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Spécialité maths, Première • Fiche de révision à Montréal

Fiche de révision : le produit scalaire (Première spécialité)

Le produit scalaire est le premier outil du lycée qui relie l'algèbre et la géométrie : il transforme une question d'angle en un calcul de coordonnées, et une question de distance en un produit. Sa difficulté n'est pas technique, elle est de vocabulaire : c'est un nombre, pas un vecteur, et l'angle qu'il utilise n'est jamais celui qu'on croit.

Cette fiche ne redit pas les quatre formules du polycopié. Elle montre les huit endroits où les copies se trompent, la phrase exacte à recopier pour chacun, l'arbre qui dit quelle expression choisir selon les DONNÉES fournies, et un problème de triangle décortiqué étape par étape.

Elle suit le programme de Première en vigueur depuis la rentrée 2026, qui ajoute l'expression des coordonnées dans une base orthonormée par des produits scalaires et la transformation de MA⃗⋅MB⃗\vec{MA}\cdot\vec{MB} par le milieu de [AB][AB].

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Le fil du chapitre

Le produit scalaire de deux vecteurs est un NOMBRE, et un nombre signé : c'est son signe qui dit si l'angle est aigu ou obtus, et son annulation qui dit l'orthogonalité. Toutes les erreurs du chapitre reviennent à le traiter comme un vecteur, ou à utiliser un angle dont les deux côtés ne partent pas du même point.

Ce chapitre fait partie de Spécialité mathématiques en Première
Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 18 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (10 chapitres, les plus proches) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1 Thalès et les agrandissements Quatrième
  2. 2 Proportionnalité, pourcentages et vitesses Quatrième
  3. 3 La notion de fonction Troisième
  4. 4 Les fonctions linéaires Troisième
  5. 5 Les fonctions affines Troisième
  6. 6 Trigonométrie : sinus et cosinus Troisième
  7. 7 Thalès, réciproque et agrandissements Troisième
  8. 8 Vecteurs et géométrie repérée Seconde
  9. 9 Configurations et trigonométrie Seconde
  10. 10 La trigonométrie

L'essentiel

Quatre expressions du même nombre, et quand choisir laquelle

  • • Avec les normes et l'angle : u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos\theta, où θ\theta est l'angle entre les deux vecteurs placés à la MÊME origine.
  • • Avec les coordonnées, dans un repère ORTHONORMÉ : u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'.
  • • Avec le projeté orthogonal : si HH est le projeté de CC sur la droite (AB)(AB), alors AB⃗⋅AC⃗=AB⃗⋅AH⃗\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\vec{AB}\cdot\vec{AH}, produit de deux mesures algébriques.
  • • Avec les normes seules : u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2)\vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}-\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}\right).
ABCHAB . AH = 6 x 4 = 24
Le point HH est le projeté orthogonal de CC sur (AB)(AB) : le produit scalaire AB⃗⋅AC⃗\vec{AB}\cdot\vec{AC} ne dépend que de AHAH, la partie de AC⃗\vec{AC} qui va dans la direction de AB⃗\vec{AB}.

Le choix se fait sur les données : un angle donné appelle la première formule, des coordonnées la deuxième, une figure avec une hauteur la troisième. On ne convertit jamais des coordonnées en angle pour utiliser le cosinus.

Un nombre, et son signe a un sens

  • • u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v} est un RÉEL : jamais de flèche sur le résultat, jamais de norme autour, jamais de coordonnées.
  • • u⃗⋅v⃗>0\vec{u}\cdot\vec{v}>0 : l'angle est aigu. u⃗⋅v⃗<0\vec{u}\cdot\vec{v}<0 : l'angle est obtus. u⃗⋅v⃗=0\vec{u}\cdot\vec{v}=0 : les vecteurs sont orthogonaux, ou l'un des deux est nul.
  • • u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^{2}, ce qui se note u⃗ 2\vec{u}^{\,2}. C'est le pont entre produit scalaire et longueur.
  • • Deux vecteurs NON NULS sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. La précision « non nuls » n'est pas décorative.
uvu · v > 0uvu · v = 0uvu · v < 0
Le signe du produit scalaire se lit sur l'angle entre les vecteurs placés à la même origine : aigu, il est positif ; droit, il est nul ; obtus, il est négatif.

Le signe se contrôle sur la figure : si l'angle a l'air aigu et que le calcul donne un nombre négatif, c'est le calcul qui est faux, pas la figure.

