Exercices corrigés : configurations du plan et trigonométrie (Seconde)

L'hypoténuse est $[RT]$, opposée à $S$ : $RT^{2}=RS^{2}+ST^{2}=81+16=97$, donc $RT=\sqrt{97}\approx 9{,}85$.

L'hypoténuse est $[KM]$, opposée à $L$ : $KM^{2}=KL^{2}+LM^{2}$, donc $LM^{2}=121-36=85$ et $LM=\sqrt{85}\approx 9{,}22$. Piège : additionner, $\sqrt{157}\approx 12{,}53$, plus long que l'hypoténuse, ce qui est impossible.

Le plus grand côté est $26$ : $26^{2}=676$, alors que $7^{2}+24^{2}=49+576=625$. Comme $625\neq 676$, le triangle n'est PAS rectangle. Piège : reconnaître de mémoire le triplet $7$, $24$, $25$ ; ici le troisième côté vaut $26$, et $625=25^{2}$ seulement.

Par rapport à l'angle $\widehat{E}$, $[DE]$ est le côté adjacent et $[EF]$ l'hypoténuse : $\cos 48^{\circ}=\frac{DE}{13}$, donc $DE=13\cos 48^{\circ}\approx 8{,}70$.

Par rapport à l'angle $\widehat{G}$, $[HI]$ est le côté opposé et $[GI]$ l'hypoténuse : $\sin 31^{\circ}=\frac{4{,}2}{GI}$, donc $GI=\frac{4{,}2}{\sin 31^{\circ}}\approx 8{,}15$. Piège : multiplier, $4{,}2\times\sin 31^{\circ}\approx 2{,}16$, plus court que le côté $HI$ lui-même ; l'hypoténuse est toujours le plus long côté.

Par rapport à l'angle $\widehat{J}$, $[KL]$ est le côté opposé et $[JK]$ le côté adjacent : $\tan 63^{\circ}=\frac{KL}{6{,}4}$, donc $KL=6{,}4\tan 63^{\circ}\approx 12{,}56$.

Par rapport à l'angle $\widehat{U}$, on connaît le côté adjacent $UV=5$ et l'hypoténuse $UW=9$ : $\cos\widehat{U}=\frac{5}{9}$, donc $\widehat{VUW}\approx 56{,}3^{\circ}$ par la touche cosinus INVERSE. Piège : prendre $\sin\widehat{U}=\frac{5}{9}$, qui donne $33{,}7^{\circ}$, l'autre angle aigu.

Par rapport à l'angle $\widehat{X}$, $YZ=4$ est le côté opposé et $XY=7{,}5$ le côté adjacent : $\tan\widehat{X}=\frac{4}{7{,}5}$, donc $\widehat{YXZ}\approx 28{,}1^{\circ}$. Piège : $\tan\widehat{X}=\frac{7{,}5}{4}$, qui donne $61{,}9^{\circ}$, l'angle en $Z$.

Thalès dans les triangles $AMN$ et $ABC$ : $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$, donc $MN=6\times\frac{3}{7{,}5}=6\times 0{,}4=2{,}4$. Piège : prendre $\frac{AM}{MB}=\frac{3}{4{,}5}$, ce qui donne $4$ ; les rapports de Thalès comparent des longueurs mesurées DEPUIS le point commun $A$.

Configuration en papillon, de sommet $O$ : $\frac{OD}{OE}=\frac{DF}{EG}$, donc $DF=2{,}4\times\frac{4{,}5}{3}=2{,}4\times 1{,}5=3{,}6$. Piège : renverser le rapport, $2{,}4\times\frac{3}{4{,}5}=1{,}6$ ; le côté $DF$ est du côté de $D$, donc il va avec $OD$.

L'angle droit étant en $A$, l'HYPOTÉNUSE est le côté qui lui est opposé, à savoir $[BC]$. Le théorème de Pythagore s'écrit donc $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=25+144=169$, d'où $BC=13$ cm. On reconnaît le triplet pythagoricien $(5\,;\,12\,;\,13)$.

