Exercice 0.1 : Convertir et lire le cercle trigonométrique : douze calculs directs

Pour chaque ligne, calculez directement la valeur demandée : une conversion, une mesure principale dans $]-\pi\,;\pi]$ , un cosinus ou un sinus lu sur le cercle, une longueur d'arc ou un angle. Les mesures en radians et les valeurs exactes se choisissent dans une liste.

Une seule méthode pour les douze lignes : la proportionnalité $\pi$ radians pour $180^{\circ}$ pour les conversions ; pour une mesure principale, retirer ou ajouter un nombre entier de tours $2\pi$ jusqu'à tomber dans $]-\pi\,;\pi]$ ; pour un cosinus ou un sinus, placer le point sur le cercle, repérer l'angle remarquable associé ( $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{4}$ ou $\frac{\pi}{3}$ ) et prendre le signe du QUADRANT ; pour un arc, la formule $\ell=r\theta$ avec $\theta$ en radians.

a) Convertissez $40^{\circ}$ en radians.
b) Convertissez $300^{\circ}$ en radians.
c) Convertissez $\frac{7\pi}{12}$ radians en degrés.
d) Convertissez $-\frac{5\pi}{9}$ radians en degrés.
e) Déterminez la mesure principale de $\frac{35\pi}{3}$ .
f) Déterminez la mesure principale de $-\frac{29\pi}{4}$ .
g) Donnez la valeur exacte de $\cos\frac{3\pi}{4}$ .
h) Donnez la valeur exacte de $\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)$ .
i) On sait que $\cos x=-0{,}42$ . Donnez $\cos(\pi-x)$ et $\cos(-x)$ .
j) On sait que $\cos x=\frac{8}{17}$ et que $x\in\left]-\frac{\pi}{2}\,;0\right[$ . Calculez $\sin x$ .
k) Calculez la longueur de l'arc intercepté par un angle au centre de $\frac{5\pi}{6}$ radians sur un cercle de rayon $9$ cm.
l) Sur un cercle de rayon $8$ cm, un arc mesure $6$ cm. Calculez, en radians, l'angle au centre qui l'intercepte.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/13

a)

Mesure en radians

b)

Mesure en radians

c)

Mesure en degrés °

d)

Mesure en degrés °

e)

Mesure principale

f)

Mesure principale

g)

\cos\frac{3\pi}{4}

h)

\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)

i)

\cos(\pi-x)

\cos(-x)

j)

\sin x

k)

\ell

cm

l)

\theta

rad

Voir la correction

Réponses

a) $40\times\frac{\pi}{180}$ ; $\frac{2\pi}{9}$
b) $300\times\frac{\pi}{180}$ ; $\frac{5\pi}{3}$
c) $7\times15^{\circ}$ ; $105^{\circ}$
d) $-5\times20^{\circ}$ ; $-100^{\circ}$
e) $\frac{35\pi}{3}=12\pi-\frac{\pi}{3}$ ; $-\frac{\pi}{3}$
f) $-\frac{29\pi}{4}=-8\pi+\frac{3\pi}{4}$ ; $\frac{3\pi}{4}$
g) $\cos\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)=-\cos\frac{\pi}{4}$ ; $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
h) $\sin\left(-\pi+\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\frac{\pi}{3}$ ; $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
i) $\cos(\pi-x)=-\cos x$ , $\cos(-x)=\cos x$ ; $0{,}42$ et $-0{,}42$
j) $\sin^{2}x=\frac{225}{289}$ , $\sin x<0$ ; $-\frac{15}{17}$
k) $\ell=r\theta=\frac{15\pi}{2}$ ; $\approx23{,}562$ cm
l) $\theta=\frac{\ell}{r}$ ; $0{,}75$ rad

Le geste qui décide de tout se fait sur le cercle, pas dans la formule : situer le point dans son quadrant. C'est le quadrant qui donne le signe d'un cosinus ou d'un sinus, et c'est lui qui dit si une mesure principale est plausible ; la valeur absolue, elle, vient toujours d'un des trois angles remarquables.

a)

$40^{\circ}=40\times\frac{\pi}{180}=\frac{40\pi}{180}=\frac{2\pi}{9}$ .

b)

$300^{\circ}=300\times\frac{\pi}{180}=\frac{300\pi}{180}=\frac{5\pi}{3}$ . Piège : simplifier $\frac{300}{180}$ en $\frac{5}{6}$ au lieu de $\frac{5}{3}$ .

c)

$\frac{7\pi}{12}=\frac{7\times180^{\circ}}{12}=7\times15^{\circ}=105^{\circ}$ .

d)

$-\frac{5\pi}{9}=-\frac{5\times180^{\circ}}{9}=-5\times20^{\circ}=-100^{\circ}$ . Le signe moins se garde : la mesure est parcourue dans le sens indirect.

e)

$\frac{35\pi}{3}=12\pi-\frac{\pi}{3}$ car $36-1=35$ . Retirer $12\pi$ , soit six tours, ne change pas le point : la mesure principale est $-\frac{\pi}{3}$ . Piège : répondre $\frac{5\pi}{3}$ , qui repère le même point mais n'est pas dans $]-\pi\,;\pi]$ .

f)

$-\frac{29\pi}{4}=-8\pi+\frac{3\pi}{4}$ car $-32+3=-29$ . On ajoute quatre tours : la mesure principale est $\frac{3\pi}{4}$ . Piège : ajouter $7\pi$ au lieu d'un nombre PAIR de $\pi$ , ce qui donne $-\frac{\pi}{4}$ , le point diamétralement opposé.

g)

$\frac{3\pi}{4}=\pi-\frac{\pi}{4}$ : le point est dans le deuxième quadrant, symétrique de celui de $\frac{\pi}{4}$ par rapport à l'axe des ordonnées. Son abscisse est négative : $\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

h)

$-\frac{2\pi}{3}$ repère un point du troisième quadrant, symétrique de celui de $\frac{\pi}{3}$ par rapport à l'origine : $-\frac{2\pi}{3}=-\pi+\frac{\pi}{3}$ . Son ordonnée est négative : $\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Piège : prendre $\frac{1}{2}$ , le sinus de $\frac{\pi}{6}$ , en confondant les deux angles remarquables.

i)

Les points associés à $x$ et à $\pi-x$ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées : abscisses opposées, $\cos(\pi-x)=-\cos x=0{,}42$ . Les points associés à $x$ et à $-x$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses : même abscisse, $\cos(-x)=\cos x=-0{,}42$ . Piège : échanger les deux symétries.

j)

$\sin^{2}x=1-\cos^{2}x=1-\frac{64}{289}=\frac{225}{289}$ , donc $\sin x=\frac{15}{17}$ ou $\sin x=-\frac{15}{17}$ . Sur $\left]-\frac{\pi}{2}\,;0\right[$ , le point est dans le quatrième quadrant, d'ordonnée négative : $\sin x=-\frac{15}{17}$ . Piège : garder la racine positive par réflexe.

k)

$\ell=r\theta=9\times\frac{5\pi}{6}=\frac{15\pi}{2}\approx23{,}562$ cm.

l)

$\theta=\frac{\ell}{r}=\frac{6}{8}=0{,}75$ radian, soit environ $43^{\circ}$ . Piège : diviser le rayon par l'arc, $\frac{8}{6}$ .

Contrôle : une conversion se vérifie dans l'autre sens ( $105\times\frac{\pi}{180}=\frac{7\pi}{12}$ ), une mesure principale en vérifiant que la différence avec la mesure de départ est un multiple de $2\pi$ , et une valeur lue sur le cercle en vérifiant $\cos^{2}+\sin^{2}=1$ et le signe du quadrant.

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Exercice 1 : Radians et mesure principale

On rappelle que $180^{\circ}$ correspond à $\pi$ radians. Les réponses en radians sont attendues sous forme exacte.

a) Convertissez en radians les angles de $30^{\circ}$ , $135^{\circ}$ et $210^{\circ}$ .
b) Convertissez en degrés l'angle de $\frac{2\pi}{5}$ radians.
c) Déterminez la mesure principale de $\frac{27\pi}{4}$ .
d) Déterminez la mesure principale de $-\frac{31\pi}{6}$ .

Voir la correction

Réponses

a) $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{3\pi}{4}$ , $\frac{7\pi}{6}$
b) $72^{\circ}$
c) $\frac{3\pi}{4}$
d) $\frac{5\pi}{6}$

a)

Pour passer des degrés aux radians, on multiplie par $\frac{\pi}{180}$ : $30^{\circ}=\frac{30\pi}{180}=\frac{\pi}{6}$ , $135^{\circ}=\frac{135\pi}{180}=\frac{3\pi}{4}$ et $210^{\circ}=\frac{210\pi}{180}=\frac{7\pi}{6}$ . On SIMPLIFIE systématiquement la fraction plutôt que de laisser $\frac{135\pi}{180}$ : le dénominateur simplifié, ici $4$ , indique immédiatement en combien de parts le demi-tour est découpé.

b)

Dans l'autre sens, on multiplie par $\frac{180}{\pi}$ , ce qui fait disparaître le $\pi$ : $\frac{2\pi}{5}\times\frac{180}{\pi}=\frac{2\times 180}{5}=\frac{360}{5}=72^{\circ}$ . Contrôle de plausibilité : $\frac{2\pi}{5}$ est un peu plus que $\frac{\pi}{3}=60^{\circ}$ et moins que $\frac{\pi}{2}=90^{\circ}$ , et $72^{\circ}$ y est bien ✓.

c)

La mesure PRINCIPALE est l'unique mesure appartenant à $]-\pi\,;\,\pi]$ . On retranche donc des tours complets, c'est-à-dire des multiples de $2\pi$ , qu'il faut écrire au même dénominateur : $2\pi=\frac{8\pi}{4}$ . On a $\frac{27\pi}{4}-3\times 2\pi=\frac{27\pi}{4}-\frac{24\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$ , qui appartient bien à $]-\pi\,;\,\pi]$ ✓. La mesure principale est $\frac{3\pi}{4}$ .

d)

$-\frac{31\pi}{6}+3\times 2\pi=-\frac{31\pi}{6}+\frac{36\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$ , qui appartient à $]-\pi\,;\,\pi]$ ✓. La mesure principale est $\frac{5\pi}{6}$ . Ajouter un tour de trop donnerait $\frac{17\pi}{6}$ , hors de l'intervalle : il faut TOUJOURS vérifier l'appartenance à la fin, c'est la seule étape que le correcteur cherche.

