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Spécialité maths, Première • Fiche de révision à Montréal

Fiche de révision : la trigonométrie (Première spécialité)

La trigonométrie de Première n'est pas celle du collège : on n'y calcule plus seulement des longueurs dans un triangle rectangle, on y repère des réels sur un cercle. Ce changement de point de vue est le seul obstacle réel du chapitre : une même position du cercle y porte une infinité de noms, et un cosinus y a un signe, que le triangle ignore.

Cette fiche suit le programme de Première en vigueur depuis la rentrée 2026 : cercle, radian, longueur d'arc, cosinus et sinus d'un réel, lien avec le triangle rectangle, valeurs remarquables et angles associés. Les fonctions cosinus et sinus et les équations trigonométriques sont passées en Terminale : elles tiennent dans un dernier encadré, pour qui veut prendre de l'avance.

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Le fil du chapitre

Un réel xx n'est pas un angle mais une longueur d'arc enroulée sur le cercle : une même position porte une infinité de réels, et le point associé donne le cosinus et le sinus, SIGNE compris. Presque toutes les erreurs du chapitre viennent de là : le triangle rectangle ne donne que des longueurs, c'est le quadrant du point qui décide du signe.

Ce chapitre fait partie de Spécialité mathématiques en Première
Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 17 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1 Proportionnalité et pourcentages Cinquième
  2. 2 Les triangles Cinquième
  3. 3 Pythagore et cosinus Quatrième
  4. 4 Thalès et les agrandissements Quatrième
  5. 5 Trigonométrie : sinus et cosinus Troisième
  6. 6 Thalès, réciproque et agrandissements Troisième
  7. 7 Configurations et trigonométrie Seconde

L'essentiel

Une position, une infinité de réels

  • • L'enroulement de la droite numérique sur le cercle de rayon 11 associe à chaque réel xx un point MM, de coordonnées (cos⁡x ; sin⁡x)\left(\cos x\ ;\ \sin x\right).
  • • Deux réels qui diffèrent de 2π2\pi donnent le MÊME point : xx, x+2πx+2\pi, x−2πx-2\pi, x+4πx+4\pi décrivent tous la même position.
  • • La mesure principale est l'unique réel de ]−π ; π]]-\pi\ ;\ \pi] associé à cette position. On l'obtient en ajoutant ou en retranchant des multiples entiers de 2π2\pi.
  • • Le radian n'est pas une unité arbitraire : c'est la longueur de l'arc parcouru. Un tour complet vaut 2π2\pi radians, soit 360∘360^{\circ}, donc 180∘=π180^{\circ}=\pi rad.
  • • Longueur d'arc : sur un cercle de rayon rr, un angle au centre de θ\theta radians intercepte un arc de longueur ℓ=rθ\ell=r\theta. La formule est fausse en degrés : c'est elle qui définit le radian.
x = π/3ou 7π/3ou -5π/3
Le point marqué sur le cercle correspond à π3\frac{\pi}{3}, mais aussi à 7π3\frac{7\pi}{3}, à −5π3-\frac{5\pi}{3} et à une infinité d'autres réels : ils diffèrent tous d'un nombre entier de tours.

Toute conversion passe par la proportion degreˊs180=radiansπ\frac{\text{degrés}}{180}=\frac{\text{radians}}{\pi}. Une seule règle de trois, dans les deux sens, plutôt que deux formules à confondre.

Du triangle rectangle au cercle

  • • Pour x∈]0 ; π2[x\in\left]0\ ;\ \frac{\pi}{2}\right[, soit MM le point associé à xx et HH son projeté sur l'axe des abscisses : le triangle OHMOHM est rectangle en HH, avec OM=1OM=1.
  • • Alors OH=cos⁡xOH=\cos x et HM=sin⁡xHM=\sin x : dans le premier quadrant, cosinus et sinus du cercle sont EXACTEMENT ceux du collège, côté adjacent ou opposé sur hypoténuse.
  • • Hors du premier quadrant, il n'y a plus de triangle d'angle xx : on se ramène au premier quadrant par une symétrie du cercle.
  • • Le triangle donne alors la VALEUR ABSOLUE, et le quadrant du point donne le SIGNE : cosinus positif à droite de l'axe des ordonnées, sinus positif au-dessus de l'axe des abscisses.
OHMcos xsin x1x
Sur le cercle de rayon 11, l'hypoténuse OMOM vaut 11 : le côté adjacent est cos⁡x\cos x et le côté opposé sin⁡x\sin x, sans division.

