Exercices corrigés : algorithmique et programmation avec Scratch (Cinquième)

1) Le lutin est en $(-120\,;60)$. Le bloc $\mathtt{aller\ à}$ ne déplace pas le lutin d'une certaine quantité : il le TÉLÉPORTE au point indiqué, quelle que soit sa position précédente. C'est une position absolue, à ne jamais confondre avec $\mathtt{ajouter\ \ldots\ à\ x}$.

2) Le lutin regarde vers la droite, donc avancer augmente son abscisse et ne change pas son ordonnée. Il passe de $(-120\,;60)$ à $(-120+120\,;60)$, c'est-à-dire $(0\,;60)$. Il se trouve donc exactement sur l'axe vertical de la scène.

3) Seule l'ordonnée change : $60+(-120)=-60$. Le lutin est en $(0\,;-60)$. Ajouter un nombre négatif à $y$ fait DESCENDRE le lutin, ce qui est cohérent avec le chapitre sur les nombres relatifs : additionner un négatif, c'est reculer sur l'axe.

4) Le lutin regarde toujours vers la droite, car aucun bloc $\mathtt{tourner}$ n'est intervenu : le bloc $\mathtt{ajouter\ \ldots\ à\ y}$ déplace mais ne fait pas pivoter. Il avance donc de $60$ pas horizontalement et arrive en $(0+60\,;-60)$, c'est-à-dire $(60\,;-60)$.

5) Non, le point d'arrivée ne change pas. En échangeant, on obtient $(0\,;60)$, puis $(60\,;60)$ après $\mathtt{avancer\ de\ 60}$, puis $(60\,;-60)$ après $\mathtt{ajouter\ -120\ à\ y}$ : c'est bien le même point. La raison est que ces deux instructions sont deux déplacements indépendants, l'un horizontal, l'autre vertical, et que l'ordre de deux additions ne change pas la somme. Attention cependant : cette conclusion ne vaut QUE parce que la direction du lutin ne change pas entre les deux. Dès qu'un bloc $\mathtt{tourner}$ s'intercale, l'ordre compte, et le résultat est différent.

6) Le lutin regarde vers le haut, donc $\mathtt{avancer}$ augmente maintenant son ordonnée. Départ $(-120\,;60)$ ; après $\mathtt{avancer\ de\ 120}$ il est en $(-120\,;180)$ ; après $\mathtt{ajouter\ -120\ à\ y}$ il est en $(-120\,;60)$ ; après $\mathtt{avancer\ de\ 60}$ il est en $(-120\,;120)$. Une seule instruction a été changée et le point d'arrivée passe de $(60\,;-60)$ à $(-120\,;120)$ : la direction du lutin est bien la seconde information à tenir à jour, au même titre que sa position.

1) On lit $A(-3\,;2)$, $B(4\,;2)$, $C(4\,;-1)$ et $D(-3\,;-1)$. On lit toujours l'abscisse en premier, en se déplaçant horizontalement, puis l'ordonnée, verticalement. Inverser les deux revient à désigner un autre point : $(4\,;2)$ et $(2\,;4)$ n'ont rien à voir.

2) $A$ et $B$ ont la même ordonnée $2$, donc $[AB]$ est horizontal ; $C$ et $D$ ont la même ordonnée $-1$, donc $[DC]$ est horizontal aussi ; $A$ et $D$ ont la même abscisse $-3$, donc $[AD]$ est vertical. Le quadrilatère a quatre angles droits : c'est un RECTANGLE. Sa longueur vaut $4-(-3)=7$ unités et sa largeur $2-(-1)=3$ unités. On calcule une distance en soustrayant les coordonnées, et le résultat est toujours positif si l'on soustrait la plus petite à la plus grande.

3) De $A$ à $B$, l'ordonnée ne change pas et l'abscisse passe de $-3$ à $4$, ce qui fait $+7$ : le bloc est $\mathtt{ajouter\ 7\ à\ x}$. De $B$ à $C$, l'abscisse ne change pas et l'ordonnée passe de $2$ à $-1$, ce qui fait $-3$ : le bloc est $\mathtt{ajouter\ -3\ à\ y}$. On vérifie chaque fois en repartant de la valeur de départ : $-3+7=4$ ✓ et $2+(-3)=-1$ ✓.