Une méthode rapide pour trouver du premier coup le bon nombre de tours : on divise le coefficient de $\pi$ par $2$ et l'on regarde la partie entière. Pour $\frac{27\pi}{4}$ , on calcule $\frac{27}{4\times 2}=3{,}375$ , ce qui annonce trois tours à retrancher ✓. Pour $-\frac{31\pi}{6}$ , on calcule $\frac{-31}{6\times 2}\approx-2{,}58$ , ce qui annonce environ trois tours à ajouter ✓. Retenons enfin l'ordre de grandeur qui sert de garde-fou permanent : $1$ radian vaut environ $57{,}3$ degrés, donc un angle de quelques radians est déjà un angle considérable.

Exercice 2 : Valeurs remarquables sur le cercle

Donnez les valeurs exactes demandées, en précisant à chaque fois le quadrant du point associé.

a) $\cos\frac{\pi}{6}$ , $\sin\frac{\pi}{6}$ , $\cos\frac{\pi}{4}$ et $\sin\frac{\pi}{3}$ .
b) $\cos\frac{5\pi}{6}$ et $\sin\frac{5\pi}{6}$ .
c) $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ .
d) $\cos\frac{7\pi}{4}$ et $\sin\frac{7\pi}{4}$ .

Voir la correction

Réponses

a) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (premier quadrant)
b) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\frac{1}{2}$ (deuxième quadrant)
c) $\frac{1}{2}$ et $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (quatrième quadrant)
d) $\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (quatrième quadrant)

a)

Ces quatre valeurs sont celles du PREMIER quadrant et doivent être sues sans hésitation : $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ , $\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Les deux coordonnées y sont positives. Un moyen de ne pas les confondre : à mesure que l'angle croît de $0$ à $\frac{\pi}{2}$ , le cosinus DESCEND de $1$ à $0$ et le sinus MONTE de $0$ à $1$ , donc $\cos\frac{\pi}{6}$ est grand et $\sin\frac{\pi}{6}$ petit.

b)

On écrit $\frac{5\pi}{6}=\pi-\frac{\pi}{6}$ , donc le point est le symétrique de celui de $\frac{\pi}{6}$ par rapport à l'axe des ORDONNÉES, dans le deuxième quadrant. L'abscisse change de signe et l'ordonnée est conservée : $\cos\frac{5\pi}{6}=-\cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\frac{5\pi}{6}=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ .

c)

Le point associé à $-\frac{\pi}{3}$ est le symétrique de celui de $\frac{\pi}{3}$ par rapport à l'axe des ABSCISSES, donc dans le quatrième quadrant. L'abscisse est conservée et l'ordonnée change de signe : $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ et $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

d)

On écrit $\frac{7\pi}{4}=2\pi-\frac{\pi}{4}$ , ce qui revient au même que $-\frac{\pi}{4}$ à un tour près : le point est le symétrique de celui de $\frac{\pi}{4}$ par rapport à l'axe des abscisses, dans le quatrième quadrant. Donc $\cos\frac{7\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\frac{7\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

La méthode est unique et il ne faut jamais s'en écarter : on ramène l'angle à son ANGLE DE RÉFÉRENCE du premier quadrant, on lit la valeur qu'on connaît par cœur, puis on lui applique le signe du QUADRANT. Le signe ne vient donc jamais du calcul, il vient de la position du point sur le cercle. Un moyen mnémotechnique classique, en parcourant les quadrants dans l'ordre : tout est positif au premier, seul le sinus au deuxième, seule la tangente au troisième, seul le cosinus au quatrième. Mais un cercle dessiné en marge vaut mieux que ce moyen mnémotechnique, car il donne aussi les valeurs et pas seulement les signes.

Exercice 3 : Les angles associés

Soit $x$ un réel de l'intervalle $\left]0\ ;\ \frac{\pi}{2}\right[$ tel que $\cos x=\frac{3}{5}$ .

a) Déterminez $\sin x$ en justifiant le signe.
b) Calculez $\cos(-x)$ et $\sin(-x)$ .
c) Calculez $\cos(\pi-x)$ et $\sin(\pi-x)$ .
d) Calculez $\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ , $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ et $\cos(\pi+x)$ .

Voir la correction

Réponses

a) $\sin x=\frac{4}{5}$
b) $\frac{3}{5}$ et $-\frac{4}{5}$
c) $-\frac{3}{5}$ et $\frac{4}{5}$
d) $\frac{4}{5}$ , $\frac{3}{5}$ et $-\frac{3}{5}$

a)

La relation fondamentale $\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$ donne $\sin^{2}x=1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$ , donc $\sin x=\pm\frac{4}{5}$ . Il reste à TRANCHER le signe, ce que le calcul ne fait jamais : comme $x$ appartient à $\left]0\,;\,\frac{\pi}{2}\right[$ , le point est dans le premier quadrant et son ordonnée est positive, donc $\sin x=\frac{4}{5}$ . On reconnaît au passage le triplet $(3\,;\,4\,;\,5)$ , ce qui est le signe que l'énoncé a choisi ses nombres.

b)

Le cosinus est PAIR et le sinus IMPAIR, ce qui se lit directement sur le cercle : les points associés à $x$ et à $-x$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, donc de même abscisse et d'ordonnées opposées. D'où $\cos(-x)=\cos x=\frac{3}{5}$ et $\sin(-x)=-\sin x=-\frac{4}{5}$ .

c)

Le point associé à $\pi-x$ est le symétrique de celui de $x$ par rapport à l'axe des ORDONNÉES : l'abscisse change de signe, l'ordonnée est conservée. Donc $\cos(\pi-x)=-\cos x=-\frac{3}{5}$ et $\sin(\pi-x)=\sin x=\frac{4}{5}$ .

d)

Le point associé à $\frac{\pi}{2}-x$ est le symétrique de celui de $x$ par rapport à la première BISSECTRICE, ce qui ÉCHANGE les deux coordonnées : $\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x=\frac{4}{5}$ et $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x=\frac{3}{5}$ . Enfin le point associé à $\pi+x$ est le symétrique de celui de $x$ par rapport à l'ORIGINE, les deux coordonnées changeant de signe : $\cos(\pi+x)=-\cos x=-\frac{3}{5}$ .

Il vaut infiniment mieux retenir les quatre SYMÉTRIES que les huit formules qu'elles produisent, car une symétrie se redessine en trois secondes alors qu'une formule mal mémorisée se recopie fausse. Le tableau se résume ainsi : $-x$ est la symétrie par rapport à l'axe des abscisses, $\pi-x$ celle par rapport à l'axe des ordonnées, $\pi+x$ celle par rapport à l'origine, et $\frac{\pi}{2}-x$ celle par rapport à la bissectrice, seule à échanger les coordonnées au lieu d'en changer le signe. Une vérification globale gratuite : toutes les valeurs trouvées doivent avoir pour valeur absolue soit $\frac{3}{5}$ soit $\frac{4}{5}$ , et c'est bien le cas ✓.

Exercice 4 : Utiliser la relation fondamentale

La relation $\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$ sert autant à calculer qu'à simplifier.

a) On sait que $\sin x=-\frac{5}{13}$ et que $x\in\left]-\frac{\pi}{2}\ ;\ 0\right[$ . Calculez $\cos x$ .
b) On sait que $\sin x=0{,}6$ et que $x\in\left]\frac{\pi}{2}\ ;\ \pi\right[$ . Calculez $\cos x$ .
c) Simplifiez $A=\cos^{4}x-\sin^{4}x$ .
d) Démontrez que $\left(\cos x+\sin x\right)^{2}=1+2\cos x\sin x$ , puis calculez $\cos x\sin x$ sachant que $\cos x+\sin x=\frac{1}{2}$ .

