Exercices corrigés : la trigonométrie (Première spécialité)

a) Pour passer des degrés aux radians, on multiplie par $\frac{\pi}{180}$ : $30^{\circ}=\frac{30\pi}{180}=\frac{\pi}{6}$, $135^{\circ}=\frac{135\pi}{180}=\frac{3\pi}{4}$ et $210^{\circ}=\frac{210\pi}{180}=\frac{7\pi}{6}$. On SIMPLIFIE systématiquement la fraction plutôt que de laisser $\frac{135\pi}{180}$ : le dénominateur simplifié, ici $4$, indique immédiatement en combien de parts le demi-tour est découpé.

b) Dans l'autre sens, on multiplie par $\frac{180}{\pi}$, ce qui fait disparaître le $\pi$ : $\frac{2\pi}{5}\times\frac{180}{\pi}=\frac{2\times 180}{5}=\frac{360}{5}=72^{\circ}$. Contrôle de plausibilité : $\frac{2\pi}{5}$ est un peu plus que $\frac{\pi}{3}=60^{\circ}$ et moins que $\frac{\pi}{2}=90^{\circ}$, et $72^{\circ}$ y est bien ✓.

c) La mesure PRINCIPALE est l'unique mesure appartenant à $]-\pi\,;\,\pi]$. On retranche donc des tours complets, c'est-à-dire des multiples de $2\pi$, qu'il faut écrire au même dénominateur : $2\pi=\frac{8\pi}{4}$. On a $\frac{27\pi}{4}-3\times 2\pi=\frac{27\pi}{4}-\frac{24\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$, qui appartient bien à $]-\pi\,;\,\pi]$ ✓. La mesure principale est $\frac{3\pi}{4}$.

d) $-\frac{31\pi}{6}+3\times 2\pi=-\frac{31\pi}{6}+\frac{36\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$, qui appartient à $]-\pi\,;\,\pi]$ ✓. La mesure principale est $\frac{5\pi}{6}$. Ajouter un tour de trop donnerait $\frac{17\pi}{6}$, hors de l'intervalle : il faut TOUJOURS vérifier l'appartenance à la fin, c'est la seule étape que le correcteur cherche.

Une méthode rapide pour trouver du premier coup le bon nombre de tours : on divise le coefficient de $\pi$ par $2$ et l'on regarde la partie entière. Pour $\frac{27\pi}{4}$, on calcule $\frac{27}{4\times 2}=3{,}375$, ce qui annonce trois tours à retrancher ✓. Pour $-\frac{31\pi}{6}$, on calcule $\frac{-31}{6\times 2}\approx-2{,}58$, ce qui annonce environ trois tours à ajouter ✓. Retenons enfin l'ordre de grandeur qui sert de garde-fou permanent : $1$ radian vaut environ $57{,}3$ degrés, donc un angle de quelques radians est déjà un angle considérable.

a) Ces quatre valeurs sont celles du PREMIER quadrant et doivent être sues sans hésitation : $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$, $\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Les deux coordonnées y sont positives. Un moyen de ne pas les confondre : à mesure que l'angle croît de $0$ à $\frac{\pi}{2}$, le cosinus DESCEND de $1$ à $0$ et le sinus MONTE de $0$ à $1$, donc $\cos\frac{\pi}{6}$ est grand et $\sin\frac{\pi}{6}$ petit.

b) On écrit $\frac{5\pi}{6}=\pi-\frac{\pi}{6}$, donc le point est le symétrique de celui de $\frac{\pi}{6}$ par rapport à l'axe des ORDONNÉES, dans le deuxième quadrant. L'abscisse change de signe et l'ordonnée est conservée : $\cos\frac{5\pi}{6}=-\cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\frac{5\pi}{6}=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$.

