Exercices corrigés : la trigonométrie (Première spécialité)

a) On multiplie par $\frac{\pi}{180}$ : $30^{\circ}=\frac{30\pi}{180}=\frac{\pi}{6}$, $135^{\circ}=\frac{135\pi}{180}=\frac{3\pi}{4}$ et $210^{\circ}=\frac{210\pi}{180}=\frac{7\pi}{6}$.

b) On multiplie par $\frac{180}{\pi}$ : $\frac{2\pi}{5}\times\frac{180}{\pi}=\frac{360}{5}=72^{\circ}$.

c) On retranche des tours complets, c'est-à-dire des multiples de $2\pi=\frac{8\pi}{4}$. On a $\frac{27\pi}{4}-3\times 2\pi=\frac{27\pi}{4}-\frac{24\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$, qui appartient bien à $]-\pi\ ;\ \pi]$. La mesure principale est $\frac{3\pi}{4}$.

d) $-\frac{31\pi}{6}+3\times 2\pi=-\frac{31\pi}{6}+\frac{36\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$, qui appartient à $]-\pi\ ;\ \pi]$. La mesure principale est $\frac{5\pi}{6}$. Ajouter un tour de trop donnerait $\frac{17\pi}{6}$, hors de l'intervalle : il faut toujours vérifier l'appartenance à la fin.

a) $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$, $\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Tous ces points sont dans le premier quadrant, où les deux coordonnées sont positives.

b) $\frac{5\pi}{6}=\pi-\frac{\pi}{6}$, donc le point est dans le deuxième quadrant : $\cos\frac{5\pi}{6}=-\cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\frac{5\pi}{6}=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$.

c) Le point associé à $-\frac{\pi}{3}$ est le symétrique de celui de $\frac{\pi}{3}$ par rapport à l'axe des abscisses, donc dans le quatrième quadrant : $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ et $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

d) $\frac{7\pi}{4}=2\pi-\frac{\pi}{4}$, donc le point est le symétrique de celui de $\frac{\pi}{4}$ par rapport à l'axe des abscisses, dans le quatrième quadrant : $\cos\frac{7\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\frac{7\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

a) La relation fondamentale donne $\sin^{2}x=1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, donc $\sin x=\pm\frac{4}{5}$. Comme $x$ appartient au premier quadrant, son sinus est positif : $\sin x=\frac{4}{5}$.

b) $\cos(-x)=\cos x=\frac{3}{5}$ car le cosinus est pair, et $\sin(-x)=-\sin x=-\frac{4}{5}$ car le sinus est impair.

c) $\cos(\pi-x)=-\cos x=-\frac{3}{5}$ et $\sin(\pi-x)=\sin x=\frac{4}{5}$. Le point associé est le symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : l'abscisse change de signe, pas l'ordonnée.

d) $\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x=\frac{4}{5}$ et $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x=\frac{3}{5}$ : les deux coordonnées s'échangent. Enfin $\cos(\pi+x)=-\cos x=-\frac{3}{5}$.

a) $\cos^{2}x=1-\left(-\frac{5}{13}\right)^{2}=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$, donc $\cos x=\pm\frac{12}{13}$. Sur $\left]-\frac{\pi}{2}\ ;\ 0\right[$, le point est dans le quatrième quadrant et le cosinus y est positif : $\cos x=\frac{12}{13}$.

b) $\cos^{2}x=1-0{,}36=0{,}64$, donc $\cos x=\pm 0{,}8$. Sur $\left]\frac{\pi}{2}\ ;\ \pi\right[$, le point est dans le deuxième quadrant et le cosinus y est négatif : $\cos x=-0{,}8$.

c) On reconnaît une différence de carrés : $A=\left(\cos^{2}x-\sin^{2}x\right)\left(\cos^{2}x+\sin^{2}x\right)=\cos^{2}x-\sin^{2}x$, puisque le second facteur vaut 1. En remplaçant $\sin^{2}x$ par $1-\cos^{2}x$, on peut aussi écrire $A=2\cos^{2}x-1$.

d) En développant, $\left(\cos x+\sin x\right)^{2}=\cos^{2}x+2\cos x\sin x+\sin^{2}x=1+2\cos x\sin x$. Si $\cos x+\sin x=\frac{1}{2}$, alors $\frac{1}{4}=1+2\cos x\sin x$, donc $\cos x\sin x=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}-1\right)=-\frac{3}{8}$. Le produit est négatif, ce qui indique que $\cos x$ et $\sin x$ sont de signes contraires.