Le cercle ne remplace pas le triangle, il le prolonge : un rapport de longueurs est toujours positif, un cosinus ne l'est pas.

Les valeurs remarquables, dans l'ordre du cercle

  • • cos⁡0=1\cos 0=1, cos⁡π6=32\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡π4=22\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡π3=12\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}, cos⁡π2=0\cos\frac{\pi}{2}=0.
  • • sin⁡0=0\sin 0=0, sin⁡π6=12\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}, sin⁡π4=22\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡π3=32\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡π2=1\sin\frac{\pi}{2}=1.
  • • Le moyen de ne jamais les confondre : le cosinus DÉCROÎT de 11 à 00 sur le premier quadrant, le sinus CROÎT de 00 à 11. Les deux colonnes sont l'une le renversement de l'autre.
  • • −1≤cos⁡x≤1-1\le\cos x\le 1 et −1≤sin⁡x≤1-1\le\sin x\le 1 : un calcul qui aboutit à cos⁡x=1,3\cos x=1{,}3 est faux, et cela se voit sans calculatrice.
Oπ/6π/4π/3√3/2√2/21/21/2√2/2√3/2
Du premier au troisième point, le cosinus (lu sur l'axe horizontal) décroît, 32\frac{\sqrt{3}}{2}, 22\frac{\sqrt{2}}{2}, 12\frac{1}{2}, et le sinus (axe vertical) croît dans l'ordre inverse.

Les racines 22≈0,707\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}707 et 32≈0,866\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866 sont à connaître en valeur décimale : elles servent à vérifier une valeur exacte trouvée par le calcul.

Les angles associés, quatre familles

  • • Opposé : cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos x et sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin x. Le point de −x-x est le symétrique de celui de xx par rapport à l'axe des abscisses.
  • • Supplémentaire : cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi-x)=-\cos x et sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi-x)=\sin x.
  • • Décalage d'un demi-tour : cos⁡(π+x)=−cos⁡x\cos(\pi+x)=-\cos x et sin⁡(π+x)=−sin⁡x\sin(\pi+x)=-\sin x.
  • • Complémentaire : cos⁡(π2−x)=sin⁡x\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x et sin⁡(π2−x)=cos⁡x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x. C'est la seule famille où cosinus et sinus s'ÉCHANGENT.
MxNy = xsin xsin x
Les points de xx et de π2−x\frac{\pi}{2}-x sont symétriques par rapport à la droite y=xy=x : l'abscisse de l'un est l'ordonnée de l'autre, cosinus et sinus s'échangent.

Toutes ces formules se retrouvent sur le cercle en dix secondes, par symétrie : −x-x est le symétrique par rapport à l'axe des abscisses, π−x\pi-x par rapport à l'axe des ordonnées, π+x\pi+x par rapport au centre.

La relation fondamentale, et le signe que le quadrant décide

  • • cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^{2}x+\sin^{2}x=1 pour tout réel xx. C'est le théorème de Pythagore appliqué au point du cercle.
  • • Elle permet de retrouver l'un à partir de l'autre, mais AU SIGNE PRÈS : cos⁡2x=14\cos^{2}x=\frac{1}{4} donne cos⁡x=12\cos x=\frac{1}{2} ou cos⁡x=−12\cos x=-\frac{1}{2}.
  • • C'est l'intervalle donné par l'énoncé qui tranche entre les deux, en fixant le quadrant. Cette phrase doit apparaître sur la copie.
  • • Signes par quadrant : cosinus positif à droite de l'axe des ordonnées, sinus positif au-dessus de l'axe des abscisses. Deux demi-plans, quatre combinaisons.
cos > 0sin > 0cos < 0sin > 0cos < 0sin < 0cos > 0sin < 0
Le cosinus est positif à droite de l'axe des ordonnées, le sinus au-dessus de l'axe des abscisses : le quadrant du point donne les deux signes.

cos⁡2x\cos^{2}x est le carré de cos⁡x\cos x, alors que cos⁡(x2)\cos\left(x^{2}\right) est le cosinus du carré. Les deux se notent presque pareil et ne valent presque jamais la même chose.

