Exercice 0.1 : Calculer une longueur ou un angle dans un triangle rectangle : dix calculs directs

Chaque triangle est rectangle au sommet indiqué et les longueurs sont en centimètres. Calculez la longueur demandée au dixième de centimètre, ou l'angle demandé au dixième de degré, la calculatrice étant en mode degrés.

Une seule méthode pour les dix lignes : repérer l'hypoténuse, en face de l'angle droit, puis nommer, par rapport à l'angle utilisé, le côté adjacent, qui touche cet angle, et le côté opposé. Choisir le rapport qui contient les deux côtés en jeu : cosinus pour adjacent et hypoténuse, sinus pour opposé et hypoténuse, tangente pour opposé et adjacent. Écrire l'égalité, puis multiplier si l'inconnue est au numérateur, diviser si elle est au dénominateur, ou utiliser la touche inverse si c'est l'angle qu'on cherche.

a) $IJK$ est rectangle en $I$ , avec $\widehat{J}=41°$ et $JK=11$ . Calculez $IJ$ .
b) $RST$ est rectangle en $R$ , avec $\widehat{S}=58°$ et $RS=6{,}5$ . Calculez $ST$ .
c) $UVW$ est rectangle en $U$ , avec $\widehat{V}=33°$ et $VW=15$ . Calculez $UW$ .
d) $XYZ$ est rectangle en $X$ , avec $\widehat{Y}=47°$ et $XZ=7$ . Calculez $YZ$ .
e) $GHJ$ est rectangle en $G$ , avec $\widehat{H}=62°$ et $GH=4$ . Calculez $GJ$ .
f) $CDE$ est rectangle en $C$ , avec $\widehat{D}=24°$ et $CE=5$ . Calculez $CD$ .
g) $EFG$ est rectangle en $E$ , avec $EF=7$ et $FG=10$ . Calculez $\widehat{F}$ .
h) $LMN$ est rectangle en $L$ , avec $LN=4$ et $MN=9$ . Calculez $\widehat{M}$ .
i) $STU$ est rectangle en $S$ , avec $ST=6$ et $SU=11$ . Calculez $\widehat{T}$ .
j) $VWX$ est rectangle en $V$ , avec $VW=8$ et $WX=12$ . Calculez $\widehat{W}$ , puis $VX$ avec un second rapport trigonométrique.

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a)

IJ

cm

b)

ST

cm

c)

UW

cm

d)

YZ

cm

e)

GJ

cm

f)

CD

cm

g)

\widehat{F}

°

h)

\widehat{M}

°

i)

\widehat{T}

°

j)

\widehat{W}

°

VX

cm

Voir la correction

Réponses

a) $IJ=11\cos(41°)\approx 8{,}3$ cm
b) $ST=\frac{6{,}5}{\cos(58°)}\approx 12{,}3$ cm
c) $UW=15\sin(33°)\approx 8{,}2$ cm
d) $YZ=\frac{7}{\sin(47°)}\approx 9{,}6$ cm
e) $GJ=4\tan(62°)\approx 7{,}5$ cm
f) $CD=\frac{5}{\tan(24°)}\approx 11{,}2$ cm
g) $\cos(\widehat{F})=0{,}7$ ; $\widehat{F}\approx 45{,}6°$
h) $\sin(\widehat{M})=\frac{4}{9}$ ; $\widehat{M}\approx 26{,}4°$
i) $\tan(\widehat{T})=\frac{11}{6}$ ; $\widehat{T}\approx 61{,}4°$
j) $\widehat{W}\approx 48{,}2°$ ; $VX=12\sin(\widehat{W})\approx 8{,}9$ cm

Le geste qui décide de tout se fait sur la figure, avant la calculatrice : placer l'hypoténuse, puis nommer adjacent et opposé PAR RAPPORT À L'ANGLE de la ligne. Le rapport se choisit sur les deux côtés en jeu, jamais sur l'allure du triangle, et la place de l'inconnue dans la fraction dit s'il faut multiplier ou diviser.

a)

Hypoténuse $[JK]$ , côté adjacent à $\widehat{J}$ : $[IJ]$ . Cosinus : $\cos(41°)=\frac{IJ}{11}$ , inconnue au numérateur, donc $IJ=11\times\cos(41°)\approx 8{,}3$ cm. Contrôle : $8{,}3<11$ .

b)

Hypoténuse $[ST]$ , côté adjacent à $\widehat{S}$ : $[RS]$ . $\cos(58°)=\frac{6{,}5}{ST}$ , inconnue au dénominateur, donc $ST=\frac{6{,}5}{\cos(58°)}\approx 12{,}3$ cm. Piège : multiplier, $6{,}5\times\cos(58°)\approx 3{,}4$ , plus petit que $RS$ alors que $[ST]$ est l'hypoténuse.

c)

Hypoténuse $[VW]$ , côté opposé à $\widehat{V}$ : $[UW]$ , qui ne touche pas $V$ . Sinus : $UW=15\times\sin(33°)\approx 8{,}2$ cm. Piège : prendre le cosinus, qui donne $12{,}6$ , la longueur de l'autre côté de l'angle droit.

d)

Hypoténuse $[YZ]$ , côté opposé à $\widehat{Y}$ : $[XZ]$ . $\sin(47°)=\frac{7}{YZ}$ , donc $YZ=\frac{7}{\sin(47°)}\approx 9{,}6$ cm. Contrôle : $9{,}6>7$ .

e)

L'hypoténuse $[HJ]$ n'est pas en jeu : $[GJ]$ est opposé à $\widehat{H}$ et $[GH]$ lui est adjacent. Tangente : $\tan(62°)=\frac{GJ}{4}$ , donc $GJ=4\times\tan(62°)\approx 7{,}5$ cm. Une tangente peut dépasser $1$ , et $GJ$ peut dépasser $GH$ : l'angle de $62°$ est plus grand que $45°$ .

f)

$[CE]$ est opposé à $\widehat{D}$ et $[CD]$ lui est adjacent : $\tan(24°)=\frac{5}{CD}$ , inconnue au dénominateur, donc $CD=\frac{5}{\tan(24°)}\approx 11{,}2$ cm. Piège : $5\times\tan(24°)\approx 2{,}2$ ; avec un angle de moins de $45°$ , le côté adjacent doit être le plus long des deux.

g)

$[EF]$ est adjacent à $\widehat{F}$ et $[FG]$ est l'hypoténuse : $\cos(\widehat{F})=\frac{7}{10}=0{,}7$ , et la touche inverse donne $\widehat{F}\approx 45{,}6°$ . Piège : la touche sinus inverse, qui donne $44{,}4°$ .

h)

$[LN]$ est opposé à $\widehat{M}$ et $[MN]$ est l'hypoténuse : $\sin(\widehat{M})=\frac{4}{9}$ , d'où $\widehat{M}\approx 26{,}4°$ . On tape la fraction entière, sans arrondir $\frac{4}{9}$ avant la touche inverse.

i)

$[SU]$ est opposé à $\widehat{T}$ et $[ST]$ lui est adjacent : $\tan(\widehat{T})=\frac{11}{6}$ , d'où $\widehat{T}\approx 61{,}4°$ . Piège : écrire $\frac{6}{11}$ , qui donne $28{,}6°$ , l'angle $\widehat{U}$ ; les deux angles aigus se complètent à $90°$ .

j)

$[VW]$ est adjacent à $\widehat{W}$ et $[WX]$ est l'hypoténuse : $\cos(\widehat{W})=\frac{8}{12}$ , d'où $\widehat{W}\approx 48{,}2°$ . Puis $[VX]$ est opposé à $\widehat{W}$ : $VX=12\times\sin(\widehat{W})\approx 8{,}9$ cm, en gardant l'angle non arrondi dans la calculatrice. Contrôle par Pythagore : $VX^{2}=144-64=80$ , et $\sqrt{80}\approx 8{,}9$ .

Contrôle : l'hypoténuse est toujours la plus longue des trois côtés, un sinus ou un cosinus est toujours entre $0$ et $1$ , et les deux angles aigus d'un triangle rectangle se complètent à $90°$ . Un résultat qui viole l'une de ces trois règles signale un rapport mal choisi ou une calculatrice restée en radians.

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Exercice 1 : Adjacent, opposé, hypoténuse

Dans un triangle rectangle, chacun des deux côtés de l'angle droit porte DEUX noms, et le nom dépend de l'angle aigu que l'on regarde. Le côté collé à l'angle est le côté ADJACENT, le côté d'en face est le côté OPPOSÉ, et le troisième côté, en face de l'angle droit, est l'hypoténuse.

Le triangle $ABC$ ci-dessous est rectangle en $A$ .

