Exercices corrigés : la fonction exponentielle (Première spécialité)

a) $A=\mathrm{e}^{3-5-(-4)}=\mathrm{e}^{3-5+4}=\mathrm{e}^{2}$. Le signe du dernier exposant est le piège : diviser par $\mathrm{e}^{-4}$ revient à multiplier par $\mathrm{e}^{4}$.

b) $B=\mathrm{e}^{6x}\times\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{5x}$.

c) On utilise l'identité $(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab$ avec $a=\mathrm{e}^{x}$ et $b=\mathrm{e}^{-x}$ : $C=4\,\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{-x}=4\,\mathrm{e}^{0}=4$. Le résultat est une constante, indépendante de $x$.

d) Les deux fractions ont le même dénominateur : $D=\frac{\mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{x}+1}=1$, ce qui est licite car $\mathrm{e}^{x}+1>0$ ne s'annule jamais.

a) $1=\mathrm{e}^{0}$, donc l'équation équivaut à $2x-1=0$, soit $x=\frac{1}{2}$.

b) Par stricte croissance, l'équation équivaut à $x^{2}=3x-2$, c'est-à-dire $x^{2}-3x+2=0$. Le discriminant vaut $9-8=1$, d'où $x=1$ et $x=2$.

c) Par stricte croissance, l'inéquation équivaut à $x\geq 4-x$, soit $2x\geq 4$ et $x\geq 2$. L'ensemble des solutions est $[2\ ;\ +\infty[$.

d) Un produit est nul si l'un des facteurs l'est. Premier facteur : $\mathrm{e}^{x}=1=\mathrm{e}^{0}$ donne $x=0$. Second facteur : $\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^{x+3}$ donne $2x=x+3$, soit $x=3$. L'ensemble des solutions est $\{0\ ;\ 3\}$.

a) $f'(x)=\mathrm{e}^{x}+6x$. La dérivée de l'exponentielle est elle-même, c'est sa définition.

b) Produit : $g'(x)=1\times\mathrm{e}^{x}+x\,\mathrm{e}^{x}=(1+x)\mathrm{e}^{x}$.

c) Exponentielle d'une fonction affine : $h'(x)=3\,\mathrm{e}^{3x-2}$. Le facteur 3 est le coefficient de $x$ dans l'exposant ; l'oublier est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

d) Produit, avec $\left(\mathrm{e}^{-x}\right)'=-\mathrm{e}^{-x}$ : $k'(x)=2\mathrm{e}^{-x}+(2x+1)\times(-\mathrm{e}^{-x})=\left(2-2x-1\right)\mathrm{e}^{-x}=(1-2x)\mathrm{e}^{-x}$.

a) Produit : $f'(x)=1\times\mathrm{e}^{x}+(x-1)\mathrm{e}^{x}=\left(1+x-1\right)\mathrm{e}^{x}=x\,\mathrm{e}^{x}$.

b) Comme $\mathrm{e}^{x}>0$ pour tout $x$, $f'(x)$ a le signe de $x$ : négatif sur $]-\infty\ ;\ 0[$, nul en $0$, positif sur $]0\ ;\ +\infty[$. Donc $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\ ;\ 0]$ puis strictement croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$.

c) Le minimum est atteint en $x=0$ et vaut $f(0)=(0-1)\mathrm{e}^{0}=-1$.

d) En $0$ : $f(0)=-1$ et $f'(0)=0$, la tangente est horizontale d'équation $y=-1$. En $1$ : $f(1)=0$ et $f'(1)=\mathrm{e}$, la tangente a pour équation $y=\mathrm{e}(x-1)$, soit $y=\mathrm{e}x-\mathrm{e}$. Elle coupe l'axe des abscisses exactement au point où la courbe le coupe, ce qui est normal puisque $f(1)=0$.

a) Pour tout $x$, $\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}}=\left(\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}\right)^{2}\geq 0$ comme carré. De plus $\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{0}=1\neq 0$, donc $\mathrm{e}^{x}$ ne peut pas être nul. Ainsi $\mathrm{e}^{x}>0$.

b) Le facteur $\mathrm{e}^{x}$ étant strictement positif, l'expression a le signe de $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$ : positive sur $]-\infty\ ;\ -2[$, négative sur $]-2\ ;\ 2[$, positive sur $]2\ ;\ +\infty[$, nulle en $-2$ et en $2$.

