Exercices corrigés : algorithmique et Scratch au brevet (Troisième)

On suit ligne par ligne. Après $\mathtt{mettre\ a\ à\ 12}$ : $a=12$. Après $\mathtt{mettre\ b\ à\ 5}$ : $a=12$, $b=5$. Après $\mathtt{mettre\ a\ à\ a+b}$ : $a=12+5=17$ et $b=5$. Après $\mathtt{mettre\ b\ à\ a-b}$ : $b=17-5=12$, et $a$ vaut toujours $17$. Après $\mathtt{mettre\ a\ à\ a-b}$ : $a=17-12=5$. Le tableau final donne donc $a=5$ et $b=12$.

Le lutin dit $5$, et $\mathtt{b}$ vaut $12$. Autrement dit, chaque variable contient maintenant la valeur que l'autre contenait au départ.

Ce script ÉCHANGE le contenu des deux variables, sans utiliser de variable supplémentaire. C'est un procédé classique en programmation, où la mémoire disponible peut être limitée.

Au départ $a=x$ et $b=y$. Après la première affectation, $a=x+y$ et $b=y$. Après la deuxième, $b=(x+y)-y=x$, et $a$ vaut encore $x+y$. Après la troisième, $a=(x+y)-x=y$. On obtient donc $a=y$ et $b=x$ pour TOUTES les valeurs de départ, et pas seulement pour $12$ et $5$ : c'est bien un échange. Le calcul littéral fait ici exactement ce que l'essai numérique ne peut pas faire, démontrer au lieu de constater.

Sa version détruit une information. Après $\mathtt{mettre\ a\ à\ b}$, la variable $a$ vaut $5$ et l'ancienne valeur $12$ n'existe plus nulle part. La deuxième instruction $\mathtt{mettre\ b\ à\ a}$ recopie alors $5$ dans $b$ : on obtient $a=5$ et $b=5$. Les deux variables portent la même valeur, et $12$ est définitivement perdu. C'est l'erreur la plus courante sur les affectations, et elle vient de lire $\mathtt{mettre\ a\ à\ b}$ comme l'égalité $a=b$, qui, elle, serait symétrique.

$\mathtt{mettre\ temp\ à\ a}$, puis $\mathtt{mettre\ a\ à\ b}$, puis $\mathtt{mettre\ b\ à\ temp}$. La variable $\mathtt{temp}$ conserve la valeur de $a$ avant qu'elle ne soit écrasée, ce qui permet de la restituer ensuite. Contrôle avec $12$ et $5$ : $temp=12$, puis $a=5$, puis $b=12$ ✓, le même résultat qu'à la question 2. Cette version est plus lisible et fonctionne aussi sur des textes, alors que la version de l'énoncé exige des nombres, puisqu'elle additionne et soustrait.

$f(0)=(0-4)(0+4)=(-4)\times 4=-16$. $f(4)=(4-4)(4+4)=0\times 8=0$. $f(-4)=(-4-4)(-4+4)=(-8)\times 0=0$. $f(10)=(10-4)(10+4)=6\times 14=84$. Deux entrées différentes, $4$ et $-4$, donnent donc la même sortie $0$ : une fonction a parfaitement le droit de faire cela, alors qu'un antécédent, lui, n'est pas toujours unique.

$(x-4)(x+4)=x^{2}+4x-4x-16=x^{2}-16$. C'est l'identité $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ lue de droite à gauche, avec $a=x$ et $b=4$. Le script calcule donc $x^{2}-16$, et l'on peut vérifier les résultats de la question 1 avec cette forme : $0-16=-16$ ✓, $100-16=84$ ✓.

Résoudre $f(x)=0$ revient à résoudre $(x-4)(x+4)=0$. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, donc $x-4=0$ ou $x+4=0$, c'est-à-dire $x=4$ ou $x=-4$. Il y a donc DEUX antécédents de $0$, ce que la question 1 laissait déjà voir. La forme factorisée est ici bien plus commode que la forme développée : c'est elle qu'il faut garder pour résoudre.

Résoudre $x^{2}-16=-16$ donne $x^{2}=0$, donc $x=0$ : c'est l'unique antécédent de $-16$. On utilise cette fois la forme DÉVELOPPÉE, parce que l'équation n'est plus « produit égal à zéro ». Savoir choisir entre les deux formes selon la question posée est exactement ce que teste le brevet.

