Exercices corrigés : sinus et cosinus en Troisième

1) L'hypoténuse est $[BC]$ : elle est opposée à l'angle droit, et c'est toujours le plus grand côté. Le côté adjacent à $\widehat{ABC}$ est $[AB]$, celui qui part de $B$ sans être l'hypoténuse. Le côté opposé est $[AC]$, celui qui ne touche pas $B$. La méthode tient en un geste : on pose le doigt sur le sommet $B$, les deux côtés qui partent de ce sommet sont l'hypoténuse et l'adjacent, et le troisième est l'opposé.

2) L'hypoténuse ne change pas : c'est encore $[BC]$, car elle ne dépend que de l'angle droit et pas de l'angle que l'on regarde. En revanche les deux autres ÉCHANGENT leur nom : le côté adjacent à $\widehat{ACB}$ est $[AC]$ et le côté opposé est $[AB]$. C'est le point le plus important de tout le chapitre : $[AB]$ est adjacent à $B$ et opposé à $C$, un même segment porte les deux noms selon l'angle choisi.

3) $\cos(\widehat{ABC})=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{AB}{BC}$ et $\sin(\widehat{ABC})=\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{AC}{BC}$. L'hypoténuse est au dénominateur des deux : c'est le seul point commun entre le sinus et le cosinus.

4) $\cos(\widehat{ACB})=\dfrac{AC}{BC}$ et $\sin(\widehat{ACB})=\dfrac{AB}{BC}$. Les deux fractions sont exactement celles de la question 3, mais échangées, parce que l'adjacent et l'opposé se sont échangés.

5) La figure donne $AB=8$ cm, $AC=6$ cm et $BC=10$ cm, et l'on vérifie d'abord Pythagore : $8^{2}+6^{2}=64+36=100=10^{2}$, le triangle est bien rectangle en $A$. Alors $\cos(\widehat{ABC})=\dfrac{8}{10}=0{,}8$, $\sin(\widehat{ABC})=\dfrac{6}{10}=0{,}6$, $\cos(\widehat{ACB})=\dfrac{6}{10}=0{,}6$ et $\sin(\widehat{ACB})=\dfrac{8}{10}=0{,}8$. Les quatre nombres sont compris entre $0$ et $1$, ce qui est le premier contrôle à faire : un rapport supérieur à $1$ signale un quotient renversé.

6) On trouve $\cos(\widehat{ABC})=\sin(\widehat{ACB})=0{,}8$, et de même $\sin(\widehat{ABC})=\cos(\widehat{ACB})=0{,}6$. Ce n'est pas un hasard : ce qui est adjacent à $B$ est opposé à $C$, donc la même fraction $\dfrac{8}{10}$ s'appelle cosinus quand on la lit depuis $B$ et sinus quand on la lit depuis $C$. À la calculatrice, $\widehat{ABC}\approx 36{,}87°$ et $\widehat{ACB}\approx 53{,}13°$, deux angles dont la somme vaut $90°$. L'exercice 6 revient sur ce phénomène.

1) Dans le triangle rectangle en $A$, l'hypoténuse est $[BC]$ et le côté adjacent à $\widehat{B}$ est $[AB]$ : c'est donc le cosinus. On écrit $\cos(52°)=\dfrac{AB}{9}$, d'où $AB=9\times\cos(52°)\approx 9\times 0{,}6157\approx 5{,}5$ cm. L'inconnue était au numérateur, on a donc MULTIPLIÉ. Contrôle immédiat : $5{,}5<9$, un côté de l'angle droit ne peut pas dépasser l'hypoténuse.

2) Ici $[DE]$ est le côté adjacent à $\widehat{E}$ et $[EF]$ est l'hypoténuse, donc $\cos(64°)=\dfrac{4{,}5}{EF}$. L'inconnue est au DÉNOMINATEUR : on divise, $EF=\dfrac{4{,}5}{\cos(64°)}\approx\dfrac{4{,}5}{0{,}4384}\approx 10{,}3$ cm. Contrôle : $10{,}3>4{,}5$, c'est bien une hypoténuse.