Les règles de calcul, et celles qui n'existent pas

  • • Le produit scalaire est symétrique et se distribue : u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec{u}\cdot\left(\vec{v}+\vec{w}\right)=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}, et (ku⃗)⋅v⃗=k(u⃗⋅v⃗)\left(k\vec{u}\right)\cdot\vec{v}=k\left(\vec{u}\cdot\vec{v}\right).
  • • Identités remarquables vectorielles : ∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}, et de même avec un signe moins.
  • • Ce qui n'existe PAS : la division par un vecteur, la simplification u⃗⋅v⃗=u⃗⋅w⃗⇒v⃗=w⃗\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot\vec{w}\Rightarrow\vec{v}=\vec{w}, et l'associativité (u⃗⋅v⃗)w⃗=u⃗(v⃗⋅w⃗)\left(\vec{u}\cdot\vec{v}\right)\vec{w}=\vec{u}\left(\vec{v}\cdot\vec{w}\right).
  • • Ce qui n'existe pas non plus : ∥u⃗+v⃗∥=∥u⃗∥+∥v⃗∥\|\vec{u}+\vec{v}\|=\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|. C'est faux dès que les deux vecteurs ne sont pas de même direction et de même sens.

Un produit scalaire nul ne permet jamais de « simplifier » : u⃗⋅v⃗=0\vec{u}\cdot\vec{v}=0 avec u⃗≠0⃗\vec{u}\neq\vec{0} ne donne pas v⃗=0⃗\vec{v}=\vec{0}, mais l'orthogonalité.

Al-Kashi, la médiane, et le cercle de diamètre donné

  • • Al-Kashi : BC2=AB2+AC2−2×AB×AC×cos⁡A^BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\times AB\times AC\times\cos\widehat{A}. L'angle est celui du sommet OPPOSÉ au côté cherché.
  • • Pythagore en est le cas particulier A^=90∘\widehat{A}=90^{\circ}, où le terme en cosinus disparaît.
  • • Médiane : si II est le milieu de [BC][BC], alors AB2+AC2=2AI2+BC22AB^{2}+AC^{2}=2AI^{2}+\frac{BC^{2}}{2}.
  • • Cercle de diamètre [AB][AB] : c'est l'ensemble des points MM tels que MA⃗⋅MB⃗=0\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0. Son équation développée se ramène à (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} par complétion du carré.
ABCIcôté opposé
Al-Kashi relie le côté [BC][BC] (orange) à l'angle A^\widehat{A} du sommet qui lui fait face. La médiane [AI][AI] (pointillés) aboutit au milieu II de ce même côté.

Al-Kashi ne sert qu'à deux choses : trouver un côté quand on connaît deux côtés et l'angle entre eux, ou trouver un angle quand on connaît les trois côtés. Dans les deux cas, l'angle et le côté qui se répondent sont opposés.

Coordonnées par produits scalaires, et MA·MB par le milieu

  • • Dans une base ORTHONORMÉE (e1⃗,e2⃗)(\vec{e_{1}},\vec{e_{2}}) : u⃗=(u⃗⋅e1⃗) e1⃗+(u⃗⋅e2⃗) e2⃗\vec{u}=(\vec{u}\cdot\vec{e_{1}})\,\vec{e_{1}}+(\vec{u}\cdot\vec{e_{2}})\,\vec{e_{2}}. Chaque coordonnée est un produit scalaire, sans système à résoudre.
  • • La preuve tient en une ligne de bilinéarité : e1⃗⋅e1⃗=1\vec{e_{1}}\cdot\vec{e_{1}}=1 et e2⃗⋅e1⃗=0\vec{e_{2}}\cdot\vec{e_{1}}=0. Dans une base non orthonormée, la formule est FAUSSE.
  • • Si II est le milieu de [AB][AB], alors pour tout point MM : MA⃗⋅MB⃗=MI2−AB24\vec{MA}\cdot\vec{MB}=MI^{2}-\frac{AB^{2}}{4}, car IB⃗=−IA⃗\vec{IB}=-\vec{IA}.
  • • Donc MA⃗⋅MB⃗=k\vec{MA}\cdot\vec{MB}=k équivaut à MI2=k+AB24MI^{2}=k+\frac{AB^{2}}{4} : un cercle de centre II si ce nombre est positif, le point II s'il est nul, l'ensemble vide s'il est négatif.
−4−3−2−112345−112345678u5e₁5e₂
Les pointillés projettent u⃗\vec{u} sur chaque direction de la base : chaque projection mesure 55, exactement le produit scalaire avec le vecteur unitaire.

Exemple : e1⃗(0,8 ;0,6)\vec{e_{1}}(0{,}8\,;0{,}6), e2⃗(−0,6 ;0,8)\vec{e_{2}}(-0{,}6\,;0{,}8) et u⃗(1 ;7)\vec{u}(1\,;7) donnent u⃗⋅e1⃗=5\vec{u}\cdot\vec{e_{1}}=5 et u⃗⋅e2⃗=5\vec{u}\cdot\vec{e_{2}}=5, donc u⃗=5e1⃗+5e2⃗\vec{u}=5\vec{e_{1}}+5\vec{e_{2}}.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Mettre une flèche sur un produit scalaire

1 point, et toutes les questions suivantes deviennent incohérentes

Ce qu'il ne faut pas écrire

« u⃗⋅v⃗=w⃗\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{w}, de coordonnées (3 ; 5)\left(3\ ;\ 5\right). »

Ce qu'il faut écrire

« u⃗⋅v⃗=3×2+5×(−1)=1\vec{u}\cdot\vec{v}=3\times 2+5\times(-1)=1. Le produit scalaire de deux vecteurs est un NOMBRE réel, il n'a ni direction ni coordonnées. »

Pourquoi : Le produit scalaire n'est pas une multiplication de vecteurs : c'est une opération qui prend deux vecteurs et rend un nombre. Une égalité entre un produit scalaire et un vecteur n'a aucun sens.

