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Spécialité maths, Première • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : la trigonométrie (Première spécialité)

La trigonométrie de Première n'est pas celle du collège : on n'y calcule plus des longueurs dans un triangle rectangle, on y repère des réels sur un cercle. Ce changement de point de vue est le seul obstacle réel du chapitre, et c'est lui qui explique presque toutes les erreurs : une équation y a une infinité de solutions, et une même position du cercle y porte une infinité de noms.

Cette fiche ne redit pas le tableau des valeurs remarquables. Elle montre les huit endroits où les copies se trompent, la phrase exacte à recopier pour chacun, l'arbre qui dit quelle méthode employer selon la FORME de l'équation, et un problème de grande roue décortiqué étape par étape.

Le fil du chapitre

Un réel xx n'est pas un angle mais une longueur d'arc enroulée sur le cercle : une même position correspond donc à une INFINITÉ de réels. Tout le chapitre en découle, à commencer par la question qui coûte le plus de points : une équation trigonométrique a une infinité de solutions, et l'énoncé n'en demande que celles d'un intervalle.

Ce chapitre fait partie de Spécialité mathématiques en Première

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Configurations et trigonométrieSeconde
  2. 2Proportionnalité et pourcentagesCinquième
  3. 3Géométrie de CinquièmeCinquième
  4. 4Pythagore et cosinusQuatrième
  5. 5Thalès et les agrandissementsQuatrième
  6. 6Trigonométrie : sinus et cosinusTroisième
  7. 7Thalès, réciproque et agrandissementsTroisième

L'essentiel

Une position, une infinité de réels

  • • L'enroulement de la droite numérique sur le cercle de rayon 11 associe à chaque réel xx un point MM, de coordonnées (cos⁡x ; sin⁡x)\left(\cos x\ ;\ \sin x\right).
  • • Deux réels qui diffèrent de 2π2\pi donnent le MÊME point : xx, x+2πx+2\pi, x−2πx-2\pi, x+4πx+4\pi décrivent tous la même position.
  • • La mesure principale est l'unique réel de ]−π ; π]]-\pi\ ;\ \pi] associé à cette position. On l'obtient en ajoutant ou en retranchant des multiples entiers de 2π2\pi.
  • • Le radian n'est pas une unité arbitraire : c'est la longueur de l'arc parcouru. Un tour complet vaut 2π2\pi radians, soit 360∘360^{\circ}, donc 180∘=π180^{\circ}=\pi rad.
x = π/3ou 7π/3ou -5π/3
Le point marqué sur le cercle correspond à π3\frac{\pi}{3}, mais aussi à 7π3\frac{7\pi}{3}, à −5π3-\frac{5\pi}{3} et à une infinité d'autres réels : ils diffèrent tous d'un nombre entier de tours.

Toute conversion passe par la proportion degreˊs180=radiansπ\frac{\text{degrés}}{180}=\frac{\text{radians}}{\pi}. Une seule règle de trois, dans les deux sens, plutôt que deux formules à confondre.

Les valeurs remarquables, dans l'ordre du cercle

  • • cos⁡0=1\cos 0=1, cos⁡π6=32\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡π4=22\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡π3=12\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}, cos⁡π2=0\cos\frac{\pi}{2}=0.
  • • sin⁡0=0\sin 0=0, sin⁡π6=12\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}, sin⁡π4=22\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡π3=32\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡π2=1\sin\frac{\pi}{2}=1.
  • • Le moyen de ne jamais les confondre : le cosinus DÉCROÎT de 11 à 00 sur le premier quadrant, le sinus CROÎT de 00 à 11. Les deux colonnes sont l'une le renversement de l'autre.
  • • −1≤cos⁡x≤1-1\le\cos x\le 1 et −1≤sin⁡x≤1-1\le\sin x\le 1 : une équation comme sin⁡x=2\sin x=2 ou cos⁡x=1,3\cos x=1{,}3 n'a aucune solution, et cela se dit en une phrase.

Les racines 22≈0,707\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}707 et 32≈0,866\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866 sont à connaître en valeur décimale : elles servent à vérifier une valeur exacte trouvée par le calcul.