1) Pour l'angle $\widehat{ABC}$ , nommez le côté adjacent, le côté opposé et l'hypoténuse.
2) Reprenez la question 1 pour l'angle $\widehat{ACB}$ .
3) Écrivez $\cos(\widehat{ABC})$ et $\sin(\widehat{ABC})$ comme quotients de deux longueurs.
4) Écrivez de même $\cos(\widehat{ACB})$ et $\sin(\widehat{ACB})$ .
5) À l'aide des longueurs portées sur la figure, calculez ces quatre rapports.
6) Comparez $\cos(\widehat{ABC})$ et $\sin(\widehat{ACB})$ . Que constatez-vous ?

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1)

Adjacent à

\widehat{ABC}

Opposé à

\widehat{ABC}

2)

Adjacent à

\widehat{ACB}

Opposé à

\widehat{ACB}

3)

\cos(\widehat{ABC})

\sin(\widehat{ABC})

4)

\cos(\widehat{ACB})

\sin(\widehat{ACB})

5)

\cos(\widehat{ABC})

\sin(\widehat{ABC})

\cos(\widehat{ACB})

\sin(\widehat{ACB})

6)

\cos(\widehat{ABC})

et

\sin(\widehat{ACB})

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Réponses

1) Adjacent $[AB]$ , opposé $[AC]$ , hypoténuse $[BC]$
2) Adjacent $[AC]$ , opposé $[AB]$
3) $\frac{AB}{BC}$ et $\frac{AC}{BC}$
4) $\frac{AC}{BC}$ et $\frac{AB}{BC}$
5) $0{,}8$ ; $0{,}6$ ; $0{,}6$ ; $0{,}8$
6) $\cos(\widehat{ABC})=\sin(\widehat{ACB})$

1)

L'hypoténuse est $[BC]$ : elle est opposée à l'angle droit, et c'est toujours le plus grand côté. Le côté adjacent à $\widehat{ABC}$ est $[AB]$ , celui qui part de $B$ sans être l'hypoténuse. Le côté opposé est $[AC]$ , celui qui ne touche pas $B$ . La méthode tient en un geste : on pose le doigt sur le sommet $B$ , les deux côtés qui partent de ce sommet sont l'hypoténuse et l'adjacent, et le troisième est l'opposé.

2)

L'hypoténuse ne change pas : c'est encore $[BC]$ , car elle ne dépend que de l'angle droit et pas de l'angle que l'on regarde. En revanche les deux autres ÉCHANGENT leur nom : le côté adjacent à $\widehat{ACB}$ est $[AC]$ et le côté opposé est $[AB]$ . C'est le point le plus important de tout le chapitre : $[AB]$ est adjacent à $B$ et opposé à $C$ , un même segment porte les deux noms selon l'angle choisi.

3)

$\cos(\widehat{ABC})=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{AB}{BC}$ et $\sin(\widehat{ABC})=\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{AC}{BC}$ . L'hypoténuse est au dénominateur des deux : c'est le seul point commun entre le sinus et le cosinus.

4)

$\cos(\widehat{ACB})=\dfrac{AC}{BC}$ et $\sin(\widehat{ACB})=\dfrac{AB}{BC}$ . Les deux fractions sont exactement celles de la question 3, mais échangées, parce que l'adjacent et l'opposé se sont échangés.

5)

La figure donne $AB=8$ cm, $AC=6$ cm et $BC=10$ cm, et l'on vérifie d'abord Pythagore : $8^{2}+6^{2}=64+36=100=10^{2}$ , le triangle est bien rectangle en $A$ . Alors $\cos(\widehat{ABC})=\dfrac{8}{10}=0{,}8$ , $\sin(\widehat{ABC})=\dfrac{6}{10}=0{,}6$ , $\cos(\widehat{ACB})=\dfrac{6}{10}=0{,}6$ et $\sin(\widehat{ACB})=\dfrac{8}{10}=0{,}8$ . Les quatre nombres sont compris entre $0$ et $1$ , ce qui est le premier contrôle à faire : un rapport supérieur à $1$ signale un quotient renversé.

6)

On trouve $\cos(\widehat{ABC})=\sin(\widehat{ACB})=0{,}8$ , et de même $\sin(\widehat{ABC})=\cos(\widehat{ACB})=0{,}6$ . Ce n'est pas un hasard : ce qui est adjacent à $B$ est opposé à $C$ , donc la même fraction $\dfrac{8}{10}$ s'appelle cosinus quand on la lit depuis $B$ et sinus quand on la lit depuis $C$ . À la calculatrice, $\widehat{ABC}\approx 36{,}87°$ et $\widehat{ACB}\approx 53{,}13°$ , deux angles dont la somme vaut $90°$ . L'exercice 6 revient sur ce phénomène.

Exercice 2 : Calculer une longueur avec le cosinus

Le cosinus relie l'angle, le côté adjacent et l'hypoténuse. Tout dépend ensuite de la place de l'inconnue dans la fraction : si elle est au NUMÉRATEUR on multiplie, si elle est au DÉNOMINATEUR on divise.

La calculatrice doit être en mode degrés, ce qui s'affiche par un petit $D$ ou $DEG$ à l'écran. Les trois triangles des questions 1 à 3 sont représentés ci-dessous.

1) $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $\widehat{B}=52°$ et $BC=9$ cm. Calculez $AB$ au dixième de centimètre.
2) $DEF$ est rectangle en $D$ , avec $\widehat{E}=64°$ et $DE=4{,}5$ cm. Calculez $EF$ au dixième.
3) $GHI$ est rectangle en $G$ , avec $\widehat{H}=25°$ et $GH=12$ cm. Calculez $HI$ au dixième.
4) Un élève répond à la question 2 par $EF=4{,}5\times\cos(64°)\approx 2{,}0$ cm. Sans refaire le calcul, expliquez pourquoi ce résultat est impossible.
5) Revenez au triangle de la question 1 et calculez $AC$ par le théorème de Pythagore, au dixième. Vérifiez ensuite que $AC=9\times\sin(52°)$ .
6) Sans calculatrice, dites lequel de $\cos(40°)$ et $\cos(70°)$ est le plus grand, et justifiez.

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Réponses

1) $AB\approx 5{,}5$ cm
2) $EF\approx 10{,}3$ cm
3) $HI\approx 13{,}2$ cm
4) Hypoténuse plus courte qu'un côté : impossible
5) $AC\approx 7{,}1$ cm
6) $\cos(40°)>\cos(70°)$

1)

Dans le triangle rectangle en $A$ , l'hypoténuse est $[BC]$ et le côté adjacent à $\widehat{B}$ est $[AB]$ : c'est donc le cosinus. On écrit $\cos(52°)=\dfrac{AB}{9}$ , d'où $AB=9\times\cos(52°)\approx 9\times 0{,}6157\approx 5{,}5$ cm. L'inconnue était au numérateur, on a donc MULTIPLIÉ. Contrôle immédiat : $5{,}5<9$ , un côté de l'angle droit ne peut pas dépasser l'hypoténuse.

2)

Ici $[DE]$ est le côté adjacent à $\widehat{E}$ et $[EF]$ est l'hypoténuse, donc $\cos(64°)=\dfrac{4{,}5}{EF}$ . L'inconnue est au DÉNOMINATEUR : on divise, $EF=\dfrac{4{,}5}{\cos(64°)}\approx\dfrac{4{,}5}{0{,}4384}\approx 10{,}3$ cm. Contrôle : $10{,}3>4{,}5$ , c'est bien une hypoténuse.

3)

Même configuration : $[GH]$ est adjacent à $\widehat{H}$ et $[HI]$ est l'hypoténuse, donc $HI=\dfrac{12}{\cos(25°)}\approx\dfrac{12}{0{,}9063}\approx 13{,}2$ cm. L'angle est petit, le cosinus est proche de $1$ , et l'hypoténuse dépasse à peine le côté adjacent : le résultat est cohérent.

4)

Parce que $EF$ est l'hypoténuse et doit donc être plus grande que $4{,}5$ cm, alors que la réponse proposée vaut $2{,}0$ cm, soit moins de la moitié. L'erreur vient d'avoir multiplié au lieu de diviser. Elle est systématique et coûte tous les points de la question, alors qu'une seule comparaison la détecte. La bonne habitude est donc de se demander AVANT le calcul si le résultat cherché doit être plus grand ou plus petit que la longueur donnée.

5)

Pythagore donne $AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}\approx 81-30{,}70\approx 50{,}30$ , donc $AC\approx 7{,}1$ cm. Par le sinus, $AC=9\times\sin(52°)\approx 9\times 0{,}7880\approx 7{,}09$ , la même valeur. Les deux chemins mènent au même côté : Pythagore utilise les longueurs, la trigonométrie utilise l'angle. Quand l'énoncé donne un angle, le sinus est plus court, mais il faut conserver $AB$ non arrondi pour ne pas accumuler les erreurs d'arrondi.

