Exercices corrigés : configurations du plan et trigonométrie (Seconde)

a) L'angle droit étant en $A$, l'HYPOTÉNUSE est le côté qui lui est opposé, à savoir $[BC]$. Le théorème de Pythagore s'écrit donc $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=25+144=169$, d'où $BC=13$ cm. On reconnaît le triplet pythagoricien $(5\,;\,12\,;\,13)$.

b) Ici l'angle droit est en $E$, donc l'hypoténuse est $[DF]$ et non $[EF]$ : c'est le côté le plus long, et l'énoncé donne bien $DF=25>DE=7$. L'égalité s'écrit $DF^{2}=DE^{2}+EF^{2}$, soit $625=49+EF^{2}$, donc $EF^{2}=576$ et $EF=24$ cm. IDENTIFIER l'hypoténuse avant de poser l'égalité est l'étape décisive, et l'inversion produirait ici $\sqrt{674}$, valeur absurde puisque supérieure à l'hypoténuse.

c) On applique la RÉCIPROQUE, qui exige de repérer d'abord le plus grand côté, ici $41$. On compare : $9^{2}+40^{2}=81+1\,600=1\,681$ et $41^{2}=1\,681$. Les deux quantités sont ÉGALES, donc le triangle est rectangle, et son angle droit est opposé au côté de longueur $41$. Il faut nommer la réciproque et préciser où se trouve l'angle droit, sans quoi la réponse est incomplète.

d) Le plus grand côté est $11$. On compare : $6^{2}+8^{2}=36+64=100$ et $11^{2}=121$. Comme $121\neq 100$, le triangle n'est PAS rectangle. On peut aller plus loin : $121>100$ signifie que le plus grand côté est plus long que dans le cas rectangle, donc l'angle qui lui est opposé est OBTUS. Si l'on avait trouvé une somme supérieure au carré, l'angle aurait été aigu.

Le tableau complet vaut d'être retenu, car il donne trois fois plus d'information que le simple test de Pythagore, pour le même calcul. En notant $c$ le plus grand côté : si $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ le triangle est rectangle ; si $a^{2}+b^{2}>c^{2}$ le plus grand angle est aigu, donc le triangle est acutangle ; si $a^{2}+b^{2}<c^{2}$ il est obtusangle. Un contrôle préalable s'impose d'ailleurs avant toute chose, celui de l'INÉGALITÉ TRIANGULAIRE : le plus grand côté doit rester inférieur à la somme des deux autres, faute de quoi le triangle n'existe pas. Ici $11<6+8=14$ ✓, le triangle est bien constructible.

a) Par rapport à l'angle $\widehat{B}$, le côté $[AC]$ est OPPOSÉ et le côté $[AB]$ est ADJACENT : c'est donc la tangente qui les relie, puisqu'elle est le quotient de l'opposé par l'adjacent. On écrit $\tan 35^{\circ}=\frac{AC}{AB}$, donc $AC=8\times\tan 35^{\circ}\approx 8\times 0{,}7002\approx 5{,}60$ cm. Le choix de la fonction se fait toujours ainsi, en nommant d'abord la position des deux côtés connus.

b) PREMIÈRE méthode, avec le cosinus, qui relie l'adjacent à l'hypoténuse : $\cos 35^{\circ}=\frac{AB}{BC}$, donc $BC=\frac{8}{\cos 35^{\circ}}\approx\frac{8}{0{,}8192}\approx 9{,}77$ cm. SECONDE méthode, avec le sinus, une fois $AC$ connu : $\sin 35^{\circ}=\frac{AC}{BC}$, donc $BC=\frac{5{,}60}{\sin 35^{\circ}}\approx 9{,}77$ cm ✓. Les deux concordent, mais la première est préférable car elle n'utilise que des données de l'énoncé, sans propager l'arrondi de a).

c) $AB^{2}+AC^{2}\approx 64+31{,}38\approx 95{,}38$ et $BC^{2}\approx 9{,}77^{2}\approx 95{,}38$. L'égalité de Pythagore est vérifiée aux arrondis près, ce qui valide les deux calculs précédents. Ce contrôle croisé est gratuit et détecte immédiatement une confusion entre sinus et cosinus.

d) Aucune calculatrice n'est nécessaire : dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont COMPLÉMENTAIRES, puisque leur somme vaut $180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$. Donc $\widehat{ACB}=90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}$.