Voir la correction

Réponses

a) $\cos x=\frac{12}{13}$
b) $\cos x=-0{,}8$
c) $A=\cos^{2}x-\sin^{2}x=2\cos^{2}x-1$
d) $\cos x\sin x=-\frac{3}{8}$

a)

$\cos^{2}x=1-\left(-\frac{5}{13}\right)^{2}=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$ , donc $\cos x=\pm\frac{12}{13}$ . Le signe se décide par le quadrant : sur $\left]-\frac{\pi}{2}\,;\,0\right[$ le point est dans le QUATRIÈME quadrant, où le cosinus est positif, donc $\cos x=\frac{12}{13}$ . On reconnaît le triplet $(5\,;\,12\,;\,13)$ .

b)

$\cos^{2}x=1-0{,}6^{2}=1-0{,}36=0{,}64$ , donc $\cos x=\pm 0{,}8$ . Sur $\left]\frac{\pi}{2}\,;\,\pi\right[$ le point est dans le DEUXIÈME quadrant, où le cosinus est négatif : $\cos x=-0{,}8$ . Les deux premières questions donnent la même leçon sous deux habillages : le carré efface le signe, et seul le quadrant le restitue.

c)

On reconnaît une différence de carrés, en voyant $\cos^{4}x$ comme $\left(\cos^{2}x\right)^{2}$ : $A=\left(\cos^{2}x-\sin^{2}x\right)\left(\cos^{2}x+\sin^{2}x\right)=\cos^{2}x-\sin^{2}x$ , puisque le second facteur vaut $1$ . On peut aller plus loin en remplaçant $\sin^{2}x$ par $1-\cos^{2}x$ : $A=\cos^{2}x-1+\cos^{2}x=2\cos^{2}x-1$ . Les deux écritures sont acceptées, et la seconde a l'avantage de ne faire intervenir qu'une seule fonction.

d)

En développant le carré : $\left(\cos x+\sin x\right)^{2}=\cos^{2}x+2\cos x\sin x+\sin^{2}x=\left(\cos^{2}x+\sin^{2}x\right)+2\cos x\sin x=1+2\cos x\sin x$ ✓. Si maintenant $\cos x+\sin x=\frac{1}{2}$ , alors $\frac{1}{4}=1+2\cos x\sin x$ , d'où $2\cos x\sin x=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}$ et $\cos x\sin x=-\frac{3}{8}$ . Le produit étant NÉGATIF, on en déduit sans autre calcul que $\cos x$ et $\sin x$ sont de signes contraires, donc que le point est dans le deuxième ou le quatrième quadrant.

La relation fondamentale sert donc à trois choses distinctes, et il faut savoir laquelle on emploie. Elle sert à CALCULER l'une des deux coordonnées à partir de l'autre, comme en a) et b), à condition de trancher le signe par le quadrant. Elle sert à SIMPLIFIER une expression en faisant disparaître un bloc, comme en c) où $\cos^{2}x+\sin^{2}x$ s'évapore. Et elle sert à RELIER somme et produit, comme en d), exactement comme les relations coefficients-racines du second degré relient $x_{1}+x_{2}$ et $x_{1}x_{2}$ . Un contrôle de vraisemblance pour finir : le produit $\cos x\sin x$ ne peut jamais sortir de $\left[-\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\right]$ , et $-\frac{3}{8}$ y est bien ✓.

Exercice 5 : Résoudre une équation trigonométrique

Résolvez sur l'intervalle indiqué. Pensez à représenter le cercle trigonométrique : une équation en cosinus ou en sinus a presque toujours deux solutions par tour.

Anticipation de Terminale : résoudre une équation $\cos x=a$ ou $\sin x=a$ n'est plus au programme de Première depuis la rentrée 2026, c'est un attendu de Terminale. En Première, on sait placer sur le cercle les points d'abscisse ou d'ordonnée remarquable et lire leurs réels associés ; la question d) reste de Première, puisqu'elle se tranche par l'encadrement $-1\leq\sin x\leq 1$ .

a) $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ sur $]-\pi\ ;\ \pi]$ .
b) $\sin x=\frac{1}{2}$ sur $[0\ ;\ 2\pi[$ .
c) $\cos x=-1$ sur $]-\pi\ ;\ \pi]$ .
d) $\sin x=2$ sur $\mathbb{R}$ .

Voir la correction

Réponses

a) $S=\left\{-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right\}$
b) $S=\left\{\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}\right\}$
c) $S=\{\pi\}$
d) $S=\varnothing$

a)

On cherche les points du cercle d'ABSCISSE $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Il y en a deux, symétriques par rapport à l'axe des abscisses : $x=\frac{\pi}{4}$ et $x=-\frac{\pi}{4}$ , tous deux dans $]-\pi\,;\,\pi]$ ✓. Une équation en cosinus a toujours deux solutions symétriques par rapport à l'axe des abscisses, car le cosinus est pair.

b)

On cherche cette fois les points d'ORDONNÉE $\frac{1}{2}$ , qui sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées : $x=\frac{\pi}{6}$ et $x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$ , tous deux dans $[0\,;\,2\pi[$ ✓. Ne donner que $\frac{\pi}{6}$ , la valeur renvoyée par la calculatrice, fait perdre la moitié des points, et c'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre.

c)

Un SEUL point du cercle a pour abscisse $-1$ , c'est le point de coordonnées $(-1\,;\,0)$ . La solution unique est donc $x=\pi$ . Les cas $a=1$ et $a=-1$ sont les seuls où l'équation $\cos x=a$ n'a qu'une solution par tour, parce que les deux solutions habituelles s'y confondent : le point est sur l'axe et son symétrique est lui-même.

d)

Pour tout réel $x$ , le point du cercle a une ordonnée comprise entre $-1$ et $1$ , donc $-1\leq\sin x\leq 1$ . L'équation $\sin x=2$ est ainsi IMPOSSIBLE et l'ensemble des solutions est vide. Ce contrôle d'encadrement doit précéder toute résolution : il coûte deux secondes et évite de chercher une solution qui n'existe pas.

Le comptage des solutions se fait donc AVANT le calcul, et il ne dépend que de la valeur cherchée. Pour $\cos x=a$ ou $\sin x=a$ sur un intervalle de longueur $2\pi$ : aucune solution si $|a|>1$ , une seule si $|a|=1$ , et exactement deux si $|a|<1$ . Cette prévision sert de contrôle final, car une copie qui annonce une seule solution pour $\sin x=\frac{1}{2}$ se contredit elle-même. La différence entre a) et b) mérite enfin d'être notée : pour le cosinus les deux solutions sont OPPOSÉES, $x$ et $-x$ ; pour le sinus elles sont SUPPLÉMENTAIRES, $x$ et $\pi-x$ . Confondre les deux est l'autre erreur classique.

Exercice 6 : Parité, périodicité et courbes

On note $f$ la fonction cosinus et $g$ la fonction sinus, définies sur $\mathbb{R}$ .

Anticipation de Terminale : les fonctions cosinus et sinus, leur parité, leur périodicité, leurs courbes et leurs variations ne sont plus au programme de Première depuis la rentrée 2026 ; elles sont étudiées en Terminale. Seule la question b) est de Première : $\cos(2026\pi)$ et $\sin(2026\pi)$ se lisent sur le cercle, en comptant les tours.

a) Démontrez, à l'aide du cercle trigonométrique, que $f$ est paire et que $g$ est impaire. Que peut-on en déduire pour leurs courbes ?
b) Calculez $\cos(2026\pi)$ et $\sin(2026\pi)$ en justifiant.
c) Donnez le sens de variation de $f$ sur $[0\ ;\ 2\pi]$ .
d) Expliquez pourquoi l'étude de $f$ sur $[0\ ;\ \pi]$ suffit à connaître $f$ sur $\mathbb{R}$ tout entier.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/7

a)

Courbe du cosinus

Courbe du sinus

b)

\cos(2026\pi)

\sin(2026\pi)

c)

Sur

[0;\pi]

, le cosinus est

Sur

[\pi;2\pi]

, le cosinus est

d)

Raison

Voir la correction

Réponses

a) Cosinus pair (symétrie d'axe $(Oy)$ ), sinus impair (symétrie de centre $O$ )
b) $\cos(2026\pi)=1$ , $\sin(2026\pi)=0$
c) Décroissante sur $[0;\pi]$ , croissante sur $[\pi;2\pi]$
d) La périodicité ramène à $[-\pi;\pi]$ , la parité à $[0;\pi]$

a)

Les points associés à $x$ et à $-x$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Ils ont donc la MÊME abscisse et des ordonnées OPPOSÉES : $\cos(-x)=\cos x$ , ce qui signifie que $f$ est paire, et $\sin(-x)=-\sin x$ , ce qui signifie que $g$ est impaire. Sur les courbes, cela se traduit par une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées pour $f$ , et par rapport à l'origine pour $g$ .

b)

L'entier $2026$ est PAIR, donc $2026\pi=1013\times 2\pi$ est un nombre entier de tours complets. Par $2\pi$ -périodicité, on revient exactement au point de départ : $\cos(2026\pi)=\cos 0=1$ et $\sin(2026\pi)=\sin 0=0$ . Si l'entier avait été impair, on serait retombé sur $\pi$ et les réponses auraient été $-1$ et $0$ . La parité de l'entier est donc la seule chose à regarder.

c)

Quand $x$ parcourt $[0\,;\,\pi]$ , le point tourne du point $(1\,;\,0)$ au point $(-1\,;\,0)$ en passant par le HAUT, et son abscisse diminue continûment : $f$ est décroissante de $1$ à $-1$ . Quand $x$ parcourt $[\pi\,;\,2\pi]$ , le point revient par le bas et son abscisse remonte de $-1$ à $1$ : $f$ est croissante. Le tableau comporte donc exactement deux plages sur une période.

d)

La PÉRIODICITÉ ramène l'étude de $\mathbb{R}$ tout entier à un intervalle de longueur $2\pi$ , par exemple $[-\pi\,;\,\pi]$ , puisque tout réel s'y ramène en retranchant des tours. La PARITÉ ramène ensuite $[-\pi\,;\,0]$ à $[0\,;\,\pi]$ , par symétrie. Les deux propriétés combinées réduisent donc l'étude à un intervalle de longueur $\pi$ , soit la moitié d'une période et un quart de ce que l'on aurait dû faire sans elles.