3) Même configuration : $[GH]$ est adjacent à $\widehat{H}$ et $[HI]$ est l'hypoténuse, donc $HI=\dfrac{12}{\cos(25°)}\approx\dfrac{12}{0{,}9063}\approx 13{,}2$ cm. L'angle est petit, le cosinus est proche de $1$, et l'hypoténuse dépasse à peine le côté adjacent : le résultat est cohérent.

4) Parce que $EF$ est l'hypoténuse et doit donc être plus grande que $4{,}5$ cm, alors que la réponse proposée vaut $2{,}0$ cm, soit moins de la moitié. L'erreur vient d'avoir multiplié au lieu de diviser. Elle est systématique et coûte tous les points de la question, alors qu'une seule comparaison la détecte. La bonne habitude est donc de se demander AVANT le calcul si le résultat cherché doit être plus grand ou plus petit que la longueur donnée.

5) Pythagore donne $AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}\approx 81-30{,}70\approx 50{,}30$, donc $AC\approx 7{,}1$ cm. Par le sinus, $AC=9\times\sin(52°)\approx 9\times 0{,}7880\approx 7{,}09$, la même valeur. Les deux chemins mènent au même côté : Pythagore utilise les longueurs, la trigonométrie utilise l'angle. Quand l'énoncé donne un angle, le sinus est plus court, mais il faut conserver $AB$ non arrondi pour ne pas accumuler les erreurs d'arrondi.

6) C'est $\cos(40°)$ le plus grand. Imaginez l'hypoténuse de longueur fixe qui pivote autour de $B$ : plus l'angle se ferme, plus le côté adjacent se couche sur l'hypoténuse et plus le quotient se rapproche de $1$ ; plus l'angle s'ouvre, plus ce côté raccourcit. Le cosinus DÉCROÎT donc quand l'angle grandit, entre $\cos(0°)=1$ et $\cos(90°)=0$. Numériquement, $\cos(40°)\approx 0{,}766$ et $\cos(70°)\approx 0{,}342$.

1) Le côté $[AC]$ ne touche pas $B$ : il est OPPOSÉ à $\widehat{B}$, et $[BC]$ est l'hypoténuse. On écrit donc $\sin(37°)=\dfrac{AC}{14}$, d'où $AC=14\times\sin(37°)\approx 14\times 0{,}6018\approx 8{,}4$ cm. L'inconnue est au numérateur, on multiplie.

2) Le côté $[KM]$ ne touche pas $L$, il est donc opposé à $\widehat{L}$, et $[LM]$ est l'hypoténuse : $\sin(28°)=\dfrac{6}{LM}$, donc $LM=\dfrac{6}{\sin(28°)}\approx\dfrac{6}{0{,}4695}\approx 12{,}8$ cm. On divise, et l'hypoténuse trouvée est bien supérieure à $6$ cm.

3) Même situation : $[PR]$ est opposé à $\widehat{Q}$ et $[QR]$ est l'hypoténuse, donc $QR=\dfrac{9{,}2}{\sin(55°)}\approx\dfrac{9{,}2}{0{,}8192}\approx 11{,}2$ cm.

4) $[AB]$ est adjacent à $\widehat{B}$, donc $AB=14\times\cos(37°)\approx 11{,}2$ cm. Alors $AB^{2}+AC^{2}\approx 125{,}0+71{,}0=196=14^{2}$, c'est-à-dire $BC^{2}$. Pythagore est retrouvé, et ce n'est pas une coïncidence : l'exercice 7 démontre que $\cos^{2}+\sin^{2}=1$, ce qui est exactement Pythagore écrit avec des rapports.