Les angles associés, quatre familles

  • • Opposé : cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos x et sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin x. Le cosinus est PAIR, le sinus est IMPAIR.
  • • Supplémentaire : cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi-x)=-\cos x et sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi-x)=\sin x.
  • • Décalage d'un demi-tour : cos⁡(π+x)=−cos⁡x\cos(\pi+x)=-\cos x et sin⁡(π+x)=−sin⁡x\sin(\pi+x)=-\sin x.
  • • Complémentaire : cos⁡(π2−x)=sin⁡x\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x et sin⁡(π2−x)=cos⁡x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x. C'est la seule famille où cosinus et sinus s'ÉCHANGENT.

Toutes ces formules se retrouvent sur le cercle en dix secondes, par symétrie : −x-x est le symétrique par rapport à l'axe des abscisses, π−x\pi-x par rapport à l'axe des ordonnées, π+x\pi+x par rapport au centre.

La relation fondamentale, et le signe que le quadrant décide

  • • cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^{2}x+\sin^{2}x=1 pour tout réel xx. C'est le théorème de Pythagore appliqué au point du cercle.
  • • Elle permet de retrouver l'un à partir de l'autre, mais AU SIGNE PRÈS : cos⁡2x=14\cos^{2}x=\frac{1}{4} donne cos⁡x=12\cos x=\frac{1}{2} ou cos⁡x=−12\cos x=-\frac{1}{2}.
  • • C'est l'intervalle donné par l'énoncé qui tranche entre les deux, en fixant le quadrant. Cette phrase doit apparaître sur la copie.
  • • Signes par quadrant : cosinus positif à droite de l'axe des ordonnées, sinus positif au-dessus de l'axe des abscisses. Deux demi-plans, quatre combinaisons.

cos⁡2x\cos^{2}x est le carré de cos⁡x\cos x, alors que cos⁡(x2)\cos\left(x^{2}\right) est le cosinus du carré. Les deux se notent presque pareil et ne valent presque jamais la même chose.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Ne donner qu'une solution alors qu'il y en a deux par tour

la moitié de la question, systématiquement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« cos⁡x=12\cos x=\frac{1}{2} sur [0 ; 2π[[0\ ;\ 2\pi[, donc x=π3x=\frac{\pi}{3}. »

Ce qu'il faut écrire

« cos⁡x=12\cos x=\frac{1}{2} sur [0 ; 2π[[0\ ;\ 2\pi[ admet DEUX solutions, symétriques par rapport à l'axe des abscisses : x=π3x=\frac{\pi}{3} ou x=2π−π3=5π3x=2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}. »

π/3-π/3cos x = 1/2
La droite verticale d'abscisse 12\frac{1}{2} coupe le cercle en DEUX points, symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Une équation en cosinus a donc deux solutions par tour, et non une.

Pourquoi : Une droite verticale coupe le cercle en deux points, sauf aux valeurs extrêmes ±1\pm 1. La calculatrice n'en donne qu'un, et c'est à l'élève de produire l'autre par symétrie.

2. Oublier les +2kπ+2k\pi quand l'énoncé ne restreint pas l'intervalle

1 point, et l'ensemble de solutions est infiniment plus petit que le vrai

Ce qu'il ne faut pas écrire

« cos⁡x=12\cos x=\frac{1}{2} dans R\mathbb{R}, donc x=π3x=\frac{\pi}{3} ou x=−π3x=-\frac{\pi}{3}. »

Ce qu'il faut écrire

« cos⁡x=12\cos x=\frac{1}{2} dans R\mathbb{R}, donc x=π3+2kπx=\frac{\pi}{3}+2k\pi ou x=−π3+2kπx=-\frac{\pi}{3}+2k\pi, avec kk entier relatif. »

-7-6-5-4-3-2-11234567-2-1.5-1-0.50.511.52y = 0,5quatre solutions
Sur deux tours seulement, la droite y=0,5y=0{,}5 coupe déjà la courbe en QUATRE points. Sans intervalle imposé, il y en a une infinité, et c'est ce que dit le +2kπ+2k\pi.

Pourquoi : Sans intervalle imposé, une équation trigonométrique a toujours une infinité de solutions. Le kk doit être déclaré entier relatif : k∈Zk\in\mathbb{Z}, pas seulement positif.