2. Prendre l'angle entre deux vecteurs qui ne partent pas du même point

toute la question : le résultat est l'opposé du bon

Ce qu'il ne faut pas écrire

« AB⃗⋅BC⃗=AB×BC×cos⁡B^\vec{AB}\cdot\vec{BC}=AB\times BC\times\cos\widehat{B}, où B^\widehat{B} est l'angle du triangle en BB. »

Ce qu'il faut écrire

« L'angle B^\widehat{B} du triangle est celui de BA⃗\vec{BA} et BC⃗\vec{BC}, donc BA⃗⋅BC⃗=BA×BC×cos⁡B^\vec{BA}\cdot\vec{BC}=BA\times BC\times\cos\widehat{B}. Et comme AB⃗=−BA⃗\vec{AB}=-\vec{BA}, on a AB⃗⋅BC⃗=−BA⃗⋅BC⃗\vec{AB}\cdot\vec{BC}=-\vec{BA}\cdot\vec{BC}. »

ABCaiguobtus
Le petit arc, environ 56∘56^{\circ}, est l'angle de AB⃗\vec{AB} prolongé et de BC⃗\vec{BC}; le grand, environ 124∘124^{\circ}, celui de BA⃗\vec{BA} et de BC⃗\vec{BC}. Deux angles supplémentaires, deux produits scalaires opposés.

Pourquoi : L'angle d'un produit scalaire se lit entre deux vecteurs de MÊME ORIGINE. Changer le sens d'un vecteur remplace l'angle θ\theta par π−θ\pi-\theta, donc change le signe du cosinus, donc celui du produit scalaire.

3. Utiliser xx′+yy′xx'+yy' dans un repère qui n'est pas orthonormé

toute la question, et l'erreur est invisible sans relire l'énoncé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Dans le repère (A ; AB⃗ ; AC⃗)\left(A\ ;\ \vec{AB}\ ;\ \vec{AC}\right), u⃗(2 ; 1)\vec{u}\left(2\ ;\ 1\right) et v⃗(1 ; 3)\vec{v}\left(1\ ;\ 3\right) donnent u⃗⋅v⃗=2+3=5\vec{u}\cdot\vec{v}=2+3=5. »

Ce qu'il faut écrire

« La formule xx′+yy′xx'+yy' n'est valable que dans un repère ORTHONORMÉ. Ici il faut décomposer : u⃗⋅v⃗=(2AB⃗+AC⃗)⋅(AB⃗+3AC⃗)\vec{u}\cdot\vec{v}=\left(2\vec{AB}+\vec{AC}\right)\cdot\left(\vec{AB}+3\vec{AC}\right), puis développer. »

Pourquoi : La formule des coordonnées suppose que les vecteurs de base sont orthogonaux et de norme 11. Dès que l'énoncé introduit un repère lié à une figure quelconque, il faut développer par bilinéarité.

4. Se tromper de signe ou d'angle dans Al-Kashi

toute la question, et le résultat est incompatible avec l'inégalité triangulaire

Ce qu'il ne faut pas écrire

« BC2=AB2+AC2+2×AB×AC×cos⁡A^BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}+2\times AB\times AC\times\cos\widehat{A}. »

Ce qu'il faut écrire

« BC2=AB2+AC2−2×AB×AC×cos⁡A^BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\times AB\times AC\times\cos\widehat{A} : le signe est MOINS, et l'angle A^\widehat{A} est celui du sommet opposé au côté [BC][BC]. »

ABCC′60°√19 ≈ 4,367 ?35
Avec AB=3AB=3, AC=5AC=5 et A^=60∘\widehat{A}=60^{\circ}, le bon signe donne BC=19≈4,36BC=\sqrt{19}\approx 4{,}36 (vert). Le signe ++ calcule en fait le triangle d'angle 120∘120^{\circ} (rouge), où BC′=7BC'=7.

Pourquoi : Le repère qui ne trompe pas : avec A^=90∘\widehat{A}=90^{\circ}, le cosinus est nul et la formule doit redonner exactement Pythagore. Un signe plus donnerait un BCBC toujours plus grand que l'hypoténuse.

5. Additionner les normes d'une somme de vecteurs

toute la question, et le résultat contredit le théorème de Pythagore

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ∥u⃗+v⃗∥=∥u⃗∥+∥v⃗∥\|\vec{u}+\vec{v}\|=\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|, donc ∥u⃗+v⃗∥=3+4=7\|\vec{u}+\vec{v}\|=3+4=7. »

Ce qu'il faut écrire

« ∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}. Avec u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} orthogonaux de normes 33 et 44 : ∥u⃗+v⃗∥2=9+0+16=25\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=9+0+16=25, donc la norme vaut 55. »

uvu + v345, pas 7
u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} orthogonaux, de normes 33 et 44 : u⃗+v⃗\vec{u}+\vec{v} est l'hypoténuse d'un triangle rectangle, de norme 55. Les normes ne s'additionnent que pour deux vecteurs de même sens.