Ici l'angle droit est en $E$, donc l'hypoténuse est $[DF]$ et non $[EF]$ : c'est le côté le plus long, et l'énoncé donne bien $DF=25>DE=7$. L'égalité s'écrit $DF^{2}=DE^{2}+EF^{2}$, soit $625=49+EF^{2}$, donc $EF^{2}=576$ et $EF=24$ cm. IDENTIFIER l'hypoténuse avant de poser l'égalité est l'étape décisive, et l'inversion produirait ici $\sqrt{674}$, valeur absurde puisque supérieure à l'hypoténuse.

On applique la RÉCIPROQUE, qui exige de repérer d'abord le plus grand côté, ici $41$. On compare : $9^{2}+40^{2}=81+1\,600=1\,681$ et $41^{2}=1\,681$. Les deux quantités sont ÉGALES, donc le triangle est rectangle, et son angle droit est opposé au côté de longueur $41$. Il faut nommer la réciproque et préciser où se trouve l'angle droit, sans quoi la réponse est incomplète.

Le plus grand côté est $11$. On compare : $6^{2}+8^{2}=36+64=100$ et $11^{2}=121$. Comme $121\neq 100$, le triangle n'est PAS rectangle. On peut aller plus loin : $121>100$ signifie que le plus grand côté est plus long que dans le cas rectangle, donc l'angle qui lui est opposé est OBTUS. Si l'on avait trouvé une somme supérieure au carré, l'angle aurait été aigu.

Par rapport à l'angle $\widehat{B}$, le côté $[AC]$ est OPPOSÉ et le côté $[AB]$ est ADJACENT : c'est donc la tangente qui les relie, puisqu'elle est le quotient de l'opposé par l'adjacent. On écrit $\tan 35^{\circ}=\frac{AC}{AB}$, donc $AC=8\times\tan 35^{\circ}\approx 8\times 0{,}7002\approx 5{,}60$ cm. Le choix de la fonction se fait toujours ainsi, en nommant d'abord la position des deux côtés connus.

PREMIÈRE méthode, avec le cosinus, qui relie l'adjacent à l'hypoténuse : $\cos 35^{\circ}=\frac{AB}{BC}$, donc $BC=\frac{8}{\cos 35^{\circ}}\approx\frac{8}{0{,}8192}\approx 9{,}77$ cm. SECONDE méthode, avec le sinus, une fois $AC$ connu : $\sin 35^{\circ}=\frac{AC}{BC}$, donc $BC=\frac{5{,}60}{\sin 35^{\circ}}\approx 9{,}76$ cm. Les deux concordent à un centième près : c'est l'arrondi de a) qui se propage, et c'est pourquoi la première méthode, qui n'utilise que des données de l'énoncé, est préférable.

Avec les valeurs arrondies, $AB^{2}+AC^{2}\approx 64+5{,}60^{2}=95{,}36$ et $BC^{2}\approx 9{,}77^{2}\approx 95{,}45$ ; avec les valeurs non arrondies de la calculatrice, les deux membres valent $95{,}38$. L'égalité de Pythagore est vérifiée aux arrondis près, ce qui valide les deux calculs précédents. Ce contrôle croisé est gratuit et détecte immédiatement une confusion entre sinus et cosinus.

Aucune calculatrice n'est nécessaire : dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont COMPLÉMENTAIRES, puisque leur somme vaut $180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$. Donc $\widehat{ACB}=90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}$.

Par rapport à $\widehat{B}$, le côté $[AC]$ est opposé et $[AB]$ adjacent : $\tan\widehat{B}=\frac{AC}{AB}=\frac{7}{4}=1{,}75$. Donc $\widehat{B}=\arctan(1{,}75)\approx 60{,}3^{\circ}$. Sur la calculatrice, c'est la touche TANGENTE INVERSE qu'il faut employer, et non une division par la tangente : $\frac{1{,}75}{\tan}$ n'a aucun sens.

$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=4^{2}+7^{2}=16+49=65$, donc $BC=\sqrt{65}\approx 8{,}06$ cm. La valeur EXACTE $\sqrt{65}$ est préférable dans les calculs suivants, pour éviter d'accumuler les arrondis : c'est elle qu'on reportera à la question c).

