(3x+1)\mathrm{e}^{x}$ ; $f'(1)=4\mathrm{e}\approx 10{,}873$
e) $g'(x)=\left(x^{2}+3x+1\right)\mathrm{e}^{x}$ ; $g'(1)=5\mathrm{e}\approx 13{,}591$
f) $h'(x)=(2-8x)\mathrm{e}^{-2x}$ ; $h'(0)=2$
g) $f'(x)=\frac{(x-1)\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}$ ; $f'(2)=\frac{\mathrm{e}^{2}}{4}\approx 1{,}847$
h) $g'(x)=(1-x)\mathrm{e}^{-x}$ ; $g'(2)=-\mathrm{e}^{-2}\approx-0{,}135$
i) $h'(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}}$ ; $h'(0)=\frac{1}{4}$
j) $k'(x)=\frac{3\mathrm{e}^{-x}}{\left(2+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}}$ ; $k'(0)=\frac{1}{3}$
k) $m'(x)=\frac{4\mathrm{e}^{2x}}{\left(\mathrm{e}^{2x}+1\right)^{2}}$ ; $m'(0)=1$

Le geste qui décide de tout : nommer la forme avant de dériver. $(3x-2)\mathrm{e}^{x}$ est un produit $uv$ , $\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}$ un quotient $\frac{u}{v}$ , $\frac{3}{2+\mathrm{e}^{-x}}$ un inverse multiplié par $3$ . Dans un produit ou un quotient, l'exponentielle se retrouve dans chaque terme : on la met en facteur, puisqu'elle ne s'annule jamais.

a)

Somme : $f'(x)=4\mathrm{e}^{x}-3x^{2}+2$ . En $x=1$ : $f'(1)=4\mathrm{e}-1\approx 9{,}873$ .

b)

$\left(\mathrm{e}^{-4x}\right)'=-4\mathrm{e}^{-4x}$ , donc $g'(x)=-20\mathrm{e}^{-4x}$ et $g'(0)=-20$ . Piège : recopier $5\mathrm{e}^{-4x}$ comme si $\mathrm{e}^{ax}$ était sa propre dérivée ; seule $\mathrm{e}^{x}$ l'est.

c)

$h(x)=\mathrm{e}^{3}\times\mathrm{e}^{2x}$ , avec $\mathrm{e}^{3}$ constant : $h'(x)=\mathrm{e}^{3}\times 2\mathrm{e}^{2x}=2\mathrm{e}^{2x+3}$ . En $x=-1$ : $h'(-1)=2\mathrm{e}^{1}=2\mathrm{e}\approx 5{,}437$ . Piège : écrire $h'=\mathrm{e}^{2x+3}$ sans le facteur $2$ .

d)

Produit, $u=3x-2$ , $u'=3$ , $v=v'=\mathrm{e}^{x}$ : $f'(x)=3\mathrm{e}^{x}+(3x-2)\mathrm{e}^{x}=(3x+1)\mathrm{e}^{x}$ . En $x=1$ : $f'(1)=4\mathrm{e}\approx 10{,}873$ .

e)

Produit, $u=x^{2}+x$ , $u'=2x+1$ : $g'(x)=(2x+1)\mathrm{e}^{x}+\left(x^{2}+x\right)\mathrm{e}^{x}=\left(x^{2}+3x+1\right)\mathrm{e}^{x}$ . En $x=1$ : $g'(1)=(1+3+1)\mathrm{e}=5\mathrm{e}\approx 13{,}591$ . Piège : dériver le produit en $u'v'=(2x+1)\mathrm{e}^{x}$ , qui donne $3\mathrm{e}$ ; la règle est $u'v+uv'$ .

f)

Produit, $u=4x+1$ , $u'=4$ , $v=\mathrm{e}^{-2x}$ , $v'=-2\mathrm{e}^{-2x}$ : $h'(x)=4\mathrm{e}^{-2x}-2(4x+1)\mathrm{e}^{-2x}=(2-8x)\mathrm{e}^{-2x}$ . En $x=0$ : $h'(0)=2$ . Piège : oublier le $-2$ de $v'$ , qui donne $(4x+5)\mathrm{e}^{-2x}$ et $5$ .

g)

Quotient, $u=\mathrm{e}^{x}$ , $v=x$ : $f'(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}\times x-\mathrm{e}^{x}\times 1}{x^{2}}=\frac{(x-1)\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}$ . En $x=2$ : $f'(2)=\frac{\mathrm{e}^{2}}{4}\approx 1{,}847$ .

h)

Quotient, $u=x$ , $v=\mathrm{e}^{x}$ : $g'(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-x\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}=\frac{(1-x)\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}}=(1-x)\mathrm{e}^{-x}$ . En $x=2$ : $g'(2)=-\mathrm{e}^{-2}\approx-0{,}135$ . Piège : $\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}=\mathrm{e}^{2x}$ , pas $\mathrm{e}^{x^{2}}$ .

i)

Quotient, $u=\mathrm{e}^{x}$ , $v=\mathrm{e}^{x}+1$ , $v'=\mathrm{e}^{x}$ : $h'(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)-\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}}=\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}}$ . En $x=0$ : $h'(0)=\frac{1}{4}$ .

j)

Inverse : $\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^{2}}$ avec $v=2+\mathrm{e}^{-x}$ et $v'=-\mathrm{e}^{-x}$ , donc $k'(x)=3\times\frac{\mathrm{e}^{-x}}{\left(2+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}}$ , les deux signes moins se compensant. En $x=0$ : $k'(0)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$ . Piège : $\left(\mathrm{e}^{-x}\right)'=-\mathrm{e}^{-x}$ ; l'oublier donne $-\frac{1}{3}$ .

k)

Quotient, $u=\mathrm{e}^{2x}-1$ , $v=\mathrm{e}^{2x}+1$ , $u'=v'=2\mathrm{e}^{2x}$ : le numérateur vaut $2\mathrm{e}^{2x}\left(\mathrm{e}^{2x}+1\right)-\left(\mathrm{e}^{2x}-1\right)2\mathrm{e}^{2x}=2\mathrm{e}^{2x}\times 2=4\mathrm{e}^{2x}$ , donc $m'(x)=\frac{4\mathrm{e}^{2x}}{\left(\mathrm{e}^{2x}+1\right)^{2}}$ et $m'(0)=\frac{4}{4}=1$ . On factorise $2\mathrm{e}^{2x}$ AVANT de développer : il reste $(\mathrm{e}^{2x}+1)-(\mathrm{e}^{2x}-1)=2$ .

Contrôle : pour chaque ligne, le taux $\frac{f(a+0{,}001)-f(a-0{,}001)}{0{,}002}$ calculé à la machine tombe à moins d'un millième de la valeur trouvée. Si ce n'est pas le cas, on cherche d'abord un facteur $a$ oublié dans la dérivée de $\mathrm{e}^{ax}$ , puis un signe dans le numérateur d'un quotient.

Exercice 1 : Propriétés algébriques et simplifications

Simplifiez chaque expression au maximum. Les réponses attendues ne contiennent plus de somme d'exposants.

a) $A=\frac{\mathrm{e}^{3}\times\mathrm{e}^{-5}}{\mathrm{e}^{-4}}$ .
b) $B=\left(\mathrm{e}^{2x}\right)^{3}\times\mathrm{e}^{-x}$ .
c) $C=\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}-\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}$ .
d) $D=\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}+\frac{1}{\mathrm{e}^{x}+1}$ .