Pourquoi : La norme n'est pas linéaire. L'égalité n'a lieu que si les deux vecteurs sont colinéaires et de même sens; dans tous les autres cas, la somme des normes est strictement plus grande.

6. Simplifier une égalité de produits scalaires

toute la question, et la conclusion est en général fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« u⃗⋅v⃗=u⃗⋅w⃗\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot\vec{w} avec u⃗≠0⃗\vec{u}\neq\vec{0}, donc v⃗=w⃗\vec{v}=\vec{w}. »

Ce qu'il faut écrire

« u⃗⋅v⃗=u⃗⋅w⃗\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot\vec{w} donne u⃗⋅(v⃗−w⃗)=0\vec{u}\cdot\left(\vec{v}-\vec{w}\right)=0, donc u⃗\vec{u} est orthogonal à v⃗−w⃗\vec{v}-\vec{w}. On ne peut rien conclure de plus. »

uvwH
v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} ont le même projeté HH sur la direction de u⃗\vec{u}, donc u⃗⋅v⃗=u⃗⋅w⃗\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot\vec{w}, et pourtant v⃗≠w⃗\vec{v}\neq\vec{w} : seule leur différence est orthogonale à u⃗\vec{u}.

Pourquoi : Le contre-exemple tient en deux lignes : avec u⃗(1 ; 0)\vec{u}\left(1\ ;\ 0\right), v⃗(2 ; 5)\vec{v}\left(2\ ;\ 5\right) et w⃗(2 ; −7)\vec{w}\left(2\ ;\ -7\right), les deux produits valent 22 et pourtant les vecteurs sont différents.

7. Lire le rayon d'un cercle sur le second membre sans prendre la racine

1 point, et la figure demandée ensuite est trois fois trop grande

Ce qu'il ne faut pas écrire

« (x−1)2+(y+2)2=9(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=9 : le cercle a pour centre (1 ; −2)\left(1\ ;\ -2\right) et pour rayon 99. »

Ce qu'il faut écrire

« Le second membre est r2r^{2}, donc r=9=3r=\sqrt{9}=3 : le cercle a pour centre (1 ; −2)\left(1\ ;\ -2\right) et pour rayon 33. »

Pourquoi : L'équation d'un cercle est une égalité de CARRÉS de distances. Le repère : le signe des coordonnées du centre est aussi l'opposé de celui qui apparaît dans la parenthèse.

8. Conclure qu'un vecteur est nul parce qu'un produit scalaire l'est

toute la question de lieu géométrique, qui vaut souvent 3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« MA⃗⋅MB⃗=0\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0, donc MA⃗=0⃗\vec{MA}=\vec{0} ou MB⃗=0⃗\vec{MB}=\vec{0}, donc M=AM=A ou M=BM=B. »

Ce qu'il faut écrire

« MA⃗⋅MB⃗=0\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0 signifie que MA⃗\vec{MA} et MB⃗\vec{MB} sont ORTHOGONAUX, ou que l'un est nul. L'ensemble des points MM qui conviennent est le cercle de diamètre [AB][AB], qui contient AA et BB mais aussi une infinité d'autres points. »

ABMMA . MB = 0
Tous les points du cercle de diamètre [AB][AB] voient [AB][AB] sous un angle droit : le produit scalaire MA⃗⋅MB⃗\vec{MA}\cdot\vec{MB} y est nul sans qu'aucun des deux vecteurs ne le soit.

Pourquoi : La règle du produit nul vaut pour les nombres, pas pour le produit scalaire. Deux vecteurs non nuls peuvent parfaitement avoir un produit scalaire nul : c'est même la définition de l'orthogonalité.

9. Prendre un produit scalaire pour une coordonnée dans une base non orthonormée

toute la question, et les deux coordonnées sont fausses

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Dans la base (ı⃗,f⃗)(\vec{\imath},\vec{f}) avec f⃗(1 ;1)\vec{f}(1\,;1), u⃗(2 ;6)\vec{u}(2\,;6) a pour coordonnées u⃗⋅ı⃗=2\vec{u}\cdot\vec{\imath}=2 et u⃗⋅f⃗=8\vec{u}\cdot\vec{f}=8. »

Ce qu'il faut écrire

« La base n'est pas orthonormée : on résout u⃗=xı⃗+yf⃗\vec{u}=x\vec{\imath}+y\vec{f}, soit (x+y ;y)=(2 ;6)(x+y\,;y)=(2\,;6), donc y=6y=6 et x=−4x=-4. »

−5−4−3−2−112345−11234567u−4i6fu · i = 2 ?
On atteint u⃗\vec{u} par −4ı⃗-4\vec{\imath} puis 6f⃗6\vec{f} : ses coordonnées sont (−4 ;6)(-4\,;6). Le produit scalaire u⃗⋅ı⃗=2\vec{u}\cdot\vec{\imath}=2 (rouge) est une projection, pas une coordonnée.