Pour aller plus loin, en Terminale : fonctions et équations

  • • Les fonctions cosinus et sinus, leur parité, leur périodicité et leurs courbes ne sont plus au programme de Première depuis la rentrée 2026 : elles sont étudiées en Terminale.
  • • En Terminale, cos⁡x=a\cos x=a avec −1<a<1-1<a<1 aura deux solutions par tour, OPPOSÉES, x0x_{0} et −x0-x_{0} ; sin⁡x=a\sin x=a en aura deux, SUPPLÉMENTAIRES, x0x_{0} et π−x0\pi-x_{0}.
  • • Sans intervalle imposé, on y ajoute +2kπ+2k\pi avec k∈Zk\in\mathbb{Z}, et avec un argument ax+bax+b on transforme l'intervalle en même temps que l'inconnue.
π/3-π/3cos x = 1/2
La droite verticale d'abscisse 12\frac{1}{2} coupe le cercle en DEUX points, symétriques par rapport à l'axe des abscisses : en Terminale, une équation en cosinus aura deux solutions par tour.

Ce qui en reste en Première : placer sur le cercle les points d'abscisse ou d'ordonnée remarquable, et lire les réels qui leur sont associés.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Donner une mesure principale hors de ]−π ; π]]-\pi\ ;\ \pi]

1 point, et la question suivante sur le quadrant devient fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La mesure principale de 25π6\frac{25\pi}{6} est 13π6\frac{13\pi}{6}. »

Ce qu'il faut écrire

« 25π6−2π=13π6\frac{25\pi}{6}-2\pi=\frac{13\pi}{6}, qui n'est pas dans ]−π ; π]]-\pi\ ;\ \pi]; on retranche encore 2π2\pi : 13π6−2π=π6\frac{13\pi}{6}-2\pi=\frac{\pi}{6}. La mesure principale est π6\frac{\pi}{6}. »

Pourquoi : Retrancher 2π2\pi une seule fois ne suffit pas quand le réel est grand. On répète l'opération JUSQU'À tomber dans l'intervalle, et on vérifie l'appartenance avant de conclure.

2. Calculer une longueur d'arc avec l'angle en degrés

toute la question, avec un arc de près de dix tours de cercle

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Arc intercepté par un angle de 60∘60^{\circ} sur un cercle de rayon 55 cm : ℓ=5×60=300\ell=5\times 60=300 cm. »

Ce qu'il faut écrire

« 60∘=π360^{\circ}=\frac{\pi}{3} rad, donc ℓ=rθ=5×π3=5π3≈5,24\ell=r\theta=5\times\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}\approx 5{,}24 cm. »

O60°r = 5 cmℓ ≈ 5,24 cm
Un angle de 60∘60^{\circ}, soit π3\frac{\pi}{3} rad, intercepte sur un cercle de rayon 55 cm un arc de 5×π3≈5,245\times\frac{\pi}{3}\approx 5{,}24 cm : un peu plus d'un rayon, pas 300300 cm.

Pourquoi : La formule ℓ=rθ\ell=r\theta n'est vraie qu'en radians : c'est la définition même du radian. Contrôle en cinq secondes : un sixième de tour intercepte un sixième du périmètre, 10π6≈5,24\frac{10\pi}{6}\approx 5{,}24 cm, et 300300 cm feraient plus de neuf tours.

3. Appliquer « adjacent sur hypoténuse » hors du premier quadrant

toute la question, et toutes les valeurs qui en dépendent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« cos⁡2π3\cos\frac{2\pi}{3} : dans le triangle rectangle, côté adjacent sur hypoténuse, donc cos⁡2π3=12\cos\frac{2\pi}{3}=\frac{1}{2}. »

Ce qu'il faut écrire

« 2π3=π−π3\frac{2\pi}{3}=\pi-\frac{\pi}{3} : le point associé est le symétrique de celui de π3\frac{\pi}{3} par rapport à l'axe des ordonnées, il est à gauche, donc cos⁡2π3=−12\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}. »

π/32π/31/2−1/2
Les points de π3\frac{\pi}{3} et 2π3\frac{2\pi}{3} ont la même ordonnée et des abscisses opposées : même triangle, même valeur absolue 12\frac{1}{2}, mais le second est à gauche, donc cos⁡2π3=−12\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}.