c) Le point associé à $-\frac{\pi}{3}$ est le symétrique de celui de $\frac{\pi}{3}$ par rapport à l'axe des ABSCISSES, donc dans le quatrième quadrant. L'abscisse est conservée et l'ordonnée change de signe : $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ et $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

d) On écrit $\frac{7\pi}{4}=2\pi-\frac{\pi}{4}$, ce qui revient au même que $-\frac{\pi}{4}$ à un tour près : le point est le symétrique de celui de $\frac{\pi}{4}$ par rapport à l'axe des abscisses, dans le quatrième quadrant. Donc $\cos\frac{7\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\frac{7\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

La méthode est unique et il ne faut jamais s'en écarter : on ramène l'angle à son ANGLE DE RÉFÉRENCE du premier quadrant, on lit la valeur qu'on connaît par cœur, puis on lui applique le signe du QUADRANT. Le signe ne vient donc jamais du calcul, il vient de la position du point sur le cercle. Un moyen mnémotechnique classique, en parcourant les quadrants dans l'ordre : tout est positif au premier, seul le sinus au deuxième, seule la tangente au troisième, seul le cosinus au quatrième. Mais un cercle dessiné en marge vaut mieux que ce moyen mnémotechnique, car il donne aussi les valeurs et pas seulement les signes.

a) La relation fondamentale $\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$ donne $\sin^{2}x=1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, donc $\sin x=\pm\frac{4}{5}$. Il reste à TRANCHER le signe, ce que le calcul ne fait jamais : comme $x$ appartient à $\left]0\,;\,\frac{\pi}{2}\right[$, le point est dans le premier quadrant et son ordonnée est positive, donc $\sin x=\frac{4}{5}$. On reconnaît au passage le triplet $(3\,;\,4\,;\,5)$, ce qui est le signe que l'énoncé a choisi ses nombres.

b) Le cosinus est PAIR et le sinus IMPAIR, ce qui se lit directement sur le cercle : les points associés à $x$ et à $-x$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, donc de même abscisse et d'ordonnées opposées. D'où $\cos(-x)=\cos x=\frac{3}{5}$ et $\sin(-x)=-\sin x=-\frac{4}{5}$.

c) Le point associé à $\pi-x$ est le symétrique de celui de $x$ par rapport à l'axe des ORDONNÉES : l'abscisse change de signe, l'ordonnée est conservée. Donc $\cos(\pi-x)=-\cos x=-\frac{3}{5}$ et $\sin(\pi-x)=\sin x=\frac{4}{5}$.

d) Le point associé à $\frac{\pi}{2}-x$ est le symétrique de celui de $x$ par rapport à la première BISSECTRICE, ce qui ÉCHANGE les deux coordonnées : $\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x=\frac{4}{5}$ et $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x=\frac{3}{5}$. Enfin le point associé à $\pi+x$ est le symétrique de celui de $x$ par rapport à l'ORIGINE, les deux coordonnées changeant de signe : $\cos(\pi+x)=-\cos x=-\frac{3}{5}$.

Il vaut infiniment mieux retenir les quatre SYMÉTRIES que les huit formules qu'elles produisent, car une symétrie se redessine en trois secondes alors qu'une formule mal mémorisée se recopie fausse. Le tableau se résume ainsi : $-x$ est la symétrie par rapport à l'axe des abscisses, $\pi-x$ celle par rapport à l'axe des ordonnées, $\pi+x$ celle par rapport à l'origine, et $\frac{\pi}{2}-x$ celle par rapport à la bissectrice, seule à échanger les coordonnées au lieu d'en changer le signe. Une vérification globale gratuite : toutes les valeurs trouvées doivent avoir pour valeur absolue soit $\frac{3}{5}$ soit $\frac{4}{5}$, et c'est bien le cas ✓.

a) $\cos^{2}x=1-\left(-\frac{5}{13}\right)^{2}=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$, donc $\cos x=\pm\frac{12}{13}$. Le signe se décide par le quadrant : sur $\left]-\frac{\pi}{2}\,;\,0\right[$ le point est dans le QUATRIÈME quadrant, où le cosinus est positif, donc $\cos x=\frac{12}{13}$. On reconnaît le triplet $(5\,;\,12\,;\,13)$.