Pourquoi : La formule a=u⃗⋅e1⃗a=\vec{u}\cdot\vec{e_{1}} utilise e1⃗⋅e1⃗=1\vec{e_{1}}\cdot\vec{e_{1}}=1 et e1⃗⋅e2⃗=0\vec{e_{1}}\cdot\vec{e_{2}}=0. Ici ∥f⃗∥=2\|\vec{f}\|=\sqrt{2} et ı⃗⋅f⃗=1\vec{\imath}\cdot\vec{f}=1 : les deux hypothèses manquent. On vérifie la base AVANT d'appliquer la formule.

10. Prendre la racine de k comme rayon de l'ensemble MA·MB = k

toute la question, et le cercle tracé ne passe par aucun point qui convient

Ce qu'il ne faut pas écrire

« A(1 ;2)A(1\,;2), B(7 ;2)B(7\,;2) : l'ensemble des MM tels que MA⃗⋅MB⃗=16\vec{MA}\cdot\vec{MB}=16 est le cercle de centre I(4 ;2)I(4\,;2) et de rayon 16=4\sqrt{16}=4. »

Ce qu'il faut écrire

« MA⃗⋅MB⃗=MI2−AB24=MI2−9\vec{MA}\cdot\vec{MB}=MI^{2}-\frac{AB^{2}}{4}=MI^{2}-9, donc la condition s'écrit MI2=25MI^{2}=25 : c'est le cercle de centre I(4 ;2)I(4\,;2) et de rayon 55. »

−2−112345678910−4−3−2−112345678ABIr = 5r = √16 ?
MA⃗⋅MB⃗=16\vec{MA}\cdot\vec{MB}=16 donne MI2=16+9=25MI^{2}=16+9=25 : cercle de centre II et de rayon 55 (vert). Le rayon 16=4\sqrt{16}=4 (rouge) oublie le terme AB24\frac{AB^{2}}{4}.

Pourquoi : Le produit scalaire n'est pas MI2MI^{2} : il lui manque AB24\frac{AB^{2}}{4}. Contrôle : le point M(9 ;2)M(9\,;2), à distance 55 de II, donne MA⃗⋅MB⃗=(−8)×(−2)=16\vec{MA}\cdot\vec{MB}=(-8)\times(-2)=16.

Quelle méthode choisir

Quelle expression du produit scalaire selon les données

On regarde ce que l'énoncé FOURNIT, pas ce qu'il demande. Chaque jeu de données appelle exactement une des quatre expressions.

  • Si des coordonnées, dans un repère orthonormé → xx′+yy′xx'+yy', sans détour par l'angle

    Exemple : u⃗(3 ; 5)\vec{u}\left(3\ ;\ 5\right) et v⃗(2 ; −1)\vec{v}\left(2\ ;\ -1\right) donnent 6−5=16-5=1

  • Si deux longueurs et l'angle entre les deux vecteurs → ∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos\theta, après avoir vérifié que les deux vecteurs partent du même point

    Exemple : AB=5AB=5, AC=8AC=8, A^=60∘\widehat{A}=60^{\circ} donnent AB⃗⋅AC⃗=20\vec{AB}\cdot\vec{AC}=20

  • Si une figure avec une hauteur, un pied de perpendiculaire, un projeté → formule du projeté orthogonal, en repérant d'abord quel point se projette sur quelle droite

    Exemple : HH projeté de CC sur (AB)(AB) avec AB=6AB=6 et AH=4AH=4 donnent AB⃗⋅AC⃗=24\vec{AB}\cdot\vec{AC}=24

  • Si les trois longueurs d'un triangle, et l'énoncé demande un angle → Al-Kashi retourné : cos⁡A^=AB2+AC2−BC22×AB×AC\cos\widehat{A}=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\times AB\times AC}

    Exemple : AB=5AB=5, BC=7BC=7, AC=8AC=8 donnent cos⁡B^=25+49−642×5×7=17\cos\widehat{B}=\frac{25+49-64}{2\times 5\times 7}=\frac{1}{7}

  • Si une médiane, ou un milieu, et des distances à calculer → théorème de la médiane, AB2+AC2=2AI2+BC22AB^{2}+AC^{2}=2AI^{2}+\frac{BC^{2}}{2}

    Il évite de calculer les coordonnées du milieu puis une distance, ce qui prend trois fois plus de temps.