Voir la correction

Réponses

a) $A=\mathrm{e}^{2}$
b) $B=\mathrm{e}^{5x}$
c) $C=4$
d) $D=1$

a)

On applique les règles sur les exposants, en traitant la division comme une soustraction : $A=\mathrm{e}^{3-5-(-4)}=\mathrm{e}^{3-5+4}=\mathrm{e}^{2}$ . Le signe du dernier exposant est le piège de la question : diviser par $\mathrm{e}^{-4}$ revient à MULTIPLIER par $\mathrm{e}^{4}$ , et l'oubli de ce double signe moins donne $\mathrm{e}^{-6}$ , soit une réponse fausse d'un facteur $\mathrm{e}^{8}$ .

b)

$\left(\mathrm{e}^{2x}\right)^{3}=\mathrm{e}^{2x\times 3}=\mathrm{e}^{6x}$ , une puissance de puissance MULTIPLIANT les exposants, puis $B=\mathrm{e}^{6x}\times\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{6x-x}=\mathrm{e}^{5x}$ . Il faut bien distinguer les deux règles : $\left(\mathrm{e}^{a}\right)^{b}=\mathrm{e}^{ab}$ pour une puissance, mais $\mathrm{e}^{a}\times\mathrm{e}^{b}=\mathrm{e}^{a+b}$ pour un produit.

c)

On reconnaît l'identité $(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab$ , qui évite de développer deux carrés. Avec $a=\mathrm{e}^{x}$ et $b=\mathrm{e}^{-x}$ : $C=4\,\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{-x}=4\,\mathrm{e}^{x-x}=4\,\mathrm{e}^{0}=4$ . Le résultat est une CONSTANTE, indépendante de $x$ , ce qui surprend toujours et se vérifie facilement : en $x=0$ , $C=(1+1)^{2}-(1-1)^{2}=4$ ✓, et en $x=1$ , $C=(2{,}718+0{,}368)^{2}-(2{,}718-0{,}368)^{2}=9{,}524-5{,}524=4$ ✓.

d)

Les deux fractions ont déjà le même dénominateur, il suffit donc d'additionner les numérateurs : $D=\frac{\mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{x}+1}=1$ . La simplification est licite parce que $\mathrm{e}^{x}+1>0$ ne s'annule JAMAIS, l'exponentielle étant strictement positive : il n'y a donc aucune valeur interdite à écarter, contrairement à ce qui se passerait avec un dénominateur polynomial.

Les quatre questions reposent sur un seul fait, qu'il vaut mieux comprendre que mémoriser : l'exponentielle transforme les SOMMES en PRODUITS. C'est ce qui explique la règle $\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}$ , dont toutes les autres découlent, et c'est aussi pourquoi $\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{0}=1$ fait de $\mathrm{e}^{-x}$ l'INVERSE de $\mathrm{e}^{x}$ . Ce dernier point mérite d'être retenu tel quel : le signe moins en exposant ne rend pas l'exponentielle négative, il la retourne. C'est l'erreur que l'exercice 9 reprendra.

Exercice 2 : Équations et inéquations

Résolvez dans $\mathbb{R}$ . On rappelle que l'exponentielle est strictement croissante et strictement positive : aucun logarithme n'est nécessaire ici.

a) $\mathrm{e}^{2x-1}=1$ .
b) $\mathrm{e}^{x^{2}}=\mathrm{e}^{3x-2}$ .
c) $\mathrm{e}^{x}\geq\mathrm{e}^{4-x}$ .
d) $\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)\left(\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^{x+3}\right)=0$ .

Voir la correction

Réponses

a) $x=\frac{1}{2}$
b) $x=1$ ou $x=2$
c) $S=[2;+\infty[$
d) $S=\{0\,;3\}$

a)

On écrit le membre de droite sous forme exponentielle : $1=\mathrm{e}^{0}$ . L'exponentielle étant strictement croissante, donc INJECTIVE, l'égalité $\mathrm{e}^{a}=\mathrm{e}^{b}$ équivaut à $a=b$ . Ici $2x-1=0$ , soit $x=\frac{1}{2}$ . La justification par l'injectivité est ce qui rend le passage légitime, et elle doit figurer sur la copie.

b)

Par stricte croissance, l'équation équivaut à $x^{2}=3x-2$ , c'est-à-dire $x^{2}-3x+2=0$ . Le discriminant vaut $9-8=1$ , donc $x=\frac{3\pm 1}{2}$ , soit $x=1$ et $x=2$ . Contrôle par la somme et le produit : $1+2=3=-\frac{b}{a}$ ✓ et $1\times 2=2=\frac{c}{a}$ ✓.

c)

La stricte croissance vaut aussi pour les INÉGALITÉS, et sans changement de sens : $\mathrm{e}^{x}\geq\mathrm{e}^{4-x}$ équivaut à $x\geq 4-x$ , soit $2x\geq 4$ et $x\geq 2$ . L'ensemble des solutions est $[2\,;\,+\infty[$ . Contrôle : en $x=3$ , $\mathrm{e}^{3}\approx 20{,}09$ face à $\mathrm{e}^{1}\approx 2{,}72$ , l'inégalité tient ✓ ; en $x=1$ , $\mathrm{e}\approx 2{,}72$ face à $\mathrm{e}^{3}\approx 20{,}09$ , elle ne tient pas ✓.

d)

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est, et il faut traiter les deux. Premier facteur : $\mathrm{e}^{x}-1=0$ donne $\mathrm{e}^{x}=1=\mathrm{e}^{0}$ , soit $x=0$ . Second facteur : $\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^{x+3}=0$ donne $\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^{x+3}$ , soit $2x=x+3$ et $x=3$ . L'ensemble des solutions est $\{0\,;\,3\}$ .

L'énoncé annonçait qu'aucun logarithme n'est nécessaire, et c'est le point de méthode central de cet exercice. Tant que les deux membres s'écrivent comme des exponentielles, on identifie les exposants et l'on retombe sur une équation ou une inéquation ordinaire. Le logarithme ne devient indispensable que lorsqu'un membre est un nombre qui n'est PAS une puissance évidente de $\mathrm{e}$ , comme dans $\mathrm{e}^{x}=5$ . Une dernière précaution : on n'écrit jamais $\mathrm{e}^{x}=-2$ suivi d'un logarithme, car cette équation n'a tout simplement pas de solution, ce que l'exercice 9 rappellera.

Exercice 3 : Calculs de dérivées

Calculez la dérivée de chaque fonction sur $\mathbb{R}$ , puis factorisez le résultat lorsque c'est possible.

Pour c), le programme de Première donne la dérivée de $t\mapsto\mathrm{e}^{at}$ , qui vaut $a\,\mathrm{e}^{at}$ ; on s'y ramène en écrivant $\mathrm{e}^{3x-2}=\mathrm{e}^{-2}\times\mathrm{e}^{3x}$ , où $\mathrm{e}^{-2}$ est une constante. La formule générale $(\mathrm{e}^{u})'=u'\mathrm{e}^{u}$ est au programme de Terminale.

a) $f(x)=\mathrm{e}^{x}+3x^{2}$ .
b) $g(x)=x\,\mathrm{e}^{x}$ .
c) $h(x)=\mathrm{e}^{3x-2}$ .
d) $k(x)=(2x+1)\mathrm{e}^{-x}$ .