3. Donner une mesure principale hors de ]−π ; π]]-\pi\ ;\ \pi]

1 point, et la question suivante sur le quadrant devient fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La mesure principale de 25π6\frac{25\pi}{6} est 13π6\frac{13\pi}{6}. »

Ce qu'il faut écrire

« 25π6−2π=13π6\frac{25\pi}{6}-2\pi=\frac{13\pi}{6}, qui n'est pas dans ]−π ; π]]-\pi\ ;\ \pi]; on retranche encore 2π2\pi : 13π6−2π=π6\frac{13\pi}{6}-2\pi=\frac{\pi}{6}. La mesure principale est π6\frac{\pi}{6}. »

Pourquoi : Retrancher 2π2\pi une seule fois ne suffit pas quand le réel est grand. On répète l'opération JUSQU'À tomber dans l'intervalle, et on vérifie l'appartenance avant de conclure.

4. Laisser la calculatrice en degrés, ou l'y mettre au mauvais moment

toutes les valeurs numériques de l'exercice, donc souvent la moitié du sujet

Ce qu'il ne faut pas écrire

« cos⁡π3\cos\frac{\pi}{3} : je tape cos⁡(60)\cos(60) et j'obtiens −0,95-0{,}95. »

Ce qu'il faut écrire

« Je mets la calculatrice en RADIAN, puis je tape cos⁡(π3)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) et j'obtiens 0,50{,}5. Le mode se vérifie AVANT chaque exercice de trigonométrie. »

Pourquoi : En radian, 6060 n'est pas un angle de 6060 degrés mais un réel qui vaut presque dix tours. Le contrôle de mode : cos⁡(π)\cos\left(\pi\right) doit afficher exactement −1-1; s'il affiche 0,9980{,}998, la calculatrice est en degrés.

5. Distribuer le cosinus sur une somme

toute la question, et l'erreur se propage à toutes les simplifications suivantes

Ce qu'il ne faut pas écrire

« cos⁡(π−x)=cos⁡π−cos⁡x=−1−cos⁡x\cos\left(\pi-x\right)=\cos\pi-\cos x=-1-\cos x. »

Ce qu'il faut écrire

« cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos\left(\pi-x\right)=-\cos x, d'après la formule des angles supplémentaires. Le cosinus n'est pas une fonction linéaire, on ne distribue jamais. »

Pourquoi : Le contrôle en cinq secondes, sur x=0x=0 : à gauche cos⁡π=−1\cos\pi=-1, à droite la formule fausse donnerait −1−1=−2-1-1=-2, ce qui sort de l'intervalle [−1 ; 1][-1\ ;\ 1]. Un cosinus hors de cet intervalle est toujours le signe d'une distribution abusive.

6. Perdre une solution en extrayant une racine carrée

la moitié des solutions, donc en général 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« sin⁡2x=14\sin^{2}x=\frac{1}{4} donc sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2}. »

Ce qu'il faut écrire

« sin⁡2x=14\sin^{2}x=\frac{1}{4} donc sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2} OU sin⁡x=−12\sin x=-\frac{1}{2}; on garde ensuite celles qui appartiennent à l'intervalle donné, ce qui fait quatre solutions par tour. »

Pourquoi : Un carré égal à 14\frac{1}{4} a deux racines opposées. Combinée aux deux solutions par tour de chaque équation, cette étape donne quatre positions sur le cercle, réparties symétriquement.

7. Chercher une solution à une équation qui n'en a pas

la question entière : la bonne réponse était une phrase, pas un calcul

Ce qu'il ne faut pas écrire

« 2sin⁡x=32\sin x=3 donc sin⁡x=1,5\sin x=1{,}5, et la calculatrice donne une erreur, donc je passe. »

Ce qu'il faut écrire

« 2sin⁡x=32\sin x=3 donne sin⁡x=1,5\sin x=1{,}5; or −1≤sin⁡x≤1-1\le\sin x\le 1 pour tout réel xx, donc l'équation n'admet AUCUNE solution. »

Pourquoi : L'absence de solution est une réponse complète, à condition d'être justifiée par l'encadrement. Une erreur de calculatrice n'est pas une justification, elle n'apparaît pas sur la copie.