Pourquoi : Un rapport de longueurs est toujours positif : le triangle donne la valeur absolue, jamais le signe. Le signe se lit sur le quadrant du point : à gauche de l'axe des ordonnées, le cosinus est négatif.

4. Recopier le signe du sinus sur le cosinus

1 point, la moitié de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« sin⁡x=−1517\sin x=-\frac{15}{17} avec x∈]−π2 ; 0[x\in\left]-\frac{\pi}{2}\ ;\ 0\right[, donc cos⁡x=−817\cos x=-\frac{8}{17}. »

Ce qu'il faut écrire

« cos⁡2x=1−225289=64289\cos^{2}x=1-\frac{225}{289}=\frac{64}{289}, donc cos⁡x=817\cos x=\frac{8}{17} ou cos⁡x=−817\cos x=-\frac{8}{17} ; le point est à droite de l'axe des ordonnées, donc cos⁡x=817\cos x=\frac{8}{17}. »

M8/17−8/17 ?−15/17
Pour x∈]−π2 ;0[x\in\left]-\frac{\pi}{2}\,;0\right[, le point est en bas à droite : son abscisse cos⁡x=817\cos x=\frac{8}{17} est positive (vert). Le point d'abscisse −817-\frac{8}{17} (rouge) n'est pas dans cet intervalle.

Pourquoi : Dans le quatrième quadrant, le sinus est négatif et le cosinus POSITIF : les deux signes sont indépendants, chacun se lit sur son axe. La relation fondamentale ne donne que le carré.

5. Distribuer le cosinus sur une somme

toute la question, et l'erreur se propage à toutes les simplifications suivantes

Ce qu'il ne faut pas écrire

« cos⁡(π−x)=cos⁡π−cos⁡x=−1−cos⁡x\cos\left(\pi-x\right)=\cos\pi-\cos x=-1-\cos x. »

Ce qu'il faut écrire

« cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos\left(\pi-x\right)=-\cos x, d'après la formule des angles supplémentaires. Le cosinus n'est pas une fonction linéaire, on ne distribue jamais. »

Pourquoi : Le contrôle en cinq secondes, sur x=0x=0 : à gauche cos⁡π=−1\cos\pi=-1, à droite la formule fausse donnerait −1−1=−2-1-1=-2, ce qui sort de l'intervalle [−1 ; 1][-1\ ;\ 1]. Un cosinus hors de cet intervalle est toujours le signe d'une distribution abusive.

6. Laisser la calculatrice en degrés, ou l'y mettre au mauvais moment

toutes les valeurs numériques de l'exercice, donc souvent la moitié du sujet

Ce qu'il ne faut pas écrire

« cos⁡π3\cos\frac{\pi}{3} : je tape cos⁡(60)\cos(60) et j'obtiens −0,95-0{,}95. »

Ce qu'il faut écrire

« Je mets la calculatrice en RADIAN, puis je tape cos⁡(π3)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) et j'obtiens 0,50{,}5. Le mode se vérifie AVANT chaque exercice de trigonométrie. »

Pourquoi : En radian, 6060 n'est pas un angle de 6060 degrés mais un réel qui vaut presque dix tours. Le contrôle de mode : cos⁡(π)\cos\left(\pi\right) doit afficher exactement −1-1. À l'épreuve anticipée de fin de Première, la calculatrice est interdite : les valeurs remarquables se LISENT sur le cercle.