Voir la correction

Réponses

a) $f'(x)=\mathrm{e}^{x}+6x$
b) $g'(x)=(1+x)\mathrm{e}^{x}$
c) $h'(x)=3\,\mathrm{e}^{3x-2}$
d) $k'(x)=(1-2x)\mathrm{e}^{-x}$

a)

$f'(x)=\mathrm{e}^{x}+6x$ . La dérivée de l'exponentielle est elle-même : c'est sa définition, et c'est l'unique fonction non nulle qui possède cette propriété avec $f(0)=1$ . Le terme $3x^{2}$ se dérive séparément par linéarité.

b)

Formule du produit : $g'(x)=1\times\mathrm{e}^{x}+x\times\mathrm{e}^{x}=(1+x)\mathrm{e}^{x}$ . On FACTORISE systématiquement par l'exponentielle, non par élégance mais parce que le signe de $g'$ se lira ensuite sur le seul facteur $1+x$ .

c)

Exponentielle d'une fonction affine : $h'(x)=3\,\mathrm{e}^{3x-2}$ . Le facteur $3$ est le coefficient de $x$ dans l'exposant ; l'oublier est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Le contrôle mental consiste à tester le cas $u(x)=x$ , où le facteur vaut $1$ et où l'on retombe sur $\left(\mathrm{e}^{x}\right)'=\mathrm{e}^{x}$ ✓, ce qui explique justement pourquoi on oublie si facilement un facteur habituellement invisible.

d)

Produit, avec $\left(\mathrm{e}^{-x}\right)'=-\mathrm{e}^{-x}$ , le facteur valant ici $-1$ : $k'(x)=2\,\mathrm{e}^{-x}+(2x+1)\times\left(-\mathrm{e}^{-x}\right)=\left(2-2x-1\right)\mathrm{e}^{-x}=(1-2x)\mathrm{e}^{-x}$ . Le développement de la parenthèse est le second point de vigilance, le signe moins portant sur les DEUX termes de $2x+1$ .

Une remarque qui vaut pour tout le chapitre : après avoir dérivé une expression contenant une exponentielle, le résultat se met TOUJOURS sous la forme $Q(x)\,\mathrm{e}^{u(x)}$ où $Q$ est un polynôme ou une fraction rationnelle. Cette forme n'est pas un hasard, elle vient de ce que l'exponentielle se reproduit en se dérivant. Sa conséquence pratique est décisive et sera exploitée aux exercices 5 et 6 : comme l'exponentielle est strictement positive, le signe de la dérivée est entièrement porté par $Q$ , et l'étude de signe se ramène à celle d'un polynôme.

Exercice 4 : Variations et tangentes

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-1)\mathrm{e}^{x}$ , et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

a) Montrez que $f'(x)=x\,\mathrm{e}^{x}$ .
b) Étudiez le signe de $f'$ et dressez le tableau de variation de $f$ .
c) Déterminez le minimum de $f$ et l'abscisse où il est atteint.
d) Déterminez une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ , puis au point d'abscisse $1$ .

Voir la correction

Réponses

a) $f'(x)=(1+x-1)\mathrm{e}^{x}=x\,\mathrm{e}^{x}$
b) Décroissante sur $]-\infty;0]$ , croissante sur $[0;+\infty[$
c) Minimum $-1$ en $x=0$
d) $y=-1$ en $0$ ; $y=\mathrm{e}x-\mathrm{e}$ en $1$

a)

Formule du produit : $f'(x)=1\times\mathrm{e}^{x}+(x-1)\times\mathrm{e}^{x}=\left(1+x-1\right)\mathrm{e}^{x}=x\,\mathrm{e}^{x}$ . La simplification du crochet est ce qui rend la suite facile, le facteur polynomial se réduisant au seul $x$ .

b)

Comme $\mathrm{e}^{x}>0$ pour tout réel, $f'(x)$ a exactement le signe de $x$ : négatif sur $]-\infty\,;\,0[$ , nul en $0$ , positif sur $]0\,;\,+\infty[$ . Donc $f$ est strictement DÉCROISSANTE sur $]-\infty\,;\,0]$ puis strictement CROISSANTE sur $[0\,;\,+\infty[$ . Il n'y a qu'un seul changement de sens sur tout $\mathbb{R}$ .

c)

Le minimum est donc atteint en $x=0$ et vaut $f(0)=(0-1)\mathrm{e}^{0}=-1\times 1=-1$ . Il s'agit d'un minimum GLOBAL et non seulement local, puisque la fonction ne fait que décroître avant et que croître après : aucune autre valeur ne peut descendre plus bas.

d)

En $0$ : $f(0)=-1$ et $f'(0)=0\times\mathrm{e}^{0}=0$ , donc la tangente est HORIZONTALE, d'équation $y=-1$ . C'est cohérent avec c), une tangente horizontale étant la signature d'un extremum. En $1$ : $f(1)=(1-1)\mathrm{e}^{1}=0$ et $f'(1)=1\times\mathrm{e}=\mathrm{e}$ , donc la tangente a pour équation $y=\mathrm{e}(x-1)$ , soit $y=\mathrm{e}x-\mathrm{e}$ .

Deux observations pour finir. La tangente en $1$ coupe l'axe des abscisses exactement au point où la courbe le coupe, ce qui n'a rien de mystérieux : le point de tangence $(1\,;\,0)$ appartient aux deux, et il est justement sur l'axe puisque $f(1)=0$ . Par ailleurs il faut noter que $f$ prend des valeurs NÉGATIVES alors qu'elle contient une exponentielle : c'est le facteur $x-1$ qui fournit le signe, l'exponentielle n'apportant qu'un coefficient positif. Confondre le signe de $f$ avec celui de l'exponentielle qu'elle contient est une erreur fréquente, et c'est l'objet de l'exercice suivant.

Exercice 5 : Signe d'un produit contenant une exponentielle

Le signe d'une exponentielle ne se discute pas : elle est toujours strictement positive. Tout le travail porte donc sur l'autre facteur.

a) Justifiez que $\mathrm{e}^{x}>0$ pour tout réel $x$ , à partir des propriétés du cours.
b) Déterminez le signe de $\left(x^{2}-4\right)\mathrm{e}^{x}$ sur $\mathbb{R}$ .
c) Résolvez $(3-x)\mathrm{e}^{2x}\geq 0$ .
d) Déterminez le signe de $\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{2x}$ sur $\mathbb{R}$ .

Voir la correction

Réponses

a) $\mathrm{e}^{x}=\left(\mathrm{e}^{x/2}\right)^{2}\geq 0$ et $\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{-x}=1$
b) Positif sur $]-\infty;-2[$ et $]2;+\infty[$ , négatif sur $]-2;2[$
c) $S=]-\infty;3]$
d) Positif sur $]-\infty;0[$ , négatif sur $]0;+\infty[$

a)

Deux arguments sont nécessaires, l'un pour la positivité au sens large et l'autre pour exclure zéro. D'abord $\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}}=\left(\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}\right)^{2}\geq 0$ , comme tout carré. Ensuite $\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{0}=1\neq 0$ , ce qui interdit à $\mathrm{e}^{x}$ d'être nul, un produit contenant un facteur nul étant nul. En combinant : $\mathrm{e}^{x}>0$ strictement, pour tout réel $x$ .

b)

Le facteur $\mathrm{e}^{x}$ étant strictement positif, l'expression a exactement le signe de $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$ , trinôme de coefficient dominant positif : positive sur $]-\infty\,;\,-2[$ , négative sur $]-2\,;\,2[$ , positive sur $]2\,;\,+\infty[$ , et nulle en $-2$ et en $2$ . On notera que les zéros de l'expression sont ceux du polynôme SEUL, l'exponentielle n'en apportant aucun.

c)

Comme $\mathrm{e}^{2x}>0$ , l'inéquation équivaut à $3-x\geq 0$ , soit $x\leq 3$ . L'ensemble des solutions est $]-\infty\,;\,3]$ , borne INCLUSE puisque l'inégalité est large et que l'expression s'annule effectivement en $3$ .

d)

On FACTORISE d'abord, ce qui est le geste attendu : $\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x}\left(1-\mathrm{e}^{x}\right)$ . Le premier facteur est strictement positif, donc l'expression a le signe de $1-\mathrm{e}^{x}$ , qui est positif lorsque $\mathrm{e}^{x}<1=\mathrm{e}^{0}$ , c'est-à-dire lorsque $x<0$ par stricte croissance. L'expression est donc strictement positive sur $]-\infty\,;\,0[$ , nulle en $0$ , strictement négative sur $]0\,;\,+\infty[$ .