5) Sa calculatrice est en mode RADIANS. Elle a calculé le sinus de $37$ radians, qui vaut environ $-0{,}6435$, d'où $14\times(-0{,}6435)\approx -9{,}0$. Un résultat négatif est impossible pour une longueur : c'est le signal d'alarme le plus fiable du chapitre. Il faut revenir dans le menu de réglage et choisir le mode degrés, souvent noté $DEG$ ou $D$. Tant que le mode est faux, TOUTES les réponses de la copie sont fausses, ce qui fait de cette vérification la première chose à faire en début d'épreuve.

6) Le sinus est le quotient d'un côté de l'angle droit par l'hypoténuse, et l'hypoténuse est toujours le plus grand côté : le numérateur est donc plus petit que le dénominateur, et le quotient reste sous $1$. Il est strictement positif puisque ce sont deux longueurs. Quand l'angle grandit, le côté opposé s'allonge alors que l'hypoténuse ne change pas, donc le sinus CROÎT, de $\sin(0°)=0$ jusqu'à $\sin(90°)=1$. Le sinus et le cosinus varient donc en sens contraire, ce qui donne un moyen simple de contrôler un résultat : un grand angle a un grand sinus et un petit cosinus.

1) $[AB]$ touche $B$, il est donc adjacent, et $[BC]$ est l'hypoténuse : $\cos(\widehat{B})=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3{,}6}{4{,}5}=0{,}8$. Le côté $[AC]$ ne touche pas $B$, il est opposé : $\sin(\widehat{B})=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{2{,}7}{4{,}5}=0{,}6$. On vérifie au passage que le triangle est bien rectangle : $3{,}6^{2}+2{,}7^{2}=12{,}96+7{,}29=20{,}25=4{,}5^{2}$.

2) Le raisonnement est identique, il suffit de repérer l'angle droit en $E$ : $[FE]$ touche $F$ donc il est adjacent, $[FG]$ est l'hypoténuse, $[EG]$ est opposé. Donc $\cos(\widehat{F})=\dfrac{FE}{FG}=\dfrac{3{,}6}{4{,}5}=0{,}8$ et $\sin(\widehat{F})=\dfrac{EG}{FG}=\dfrac{2{,}7}{4{,}5}=0{,}6$. On retrouve exactement les mêmes valeurs, et les deux angles mesurent environ $36{,}87°$. Retourner la feuille ne change rien : ni les longueurs, ni les angles, ni donc les rapports. L'erreur classique consiste à appeler « horizontal » ce qui est en réalité « adjacent ».

3) $[RT]$ ne touche pas $S$, il est donc OPPOSÉ à $\widehat{S}$, et $[ST]$ est l'hypoténuse : c'est le sinus, avec l'inconnue au numérateur, $RT=ST\times\sin(\widehat{S})$. On multiplie.

4) $[RS]$ touche $S$, il est adjacent, et $[ST]$ est toujours l'hypoténuse : c'est le cosinus, $\cos(\widehat{S})=\dfrac{RS}{ST}$. L'inconnue $ST$ est au DÉNOMINATEUR, donc $ST=\dfrac{RS}{\cos(\widehat{S})}$ et l'on divise. Les questions 3 et 4 portent sur le même triangle et le même angle : seule la place de l'inconnue a changé, et c'est elle seule qui décide entre multiplier et diviser.

5) Non, pas directement, car le sinus et le cosinus ont tous les deux l'hypoténuse au dénominateur, et ici on ne connaît que les deux côtés de l'angle droit. Il faut donc d'abord calculer l'hypoténuse par Pythagore : $ST^{2}=4{,}5^{2}+6^{2}=20{,}25+36=56{,}25$, donc $ST=7{,}5$ cm. On peut alors écrire $\cos(\widehat{S})=\dfrac{4{,}5}{7{,}5}=0{,}6$, d'où $\widehat{S}\approx 53{,}13°$. On aurait aussi pu passer par $\sin(\widehat{S})=\dfrac{6}{7{,}5}=0{,}8$, qui donne le même angle.