6)

C'est $\cos(40°)$ le plus grand. Imaginez l'hypoténuse de longueur fixe qui pivote autour de $B$ : plus l'angle se ferme, plus le côté adjacent se couche sur l'hypoténuse et plus le quotient se rapproche de $1$ ; plus l'angle s'ouvre, plus ce côté raccourcit. Le cosinus DÉCROÎT donc quand l'angle grandit, entre $\cos(0°)=1$ et $\cos(90°)=0$ . Numériquement, $\cos(40°)\approx 0{,}766$ et $\cos(70°)\approx 0{,}342$ .

Exercice 3 : Calculer une longueur avec le sinus

Le sinus fonctionne exactement comme le cosinus, mais il regarde le côté OPPOSÉ à l'angle, celui qui ne touche pas le sommet.

Une seule question doit être tranchée avant chaque calcul : le côté que je cherche touche-t-il l'angle, ou non ? Les trois triangles des questions 1 à 3 sont représentés ci-dessous.

1) $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $\widehat{B}=37°$ et $BC=14$ cm. Calculez $AC$ au dixième.
2) $KLM$ est rectangle en $K$ , avec $\widehat{L}=28°$ et $KM=6$ cm. Calculez $LM$ au dixième.
3) $PQR$ est rectangle en $P$ , avec $\widehat{Q}=55°$ et $PR=9{,}2$ cm. Calculez $QR$ au dixième.
4) Dans le triangle de la question 1, calculez aussi $AB$ , puis $AB^{2}+AC^{2}$ . Commentez.
5) Un élève tape la question 1 sur sa calculatrice et lit $-9{,}0$ . Que s'est-il passé ?
6) Pourquoi le sinus d'un angle aigu est-il toujours strictement compris entre $0$ et $1$ ? Grandit-il ou diminue-t-il quand l'angle grandit ?

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Réponses

1) $AC\approx 8{,}4$ cm
2) $LM\approx 12{,}8$ cm
3) $QR\approx 11{,}2$ cm
4) $AB\approx 11{,}2$ ; somme $196=14^2$
5) Calculatrice en radians
6) Entre 0 et 1, croissant

1)

Le côté $[AC]$ ne touche pas $B$ : il est OPPOSÉ à $\widehat{B}$ , et $[BC]$ est l'hypoténuse. On écrit donc $\sin(37°)=\dfrac{AC}{14}$ , d'où $AC=14\times\sin(37°)\approx 14\times 0{,}6018\approx 8{,}4$ cm. L'inconnue est au numérateur, on multiplie.

2)

Le côté $[KM]$ ne touche pas $L$ , il est donc opposé à $\widehat{L}$ , et $[LM]$ est l'hypoténuse : $\sin(28°)=\dfrac{6}{LM}$ , donc $LM=\dfrac{6}{\sin(28°)}\approx\dfrac{6}{0{,}4695}\approx 12{,}8$ cm. On divise, et l'hypoténuse trouvée est bien supérieure à $6$ cm.

3)

Même situation : $[PR]$ est opposé à $\widehat{Q}$ et $[QR]$ est l'hypoténuse, donc $QR=\dfrac{9{,}2}{\sin(55°)}\approx\dfrac{9{,}2}{0{,}8192}\approx 11{,}2$ cm.

4)

$[AB]$ est adjacent à $\widehat{B}$ , donc $AB=14\times\cos(37°)\approx 11{,}2$ cm. Alors $AB^{2}+AC^{2}\approx 125{,}0+71{,}0=196=14^{2}$ , c'est-à-dire $BC^{2}$ . Pythagore est retrouvé, et ce n'est pas une coïncidence : l'exercice 7 démontre que $\cos^{2}+\sin^{2}=1$ , ce qui est exactement Pythagore écrit avec des rapports.

5)

Sa calculatrice est en mode RADIANS. Elle a calculé le sinus de $37$ radians, qui vaut environ $-0{,}6435$ , d'où $14\times(-0{,}6435)\approx -9{,}0$ . Un résultat négatif est impossible pour une longueur : c'est le signal d'alarme le plus fiable du chapitre. Il faut revenir dans le menu de réglage et choisir le mode degrés, souvent noté $DEG$ ou $D$ . Tant que le mode est faux, TOUTES les réponses de la copie sont fausses, ce qui fait de cette vérification la première chose à faire en début d'épreuve.

6)

Le sinus est le quotient d'un côté de l'angle droit par l'hypoténuse, et l'hypoténuse est toujours le plus grand côté : le numérateur est donc plus petit que le dénominateur, et le quotient reste sous $1$ . Il est strictement positif puisque ce sont deux longueurs. Quand l'angle grandit, le côté opposé s'allonge alors que l'hypoténuse ne change pas, donc le sinus CROÎT, de $\sin(0°)=0$ jusqu'à $\sin(90°)=1$ . Le sinus et le cosinus varient donc en sens contraire, ce qui donne un moyen simple de contrôler un résultat : un grand angle a un grand sinus et un petit cosinus.

Exercice 4 : Choisir le bon rapport

Le rapport ne se choisit pas sur l'allure de la figure, mais sur la POSITION du côté par rapport à l'angle. Un triangle posé autrement reste le même triangle.

Les deux triangles ci-dessous sont identiques ; celui de droite a seulement été retourné et ses sommets renommés.

1) Pour le triangle de gauche, écrivez $\cos(\widehat{B})$ et $\sin(\widehat{B})$ , puis calculez-les.
2) Pour le triangle de droite, rectangle en $E$ , écrivez $\cos(\widehat{F})$ et $\sin(\widehat{F})$ . Comparez avec la question 1.
3) $RST$ est rectangle en $R$ . On connaît $ST$ et $\widehat{S}$ , et on cherche $RT$ . Quel rapport utiliser, et l'inconnue est-elle au numérateur ou au dénominateur ?
4) Dans le même triangle, on connaît $RS$ et $\widehat{S}$ , et on cherche $ST$ . Même question.
5) Toujours dans $RST$ , on connaît $RS=4{,}5$ cm et $RT=6$ cm, et on cherche $\widehat{S}$ . Peut-on utiliser directement le sinus ou le cosinus ? Que faut-il faire d'abord ?
6) Recopiez et complétez : « je connais l'hypoténuse et un angle, je cherche le côté qui touche l'angle : j'utilise ... et je ... ».

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/11

1)

\cos(\widehat{B})

\sin(\widehat{B})

2)

\cos(\widehat{F})

\sin(\widehat{F})

3)

Rapport à utiliser

L'inconnue

RT

est

4)

Rapport à utiliser

L'inconnue

ST

est

5)

ST

cm

\widehat{S}

au dixième °

6)

J'utilise

Voir la correction

Réponses

1) $0{,}8$ et $0{,}6$
2) Mêmes valeurs : $0{,}8$ et $0{,}6$
3) Sinus, on multiplie
4) Cosinus, on divise
5) $ST=7{,}5$ cm ; $\widehat{S}\approx 53{,}1°$
6) Cosinus, on multiplie

1)

$[AB]$ touche $B$ , il est donc adjacent, et $[BC]$ est l'hypoténuse : $\cos(\widehat{B})=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3{,}6}{4{,}5}=0{,}8$ . Le côté $[AC]$ ne touche pas $B$ , il est opposé : $\sin(\widehat{B})=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{2{,}7}{4{,}5}=0{,}6$ . On vérifie au passage que le triangle est bien rectangle : $3{,}6^{2}+2{,}7^{2}=12{,}96+7{,}29=20{,}25=4{,}5^{2}$ .

2)

Le raisonnement est identique, il suffit de repérer l'angle droit en $E$ : $[FE]$ touche $F$ donc il est adjacent, $[FG]$ est l'hypoténuse, $[EG]$ est opposé. Donc $\cos(\widehat{F})=\dfrac{FE}{FG}=\dfrac{3{,}6}{4{,}5}=0{,}8$ et $\sin(\widehat{F})=\dfrac{EG}{FG}=\dfrac{2{,}7}{4{,}5}=0{,}6$ . On retrouve exactement les mêmes valeurs, et les deux angles mesurent environ $36{,}87°$ . Retourner la feuille ne change rien : ni les longueurs, ni les angles, ni donc les rapports. L'erreur classique consiste à appeler « horizontal » ce qui est en réalité « adjacent ».

3)

$[RT]$ ne touche pas $S$ , il est donc OPPOSÉ à $\widehat{S}$ , et $[ST]$ est l'hypoténuse : c'est le sinus, avec l'inconnue au numérateur, $RT=ST\times\sin(\widehat{S})$ . On multiplie.