La méthode est la même dans les quatre cas et se résume en une phrase : on isole l'exponentielle en FACTEUR, on l'écarte parce qu'elle est strictement positive, et l'on étudie le signe de ce qui reste. La question d) ajoute la seule difficulté réelle, qui est de reconnaître qu'une SOMME de deux exponentielles peut se factoriser : $\mathrm{e}^{2x}=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}$ permet de mettre $\mathrm{e}^{x}$ en évidence. Une erreur à éviter absolument, et l'on en verra une variante à l'exercice 9 : on ne simplifie jamais une somme d'exponentielles terme à terme, $\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{2x}$ ne valant surtout pas $\mathrm{e}^{-x}$ .

Exercice 6 : Étude complète d'une fonction

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\left(x^{2}-3\right)\mathrm{e}^{-x}$ .

a) Montrez que $f'(x)=-\left(x-3\right)\left(x+1\right)\mathrm{e}^{-x}$ .
b) Dressez le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
c) Calculez les valeurs exactes des extremums locaux, puis leurs valeurs approchées au centième.
d) Déterminez les points d'intersection de la courbe avec les deux axes.

Voir la correction

Réponses

a) $f'(x)=(2x-x^{2}+3)\mathrm{e}^{-x}=-(x-3)(x+1)\mathrm{e}^{-x}$
b) Décroissante sur $]-\infty;-1]$ , croissante sur $[-1;3]$ , décroissante sur $[3;+\infty[$
c) Minimum local $-2\mathrm{e}\approx-5{,}44$ ; maximum local $6\mathrm{e}^{-3}\approx 0{,}30$
d) $(0\,;-3)$ , $(-\sqrt{3}\,;0)$ et $(\sqrt{3}\,;0)$

a)

Formule du produit, en n'oubliant pas que $\left(\mathrm{e}^{-x}\right)'=-\mathrm{e}^{-x}$ : $f'(x)=2x\,\mathrm{e}^{-x}+\left(x^{2}-3\right)\times\left(-\mathrm{e}^{-x}\right)=\left(2x-x^{2}+3\right)\mathrm{e}^{-x}=-\left(x^{2}-2x-3\right)\mathrm{e}^{-x}$ . Le trinôme $x^{2}-2x-3$ a pour racines évidentes $3$ et $-1$ , de somme $2$ et de produit $-3$ , d'où $f'(x)=-\left(x-3\right)\left(x+1\right)\mathrm{e}^{-x}$ ✓.

b)

Comme $\mathrm{e}^{-x}>0$ , la dérivée a le signe de $-\left(x-3\right)\left(x+1\right)$ , c'est-à-dire l'OPPOSÉ du signe d'un trinôme de coefficient dominant positif et de racines $-1$ et $3$ . Elle est donc négative à l'extérieur de $[-1\,;\,3]$ et positive entre. Ainsi $f$ décroît sur $]-\infty\,;\,-1]$ , croît sur $[-1\,;\,3]$ , puis décroît sur $[3\,;\,+\infty[$ . Contrôle sur un point par plage : $f'(-2)<0$ , $f'(1)>0$ et $f'(4)<0$ ✓.

c)

Minimum local en $x=-1$ : $f(-1)=\left((-1)^{2}-3\right)\mathrm{e}^{1}=(1-3)\mathrm{e}=-2\mathrm{e}\approx-5{,}44$ . Maximum local en $x=3$ : $f(3)=\left(9-3\right)\mathrm{e}^{-3}=6\,\mathrm{e}^{-3}\approx 0{,}30$ . L'écart entre les deux extremums est frappant, presque un facteur vingt en valeur absolue : l'exponentielle décroissante ÉCRASE le maximum, alors qu'elle amplifie le minimum situé du côté des $x$ négatifs.

d)

Avec l'axe des ordonnées, il y a toujours au plus un point, obtenu en $x=0$ : $f(0)=(0-3)\times 1=-3$ , donc le point $(0\,;\,-3)$ . Avec l'axe des abscisses, on résout $f(x)=0$ , ce qui équivaut à $x^{2}-3=0$ puisque $\mathrm{e}^{-x}$ ne s'annule jamais : d'où $x=-\sqrt{3}\approx-1{,}73$ et $x=\sqrt{3}\approx 1{,}73$ , soit deux points.

Il vaut la peine de se représenter l'allure obtenue, car elle est typique des fonctions de la forme polynôme fois exponentielle décroissante. La courbe part de $+\infty$ en $-\infty$ , l'exponentielle $\mathrm{e}^{-x}$ y explosant tandis que $x^{2}-3$ tend aussi vers $+\infty$ ; elle plonge jusqu'à $-2\mathrm{e}$ en $-1$ , traverse l'axe en $-\sqrt{3}$ , remonte en coupant l'axe en $\sqrt{3}$ , culmine faiblement à $6\mathrm{e}^{-3}$ en $3$ , puis retombe vers $0$ par valeurs positives. C'est l'exponentielle qui gouverne les deux extrémités, et le polynôme qui gouverne le milieu : cette répartition des rôles est le fil de tout le chapitre.

Exercice 7 : Élimination d'un médicament

Un patient reçoit une injection de 12 mg d'un médicament. La quantité présente dans le sang, en milligrammes, après $t$ heures est modélisée par

$Q(t)=12\,\mathrm{e}^{-0{,}25t}$ , pour $t\geq 0$ .

Les valeurs numériques seront arrondies au centième.

a) Vérifiez la quantité initiale, puis calculez la quantité restante après 4 heures.
b) Calculez le rapport $\frac{Q(t+1)}{Q(t)}$ et montrez qu'il ne dépend pas de $t$ . Quel pourcentage du médicament est éliminé chaque heure ?
c) Justifiez que la suite $\left(Q(n)\right)$ , où $n$ est un entier naturel, est géométrique, et donnez sa raison.
d) Le médicament n'agit plus dès que la quantité passe sous 1 mg. À l'aide de la calculatrice, déterminez à $0{,}1$ heure près le premier instant où cela se produit.

Voir la correction

Réponses

a) $Q(0)=12$ mg, $Q(4)\approx 4{,}41$ mg
b) $\mathrm{e}^{-0{,}25}\approx 0{,}7788$ : environ $22{,}12\ \%$ éliminé par heure
c) Géométrique de raison $\mathrm{e}^{-0{,}25}\approx 0{,}78$
d) $t\approx 10{,}0$ h

a)

$Q(0)=12\,\mathrm{e}^{0}=12\times 1=12$ mg, ce qui correspond bien à la dose injectée : le modèle est cohérent avec l'énoncé. Ensuite $Q(4)=12\,\mathrm{e}^{-0{,}25\times 4}=12\,\mathrm{e}^{-1}\approx 4{,}41$ mg. Cela représente $\frac{4{,}41}{12}\approx 37\ \%$ de la dose : après quatre heures, près des deux tiers du médicament ont été éliminés.

b)

$\frac{Q(t+1)}{Q(t)}=\frac{12\,\mathrm{e}^{-0{,}25(t+1)}}{12\,\mathrm{e}^{-0{,}25t}}=\mathrm{e}^{-0{,}25t-0{,}25+0{,}25t}=\mathrm{e}^{-0{,}25}\approx 0{,}7788$ . Le $t$ DISPARAÎT, le rapport ne dépend donc pas de l'instant considéré. Chaque heure, il reste environ $77{,}88\ \%$ de ce qu'il y avait, autrement dit environ $22{,}12\ \%$ du médicament présent est éliminé. La quantité éliminée, elle, diminue avec le temps : c'est le POURCENTAGE qui est constant, pas la variation.

c)

D'après b), $Q(n+1)=\mathrm{e}^{-0{,}25}\times Q(n)$ pour tout entier naturel $n$ : on passe d'un terme au suivant en multipliant par une constante, ce qui est exactement la définition d'une suite GÉOMÉTRIQUE. Sa raison est $\mathrm{e}^{-0{,}25}\approx 0{,}78$ et son premier terme $Q(0)=12$ . C'est la propriété caractéristique des modèles exponentiels, et elle fait le pont avec le chapitre sur les suites.

d)

On tabule à la calculatrice autour du seuil, en encadrant : $Q(9{,}9)=12\,\mathrm{e}^{-2{,}475}\approx 1{,}01$ mg, encore au-dessus, et $Q(10)=12\,\mathrm{e}^{-2{,}5}\approx 0{,}99$ mg, en dessous. Le premier instant demandé est donc $t=10{,}0$ heures. Comme $Q$ est strictement décroissante, la quantité reste ensuite définitivement sous $1$ mg, et il n'y a pas d'autre franchissement à chercher.