Le lutin annonce un nombre négatif quand $x^{2}-16<0$, c'est-à-dire $x^{2}<16$. Cela se produit pour $-4<x<4$, c'est-à-dire pour tous les nombres strictement compris entre $-4$ et $4$. On peut aussi raisonner sur la forme factorisée : le produit $(x-4)(x+4)$ est négatif quand ses deux facteurs sont de signes contraires, ce qui n'arrive qu'entre $-4$ et $4$. Contrôle : $f(3)=9-16=-7<0$ ✓ et $f(5)=25-16=9>0$ ✓.

NON. Comme $x^{2}$ est toujours positif ou nul, $x^{2}-16$ est toujours supérieur ou égal à $-16$ : le plus petit nombre que le lutin puisse annoncer est $-16$, obtenu pour $x=0$. La valeur $-20$ est donc hors d'atteinte, et l'équation $x^{2}-16=-20$, qui donnerait $x^{2}=-4$, n'a aucune solution. Un script ne peut pas produire n'importe quelle sortie, et repérer ce minimum évite de chercher longtemps une solution qui n'existe pas.

Le lutin dit « rectangle ». En effet $c\times c=5\times 5=25$ et $a\times a+b\times b=9+16=25$ : les deux membres sont égaux, donc la condition est vraie. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $3$-$4$-$5$ est bien rectangle, et son angle droit est opposé au plus grand côté.

Le lutin dit « pas rectangle ». Le calcul donne $6\times 6=36$ d'un côté et $16+25=41$ de l'autre : $36\neq 41$, la condition est fausse. L'écart n'est que de $5$, ce qui montre qu'un triangle peut ressembler beaucoup à un triangle rectangle sans en être un : l'œil ne décide jamais, seul le calcul décide.

Le lutin dit « rectangle », car $13\times 13=169$ et $25+144=169$ ✓. Le triplet $5$-$12$-$13$ est, avec $3$-$4$-$5$, l'un des deux triplets que l'on rencontre le plus souvent au brevet ; les reconnaître fait gagner du temps.

Le lutin répond « pas rectangle », car il calcule $8\times 8=64$ d'une part et $289+225=514$ d'autre part. Or le triangle de côtés $8$, $15$, $17$ EST rectangle, puisque $17^{2}=289$ et $64+225=289$ ✓. La réponse est donc fausse, et la faute n'est pas dans le triangle mais dans la SAISIE : l'élève a entré $8$ comme plus grand côté alors que c'est le plus petit. Le script fait confiance à l'utilisateur sans rien vérifier, ce qui est le défaut le plus courant des programmes.

Il suffit de ne plus demander à l'utilisateur de repérer le plus grand côté. Une solution consiste à tester les trois égalités possibles : la condition devient $\mathtt{si\ c*c=a*a+b*b\ ou\ a*a=b*b+c*c\ ou\ b*b=a*a+c*c}$. Une autre consiste à ranger les trois valeurs par ordre croissant avant le test, en réutilisant l'échange de variables de l'exercice 1. Dans les deux cas, le programme devient indépendant de l'ordre de saisie, ce qui est exactement ce qu'on attend d'un test correct.

Parce qu'il n'existe AUCUN triangle de côtés $10$, $2$ et $3$ : l'inégalité triangulaire n'est pas respectée, puisque $2+3=5$ est inférieur à $10$. Le script répond pourtant « pas rectangle », comme si la question avait un sens. Un bon programme devrait d'abord vérifier que la somme des deux plus petits côtés dépasse le plus grand, et refuser la saisie sinon. Répondre à une question qui n'a pas de sens est aussi grave que répondre faux.

On applique la règle tour par tour. Départ : $a=156$, $b=60$. Tour 1 : $a>b$, donc $a=156-60=96$. Tour 2 : $a=96-60=36$. Tour 3 : maintenant $a<b$, donc $b=60-36=24$. Tour 4 : $a>b$, donc $a=36-24=12$. Tour 5 : $a<b$, donc $b=24-12=12$. Les deux valeurs sont égales, la boucle s'arrête. Le tableau comporte donc cinq lignes, et il faut à chaque tour REGARDER lequel des deux nombres est le plus grand avant de soustraire.

Le lutin dit $12$, la valeur commune de $a$ et de $b$ à la sortie de la boucle.