4) L'aire du rectangle vaut $7\times 3=21$ unités d'aire. Une unité valant $40$ pas, une unité d'aire vaut $40\times 40=1\,600$ pas carrés, donc l'aire vaut $21\times 1\,600=33\,600$ pas carrés. Le facteur est bien $1\,600$ et non $40$ : une aire est un produit de deux longueurs, donc le coefficient s'applique deux fois.

5) Le script tient en quatre déplacements : $\mathtt{aller\ à\ x:\ -3\ y:\ 2}$, puis $\mathtt{stylo\ en\ position\ d'écriture}$, puis $\mathtt{ajouter\ 7\ à\ x}$, $\mathtt{ajouter\ -3\ à\ y}$, $\mathtt{ajouter\ -7\ à\ x}$, $\mathtt{ajouter\ 3\ à\ y}$. Contrôle : la somme des déplacements horizontaux vaut $7+(-7)=0$ et celle des déplacements verticaux $-3+3=0$. Sur toute figure fermée, ces deux sommes valent zéro, et c'est la vérification à faire avant même de lancer le programme.

6) Le lutin part de $A(-3\,;2)$ et arrive en $(-3-7\,;2)$, c'est-à-dire $(-10\,;2)$ : il part à gauche au lieu d'aller à droite. La suite du script le conduit ensuite en $(-10\,;-1)$, puis en $(-17\,;-1)$, puis en $(-17\,;2)$. La figure obtenue n'est plus fermée : c'est une ligne brisée en créneau, qui part toujours vers la gauche. La somme des déplacements horizontaux vaut désormais $-7+(-7)=-14$, donc le lutin ne revient pas à son point de départ : il termine $14$ unités à gauche de $A$. Un seul signe changé suffit à ouvrir la figure.

1) C'est un CARRÉ de côté $60$ pas. Le lutin répète quatre fois la même paire d'actions : avancer de $60$, puis pivoter d'un quart de tour. Quatre côtés de même longueur séparés par quatre angles droits, c'est la définition du carré. On remarque qu'après le quatrième tour le lutin est revenu à son point de départ et regarde de nouveau dans sa direction initiale : la figure est bien fermée.

2) Le bloc $\mathtt{avancer\ de\ 60}$ est exécuté quatre fois, donc le trait mesure $4\times 60=240$ pas : c'est le périmètre du carré. Les blocs $\mathtt{tourner}$ ne tracent rien, puisqu'ils ne déplacent pas le lutin, et il ne faut surtout pas les compter. L'aire, elle, vaut $60\times 60=3\,600$ pas carrés. Périmètre et aire ne se mesurent pas dans la même unité, et le script ne trace que le périmètre.

3) Parce que la somme des rotations d'une figure fermée vaut un tour complet, soit $360^\circ$, et qu'il y a quatre sommets : chaque rotation vaut donc $\dfrac{360}{4}=90^\circ$. Cette division est le seul calcul du chapitre sur les tracés, et elle vaut pour tous les polygones réguliers : $\dfrac{360}{n}$ pour $n$ côtés.

4) Un rectangle a deux longueurs et deux largeurs qui alternent, donc le motif à répéter contient DEUX côtés et deux rotations : $\mathtt{répéter\ 2\ fois}$, et à l'intérieur $\mathtt{avancer\ de\ 100}$, $\mathtt{tourner\ de\ 90\ degrés\ vers\ la\ droite}$, $\mathtt{avancer\ de\ 20}$, $\mathtt{tourner\ de\ 90\ degrés\ vers\ la\ droite}$. Écrire $\mathtt{répéter\ 4\ fois}$ avec le même motif tracerait le rectangle deux fois de suite, ce qui ne se verrait pas à l'écran mais doublerait le temps d'exécution.