Par rapport à $\widehat{C}$, le côté $[AC]$ est adjacent et $[BC]$ est l'hypoténuse : $\cos\widehat{C}=\frac{AC}{BC}=\frac{7}{\sqrt{65}}\approx 0{,}8682$. Donc $\widehat{C}\approx 29{,}7^{\circ}$. On remarquera que le même côté $[AC]$ était OPPOSÉ à $\widehat{B}$ en a) et se trouve ADJACENT à $\widehat{C}$ ici : la position d'un côté n'est jamais absolue, elle dépend de l'angle considéré.

La somme des deux angles aigus vaut environ $60{,}3+29{,}7=90{,}0^{\circ}$ ✓, ce qui est bien la propriété attendue dans un triangle rectangle. Le calcul est donc cohérent, et l'on aurait d'ailleurs pu obtenir $\widehat{C}$ par simple soustraction, sans passer par le cosinus.

La configuration étant celle de deux droites sécantes en $A$ coupées par deux parallèles, le théorème de Thalès donne les trois rapports égaux $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$. Le coefficient vaut $\frac{AM}{AB}=\frac{6}{4}=1{,}5$ : le triangle $AMN$ est donc un AGRANDISSEMENT de rapport $1{,}5$ du triangle $ABC$, ce qui est cohérent avec l'ordre des points, $M$ étant au-delà de $B$.

On multiplie chaque longueur du petit triangle par le rapport : $AN=1{,}5\times AC=1{,}5\times 6=9$ cm et $MN=1{,}5\times BC=1{,}5\times 5=7{,}5$ cm. Contrôle de plausibilité : les deux longueurs obtenues doivent être PLUS GRANDES que leurs homologues, puisque le rapport dépasse $1$, et c'est bien le cas ✓.

Dans un agrandissement de rapport $k$, les aires sont multipliées par $k^{2}$ et non par $k$. Ici $k=1{,}5$, donc l'aire est multipliée par $1{,}5^{2}=2{,}25$. Autrement dit, augmenter les longueurs de $50\ \%$ augmente l'aire de $125\ \%$, et non de $50\ \%$. La raison est qu'une aire est un produit de DEUX longueurs, chacune multipliée par $k$.

On compare les deux rapports : $\frac{AM}{AB}=\frac{6}{4}=1{,}5$ et $\frac{AN}{AC}=\frac{8}{6}\approx 1{,}33$. Ils sont DIFFÉRENTS, donc d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles. Pour qu'elles le soient, il aurait fallu $AN=1{,}5\times 6=9$ et non $8$.

La droite $(BC)$ joint $(0\,;\,0)$ à $(6\,;\,0)$ : c'est donc l'AXE DES ABSCISSES, d'équation $y=0$. Le projeté orthogonal de $A$ s'obtient en abaissant la perpendiculaire, c'est-à-dire ici en conservant l'abscisse et en annulant l'ordonnée : $H\,(2\,;\,0)$. La simplicité vient entièrement du choix du repère, où la droite est horizontale.

$AH=\sqrt{(2-2)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{0+16}=4$. La distance du point $A$ à la droite $(BC)$ vaut donc $4$. Par définition, la distance d'un point à une droite est celle qui le sépare de son PROJETÉ, et non d'un point quelconque de la droite.

$AB=\sqrt{(2-0)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\approx 4{,}47$ et $AC=\sqrt{(2-6)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}\approx 5{,}66$. Les deux sont strictement SUPÉRIEURES à $AH=4$ : le projeté orthogonal est bien le point de la droite le plus proche de $A$, propriété que l'exercice 8 démontrera en général.

La base $[BC]$ mesure $6$ et la hauteur associée est précisément $AH=4$. L'aire vaut donc $\frac{6\times 4}{2}=12$ unités d'aire. C'est justement parce que la hauteur d'un triangle est la DISTANCE d'un sommet à la droite opposée que le projeté orthogonal intervient dans le calcul d'aire, et non par une coïncidence de vocabulaire.