Le résultat de b) explique pourquoi un médicament ne s'élimine jamais complètement dans ce modèle : à chaque heure il en reste une FRACTION fixe, donc jamais rien. La quantité tend vers $0$ sans l'atteindre, et c'est la raison pour laquelle la pharmacologie raisonne en DEMI-VIE plutôt qu'en durée totale. On la trouve à la calculatrice en cherchant quand il reste la moitié : $\mathrm{e}^{-0{,}25T}=0{,}5$ pour $T\approx 2{,}77$ heures. Toutes les $2{,}77$ heures, la quantité est divisée par deux, indépendamment de la dose initiale, ce qui se vérifie sur les valeurs déjà calculées : $12$ mg au départ, environ $6$ mg à $2{,}77$ h, environ $3$ mg à $5{,}55$ h ✓.

Exercice 8 : L'inégalité de référence

On veut démontrer que $\mathrm{e}^{x}\geq x+1$ pour tout réel $x$ . Pour cela on étudie la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\mathrm{e}^{x}-x-1$ .

a) Calculez $g'(x)$ et étudiez son signe.
b) Dressez le tableau de variation de $g$ et déterminez son minimum.
c) Concluez sur l'inégalité et précisez le cas d'égalité. Interprétez géométriquement le résultat.
d) Déduisez-en un encadrement de $\mathrm{e}^{0{,}1}$ , puis vérifiez à la calculatrice.

Voir la correction

Réponses

a) $g'(x)=\mathrm{e}^{x}-1$ : négative sur $]-\infty;0[$ , positive sur $]0;+\infty[$
b) Minimum $g(0)=0$
c) $\mathrm{e}^{x}\geq x+1$ , égalité en $0$ seulement ; $y=x+1$ est la tangente en $0$
d) $\mathrm{e}^{0{,}1}\geq 1{,}1$ ; calculatrice : $1{,}1052$

a)

$g'(x)=\mathrm{e}^{x}-1$ , la dérivée de $-x-1$ valant $-1$ . Pour en étudier le signe, on résout $\mathrm{e}^{x}\geq 1$ , c'est-à-dire $\mathrm{e}^{x}\geq\mathrm{e}^{0}$ , ce qui équivaut à $x\geq 0$ par stricte croissance de l'exponentielle. Donc $g'$ est négative sur $]-\infty\,;\,0[$ , nulle en $0$ et positive sur $]0\,;\,+\infty[$ .

b)

La fonction $g$ décroît donc sur $]-\infty\,;\,0]$ puis croît sur $[0\,;\,+\infty[$ . Son minimum est atteint en $x=0$ et vaut $g(0)=\mathrm{e}^{0}-0-1=1-0-1=0$ . Le fait que ce minimum tombe exactement sur $0$ n'est pas une coïncidence, c'est ce qui rend la démonstration concluante.

c)

Puisque le minimum de $g$ vaut $0$ , on a $g(x)\geq 0$ pour tout réel $x$ , c'est-à-dire $\mathrm{e}^{x}-x-1\geq 0$ , soit $\mathrm{e}^{x}\geq x+1$ ✓. L'égalité n'a lieu QU'EN $x=0$ , puisque $g$ est strictement monotone de part et d'autre et ne peut donc reprendre la valeur $0$ ailleurs. Géométriquement, la droite d'équation $y=x+1$ est la TANGENTE à la courbe de l'exponentielle au point d'abscisse $0$ , comme le confirme le calcul $\left(\mathrm{e}^{x}\right)'_{x=0}=1$ et $\mathrm{e}^{0}=1$ , et la courbe reste toujours au-dessus de cette tangente.

d)

En prenant $x=0{,}1$ , l'inégalité donne $\mathrm{e}^{0{,}1}\geq 1{,}1$ . La calculatrice donne $\mathrm{e}^{0{,}1}\approx 1{,}1052$ , ce qui confirme l'inégalité avec un écart de seulement $0{,}0052$ . En revanche, pour $x=-1$ elle ne donne que $\mathrm{e}^{-1}\geq 0$ , information correcte mais très grossière puisque $\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}368$ : l'inégalité est d'autant plus FINE que $x$ est proche de $0$ , ce qui est logique puisqu'on y touche la tangente.

Cette inégalité est l'une des deux les plus utilisées de toute la Terminale, avec sa jumelle $\ln x\leq x-1$ , et la méthode qui la produit vaut mieux que le résultat lui-même. Le schéma est invariable : pour démontrer $A(x)\geq B(x)$ , on étudie la DIFFÉRENCE $g=A-B$ et l'on montre que son minimum est positif. Il fonctionne pour n'importe quelle paire de fonctions dérivables, et il évite toute manipulation d'inégalité, qui est la source d'erreur habituelle. On notera enfin la conséquence la plus utile de $\mathrm{e}^{x}\geq x+1$ : elle prouve à elle seule que l'exponentielle tend vers $+\infty$ en $+\infty$ , puisqu'elle est minorée par une droite qui y tend elle-même.

Exercice 9 : Quatre erreurs à corriger

Chacune des affirmations suivantes est fausse. Corrigez-la, justifiez, et donnez un contre-exemple chiffré lorsque c'est possible.

a) « $\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a}+\mathrm{e}^{b}$ . »
b) « La dérivée de $x\mapsto\mathrm{e}^{3x}$ est $x\mapsto\mathrm{e}^{3x}$ . »
c) « L'équation $\mathrm{e}^{x}=-2$ a pour solution un réel négatif. »
d) « $\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}=\mathrm{e}^{x^{2}}$ . »

Voir la correction

Réponses

a) $\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}$ ; $\mathrm{e}^{2}\approx 7{,}39\neq 2\mathrm{e}\approx 5{,}44$
b) $3\,\mathrm{e}^{3x}$
c) Aucune solution : $\mathrm{e}^{x}>0$
d) $\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}=\mathrm{e}^{2x}$

a)

Faux : l'exponentielle transforme les sommes en PRODUITS, pas en sommes. La formule correcte est $\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}$ . Contre-exemple avec $a=b=1$ : le membre de gauche vaut $\mathrm{e}^{2}\approx 7{,}39$ , tandis que le membre de droite annoncé vaudrait $\mathrm{e}+\mathrm{e}=2\mathrm{e}\approx 5{,}44$ . Les deux diffèrent de près de $2$ , l'égalité est donc bien fausse.

b)

Faux : il manque le facteur donné par le coefficient de $x$ dans l'exposant. La bonne réponse est $3\,\mathrm{e}^{3x}$ . Le contrôle numérique tranche immédiatement : en $x=0$ , la vraie pente vaut $3$ et non $1$ , comme le confirme un taux d'accroissement entre $0$ et $0{,}001$ , qui donne environ $3{,}005$ .

c)

Faux : l'équation n'a AUCUNE solution, ni négative ni positive. Pour tout réel $x$ , $\mathrm{e}^{x}>0$ , donc l'exponentielle ne prend jamais de valeur négative. La confusion vient de ce qu'un exposant négatif donne un résultat PETIT, mais toujours strictement positif : $\mathrm{e}^{-10}\approx 0{,}0000454$ , ce qui est proche de zéro sans jamais être négatif. Signe de l'exposant et signe du résultat sont deux choses sans rapport.

d)

Faux : $\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}=\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x+x}=\mathrm{e}^{2x}$ , et non $\mathrm{e}^{x^{2}}$ . Contre-exemple avec $x=3$ : $\mathrm{e}^{6}\approx 403{,}4$ tandis que $\mathrm{e}^{9}\approx 8\,103{,}1$ , soit vingt fois plus. Les deux écritures ne coïncident que lorsque $2x=x^{2}$ , c'est-à-dire pour $x=0$ et $x=2$ , deux valeurs particulières qui ne prouvent rien en général.