4)

$[RS]$ touche $S$ , il est adjacent, et $[ST]$ est toujours l'hypoténuse : c'est le cosinus, $\cos(\widehat{S})=\dfrac{RS}{ST}$ . L'inconnue $ST$ est au DÉNOMINATEUR, donc $ST=\dfrac{RS}{\cos(\widehat{S})}$ et l'on divise. Les questions 3 et 4 portent sur le même triangle et le même angle : seule la place de l'inconnue a changé, et c'est elle seule qui décide entre multiplier et diviser.

5)

Non, pas directement, car le sinus et le cosinus ont tous les deux l'hypoténuse au dénominateur, et ici on ne connaît que les deux côtés de l'angle droit. Il faut donc d'abord calculer l'hypoténuse par Pythagore : $ST^{2}=4{,}5^{2}+6^{2}=20{,}25+36=56{,}25$ , donc $ST=7{,}5$ cm. On peut alors écrire $\cos(\widehat{S})=\dfrac{4{,}5}{7{,}5}=0{,}6$ , d'où $\widehat{S}\approx 53{,}13°$ . On aurait aussi pu passer par $\sin(\widehat{S})=\dfrac{6}{7{,}5}=0{,}8$ , qui donne le même angle.

6)

« J'utilise le COSINUS, et je MULTIPLIE l'hypoténuse par le cosinus de l'angle. » Le tableau complet du chapitre tient en quatre lignes : hypoténuse et angle vers le côté adjacent, on multiplie par le cosinus ; hypoténuse et angle vers le côté opposé, on multiplie par le sinus ; côté adjacent et angle vers l'hypoténuse, on divise par le cosinus ; côté opposé et angle vers l'hypoténuse, on divise par le sinus.

Exercice 5 : Retrouver un angle

Quand on connaît deux longueurs, on obtient un rapport, et la calculatrice remonte du rapport à l'angle avec les touches cosinus inverse et sinus inverse, souvent notées $\cos^{-1}$ et $\sin^{-1}$ et obtenues par la touche seconde fonction.

Le sens du calcul s'inverse : on part du quotient, on arrive au nombre de degrés.

1) $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB=5$ cm et $BC=13$ cm. Calculez $\widehat{B}$ au dixième de degré.
2) Calculez $AC$ , puis $\widehat{C}$ au dixième de degré.
3) Vérifiez que $\widehat{B}+\widehat{C}=90°$ et expliquez pourquoi c'était prévisible.
4) $DEF$ est rectangle en $D$ avec $DE=DF=7$ cm. Calculez $EF$ au dixième, puis $\widehat{E}$ sans calculatrice.
5) Un élève cherche l'angle dont le sinus vaut $1{,}2$ . Sa calculatrice affiche un message d'erreur. Pourquoi ?
6) On sait que $\sin(\widehat{B})=0{,}5$ . Donnez $\widehat{B}$ sans calculatrice, en vous appuyant sur un triangle équilatéral.

Voir la correction

Réponses

1) $\widehat{B}\approx 67{,}4°$
2) $AC=12$ cm ; $\widehat{C}\approx 22{,}6°$
3) Somme $90°$
4) $EF\approx 9{,}9$ cm ; $45°$
5) Un sinus ne dépasse pas 1
6) $30°$

1)

Le côté $[AB]$ est adjacent à $\widehat{B}$ et $[BC]$ est l'hypoténuse, donc $\cos(\widehat{B})=\dfrac{5}{13}\approx 0{,}3846$ . La calculatrice, en mode degrés, donne alors $\widehat{B}\approx 67{,}4°$ . Contrôle : le rapport est petit, donc l'angle est grand, ce qui est cohérent.

2)

Pythagore donne $AC^{2}=13^{2}-5^{2}=169-25=144$ , donc $AC=12$ cm ; on reconnaît le triplet $5$ , $12$ , $13$ . Pour $\widehat{C}$ , le côté adjacent est $[AC]$ , donc $\cos(\widehat{C})=\dfrac{12}{13}\approx 0{,}9231$ et $\widehat{C}\approx 22{,}6°$ .

3)

$67{,}4+22{,}6=90{,}0$ . C'était prévisible parce que la somme des angles d'un triangle vaut $180°$ et que l'angle en $A$ en occupe déjà $90$ : il ne reste que $90°$ à partager entre les deux angles aigus. C'est un excellent contrôle de copie, car il détecte à la fois une touche inverse mal utilisée et un rapport renversé.

4)

Le triangle est rectangle et isocèle. Pythagore donne $EF^{2}=49+49=98$ , donc $EF=\sqrt{98}=7\sqrt{2}\approx 9{,}9$ cm. Comme les deux angles aigus sont égaux et que leur somme vaut $90°$ , chacun vaut $45°$ : aucune calculatrice n'est nécessaire. On peut le vérifier autrement, $\cos(\widehat{E})=\dfrac{7}{7\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx 0{,}707$ , qui est bien le cosinus de $45°$ .

5)

Parce qu'aucun angle aigu n'a un sinus supérieur à $1$ : ce serait un côté de l'angle droit plus long que l'hypoténuse, ce qui est impossible. La calculatrice ne trouve donc aucun angle et affiche une erreur de domaine. Ce message est en fait une bonne nouvelle, il révèle qu'une longueur a été placée au mauvais endroit dans la fraction, presque toujours parce que l'hypoténuse a été écrite au numérateur.

6)

Prenez un triangle équilatéral de côté $2$ et coupez-le en deux par une hauteur. On obtient un triangle rectangle dont l'hypoténuse mesure $2$ , dont le petit côté mesure $1$ et dont les angles valent $30°$ , $60°$ et $90°$ . Le côté de longueur $1$ est opposé à l'angle de $30°$ , donc $\sin(30°)=\dfrac{1}{2}=0{,}5$ : l'angle cherché mesure $30°$ . La même figure donne $\cos(30°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866$ , $\sin(60°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\cos(60°)=0{,}5$ , quatre valeurs qui reviennent sans cesse et qu'il vaut mieux savoir reconstruire que retenir.

Exercice 6 : Les deux angles aigus se répondent

Un triangle rectangle possède deux angles aigus, et tout ce qui est adjacent à l'un est opposé à l'autre. Cet échange relie le sinus et le cosinus par une égalité qui sert à contrôler presque toutes les copies.

Le triangle $ABC$ ci-dessous est rectangle en $A$ .

1) Pourquoi a-t-on toujours $\widehat{B}+\widehat{C}=90°$ ?
2) Démontrez que $\cos(\widehat{B})=\sin(\widehat{C})$ .
3) On donne $\cos(\widehat{B})=0{,}28$ . Donnez $\sin(\widehat{C})$ , puis $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ au dixième de degré.
4) Sans calculatrice, complétez : $\cos(35°)=\sin(\dots)$ , $\sin(72°)=\cos(\dots)$ , $\cos(45°)=\sin(\dots)$ .
5) Un élève affirme : « si l'angle double, son sinus double aussi ». Testez son affirmation avec $20°$ et $40°$ .
6) Quel est le seul angle aigu dont le sinus et le cosinus sont égaux ? Justifiez.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/12

1)

On a

\widehat{B}+\widehat{C}=90°

car

2)

\cos(\widehat{B})

et

\sin(\widehat{C})

valent

3)

\sin(\widehat{C})

\widehat{B}

au dixième °

\widehat{C}

au dixième °

4)

\cos(35°)=\sin(\dots)

°

\sin(72°)=\cos(\dots)

°

\cos(45°)=\sin(\dots)

°

5)

Double de

\sin(20°)

au millième

\sin(40°)

au millième

L'affirmation est

6)

Angle °

Voir la correction

Réponses

1) $180-90=90$
2) Même fraction $\frac{AB}{BC}$
3) $0{,}28$ ; $73{,}7°$ et $16{,}3°$
4) $55°$ , $18°$ , $45°$
5) Faux : $0{,}643\neq 0{,}684$
6) $45°$

1)

La somme des angles d'un triangle vaut $180°$ . L'angle en $A$ est droit et vaut $90°$ , donc $\widehat{B}+\widehat{C}=180-90=90°$ . Deux angles dont la somme vaut $90°$ sont dits complémentaires : dans un triangle rectangle, les deux angles aigus le sont toujours.

2)

Le côté $[AB]$ touche $B$ et ne touche pas $C$ : il est donc adjacent à $\widehat{B}$ et opposé à $\widehat{C}$ . L'hypoténuse $[BC]$ , elle, est la même pour les deux angles. Donc $\cos(\widehat{B})=\dfrac{AB}{BC}$ et $\sin(\widehat{C})=\dfrac{AB}{BC}$ : ce sont littéralement la même fraction, lue depuis deux sommets différents. De la même manière $\sin(\widehat{B})=\cos(\widehat{C})=\dfrac{AC}{BC}$ . Comme $\widehat{C}=90°-\widehat{B}$ , on retient la règle sous la forme $\cos(x)=\sin(90°-x)$ .