8. Confondre cos⁡2x\cos^{2}x et cos⁡(x2)\cos\left(x^{2}\right)

toute la question, et l'identité utilisée devient fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^{2}x+\sin^{2}x=1, donc cos⁡(x2)+sin⁡(x2)=1\cos\left(x^{2}\right)+\sin\left(x^{2}\right)=1. »

Ce qu'il faut écrire

« cos⁡2x\cos^{2}x désigne (cos⁡x)2\left(\cos x\right)^{2}. La relation fondamentale porte sur les CARRÉS des valeurs, pas sur le cosinus du carré. »

Pourquoi : Le contrôle sur x=1x=1 : cos⁡21+sin⁡21=1\cos^{2}1+\sin^{2}1=1 exactement, alors que cos⁡1+sin⁡1≈1,382\cos 1+\sin 1\approx 1{,}382. La notation abrégée cos⁡2x\cos^{2}x est un carré placé avant l'argument, une convention et non une composition.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode pour résoudre une équation trigonométrique

On regarde la FORME de l'équation et surtout l'intervalle imposé, qui décide du nombre de solutions à écrire.

  • Si cos⁡x=a\cos x=a avec −1<a<1-1<a<1, sur un intervalle de longueur 2π2\pi → deux solutions opposées : x0x_{0} et −x0-x_{0}, ramenées dans l'intervalle demandé

    Exemple : cos⁡x=12\cos x=\frac{1}{2} sur [0 ; 2π[[0\ ;\ 2\pi[ donne π3\frac{\pi}{3} et 5π3\frac{5\pi}{3}

  • Si sin⁡x=a\sin x=a avec −1<a<1-1<a<1, sur un intervalle de longueur 2π2\pi → deux solutions supplémentaires : x0x_{0} et π−x0\pi-x_{0}

    Exemple : sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2} sur [0 ; 2π[[0\ ;\ 2\pi[ donne π6\frac{\pi}{6} et 5π6\frac{5\pi}{6}

    Cosinus : symétrie par rapport à l'axe des abscisses. Sinus : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. C'est la seule différence entre les deux cas.

  • Si aucun intervalle n'est imposé → ajouter +2kπ+2k\pi à chaque famille de solutions, avec k∈Zk\in\mathbb{Z}

  • Si cos⁡x=a\cos x=a ou sin⁡x=a\sin x=a avec ∣a∣>1\left|a\right|>1 → conclure à l'absence de solution, en citant l'encadrement −1≤cos⁡x≤1-1\le\cos x\le 1

    Exemple : sin⁡x=1,5\sin x=1{,}5 n'a aucune solution

  • Si un carré : cos⁡2x=a\cos^{2}x=a ou sin⁡2x=a\sin^{2}x=a → extraire les DEUX racines opposées, puis traiter chacune comme ci-dessus

    Exemple : sin⁡2x=14\sin^{2}x=\frac{1}{4} donne quatre solutions par tour

  • Si l'argument est 2x2x, 3x3x ou ax+bax+b → poser X=ax+bX=ax+b, TRANSFORMER l'intervalle d'abord, résoudre en XX, puis revenir à xx

    Exemple : x∈[0 ; π]x\in[0\ ;\ \pi] et X=2xX=2x donne X∈[0 ; 2π]X\in[0\ ;\ 2\pi], donc deux fois plus de solutions

    Oublier de transformer l'intervalle fait perdre la moitié des solutions : c'est le piège numéro un des exercices de fin de sujet.

Aucune branche ne s'applique ? L'équation contient sans doute à la fois un cosinus et un sinus : on utilise alors la relation fondamentale pour tout ramener à une seule des deux fonctions, ce qui donne une équation du second degré.

Quel angle associé selon la transformation

On regarde ce qui est écrit DANS la parenthèse, et une seule symétrie du cercle répond.