6) « J'utilise le COSINUS, et je MULTIPLIE l'hypoténuse par le cosinus de l'angle. » Le tableau complet du chapitre tient en quatre lignes : hypoténuse et angle vers le côté adjacent, on multiplie par le cosinus ; hypoténuse et angle vers le côté opposé, on multiplie par le sinus ; côté adjacent et angle vers l'hypoténuse, on divise par le cosinus ; côté opposé et angle vers l'hypoténuse, on divise par le sinus.

1) Le côté $[AB]$ est adjacent à $\widehat{B}$ et $[BC]$ est l'hypoténuse, donc $\cos(\widehat{B})=\dfrac{5}{13}\approx 0{,}3846$. La calculatrice, en mode degrés, donne alors $\widehat{B}\approx 67{,}4°$. Contrôle : le rapport est petit, donc l'angle est grand, ce qui est cohérent.

2) Pythagore donne $AC^{2}=13^{2}-5^{2}=169-25=144$, donc $AC=12$ cm ; on reconnaît le triplet $5$, $12$, $13$. Pour $\widehat{C}$, le côté adjacent est $[AC]$, donc $\cos(\widehat{C})=\dfrac{12}{13}\approx 0{,}9231$ et $\widehat{C}\approx 22{,}6°$.

3) $67{,}4+22{,}6=90{,}0$. C'était prévisible parce que la somme des angles d'un triangle vaut $180°$ et que l'angle en $A$ en occupe déjà $90$ : il ne reste que $90°$ à partager entre les deux angles aigus. C'est un excellent contrôle de copie, car il détecte à la fois une touche inverse mal utilisée et un rapport renversé.

4) Le triangle est rectangle et isocèle. Pythagore donne $EF^{2}=49+49=98$, donc $EF=\sqrt{98}=7\sqrt{2}\approx 9{,}9$ cm. Comme les deux angles aigus sont égaux et que leur somme vaut $90°$, chacun vaut $45°$ : aucune calculatrice n'est nécessaire. On peut le vérifier autrement, $\cos(\widehat{E})=\dfrac{7}{7\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx 0{,}707$, qui est bien le cosinus de $45°$.

5) Parce qu'aucun angle aigu n'a un sinus supérieur à $1$ : ce serait un côté de l'angle droit plus long que l'hypoténuse, ce qui est impossible. La calculatrice ne trouve donc aucun angle et affiche une erreur de domaine. Ce message est en fait une bonne nouvelle, il révèle qu'une longueur a été placée au mauvais endroit dans la fraction, presque toujours parce que l'hypoténuse a été écrite au numérateur.

6) Prenez un triangle équilatéral de côté $2$ et coupez-le en deux par une hauteur. On obtient un triangle rectangle dont l'hypoténuse mesure $2$, dont le petit côté mesure $1$ et dont les angles valent $30°$, $60°$ et $90°$. Le côté de longueur $1$ est opposé à l'angle de $30°$, donc $\sin(30°)=\dfrac{1}{2}=0{,}5$ : l'angle cherché mesure $30°$. La même figure donne $\cos(30°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866$, $\sin(60°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\cos(60°)=0{,}5$, quatre valeurs qui reviennent sans cesse et qu'il vaut mieux savoir reconstruire que retenir.

1) La somme des angles d'un triangle vaut $180°$. L'angle en $A$ est droit et vaut $90°$, donc $\widehat{B}+\widehat{C}=180-90=90°$. Deux angles dont la somme vaut $90°$ sont dits complémentaires : dans un triangle rectangle, les deux angles aigus le sont toujours.