a) Les points d'abscisse $\frac{\sqrt{2}}{2}$ sur le cercle sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses : $x=\frac{\pi}{4}$ et $x=-\frac{\pi}{4}$.

b) Les points d'ordonnée $\frac{1}{2}$ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées : $x=\frac{\pi}{6}$ et $x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$. Ne donner que $\frac{\pi}{6}$, la valeur renvoyée par la calculatrice, fait perdre la moitié des points.

c) Un seul point du cercle a pour abscisse $-1$, c'est le point de coordonnées $(-1\ ;\ 0)$. La solution unique est $x=\pi$. Les cas $a=1$ et $a=-1$ sont les seuls où l'équation n'a qu'une solution par tour.

d) Pour tout réel $x$, $-1\leq\sin x\leq 1$, donc $\sin x=2$ est impossible. L'ensemble des solutions est vide.

a) Les points associés à $x$ et à $-x$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Ils ont donc la même abscisse et des ordonnées opposées : $\cos(-x)=\cos x$ et $\sin(-x)=-\sin x$. La courbe de $f$ est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, celle de $g$ par rapport à l'origine.

b) $2026$ est pair, donc $2026\pi=1013\times 2\pi$ est un nombre entier de tours. Par $2\pi$-périodicité, $\cos(2026\pi)=\cos 0=1$ et $\sin(2026\pi)=\sin 0=0$. Si l'entier avait été impair, on serait retombé sur $\pi$ et les réponses auraient été $-1$ et $0$.

c) Quand $x$ parcourt $[0\ ;\ \pi]$, le point tourne du point $(1\ ;\ 0)$ au point $(-1\ ;\ 0)$ par le haut, et son abscisse diminue continûment : $f$ est décroissante de $1$ à $-1$. Quand $x$ parcourt $[\pi\ ;\ 2\pi]$, l'abscisse remonte de $-1$ à $1$ : $f$ est croissante.

d) La périodicité donne $f$ sur tout intervalle de longueur $2\pi$ à partir de $[-\pi\ ;\ \pi]$, puis la parité donne les valeurs sur $[-\pi\ ;\ 0]$ à partir de celles sur $[0\ ;\ \pi]$. Les deux propriétés combinées ramènent donc l'étude à un intervalle de longueur $\pi$, soit un quart de ce qu'il faudrait sans elles.

a) Posons $X=2x$ : quand $x$ parcourt $[0\ ;\ 2\pi[$, $X$ parcourt $[0\ ;\ 4\pi[$, soit deux tours. L'équation $\cos X=\frac{1}{2}$ y admet quatre solutions : $\frac{\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{3}$, $\frac{7\pi}{3}$ et $\frac{11\pi}{3}$. En divisant par 2 : $x=\frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{6}$ et $\frac{11\pi}{6}$. Quatre solutions, pas deux : c'est l'intervalle doublé qui les produit.

b) L'équation équivaut à $\sin x=\frac{1}{2}$, dont les solutions sur $]-\pi\ ;\ \pi]$ sont $x=\frac{\pi}{6}$ et $x=\frac{5\pi}{6}$.

c) $\cos^{2}x=\frac{1}{4}$ équivaut à $\cos x=\frac{1}{2}$ ou $\cos x=-\frac{1}{2}$. Le premier cas donne $x=\frac{\pi}{3}$ et $x=\frac{5\pi}{3}$, le second $x=\frac{2\pi}{3}$ et $x=\frac{4\pi}{3}$. Il y a donc quatre solutions. Écrire seulement $\cos x=\frac{1}{2}$ en oubliant la racine négative est l'erreur classique.

d) Si $\cos x=0$, alors $\sin x=\pm 1\neq 0$ et l'égalité est impossible : on peut donc diviser par $\cos x$. L'équation devient $\frac{\sin x}{\cos x}=1$, c'est-à-dire que le point du cercle a des coordonnées égales. Cela se produit sur la bissectrice, en $x=\frac{\pi}{4}$ et $x=\frac{5\pi}{4}$.

a) $M$ a pour coordonnées $\left(\cos 2\ ;\ \sin 2\right)\approx\left(-0{,}416\ ;\ 0{,}909\right)$. L'abscisse est négative et l'ordonnée positive : $M$ est dans le deuxième quadrant, ce qui est cohérent car $2$ radians est compris entre $\frac{\pi}{2}\approx 1{,}571$ et $\pi\approx 3{,}142$.