b) $\cos^{2}x=1-0{,}6^{2}=1-0{,}36=0{,}64$, donc $\cos x=\pm 0{,}8$. Sur $\left]\frac{\pi}{2}\,;\,\pi\right[$ le point est dans le DEUXIÈME quadrant, où le cosinus est négatif : $\cos x=-0{,}8$. Les deux premières questions donnent la même leçon sous deux habillages : le carré efface le signe, et seul le quadrant le restitue.

c) On reconnaît une différence de carrés, en voyant $\cos^{4}x$ comme $\left(\cos^{2}x\right)^{2}$ : $A=\left(\cos^{2}x-\sin^{2}x\right)\left(\cos^{2}x+\sin^{2}x\right)=\cos^{2}x-\sin^{2}x$, puisque le second facteur vaut $1$. On peut aller plus loin en remplaçant $\sin^{2}x$ par $1-\cos^{2}x$ : $A=\cos^{2}x-1+\cos^{2}x=2\cos^{2}x-1$. Les deux écritures sont acceptées, et la seconde a l'avantage de ne faire intervenir qu'une seule fonction.

d) En développant le carré : $\left(\cos x+\sin x\right)^{2}=\cos^{2}x+2\cos x\sin x+\sin^{2}x=\left(\cos^{2}x+\sin^{2}x\right)+2\cos x\sin x=1+2\cos x\sin x$ ✓. Si maintenant $\cos x+\sin x=\frac{1}{2}$, alors $\frac{1}{4}=1+2\cos x\sin x$, d'où $2\cos x\sin x=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}$ et $\cos x\sin x=-\frac{3}{8}$. Le produit étant NÉGATIF, on en déduit sans autre calcul que $\cos x$ et $\sin x$ sont de signes contraires, donc que le point est dans le deuxième ou le quatrième quadrant.

La relation fondamentale sert donc à trois choses distinctes, et il faut savoir laquelle on emploie. Elle sert à CALCULER l'une des deux coordonnées à partir de l'autre, comme en a) et b), à condition de trancher le signe par le quadrant. Elle sert à SIMPLIFIER une expression en faisant disparaître un bloc, comme en c) où $\cos^{2}x+\sin^{2}x$ s'évapore. Et elle sert à RELIER somme et produit, comme en d), exactement comme les relations coefficients-racines du second degré relient $x_{1}+x_{2}$ et $x_{1}x_{2}$. Un contrôle de vraisemblance pour finir : le produit $\cos x\sin x$ ne peut jamais sortir de $\left[-\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\right]$, et $-\frac{3}{8}$ y est bien ✓.

a) On cherche les points du cercle d'ABSCISSE $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Il y en a deux, symétriques par rapport à l'axe des abscisses : $x=\frac{\pi}{4}$ et $x=-\frac{\pi}{4}$, tous deux dans $]-\pi\,;\,\pi]$ ✓. Une équation en cosinus a toujours deux solutions symétriques par rapport à l'axe des abscisses, car le cosinus est pair.

b) On cherche cette fois les points d'ORDONNÉE $\frac{1}{2}$, qui sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées : $x=\frac{\pi}{6}$ et $x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$, tous deux dans $[0\,;\,2\pi[$ ✓. Ne donner que $\frac{\pi}{6}$, la valeur renvoyée par la calculatrice, fait perdre la moitié des points, et c'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre.

c) Un SEUL point du cercle a pour abscisse $-1$, c'est le point de coordonnées $(-1\,;\,0)$. La solution unique est donc $x=\pi$. Les cas $a=1$ et $a=-1$ sont les seuls où l'équation $\cos x=a$ n'a qu'une solution par tour, parce que les deux solutions habituelles s'y confondent : le point est sur l'axe et son symétrique est lui-même.

d) Pour tout réel $x$, le point du cercle a une ordonnée comprise entre $-1$ et $1$, donc $-1\leq\sin x\leq 1$. L'équation $\sin x=2$ est ainsi IMPOSSIBLE et l'ensemble des solutions est vide. Ce contrôle d'encadrement doit précéder toute résolution : il coûte deux secondes et évite de chercher une solution qui n'existe pas.