3)

$\sin(\widehat{C})=\cos(\widehat{B})=0{,}28$ , sans aucun calcul. Ensuite $\widehat{B}\approx 73{,}7°$ à la calculatrice, et $\widehat{C}=90-73{,}7=16{,}3°$ . On peut vérifier directement que l'angle dont le sinus vaut $0{,}28$ mesure bien $16{,}3°$ , ce qui confirme les deux résultats d'un coup. Le cosinus est petit, donc $\widehat{B}$ est grand, et son complémentaire est petit : le contrôle qualitatif fonctionne.

4)

$\cos(35°)=\sin(55°)$ , car $90-35=55$ . $\sin(72°)=\cos(18°)$ , car $90-72=18$ . $\cos(45°)=\sin(45°)$ , car $45$ est son propre complémentaire. Aucune calculatrice n'est utile : il s'agit chaque fois de compléter à $90$ .

5)

C'est faux. $\sin(20°)\approx 0{,}342$ et $\sin(40°)\approx 0{,}643$ , alors que le double de $0{,}342$ vaut $0{,}684$ . L'écart, environ $0{,}041$ , est petit mais bien réel, et il grandit avec l'angle : $\sin(80°)\approx 0{,}985$ n'est pas le double de $\sin(40°)$ , qui donnerait $1{,}286$ , un nombre supérieur à $1$ donc impossible pour un sinus. Le sinus croît, mais de moins en moins vite ; il n'est PAS proportionnel à l'angle. C'est la raison profonde pour laquelle on a besoin d'une calculatrice ou d'une table.

6)

C'est $45°$ . Si $\cos(\widehat{B})=\sin(\widehat{B})$ , alors $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC}{BC}$ , donc $AB=AC$ : le triangle est rectangle ISOCÈLE. Ses deux angles aigus sont alors égaux, et comme leur somme vaut $90°$ , chacun mesure $45°$ . On peut aussi le lire sur la règle $\cos(x)=\sin(90°-x)$ : l'égalité $\sin(x)=\sin(90°-x)$ impose $x=90-x$ , donc $x=45$ . La valeur commune est $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}707$ .

Exercice 7 : Pythagore caché derrière le sinus et le cosinus

Le sinus et le cosinus d'un même angle ne sont pas indépendants : ils sont reliés par le théorème de Pythagore. Cet exercice conduit la démonstration, puis l'utilise pour calculer l'un à partir de l'autre.

Dans tout l'exercice, $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ .

1) Écrivez $\cos(\widehat{B})$ et $\sin(\widehat{B})$ en fonction de $AB$ , $AC$ et $BC$ .
2) Calculez $\cos^{2}(\widehat{B})+\sin^{2}(\widehat{B})$ en fonction de ces longueurs, puis concluez à l'aide du théorème de Pythagore.
3) On donne $\cos(\widehat{B})=0{,}6$ . Calculez $\sin(\widehat{B})$ sans calculatrice.
4) On donne $\sin(\widehat{C})=\dfrac{5}{13}$ . Donnez la valeur exacte de $\cos(\widehat{C})$ .
5) Un élève écrit $\cos(\widehat{B})=0{,}7$ et $\sin(\widehat{B})=0{,}8$ . Montrez que c'est impossible.
6) Vérifiez la relation à la calculatrice pour $23°$ puis pour $67°$ . Que remarquez-vous entre ces deux lignes de calcul ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/8

1)

\cos(\widehat{B})

2)

\cos^2(\widehat{B})+\sin^2(\widehat{B})

3)

\sin(\widehat{B})

4)

\cos(\widehat{C})

au millième

5)

0{,}7^2+0{,}8^2

Ces valeurs sont-elles possibles ?

6)

\cos(23°)

au dix-millième

Les deux lignes

Voir la correction

Réponses

1) $\frac{AB}{BC}$ et $\frac{AC}{BC}$
2) $\cos^2+\sin^2=1$
3) $\sin(\widehat{B})=0{,}8$
4) $\cos(\widehat{C})=\frac{12}{13}$
5) $1{,}13\neq 1$ : impossible
6) Mêmes nombres, échangés

1)

L'hypoténuse est $[BC]$ , le côté adjacent à $\widehat{B}$ est $[AB]$ et le côté opposé est $[AC]$ . Donc $\cos(\widehat{B})=\dfrac{AB}{BC}$ et $\sin(\widehat{B})=\dfrac{AC}{BC}$ .

2)

En élevant au carré, $\cos^{2}(\widehat{B})+\sin^{2}(\widehat{B})=\dfrac{AB^{2}}{BC^{2}}+\dfrac{AC^{2}}{BC^{2}}=\dfrac{AB^{2}+AC^{2}}{BC^{2}}$ . Or le triangle est rectangle en $A$ , donc Pythagore donne $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$ , et la fraction vaut $\dfrac{BC^{2}}{BC^{2}}=1$ . On obtient la relation $\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1$ , valable pour tout angle aigu $x$ . Ce n'est rien d'autre que Pythagore, écrit après division par $BC^{2}$ : la figure du corrigé montre le même triangle réduit pour que l'hypoténuse mesure $1$ , ses deux autres côtés mesurant alors précisément $\cos(\widehat{B})$ et $\sin(\widehat{B})$ .

3)

$\sin^{2}(\widehat{B})=1-0{,}6^{2}=1-0{,}36=0{,}64$ , donc $\sin(\widehat{B})=\sqrt{0{,}64}=0{,}8$ , la racine positive puisqu'un sinus d'angle aigu est positif. On reconnaît le triangle $3$ , $4$ , $5$ agrandi.

4)

$\cos^{2}(\widehat{C})=1-\left(\dfrac{5}{13}\right)^{2}=1-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}$ , donc $\cos(\widehat{C})=\dfrac{12}{13}$ . Garder la forme fractionnaire évite tout arrondi, et l'on retrouve le triplet $5$ , $12$ , $13$ déjà rencontré à l'exercice 5.

5)

On calcule $0{,}7^{2}+0{,}8^{2}=0{,}49+0{,}64=1{,}13$ , alors que la somme devrait valoir exactement $1$ . Les deux valeurs sont donc incompatibles : elles ne peuvent pas être le cosinus et le sinus d'un même angle. En réalité un cosinus de $0{,}7$ correspond à $45{,}6°$ tandis qu'un sinus de $0{,}8$ correspond à $53{,}1°$ , deux angles différents. Cette vérification en une ligne détecte immédiatement un rapport recopié de travers.

6)

Pour $23°$ : $\cos(23°)\approx 0{,}9205$ et $\sin(23°)\approx 0{,}3907$ , dont les carrés donnent $0{,}8473+0{,}1527=1$ . Pour $67°$ : $\cos(67°)\approx 0{,}3907$ et $\sin(67°)\approx 0{,}9205$ . Les deux lignes contiennent exactement les mêmes nombres, échangés, parce que $23$ et $67$ sont complémentaires : c'est la règle de l'exercice 6 qui réapparaît. La relation $\cos^{2}+\sin^{2}=1$ est donc automatiquement vraie pour l'un dès qu'elle l'est pour l'autre.

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Chacune des cinq affirmations suivantes est FAUSSE. Dites pourquoi et donnez l'énoncé correct.

1) « Dans un triangle très allongé, le sinus d'un angle aigu peut valoir $1{,}5$ . »
2) « Pour trouver une longueur avec le cosinus, on multiplie toujours par le cosinus de l'angle. »
3) « Le côté $[AC]$ est le côté opposé, donc il sert dans le sinus, quel que soit l'angle regardé. »
4) « Si on double toutes les longueurs d'un triangle rectangle, le cosinus de chaque angle double aussi. »
5) « $\cos(60°)+\cos(30°)=\cos(90°)$ . »

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Réponses

1) Sinus entre 0 et 1
2) On divise si l'hypoténuse est inconnue
3) Opposé dépend de l'angle
4) Le cosinus ne dépend que de l'angle
5) $\cos(a+b)\neq\cos(a)+\cos(b)$

1)

FAUX. Le sinus d'un angle aigu est le quotient du côté opposé par l'hypoténuse, et l'hypoténuse est toujours le plus grand côté d'un triangle rectangle. Le numérateur est donc plus petit que le dénominateur, quel que soit l'allongement du triangle. Énoncé correct : le sinus d'un angle aigu est toujours strictement compris entre $0$ et $1$ . Une valeur supérieure à $1$ signale une fraction renversée, jamais un triangle particulier.