La question d) prépare une propriété utile, démontrée à l'exercice 8 : $\sin 35^{\circ}=\cos 55^{\circ}$, car le même côté est opposé à l'un des angles et adjacent à l'autre. Cela explique aussi pourquoi les tables trigonométriques anciennes ne dépassaient jamais $45^{\circ}$, la seconde moitié s'en déduisant. Sur le plan de la méthode, l'exercice montre qu'il faut TOUJOURS commencer par nommer les côtés relativement à l'angle considéré, avant de choisir entre sinus, cosinus et tangente. Un moyen mnémotechnique existe, mais un petit schéma coté avec les mots opposé, adjacent et hypoténuse écrits dessus est bien plus fiable.

a) Par rapport à $\widehat{B}$, le côté $[AC]$ est opposé et $[AB]$ adjacent : $\tan\widehat{B}=\frac{AC}{AB}=\frac{7}{4}=1{,}75$. Donc $\widehat{B}=\arctan(1{,}75)\approx 60{,}3^{\circ}$. Sur la calculatrice, c'est la touche TANGENTE INVERSE qu'il faut employer, et non une division par la tangente : $\frac{1{,}75}{\tan}$ n'a aucun sens.

b) $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=4^{2}+7^{2}=16+49=65$, donc $BC=\sqrt{65}\approx 8{,}06$ cm. La valeur EXACTE $\sqrt{65}$ est préférable dans les calculs suivants, pour éviter d'accumuler les arrondis : c'est elle qu'on reportera à la question c).

c) Par rapport à $\widehat{C}$, le côté $[AC]$ est adjacent et $[BC]$ est l'hypoténuse : $\cos\widehat{C}=\frac{AC}{BC}=\frac{7}{\sqrt{65}}\approx 0{,}8682$. Donc $\widehat{C}\approx 29{,}7^{\circ}$. On remarquera que le même côté $[AC]$ était OPPOSÉ à $\widehat{B}$ en a) et se trouve ADJACENT à $\widehat{C}$ ici : la position d'un côté n'est jamais absolue, elle dépend de l'angle considéré.

d) La somme des deux angles aigus vaut environ $60{,}3+29{,}7=90{,}0^{\circ}$ ✓, ce qui est bien la propriété attendue dans un triangle rectangle. Le calcul est donc cohérent, et l'on aurait d'ailleurs pu obtenir $\widehat{C}$ par simple soustraction, sans passer par le cosinus.

L'exercice illustre le principe du contrôle par une VOIE INDÉPENDANTE, qui est la meilleure garantie contre l'erreur. Calculer $\widehat{C}$ par $90^{\circ}-\widehat{B}$ serait plus rapide, mais ne vérifierait rien : une erreur sur $\widehat{B}$ se propagerait telle quelle. En passant par le cosinus, on utilise d'autres données, $AC$ et $BC$, et la concordance des deux résultats devient une vraie preuve. Une remarque de précision pour finir : en gardant $\sqrt{65}$ exact plutôt que $8{,}06$, on obtient $29{,}745^{\circ}$ au lieu de $29{,}74^{\circ}$, écart insignifiant ici mais qui grandit quand les calculs s'enchaînent, comme le montrera l'exercice 6.

a) La configuration étant celle de deux droites sécantes en $A$ coupées par deux parallèles, le théorème de Thalès donne les trois rapports égaux $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$. Le coefficient vaut $\frac{AM}{AB}=\frac{6}{4}=1{,}5$ : le triangle $AMN$ est donc un AGRANDISSEMENT de rapport $1{,}5$ du triangle $ABC$, ce qui est cohérent avec l'ordre des points, $M$ étant au-delà de $B$.

b) On multiplie chaque longueur du petit triangle par le rapport : $AN=1{,}5\times AC=1{,}5\times 6=9$ cm et $MN=1{,}5\times BC=1{,}5\times 5=7{,}5$ cm. Contrôle de plausibilité : les deux longueurs obtenues doivent être PLUS GRANDES que leurs homologues, puisque le rapport dépasse $1$, et c'est bien le cas ✓.

c) Dans un agrandissement de rapport $k$, les aires sont multipliées par $k^{2}$ et non par $k$. Ici $k=1{,}5$, donc l'aire est multipliée par $1{,}5^{2}=2{,}25$. Autrement dit, augmenter les longueurs de $50\ \%$ augmente l'aire de $125\ \%$, et non de $50\ \%$. La raison est qu'une aire est un produit de DEUX longueurs, chacune multipliée par $k$.

d) On compare les deux rapports : $\frac{AM}{AB}=\frac{6}{4}=1{,}5$ et $\frac{AN}{AC}=\frac{8}{6}\approx 1{,}33$. Ils sont DIFFÉRENTS, donc d'après la contraposée de la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles. Pour qu'elles le soient, il aurait fallu $AN=1{,}5\times 6=9$ et non $8$.