Ce script calcule le PGCD des deux nombres de départ, c'est-à-dire leur plus grand diviseur commun. Vérification par les facteurs premiers : $156=2^{2}\times 3\times 13$ et $60=2^{2}\times 3\times 5$. Les facteurs communs sont $2^{2}$ et $3$, donc le PGCD vaut $4\times 3=12$ ✓. L'algorithme fonctionne parce qu'un diviseur commun à deux nombres divise aussi leur différence : soustraire ne perd donc aucun diviseur commun, mais fait décroître les nombres jusqu'à les rendre égaux.

On divise le numérateur et le dénominateur par le PGCD, $12$ : $\dfrac{60}{156}=\dfrac{60\div 12}{156\div 12}=\dfrac{5}{13}$. La fraction est irréductible, car $5$ et $13$ sont deux nombres premiers distincts, donc leur seul diviseur commun est $1$. Diviser par un diviseur commun plus petit, par exemple $4$, aurait donné $\dfrac{15}{39}$, qui est simplifiée mais pas irréductible : seul le PGCD garantit d'aller au bout en une seule fois.

La condition $a=b$ est vraie AVANT le premier tour, donc la boucle n'est pas exécutée du tout et le lutin dit $24$ immédiatement. C'est cohérent, puisque le PGCD d'un nombre avec lui-même est ce nombre. Cela illustre une propriété importante de $\mathtt{répéter\ jusqu'à\ ce\ que}$ : le test précède le corps, donc une boucle peut faire zéro tour.

Le programme ne s'arrête JAMAIS. Comme $a=0$ est plus petit que $b=7$, c'est $b$ qui est remplacé par $b-a=7-0=7$ : $b$ ne change pas, $a$ non plus, et la condition $a=b$ reste fausse indéfiniment. On a une boucle infinie, qui bloque le programme. C'est le défaut classique des boucles conditionnelles, et il rappelle qu'un algorithme doit prévoir les cas limites : le plus grand diviseur commun de $0$ et $7$ existe, il vaut $7$, mais cette version par soustractions ne sait pas le trouver. Un cas particulier oublié par le programmeur devient un plantage.

Il manque $30$ degrés. Les douze carrés se partagent un tour complet autour du point de départ, donc la rotation entre deux carrés voisins vaut $\dfrac{360}{12}=30^\circ$. C'est le même calcul que pour un polygone régulier, mais appliqué cette fois à un motif entier et non à un côté.

Le bloc est à l'intérieur des deux boucles, donc il est exécuté $12\times 4=48$ fois. La longueur totale tracée vaut $48\times 60=2880$ pas. Le stylo n'est jamais relevé, donc tout ce que parcourt le lutin est dessiné.

OUI dans les deux cas. Chaque boucle intérieure ramène le lutin à son point de départ, puisqu'un carré est une figure fermée ; les rotations de $30$ degrés, elles, ne le déplacent pas. Le lutin est donc toujours au centre entre deux carrés, ce qui explique que les douze carrés aient tous un sommet commun. Quant à la direction, il a tourné $4\times 90=360$ degrés par carré, plus $12\times 30=360$ degrés au total pour les rotations : soit un nombre entier de tours, il regarde donc bien dans sa direction de départ.

Elle se referme, mais pas comme prévu. Avec $40$ degrés répétés douze fois, le lutin tourne de $12\times 40=480$ degrés, c'est-à-dire un tour complet plus $120$ degrés. Les neuf premiers carrés forment déjà une rosace complète, puisque $9\times 40=360$ ; les trois derniers, tracés après ce tour complet, repassent exactement sur les trois premiers. On voit donc une rosace régulière de NEUF carrés, dont trois sont tracés deux fois, et non une rosace de douze. Une rosace ne se referme que si le produit du nombre de répétitions par l'angle vaut un nombre entier de tours.

Il faudrait $\dfrac{360}{40}=9$ répétitions, ce qui donnerait une rosace de neuf carrés. Vérification : $9\times 40=360$ ✓. Plus généralement, avec un angle $\alpha$ qui divise $360$, le nombre de carrés d'une rosace complète vaut $\dfrac{360}{\alpha}$.

Le point le plus éloigné du centre est le sommet du carré opposé au point de départ, c'est-à-dire l'extrémité de la diagonale. Un carré de côté $60$ a pour diagonale $\sqrt{60^{2}+60^{2}}=\sqrt{7200}=60\sqrt{2}\approx 84{,}9$ pas, d'après le théorème de Pythagore. La rosace tient donc dans un disque de rayon environ $85$ pas, largement à l'intérieur de la scène qui va de $-180$ à $180$ en ordonnée.