  • Si −x-x dans la parenthèse → symétrie par rapport à l'axe des abscisses : le cosinus ne bouge pas, le sinus change de signe

    Exemple : cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos x et sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin x

  • Si π−x\pi-x dans la parenthèse → symétrie par rapport à l'axe des ordonnées : le cosinus change de signe, le sinus ne bouge pas

    Exemple : cos⁡(π−π3)=−12\cos\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}

  • Si π+x\pi+x dans la parenthèse → symétrie par rapport au centre : les deux changent de signe

  • Si π2−x\frac{\pi}{2}-x dans la parenthèse → symétrie par rapport à la première bissectrice : cosinus et sinus S'ÉCHANGENT

    Exemple : cos⁡(π2−π6)=sin⁡π6=12\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}

  • Si x+2πx+2\pi ou x−2πx-2\pi, ou plus généralement x+2kπx+2k\pi → rien ne change : les deux fonctions sont 2π2\pi-périodiques

En cas de doute, on ne récite pas la formule : on place xx dans le premier quadrant, on dessine le point transformé, et on lit les deux coordonnées. Dix secondes, et aucune erreur de signe possible.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre une équation trigonométrique sur un intervalle imposé

Quand l'utiliser : La question type du contrôle : « résoudre dans [0 ; 2π[[0\ ;\ 2\pi[ », « déterminer les solutions appartenant à ]−π ; π]]-\pi\ ;\ \pi] ».

  1. 1 Isoler le cosinus ou le sinus seul dans un membre. « L'équation équivaut à cos⁡x=12\cos x=\frac{1}{2}. »
  2. 2 Vérifier que la valeur obtenue appartient à [−1 ; 1][-1\ ;\ 1], sinon conclure à l'absence de solution.
  3. 3 Trouver UNE solution parmi les valeurs remarquables, ou avec la calculatrice en mode radian.
  4. 4 Produire la SECONDE solution par la symétrie adaptée : −x0-x_{0} pour un cosinus, π−x0\pi-x_{0} pour un sinus.
  5. 5 Ramener les deux solutions dans l'intervalle demandé, en ajoutant ou en retranchant 2π2\pi si nécessaire.
  6. 6 Conclure par un ensemble de solutions, avec des accolades, et vérifier que chaque élément est bien dans l'intervalle.

Phrase de conclusion

Sur [0 ; 2π[[0\ ;\ 2\pi[, l'équation cos⁡x=12\cos x=\frac{1}{2} admet exactement deux solutions : π3\frac{\pi}{3} et 5π3\frac{5\pi}{3}. L'ensemble des solutions est S={π3 ; 5π3}S=\left\{\frac{\pi}{3}\ ;\ \frac{5\pi}{3}\right\}.

Le piège : Écrire −π3-\frac{\pi}{3} dans un ensemble de solutions alors que l'intervalle est [0 ; 2π[[0\ ;\ 2\pi[. La solution est juste au signe près, mais elle est hors de l'intervalle : il fallait lui ajouter 2π2\pi.

Barème : 0,5 point pour l'isolement, 1 point pour la première solution, 1 point pour la seconde, 0,5 point pour l'ensemble correctement écrit dans l'intervalle.

Retrouver un cosinus à partir d'un sinus

Quand l'utiliser : L'énoncé donne sin⁡x\sin x et un intervalle, puis demande cos⁡x\cos x. C'est la question la plus courte du sujet, et celle où le signe se perd.

  1. 1 Écrire la relation fondamentale et en isoler le carré cherché. « cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^{2}x=1-\sin^{2}x. »
  2. 2 Remplacer et calculer la valeur du carré, sous forme de fraction exacte.
  3. 3 Extraire les DEUX racines opposées, sans encore choisir.
  4. 4 Utiliser l'intervalle donné pour déterminer le quadrant, et donc le signe du cosinus.
  5. 5 Conclure avec la valeur retenue et la raison explicite du rejet de l'autre.

Phrase de conclusion

cos⁡2x=1−(35)2=1625\cos^{2}x=1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}, donc cos⁡x=45\cos x=\frac{4}{5} ou cos⁡x=−45\cos x=-\frac{4}{5}; comme x∈]π2 ; π[x\in\left]\frac{\pi}{2}\ ;\ \pi\right[, le cosinus est négatif, donc cos⁡x=−45\cos x=-\frac{4}{5}.

Le piège : Donner les deux valeurs sans trancher. L'énoncé fournit toujours l'intervalle, précisément pour que le choix soit possible, et c'est ce choix qui est évalué.