c) $\mathrm{e}^{2x}>0$, donc l'inéquation équivaut à $3-x\geq 0$, soit $x\leq 3$. L'ensemble des solutions est $]-\infty\ ;\ 3]$.

d) On factorise : $\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^{x}\left(1-\mathrm{e}^{x}\right)$. Le premier facteur est strictement positif, donc l'expression a le signe de $1-\mathrm{e}^{x}$, qui est positif si $\mathrm{e}^{x}<1=\mathrm{e}^{0}$, c'est-à-dire $x<0$. L'expression est donc strictement positive sur $]-\infty\ ;\ 0[$, nulle en $0$, strictement négative sur $]0\ ;\ +\infty[$.

a) Produit : $f'(x)=2x\,\mathrm{e}^{-x}+\left(x^{2}-3\right)\times(-\mathrm{e}^{-x})=\left(2x-x^{2}+3\right)\mathrm{e}^{-x}=-\left(x^{2}-2x-3\right)\mathrm{e}^{-x}$. Le trinôme $x^{2}-2x-3$ a pour racines évidentes $3$ et $-1$, donc $f'(x)=-\left(x-3\right)\left(x+1\right)\mathrm{e}^{-x}$.

b) $\mathrm{e}^{-x}>0$, donc $f'$ a le signe de $-\left(x-3\right)\left(x+1\right)$, c'est-à-dire l'opposé du signe d'un trinôme de racines $-1$ et $3$. Ainsi $f'<0$ sur $]-\infty\ ;\ -1[$, $f'>0$ sur $]-1\ ;\ 3[$ et $f'<0$ sur $]3\ ;\ +\infty[$. La fonction décroît, puis croît, puis décroît.

c) Minimum local en $x=-1$ : $f(-1)=\left(1-3\right)\mathrm{e}^{1}=-2\mathrm{e}\approx-5{,}44$. Maximum local en $x=3$ : $f(3)=\left(9-3\right)\mathrm{e}^{-3}=6\mathrm{e}^{-3}\approx 0{,}30$. L'écart entre les deux extremums est frappant : l'exponentielle décroissante écrase le maximum.

d) Avec l'axe des ordonnées : $f(0)=-3$, point $(0\ ;\ -3)$. Avec l'axe des abscisses : $f(x)=0$ équivaut à $x^{2}-3=0$ puisque $\mathrm{e}^{-x}$ ne s'annule jamais, d'où $x=-\sqrt{3}\approx-1{,}73$ et $x=\sqrt{3}\approx 1{,}73$.

a) $Q(0)=12\mathrm{e}^{0}=12$ mg, ce qui correspond bien à l'injection. $Q(4)=12\mathrm{e}^{-1}\approx 4{,}41$ mg : après quatre heures, il reste environ 37 % de la dose.

b) $\frac{Q(t+1)}{Q(t)}=\frac{12\mathrm{e}^{-0{,}25(t+1)}}{12\mathrm{e}^{-0{,}25t}}=\mathrm{e}^{-0{,}25t-0{,}25+0{,}25t}=\mathrm{e}^{-0{,}25}\approx 0{,}78$. Ce rapport ne dépend pas de $t$ : chaque heure, il reste environ 77,88 % de ce qu'il y avait, donc environ 22,12 % du médicament présent est éliminé.

c) D'après b), $Q(n+1)=\mathrm{e}^{-0{,}25}\times Q(n)$ pour tout entier $n$ : on passe d'un terme au suivant en multipliant par une constante. La suite $\left(Q(n)\right)$ est donc géométrique de raison $\mathrm{e}^{-0{,}25}\approx 0{,}78$ et de premier terme $12$. C'est la propriété caractéristique des modèles exponentiels : le taux d'évolution est constant, pas la variation.

d) On calcule des valeurs : $Q(9{,}9)=12\mathrm{e}^{-2{,}475}\approx 1{,}01$ mg, encore au-dessus du seuil, et $Q(10)=12\mathrm{e}^{-2{,}5}\approx 0{,}99$ mg, en dessous. Le premier instant demandé est donc $t=10{,}0$ heures. Comme $Q$ est strictement décroissante, la quantité reste ensuite sous 1 mg.

a) $g'(x)=\mathrm{e}^{x}-1$. Or $\mathrm{e}^{x}\geq 1$ équivaut à $x\geq 0$ par stricte croissance de l'exponentielle et parce que $1=\mathrm{e}^{0}$. Donc $g'$ est négative sur $]-\infty\ ;\ 0[$, nulle en $0$ et positive sur $]0\ ;\ +\infty[$.