5) Le périmètre vaut $2\times(100+20)=240$ pas, exactement le même que celui du carré. L'aire, elle, ne vaut que $100\times 20=2\,000$ pas carrés, contre $3\,600$ pour le carré, soit $1\,600$ pas carrés de moins. Le lutin trace donc la même longueur de trait dans les deux cas, mais n'enferme pas du tout la même surface.

6) Que le périmètre ne détermine pas l'aire. Deux figures tracées avec la même longueur de trait peuvent enfermer des aires très différentes, et parmi tous les rectangles de périmètre donné, c'est le carré qui enferme la plus grande aire. C'est exactement ce que confirme la comparaison précédente, et c'est la raison pour laquelle on ne peut jamais déduire l'une de ces deux grandeurs de l'autre.

1) Un ESCALIER de cinq marches qui monte vers la droite. Il faut suivre un tour de boucle en entier pour le voir : le lutin regarde à droite, avance de $40$ pas horizontalement, pivote d'un quart de tour vers la gauche donc regarde vers le haut, avance de $40$ pas verticalement, puis pivote d'un quart de tour vers la droite et regarde de nouveau vers la droite. Chaque tour dessine donc une marche, un trait horizontal suivi d'un trait vertical, et le lutin termine le tour dans la direction où il l'avait commencé, ce qui permet au tour suivant de recommencer à l'identique.

2) Chaque tour trace deux segments de $40$ pas, soit $80$ pas. Avec cinq tours, le trait mesure $5\times 80=400$ pas. Les blocs $\mathtt{tourner}$ ne tracent rien : le lutin pivote sur place, sans laisser de trace.

3) À chaque tour, le lutin gagne $40$ pas horizontalement, puis $40$ pas verticalement. Sur cinq tours, il se déplace de $5\times 40=200$ pas vers la droite et de $5\times 40=200$ pas vers le haut. Le déplacement horizontal et le déplacement vertical sont ici égaux, ce qui explique que l'escalier monte à $45$ degrés et que le point d'arrivée est aligné en diagonale avec le point de départ.

4) Le lutin part de $(-100\,;-100)$. Son abscisse devient $-100+200=100$ et son ordonnée $-100+200=100$. Il arrive donc en $(100\,;100)$. On remarque que la longueur du trait, $400$ pas, est bien supérieure à la distance à vol d'oiseau entre le départ et l'arrivée : monter un escalier fait parcourir plus de chemin que la diagonale.

5) Le déplacement total doit rester $200$ pas dans chaque direction, réparti sur huit marches au lieu de cinq. Chaque avancée doit donc valoir $\dfrac{200}{8}=25$ pas. Le trait mesurera alors $8\times 2\times 25=400$ pas, la même longueur qu'avant : l'escalier a des marches plus petites et plus nombreuses, mais on parcourt exactement le même chemin. Seul l'aspect change, pas la distance.

6) Le lutin regarde à droite, avance de $40$, pivote d'un quart de tour vers la DROITE donc regarde vers le bas, avance de $40$ en descendant, puis pivote vers la gauche et regarde de nouveau à droite. Chaque tour donne donc $+40$ horizontalement et $-40$ verticalement : l'escalier DESCEND vers la droite. Le point d'arrivée est $(-100+200\,;-100-200)$, c'est-à-dire $(100\,;-300)$. Deux blocs échangés, une figure entièrement différente : c'est le fil de la série, la direction compte autant que la position.

1) On part de $\mathtt{score}=0$. Tour 1 : $0+3=3$, puis $3\times 2=6$. Tour 2 : $6+3=9$, puis $9\times 2=18$. Tour 3 : $18+3=21$, puis $21\times 2=42$. Tour 4 : $42+3=45$, puis $45\times 2=90$. Le tableau comporte donc deux colonnes de valeurs par tour, une après chaque instruction, et c'est la seule façon fiable de ne pas se perdre.

2) À la fin, $\mathtt{score}$ vaut $90$. On peut contrôler l'ordre de grandeur : la variable double à chaque tour et gagne un peu, donc partant de $3$ elle doit atteindre à peu près $3\times 2^{4}=48$ au minimum, et un peu plus à cause des additions successives. Trouver $90$ est cohérent ; trouver $24$ ou $200$ ne l'aurait pas été.