Les quatre erreurs se ramènent à deux confusions qu'il vaut mieux nommer pour ne plus les commettre. Les affirmations a) et d) confondent les RÈGLES D'EXPOSANTS, en additionnant là où il faut multiplier ou en élevant l'exposant au carré au lieu de le doubler ; le remède est de toujours revenir à la seule règle fondatrice, $\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}$ , dont toutes les autres se déduisent. Les affirmations b) et c) portent sur les PROPRIÉTÉS de la fonction, le facteur intérieur oublié dans la dérivée d'une composée et la stricte positivité méconnue. Une habitude protège des quatre : tester la formule douteuse sur une valeur simple, en général $x=1$ ou $x=3$ , ce qui démolit une fausse identité en dix secondes.

Exercice 10 : Problème de synthèse : deux placements

Une somme de 1 000 dollars est placée le 1er janvier 2026 selon deux formules concurrentes. Après $t$ années, le capital acquis, en dollars, vaut

formule A : $C_{A}(t)=1\,000+80t$ , et formule B : $C_{B}(t)=1\,000\,\mathrm{e}^{0{,}06t}$ .

La formule A ajoute chaque année le même montant ; la formule B fait croître le capital à taux continu constant. Les montants seront arrondis au centime.

a) Comparez les deux capitaux au bout de 5 ans, puis au bout de 10 ans.
b) Justifiez que la formule B finit nécessairement par dépasser la formule A, en comparant la nature des deux croissances.
c) À l'aide de la calculatrice, déterminez à $0{,}1$ année près l'instant à partir duquel la formule B devient la plus avantageuse.
d) Calculez l'écart entre les deux formules au bout de 20 ans et commentez le conseil à donner à un épargnant.

Voir la correction

Réponses

a) $1\,400$ contre $1\,349{,}86$ ; puis $1\,800$ contre $1\,822{,}12$ dollars
b) Croissance affine contre croissance exponentielle, dont le gain annuel augmente
c) $t\approx 9{,}2$ années
d) $720{,}12$ dollars en faveur de B ; le conseil dépend de l'horizon

a)

À $t=5$ : $C_{A}(5)=1\,000+80\times 5=1\,400$ dollars, et $C_{B}(5)=1\,000\,\mathrm{e}^{0{,}3}\approx 1\,349{,}86$ dollars. La formule A est en avance de plus de $50$ dollars. À $t=10$ : $C_{A}(10)=1\,000+800=1\,800$ dollars, et $C_{B}(10)=1\,000\,\mathrm{e}^{0{,}6}\approx 1\,822{,}12$ dollars. La formule B est passée devant, avec $22{,}12$ dollars d'avance. Le croisement a donc eu lieu entre la cinquième et la dixième année.

b)

La formule A ajoute chaque année $80$ dollars, un montant FIXE : sa croissance est affine et son graphique est une droite. La formule B multiplie chaque année le capital par $\mathrm{e}^{0{,}06}\approx 1{,}0618$ , soit un gain de $6{,}18\ \%$ qui porte sur un capital lui-même croissant : le montant ajouté AUGMENTE d'année en année. Concrètement, la onzième année, la formule B rapporte déjà environ $113$ dollars contre toujours $80$ pour la formule A. Une croissance exponentielle finit donc toujours par dépasser une croissance affine, quel que soit le retard initial, parce que son gain annuel croît sans borne tandis que l'autre reste constant.

c)

On tabule les deux fonctions au voisinage du croisement. À $t=9{,}1$ : $C_{A}=1\,000+728=1\,728$ dollars et $C_{B}\approx 1\,726{,}33$ dollars, la formule A mène encore de moins de deux dollars. À $t=9{,}2$ : $C_{A}=1\,736$ dollars et $C_{B}\approx 1\,736{,}72$ dollars, la formule B est passée devant. L'instant cherché est donc $t\approx 9{,}2$ années, soit courant mars 2035.

d)

À $t=20$ : $C_{A}(20)=1\,000+1\,600=2\,600$ dollars et $C_{B}(20)=1\,000\,\mathrm{e}^{1{,}2}\approx 3\,320{,}12$ dollars, soit un écart de $720{,}12$ dollars en faveur de la formule B. Le conseil dépend donc ENTIÈREMENT de l'horizon de placement : pour moins de neuf ans la formule A est meilleure, au-delà la formule B l'emporte, et l'écart grandit ensuite très vite.

Deux enseignements méritent d'être formulés, car un problème de synthèse les attend. Le premier est méthodologique : comparer deux modèles sur une SEULE valeur ne prouve jamais rien, et l'on aurait conclu à l'inverse en s'arrêtant à la cinquième année. Il faut comparer les NATURES de croissance, ce que fait la question b), avant de comparer des montants. Le second est financier : un taux continu de $6\ \%$ correspond en réalité à un taux annuel effectif de $6{,}18\ \%$ , l'écart venant de la capitalisation continue, et c'est cette différence entre taux affiché et taux effectif que les publicités exploitent volontiers. On peut vérifier la cohérence du tout sur trente ans, où l'écart atteindrait $1\,000\,\mathrm{e}^{1{,}8}-3\,400\approx 2\,650$ dollars, près de quatre fois celui de vingt ans.

Exercice 11 : Équations du second degré en exponentielle

Dans chaque question, on pose $X=\mathrm{e}^{x}$ pour se ramener à une équation du second degré en $X$ , sans oublier que $X$ est strictement positif.

a) Résolvez $\mathrm{e}^{2x}-(1+\mathrm{e})\,\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}=0$ .
b) Résolvez $\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^{x}-2=0$ .
c) Résolvez $\mathrm{e}^{2x}-(1+\mathrm{e})\,\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}<0$ .
d) Résolvez $\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}=2$ .
e) Pourquoi une valeur négative de $X$ ne donne-t-elle aucune solution ?

Voir la correction

Réponses

a) $S=\{0\,;1\}$
b) $S=\{0\}$ ( $X=-2$ rejeté)
c) $S=]0;1[$
d) $S=\{0\}$
e) $\mathrm{e}^{x}=X$ exige $X>0$

a)

Avec $X=\mathrm{e}^{x}$ , $\mathrm{e}^{2x}=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}=X^{2}$ , et l'équation devient $X^{2}-(1+\mathrm{e})X+\mathrm{e}=0$ . La somme des racines vaut $1+\mathrm{e}$ et leur produit $\mathrm{e}$ : ce sont $X=1$ et $X=\mathrm{e}$ . On revient à $x$ : $\mathrm{e}^{x}=1=\mathrm{e}^{0}$ donne $x=0$ , et $\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{1}$ donne $x=1$ . $S=\{0\,;1\}$ .

b)

$X^{2}+X-2=0$ , de racines $X=1$ et $X=-2$ (somme $-1$ , produit $-2$ ). $\mathrm{e}^{x}=1$ donne $x=0$ ; $\mathrm{e}^{x}=-2$ est impossible. $S=\{0\}$ .

c)

Le trinôme $X^{2}-(1+\mathrm{e})X+\mathrm{e}=(X-1)(X-\mathrm{e})$ est strictement négatif ENTRE ses racines : $1<X<\mathrm{e}$ . Donc $\mathrm{e}^{0}<\mathrm{e}^{x}<\mathrm{e}^{1}$ , soit $0<x<1$ par stricte croissance de l'exponentielle. $S=]0\,;1[$ .

d)

On multiplie les deux membres par $\mathrm{e}^{x}$ , qui est strictement positif et vérifie $\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{-x}=1$ : $\mathrm{e}^{2x}+1=2\mathrm{e}^{x}$ , soit $X^{2}-2X+1=0$ , c'est-à-dire $(X-1)^{2}=0$ . Donc $X=1$ et $x=0$ . $S=\{0\}$ .

e)

Une exponentielle est toujours strictement positive : l'équation $\mathrm{e}^{x}=X$ n'a de solution que si $X>0$ . Une racine négative ou nulle du trinôme doit donc être écartée, et il faut le DIRE sur la copie, comme en b).