2) Le côté $[AB]$ touche $B$ et ne touche pas $C$ : il est donc adjacent à $\widehat{B}$ et opposé à $\widehat{C}$. L'hypoténuse $[BC]$, elle, est la même pour les deux angles. Donc $\cos(\widehat{B})=\dfrac{AB}{BC}$ et $\sin(\widehat{C})=\dfrac{AB}{BC}$ : ce sont littéralement la même fraction, lue depuis deux sommets différents. De la même manière $\sin(\widehat{B})=\cos(\widehat{C})=\dfrac{AC}{BC}$. Comme $\widehat{C}=90°-\widehat{B}$, on retient la règle sous la forme $\cos(x)=\sin(90°-x)$.

3) $\sin(\widehat{C})=\cos(\widehat{B})=0{,}28$, sans aucun calcul. Ensuite $\widehat{B}\approx 73{,}7°$ à la calculatrice, et $\widehat{C}=90-73{,}7=16{,}3°$. On peut vérifier directement que l'angle dont le sinus vaut $0{,}28$ mesure bien $16{,}3°$, ce qui confirme les deux résultats d'un coup. Le cosinus est petit, donc $\widehat{B}$ est grand, et son complémentaire est petit : le contrôle qualitatif fonctionne.

4) $\cos(35°)=\sin(55°)$, car $90-35=55$. $\sin(72°)=\cos(18°)$, car $90-72=18$. $\cos(45°)=\sin(45°)$, car $45$ est son propre complémentaire. Aucune calculatrice n'est utile : il s'agit chaque fois de compléter à $90$.

5) C'est faux. $\sin(20°)\approx 0{,}342$ et $\sin(40°)\approx 0{,}643$, alors que le double de $0{,}342$ vaut $0{,}684$. L'écart, environ $0{,}041$, est petit mais bien réel, et il grandit avec l'angle : $\sin(80°)\approx 0{,}985$ n'est pas le double de $\sin(40°)$, qui donnerait $1{,}286$, un nombre supérieur à $1$ donc impossible pour un sinus. Le sinus croît, mais de moins en moins vite ; il n'est PAS proportionnel à l'angle. C'est la raison profonde pour laquelle on a besoin d'une calculatrice ou d'une table.

6) C'est $45°$. Si $\cos(\widehat{B})=\sin(\widehat{B})$, alors $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC}{BC}$, donc $AB=AC$ : le triangle est rectangle ISOCÈLE. Ses deux angles aigus sont alors égaux, et comme leur somme vaut $90°$, chacun mesure $45°$. On peut aussi le lire sur la règle $\cos(x)=\sin(90°-x)$ : l'égalité $\sin(x)=\sin(90°-x)$ impose $x=90-x$, donc $x=45$. La valeur commune est $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}707$.

1) L'hypoténuse est $[BC]$, le côté adjacent à $\widehat{B}$ est $[AB]$ et le côté opposé est $[AC]$. Donc $\cos(\widehat{B})=\dfrac{AB}{BC}$ et $\sin(\widehat{B})=\dfrac{AC}{BC}$.

2) En élevant au carré, $\cos^{2}(\widehat{B})+\sin^{2}(\widehat{B})=\dfrac{AB^{2}}{BC^{2}}+\dfrac{AC^{2}}{BC^{2}}=\dfrac{AB^{2}+AC^{2}}{BC^{2}}$. Or le triangle est rectangle en $A$, donc Pythagore donne $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$, et la fraction vaut $\dfrac{BC^{2}}{BC^{2}}=1$. On obtient la relation $\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1$, valable pour tout angle aigu $x$. Ce n'est rien d'autre que Pythagore, écrit après division par $BC^{2}$ : la figure du corrigé montre le même triangle réduit pour que l'hypoténuse mesure $1$, ses deux autres côtés mesurant alors précisément $\cos(\widehat{B})$ et $\sin(\widehat{B})$.

3) $\sin^{2}(\widehat{B})=1-0{,}6^{2}=1-0{,}36=0{,}64$, donc $\sin(\widehat{B})=\sqrt{0{,}64}=0{,}8$, la racine positive puisqu'un sinus d'angle aigu est positif. On reconnaît le triangle $3$, $4$, $5$ agrandi.