3) Avec l'ordre inversé, chaque tour double d'abord, puis ajoute $3$. Tour 1 : $0\times 2=0$, puis $0+3=3$. Tour 2 : $3\times 2=6$, puis $6+3=9$. Tour 3 : $9\times 2=18$, puis $18+3=21$. Tour 4 : $21\times 2=42$, puis $42+3=45$. La valeur finale est $45$, c'est-à-dire exactement la MOITIÉ de $90$. Ce n'est pas un hasard : dans le premier script, le dernier $3$ ajouté est encore doublé ; dans le second, il ne l'est pas.

4) Parce qu'ici les deux instructions ne sont pas de même nature : l'une additionne, l'autre multiplie. Or multiplier une somme, ce n'est pas ajouter à un produit : $(n+3)\times 2=2n+6$ tandis que $n\times 2+3=2n+3$. À l'exercice 1, les deux instructions étaient deux déplacements, donc deux additions, et deux additions peuvent toujours être échangées. La règle à retenir : on peut échanger deux instructions de même nature, jamais une addition et une multiplication.

5) On poursuit le tableau. Tour 5 : $90+3=93$, puis $186$. Tour 6 : $189$, puis $378$. Tour 7 : $381$, puis $762$. Tour 8 : $765$, puis $1\,530$. La variable dépasse donc $1\,000$ au huitième tour. Au septième, elle ne valait que $762$, ce qui est inférieur à $1\,000$ : il faut bien $8$ tours et non $7$. On répond toujours à ce genre de question en donnant la valeur du dernier tour insuffisant et celle du premier tour suffisant.

6) Il faut deux variables, l'une pour le terme courant, l'autre pour le total : $\mathtt{mettre\ terme\ à\ 0}$, $\mathtt{mettre\ somme\ à\ 0}$, puis $\mathtt{répéter\ 10\ fois}$ contenant $\mathtt{ajouter\ 3\ à\ terme}$ et $\mathtt{ajouter\ terme\ à\ somme}$. La boucle tourne $10$ fois car $30=3\times 10$. Le résultat vaut $3+6+9+\ldots+30=3\times(1+2+\ldots+10)=3\times 55=165$. On peut le vérifier autrement, en regroupant par paires de somme constante : $3+30=33$, $6+27=33$, et ainsi de suite, soit cinq paires à $33$, donc $5\times 33=165$ ✓.

1) Le script calcule d'abord $\mathtt{prix}=6\times 12=72$. Puis il teste la condition : $6>10$ est FAUSSE, donc c'est la branche $\mathtt{sinon}$ qui s'exécute, et elle seule. Le prix devient $72+4=76$ dollars. Une seule des deux branches est parcourue, jamais les deux : c'est toute la différence entre un test et une suite d'instructions.

2) $\mathtt{prix}=10\times 12=120$. La condition $10>10$ est fausse, car le symbole $>$ est STRICT : dix n'est pas strictement plus grand que dix. On passe donc encore par la branche $\mathtt{sinon}$ et le prix vaut $120+4=124$ dollars.

3) $\mathtt{prix}=11\times 12=132$. Cette fois $11>10$ est vraie, donc le prix devient $132\times 0{,}85=112{,}20$ dollars. Multiplier par $0{,}85$, c'est retirer $15\,\%$ : on garde $85$ centièmes du prix. On peut vérifier autrement : $15\,\%$ de $132$ vaut $19{,}80$, et $132-19{,}80=112{,}20$ ✓.

4) Oui, et c'est même flagrant ici. Onze articles coûtent $112{,}20$ dollars alors que dix articles en coûtent $124$ : un article de plus fait économiser $11{,}80$ dollars. Cela vient de ce que le prix fait un SAUT au passage du seuil, la remise s'appliquant d'un coup à toute la commande. Un client averti n'a donc aucun intérêt à commander exactement dix articles, ce qui est un défaut classique des barèmes à seuil et une bonne raison de tracer la courbe des prix avant de publier un tarif.