Pour $x=3$ : $\mathtt{r}=(3+5)^{2}-(3-5)^{2}=8^{2}-(-2)^{2}=64-4=60$, et $\mathtt{s}=20\times 3=60$. Pour $x=-7$ : $\mathtt{r}=(-2)^{2}-(-12)^{2}=4-144=-140$, et $\mathtt{s}=20\times(-7)=-140$. Attention au carré d'un nombre négatif, qui est POSITIF : écrire $(-2)^{2}=-4$ fausse tout l'exercice.

Les deux scripts semblent donner le même résultat, égal à $20$ fois le nombre choisi. Deux essais concordants ne prouvent rien, mais ils indiquent quoi démontrer.

On développe séparément : $(x+5)^{2}=x^{2}+10x+25$ et $(x-5)^{2}=x^{2}-10x+25$. La différence vaut $(x^{2}+10x+25)-(x^{2}-10x+25)=x^{2}+10x+25-x^{2}+10x-25=20x$. Le point délicat est le signe : soustraire une parenthèse change le signe de CHACUN de ses termes, ce qui transforme $-10x$ en $+10x$. Les deux scripts calculent donc bien la même chose, pour toute valeur de $x$.

On reconnaît une différence de deux carrés avec $a=x+5$ et $b=x-5$. Alors $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)=\big((x+5)+(x-5)\big)\times\big((x+5)-(x-5)\big)=(2x)\times(10)=20x$ ✓. Cette seconde démonstration tient en une ligne et ne développe aucun carré : reconnaître l'identité remarquable AVANT de développer est ce qui fait gagner du temps au brevet.

Le script 1 effectue deux additions ou soustractions pour former $x+5$ et $x-5$, deux multiplications pour les carrés et une soustraction finale, soit $5$ opérations. Le script 2 en effectue une seule. Le second est donc cinq fois plus économique, pour un résultat rigoureusement identique. C'est exactement ce que sert à faire le calcul littéral : simplifier une expression avant de la calculer, que ce soit à la main ou par un programme.

On résout $20x=100$, donc $x=5$. Vérification avec le script 1 : $(5+5)^{2}-(5-5)^{2}=100-0=100$ ✓. Le résultat peut aussi valoir $7$ : il suffit de prendre $x=\dfrac{7}{20}=0{,}35$, et le script accepte parfaitement les nombres décimaux. Toute valeur est donc atteignable, ce qui n'était pas le cas de la fonction de l'exercice 2, qui ne descendait jamais sous $-16$.

Augmenter de $8$ pour cent, c'est ajouter $\dfrac{8}{100}=0{,}08$ fois la valeur de départ, donc obtenir $1\times p+0{,}08\times p=1{,}08\,p$. Le nombre $1{,}08$ s'appelle le coefficient multiplicateur, et c'est lui qui permet d'enchaîner plusieurs hausses par de simples multiplications.

On multiplie chaque ligne par $1{,}08$. Année 1 : $12\,960$. Année 2 : $13\,997$. Année 3 : $15\,117$. Année 4 : $16\,326$. Année 5 : $17\,632$. Année 6 : $19\,042$. Année 7 : $20\,566$. C'est bien à la septième année que le seuil de $20\,000$ est franchi, la sixième restant en dessous avec $19\,042$ habitants.

Le lutin dit $7$. Il faut lire les DEUX dernières lignes du tableau pour être sûr : la sixième année donne $19\,042$, qui ne dépasse pas $20\,000$, donc un septième tour est effectué, et il porte la population à $20\,566$, qui dépasse le seuil. La boucle s'arrête alors, avec $\mathtt{annee}=7$.

Parce qu'il traite la hausse comme si elle était toujours calculée sur la population de DÉPART, $12\,000$, soit $960$ habitants chaque année. En réalité, la hausse de la deuxième année porte sur $12\,960$ et vaut donc $1\,037$ habitants, celle de la troisième porte sur $13\,997$, et ainsi de suite : les hausses grossissent, donc le seuil est atteint plus vite. Son raisonnement donne $9$ ans au lieu de $7$ : il oublie que les pourcentages successifs se MULTIPLIENT et ne s'additionnent pas. Coût de l'erreur : deux ans d'écart sur une prévision, c'est-à-dire une décision d'urbanisme prise trop tard.