  • Si des vecteurs exprimés dans une base non orthonormée liée à la figure → développer par bilinéarité, puis remplacer chaque produit scalaire de base par sa valeur

    Exemple : (AB⃗+AC⃗)⋅AB⃗=AB2+AC⃗⋅AB⃗\left(\vec{AB}+\vec{AC}\right)\cdot\vec{AB}=AB^{2}+\vec{AC}\cdot\vec{AB}

  • Si un vecteur à exprimer dans une base orthonormée autre que la base du repère → ses coordonnées sont u⃗⋅e1⃗\vec{u}\cdot\vec{e_{1}} et u⃗⋅e2⃗\vec{u}\cdot\vec{e_{2}}, après avoir vérifié la base

    Exemple : u⃗(1 ;7)\vec{u}(1\,;7) dans la base (0,8 ;0,6)(0{,}8\,;0{,}6), (−0,6 ;0,8)(-0{,}6\,;0{,}8) : coordonnées (5 ;5)(5\,;5)

Aucune branche ne s'applique ? Il manque une donnée, et elle se calcule presque toujours par la formule des normes : u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2)\vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}-\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}\right).

Quel outil selon le verbe de l'énoncé

Les questions du contrôle se ressemblent toutes. Le verbe désigne l'outil, et il n'y en a que six.

  • Si « montrer que deux droites sont perpendiculaires » → produit scalaire de deux vecteurs directeurs, et conclure qu'il est nul

  • Si « calculer une longueur » dans un triangle non rectangle → Al-Kashi, avec l'angle du sommet opposé au côté cherché

  • Si « calculer un angle » à partir des trois côtés → Al-Kashi retourné, puis la touche arccosinus de la calculatrice, en mode degré si l'énoncé est en degrés

  • Si « déterminer l'ensemble des points MM tels que » → traduire la condition en produit scalaire, développer, et reconnaître une équation de droite ou de cercle

    Exemple : MA⃗⋅MB⃗=0\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0 donne le cercle de diamètre [AB][AB]

  • Si « déterminer une équation du cercle », ou « préciser centre et rayon » → complétion du carré sur xx puis sur yy, et racine carrée du second membre pour le rayon

  • Si « montrer que le triangle est rectangle en AA » → montrer que AB⃗⋅AC⃗=0\vec{AB}\cdot\vec{AC}=0, et non que BC2=AB2+AC2BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}, qui est plus long

    Les deux méthodes valent, mais la première tient en une ligne quand les coordonnées sont données.

  • Si « l'ensemble des points MM tels que MA⃗⋅MB⃗=k\vec{MA}\cdot\vec{MB}=k », avec kk non nul → introduire le milieu II de [AB][AB] : MI2=k+AB24MI^{2}=k+\frac{AB^{2}}{4}, puis discuter le signe

    Exemple : AB=6AB=6 et k=16k=16 : MI2=25MI^{2}=25, cercle de centre II et de rayon 55

Le mot « conjecturer » n'appelle aucun calcul : il demande la figure et une phrase au conditionnel. C'est la question suivante qui demandera la démonstration.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre un triangle avec Al-Kashi

Quand l'utiliser : L'énoncé donne deux côtés et l'angle entre eux, ou les trois côtés, et demande la longueur ou l'angle manquant.

  1. 1 Faire une figure à main levée et y placer les données. Elle sert de contrôle de vraisemblance à la fin.
  2. 2 Repérer explicitement le sommet OPPOSÉ au côté cherché : c'est l'angle qui entre dans la formule.
  3. 3 Écrire la formule littérale AVANT de remplacer, avec les bonnes lettres.
  4. 4 Remplacer, calculer le carré, puis prendre la racine carrée en gardant une valeur exacte si elle existe.
  5. 5 Vérifier l'inégalité triangulaire sur le résultat, et comparer à la figure.

Phrase de conclusion

D'après le théorème d'Al-Kashi, BC2=AB2+AC2−2×AB×AC×cos⁡A^=25+64−40=49BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\times AB\times AC\times\cos\widehat{A}=25+64-40=49, donc BC=7BC=7.

Le piège : Prendre la racine carrée avant d'avoir fini le calcul du second membre, ou l'oublier complètement et annoncer BC=49BC=49. La formule donne un CARRÉ, et le mot manquant vaut un demi-point.

Barème : 0,5 point pour la formule littérale, 1 point pour le calcul, 0,5 point pour la racine et la conclusion avec l'unité.

Déterminer un lieu géométrique

Quand l'utiliser : L'énoncé dit « déterminer l'ensemble des points MM tels que », et donne une condition qui contient un produit scalaire ou des distances.

  1. 1 Se placer dans un repère orthonormé, ou en introduire un adapté à la figure, et donner les coordonnées des points fixes.
  2. 2 Poser M(x ; y)M\left(x\ ;\ y\right) et exprimer chaque vecteur en coordonnées.
  3. 3 Traduire la condition en une équation en xx et yy, puis DÉVELOPPER complètement.
  4. 4 Reconnaître la forme : si le degré est 11, c'est une droite; s'il y a x2+y2x^{2}+y^{2}, c'est un cercle et on complète les carrés.
  5. 5 Conclure en NOMMANT l'objet obtenu, avec son centre et son rayon s'il s'agit d'un cercle, et vérifier deux points particuliers.

Phrase de conclusion

L'ensemble cherché est le cercle de centre Ω(1 ; −2)\Omega\left(1\ ;\ -2\right) et de rayon 33, c'est-à-dire le cercle de diamètre [AB][AB].