5) Au-delà de dix articles, le prix vaut $n\times 12\times 0{,}85=10{,}2\times n$ dollars. Pour $n=19$, cela donne $193{,}80$ dollars, ce qui ne dépasse pas $200$. Pour $n=20$, cela donne $204$ dollars, ce qui dépasse. Il faut donc commander $20$ articles. On répond en encadrant : le dernier cas insuffisant et le premier cas suffisant, jamais par un seul essai.

6) Avec $\mathtt{n\ge 10}$, la condition devient vraie dès dix articles. Seule la commande de $n=10$ est concernée, puisque c'est la seule valeur qui distingue les deux conditions : son prix passerait de $124$ à $120\times 0{,}85=102$ dollars, soit $22$ dollars de moins. Un seul symbole modifié, et le tarif change pour toute une catégorie de clients : c'est pourquoi on relit toujours si une inégalité est stricte ou large.

1) Étape par étape : $\mathtt{r}=3\times 4=12$ ; puis $\mathtt{r}=12+10=22$ ; puis $\mathtt{r}=\dfrac{22}{2}=11$ ; puis $\mathtt{r}=11-3=8$. Le script affiche $8$. Chaque ligne écrase la valeur précédente de $\mathtt{r}$ : c'est bien une case mémoire, pas une équation.

2) $\mathtt{r}=7\times 4=28$ ; puis $28+10=38$ ; puis $\dfrac{38}{2}=19$ ; puis $19-7=12$. Le script affiche $12$.

3) Pour $3$ on obtient $8$, pour $7$ on obtient $12$ : dans les deux cas, le résultat est le nombre de départ AUGMENTÉ DE $5$. La conjecture est donc : le programme rend toujours $n+5$. Deux exemples ne prouvent rien, ils suggèrent seulement ce qu'il faut démontrer.

4) On refait le calcul avec la lettre. Après la première ligne, $\mathtt{r}=4n$. Après la deuxième, $\mathtt{r}=4n+10$. Après la troisième, $\mathtt{r}=\dfrac{4n+10}{2}=2n+5$, car on divise CHAQUE terme par $2$. Après la dernière, $\mathtt{r}=2n+5-n=n+5$. Le résultat est donc $n+5$ quel que soit le nombre choisi, ce qui démontre la conjecture. Le point délicat est la division : oublier de diviser aussi le $10$ donnerait $2n+10$, et toute la suite serait fausse.

5) $\mathtt{r}=-4\times 4=-16$ ; puis $-16+10=-6$ ; puis $\dfrac{-6}{2}=-3$ ; puis $-3-(-4)=-3+4=1$. Or $n+5=-4+5=1$ ✓. La démonstration littérale n'a jamais supposé que $n$ était positif, donc elle vaut aussi pour les nombres relatifs, et c'est précisément l'avantage d'une preuve sur une série d'essais.

6) Essayons d'abord : avec $n=5$, on obtient $30$, puis $48$, puis $16$, puis $16-10=6$. Avec $n=1$ : $6$, puis $24$, puis $8$, puis $8-2=6$. Conjecture : le résultat est toujours $6$, quel que soit le nombre choisi. Démonstration : $6n$, puis $6n+18$, puis $\dfrac{6n+18}{3}=2n+6$, puis $2n+6-2n=6$. Le nombre de départ disparaît complètement du calcul, ce qui explique que le résultat soit constant. C'est le genre de programme que l'on présente comme un tour de magie, et le calcul littéral en donne le secret en trois lignes.

1) Faux. Un script s'exécute de haut en bas et chaque instruction travaille sur l'état laissé par la précédente. Échanger $\mathtt{avancer\ de\ 50}$ et $\mathtt{tourner\ de\ 90\ degrés}$ ne donne pas le même dessin du tout. Énoncé correct : l'ordre compte, sauf dans le cas particulier de deux instructions de même nature qui n'interfèrent pas, comme deux déplacements. C'est exactement ce que comparaient les exercices 1 et 5 : deux additions s'échangent, une addition et une multiplication non.