Le comptage des solutions se fait donc AVANT le calcul, et il ne dépend que de la valeur cherchée. Pour $\cos x=a$ ou $\sin x=a$ sur un intervalle de longueur $2\pi$ : aucune solution si $|a|>1$, une seule si $|a|=1$, et exactement deux si $|a|<1$. Cette prévision sert de contrôle final, car une copie qui annonce une seule solution pour $\sin x=\frac{1}{2}$ se contredit elle-même. La différence entre a) et b) mérite enfin d'être notée : pour le cosinus les deux solutions sont OPPOSÉES, $x$ et $-x$ ; pour le sinus elles sont SUPPLÉMENTAIRES, $x$ et $\pi-x$. Confondre les deux est l'autre erreur classique.

a) Les points associés à $x$ et à $-x$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Ils ont donc la MÊME abscisse et des ordonnées OPPOSÉES : $\cos(-x)=\cos x$, ce qui signifie que $f$ est paire, et $\sin(-x)=-\sin x$, ce qui signifie que $g$ est impaire. Sur les courbes, cela se traduit par une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées pour $f$, et par rapport à l'origine pour $g$.

b) L'entier $2026$ est PAIR, donc $2026\pi=1013\times 2\pi$ est un nombre entier de tours complets. Par $2\pi$-périodicité, on revient exactement au point de départ : $\cos(2026\pi)=\cos 0=1$ et $\sin(2026\pi)=\sin 0=0$. Si l'entier avait été impair, on serait retombé sur $\pi$ et les réponses auraient été $-1$ et $0$. La parité de l'entier est donc la seule chose à regarder.

c) Quand $x$ parcourt $[0\,;\,\pi]$, le point tourne du point $(1\,;\,0)$ au point $(-1\,;\,0)$ en passant par le HAUT, et son abscisse diminue continûment : $f$ est décroissante de $1$ à $-1$. Quand $x$ parcourt $[\pi\,;\,2\pi]$, le point revient par le bas et son abscisse remonte de $-1$ à $1$ : $f$ est croissante. Le tableau comporte donc exactement deux plages sur une période.

d) La PÉRIODICITÉ ramène l'étude de $\mathbb{R}$ tout entier à un intervalle de longueur $2\pi$, par exemple $[-\pi\,;\,\pi]$, puisque tout réel s'y ramène en retranchant des tours. La PARITÉ ramène ensuite $[-\pi\,;\,0]$ à $[0\,;\,\pi]$, par symétrie. Les deux propriétés combinées réduisent donc l'étude à un intervalle de longueur $\pi$, soit la moitié d'une période et un quart de ce que l'on aurait dû faire sans elles.

Ce raisonnement de réduction est l'un des plus rentables du programme, et il se rejoue à l'identique pour le sinus, à ceci près que l'imparité y remplace la parité et impose de changer le signe des valeurs. Notons enfin une conséquence pratique de b) qui déroute souvent : $\cos(2026\pi)$ n'exige aucune calculatrice, alors que $\cos(2026)$, sans le $\pi$, en exige une et vaut environ $-0{,}947$. Une expression contenant $\pi$ se ramène presque toujours à une valeur exacte du cercle ; une expression sans $\pi$ presque jamais.

a) On pose $X=2x$, et surtout on TRANSFORME l'intervalle en même temps : quand $x$ parcourt $[0\,;\,2\pi[$, la variable $X$ parcourt $[0\,;\,4\pi[$, soit DEUX tours. L'équation $\cos X=\frac{1}{2}$ y admet donc quatre solutions, les deux du premier tour et leurs images au second : $\frac{\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{3}$, puis $\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{7\pi}{3}$ et $\frac{5\pi}{3}+2\pi=\frac{11\pi}{3}$. En divisant par $2$ : $x=\frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{6}$ et $\frac{11\pi}{6}$. Quatre solutions, pas deux : c'est l'intervalle doublé qui les produit, et oublier de le doubler en fait perdre la moitié.