La population est passée de $12\,000$ à $20\,566$ habitants, donc elle a été multipliée par $1{,}08^{7}\approx 1{,}714$ : la hausse totale est d'environ $71{,}4$ pour cent. Ce n'est PAS $7\times 8=56$ pour cent, et l'écart de plus de quinze points vient entièrement du fait que chaque hausse s'applique au total déjà augmenté. Vérification directe : $\dfrac{20\,566-12\,000}{12\,000}\approx 0{,}714$ ✓.

Il faut poursuivre le tableau. Année 8 : $22\,211$. Année 9 : $23\,988$, encore en dessous de $24\,000$, de justesse. Année 10 : $25\,907$. Le lutin dit donc $10$. Ce cas montre l'intérêt de garder deux décimales pendant les calculs : arrondir la neuvième année à $24\,000$ aurait conduit à répondre $9$, alors que la valeur exacte, $23\,988{,}1$, reste strictement inférieure au seuil.

FAUX. Énoncé correct : « il faut une variable auxiliaire, ou bien la suite de trois affectations de l'exercice 1 ». Avec la version proposée, la première instruction écrase $a$, dont l'ancienne valeur est alors définitivement perdue : partant de $a=12$ et $b=5$, on obtient $a=5$ puis $b=5$. Les deux variables finissent égales au lieu d'être échangées.

FAUX. Énoncé correct : « cette boucle s'arrête si le corps fait effectivement évoluer $a$ ou $b$ vers l'égalité ». Contre-exemple vu à l'exercice 4 : avec $a=0$ et $b=7$, l'instruction $\mathtt{mettre\ b\ à\ b-a}$ laisse $b$ inchangé, la condition reste fausse et le programme tourne indéfiniment. Une boucle conditionnelle n'offre aucune garantie d'arrêt, contrairement à $\mathtt{répéter\ n\ fois}$.

FAUX. Énoncé correct : « des essais concordants ne font que suggérer une conjecture ; seule une démonstration par le calcul littéral établit un résultat ». Contre-exemple célèbre : le script qui calcule $n^{2}-n+41$ donne un nombre PREMIER pour toutes les valeurs de $n$ de $0$ à $40$, par exemple $1601$ pour $n=40$. Mais pour $n=41$, il donne $41^{2}-41+41=41^{2}=1681$, qui est divisible par $41$ : la propriété tombe exactement à la quarante et unième valeur. Quarante essais réussis n'avaient donc rien prouvé du tout.

FAUX. Énoncé correct : « ce bloc doit précisément donner des résultats différents, c'est son rôle ». Un générateur aléatoire sert à simuler le hasard : c'est parce qu'il varie qu'on peut simuler $60$ lancers de dé et comparer les fréquences obtenues à la probabilité théorique. Un programme qui donnerait toujours le même tirage serait, lui, inutilisable.

FAUX, la formule donnée est celle de l'angle INTÉRIEUR. Énoncé correct : « le lutin tourne de $\dfrac{360}{n}$ degrés ». Pour un hexagone régulier, la formule fausse donnerait $\dfrac{4\times 180}{6}=120$ degrés, alors que le lutin doit tourner de $\dfrac{360}{6}=60$ degrés. Les deux angles sont supplémentaires, puisque $120+60=180$ : le lutin arrive dans le prolongement du côté et se rabat, il tourne donc de l'angle extérieur. Avec $120$ degrés, la somme des rotations vaudrait $720$ degrés, soit deux tours, et le lutin repasserait deux fois sur un triangle au lieu de tracer un hexagone.

Le graphique donne $1\,500$ mL après $6$ minutes. Le débit vaut donc $\dfrac{1\,500}{6}=250$ mL par minute, ce que confirme le script, où chaque tour ajoute $250$ à la variable $\mathtt{volume}$.

OUI. Les points sont alignés avec l'origine, et le quotient du volume par le temps vaut $250$ à chaque relevé : $\dfrac{250}{1}=\dfrac{500}{2}=\dfrac{1\,500}{6}=250$ ✓. C'est la signature d'une situation de proportionnalité, et $250$ en est le coefficient.

Le lutin dit $18$. En effet $4{,}5$ litres valent $4\,500$ mL, et il faut $\dfrac{4\,500}{250}=18$ tours de boucle pour les atteindre. Au dix-huitième tour, le volume vaut exactement $4\,500$ : la condition $\mathtt{volume\geq 4500}$ est alors vraie, puisque l'inégalité est large, et la boucle s'arrête.