2) Faux. Les $60$ degrés sont l'angle INTÉRIEUR du triangle, celui qu'on mesure entre deux côtés à l'intérieur de la figure. Le lutin, lui, arrive dans le prolongement du côté et doit se rabattre : il tourne de l'angle extérieur, soit $180-60=120$ degrés. Énoncé correct : le lutin tourne de $\dfrac{360}{3}=120$ degrés à chaque sommet. Vérification : $3\times 120=360$, un tour complet, comme sur toute figure fermée. Avec $60$ degrés, trois rotations ne font que $180$ degrés : la figure ne se referme pas, le lutin trace la moitié d'un hexagone régulier.

3) Faux, parce que ce n'est pas une équation. Le bloc $\mathtt{mettre\ \ldots\ à\ \ldots}$ est une AFFECTATION : on calcule d'abord $\mathtt{score}+1$ avec l'ancienne valeur, puis on range le résultat dans la case, en écrasant ce qu'elle contenait. Énoncé correct : si $\mathtt{score}$ vaut $7$, l'instruction calcule $7+1=8$ et $\mathtt{score}$ vaut désormais $8$. Le signe de l'affectation se lit de droite à gauche, et c'est la source d'erreur la plus tenace de tout le chapitre.

4) Faux. La boucle exécute quatre fois l'instruction, donc le lutin avance de $4\times 50=200$ pas. Énoncé correct : $\mathtt{répéter\ 4\ fois}$ multiplie l'effet par quatre. Si aucune rotation n'est présente, le lutin file tout droit sur $200$ pas ; c'est justement pour cela qu'un carré a besoin des blocs $\mathtt{tourner}$.

5) Faux. Un test $\mathtt{si\ \ldots\ alors\ \ldots\ sinon}$ n'exécute qu'UNE seule des deux branches : celle du $\mathtt{alors}$ si la condition est vraie, celle du $\mathtt{sinon}$ si elle est fausse, et jamais les deux. Énoncé correct : les deux branches s'excluent. Si les deux s'exécutaient, le prix de l'exercice 6 subirait à la fois la remise et les frais de livraison, ce qui n'a aucun sens commercial.

1) Neuf bonnes réponses rapportent $9\times 5=45$ points. Les trois autres réponses sont fausses et coûtent $3\times 2=6$ points, ce qui s'écrit $3\times(-2)=-6$. Le score vaut donc $45-6=39$ points. L'erreur classique est d'oublier les mauvaises réponses : le script contient une branche $\mathtt{sinon}$, donc chacune des douze questions modifie le score, dans un sens ou dans l'autre.

2) Léa a répondu correctement à $9$ questions sur $12$, soit $\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}=0{,}75$, c'est-à-dire $75\,\%$. On simplifie la fraction avant de convertir : c'est plus rapide et cela évite la calculatrice.

3) Le score maximal s'obtient avec douze bonnes réponses : $12\times 5=60$ points. Le minimal s'obtient avec zéro bonne réponse : $12\times(-2)=-24$ points. Un score négatif est donc possible, ce qui n'a rien d'absurde avec un barème à malus, et illustre bien l'utilité des nombres relatifs.

4) Six bonnes réponses rapportent $6\times 5=30$ points, et les six mauvaises en retirent $6\times 2=12$. Le score vaut $30-12=18$ points. Répondre juste à la moitié des questions ne donne donc PAS la moitié du score maximal, qui serait $30$ : le malus déforme le barème.

5) Essayons : avec sept bonnes réponses, $7\times 5=35$ et $5\times 2=10$, donc $35-10=25$ points, ce qui est insuffisant. Avec huit bonnes réponses, $8\times 5=40$ et $4\times 2=8$, donc $40-8=32$ points, ce qui convient. Il faut donc au minimum HUIT bonnes réponses. Chaque bonne réponse supplémentaire fait gagner $7$ points et non $5$, puisqu'elle rapporte $5$ points et évite un malus de $2$ : c'est ce qui explique le saut de $25$ à $32$.