Le piège : Arrêter la rédaction sur l'équation développée. Une question de lieu attend le NOM de l'objet, pas une équation : « c'est le cercle de centre ... et de rayon ... » est la phrase qui rapporte les points.

Barème : 0,5 point pour le repère et les coordonnées, 1 point pour la traduction, 1 point pour la complétion des carrés, 0,5 point pour la conclusion nommée.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Un triangle complet au produit scalaire, comme au contrôle

Dans un triangle ABCABC, on donne AB=5AB=5, AC=8AC=8 et A^=60∘\widehat{A}=60^{\circ}. On note II le milieu de [BC][BC].

1. Calculer AB⃗⋅AC⃗\vec{AB}\cdot\vec{AC}. 2. En déduire la longueur BCBC. 3. Calculer BA⃗⋅BC⃗\vec{BA}\cdot\vec{BC}, puis l'angle B^\widehat{B} arrondi au dixième de degré. 4. Calculer la longueur AIAI.

ABCI60°58?
Les données de l'énoncé : AB=5AB=5, AC=8AC=8, A^=60∘\widehat{A}=60^{\circ} et II milieu de [BC][BC]. La longueur BCBC et la médiane [AI][AI] sont à calculer.

Étape 1

AB⃗⋅AC⃗=AB×AC×cos⁡A^=5×8×cos⁡60∘=5×8×12=20\vec{AB}\cdot\vec{AC}=AB\times AC\times\cos\widehat{A}=5\times 8\times\cos 60^{\circ}=5\times 8\times\frac{1}{2}=20.

Pourquoi

Les deux vecteurs partent bien du même point AA, donc l'angle du triangle est directement l'angle du produit scalaire. C'est la seule configuration où l'on n'a rien à retourner.

Étape 2

BC2=∥AC⃗−AB⃗∥2=AC2+AB2−2 AB⃗⋅AC⃗=64+25−40=49BC^{2}=\|\vec{AC}-\vec{AB}\|^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2\,\vec{AB}\cdot\vec{AC}=64+25-40=49, donc BC=7BC=7.

Pourquoi

C'est exactement Al-Kashi, mais démontré à partir de la question précédente : le produit scalaire déjà calculé se réinvestit, ce qui vaut mieux que de réécrire la formule sans lien avec ce qui précède.

Étape 3

BA⃗⋅BC⃗=AB2+BC2−AC22=25+49−642=5\vec{BA}\cdot\vec{BC}=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2}=\frac{25+49-64}{2}=5.

Pourquoi

Cette formule vient du développement de ∥BA⃗−BC⃗∥2=AC2\|\vec{BA}-\vec{BC}\|^{2}=AC^{2}. On l'utilise ici parce que les trois longueurs sont maintenant connues et qu'aucun angle en BB ne l'est encore.

Étape 4

Or BA⃗⋅BC⃗=BA×BC×cos⁡B^\vec{BA}\cdot\vec{BC}=BA\times BC\times\cos\widehat{B}, donc cos⁡B^=55×7=17\cos\widehat{B}=\frac{5}{5\times 7}=\frac{1}{7}, et B^≈81,8∘\widehat{B}\approx 81{,}8^{\circ}.

Pourquoi

L'angle B^\widehat{B} est celui de BA⃗\vec{BA} et BC⃗\vec{BC}, deux vecteurs qui partent de BB. Utiliser AB⃗\vec{AB} au lieu de BA⃗\vec{BA} donnerait −5-5, donc un cosinus négatif et un angle obtus, ce que la figure dément.

Étape 5

Théorème de la médiane : AB2+AC2=2AI2+BC22AB^{2}+AC^{2}=2AI^{2}+\frac{BC^{2}}{2}, soit 25+64=2AI2+49225+64=2AI^{2}+\frac{49}{2}, donc 2AI2=64,52AI^{2}=64{,}5 et AI=32,25≈5,68AI=\sqrt{32{,}25}\approx 5{,}68.

Pourquoi

La médiane évite de placer un repère et de calculer les coordonnées de II : deux lignes au lieu de dix. La longueur BCBC trouvée à la question 2 y entre au carré, ce qui propage une éventuelle erreur, d'où le contrôle qui suit.

Étape 6

Vérification : 7<5+87<5+8 et 7>8−57>8-5, donc BCBC est possible; la somme des angles donne C^≈180−60−81,8=38,2∘\widehat{C}\approx 180-60-81{,}8=38{,}2^{\circ}, cohérent avec le fait que [AB][AB] est le plus petit côté; enfin AI≈5,68AI\approx 5{,}68 est bien compris entre ∣AB−AC∣1\frac{|AB-AC|}{1} et AB+AC2=6,5\frac{AB+AC}{2}=6{,}5.

Pourquoi

Trois contrôles indépendants et rapides : l'inégalité triangulaire, la somme des angles, et l'encadrement de la médiane par la demi-somme des côtés. Aucun ne demande de refaire un calcul.