2)

FAUX. On multiplie seulement si l'inconnue est au NUMÉRATEUR, c'est-à-dire quand on cherche le côté adjacent en connaissant l'hypoténuse. Si l'inconnue est l'hypoténuse, elle se trouve au dénominateur et l'on DIVISE. Énoncé correct : de $\cos(x)=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ on tire adjacent $=$ hypoténuse $\times\cos(x)$ , et hypoténuse $=\dfrac{\text{adjacent}}{\cos(x)}$ .

3)

FAUX. « Opposé » n'est pas une propriété du segment, c'est une position par rapport à un angle choisi. Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ , le côté $[AC]$ est opposé à $\widehat{B}$ mais adjacent à $\widehat{C}$ . Énoncé correct : avant de nommer un côté, il faut dire de quel angle on parle ; le même segment sert au sinus d'un angle et au cosinus de l'autre.

4)

FAUX. Un agrandissement de rapport $2$ multiplie les deux longueurs de la fraction par $2$ , et ces facteurs se simplifient : $\dfrac{2\times 3}{2\times 5}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$ . Le rapport ne bouge pas, donc l'angle non plus. Énoncé correct : le cosinus et le sinus ne dépendent QUE de l'angle, jamais de la taille du triangle. C'est précisément ce qui rend une table trigonométrique utilisable pour tous les triangles à la fois.

5)

FAUX. On a $\cos(60°)=0{,}5$ et $\cos(30°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866$ , dont la somme vaut environ $1{,}366$ , alors que $\cos(90°)=0$ . Énoncé correct : le cosinus ne se distribue pas sur l'addition, et $\cos(a+b)$ n'a aucune raison d'être égal à $\cos(a)+\cos(b)$ . C'est la même erreur que d'écrire $\sqrt{9+16}=\sqrt{9}+\sqrt{16}$ , qui donnerait $7$ au lieu de $5$ .

Exercice 9 : Problème : l'échelle contre le mur

Une échelle de $6$ m est appuyée contre un mur vertical. Le sol est horizontal et l'échelle fait un angle de $72°$ avec le sol.

Les pompiers appliquent une règle de sécurité : le pied de l'échelle doit être écarté du mur du QUART de la longueur de l'échelle. Un pied trop éloigné la fait glisser, un pied trop proche la fait basculer en arrière.

1) Calculez la hauteur atteinte sur le mur, au centimètre près.
2) Calculez la distance $d$ entre le pied de l'échelle et le mur, au centimètre près.
3) Vérifiez vos deux résultats à l'aide du théorème de Pythagore.
4) Quel angle avec le sol la règle de sécurité impose-t-elle ? Donnez la réponse au dixième de degré.
5) Quelle hauteur atteint-on avec cet angle réglementaire ? Comparez avec la question 1.
6) Le haut du mur est à $5{,}50$ m. En respectant la règle, de combien l'échelle dépasse-t-elle le mur ? Quel serait l'angle minimal pour atteindre tout juste le haut du mur ?

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Réponses

1) $5{,}71$ m
2) $1{,}85$ m
3) $\approx 36$ ✓
4) $75{,}5°$
5) $5{,}81$ m
6) 31 cm de dépassement ; $66{,}4°$

1)

La hauteur cherchée est le côté OPPOSÉ à l'angle de $72°$ , et l'échelle est l'hypoténuse : c'est donc le sinus. On a $h=6\times\sin(72°)\approx 6\times 0{,}9511\approx 5{,}71$ m. Le résultat est inférieur à $6$ m, ce qui est obligatoire puisqu'une échelle inclinée atteint toujours moins haut que sa longueur.

2)

La distance au mur est le côté ADJACENT à l'angle : c'est le cosinus, $d=6\times\cos(72°)\approx 6\times 0{,}3090\approx 1{,}85$ m. L'angle est grand, donc le cosinus est petit et l'échelle est très redressée.

3)

$5{,}71^{2}+1{,}85^{2}\approx 32{,}60+3{,}42=36{,}02$ , à comparer à $6^{2}=36$ . L'écart de $0{,}02$ vient uniquement des arrondis au centimètre ; avec les valeurs non arrondies, la somme vaut exactement $36$ . Cette vérification est la meilleure du problème, car elle contrôle d'un coup les deux calculs et le choix des rapports.

4)

La règle impose $d=\dfrac{6}{4}=1{,}5$ m. Cette distance est le côté adjacent, donc $\cos(\alpha)=\dfrac{1{,}5}{6}=0{,}25$ , d'où $\alpha\approx 75{,}5°$ . La règle du quart revient donc toujours au même angle, quelle que soit la longueur de l'échelle : le quart se simplifie et le cosinus vaut $0{,}25$ dans tous les cas. C'est ce qui la rend utilisable de tête sur un chantier.

5)

On peut passer par le sinus, ou plus simplement par Pythagore : $h=\sqrt{6^{2}-1{,}5^{2}}=\sqrt{36-2{,}25}=\sqrt{33{,}75}\approx 5{,}81$ m. C'est $10$ cm de plus qu'à la question 1, parce que l'échelle est plus redressée. Le gain est faible alors que l'angle a changé de $3{,}5°$ : près de la verticale, la hauteur atteinte ne bouge presque plus, tandis que la distance au mur, elle, varie beaucoup. C'est la conséquence directe du fait que le sinus croît de moins en moins vite en approchant de $90°$ .

6)

En respectant la règle, l'échelle atteint $5{,}81$ m alors que le mur mesure $5{,}50$ m : elle dépasse de $5{,}81-5{,}50=0{,}31$ m, soit $31$ cm. Pour atteindre tout juste le haut du mur, il faudrait $\sin(\alpha)=\dfrac{5{,}50}{6}\approx 0{,}9167$ , donc $\alpha\approx 66{,}4°$ , et le pied serait alors à environ $2{,}40$ m du mur, bien au-delà des $1{,}5$ m réglementaires. Conclusion pratique : la règle du quart suffit pour atteindre le haut de ce mur, et l'échelle le dépasse même de $31$ cm. Vouloir poser son sommet exactement en haut du mur obligerait au contraire à ÉLOIGNER le pied à $2{,}40$ m, ce qui la ferait glisser.

Exercice 10 : Problème : le télésiège en deux tronçons

Un télésiège monte en deux tronçons rectilignes séparés par une gare intermédiaire. Le premier tronçon mesure $900$ m de câble et fait un angle de $15°$ avec l'horizontale ; le second mesure $500$ m et fait un angle de $38°$ .

Le dénivelé est la hauteur gagnée, la distance horizontale est l'ombre du câble sur le sol. Arrondissez au mètre, en conservant les valeurs non arrondies dans la calculatrice jusqu'au dernier calcul.

1) Calculez le dénivelé de chacun des deux tronçons.
2) Calculez la distance horizontale parcourue par chacun des deux tronçons.
3) Déduisez-en le dénivelé total et la distance horizontale totale entre le départ et l'arrivée.
4) Calculez la distance à vol d'oiseau entre le départ et l'arrivée.
5) Calculez l'angle que fait la ligne droite départ-arrivée avec l'horizontale, au dixième de degré. Comparez-le à la moyenne de $15°$ et $38°$ .
6) Un skieur remarque que les $1400$ m de câble sont presque égaux à la distance à vol d'oiseau. Calculez l'écart, puis expliquez pourquoi il est si petit.

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Réponses

1) 233 m et 308 m
2) 869 m et 394 m
3) 541 m et 1 263 m
4) 1 374 m
5) $23{,}2°$ , moins que $26{,}5°$
6) 26 m

1)

Le dénivelé est le côté opposé à l'angle et le câble est l'hypoténuse : c'est le sinus. Premier tronçon, $900\times\sin(15°)\approx 900\times 0{,}2588\approx 233$ m. Second tronçon, $500\times\sin(38°)\approx 500\times 0{,}6157\approx 308$ m. Le second tronçon est presque deux fois plus court mais monte davantage, ce qui est logique puisqu'il est bien plus raide.

2)

La distance horizontale est le côté adjacent : c'est le cosinus. Premier tronçon, $900\times\cos(15°)\approx 869$ m ; second tronçon, $500\times\cos(38°)\approx 394$ m. Contrôle : chaque distance horizontale est inférieure à la longueur du câble correspondant, et l'écart est d'autant plus grand que la pente est forte.

3)

Dénivelé total $\approx 233+308=541$ m, distance horizontale totale $\approx 869+394=1263$ m. Les dénivelés s'additionnent et les distances horizontales aussi, parce que le second tronçon repart exactement là où le premier s'arrête : on met bout à bout deux triangles rectangles qui ont le même sol horizontal.