Ce raisonnement de réduction est l'un des plus rentables du programme, et il se rejoue à l'identique pour le sinus, à ceci près que l'imparité y remplace la parité et impose de changer le signe des valeurs. Notons enfin une conséquence pratique de b) qui déroute souvent : $\cos(2026\pi)$ n'exige aucune calculatrice, alors que $\cos(2026)$ , sans le $\pi$ , en exige une et vaut environ $-0{,}947$ . Une expression contenant $\pi$ se ramène presque toujours à une valeur exacte du cercle ; une expression sans $\pi$ presque jamais.

Exercice 7 : Transformer l'intervalle avant de résoudre

Quand l'inconnue apparaît sous la forme $2x$ , ou quand l'équation se factorise, la première étape n'est jamais le calcul.

Anticipation de Terminale : les quatre questions résolvent des équations en cosinus ou en sinus, qui ne sont plus au programme de Première depuis la rentrée 2026 et sont étudiées en Terminale.

a) Résolvez $\cos(2x)=\frac{1}{2}$ sur $[0\ ;\ 2\pi[$ .
b) Résolvez $2\sin x-1=0$ sur $]-\pi\ ;\ \pi]$ .
c) Résolvez $\cos^{2}x=\frac{1}{4}$ sur $[0\ ;\ 2\pi[$ .
d) Résolvez $\sin x=\cos x$ sur $[0\ ;\ 2\pi[$ .

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Réponses

a) $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{5\pi}{6}$ , $\frac{7\pi}{6}$ , $\frac{11\pi}{6}$
b) $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{5\pi}{6}$
c) $\frac{\pi}{3}$ , $\frac{2\pi}{3}$ , $\frac{4\pi}{3}$ , $\frac{5\pi}{3}$
d) $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{5\pi}{4}$

a)

On pose $X=2x$ , et surtout on TRANSFORME l'intervalle en même temps : quand $x$ parcourt $[0\,;\,2\pi[$ , la variable $X$ parcourt $[0\,;\,4\pi[$ , soit DEUX tours. L'équation $\cos X=\frac{1}{2}$ y admet donc quatre solutions, les deux du premier tour et leurs images au second : $\frac{\pi}{3}$ , $\frac{5\pi}{3}$ , puis $\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{7\pi}{3}$ et $\frac{5\pi}{3}+2\pi=\frac{11\pi}{3}$ . En divisant par $2$ : $x=\frac{\pi}{6}$ , $\frac{5\pi}{6}$ , $\frac{7\pi}{6}$ et $\frac{11\pi}{6}$ . Quatre solutions, pas deux : c'est l'intervalle doublé qui les produit, et oublier de le doubler en fait perdre la moitié.

b)

L'équation équivaut à $\sin x=\frac{1}{2}$ , dont les solutions sur $]-\pi\,;\,\pi]$ sont $x=\frac{\pi}{6}$ et $x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$ , toutes deux dans l'intervalle ✓. Ici l'inconnue est $x$ seul, il n'y a donc aucun intervalle à transformer.

c)

L'équation $\cos^{2}x=\frac{1}{4}$ équivaut à $\cos x=\frac{1}{2}$ OU $\cos x=-\frac{1}{2}$ , un carré ayant deux racines carrées opposées. Le premier cas donne $x=\frac{\pi}{3}$ et $x=2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}$ , le second $x=\frac{2\pi}{3}$ et $x=\frac{4\pi}{3}$ . Il y a donc QUATRE solutions. N'écrire que $\cos x=\frac{1}{2}$ en oubliant la racine négative est l'erreur classique de cette question.

d)

Si $\cos x$ était nul, alors $\sin x$ vaudrait $\pm 1$ et l'égalité serait impossible : aucune solution n'est perdue en divisant par $\cos x$ . L'équation devient alors $\frac{\sin x}{\cos x}=1$ , c'est-à-dire que le point du cercle a ses deux coordonnées ÉGALES. Cela se produit exactement sur la première bissectrice, en $x=\frac{\pi}{4}$ et $x=\frac{5\pi}{4}$ , l'un dans le premier quadrant avec deux coordonnées positives, l'autre dans le troisième avec deux coordonnées négatives.

Le point commun aux quatre questions est qu'AUCUNE ne commence par un calcul. En a) on transforme l'intervalle, en b) on isole, en c) on factorise mentalement en deux cas, en d) on justifie une division avant de l'effectuer. La règle générale à retenir pour a) : une équation en $\cos(kx)$ posée sur un intervalle de longueur $\ell$ revient à une équation en $\cos X$ sur un intervalle $k$ fois plus long, donc à $2k$ solutions en général. Le contrôle final consiste toujours à COMPTER les solutions attendues, puis à vérifier qu'on en a bien ce nombre, ici quatre en a) et en c), deux en b) et en d).

Exercice 8 : Un point mobile sur le cercle

Dans un repère orthonormé, un point $M$ part du point de coordonnées $(1\ ;\ 0)$ et parcourt le cercle trigonométrique dans le sens direct à la vitesse constante de 1 radian par seconde.

Après $t$ secondes, $M$ a donc pour coordonnées $\left(\cos t\ ;\ \sin t\right)$ . Les valeurs numériques seront arrondies au millième.

a) Donnez les coordonnées de $M$ après 2 secondes, et précisez son quadrant.
b) Au bout de combien de temps $M$ atteint-il pour la première fois le point de coordonnées $(0\ ;\ 1)$ ?
c) Combien de tours complets $M$ a-t-il effectués au bout de 10 secondes ?
d) Donnez la mesure principale de l'angle parcouru en 10 secondes, et le quadrant où se trouve alors $M$ .

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Réponses

a) $(-0{,}416\,;0{,}909)$ , deuxième quadrant
b) $\frac{\pi}{2}\approx 1{,}571$ s
c) $1$ tour complet
d) $10-4\pi\approx-2{,}566$ , troisième quadrant

a)

Après $2$ secondes, l'angle parcouru vaut $2$ radians et $M$ a pour coordonnées $\left(\cos 2\,;\,\sin 2\right)\approx\left(-0{,}416\,;\,0{,}909\right)$ . L'abscisse est négative et l'ordonnée positive : $M$ est dans le DEUXIÈME quadrant. C'est cohérent, car $2$ radians est compris entre $\frac{\pi}{2}\approx 1{,}571$ et $\pi\approx 3{,}142$ , ce qui est précisément la définition du deuxième quadrant. Ce contrôle par encadrement vaut mieux que la lecture des signes, qu'il permet de prédire.

b)

Le point $(0\,;\,1)$ est le sommet du cercle, atteint après un quart de tour, soit un angle de $\frac{\pi}{2}$ radians. À la vitesse de $1$ radian par seconde, l'angle en radians et le temps en secondes coïncident numériquement, donc il faut $\frac{\pi}{2}\approx 1{,}571$ seconde. La première fois, car $M$ y repassera ensuite toutes les $2\pi\approx 6{,}283$ secondes.

c)

Un tour complet correspond à $2\pi\approx 6{,}283$ radians. En $10$ secondes, $M$ a parcouru $10$ radians, soit $\frac{10}{2\pi}\approx 1{,}592$ tour. Le nombre de tours COMPLETS est donc $1$ , et $M$ a entamé le suivant sans l'achever. La partie décimale, $0{,}592$ tour, est ce qui reste à convertir en angle.

d)

On retranche des tours entiers tant que le résultat n'appartient pas à $]-\pi\,;\,\pi]$ . D'abord $10-2\pi\approx 3{,}717$ , encore supérieur à $\pi\approx 3{,}142$ , donc insuffisant ; puis $10-4\pi\approx-2{,}566$ , qui convient ✓. Ce nombre est compris entre $-\pi$ et $-\frac{\pi}{2}$ : $M$ se trouve donc dans le TROISIÈME quadrant, ce que confirment $\cos 10\approx-0{,}839$ et $\sin 10\approx-0{,}544$ , tous deux négatifs ✓.

La question d) illustre un piège d'arithmétique qui coûte des points chaque année : après avoir constaté à la question c) qu'il y a $1$ tour complet, on est tenté de retrancher UN seul tour, ce qui donne $3{,}717$ , hors de l'intervalle principal. La raison est que la mesure principale n'est pas celle qui reste après les tours complets, mais celle qui tombe dans $]-\pi\,;\,\pi]$ , intervalle CENTRÉ sur zéro et non commençant à zéro. Un angle de $0{,}592$ tour dépasse le demi-tour, il vaut donc mieux le compter comme $-0{,}408$ tour dans l'autre sens. Cet exercice fait aussi le pont avec la physique : un mouvement circulaire uniforme de vitesse angulaire $\omega$ donne un point de coordonnées $\left(R\cos(\omega t)\,;\,R\sin(\omega t)\right)$ , ce que l'exercice 10 exploitera sur une grande roue.

Exercice 9 : Quatre erreurs à corriger

Chacune des affirmations suivantes est fausse. Corrigez-la et donnez un contre-exemple chiffré.