4) $\cos^{2}(\widehat{C})=1-\left(\dfrac{5}{13}\right)^{2}=1-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}$, donc $\cos(\widehat{C})=\dfrac{12}{13}$. Garder la forme fractionnaire évite tout arrondi, et l'on retrouve le triplet $5$, $12$, $13$ déjà rencontré à l'exercice 5.

5) On calcule $0{,}7^{2}+0{,}8^{2}=0{,}49+0{,}64=1{,}13$, alors que la somme devrait valoir exactement $1$. Les deux valeurs sont donc incompatibles : elles ne peuvent pas être le cosinus et le sinus d'un même angle. En réalité un cosinus de $0{,}7$ correspond à $45{,}6°$ tandis qu'un sinus de $0{,}8$ correspond à $53{,}1°$, deux angles différents. Cette vérification en une ligne détecte immédiatement un rapport recopié de travers.

6) Pour $23°$ : $\cos(23°)\approx 0{,}9205$ et $\sin(23°)\approx 0{,}3907$, dont les carrés donnent $0{,}8473+0{,}1527=1$. Pour $67°$ : $\cos(67°)\approx 0{,}3907$ et $\sin(67°)\approx 0{,}9205$. Les deux lignes contiennent exactement les mêmes nombres, échangés, parce que $23$ et $67$ sont complémentaires : c'est la règle de l'exercice 6 qui réapparaît. La relation $\cos^{2}+\sin^{2}=1$ est donc automatiquement vraie pour l'un dès qu'elle l'est pour l'autre.

1) FAUX. Le sinus d'un angle aigu est le quotient du côté opposé par l'hypoténuse, et l'hypoténuse est toujours le plus grand côté d'un triangle rectangle. Le numérateur est donc plus petit que le dénominateur, quel que soit l'allongement du triangle. Énoncé correct : le sinus d'un angle aigu est toujours strictement compris entre $0$ et $1$. Une valeur supérieure à $1$ signale une fraction renversée, jamais un triangle particulier.

2) FAUX. On multiplie seulement si l'inconnue est au NUMÉRATEUR, c'est-à-dire quand on cherche le côté adjacent en connaissant l'hypoténuse. Si l'inconnue est l'hypoténuse, elle se trouve au dénominateur et l'on DIVISE. Énoncé correct : de $\cos(x)=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ on tire adjacent $=$ hypoténuse $\times\cos(x)$, et hypoténuse $=\dfrac{\text{adjacent}}{\cos(x)}$.

3) FAUX. « Opposé » n'est pas une propriété du segment, c'est une position par rapport à un angle choisi. Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, le côté $[AC]$ est opposé à $\widehat{B}$ mais adjacent à $\widehat{C}$. Énoncé correct : avant de nommer un côté, il faut dire de quel angle on parle ; le même segment sert au sinus d'un angle et au cosinus de l'autre.

4) FAUX. Un agrandissement de rapport $2$ multiplie les deux longueurs de la fraction par $2$, et ces facteurs se simplifient : $\dfrac{2\times 3}{2\times 5}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$. Le rapport ne bouge pas, donc l'angle non plus. Énoncé correct : le cosinus et le sinus ne dépendent QUE de l'angle, jamais de la taille du triangle. C'est précisément ce qui rend une table trigonométrique utilisable pour tous les triangles à la fois.

5) FAUX. On a $\cos(60°)=0{,}5$ et $\cos(30°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866$, dont la somme vaut environ $1{,}366$, alors que $\cos(90°)=0$. Énoncé correct : le cosinus ne se distribue pas sur l'addition, et $\cos(a+b)$ n'a aucune raison d'être égal à $\cos(a)+\cos(b)$. C'est la même erreur que d'écrire $\sqrt{9+16}=\sqrt{9}+\sqrt{16}$, qui donnerait $7$ au lieu de $5$.