Il faut bien distinguer les trois énoncés, car ils ne servent pas au même usage et l'épreuve les teste séparément. Le théorème DIRECT suppose le parallélisme et en déduit des rapports égaux, c'est ce qui a servi en a) et b) pour calculer des longueurs. La RÉCIPROQUE suppose les rapports égaux, avec les points dans le même ordre, et en déduit le parallélisme. La CONTRAPOSÉE, utilisée en d), constate des rapports différents et en déduit l'absence de parallélisme. Une condition d'ordre est en outre indispensable dans la réciproque : les points doivent être disposés dans le même sens sur les deux droites, faute de quoi la conclusion tombe.

a) La droite $(BC)$ joint $(0\,;\,0)$ à $(6\,;\,0)$ : c'est donc l'AXE DES ABSCISSES, d'équation $y=0$. Le projeté orthogonal de $A$ s'obtient en abaissant la perpendiculaire, c'est-à-dire ici en conservant l'abscisse et en annulant l'ordonnée : $H\,(2\,;\,0)$. La simplicité vient entièrement du choix du repère, où la droite est horizontale.

b) $AH=\sqrt{(2-2)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{0+16}=4$. La distance du point $A$ à la droite $(BC)$ vaut donc $4$. Par définition, la distance d'un point à une droite est celle qui le sépare de son PROJETÉ, et non d'un point quelconque de la droite.

c) $AB=\sqrt{(2-0)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\approx 4{,}47$ et $AC=\sqrt{(2-6)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}\approx 5{,}66$. Les deux sont strictement SUPÉRIEURES à $AH=4$ : le projeté orthogonal est bien le point de la droite le plus proche de $A$, propriété que l'exercice 8 démontrera en général.

d) La base $[BC]$ mesure $6$ et la hauteur associée est précisément $AH=4$. L'aire vaut donc $\frac{6\times 4}{2}=12$ unités d'aire. C'est justement parce que la hauteur d'un triangle est la DISTANCE d'un sommet à la droite opposée que le projeté orthogonal intervient dans le calcul d'aire, et non par une coïncidence de vocabulaire.

Le repère a été choisi pour rendre les calculs immédiats, et il vaut la peine de voir ce qui changerait autrement. Si la droite $(BC)$ n'était pas horizontale, le projeté ne s'obtiendrait plus en annulant une coordonnée : il faudrait écrire l'équation de la perpendiculaire passant par $A$, puis résoudre un système, ce qui prend une demi-page. Cette technique sera vue en Première avec le produit scalaire. En attendant, il faut retenir la propriété caractéristique, seule vraiment portable : parmi tous les points d'une droite, le projeté orthogonal est celui qui MINIMISE la distance, et l'écart avec les autres points croît d'autant plus qu'on s'en éloigne.

a) On travaille dans le triangle rectangle formé par l'œil, le point de l'immeuble situé à la HAUTEUR DES YEUX, et le sommet. Le côté adjacent à l'angle de visée mesure $45$ m et le côté opposé est la hauteur cherchée : $h=45\times\tan 58^{\circ}\approx 45\times 1{,}6003\approx 72{,}02$ m. Il est essentiel de bien situer ce triangle, dont le sommet inférieur n'est pas au sol.

b) L'immeuble monte du sol jusqu'au sommet, ce qui fait la hauteur trouvée en a) PLUS la hauteur des yeux : $72{,}02+1{,}65\approx 73{,}67$ m. Oublier les $1{,}65$ m est l'erreur classique de ce type d'énoncé, et elle n'est pas négligeable : elle représente ici plus de deux pour cent de la réponse.

c) La distance de l'œil au sommet est l'HYPOTÉNUSE du même triangle, qu'on obtient par le cosinus : $d=\frac{45}{\cos 58^{\circ}}\approx\frac{45}{0{,}5299}\approx 84{,}92$ m. Contrôle par Pythagore : $45^{2}+72{,}02^{2}\approx 2\,025+5\,187=7\,212$ et $84{,}92^{2}\approx 7\,211$ ✓.

d) La hauteur au-dessus des yeux ne change évidemment pas, seule la distance au pied augmente : elle passe à $45+20=65$ m. Le nouvel angle vérifie $\tan\alpha=\frac{72{,}02}{65}\approx 1{,}1079$, donc $\alpha\approx 47{,}9^{\circ}$. Reculer de vingt mètres fait donc perdre environ dix degrés de visée.