Anticipation de Terminale pour la question c) : compter les solutions d'une équation $\sin x=a$ est un attendu de Terminale. Les questions a), b) et d) sont au programme de Première.

a) « $\cos(\pi-x)=\cos x$ . »
b) « Puisque $\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$ , on a $\cos x+\sin x=1$ . »
c) « L'équation $\sin x=0{,}5$ admet exactement une solution dans $[0\ ;\ 2\pi[$ . »
d) « Un angle de 2 radians mesure environ 2 degrés. »

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Réponses

a) $\cos(\pi-x)=-\cos x$ ; $\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$
b) $\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\neq 1$
c) Deux solutions : $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{5\pi}{6}$
d) $2$ rad $\approx 114{,}59^{\circ}$

a)

Faux : la bonne relation est $\cos(\pi-x)=-\cos x$ . Le point associé à $\pi-x$ est le symétrique de celui de $x$ par rapport à l'axe des ORDONNÉES, donc son abscisse change de signe, tandis que son ordonnée est conservée, d'où $\sin(\pi-x)=\sin x$ . Contre-exemple avec $x=\frac{\pi}{3}$ : $\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$ alors que $\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ , les deux valeurs sont opposées et non égales. La confusion vient probablement avec la relation vraie $\cos(-x)=\cos x$ , qui porte sur une symétrie différente.

b)

Faux : c'est la somme des CARRÉS qui vaut $1$ , pas la somme. On a en réalité $\left(\cos x+\sin x\right)^{2}=1+2\cos x\sin x$ , comme l'a établi l'exercice 4, quantité qui varie entre $0$ et $2$ : la somme $\cos x+\sin x$ parcourt donc tout l'intervalle $\left[-\sqrt{2}\,;\,\sqrt{2}\right]$ . Contre-exemple avec $x=\frac{\pi}{4}$ : $\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\approx 1{,}414$ , ce qui est bien différent de $1$ .

c)

Faux : il y en a DEUX, $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{5\pi}{6}$ , symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. La calculatrice n'en renvoie qu'une, celle qui appartient à $\left[-\frac{\pi}{2}\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$ , car la fonction arcsinus est définie ainsi : c'est à l'élève de produire l'autre. La règle générale, rappelée à l'exercice 5, est qu'il y a deux solutions par tour dès que la valeur cherchée est strictement comprise entre $-1$ et $1$ .

d)

Faux, et l'écart est énorme. Comme $\pi$ radians valent $180^{\circ}$ , un radian vaut $\frac{180}{\pi}\approx 57{,}30^{\circ}$ , donc $2$ radians valent environ $114{,}59^{\circ}$ . Un angle de $2$ radians est donc OBTUS, presque un angle plat, alors qu'un angle de $2^{\circ}$ est presque nul. La confusion vient de ce que les deux unités portent le même nombre sans jamais porter la même mesure.

Ces quatre erreurs se répartissent en deux familles. Les affirmations a) et c) relèvent d'une lecture incomplète du CERCLE : on retient une symétrie pour une autre, ou l'on s'arrête à ce que renvoie la calculatrice. Le remède est unique et tient en un geste : dessiner le cercle en marge de la copie, ce qui prend dix secondes et rend les deux erreurs impossibles. Les affirmations b) et d) relèvent d'une confusion de NATURE, entre une somme et une somme de carrés, puis entre deux unités. Le remède est le contrôle numérique sur une valeur simple, $x=\frac{\pi}{4}$ pour la première et $1$ radian pour la seconde, qui démolit chacune en cinq secondes.

Exercice 10 : Problème de synthèse : la grande roue

Une grande roue de 25 mètres de rayon tourne à vitesse constante dans le sens direct et effectue un tour complet en 12 minutes. Son centre est situé à 30 mètres du sol.

Une nacelle part du point le plus bas de la roue à l'instant $t=0$ . On note $h(t)$ sa hauteur au-dessus du sol, en mètres, après $t$ minutes.

Anticipation de Terminale : la hauteur est ici une fonction du temps construite sur le cosinus, et les questions c) et d) résolvent une équation puis une inéquation trigonométriques, deux attendus de Terminale. Les questions a) et b), qui ne demandent que des cosinus de valeurs remarquables, sont à la portée de la Première.

a) Justifiez que $h(t)=30-25\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$ , et vérifiez les hauteurs aux instants $t=0$ et $t=6$ .
b) Calculez la hauteur de la nacelle après 2 minutes.
c) Déterminez les instants du premier tour où la nacelle se trouve à la hauteur du centre de la roue.
d) Résolvez $h(t)\geq 42{,}5$ sur $[0\ ;\ 12]$ et interprétez le résultat en fraction de tour.

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Réponses

a) Angle $\frac{\pi t}{6}$ , départ par le bas ; $h(0)=5$ m, $h(6)=55$ m
b) $h(2)=17{,}5$ m
c) $t=3$ et $t=9$ min
d) $t\in[4;8]$ : un tiers du tour

a)

La nacelle décrit un cercle de rayon $25$ mètres dont le centre est à $30$ mètres du sol. Un tour de $2\pi$ radians prenant $12$ minutes, l'angle parcouru après $t$ minutes vaut $\frac{2\pi t}{12}=\frac{\pi t}{6}$ radians. En partant du point le plus BAS, la hauteur s'obtient en retranchant au centre la projection verticale du rayon, d'où $h(t)=30-25\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$ . Le signe moins encode le départ par le bas ; un départ par le haut aurait donné un plus. Vérifications : $h(0)=30-25\times 1=5$ mètres, le point le plus bas ✓, et $h(6)=30-25\cos\pi=30+25=55$ mètres, le point le plus haut, atteint à la demi-période ✓.

b)

$h(2)=30-25\cos\frac{2\pi}{6}=30-25\cos\frac{\pi}{3}=30-25\times\frac{1}{2}=30-12{,}5=17{,}5$ mètres. La nacelle a donc gagné $12{,}5$ mètres en deux minutes, soit un sixième de tour.

c)

La hauteur du centre est de $30$ mètres. On résout $30-25\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)=30$ , ce qui donne $25\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)=0$ , soit $\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)=0$ . En posant $X=\frac{\pi t}{6}$ , qui parcourt $[0\,;\,2\pi]$ quand $t$ parcourt $[0\,;\,12]$ , on obtient $X=\frac{\pi}{2}$ ou $X=\frac{3\pi}{2}$ , donc $t=3$ et $t=9$ minutes. La nacelle passe à hauteur du centre DEUX fois par tour, une fois en montant et une fois en descendant, ce qui est géométriquement évident sur un cercle.

d)

$h(t)\geq 42{,}5$ équivaut à $-25\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)\geq 12{,}5$ , soit, en divisant par $-25$ ce qui INVERSE le sens, $\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)\leq-\frac{1}{2}$ . Avec $X=\frac{\pi t}{6}\in[0\,;\,2\pi]$ , le cosinus est inférieur ou égal à $-\frac{1}{2}$ sur $\left[\frac{2\pi}{3}\,;\,\frac{4\pi}{3}\right]$ , donc $t\in[4\,;\,8]$ . La nacelle passe ainsi $4$ minutes par tour au-dessus de $42{,}5$ mètres, soit exactement un TIERS du tour.

Ce dernier résultat surprend et mérite d'être expliqué, car c'est là que se joue la note. La hauteur $42{,}5$ mètres se situe aux trois quarts de la course entre le point bas et le point haut, et l'on s'attendrait donc à y passer moins du quart du temps. Il s'en faut de beaucoup : la nacelle y passe le tiers du tour, parce que sa vitesse VERTICALE n'est pas constante. Près du sommet, le mouvement circulaire est presque horizontal, la nacelle monte et redescend très lentement, et elle s'y attarde. Près de la hauteur du centre, à l'inverse, le mouvement est presque vertical et le passage est rapide. C'est le même phénomène qui fait s'attarder un pendule à ses positions extrêmes, et il se lit directement sur la courbe du cosinus, plate en ses extremums et raide en son milieu.

Exercice 11 : Longueur d'arc et aire d'un secteur

Sur un cercle de rayon $r$ , un angle au centre de $\theta$ radians intercepte un arc de longueur $\ell=r\theta$ et délimite un secteur d'aire $\mathcal{A}=\frac{r^{2}\theta}{2}$ .

Ces deux formules simples sont la vraie raison d'être du radian : elles seraient encombrées d'un facteur $\frac{\pi}{180}$ en degrés.

a) Calculez la longueur de l'arc intercepté par un angle de $1{,}2$ radian sur un cercle de rayon $5$ cm.
b) Sur un cercle de rayon $6$ cm, quel angle intercepte un arc de $15$ cm ? Donnez-le en radians puis en degrés, au centième.
c) Calculez l'aire du secteur d'angle $\frac{\pi}{3}$ d'un disque de rayon $4$ cm, en valeur exacte puis au centième.
d) Deux villes sont situées sur le même méridien, aux latitudes $45^{\circ}$ Nord et $30^{\circ}$ Nord. En assimilant la Terre à une sphère de rayon $6\,371$ km, calculez la distance qui les sépare le long du méridien, au kilomètre près.
e) L'aiguille des minutes d'une horloge mesure $12$ cm. Quelle distance parcourt sa pointe en $20$ minutes ? Donnez la valeur exacte et une valeur au centième.