4)

Le départ et l'arrivée sont les extrémités de l'hypoténuse d'un grand triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont le dénivelé total et la distance horizontale totale. Pythagore donne $541^{2}+1263^{2}=292\,681+1\,595\,169=1\,887\,850$ , donc la distance à vol d'oiseau vaut environ $1374$ m.

5)

$\sin(\alpha)=\dfrac{541}{1374}\approx 0{,}3937$ , donc $\alpha\approx 23{,}2°$ . On peut vérifier par le cosinus, $\cos(\alpha)=\dfrac{1263}{1374}\approx 0{,}9192$ , qui donne le même angle. La moyenne de $15$ et $38$ vaut $26{,}5°$ , ce qui est nettement trop : la pente moyenne n'est PAS la moyenne des pentes. Le premier tronçon, long de $900$ m, pèse beaucoup plus lourd que le second dans le résultat et tire l'angle vers le bas. Une moyenne d'angles n'aurait de sens que si les deux tronçons avaient la même longueur.

6)

L'écart vaut $1400-1374=26$ m, soit environ $1{,}8$ pour cent de la longueur du câble. Il est faible parce que les deux tronçons montent dans des directions PROCHES : $15°$ et $38°$ ne diffèrent que de $23°$ , et le trajet ne fait presque pas de coude. Si le second tronçon redescendait au lieu de monter, ou repartait perpendiculairement, la ligne brisée serait bien plus longue que la ligne droite. Le cas extrême est celui de deux tronçons parfaitement alignés, où l'écart devient nul et où le câble suit exactement la ligne droite.

Exercice 11 : La tangente d'un angle aigu

Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est le quotient du côté OPPOSÉ par le côté ADJACENT : $\tan(x)=\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$ . C'est le seul des trois rapports où l'hypoténuse n'apparaît pas.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB=12$ cm et $AC=5$ cm.

1) Calculez $\tan(\widehat{B})$ et $\tan(\widehat{C})$ , sous forme de fraction puis de décimal au centième.
2) Déduisez-en $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ au dixième de degré, sans calculer $BC$ .
3) Calculez $\tan(\widehat{B})\times\tan(\widehat{C})$ . Expliquez le résultat.
4) $DEF$ est rectangle en $D$ , avec $\widehat{E}=35°$ et $DE=8$ cm. Calculez $DF$ au dixième.
5) Calculez $BC$ , puis vérifiez que $\tan(\widehat{B})=\dfrac{\sin(\widehat{B})}{\cos(\widehat{B})}$ .

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Réponses

1) $\frac{5}{12}\approx 0{,}42$ et $2{,}4$
2) $22{,}6°$ et $67{,}4°$
3) Produit égal à 1
4) $DF\approx 5{,}6$ cm
5) $BC=13$ ; $\frac{5/13}{12/13}=\frac{5}{12}$

1)

Pour $\widehat{B}$ , le côté opposé est $[AC]$ et le côté adjacent est $[AB]$ : $\tan(\widehat{B})=\dfrac{5}{12}\approx 0{,}42$ . Pour $\widehat{C}$ , les rôles s'échangent : $\tan(\widehat{C})=\dfrac{12}{5}=2{,}4$ . Contrairement au sinus et au cosinus, une tangente peut dépasser $1$ : il suffit que le côté opposé soit plus long que le côté adjacent.

2)

La calculatrice, en mode degrés, remonte de la tangente à l'angle : $\widehat{B}\approx 22{,}6°$ et $\widehat{C}\approx 67{,}4°$ . Contrôle : $22{,}6+67{,}4=90$ . C'est l'intérêt de la tangente : avec les deux côtés de l'angle droit, on obtient l'angle directement, sans passer par Pythagore.

3)

$\dfrac{5}{12}\times\dfrac{12}{5}=1$ . Les deux fractions sont inverses l'une de l'autre, parce que ce qui est opposé à $B$ est adjacent à $C$ et réciproquement.

4)

$[DF]$ est opposé à $\widehat{E}$ et $[DE]$ lui est adjacent : $\tan(35°)=\dfrac{DF}{8}$ , donc $DF=8\times\tan(35°)\approx 8\times 0{,}7002\approx 5{,}6$ cm. L'inconnue est au numérateur, on multiplie.

5)

Pythagore : $BC^2=144+25=169$ , donc $BC=13$ cm. Alors $\sin(\widehat{B})=\dfrac{5}{13}$ et $\cos(\widehat{B})=\dfrac{12}{13}$ , et $\dfrac{5/13}{12/13}=\dfrac{5}{12}$ ✓ : l'hypoténuse se simplifie, ce qui explique qu'elle n'apparaisse pas dans la tangente.

Le fil : sinus et cosinus passent par l'hypoténuse, la tangente relie directement les deux côtés de l'angle droit.

Exercice 12 : La hauteur d'un triangle qui n'est pas rectangle

Le triangle $ABC$ n'est pas rectangle : on ne peut pas y appliquer directement le sinus ou le cosinus. On trace la hauteur $[AH]$ , avec $H$ sur $[BC]$ , qui le découpe en deux triangles rectangles.

On donne $AB=8$ cm, $\widehat{B}=40°$ et $\widehat{C}=65°$ .

1) Dans le triangle $ABH$ , calculez $AH$ au centième.
2) Calculez $BH$ au centième.
3) Dans le triangle $ACH$ , calculez $HC$ à l'aide de la tangente, puis $AC$ , au centième.
4) Calculez $BC$ , puis l'aire du triangle $ABC$ au centième.
5) Calculez $\widehat{BAC}$ . Un élève écrit $\cos(\widehat{B})=\dfrac{BC}{AB}$ dans le triangle $ABC$ : pourquoi est-ce faux ?

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Réponses

1) $AH\approx 5{,}14$ cm
2) $BH\approx 6{,}13$ cm
3) $HC\approx 2{,}40$ cm ; $AC\approx 5{,}67$ cm
4) $BC\approx 8{,}53$ cm ; aire $\approx 21{,}92$ cm²
5) $75°$ ; $ABC$ n'est pas rectangle

1)

$ABH$ est rectangle en $H$ , d'hypoténuse $[AB]$ , et $[AH]$ est opposé à $\widehat{B}$ : $AH=8\times\sin(40°)\approx 5{,}14$ cm.

2)

$[BH]$ est adjacent à $\widehat{B}$ : $BH=8\times\cos(40°)\approx 6{,}13$ cm.

3)

Dans $ACH$ , rectangle en $H$ , $[AH]$ est opposé à $\widehat{C}$ et $[HC]$ adjacent : $\tan(65°)=\dfrac{AH}{HC}$ , donc $HC=\dfrac{AH}{\tan(65°)}\approx\dfrac{5{,}142}{2{,}1445}\approx 2{,}40$ cm. Et $\sin(65°)=\dfrac{AH}{AC}$ donne $AC=\dfrac{AH}{\sin(65°)}\approx 5{,}67$ cm. On garde $AH$ non arrondi dans la calculatrice.

4)

$BC=BH+HC\approx 6{,}128+2{,}398\approx 8{,}53$ cm, puisque $H$ est entre $B$ et $C$ . Aire : $\dfrac{BC\times AH}{2}\approx\dfrac{8{,}526\times 5{,}142}{2}\approx 21{,}92$ cm $^2$ .

5)

$\widehat{BAC}=180-40-65=75°$ . L'égalité $\cos(\widehat{B})=\dfrac{BC}{AB}$ n'a de sens que dans un triangle RECTANGLE, où $[AB]$ serait l'hypoténuse ; ici elle donnerait $BC\approx 6{,}13$ cm, qui est en réalité $BH$ . Le cosinus se lit dans $ABH$ , pas dans $ABC$ .

Le fil : dans un triangle quelconque, on fabrique d'abord un triangle rectangle en traçant une hauteur, et l'on ne sort jamais du triangle rectangle pour écrire un rapport.

Exercice 13 : Une pente en pourcentage

Un panneau routier annonce une pente de $12$ % : la route monte de $12$ m quand on avance de $100$ m à l'HORIZONTALE. Le pourcentage d'une pente est donc la tangente de son angle, écrite en pour cent.

1) Calculez l'angle de cette route avec l'horizontale, au dixième de degré.
2) Quelle longueur de route parcourt-on réellement pour avancer de $100$ m à l'horizontale ? Arrondissez au centième.
3) Un cycliste parcourt $2$ km sur cette route. De combien de mètres s'est-il élevé ? Arrondissez au mètre.
4) Une pente de $100$ % est-elle verticale ? Quel est son angle ?
5) Une rampe fait un angle de $30°$ avec le sol. Quelle est sa pente en pourcentage, au dixième ?