Deux remarques que ce type de problème appelle toujours. La première concerne la hauteur des yeux : elle ne se rajoute que parce que l'angle est mesuré depuis l'œil, et un énoncé où l'appareil serait posé au sol ne la comporterait pas. Lire attentivement d'où part la visée est donc plus important que le calcul lui-même. La seconde concerne la non-linéarité : reculer de $44\ \%$ ne diminue pas l'angle de $44\ \%$ mais de $17\ \%$ seulement, car la tangente n'est pas proportionnelle à l'angle. C'est aussi pourquoi il faut reculer très loin pour voir un immeuble sous un angle confortable, et pourquoi une photographie prise de trop près déforme les perspectives.

a) Par définition d'une hauteur, la droite $(AH)$ est perpendiculaire à $(BC)$, donc le triangle $ABH$ est rectangle EN $H$. Pythagore donne $AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}=144+25=169$, d'où $AB=13$ cm. On retrouve le triplet $(5\,;\,12\,;\,13)$ de l'exercice 1.

b) De même, le triangle $AHC$ est rectangle en $H$ : $AC^{2}=AH^{2}+HC^{2}=144+256=400$, d'où $AC=20$ cm. On reconnaît cette fois le triplet $(12\,;\,16\,;\,20)$, qui est $(3\,;\,4\,;\,5)$ multiplié par quatre. La hauteur a donc découpé le triangle en deux triangles rectangles à valeurs entières, ce qui n'est possible qu'avec des données choisies.

c) Le point $H$ appartenant au segment, $BC=BH+HC=5+16=21$ cm. On compare alors $AB^{2}+AC^{2}=169+400=569$ et $BC^{2}=441$. Comme $569\neq 441$, le triangle $ABC$ n'est PAS rectangle en $A$. Comme de plus $441<569$, l'angle en $A$ est aigu, d'après le critère de l'exercice 1.

d) Dans le triangle $ABH$ : $\tan\widehat{ABH}=\frac{AH}{BH}=\frac{12}{5}=2{,}4$, donc $\widehat{ABC}\approx 67{,}38^{\circ}$. Dans le triangle $AHC$ : $\tan\widehat{ACH}=\frac{AH}{HC}=\frac{12}{16}=0{,}75$, donc $\widehat{ACB}\approx 36{,}87^{\circ}$. La somme des angles d'un triangle valant $180^{\circ}$, on obtient $\widehat{BAC}\approx 180-67{,}38-36{,}87\approx 75{,}75^{\circ}$, bien aigu ✓, ce qui confirme la question c) par une voie indépendante. L'aire vaut enfin $\frac{BC\times AH}{2}=\frac{21\times 12}{2}=126$ cm².

La méthode centrale de cet exercice est le DÉCOUPAGE : une hauteur transforme un triangle quelconque en deux triangles rectangles accolés, où Pythagore et la trigonométrie redeviennent applicables. C'est le seul moyen, au niveau de la Seconde, de traiter un triangle non rectangle, la loi des cosinus n'étant pas au programme. Il faut donc prendre l'habitude, devant un triangle quelconque, de chercher ou de tracer une hauteur. Un contrôle de cohérence global s'offre en prime : l'aire calculée avec la base $[BC]$ doit coïncider avec la somme des aires des deux triangles rectangles, soit $\frac{5\times 12}{2}+\frac{16\times 12}{2}=30+96=126$ ✓.