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Réponses

a) $6$ cm
b) $2{,}5$ rad $\approx 143{,}24^{\circ}$
c) $\frac{8\pi}{3}\approx 8{,}38$ cm²
d) $6\,371\times\frac{\pi}{12}\approx 1\,668$ km
e) $8\pi\approx 25{,}13$ cm

a)

$\ell=r\theta=5\times 1{,}2=6$ cm. L'angle doit être en RADIANS : c'est la condition d'emploi de la formule.

b)

$\theta=\frac{\ell}{r}=\frac{15}{6}=2{,}5$ rad. En degrés : $2{,}5\times\frac{180}{\pi}\approx 143{,}24^{\circ}$ . Contrôle : l'arc de $15$ cm est un peu moins de la moitié du périmètre $12\pi\approx 37{,}7$ cm, et l'angle un peu moins de $180^{\circ}$ ✓.

c)

$\mathcal{A}=\frac{4^{2}\times\frac{\pi}{3}}{2}=\frac{16\pi}{6}=\frac{8\pi}{3}\approx 8{,}38$ cm². C'est bien le sixième de l'aire du disque, $16\pi$ , puisque $\frac{\pi}{3}$ est le sixième d'un tour.

d)

L'écart de latitude est de $15^{\circ}$ , soit $\frac{15\pi}{180}=\frac{\pi}{12}$ rad. La distance est un arc de grand cercle : $6\,371\times\frac{\pi}{12}\approx 1\,668$ km. Convertir l'angle en radians AVANT d'appliquer $\ell=r\theta$ évite la réponse absurde $6\,371\times 15$ .

e)

En $20$ minutes, l'aiguille fait un tiers de tour, soit un angle de $\frac{2\pi}{3}$ rad. La pointe parcourt $12\times\frac{2\pi}{3}=8\pi\approx 25{,}13$ cm.

Un radian est l'angle qui intercepte un arc de longueur égale au rayon : c'est pourquoi $\ell=r\theta$ n'a pas de coefficient. Toute question de longueur d'arc, de vitesse sur un cercle ou de distance sur la Terre commence par une conversion en radians.

Exercice 12 : Toutes les solutions sur ℝ

L'équation $\cos x=\cos a$ a pour solutions dans $\mathbb{R}$ les réels $x=a+2k\pi$ et $x=-a+2k\pi$ , avec $k$ entier ; l'équation $\sin x=\sin a$ a pour solutions $x=a+2k\pi$ et $x=\pi-a+2k\pi$ .

Anticipation de Terminale : résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations $\cos x=\cos a$ et $\sin x=\sin a$ , avec les solutions $+2k\pi$ , n'est pas au programme de Première ; c'est un attendu de Terminale.

a) Résolvez dans $\mathbb{R}$ l'équation $\cos x=\cos\frac{\pi}{5}$ .
b) Résolvez dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sin x=\sin\frac{2\pi}{7}$ .
c) Combien l'équation $\cos x=\frac{1}{2}$ a-t-elle de solutions dans l'intervalle $[0\,;20]$ ?
d) Déterminez la plus petite solution strictement positive de $\sin x=-\frac{1}{2}$ .
e) À la calculatrice, résolvez $\cos x=0{,}3$ sur $]-\pi\,;\pi]$ , au millième.

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Réponses

a) $x=\frac{\pi}{5}+2k\pi$ ou $x=-\frac{\pi}{5}+2k\pi$
b) $x=\frac{2\pi}{7}+2k\pi$ ou $x=\frac{5\pi}{7}+2k\pi$
c) $7$ solutions
d) $\frac{7\pi}{6}$
e) $x\approx-1{,}266$ ou $x\approx 1{,}266$

a)

Les solutions sont $x=\frac{\pi}{5}+2k\pi$ et $x=-\frac{\pi}{5}+2k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ . Deux familles, car deux points du cercle ont la même abscisse.

b)

Les solutions sont $x=\frac{2\pi}{7}+2k\pi$ et $x=\pi-\frac{2\pi}{7}+2k\pi=\frac{5\pi}{7}+2k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ . Écrire $-\frac{2\pi}{7}$ pour la seconde famille confondrait le sinus avec le cosinus : $\sin\left(-\frac{2\pi}{7}\right)=-\sin\frac{2\pi}{7}$ .

c)

$\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}$ : les solutions sont $\frac{\pi}{3}+2k\pi$ et $\frac{5\pi}{3}+2k\pi$ (avec $\frac{5\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}+2\pi$ ). Dans $[0\,;20]$ : $\frac{\pi}{3}+2k\pi\leq 20$ pour $k=0,1,2,3$ , la dernière valant $\frac{19\pi}{3}\approx 19{,}90$ ; $\frac{5\pi}{3}+2k\pi\leq 20$ pour $k=0,1,2$ , la suivante valant $\frac{23\pi}{3}\approx 24{,}1$ . Il y a $4+3=7$ solutions. L'intervalle couvre $\frac{20}{2\pi}\approx 3{,}18$ tours : on attendait un peu plus de six solutions, le contrôle est cohérent.

d)

$-\frac{1}{2}=\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$ . Les solutions sont $-\frac{\pi}{6}+2k\pi$ et $\pi+\frac{\pi}{6}+2k\pi=\frac{7\pi}{6}+2k\pi$ . Les valeurs positives les plus petites de chaque famille sont $\frac{11\pi}{6}$ et $\frac{7\pi}{6}$ : la plus petite est $\frac{7\pi}{6}$ .

e)

La calculatrice donne $\arccos(0{,}3)\approx 1{,}266$ , qui appartient à $[0\,;\pi]$ . Par parité du cosinus, $-1{,}266$ est l'autre solution dans $]-\pi\,;\pi]$ . $S=\{-1{,}266\,;1{,}266\}$ environ.

Les deux familles viennent des deux symétries déjà vues : axe des abscisses pour le cosinus ( $a$ et $-a$ ), axe des ordonnées pour le sinus ( $a$ et $\pi-a$ ). Pour compter les solutions dans un intervalle, on écrit les inégalités sur $k$ famille par famille, puis on vérifie l'ordre de grandeur par le nombre de tours.

Exercice 13 : Distance et aire sur le cercle trigonométrique

Dans un repère orthonormé d'origine $O$ , on note $A$ le point $(1\,;0)$ et $M$ le point du cercle trigonométrique associé au réel $\theta\in\,]-\pi\,;\pi]$ , de coordonnées $(\cos\theta\,;\sin\theta)$ .

Anticipation de Terminale pour les questions b), c) et e) : elles se ramènent à résoudre $\cos\theta=\frac{1}{2}$ , $\cos\theta=-\frac{1}{2}$ et $\sin\theta=\frac{1}{2}$ , des équations de Terminale. Les questions a) et d) sont au programme de Première.

a) Montrez que $AM^{2}=2-2\cos\theta$ .
b) Déterminez les valeurs de $\theta$ pour lesquelles $AM=1$ . Quelle figure obtient-on avec $O$ , $A$ et $M$ ?
c) Déterminez les valeurs de $\theta$ pour lesquelles $AM=\sqrt{3}$ .
d) Pour $\theta\in\,]0\,;\pi[$ , montrez que l'aire du triangle $OAM$ vaut $\frac{\sin\theta}{2}$ , puis donnez l'aire maximale et la valeur de $\theta$ correspondante.
e) Pour quelles valeurs de $\theta\in\,]0\,;\pi[$ cette aire vaut-elle $\frac{1}{4}$ ?

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Réponses

a) $AM^{2}=(\cos\theta-1)^{2}+\sin^{2}\theta=2-2\cos\theta$
b) $\theta=\pm\frac{\pi}{3}$ : triangle équilatéral
c) $\theta=\pm\frac{2\pi}{3}$
d) Aire $\frac{\sin\theta}{2}$ , maximale $\frac{1}{2}$ pour $\theta=\frac{\pi}{2}$
e) $\theta=\frac{\pi}{6}$ ou $\theta=\frac{5\pi}{6}$

a)

$AM^{2}=(\cos\theta-1)^{2}+(\sin\theta-0)^{2}=\cos^{2}\theta-2\cos\theta+1+\sin^{2}\theta$ . Comme $\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$ , on obtient $AM^{2}=2-2\cos\theta$ .

b)

$AM=1\iff 2-2\cos\theta=1\iff\cos\theta=\frac{1}{2}\iff\theta=\frac{\pi}{3}$ ou $\theta=-\frac{\pi}{3}$ sur $]-\pi\,;\pi]$ . Le triangle $OAM$ a alors trois côtés de longueur $1$ ( $OA=OM=1$ comme rayons) : il est ÉQUILATÉRAL, ce qui est cohérent avec l'angle $\frac{\pi}{3}=60^{\circ}$ en $O$ .

c)

$AM=\sqrt{3}\iff 2-2\cos\theta=3\iff\cos\theta=-\frac{1}{2}\iff\theta=\frac{2\pi}{3}$ ou $\theta=-\frac{2\pi}{3}$ . On retrouve le côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle de rayon $1$ , qui vaut $\sqrt{3}$ .

d)

On prend $[OA]$ pour base, de longueur $1$ . La hauteur issue de $M$ est la distance de $M$ à l'axe des abscisses, soit $\sin\theta$ , positif sur $]0\,;\pi[$ . L'aire vaut $\frac{1\times\sin\theta}{2}=\frac{\sin\theta}{2}$ . Comme $\sin\theta\leq 1$ avec égalité pour $\theta=\frac{\pi}{2}$ , l'aire maximale vaut $\frac{1}{2}$ , atteinte quand le triangle est rectangle en $O$ .

e)

$\frac{\sin\theta}{2}=\frac{1}{4}\iff\sin\theta=\frac{1}{2}\iff\theta=\frac{\pi}{6}$ ou $\theta=\frac{5\pi}{6}$ , les deux dans $]0\,;\pi[$ . Deux positions de $M$ , symétriques par rapport à l'axe des ordonnées, donnent la même hauteur donc la même aire.

Les coordonnées $(\cos\theta\,;\sin\theta)$ transforment une question de géométrie en équation trigonométrique : une distance fait apparaître le cosinus, par la relation fondamentale, et une hauteur fait apparaître le sinus. Le cercle permet ensuite de lire toutes les solutions, sans en oublier.