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Réponses

1) $\approx 6{,}8°$
2) $\approx 100{,}72$ m
3) $\approx 238$ m
4) Non : $45°$
5) $\approx 57{,}7$ %

1)

$\tan(\alpha)=\dfrac{12}{100}=0{,}12$ , donc $\alpha\approx 6{,}8°$ . Une pente qui paraît rude sur un vélo correspond à un angle faible.

2)

La route est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés $100$ m et $12$ m : $\sqrt{100^2+12^2}=\sqrt{10\ 144}\approx 100{,}72$ m. La différence avec $100$ m est minime, ce qui explique qu'on puisse confondre distance horizontale et distance parcourue sur une pente douce.

3)

Les $2$ km sont mesurés SUR la route, donc sur l'hypoténuse : l'élévation est le côté opposé, $2\ 000\times\sin(\alpha)\approx 2\ 000\times 0{,}1191\approx 238$ m. Le piège est de calculer $12$ % de $2\ 000$ , soit $240$ m, ce qui suppose que les $2$ km sont horizontaux.

4)

Non. Une pente de $100$ % monte de $100$ m pour $100$ m horizontaux : $\tan(\alpha)=1$ , donc $\alpha=45°$ . Une pente verticale aurait un pourcentage infini, car on monterait sans avancer.

5)

$\tan(30°)\approx 0{,}577$ , soit une pente d'environ $57{,}7$ %. Un angle deux fois plus grand qu'une pente à $12$ % ne donne pas un pourcentage deux fois plus grand : la tangente n'est pas proportionnelle à l'angle.

Le fil : un pourcentage de pente est une tangente, donc il compare le dénivelé à la distance HORIZONTALE, jamais à la longueur de la route.

Exercice 14 : Problème : la charpente d'un toit

Une maison a une largeur de $9$ m et une longueur de $12$ m. Son toit est formé de deux pans rectangulaires identiques, qui font chacun un angle de $35°$ avec l'horizontale et se rejoignent au faîtage, au-dessus du milieu de la largeur. La figure représente le toit vu en coupe, perpendiculairement à la longueur.

1) Calculez la hauteur du faîtage au-dessus du haut des murs, au centième.
2) Calculez la longueur d'un chevron, qui va du haut d'un mur au faîtage, au centième.
3) Calculez la surface totale des deux pans, au dixième. Combien faut-il de tuiles, à raison de $10$ tuiles par mètre carré ?
4) Le règlement local limite la hauteur du faîtage à $3$ m au-dessus des murs. Quel angle maximal peut-on donner au toit ? Arrondissez au dixième par défaut.
5) Avec un angle de $45°$ , que deviennent la hauteur du faîtage et la longueur d'un chevron ?

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Réponses

1) $\approx 3{,}15$ m
2) $\approx 5{,}49$ m
3) $\approx 131{,}8$ m² ; 1 319 tuiles
4) $33{,}6°$
5) $4{,}5$ m et $6{,}36$ m

1)

Chaque pan couvre la moitié de la largeur, $4{,}5$ m à l'horizontale. La hauteur est opposée à l'angle de $35°$ et la demi-largeur lui est adjacente : $h=4{,}5\times\tan(35°)\approx 3{,}15$ m.

2)

Le chevron est l'hypoténuse : $\cos(35°)=\dfrac{4{,}5}{L}$ , donc $L=\dfrac{4{,}5}{\cos(35°)}\approx 5{,}49$ m. On divise, car l'inconnue est au dénominateur ; le chevron est bien plus long que la demi-largeur.

3)

Un pan est un rectangle de $12$ m sur $5{,}493$ m : les deux pans font $2\times 12\times 5{,}493\approx 131{,}8$ m $^2$ . Tuiles : $131{,}8\times 10\approx 1\ 318{,}4$ , donc $1\ 319$ tuiles, en arrondissant par excès puisqu'il faut couvrir tout le toit. Le piège est de calculer la surface au sol, $9\times 12=108$ m $^2$ , qui sous-estime le toit de près de $20$ %.

4)

Il faut $4{,}5\times\tan(\alpha)\leq 3$ , donc $\tan(\alpha)\leq\dfrac{3}{4{,}5}\approx 0{,}667$ et $\alpha\leq 33{,}69°$ . Arrondi par défaut : $33{,}6°$ . Arrondir à $33{,}7°$ dépasserait légèrement la limite.

5)

$\tan(45°)=1$ , donc la hauteur vaut $4{,}5$ m, et le chevron $\dfrac{4{,}5}{\cos(45°)}\approx 6{,}36$ m. Passer de $35°$ à $45°$ n'ajoute que $10°$ mais augmente la hauteur de plus de $40$ % : la tangente croît de plus en plus vite.

Le fil : on repère d'abord le triangle rectangle utile, ici la demi-largeur, la hauteur et le chevron, puis on choisit le rapport selon le côté connu et le côté cherché.

Exercice 15 : Problème : l'avion au décollage

Juste après avoir quitté la piste, un avion monte en ligne droite, avec un angle de $12°$ par rapport au sol horizontal. On repère sa position à partir du point où ses roues ont quitté le sol.

1) L'avion a parcouru $3$ km sur sa trajectoire. Quelle est son altitude, au mètre ?
2) À quelle distance horizontale du point de décollage se trouve-t-il alors, au mètre ?
3) Quelle distance au sol aura-t-il survolée quand il atteindra $1\ 000$ m d'altitude ? Arrondissez au mètre.
4) Une antenne de $90$ m de haut se dresse à $400$ m à l'horizontale du point de décollage, dans l'axe. L'avion passe-t-il au-dessus ? Quel angle minimal faudrait-il, au dixième ?
5) L'avion avance à $80$ m/s sur sa trajectoire. Combien de secondes lui faut-il pour atteindre $1\ 000$ m d'altitude ? Arrondissez à l'unité.

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Réponses

1) $\approx 624$ m
2) $\approx 2\ 934$ m
3) $\approx 4\ 705$ m
4) Non : 85 m ; il faut $12{,}7°$
5) $\approx 60$ s

1)

La trajectoire est l'hypoténuse et l'altitude le côté opposé : $3\ 000\times\sin(12°)\approx 3\ 000\times 0{,}2079\approx 624$ m.

2)

La distance horizontale est le côté adjacent : $3\ 000\times\cos(12°)\approx 2\ 934$ m.

3)

On connaît le côté opposé, $1\ 000$ m, et l'on cherche le côté adjacent : c'est la tangente. $\tan(12°)=\dfrac{1\ 000}{d}$ , donc $d=\dfrac{1\ 000}{\tan(12°)}\approx 4\ 705$ m.

4)

À $400$ m à l'horizontale, l'altitude vaut $400\times\tan(12°)\approx 85{,}0$ m, moins que les $90$ m de l'antenne : l'avion ne passe PAS. Il faudrait $\tan(\alpha)\geq\dfrac{90}{400}=0{,}225$ , soit $\alpha\geq 12{,}7°$ environ. Un écart d'un degré suffit à passer ou non : c'est pour cela que les obstacles autour des pistes sont réglementés.

5)

La distance à parcourir sur la trajectoire est l'hypoténuse : $\dfrac{1\ 000}{\sin(12°)}\approx 4\ 810$ m. À $80$ m/s, il faut $\dfrac{4\ 810}{80}\approx 60$ secondes. Le piège est de diviser les $4\ 705$ m horizontaux de la question 3, qui ne sont pas la distance parcourue.

Le fil : altitude, distance au sol et trajectoire forment un triangle rectangle ; chaque question se ramène à dire lesquels des trois côtés sont connus et cherchés.

Exercices corrigés : sinus et cosinus en Troisième

Rappel de cours

Calculs : les longueurs et les angles à calculer

Exercice 0.1 : Calculer une longueur ou un angle dans un triangle rectangle : dix calculs directs

Partie A : les bases (/50)

Exercice 1 : Adjacent, opposé, hypoténuse

Exercice 2 : Calculer une longueur avec le cosinus

Exercice 3 : Calculer une longueur avec le sinus

Exercice 4 : Choisir le bon rapport

Exercice 5 : Retrouver un angle

Partie B : problèmes et raisonnement (/50)

Exercice 6 : Les deux angles aigus se répondent

Exercice 7 : Pythagore caché derrière le sinus et le cosinus

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 9 : Problème : l'échelle contre le mur

Exercice 10 : Problème : le télésiège en deux tronçons

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 11 : La tangente d'un angle aigu

Exercice 12 : La hauteur d'un triangle qui n'est pas rectangle

Exercice 13 : Une pente en pourcentage

Exercice 14 : Problème : la charpente d'un toit

Exercice 15 : Problème : l'avion au décollage

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Voir aussi

La trigonométrie bloque en troisième à Montréal ?