7. Oublier les carrés de la relation fondamentale

toute la question, et l'identité utilisée ensuite est fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^{2}x+\sin^{2}x=1, donc cos⁡x+sin⁡x=1\cos x+\sin x=1. »

Ce qu'il faut écrire

« La relation porte sur les CARRÉS. Pour x=π4x=\frac{\pi}{4}, cos⁡x+sin⁡x=22+22=2≈1,414\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\approx 1{,}414, et non 11. »

OHMcos = √2/2sin = √2/21
En π4\frac{\pi}{4}, les côtés OHOH et HMHM valent chacun 22\frac{\sqrt{2}}{2} : leur somme vaut 2≈1,41\sqrt{2}\approx 1{,}41, pas 11. C'est la somme de leurs CARRÉS qui vaut OM2=1OM^{2}=1.

Pourquoi : On ne prend pas la racine carrée terme à terme : la racine d'une somme n'est pas la somme des racines. Le contre-exemple se lit sur le point de la bissectrice, π4\frac{\pi}{4}.

8. Confondre cos⁡2x\cos^{2}x et cos⁡(x2)\cos\left(x^{2}\right)

toute la question, et l'identité utilisée devient fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^{2}x+\sin^{2}x=1, donc cos⁡(x2)+sin⁡(x2)=1\cos\left(x^{2}\right)+\sin\left(x^{2}\right)=1. »

Ce qu'il faut écrire

« cos⁡2x\cos^{2}x désigne (cos⁡x)2\left(\cos x\right)^{2}. La relation fondamentale porte sur les CARRÉS des valeurs, pas sur le cosinus du carré. »

Pourquoi : Le contrôle sur x=1x=1 : cos⁡21+sin⁡21=1\cos^{2}1+\sin^{2}1=1 exactement, alors que cos⁡1+sin⁡1≈1,382\cos 1+\sin 1\approx 1{,}382. La notation abrégée cos⁡2x\cos^{2}x est un carré placé avant l'argument, une convention et non une composition.

Quelle méthode choisir

Placer un réel sur le cercle : quelle méthode selon son écriture

On regarde comment le réel est ÉCRIT : c'est l'écriture qui dit combien de tours retirer et dans quel quadrant tomber.

  • Si pπq\frac{p\pi}{q} avec ∣pq∣≤1\left|\frac{p}{q}\right|\le 1 → placer directement : pq\frac{p}{q} est la fraction du demi-tour à parcourir

    Exemple : 3π4\frac{3\pi}{4} : les trois quarts du demi-tour supérieur, deuxième quadrant

  • Si pπq\frac{p\pi}{q} avec ∣pq∣>1\left|\frac{p}{q}\right|>1 → retirer des tours entiers, c'est-à-dire des multiples de 2π2\pi, jusqu'à tomber dans ]−π ; π]]-\pi\ ;\ \pi]

    Exemple : 29π6=4π+5π6\frac{29\pi}{6}=4\pi+\frac{5\pi}{6} : même point que 5π6\frac{5\pi}{6}

    On retire 2π=12π62\pi=\frac{12\pi}{6} autant de fois qu'il faut, et l'on vérifie l'intervalle à la fin.

  • Si un réel sans π\pi, comme 22 ou 1010 → comparer aux repères π2≈1,57\frac{\pi}{2}\approx 1{,}57, π≈3,14\pi\approx 3{,}14 et 2π≈6,282\pi\approx 6{,}28

    Exemple : 22 est entre π2\frac{\pi}{2} et π\pi : deuxième quadrant ; 10−4π≈−2,5710-4\pi\approx -2{,}57 : troisième quadrant

  • Si un angle donné en degrés → convertir d'abord par degreˊs180=radiansπ\frac{\text{degrés}}{180}=\frac{\text{radians}}{\pi}

    Exemple : 210∘=7π6210^{\circ}=\frac{7\pi}{6}, troisième quadrant

  • Si un réel négatif → enrouler dans le sens indirect, ou ajouter 2π2\pi pour retrouver le même point

    Exemple : −π4-\frac{\pi}{4} et 7π4\frac{7\pi}{4} donnent le même point, quatrième quadrant

Aucune branche ne s'applique ? Le réel est donné par une longueur d'arc ℓ\ell sur un cercle de rayon rr : on divise, θ=ℓr\theta=\frac{\ell}{r}, puis on revient aux branches.

Quel angle associé selon la transformation

On regarde ce qui est écrit DANS la parenthèse, et une seule symétrie du cercle répond.