On travaille dans le triangle rectangle formé par l'œil, le point de l'immeuble situé à la HAUTEUR DES YEUX, et le sommet. Le côté adjacent à l'angle de visée mesure $45$ m et le côté opposé est la hauteur cherchée : $h=45\times\tan 58^{\circ}\approx 45\times 1{,}6003\approx 72{,}02$ m. Il est essentiel de bien situer ce triangle, dont le sommet inférieur n'est pas au sol.

L'immeuble monte du sol jusqu'au sommet, ce qui fait la hauteur trouvée en a) PLUS la hauteur des yeux : $72{,}02+1{,}65\approx 73{,}67$ m. Oublier les $1{,}65$ m est l'erreur classique de ce type d'énoncé, et elle n'est pas négligeable : elle représente ici plus de deux pour cent de la réponse.

La distance de l'œil au sommet est l'HYPOTÉNUSE du même triangle, qu'on obtient par le cosinus : $d=\frac{45}{\cos 58^{\circ}}\approx\frac{45}{0{,}5299}\approx 84{,}92$ m. Contrôle par Pythagore : $45^{2}+72{,}02^{2}\approx 2\,025+5\,187=7\,212$ et $84{,}92^{2}\approx 7\,211$ ✓.

La hauteur au-dessus des yeux ne change évidemment pas, seule la distance au pied augmente : elle passe à $45+20=65$ m. Le nouvel angle vérifie $\tan\alpha=\frac{72{,}02}{65}\approx 1{,}108$, donc $\alpha\approx 47{,}9^{\circ}$. Reculer de vingt mètres fait donc perdre environ dix degrés de visée.

Par définition d'une hauteur, la droite $(AH)$ est perpendiculaire à $(BC)$, donc le triangle $ABH$ est rectangle EN $H$. Pythagore donne $AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}=144+25=169$, d'où $AB=13$ cm. On retrouve le triplet $(5\,;\,12\,;\,13)$ de l'exercice 1.

De même, le triangle $AHC$ est rectangle en $H$ : $AC^{2}=AH^{2}+HC^{2}=144+256=400$, d'où $AC=20$ cm. On reconnaît cette fois le triplet $(12\,;\,16\,;\,20)$, qui est $(3\,;\,4\,;\,5)$ multiplié par quatre. La hauteur a donc découpé le triangle en deux triangles rectangles à valeurs entières, ce qui n'est possible qu'avec des données choisies.

Le point $H$ appartenant au segment, $BC=BH+HC=5+16=21$ cm. On compare alors $AB^{2}+AC^{2}=169+400=569$ et $BC^{2}=441$. Comme $569\neq 441$, le triangle $ABC$ n'est PAS rectangle en $A$. Comme de plus $441<569$, l'angle en $A$ est aigu, d'après le critère de l'exercice 1.

Dans le triangle $ABH$ : $\tan\widehat{ABH}=\frac{AH}{BH}=\frac{12}{5}=2{,}4$, donc $\widehat{ABC}\approx 67{,}38^{\circ}$. Dans le triangle $AHC$ : $\tan\widehat{ACH}=\frac{AH}{HC}=\frac{12}{16}=0{,}75$, donc $\widehat{ACB}\approx 36{,}87^{\circ}$. La somme des angles d'un triangle valant $180^{\circ}$, on obtient $\widehat{BAC}\approx 180-67{,}38-36{,}87\approx 75{,}75^{\circ}$, bien aigu ✓, ce qui confirme la question c) par une voie indépendante. L'aire vaut enfin $\frac{BC\times AH}{2}=\frac{21\times 12}{2}=126$ cm².

Par définition, $\cos\widehat{B}=\frac{AB}{BC}$ et $\sin\widehat{B}=\frac{AC}{BC}$, l'hypoténuse étant $[BC]$. Donc $\cos^{2}\widehat{B}+\sin^{2}\widehat{B}=\frac{AB^{2}}{BC^{2}}+\frac{AC^{2}}{BC^{2}}=\frac{AB^{2}+AC^{2}}{BC^{2}}$. Or le théorème de Pythagore donne $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$, donc le quotient vaut $\frac{BC^{2}}{BC^{2}}=1$. La relation fondamentale n'est ainsi rien d'autre que PYTHAGORE divisé par $BC^{2}$, ce qui explique qu'elle soit toujours vraie.