Barème : 0,5 point pour la relation, 1 point pour le calcul du carré, 1 point pour le choix du signe justifié par le quadrant.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

La grande roue, comme au contrôle

Une grande roue de rayon 2020 mètres a son centre à 2525 mètres du sol et effectue un tour complet en 1212 minutes, à vitesse constante. Une nacelle part du point le plus bas à l'instant t=0t=0. Sa hauteur au-dessus du sol, en mètres, est h(t)=25−20cos⁡(πt6)h(t)=25-20\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right), où tt est en minutes.

1. Calculer h(0)h(0), h(3)h(3) et h(6)h(6), et interpréter. 2. À quels instants du premier tour la nacelle est-elle à 3535 mètres du sol ? 3. Justifier que la hauteur est maximale au bout de 66 minutes.

Étape 1

h(0)=25−20cos⁡0=25−20=5h(0)=25-20\cos 0=25-20=5 m; h(3)=25−20cos⁡π2=25h(3)=25-20\cos\frac{\pi}{2}=25 m; h(6)=25−20cos⁡π=25+20=45h(6)=25-20\cos\pi=25+20=45 m.

Pourquoi

Trois valeurs remarquables du cosinus, dans l'ordre du cercle. Elles décrivent le quart, la demie et le tour complet, et servent ensuite de contrôle à toutes les questions suivantes.

Étape 2

La nacelle part du point le plus bas, à 55 m; après 33 minutes elle est à hauteur du centre, à 2525 m; après 66 minutes elle est au sommet, à 4545 m.

Pourquoi

L'interprétation est demandée explicitement et vaut souvent autant que le calcul. Un quart de tour en 33 minutes, cohérent avec un tour complet en 1212.

Étape 3

h(t)=35h(t)=35 donne 25−20cos⁡(πt6)=3525-20\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)=35, donc cos⁡(πt6)=−12\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)=-\frac{1}{2}.

Pourquoi

On isole le cosinus AVANT de résoudre. Le signe moins qui apparaît en divisant par −20-20 est l'erreur la plus fréquente de la question : 35−25−20=−12\frac{35-25}{-20}=-\frac{1}{2}, et non +12+\frac{1}{2}.

Étape 4

Posons X=πt6X=\frac{\pi t}{6}. Le premier tour correspond à t∈[0 ; 12[t\in[0\ ;\ 12[, donc X∈[0 ; 2π[X\in[0\ ;\ 2\pi[. Sur cet intervalle, cos⁡X=−12\cos X=-\frac{1}{2} a deux solutions : X=2π3X=\frac{2\pi}{3} et X=4π3X=\frac{4\pi}{3}.

Pourquoi

Transformer l'intervalle en même temps que l'inconnue est l'étape qui se saute, et sans elle on ne trouve qu'une solution sur deux. Les deux valeurs de XX sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, comme toujours pour un cosinus.

Étape 5

πt6=2π3\frac{\pi t}{6}=\frac{2\pi}{3} donne t=4t=4; πt6=4π3\frac{\pi t}{6}=\frac{4\pi}{3} donne t=8t=8. La nacelle est donc à 3535 mètres au bout de 44 minutes et au bout de 88 minutes.

Pourquoi

Le retour à tt se fait en multipliant par 6π\frac{6}{\pi}. Les deux instants encadrent le sommet atteint à 66 minutes, ce qui est le contrôle de cohérence immédiat : la nacelle monte, passe le sommet, redescend.

Étape 6

Vérification : h(4)=25−20cos⁡2π3=25+10=35h(4)=25-20\cos\frac{2\pi}{3}=25+10=35 et h(8)=25−20cos⁡4π3=25+10=35h(8)=25-20\cos\frac{4\pi}{3}=25+10=35. Enfin cos⁡(πt6)≥−1\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)\ge -1, donc h(t)≤45h(t)\le 45, avec égalité exactement quand cos⁡(πt6)=−1\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)=-1, c'est-à-dire t=6t=6.

Pourquoi

L'encadrement du cosinus démontre le maximum sans dérivation, et c'est la démonstration attendue en Première. Elle transforme une observation graphique en preuve, pour un coût d'une ligne.