La moitié de $4\,500$ mL vaut $2\,250$ mL, atteints au bout de $\dfrac{2\,250}{250}=9$ minutes. C'est bien la moitié du temps total, ce qui n'est vrai que parce que le remplissage est proportionnel : avec un débit variable, la moitié du volume ne serait pas atteinte à la moitié du temps.

Le lutin dit $19$. Avec l'inégalité STRICTE, la valeur $4\,500$ atteinte au dix-huitième tour ne suffit plus à arrêter la boucle : un dix-neuvième tour est effectué, portant le volume à $4\,750$ mL, ce qui ferait déborder le récipient de $250$ mL. Un seul symbole change, et le programme passe d'un remplissage exact à un débordement : c'est la raison pour laquelle les conditions de seuil se relisent toujours deux fois.

Chaque minute, le récipient gagne $250$ mL et en perd $30$ : le débit NET vaut $250-30=220$ mL par minute. Il faut donc $\dfrac{4\,500}{220}\approx 20{,}45$ minutes, c'est-à-dire $21$ tours de boucle, puisqu'une minute ne se coupe pas en deux dans ce script. Au vingtième tour le volume vaut $4\,400$ mL, encore insuffisant, et au vingt et unième il vaut $4\,620$ mL ✓. On remarque que la fuite ne représente que $12$ pour cent du débit mais rallonge le remplissage de trois minutes : c'est le débit net, et non le débit d'arrivée, qui commande tout.

Motif $1$ : $5$ carreaux. Motif $2$ : $9$ carreaux. Motif $3$ : $13$ carreaux. On peut compter directement sur la figure, ou raisonner : un carreau central plus quatre branches de même longueur.

Il faut écrire $\mathtt{4*n+1}$. La justification vient de la construction elle-même, pas de la suite des nombres : il y a $4$ branches de $n$ carreaux, soit $4n$ carreaux, auxquels s'ajoute le carreau CENTRAL, qui n'appartient à aucune branche. Contrôles : $4\times 1+1=5$ ✓, $4\times 2+1=9$ ✓, $4\times 3+1=13$ ✓. Remarquer seulement que l'on ajoute $4$ à chaque fois ne suffirait pas à justifier la formule, cela ne dirait pas d'où vient le $+1$.

Motif $10$ : $4\times 10+1=41$ carreaux. Motif $25$ : $4\times 25+1=101$ carreaux.

NON. Le nombre $4n+1$ est toujours IMPAIR, puisque $4n$ est pair et qu'on lui ajoute $1$ : aucun motif ne peut donc compter un nombre pair de carreaux, et $100$ est pair. On peut aussi le voir en résolvant $4n+1=100$, qui donne $n=\dfrac{99}{4}=24{,}75$ : ce n'est pas un entier, donc aucun motif ne convient. L'argument de parité est plus rapide et se transporte à toutes les questions du même genre.

Il faut inverser l'opération : à partir de $c$ carreaux, on retire d'abord le carreau central puis on partage en quatre branches, ce qui donne le bloc $\mathtt{mettre\ n\ à\ (c-1)/4}$. Test avec $61$ : $\dfrac{61-1}{4}=\dfrac{60}{4}=15$, c'est donc le motif $15$. Vérification par le premier script : $4\times 15+1=61$ ✓. L'ordre des opérations est imposé par l'inverse du programme direct : soustraire AVANT de diviser, car le programme direct multipliait avant d'ajouter.

Motif $1$ : le contour de la croix compte $12$ côtés, et $8\times 1+4=12$ ✓. Motif $2$ : $20$ côtés, et $8\times 2+4=20$ ✓. Motif $3$ : $28$ côtés, et $8\times 3+4=28$ ✓. La formule se justifie ainsi : les $4n+1$ carreaux offrent $4(4n+1)=16n+4$ côtés au total, mais chacun des $4n$ contacts entre deux carreaux voisins en cache DEUX, d'où $16n+4-8n=8n+4$. Enfin, $8n+4=100$ donne $8n=96$ et $n=12$ : c'est le motif $12$, qui compte $4\times 12+1=49$ carreaux. On note que le périmètre grandit deux fois plus vite que le nombre de carreaux, ce qui est le contraire de ce qui se passe pour un carré plein.