b) Le point $(0\ ;\ 1)$ correspond au quart de tour, soit un angle de $\frac{\pi}{2}$ radians. À la vitesse de 1 radian par seconde, il faut $\frac{\pi}{2}\approx 1{,}571$ seconde.

c) Un tour complet correspond à $2\pi\approx 6{,}283$ radians. En 10 secondes, $M$ a parcouru 10 radians, soit $\frac{10}{2\pi}\approx 1{,}592$ tour : il a donc effectué un seul tour complet, et entamé le suivant.

d) La mesure principale de $10$ radians s'obtient en retranchant $2\pi$ tant que le résultat n'est pas dans $]-\pi\ ;\ \pi]$. On a $10-2\pi\approx 3{,}717$, encore supérieur à $\pi$, puis $10-4\pi\approx-2{,}566$, qui convient. Ce nombre est compris entre $-\pi$ et $-\frac{\pi}{2}$ : $M$ est dans le troisième quadrant, ce que confirment $\cos 10\approx-0{,}839$ et $\sin 10\approx-0{,}544$.

a) Faux : la bonne relation est $\cos(\pi-x)=-\cos x$. Le point associé à $\pi-x$ est le symétrique de celui de $x$ par rapport à l'axe des ordonnées, donc son abscisse change de signe. Contre-exemple avec $x=\frac{\pi}{3}$ : $\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$ alors que $\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$.

b) Faux : la somme des carrés vaut 1, pas la somme. On a en réalité $\left(\cos x+\sin x\right)^{2}=1+2\cos x\sin x$, quantité qui varie entre $0$ et $2$. Contre-exemple avec $x=\frac{\pi}{4}$ : $\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\approx 1{,}414$.

c) Faux : il y en a deux, $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{5\pi}{6}$, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. La calculatrice n'en renvoie qu'une, celle de $\left[-\frac{\pi}{2}\ ;\ \frac{\pi}{2}\right]$ : c'est à l'élève de produire l'autre.

d) Faux, et l'écart est énorme. Comme $\pi$ radians valent $180^{\circ}$, un radian vaut $\frac{180}{\pi}\approx 57{,}30^{\circ}$, donc 2 radians valent environ $114{,}59^{\circ}$. Un angle de 2 radians est obtus, presque un angle plat, alors qu'un angle de $2^{\circ}$ est presque nul.

a) La nacelle décrit un cercle de rayon 25 centré à 30 mètres du sol. L'angle parcouru après $t$ minutes vaut $\frac{2\pi t}{12}=\frac{\pi t}{6}$ radians, puisqu'un tour de $2\pi$ prend 12 minutes. En partant du bas, la hauteur s'obtient en retranchant au centre la projection verticale du rayon : $h(t)=30-25\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$. Vérifications : $h(0)=30-25=5$ mètres, le point le plus bas, et $h(6)=30-25\cos\pi=30+25=55$ mètres, le point le plus haut.

b) $h(2)=30-25\cos\frac{\pi}{3}=30-25\times\frac{1}{2}=30-12{,}5=17{,}5$ mètres.

c) La hauteur du centre est 30 mètres. On résout $30-25\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)=30$, soit $\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)=0$. En posant $X=\frac{\pi t}{6}\in[0\ ;\ 2\pi]$, cela donne $X=\frac{\pi}{2}$ ou $X=\frac{3\pi}{2}$, donc $t=3$ et $t=9$ minutes. La nacelle passe à hauteur du centre deux fois par tour, une fois en montant et une fois en descendant.

d) $h(t)\geq 42{,}5$ équivaut à $-25\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)\geq 12{,}5$, soit $\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)\leq-\frac{1}{2}$. Avec $X=\frac{\pi t}{6}\in[0\ ;\ 2\pi]$, cela donne $X\in\left[\frac{2\pi}{3}\ ;\ \frac{4\pi}{3}\right]$, donc $t\in[4\ ;\ 8]$. La nacelle passe donc 4 minutes par tour au-dessus de 42,5 mètres, soit exactement un tiers du tour. C'est plus que le quart auquel on pourrait s'attendre, parce que la nacelle est la plus lente en hauteur près du sommet, là où le mouvement circulaire est presque horizontal.