Le changement d'inconnue $X=\mathrm{e}^{x}$ transforme une équation en exponentielle en un second degré, que l'on sait résoudre ; il impose en retour une condition, $X>0$ , que le second degré ignore. Les deux pièges sont donc symétriques : oublier que $\mathrm{e}^{2x}=X^{2}$ , et oublier de trier les racines.

Exercice 12 : La tangente à l'exponentielle qui passe par l'origine

On note $\mathcal{C}$ la courbe de la fonction exponentielle et $T_{a}$ sa tangente au point d'abscisse $a$ .

La figure ci-dessous représente la courbe $\mathcal{C}$ et le point $A(2\,;0)$ .

a) Montrez que $T_{a}$ a pour équation $y=\mathrm{e}^{a}x+(1-a)\,\mathrm{e}^{a}$ .
b) Déterminez l'unique tangente à $\mathcal{C}$ qui passe par l'origine du repère.
c) Montrez que $T_{a}$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $a-1$ .
d) Déduisez-en la tangente à $\mathcal{C}$ qui passe par le point $A(2\,;0)$ , et donnez son coefficient directeur au centième.
e) Où la tangente au point d'abscisse $0$ coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Vérifiez sur son équation.

Voir la correction

Réponses

a) $y=\mathrm{e}^{a}(x-a)+\mathrm{e}^{a}$
b) $a=1$ : $y=\mathrm{e}\,x$
c) $\mathrm{e}^{a}(x-a+1)=0$ donne $x=a-1$
d) $a=3$ : $y=\mathrm{e}^{3}(x-2)$ , pente $\approx 20{,}09$
e) En $-1$ : $y=x+1$

a)

La dérivée de l'exponentielle est elle-même : le point de contact est $(a\,;\mathrm{e}^{a})$ et la pente vaut $\mathrm{e}^{a}$ . $T_{a}$ : $y=\mathrm{e}^{a}(x-a)+\mathrm{e}^{a}=\mathrm{e}^{a}x+(1-a)\,\mathrm{e}^{a}$ .

b)

$T_{a}$ passe par $O(0\,;0)$ si et seulement si son ordonnée à l'origine est nulle : $(1-a)\,\mathrm{e}^{a}=0$ . Comme $\mathrm{e}^{a}\neq 0$ , cela impose $a=1$ . La tangente cherchée est $T_{1}$ : $y=\mathrm{e}\,x$ , de pente $\mathrm{e}\approx 2{,}718$ , au point de contact $(1\,;\mathrm{e})$ .

c)

On résout $\mathrm{e}^{a}(x-a)+\mathrm{e}^{a}=0$ , soit $\mathrm{e}^{a}(x-a+1)=0$ . Le facteur $\mathrm{e}^{a}$ n'est jamais nul, donc $x=a-1$ . Chaque tangente coupe l'axe des abscisses exactement une unité à GAUCHE de l'abscisse du point de contact, ce qui donne une construction à la règle de toutes les tangentes.

d)

D'après c), $T_{a}$ passe par $(2\,;0)$ si et seulement si $a-1=2$ , soit $a=3$ . La tangente est $T_{3}$ : $y=\mathrm{e}^{3}(x-2)$ , de coefficient directeur $\mathrm{e}^{3}\approx 20{,}09$ .

e)

$T_{0}$ : $y=x+1$ , qui s'annule en $x=-1=0-1$ ✓. On retrouve la droite de l'inégalité $\mathrm{e}^{x}\geq x+1$ .

La question b) est un classique : la « tangente issue d'un point » se traite toujours en écrivant la tangente au point INCONNU d'abscisse $a$ , puis en imposant qu'elle passe par le point donné. La propriété c), propre à l'exponentielle, vient de ce que la pente en chaque point égale l'ordonnée : le triangle formé par la tangente, l'axe et la verticale du point de contact a toujours une base égale à $1$ .

Exercice 13 : La chaînette

Un câble suspendu entre deux poteaux prend la forme de la courbe de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}$ , appelée chaînette.

La figure ci-dessous représente le câble et ses deux poteaux.

a) Montrez que $f(-x)=f(x)$ pour tout réel $x$ . Que peut-on en déduire pour la courbe ?
b) Calculez $f'(x)$ .
c) Étudiez le signe de $f'(x)$ .
d) Dressez le tableau de variation de $f$ et donnez son minimum.
e) Résolvez l'équation $f(x)=\frac{\mathrm{e}+\mathrm{e}^{-1}}{2}$ .
f) Les poteaux sont placés aux abscisses $-1$ et $1$ . Calculez au millième la flèche du câble, c'est-à-dire la différence de hauteur entre les points d'attache et le point le plus bas.

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Réponses

a) $f$ paire : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées
b) $f'(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}$
c) $f'(x)>0\iff x>0$
d) Minimum $f(0)=1$
e) $S=\{-1\,;1\}$
f) Flèche $\approx 0{,}543$

a)

$f(-x)=\frac{\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{x}}{2}=f(x)$ . La fonction est PAIRE : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

b)

$\left(\mathrm{e}^{-x}\right)'=-\mathrm{e}^{-x}$ , donc $f'(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}$ .

c)

$f'(x)>0\iff\mathrm{e}^{x}>\mathrm{e}^{-x}\iff x>-x\iff x>0$ , par stricte croissance de l'exponentielle. De même $f'(x)<0$ pour $x<0$ et $f'(0)=\frac{1-1}{2}=0$ .

d)

$f$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et croissante sur $[0\,;+\infty[$ . Son minimum vaut $f(0)=\frac{1+1}{2}=1$ . Le point le plus bas du câble est donc à la hauteur $1$ , au milieu.

e)

Le second membre est $f(1)$ . Sur $[0\,;+\infty[$ , $f$ est strictement croissante, donc prend la valeur $f(1)$ une seule fois, en $x=1$ . Par parité, elle la prend aussi en $x=-1$ , et une seule fois sur $]-\infty\,;0]$ . $S=\{-1\,;1\}$ .

f)

Les points d'attache sont à la hauteur $f(1)=f(-1)=\frac{\mathrm{e}+\mathrm{e}^{-1}}{2}\approx 1{,}543$ , le point le plus bas à la hauteur $1$ . La flèche vaut environ $0{,}543$ .

Une chaînette ressemble à une parabole, mais n'en est pas une : c'est la courbe exacte d'un câble pesant, et elle est construite à partir de deux exponentielles. Le raisonnement de e) mérite d'être retenu : la monotonie sur chaque demi-droite donne l'unicité, et la parité fournit la seconde solution sans calcul.