b) L'équation équivaut à $\sin x=\frac{1}{2}$, dont les solutions sur $]-\pi\,;\,\pi]$ sont $x=\frac{\pi}{6}$ et $x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$, toutes deux dans l'intervalle ✓. Ici l'inconnue est $x$ seul, il n'y a donc aucun intervalle à transformer.

c) L'équation $\cos^{2}x=\frac{1}{4}$ équivaut à $\cos x=\frac{1}{2}$ OU $\cos x=-\frac{1}{2}$, un carré ayant deux racines carrées opposées. Le premier cas donne $x=\frac{\pi}{3}$ et $x=2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}$, le second $x=\frac{2\pi}{3}$ et $x=\frac{4\pi}{3}$. Il y a donc QUATRE solutions. N'écrire que $\cos x=\frac{1}{2}$ en oubliant la racine négative est l'erreur classique de cette question.

d) Si $\cos x$ était nul, alors $\sin x$ vaudrait $\pm 1$ et l'égalité serait impossible : aucune solution n'est perdue en divisant par $\cos x$. L'équation devient alors $\frac{\sin x}{\cos x}=1$, c'est-à-dire que le point du cercle a ses deux coordonnées ÉGALES. Cela se produit exactement sur la première bissectrice, en $x=\frac{\pi}{4}$ et $x=\frac{5\pi}{4}$, l'un dans le premier quadrant avec deux coordonnées positives, l'autre dans le troisième avec deux coordonnées négatives.

Le point commun aux quatre questions est qu'AUCUNE ne commence par un calcul. En a) on transforme l'intervalle, en b) on isole, en c) on factorise mentalement en deux cas, en d) on justifie une division avant de l'effectuer. La règle générale à retenir pour a) : une équation en $\cos(kx)$ posée sur un intervalle de longueur $\ell$ revient à une équation en $\cos X$ sur un intervalle $k$ fois plus long, donc à $2k$ solutions en général. Le contrôle final consiste toujours à COMPTER les solutions attendues, puis à vérifier qu'on en a bien ce nombre, ici quatre en a) et en c), deux en b) et en d).

a) Après $2$ secondes, l'angle parcouru vaut $2$ radians et $M$ a pour coordonnées $\left(\cos 2\,;\,\sin 2\right)\approx\left(-0{,}416\,;\,0{,}909\right)$. L'abscisse est négative et l'ordonnée positive : $M$ est dans le DEUXIÈME quadrant. C'est cohérent, car $2$ radians est compris entre $\frac{\pi}{2}\approx 1{,}571$ et $\pi\approx 3{,}142$, ce qui est précisément la définition du deuxième quadrant. Ce contrôle par encadrement vaut mieux que la lecture des signes, qu'il permet de prédire.

b) Le point $(0\,;\,1)$ est le sommet du cercle, atteint après un quart de tour, soit un angle de $\frac{\pi}{2}$ radians. À la vitesse de $1$ radian par seconde, l'angle en radians et le temps en secondes coïncident numériquement, donc il faut $\frac{\pi}{2}\approx 1{,}571$ seconde. La première fois, car $M$ y repassera ensuite toutes les $2\pi\approx 6{,}283$ secondes.

c) Un tour complet correspond à $2\pi\approx 6{,}283$ radians. En $10$ secondes, $M$ a parcouru $10$ radians, soit $\frac{10}{2\pi}\approx 1{,}592$ tour. Le nombre de tours COMPLETS est donc $1$, et $M$ a entamé le suivant sans l'achever. La partie décimale, $0{,}592$ tour, est ce qui reste à convertir en angle.

d) On retranche des tours entiers tant que le résultat n'appartient pas à $]-\pi\,;\,\pi]$. D'abord $10-2\pi\approx 3{,}717$, encore supérieur à $\pi\approx 3{,}142$, donc insuffisant ; puis $10-4\pi\approx-2{,}566$, qui convient ✓. Ce nombre est compris entre $-\pi$ et $-\frac{\pi}{2}$ : $M$ se trouve donc dans le TROISIÈME quadrant, ce que confirment $\cos 10\approx-0{,}839$ et $\sin 10\approx-0{,}544$, tous deux négatifs ✓.