Conclusion rédigée

La nacelle part de 55 mètres, passe à 2525 mètres après 33 minutes, atteint son maximum de 4545 mètres après 66 minutes, et se trouve à 3535 mètres du sol à deux instants du premier tour, au bout de 44 minutes puis au bout de 88 minutes.

L'erreur classique sur cet exercice : Ne donner que t=4t=4. Une équation en cosinus a deux solutions par tour, et l'énoncé demande explicitement « à quels instants », au pluriel. La seconde solution vaut autant de points que la première.

À savoir par cœur

  • • 180∘=π180^{\circ}=\pi rad. Toute conversion passe par degreˊs180=radiansπ\frac{\text{degrés}}{180}=\frac{\text{radians}}{\pi}.
  • • Un point du cercle porte une infinité de réels, tous distants d'un multiple de 2π2\pi. La mesure principale est celle de ]−π ; π]]-\pi\ ;\ \pi].
  • • cos⁡x=a\cos x=a : deux solutions par tour, OPPOSÉES. sin⁡x=a\sin x=a : deux solutions par tour, SUPPLÉMENTAIRES.
  • • Sans intervalle imposé, on ajoute +2kπ+2k\pi avec k∈Zk\in\mathbb{Z}.
  • • −1≤cos⁡x≤1-1\le\cos x\le 1 et −1≤sin⁡x≤1-1\le\sin x\le 1 : au-delà, l'équation n'a aucune solution, et c'est une réponse complète.
  • • cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^{2}x+\sin^{2}x=1 donne l'un à partir de l'autre AU SIGNE PRÈS; c'est l'intervalle qui tranche.
  • • Le cosinus est PAIR, le sinus est IMPAIR. Les quatre familles d'angles associés sont quatre symétries du cercle.
  • • Avec un argument ax+bax+b, on transforme l'INTERVALLE en même temps que l'inconnue, sinon la moitié des solutions disparaît.

Questions fréquentes

Combien de solutions a une équation trigonométrique sur un tour ?

Deux, dès que la valeur cherchée est strictement comprise entre moins un et un. Une droite verticale ou horizontale coupe le cercle en deux points, et la calculatrice n'en donne qu'un : le second s'obtient par symétrie, opposée pour un cosinus, supplémentaire pour un sinus.

Comment trouver la mesure principale d'un angle ?

On ajoute ou on retranche des tours entiers, c'est-à-dire des multiples de deux pi, jusqu'à tomber dans l'intervalle allant de moins pi exclu à pi inclus. Une seule soustraction ne suffit pas toujours : il faut répéter l'opération et vérifier l'appartenance avant de conclure.

Pourquoi faut-il mettre la calculatrice en radian ?

Parce qu'en Première un réel repéré sur le cercle est une longueur d'arc, pas un nombre de degrés. En mode degré, taper soixante ne donne pas la même chose que taper pi sur trois. Le test qui tranche en deux secondes : le cosinus de pi doit afficher exactement moins un.

Comment calculer le cosinus quand on connaît le sinus ?

On utilise la relation fondamentale : la somme des carrés du cosinus et du sinus vaut un. On en tire le carré du cosinus, puis ses deux racines opposées. C'est ensuite l'intervalle donné par l'énoncé qui indique le quadrant, donc le signe à retenir, et cette justification fait partie de la réponse.

Que faire quand l'équation contient deux x, comme cosinus de deux x ?

On pose une inconnue auxiliaire égale à l'expression entière contenue dans la parenthèse, et on transforme l'intervalle en même temps. Un intervalle de longueur pi pour x devient un intervalle de longueur deux pi pour l'auxiliaire, donc deux fois plus de solutions. On résout, puis on revient à x.

Que répondre quand le sinus cherché est supérieur à un ?

Que l'équation n'admet aucune solution, en citant l'encadrement : le sinus d'un réel est toujours compris entre moins un et un. C'est une réponse complète et elle rapporte tous les points de la question, à condition d'écrire l'encadrement et non simplement de constater une erreur de calculatrice.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La trigonométrie

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 15 exercices corrigés
  • 150 points
  • 225 minutes
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