π/65π/67π/6−π/6π/3cossin
Les points de 5π6\frac{5\pi}{6}, 7π6\frac{7\pi}{6} et −π6-\frac{\pi}{6} sont les symétriques de celui de π6\frac{\pi}{6} : mêmes valeurs absolues, signes lus sur le quadrant.

  • Si −x-x dans la parenthèse → symétrie par rapport à l'axe des abscisses : le cosinus ne bouge pas, le sinus change de signe

    Exemple : cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos x et sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin x

  • Si π−x\pi-x dans la parenthèse → symétrie par rapport à l'axe des ordonnées : le cosinus change de signe, le sinus ne bouge pas

    Exemple : cos⁡(π−π3)=−12\cos\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}

  • Si π+x\pi+x dans la parenthèse → symétrie par rapport au centre : les deux changent de signe

  • Si π2−x\frac{\pi}{2}-x dans la parenthèse → symétrie par rapport à la première bissectrice : cosinus et sinus S'ÉCHANGENT

    Exemple : cos⁡(π2−π6)=sin⁡π6=12\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}

  • Si x+2πx+2\pi ou x−2πx-2\pi, ou plus généralement x+2kπx+2k\pi → rien ne change : on a fait un nombre entier de tours, le point est le même

En cas de doute, on ne récite pas la formule : on place xx dans le premier quadrant, on dessine le point transformé, et on lit les deux coordonnées. Dix secondes, et aucune erreur de signe possible.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Retrouver un cosinus à partir d'un sinus

Quand l'utiliser : L'énoncé donne sin⁡x\sin x et un intervalle, puis demande cos⁡x\cos x. C'est la question la plus courte du sujet, et celle où le signe se perd.

  1. 1 Écrire la relation fondamentale et en isoler le carré cherché. « cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^{2}x=1-\sin^{2}x. »
  2. 2 Remplacer et calculer la valeur du carré, sous forme de fraction exacte.
  3. 3 Extraire les DEUX racines opposées, sans encore choisir.
  4. 4 Utiliser l'intervalle donné pour déterminer le quadrant, et donc le signe du cosinus.
  5. 5 Conclure avec la valeur retenue et la raison explicite du rejet de l'autre.

Phrase de conclusion

cos⁡2x=1−(35)2=1625\cos^{2}x=1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}, donc cos⁡x=45\cos x=\frac{4}{5} ou cos⁡x=−45\cos x=-\frac{4}{5}; comme x∈]π2 ; π[x\in\left]\frac{\pi}{2}\ ;\ \pi\right[, le cosinus est négatif, donc cos⁡x=−45\cos x=-\frac{4}{5}.

Le piège : Donner les deux valeurs sans trancher. L'énoncé fournit toujours l'intervalle, précisément pour que le choix soit possible, et c'est ce choix qui est évalué.

Barème : 0,5 point pour la relation, 1 point pour le calcul du carré, 1 point pour le choix du signe justifié par le quadrant.

Lire le cosinus et le sinus d'un angle associé

Quand l'utiliser : L'énoncé demande une valeur exacte comme cos⁡5π6\cos\frac{5\pi}{6} ou sin⁡(−3π4)\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right), sans calculatrice.

  1. 1 Écrire le réel comme angle associé à une valeur du premier quadrant : 5π6=π−π6\frac{5\pi}{6}=\pi-\frac{\pi}{6}.
  2. 2 Nommer la symétrie du cercle qui relie les deux points.
  3. 3 Lire la valeur absolue dans le premier quadrant : cos⁡π6=32\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
  4. 4 Lire le signe sur le quadrant du point : deuxième quadrant, cosinus négatif.
  5. 5 Conclure par l'égalité complète.

Phrase de conclusion

5π6=π−π6\frac{5\pi}{6}=\pi-\frac{\pi}{6} : le point associé est le symétrique de celui de π6\frac{\pi}{6} par rapport à l'axe des ordonnées, donc cos⁡5π6=−cos⁡π6=−32\cos\frac{5\pi}{6}=-\cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

Le piège : Donner 32\frac{\sqrt{3}}{2} sans signe : la valeur absolue est juste, le point est perdu. Le quadrant se nomme sur la copie.