b) $g$ décroît sur $]-\infty\ ;\ 0]$ puis croît sur $[0\ ;\ +\infty[$. Son minimum est donc $g(0)=\mathrm{e}^{0}-0-1=0$.

c) Le minimum de $g$ vaut $0$, donc $g(x)\geq 0$ pour tout réel $x$, c'est-à-dire $\mathrm{e}^{x}\geq x+1$. L'égalité n'a lieu qu'en $x=0$, puisque $g$ est strictement monotone de part et d'autre. Géométriquement, la droite d'équation $y=x+1$ est la tangente à la courbe de l'exponentielle au point d'abscisse $0$, et la courbe reste toujours au-dessus de cette tangente.

d) En $x=0{,}1$, l'inégalité donne $\mathrm{e}^{0{,}1}\geq 1{,}1$. La calculatrice donne $\mathrm{e}^{0{,}1}\approx 1{,}1052$, ce qui confirme l'inégalité avec un écart de seulement $0{,}0052$. En $x=-1$, elle donne $\mathrm{e}^{-1}\geq 0$, information correcte mais très grossière : l'inégalité est d'autant plus fine que $x$ est proche de $0$.

a) Faux : l'exponentielle transforme les sommes en produits, pas en sommes. La formule correcte est $\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}$. Contre-exemple avec $a=b=1$ : $\mathrm{e}^{2}\approx 7{,}39$ alors que $\mathrm{e}+\mathrm{e}=2\mathrm{e}\approx 5{,}44$.

b) Faux : il manque le facteur donné par le coefficient de $x$ dans l'exposant. La bonne réponse est $3\mathrm{e}^{3x}$. En $x=0$, la vraie pente vaut $3$ et non $1$.

c) Faux : l'équation n'a aucune solution. Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x}>0$, donc l'exponentielle ne prend jamais de valeur négative. Un exposant négatif donne un résultat petit mais toujours strictement positif : $\mathrm{e}^{-10}\approx 0{,}0000454$.

d) Faux : $\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}=\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{2x}$, et non $\mathrm{e}^{x^{2}}$. Contre-exemple avec $x=3$ : $\mathrm{e}^{6}\approx 403{,}4$ tandis que $\mathrm{e}^{9}\approx 8\,103{,}1$, soit vingt fois plus. Les deux écritures ne coïncident que pour $x=0$ et $x=2$.

a) À $t=5$ : $C_{A}(5)=1\,400$ dollars et $C_{B}(5)=1\,000\mathrm{e}^{0{,}3}\approx 1\,349{,}86$ dollars. La formule A est en avance de plus de 50 dollars. À $t=10$ : $C_{A}(10)=1\,800$ dollars et $C_{B}(10)=1\,000\mathrm{e}^{0{,}6}\approx 1\,822{,}12$ dollars. La formule B est passée devant.

b) La formule A ajoute chaque année 80 dollars, un montant fixe : sa croissance est affine. La formule B multiplie chaque année le capital par $\mathrm{e}^{0{,}06}\approx 1{,}0618$, soit un gain de 6,18 % qui porte sur un capital lui-même croissant : le montant ajouté augmente d'année en année. La onzième année, la formule B rapporte déjà environ 113 dollars contre toujours 80 pour la formule A, et l'écart se creuse indéfiniment.

c) On tabule les deux fonctions. À $t=9{,}1$ : $C_{A}\approx 1\,728$ et $C_{B}\approx 1\,726{,}33$, la formule A mène encore. À $t=9{,}2$ : $C_{A}\approx 1\,736$ et $C_{B}\approx 1\,736{,}72$, la formule B est passée devant. L'instant cherché est donc $t\approx 9{,}2$ années, soit courant mars 2035.

d) À $t=20$ : $C_{A}(20)=2\,600$ dollars et $C_{B}(20)=1\,000\mathrm{e}^{1{,}2}\approx 3\,320{,}12$ dollars, soit un écart de $720{,}12$ dollars en faveur de la formule B. Le conseil dépend donc entièrement de l'horizon de placement : pour moins de neuf ans la formule A est meilleure, au-delà la formule B l'emporte, et l'écart grandit ensuite très vite. Comparer deux modèles sur une seule année ne prouve jamais rien.