6) Il y a $b$ bonnes réponses et $12-b$ mauvaises, donc le score vaut $5b-2(12-b)=5b-24+2b=7b-24$. On vérifie avec Léa : $7\times 9-24=63-24=39$ ✓, et avec le score maximal : $7\times 12-24=84-24=60$ ✓. Pour obtenir exactement $0$, il faudrait $7b=24$, donc $b=\dfrac{24}{7}\approx 3{,}43$, qui n'est pas un nombre entier. C'est impossible : avec trois bonnes réponses le score vaut $-3$, avec quatre il vaut $4$, et le score saute par pas de $7$ sans jamais passer par zéro.

1) On part de $\mathtt{reste}=385$ et $\mathtt{pieces}=0$. La condition $385<100$ est fausse, donc la boucle tourne. Tour 1 : $\mathtt{reste}=285$, $\mathtt{pieces}=1$. Tour 2 : $\mathtt{reste}=185$, $\mathtt{pieces}=2$. Tour 3 : $\mathtt{reste}=85$, $\mathtt{pieces}=3$. La condition $85<100$ est maintenant vraie, donc la boucle s'arrête. Le bloc $\mathtt{répéter\ jusqu'à\ ce\ que}$ teste la condition AVANT chaque tour, et non après.

2) Le distributeur rend $3$ pièces de $1$ dollar, soit $300$ cents, et il reste $385-300=85$ cents à rendre. On vérifie par la division euclidienne : $385=3\times 100+85$, avec un reste inférieur au diviseur. La boucle ne fait rien d'autre que calculer un quotient et un reste par soustractions successives.

3) On repart de $\mathtt{reste}=85$. Tour 1 : $60$. Tour 2 : $35$. Tour 3 : $10$. La condition $10<25$ est vraie, la boucle s'arrête. Le distributeur rend donc $3$ pièces de $25$ cents, soit $75$ cents, et il reste $10$ cents. Contrôle : $85=3\times 25+10$ ✓.

4) On repart de $\mathtt{reste}=10$. Tour 1 : $\mathtt{reste}=0$, $\mathtt{pieces}=1$, et $0<10$ est vraie, donc la boucle s'arrête. Le distributeur rend $1$ pièce de $10$ cents et il ne reste rien. Au total, le client reçoit $3+3+1=7$ pièces. Vérification de la somme : $3\times 100+3\times 25+1\times 10=300+75+10=385$ cents ✓. Cette vérification finale est indispensable : elle contrôle d'un coup les trois boucles.

5) Parce que la boucle doit continuer tant qu'il reste au moins une pièce entière à rendre. Avec $\mathtt{reste\le 100}$, la boucle s'arrêterait alors que le reste vaut exactement $100$ cents, c'est-à-dire une pièce de $1$ dollar encore à rendre. Le distributeur la rendrait alors en $4$ pièces de $25$ cents : la somme resterait juste, mais le client recevrait trois pièces de plus que nécessaire. Le symbole d'une condition d'arrêt se choisit donc en se demandant quel cas limite doit encore être traité.

6) Pour $60$ cents, la condition $60<100$ est vraie DÈS LE DÉPART : la boucle ne tourne pas du tout, et $\mathtt{pieces}$ reste à $0$. Une boucle $\mathtt{répéter\ jusqu'à\ ce\ que}$ peut donc s'exécuter zéro fois, ce qui surprend souvent. La suite donne $2$ pièces de $25$ cents, reste $10$, puis $1$ pièce de $10$ cents : trois pièces au total, et $2\times 25+10=60$ ✓. Pour $400$ cents, la première boucle tourne quatre fois et laisse un reste nul ; les deux autres boucles ne tournent alors pas du tout, puisque $0<25$ et $0<10$ sont vraies d'emblée. Le client reçoit $4$ pièces.

1) Tour 1 : il avance de $80$ vers la droite, en $(80\,;0)$, tourne vers la gauche donc regarde vers le haut, avance de $40$, en $(80\,;40)$. Tour 2 : il regarde toujours vers le haut, car aucun bloc ne l'a fait pivoter : il avance de $80$, en $(80\,;120)$, tourne vers la gauche donc regarde vers la gauche, avance de $40$, en $(40\,;120)$. Il arrive en $(40\,;120)$.