Exercice 14 : Les aiguilles d'une horloge

À midi, les deux aiguilles d'une horloge sont superposées sur le chiffre $12$ . On mesure les angles en radians, à partir de la direction de $12$ , dans le sens de rotation des aiguilles. On note $t$ le temps écoulé depuis midi, en minutes.

a) Quelle est la vitesse angulaire de chaque aiguille, en radians par minute ?
b) Exprimez l'angle entre l'aiguille des minutes et celle des heures en fonction de $t$ , tant que cet angle ne dépasse pas $2\pi$ .
c) À quel instant, après midi, les aiguilles sont-elles de nouveau superposées pour la première fois ? Donnez $t$ au centième de minute et l'heure correspondante.
d) Combien de fois les aiguilles se superposent-elles entre midi (exclu) et minuit (inclus) ?
e) À quel instant les aiguilles sont-elles perpendiculaires pour la première fois après midi ? Donnez $t$ au centième.
f) L'aiguille des minutes mesure $10$ cm. Dans un repère centré sur l'axe de l'horloge, d'axe des ordonnées dirigé vers $12$ et d'axe des abscisses vers $3$ , donnez les coordonnées de sa pointe à $12$ h $20$ .

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Réponses

a) $\frac{\pi}{30}$ et $\frac{\pi}{360}$ rad/min
b) $\frac{11\pi t}{360}$
c) $t=\frac{720}{11}\approx 65{,}45$ min, vers $13$ h $05$ min $27$ s
d) $11$ fois
e) $t=\frac{180}{11}\approx 16{,}36$ min
f) $(5\sqrt{3}\,;-5)\approx(8{,}66\,;-5)$

a)

L'aiguille des minutes fait un tour, $2\pi$ rad, en $60$ min : $\frac{2\pi}{60}=\frac{\pi}{30}$ rad/min. L'aiguille des heures fait un tour en $12$ h, soit $720$ min : $\frac{2\pi}{720}=\frac{\pi}{360}$ rad/min.

b)

Après $t$ minutes, l'aiguille des minutes a tourné de $\frac{\pi t}{30}$ et celle des heures de $\frac{\pi t}{360}$ . L'écart vaut $\frac{\pi t}{30}-\frac{\pi t}{360}=\frac{12\pi t-\pi t}{360}=\frac{11\pi t}{360}$ .

c)

Les aiguilles se superposent quand l'écart vaut un tour complet : $\frac{11\pi t}{360}=2\pi$ , soit $t=\frac{720}{11}\approx 65{,}45$ min. C'est à environ $13$ h $05$ min $27$ s, et non à $13$ h $05$ pile : pendant les cinq minutes, l'aiguille des heures a encore avancé.

d)

Les superpositions ont lieu tous les $\frac{720}{11}$ min, donc aux instants $\frac{720k}{11}$ . Dans $]0\,;720]$ , $k$ va de $1$ à $11$ : $11$ superpositions, la dernière à minuit. On en compte $11$ et non $12$ , parce que l'aiguille des minutes ne fait que $11$ tours de PLUS que l'aiguille des heures en douze heures.

e)

L'écart vaut $\frac{\pi}{2}$ : $\frac{11\pi t}{360}=\frac{\pi}{2}$ , soit $t=\frac{180}{11}\approx 16{,}36$ min, vers $12$ h $16$ min $22$ s.

f)

À $12$ h $20$ , l'aiguille des minutes a tourné de $\frac{\pi}{30}\times 20=\frac{2\pi}{3}$ depuis la direction de $12$ . Avec cet axe vertical de référence, les coordonnées de la pointe sont $\left(10\sin\frac{2\pi}{3}\,;10\cos\frac{2\pi}{3}\right)=(5\sqrt{3}\,;-5)\approx(8{,}66\,;-5)$ . Les rôles de $\cos$ et $\sin$ sont échangés par rapport au cercle trigonométrique, parce qu'on part de la verticale et qu'on tourne dans le sens horaire : le point est bien en bas à droite, sur le chiffre $4$ .

Le problème des aiguilles est un problème de POURSUITE : seule compte la vitesse RELATIVE $\frac{11\pi}{360}$ rad/min, et chaque superposition correspond à un tour d'avance de plus. Les radians rendent les calculs linéaires, et la périodicité fait le reste.

Exercice 15 : La marée dans un port

Dans un port, la hauteur d'eau, en mètres, $t$ heures après une pleine mer survenue à $6$ h du matin, est modélisée par $h(t)=4+3\cos\left(\frac{\pi t}{6{,}2}\right)$ , pour $t\in[0\,;12{,}4]$ .

Anticipation de Terminale : la hauteur d'eau est modélisée par une fonction construite sur le cosinus ; sa période (question b) et l'inéquation de la question d) relèvent du programme de Terminale. Les questions a), c) et e) ne demandent que des cosinus de réels et restent de Première.

a) Calculez la hauteur d'eau à la pleine mer, puis l'instant et la hauteur de la basse mer suivante.
b) Justifiez que la fonction $h$ est périodique de période $12{,}4$ h. À quelle heure a lieu la pleine mer suivante ?
c) Calculez la hauteur d'eau deux heures après la pleine mer, au centième.
d) Un voilier a besoin d'au moins $2{,}5$ m d'eau pour entrer au port. Pendant quelle période de la matinée et du début d'après-midi l'entrée lui est-elle interdite ? Donnez les bornes au centième d'heure, puis en heures et minutes.
e) Calculez au centième la baisse de la hauteur d'eau pendant la première heure, puis pendant la troisième heure après la pleine mer. Commentez.

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Réponses

a) Pleine mer $7$ m ; basse mer $1$ m à $t=6{,}2$ h ( $12$ h $12$ )
b) Période $\frac{2\pi}{\pi/6{,}2}=12{,}4$ h ; pleine mer suivante à $18$ h $24$
c) $h(2)\approx 5{,}59$ m
d) $t\in\,]4{,}13;8{,}27[$ : de $10$ h $08$ à $14$ h $16$ environ
e) $0{,}38$ m puis $1{,}43$ m : la mer baisse plus vite à mi-marée

a)

$h(0)=4+3\cos 0=7$ m. La basse mer correspond au minimum du cosinus, $-1$ , atteint quand $\frac{\pi t}{6{,}2}=\pi$ , soit $t=6{,}2$ h, donc à $12$ h $12$ : $h(6{,}2)=4-3=1$ m. Le marnage, écart entre pleine et basse mer, vaut $6$ m.

b)

$h(t+12{,}4)=4+3\cos\left(\frac{\pi t}{6{,}2}+2\pi\right)=h(t)$ , par $2\pi$ -périodicité du cosinus. La pleine mer suivante a lieu $12{,}4$ h après la première, soit $12$ h $24$ min plus tard : à $18$ h $24$ .

c)

$h(2)=4+3\cos\left(\frac{2\pi}{6{,}2}\right)\approx 4+3\times 0{,}5299\approx 5{,}59$ m. La calculatrice doit être en RADIANS : en degrés, elle donnerait $6{,}9995$ , une marée qui n'aurait presque pas bougé.

d)

L'entrée est interdite quand $h(t)<2{,}5$ , soit $3\cos\left(\frac{\pi t}{6{,}2}\right)<-1{,}5$ , c'est-à-dire $\cos X<-\frac{1}{2}$ avec $X=\frac{\pi t}{6{,}2}\in[0\,;2\pi]$ . Sur le cercle, cela correspond à $X\in\left]\frac{2\pi}{3}\,;\frac{4\pi}{3}\right[$ , donc $t\in\left]\frac{2\times 6{,}2}{3}\,;\frac{4\times 6{,}2}{3}\right[$ , soit environ $]4{,}13\,;8{,}27[$ . En heures et minutes, $4{,}13$ h $\approx 4$ h $08$ et $8{,}27$ h $\approx 8$ h $16$ : l'entrée est interdite de $10$ h $08$ à $14$ h $16$ environ, pendant $4$ h $08$ .

e)

Première heure : $h(0)-h(1)=3\left(1-\cos\frac{\pi}{6{,}2}\right)\approx 0{,}38$ m. Troisième heure : $h(2)-h(3)=3\left(\cos\frac{2\pi}{6{,}2}-\cos\frac{3\pi}{6{,}2}\right)\approx 1{,}43$ m. La mer baisse près de quatre fois plus vite à mi-marée qu'au début : la courbe du cosinus est plate près de ses extremums et raide au milieu. C'est ce que les marins résument par la règle des douzièmes.

Le modèle est d'abord LU : la constante $4$ est le niveau moyen, le coefficient $3$ la demi-amplitude, et $\frac{\pi}{6{,}2}$ fixe la période $\frac{2\pi}{\pi/6{,}2}=12{,}4$ h. L'inéquation de d) se résout ensuite comme toute équation trigonométrique : on isole le cosinus, on transforme l'intervalle, et l'on lit la solution sur le cercle.

Exercice 16 : Du triangle rectangle au cercle : les angles associés lus sur le cercle

Dans un repère orthonormé d'origine $O$ , on note $I$ le point $(1\,;0)$ et $M$ le point du cercle trigonométrique associé à un réel $x$ de $\left]0\,;\frac{\pi}{2}\right[$ . Le point $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des abscisses.