Conclusion rédigée

Le produit scalaire AB⃗⋅AC⃗\vec{AB}\cdot\vec{AC} vaut 2020, le côté BCBC mesure exactement 77, l'angle B^\widehat{B} vaut environ 81,881{,}8 degrés, et la médiane AIAI mesure environ 5,685{,}68.

L'erreur classique sur cet exercice : Calculer AB⃗⋅BC⃗\vec{AB}\cdot\vec{BC} à la question 3 au lieu de BA⃗⋅BC⃗\vec{BA}\cdot\vec{BC}. Le résultat est −5-5 au lieu de 55, le cosinus devient négatif, et l'angle annoncé, environ 98,298{,}2 degrés, est le supplémentaire du bon.

À savoir par cœur

  • • u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v} est un NOMBRE : jamais de flèche sur le résultat, jamais de coordonnées.
  • • u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥∥v⃗∥cos⁡θ\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta, avec les deux vecteurs partant du MÊME point.
  • • xx′+yy′xx'+yy' n'est valable que dans un repère ORTHONORMÉ.
  • • Signe positif : angle aigu. Signe négatif : angle obtus. Nul : vecteurs orthogonaux, ou l'un des deux nul.
  • • Al-Kashi : BC2=AB2+AC2−2×AB×AC×cos⁡A^BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\times AB\times AC\times\cos\widehat{A}, avec le MOINS et l'angle opposé au côté cherché.
  • • Médiane : AB2+AC2=2AI2+BC22AB^{2}+AC^{2}=2AI^{2}+\frac{BC^{2}}{2}, avec II milieu de [BC][BC].
  • • ∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}. La norme d'une somme n'est jamais la somme des normes.
  • • Cercle de diamètre [AB][AB] : ensemble des MM tels que MA⃗⋅MB⃗=0\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0. Dans (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}, le second membre est r2r^{2}.
  • • Base orthonormée : u⃗=(u⃗⋅e1⃗) e1⃗+(u⃗⋅e2⃗) e2⃗\vec{u}=(\vec{u}\cdot\vec{e_{1}})\,\vec{e_{1}}+(\vec{u}\cdot\vec{e_{2}})\,\vec{e_{2}}. Base quelconque : on résout un système.
  • • MA⃗⋅MB⃗=MI2−AB24\vec{MA}\cdot\vec{MB}=MI^{2}-\frac{AB^{2}}{4}, avec II milieu de [AB][AB] : cercle, point ou vide selon le signe de k+AB24k+\frac{AB^{2}}{4}.

Questions fréquentes

Le produit scalaire de deux vecteurs est-il un vecteur ?

Non, c'est un nombre réel. L'opération prend deux vecteurs et rend un scalaire, d'où son nom. Écrire une flèche au-dessus du résultat, ou lui donner des coordonnées, rend fausses toutes les questions suivantes. Son signe, lui, a un sens géométrique : positif pour un angle aigu, négatif pour un angle obtus.

Quel angle faut-il prendre dans la formule du produit scalaire ?

Celui que forment les deux vecteurs placés à la même origine. Dans un triangle, l'angle au sommet B est celui des vecteurs qui partent de B, donc de B vers A et de B vers C. Utiliser le vecteur de A vers B au lieu de celui de B vers A remplace l'angle par son supplémentaire et change le signe du résultat.

Quand peut-on utiliser la formule avec les coordonnées ?

Uniquement dans un repère orthonormé, c'est-à-dire dont les deux vecteurs de base sont orthogonaux et de norme un. Dès que l'énoncé introduit un repère lié à une figure quelconque, il faut développer par bilinéarité au lieu de multiplier les coordonnées deux à deux.

Comment savoir si deux droites sont perpendiculaires avec le produit scalaire ?

On prend un vecteur directeur de chacune, on calcule leur produit scalaire, et on conclut qu'elles sont perpendiculaires si et seulement si ce nombre est nul. C'est plus rapide que de comparer des coefficients directeurs, et cela fonctionne même quand l'une des droites est verticale.

Quand utiliser le théorème d'Al-Kashi plutôt que Pythagore ?

Dès que le triangle n'est pas rectangle. Al-Kashi généralise Pythagore en ajoutant un terme correctif qui contient le cosinus de l'angle opposé au côté cherché. Quand cet angle vaut quatre-vingt-dix degrés, le cosinus est nul et on retombe exactement sur Pythagore.

Comment reconnaître un cercle dans une équation développée ?

On cherche la présence de x au carré et de y au carré avec le même coefficient. On regroupe alors les termes en x d'un côté, ceux en y de l'autre, et on complète chaque carré. Si le second membre obtenu est positif, c'est un cercle dont le rayon est sa racine carrée; s'il est nul c'est un point, et s'il est négatif l'ensemble est vide.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Le produit scalaire

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 18 exercices corrigés
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12 exercices des sujets officiels le mobilisent, avec leur corrigé détaillé. À traiter une fois la fiche relue et la série du chapitre travaillée.

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La géométrie repérée

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/1spe-produit-scalaire. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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