Exercice 14 : La pression atmosphérique en altitude

On modélise la pression atmosphérique, en hectopascals (hPa), à l'altitude $h$ exprimée en kilomètres, par $P(h)=1\,013\,\mathrm{e}^{-0{,}12h}$ , pour $h\geq 0$ .

a) Calculez la pression au niveau de la mer, puis au sommet d'une montagne de $4{,}8$ km, à l'unité près.
b) Montrez que le rapport $\frac{P(h+1)}{P(h)}$ ne dépend pas de $h$ . De quel pourcentage la pression diminue-t-elle à chaque kilomètre gravi ?
c) À l'aide de la calculatrice, déterminez à $0{,}1$ km près l'altitude à partir de laquelle la pression est inférieure à la moitié de celle du niveau de la mer.
d) Calculez $P'(h)$ , puis $P'(0)$ . Interprétez ce nombre.
e) Utilisez la tangente en $0$ pour estimer $P(1)$ , puis comparez à la valeur donnée par le modèle.

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Réponses

a) $1\,013$ hPa ; $569$ hPa
b) Rapport $\mathrm{e}^{-0{,}12}\approx 0{,}8869$ : baisse de $11{,}31\ \%$ par km
c) À partir de $5{,}8$ km
d) $P'(h)=-121{,}56\,\mathrm{e}^{-0{,}12h}$ ; $P'(0)=-121{,}56$ hPa/km
e) Tangente : $891{,}44$ hPa ; modèle : $898{,}45$ hPa

a)

$P(0)=1\,013\,\mathrm{e}^{0}=1\,013$ hPa. $P(4{,}8)=1\,013\,\mathrm{e}^{-0{,}576}\approx 569$ hPa : au sommet, la pression est un peu plus de la moitié de celle du niveau de la mer.

b)

$\frac{P(h+1)}{P(h)}=\frac{\mathrm{e}^{-0{,}12h-0{,}12}}{\mathrm{e}^{-0{,}12h}}=\mathrm{e}^{-0{,}12}\approx 0{,}8869$ . Le rapport est constant : à chaque kilomètre, la pression est multipliée par $0{,}8869$ , soit une baisse d'environ $11{,}31\ \%$ .

c)

On cherche $P(h)<506{,}5$ hPa. $P(5{,}7)\approx 511{,}2$ et $P(5{,}8)\approx 505{,}1$ . $P$ étant strictement décroissante, c'est à partir de $5{,}8$ km environ.

d)

$P'(h)=1\,013\times(-0{,}12)\,\mathrm{e}^{-0{,}12h}=-121{,}56\,\mathrm{e}^{-0{,}12h}$ , et $P'(0)=-121{,}56$ hPa/km. Au voisinage du sol, la pression diminue à la VITESSE d'environ $121{,}56$ hPa par kilomètre d'altitude.

e)

La tangente en $0$ a pour équation $y=-121{,}56h+1\,013$ , et donne $P(1)\approx 891{,}44$ hPa. Le modèle donne $P(1)=1\,013\,\mathrm{e}^{-0{,}12}\approx 898{,}45$ hPa. L'estimation est inférieure d'environ $7$ hPa : la tangente est sous la courbe, la baisse réelle ralentit à mesure que la pression diminue.

Une fonction de la forme $k\,\mathrm{e}^{-ah}$ perd le même POURCENTAGE à chaque pas, jamais la même quantité : c'est ce que dit b), et c'est pourquoi sa dérivée est proportionnelle à la fonction elle-même, $P'=-0{,}12\,P$ . Plus l'air est rare, moins il en reste à perdre.

Exercice 15 : Le pic d'une épidémie

Au cours d'une épidémie, le nombre de nouveaux malades par jour est modélisé par $N(t)=50t\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}$ , où $t$ est le nombre de jours écoulés depuis le premier cas, $t\in[0\,;30]$ .

a) Calculez $N(0)$ , puis $N(10)$ à l'unité près.
b) Montrez que $N'(t)=50(1-0{,}2t)\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}$ .
c) Dressez le tableau de variation de $N$ sur $[0\,;30]$ . Quel jour le pic est-il atteint, et combien de nouveaux malades compte-t-on ce jour-là, à l'unité près ?
d) Les autorités lèvent les restrictions quand, après le pic, le nombre de nouveaux malades par jour repasse sous $40$ . À $0{,}1$ jour près, à partir de quel instant est-ce le cas ?
e) Déterminez la tangente à la courbe de $N$ en $t=0$ et comparez l'estimation qu'elle donne pour $t=1$ avec $N(1)$ .

Voir la correction

Réponses

a) $N(0)=0$ , $N(10)\approx 68$
b) $N'(t)=50(1-0{,}2t)\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}$
c) Pic le $5$ e jour : environ $92$ nouveaux malades
d) $t\approx 14{,}5$ jours
e) $y=50t$ prévoit $50$ ; $N(1)\approx 40{,}9$

a)

$N(0)=0$ : au départ, il n'y a pas de nouveau malade. $N(10)=500\,\mathrm{e}^{-2}\approx 68$ .

b)

Formule du produit, avec $(50t)'=50$ et $\left(\mathrm{e}^{-0{,}2t}\right)'=-0{,}2\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}$ : $N'(t)=50\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}+50t\times(-0{,}2)\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}=50(1-0{,}2t)\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}$ .

c)

$50\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}>0$ , donc $N'(t)$ a le signe de $1-0{,}2t$ : positif sur $[0\,;5[$ , négatif sur $]5\,;30]$ . $N$ croît sur $[0\,;5]$ puis décroît sur $[5\,;30]$ . Le pic est atteint le cinquième jour, avec $N(5)=250\,\mathrm{e}^{-1}\approx 92$ nouveaux malades.

d)

Après le pic, $N$ est strictement décroissante. À la calculatrice : $N(14{,}4)\approx 40{,}4$ et $N(14{,}5)\approx 39{,}9$ . Les restrictions sont levées à partir de $t\approx 14{,}5$ jours. Avant le pic, $N$ passe aussi par $40$ , vers $t\approx 1$ , mais la question porte sur la descente.

e)

$N(0)=0$ et $N'(0)=50$ : la tangente est $y=50t$ . Elle prévoit $50$ malades pour $t=1$ , alors que $N(1)=50\,\mathrm{e}^{-0{,}2}\approx 40{,}9$ . L'écart est déjà important après un jour : la tangente décrit le démarrage de l'épidémie, pas sa suite.

Une courbe de la forme $t\,\mathrm{e}^{-kt}$ monte, culmine en $t=\frac{1}{k}$ et redescend lentement : le facteur $t$ domine au début, l'exponentielle décroissante gagne ensuite. Le signe de la dérivée se lit sur le seul facteur affine, et c'est la forme factorisée de b) qui le permet.

Exercices corrigés : la fonction exponentielle (Première spécialité)

Rappel de cours

Calculs : simplifications, équations et inéquations

Exercice 0.1 : Simplifier et résoudre avec l'exponentielle : onze calculs directs

Calculs : les dérivées à calculer

Exercice 0.2 : Dériver des fonctions avec exponentielle : onze calculs directs

Partie A : Les bases (/50)

Exercice 1 : Propriétés algébriques et simplifications

Exercice 2 : Équations et inéquations

Exercice 3 : Calculs de dérivées

Exercice 4 : Variations et tangentes

Exercice 5 : Signe d'un produit contenant une exponentielle

Partie B : Niveau contrôle (/50)

Exercice 6 : Étude complète d'une fonction

Exercice 7 : Élimination d'un médicament

Exercice 8 : L'inégalité de référence

Exercice 9 : Quatre erreurs à corriger

Exercice 10 : Problème de synthèse : deux placements

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 11 : Équations du second degré en exponentielle

Exercice 12 : La tangente à l'exponentielle qui passe par l'origine

Exercice 13 : La chaînette

Exercice 14 : La pression atmosphérique en altitude

Exercice 15 : Le pic d'une épidémie

Ce chapitre au bac 2025 et 2026

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