La charpente d'un abri a la forme d'un triangle rectangle : la pente mesure $13$ dm, sa projection horizontale $12$ dm et la hauteur $5$ dm. On note $\alpha$ l'angle, en radians, entre la pente et l'horizontale, et $\beta$ l'autre angle aigu du triangle.

a) Justifiez que le triangle $OHM$ est rectangle en $H$ , que $OM=1$ , $OH=\cos x$ et $HM=\sin x$ . Déduisez-en que, pour un réel du premier quadrant, le cosinus du cercle est celui du collège, côté adjacent sur hypoténuse.
b) Calculez $\cos\alpha$ et $\sin\alpha$ dans le triangle de la charpente, puis donnez les coordonnées du point du cercle trigonométrique associé à $\alpha$ .
c) Placez sur le cercle les points associés à $-\alpha$ , $\pi-\alpha$ et $\pi+\alpha$ , puis lisez-y $\sin(-\alpha)$ , $\cos(\pi-\alpha)$ et $\sin(\pi+\alpha)$ . Chaque valeur se justifie par une symétrie, sans formule.
d) Justifiez que $\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$ , puis calculez $\cos\beta$ de deux façons : dans le triangle, et en lisant sur le cercle le point associé à $\frac{\pi}{2}-\alpha$ .
e) Sans calculatrice, donnez $\cos\frac{2\pi}{3}$ , $\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)$ et $\cos\frac{5\pi}{4}$ en les lisant comme angles associés à $\frac{\pi}{3}$ , $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{\pi}{4}$ . Expliquez pourquoi la règle du collège ne pouvait pas donner le premier.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/12

a)

Longueur

OM

Dans

OHM

,

\sin x

vaut

b)

\cos\alpha

\sin\alpha

c)

\sin(-\alpha)

\cos(\pi-\alpha)

\sin(\pi+\alpha)

d)

\cos\beta

\cos\beta

est égal à

e)

\cos\frac{2\pi}{3}

\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)

\cos\frac{5\pi}{4}

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Réponses

a) $OM=1$ , $OH=\cos x$ , $HM=\sin x$ : $\cos x=\frac{OH}{OM}$ , le cosinus du collège
b) $\cos\alpha=\frac{12}{13}$ , $\sin\alpha=\frac{5}{13}$ ; point $\left(\frac{12}{13}\,;\frac{5}{13}\right)$
c) $\sin(-\alpha)=-\frac{5}{13}$ , $\cos(\pi-\alpha)=-\frac{12}{13}$ , $\sin(\pi+\alpha)=-\frac{5}{13}$
d) $\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$ ; $\cos\beta=\frac{5}{13}=\sin\alpha$
e) $\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$ , $\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$ , $\cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; le collège ne connaît que les angles aigus

a)

Le point $M$ est sur le cercle trigonométrique, de centre $O$ et de rayon $1$ : $OM=1$ . Le point $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des abscisses, donc $(MH)$ est perpendiculaire à cet axe et le triangle $OHM$ est rectangle en $H$ . Par définition, $M$ a pour coordonnées $(\cos x\,;\sin x)$ ; comme $x\in\left]0\,;\frac{\pi}{2}\right[$ , $M$ est dans le premier quadrant et ses deux coordonnées sont positives. Donc $H(\cos x\,;0)$ , $OH=\cos x$ et $HM=\sin x$ . L'angle $\widehat{HOM}$ intercepte sur le cercle de rayon $1$ l'arc $IM$ , de longueur $x$ : il mesure $x$ radians. Dans le triangle rectangle, le cosinus du collège vaut $\frac{OH}{OM}=\frac{\cos x}{1}=\cos x$ et le sinus $\frac{HM}{OM}=\sin x$ : les deux définitions COÏNCIDENT pour un réel du premier quadrant. Elles ne coïncident que là : hors de $\left]0\,;\frac{\pi}{2}\right[$ , il n'y a plus de triangle rectangle d'angle $x$ , et seule la définition par le cercle garde un sens.

b)

Dans la charpente, l'hypoténuse est la pente. Contrôle : $12^{2}+5^{2}=144+25=169=13^{2}$ , le triangle est bien rectangle. Le côté adjacent à $\alpha$ est l'horizontale, le côté opposé la hauteur : $\cos\alpha=\frac{12}{13}\approx 0{,}923$ et $\sin\alpha=\frac{5}{13}\approx 0{,}385$ . Comme $\alpha$ est aigu, a) s'applique : le point du cercle associé à $\alpha$ est $M_{\alpha}\left(\frac{12}{13}\,;\frac{5}{13}\right)$ . On vérifie qu'il est sur le cercle : $\frac{144}{169}+\frac{25}{169}=1$ . C'est la relation $\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1$ , qui n'est autre que le théorème de Pythagore divisé par le carré de l'hypoténuse. On n'a jamais eu besoin de $\alpha$ lui-même, environ $0{,}395$ rad : tout ce qui suit se lit sur les coordonnées.

c)

Les trois points sont des symétriques de $M_{\alpha}$ . Le réel $-\alpha$ s'enroule dans l'autre sens : son point est le symétrique de $M_{\alpha}$ par rapport à l'axe des abscisses, $\left(\frac{12}{13}\,;-\frac{5}{13}\right)$ , donc $\sin(-\alpha)=-\frac{5}{13}$ . Le point de $\pi-\alpha$ est à la distance $\alpha$ , mesurée sur l'arc, du point $(-1\,;0)$ image de $\pi$ : c'est le symétrique de $M_{\alpha}$ par rapport à l'axe des ordonnées, $\left(-\frac{12}{13}\,;\frac{5}{13}\right)$ , donc $\cos(\pi-\alpha)=-\frac{12}{13}$ . Le point de $\pi+\alpha$ s'obtient en ajoutant un demi-tour : c'est le symétrique par rapport à l'origine, $\left(-\frac{12}{13}\,;-\frac{5}{13}\right)$ , donc $\sin(\pi+\alpha)=-\frac{5}{13}$ . L'erreur la plus coûteuse serait de revenir au triangle : il donne des LONGUEURS, donc des nombres positifs, alors que $\cos(\pi-\alpha)$ est négatif. Le signe se lit sur le quadrant, la valeur absolue sur le triangle.

d)

La somme des angles d'un triangle vaut $\pi$ radians et l'angle droit en prend $\frac{\pi}{2}$ , donc $\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$ , soit $\beta=\frac{\pi}{2}-\alpha$ . Dans le triangle, le côté adjacent à $\beta$ est la hauteur : $\cos\beta=\frac{5}{13}$ . Sur le cercle, le point associé à $\frac{\pi}{2}-\alpha$ est le symétrique de $M_{\alpha}$ par rapport à la droite d'équation $y=x$ , symétrie qui ÉCHANGE abscisse et ordonnée : $\left(\frac{5}{13}\,;\frac{12}{13}\right)$ . Donc $\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha=\frac{5}{13}$ : les deux calculs concordent. La propriété $\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$ n'est rien d'autre que la règle du collège « le cosinus d'un angle aigu est le sinus de son complémentaire », prolongée à tous les réels.

e)

$\frac{2\pi}{3}=\pi-\frac{\pi}{3}$ : son point est le symétrique de celui de $\frac{\pi}{3}$ par rapport à l'axe des ordonnées, donc $\cos\frac{2\pi}{3}=-\cos\frac{\pi}{3}=-\frac{1}{2}$ . Ensuite $-\frac{5\pi}{6}=\frac{\pi}{6}-\pi$ : son point est le symétrique de celui de $\frac{\pi}{6}$ par rapport à l'origine, donc $\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=-\sin\frac{\pi}{6}=-\frac{1}{2}$ . Enfin $\frac{5\pi}{4}=\pi+\frac{\pi}{4}$ , symétrique de $\frac{\pi}{4}$ par rapport à l'origine : $\cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ . La règle du collège ne vaut que pour les angles AIGUS d'un triangle rectangle ; $\frac{2\pi}{3}$ mesure $120^{\circ}$ , et un rapport de longueurs est toujours positif : elle aurait donné $\frac{1}{2}$ , la bonne valeur absolue avec le mauvais signe.

À retenir : dans le premier quadrant, cosinus et sinus sont ceux du triangle rectangle ; partout ailleurs, on se ramène au premier quadrant par une symétrie du cercle, qui donne la valeur absolue, et c'est le quadrant du point qui donne le signe. Sur une copie, la phrase qui rapporte le point nomme la symétrie : « le point associé à $\pi-\alpha$ est le symétrique de $M_{\alpha}$ par rapport à l'axe des ordonnées ».

Exercices corrigés : la trigonométrie (Première spécialité)

Rappel de cours

Calculs : radians, mesure principale et valeurs remarquables

Exercice 0.1 : Convertir et lire le cercle trigonométrique : douze calculs directs

Partie A : Les bases (/50)

Exercice 1 : Radians et mesure principale

Exercice 2 : Valeurs remarquables sur le cercle

Exercice 3 : Les angles associés

Exercice 4 : Utiliser la relation fondamentale

Exercice 5 : Résoudre une équation trigonométrique

Partie B : Niveau contrôle (/50)

Exercice 6 : Parité, périodicité et courbes

Exercice 7 : Transformer l'intervalle avant de résoudre

Exercice 8 : Un point mobile sur le cercle

Exercice 9 : Quatre erreurs à corriger

Exercice 10 : Problème de synthèse : la grande roue

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 11 : Longueur d'arc et aire d'un secteur

Exercice 12 : Toutes les solutions sur ℝ

Exercice 13 : Distance et aire sur le cercle trigonométrique

Exercice 14 : Les aiguilles d'une horloge

Exercice 15 : La marée dans un port

Partie D : programme 2026 (/10)

Exercice 16 : Du triangle rectangle au cercle : les angles associés lus sur le cercle

Ce chapitre au bac 2025

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