Barème : 0,5 point pour l'écriture en angle associé, 0,5 point pour la symétrie nommée, 1 point pour la valeur avec son signe.

Calculer une longueur d'arc

Quand l'utiliser : L'énoncé donne un rayon et un angle au centre, en degrés ou en radians, et demande la longueur de l'arc intercepté.

  1. 1 Convertir l'angle en radians s'il est donné en degrés.
  2. 2 Appliquer ℓ=rθ\ell=r\theta, avec le rayon dans l'unité voulue.
  3. 3 Donner la valeur exacte, en fonction de pi, puis l'arrondi demandé.
  4. 4 Contrôler contre le périmètre : l'arc est la fraction de tour correspondante.

Phrase de conclusion

L'angle mesure 135∘=3π4135^{\circ}=\frac{3\pi}{4} rad, donc l'arc mesure ℓ=rθ=4×3π4=3π≈9,42\ell=r\theta=4\times\frac{3\pi}{4}=3\pi\approx 9{,}42 cm.

Le piège : Arrondir l'angle avant de multiplier : 3π4≈2,36\frac{3\pi}{4}\approx 2{,}36 puis 4×2,36=9,444\times 2{,}36=9{,}44 cm, faux au centième.

Barème : 0,5 point pour la conversion, 1 point pour la formule appliquée, 0,5 point pour la valeur exacte et l'arrondi.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Un réel placé, lu et mesuré, comme au contrôle

On considère le réel x=29π6x=\frac{29\pi}{6} et le point I(1 ; 0)I(1\ ;\ 0) du cercle trigonométrique.

1. Déterminer la mesure principale de xx et placer le point associé MM. 2. En déduire cos⁡x\cos x et sin⁡x\sin x, sans calculatrice. 3. Calculer cos⁡(−x)\cos(-x) et sin⁡(x+π)\sin(x+\pi). 4. Sur un cercle de même centre et de rayon 33 cm, calculer la longueur de l'arc intercepté par l'angle IOM^\widehat{IOM}.

Étape 1

29π6=24π6+5π6=4π+5π6\frac{29\pi}{6}=\frac{24\pi}{6}+\frac{5\pi}{6}=4\pi+\frac{5\pi}{6}, et 5π6∈ ]−π ; π]\frac{5\pi}{6}\in\,]-\pi\ ;\ \pi] : la mesure principale est 5π6\frac{5\pi}{6}.

Pourquoi

4π4\pi fait deux tours entiers : le point ne bouge pas. On retire le plus grand multiple de 2π2\pi contenu dans 29π6\frac{29\pi}{6}, et l'on VÉRIFIE l'intervalle.

Étape 2

5π6=π−π6\frac{5\pi}{6}=\pi-\frac{\pi}{6} : MM est le symétrique du point de π6\frac{\pi}{6} par rapport à l'axe des ordonnées, dans le deuxième quadrant.

OIJπ/6M5π/6

Pourquoi

Nommer la symétrie est ce qui justifie la valeur : c'est la phrase que le correcteur cherche.

Étape 3

cos⁡x=−cos⁡π6=−32\cos x=-\cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2} et sin⁡x=sin⁡π6=12\sin x=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}.

Pourquoi

Valeur absolue lue dans le premier quadrant, signe lu sur le deuxième : à gauche, cosinus négatif ; en haut, sinus positif.

Étape 4

Le point de −x-x est le symétrique de MM par rapport à l'axe des abscisses : cos⁡(−x)=−32\cos(-x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}. Le point de x+πx+\pi est le symétrique de MM par rapport à l'origine : sin⁡(x+π)=−12\sin(x+\pi)=-\frac{1}{2}.

Pourquoi

Deux nouvelles symétries, aucune formule récitée : le point transformé se dessine en deux secondes et donne les deux signes d'un coup.

Étape 5

L'angle IOM^\widehat{IOM} mesure 5π6\frac{5\pi}{6} rad, donc l'arc mesure ℓ=3×5π6=5π2≈7,85\ell=3\times\frac{5\pi}{6}=\frac{5\pi}{2}\approx 7{,}85 cm.