La question d) illustre un piège d'arithmétique qui coûte des points chaque année : après avoir constaté à la question c) qu'il y a $1$ tour complet, on est tenté de retrancher UN seul tour, ce qui donne $3{,}717$, hors de l'intervalle principal. La raison est que la mesure principale n'est pas celle qui reste après les tours complets, mais celle qui tombe dans $]-\pi\,;\,\pi]$, intervalle CENTRÉ sur zéro et non commençant à zéro. Un angle de $0{,}592$ tour dépasse le demi-tour, il vaut donc mieux le compter comme $-0{,}408$ tour dans l'autre sens. Cet exercice fait aussi le pont avec la physique : un mouvement circulaire uniforme de vitesse angulaire $\omega$ donne un point de coordonnées $\left(R\cos(\omega t)\,;\,R\sin(\omega t)\right)$, ce que l'exercice 10 exploitera sur une grande roue.

a) Faux : la bonne relation est $\cos(\pi-x)=-\cos x$. Le point associé à $\pi-x$ est le symétrique de celui de $x$ par rapport à l'axe des ORDONNÉES, donc son abscisse change de signe, tandis que son ordonnée est conservée, d'où $\sin(\pi-x)=\sin x$. Contre-exemple avec $x=\frac{\pi}{3}$ : $\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$ alors que $\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$, les deux valeurs sont opposées et non égales. La confusion vient probablement avec la relation vraie $\cos(-x)=\cos x$, qui porte sur une symétrie différente.

b) Faux : c'est la somme des CARRÉS qui vaut $1$, pas la somme. On a en réalité $\left(\cos x+\sin x\right)^{2}=1+2\cos x\sin x$, comme l'a établi l'exercice 4, quantité qui varie entre $0$ et $2$ : la somme $\cos x+\sin x$ parcourt donc tout l'intervalle $\left[-\sqrt{2}\,;\,\sqrt{2}\right]$. Contre-exemple avec $x=\frac{\pi}{4}$ : $\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\approx 1{,}414$, ce qui est bien différent de $1$.

c) Faux : il y en a DEUX, $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{5\pi}{6}$, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. La calculatrice n'en renvoie qu'une, celle qui appartient à $\left[-\frac{\pi}{2}\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$, car la fonction arcsinus est définie ainsi : c'est à l'élève de produire l'autre. La règle générale, rappelée à l'exercice 5, est qu'il y a deux solutions par tour dès que la valeur cherchée est strictement comprise entre $-1$ et $1$.

d) Faux, et l'écart est énorme. Comme $\pi$ radians valent $180^{\circ}$, un radian vaut $\frac{180}{\pi}\approx 57{,}30^{\circ}$, donc $2$ radians valent environ $114{,}59^{\circ}$. Un angle de $2$ radians est donc OBTUS, presque un angle plat, alors qu'un angle de $2^{\circ}$ est presque nul. La confusion vient de ce que les deux unités portent le même nombre sans jamais porter la même mesure.

Ces quatre erreurs se répartissent en deux familles. Les affirmations a) et c) relèvent d'une lecture incomplète du CERCLE : on retient une symétrie pour une autre, ou l'on s'arrête à ce que renvoie la calculatrice. Le remède est unique et tient en un geste : dessiner le cercle en marge de la copie, ce qui prend dix secondes et rend les deux erreurs impossibles. Les affirmations b) et d) relèvent d'une confusion de NATURE, entre une somme et une somme de carrés, puis entre deux unités. Le remède est le contrôle numérique sur une valeur simple, $x=\frac{\pi}{4}$ pour la première et $1$ radian pour la seconde, qui démolit chacune en cinq secondes.