Pourquoi

La formule ℓ=rθ\ell=r\theta exige des radians, et on les a déjà. Contrôle : 5π6\frac{5\pi}{6} vaut les 512\frac{5}{12} du tour, et les 512\frac{5}{12} du périmètre 6π6\pi font bien 5π2\frac{5\pi}{2}.

Conclusion rédigée

La mesure principale de 29π6\frac{29\pi}{6} est 5π6\frac{5\pi}{6} ; cos⁡x=−32\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2}, cos⁡(−x)=−32\cos(-x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡(x+π)=−12\sin(x+\pi)=-\frac{1}{2}, et l'arc mesure 5π2≈7,85\frac{5\pi}{2}\approx 7{,}85 cm.

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire cos⁡29π6=32\cos\frac{29\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} : c'est la valeur du triangle rectangle, sans le signe. Le point est dans le deuxième quadrant, le cosinus est négatif.

À savoir par cœur

  • • 180∘=π180^{\circ}=\pi rad ; longueur d'arc ℓ=rθ\ell=r\theta, avec θ\theta en RADIANS.
  • • Un point du cercle porte une infinité de réels, tous distants d'un multiple de 2π2\pi. La mesure principale est celle de ]−π ; π]]-\pi\ ;\ \pi].
  • • Premier quadrant : cosinus et sinus sont ceux du triangle rectangle. Ailleurs, le triangle donne la valeur absolue, le quadrant donne le signe.
  • • cos⁡π6=sin⁡π3=32\cos\frac{\pi}{6}=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡π4=sin⁡π4=22\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡π3=sin⁡π6=12\cos\frac{\pi}{3}=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}.
  • • cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^{2}x+\sin^{2}x=1 donne l'un à partir de l'autre AU SIGNE PRÈS ; c'est le quadrant qui tranche.
  • • Angles associés, quatre symétries : axe des abscisses pour −x-x, axe des ordonnées pour π−x\pi-x, origine pour π+x\pi+x, première bissectrice pour π2−x\frac{\pi}{2}-x.
  • • −1≤cos⁡x≤1-1\le\cos x\le 1 et −1≤sin⁡x≤1-1\le\sin x\le 1 : une valeur hors de cet intervalle trahit une erreur de calcul.

Questions fréquentes

Comment passer du cosinus du triangle rectangle au cosinus d'un réel ?

Dans le premier quart du cercle trigonométrique, le point associé au réel, son projeté sur l'axe des abscisses et l'origine forment un triangle rectangle d'hypoténuse un : le cosinus du collège et celui du cercle coïncident. Ailleurs, on se ramène à ce premier quart par une symétrie du cercle, qui donne la valeur, et le quadrant du point donne le signe.

Comment trouver la mesure principale d'un angle ?

On ajoute ou on retranche des tours entiers, c'est-à-dire des multiples de deux pi, jusqu'à tomber dans l'intervalle allant de moins pi exclu à pi inclus. Une seule soustraction ne suffit pas toujours : il faut répéter l'opération et vérifier l'appartenance avant de conclure.

Quelle est la formule de la longueur d'un arc de cercle ?

La longueur de l'arc est le rayon multiplié par l'angle au centre, à condition que l'angle soit en radians. Un angle en degrés se convertit d'abord, en sachant que cent quatre-vingts degrés valent pi radians. Contrôle rapide : un quart de tour intercepte le quart du périmètre.

Comment calculer le cosinus quand on connaît le sinus ?

On utilise la relation fondamentale : la somme des carrés du cosinus et du sinus vaut un. On en tire le carré du cosinus, puis ses deux racines opposées. C'est ensuite l'intervalle donné par l'énoncé qui indique le quadrant, donc le signe à retenir, et cette justification fait partie de la réponse.

Les équations trigonométriques sont-elles au programme de Première ?

Non, plus depuis la rentrée 2026. Le programme de Première s'arrête au cercle : placer un point, lire le cosinus et le sinus des valeurs remarquables et de leurs angles associés, calculer une longueur d'arc. Les équations du type cosinus de x égale a, comme les fonctions cosinus et sinus et leurs courbes, sont étudiées en Terminale.

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Exercices corrigés : La trigonométrie

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/1spe-trigonometrie. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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