a) Par définition, $\cos\widehat{B}=\frac{AB}{BC}$ et $\sin\widehat{B}=\frac{AC}{BC}$, l'hypoténuse étant $[BC]$. Donc $\cos^{2}\widehat{B}+\sin^{2}\widehat{B}=\frac{AB^{2}}{BC^{2}}+\frac{AC^{2}}{BC^{2}}=\frac{AB^{2}+AC^{2}}{BC^{2}}$. Or le théorème de Pythagore donne $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$, donc le quotient vaut $\frac{BC^{2}}{BC^{2}}=1$. La relation fondamentale n'est ainsi rien d'autre que PYTHAGORE divisé par $BC^{2}$, ce qui explique qu'elle soit toujours vraie.

b) $\frac{\sin\widehat{B}}{\cos\widehat{B}}=\frac{AC/BC}{AB/BC}=\frac{AC}{BC}\times\frac{BC}{AB}=\frac{AC}{AB}$, l'hypoténuse se SIMPLIFIANT. Or $\frac{AC}{AB}$ est précisément le rapport du côté opposé sur le côté adjacent, c'est-à-dire $\tan\widehat{B}$ par définition.

c) $\sin\widehat{B}=\frac{AC}{BC}$, côté opposé à $\widehat{B}$ divisé par l'hypoténuse. Et $\cos\widehat{C}=\frac{AC}{BC}$, car $[AC]$ est ADJACENT à l'angle $\widehat{C}$ tandis que $[BC]$ reste l'hypoténuse. Les deux quotients sont identiques, donc $\sin\widehat{B}=\cos\widehat{C}$. Le même segment $[AC]$ est opposé pour un angle et adjacent pour l'autre : c'est toute la subtilité du chapitre, déjà rencontrée à l'exercice 3.

d) Par définition du projeté orthogonal, la droite $(AH)$ est perpendiculaire à $d$. Le point $M$ appartenant à $d$, le triangle $AHM$ est donc rectangle en $H$, et Pythagore donne $AM^{2}=AH^{2}+HM^{2}$. Comme $M\neq H$, on a $HM>0$ donc $HM^{2}>0$, d'où $AM^{2}>AH^{2}$. Les longueurs étant positives, on conclut $AM>AH$. Le projeté orthogonal est donc l'UNIQUE point de $d$ le plus proche de $A$.

Les quatre démonstrations reposent toutes sur Pythagore ou sur la seule définition des rapports trigonométriques, et c'est ce qu'il faut retenir : ces formules ne sont pas des règles supplémentaires à mémoriser, elles se REDÉMONTRENT en trois lignes à partir d'une figure. Cela a une conséquence pratique en contrôle : une formule oubliée se retrouve, à condition d'avoir dessiné le triangle et nommé les côtés. La question d) apporte en outre la justification de tout l'exercice 5 : la distance d'un point à une droite est bien atteinte au projeté, et le minimum y est strict, donc unique.

a) Faux : l'égalité de Pythagore ne vaut QUE dans un triangle rectangle, et à condition que $c$ désigne l'hypoténuse. Contre-exemple pris à l'exercice 1 : le triangle de côtés $6$, $8$ et $11$ vérifie $36+64=100$ alors que $11^{2}=121$. L'affirmation omet donc deux hypothèses à la fois, celle de l'angle droit et celle du rôle de $c$.

b) Faux : le cosinus d'un angle aigu est le quotient du côté adjacent par l'HYPOTÉNUSE. Or l'hypoténuse est le plus grand côté du triangle rectangle, donc ce quotient est toujours strictement compris entre $0$ et $1$. Une valeur de $1{,}2$ signalerait une erreur de calcul ou une confusion avec la TANGENTE, qui elle peut dépasser $1$ : par exemple $\tan 60^{\circ}\approx 1{,}732$. Ce contrôle est immédiat et devrait être fait systématiquement.

c) Faux : par rapport à l'angle $\widehat{B}$, le côté $[AB]$ est ADJACENT et non opposé. On a donc $\cos\widehat{B}=\frac{AB}{BC}$ et $\sin\widehat{B}=\frac{AC}{BC}$. Contre-exemple chiffré : avec $AB=8$, $AC=6$ et $BC=10$, la formule fausse donnerait $\sin\widehat{B}=0{,}8$, soit un angle d'environ $53{,}1^{\circ}$, alors que la vraie valeur est $0{,}6$, soit environ $36{,}9^{\circ}$. L'écart de seize degrés n'a rien d'anodin.

d) Faux : dans un agrandissement de rapport $2$, les longueurs sont multipliées par $2$ mais les aires par $2^{2}=4$. Contre-exemple : un carré de côté $3$ a pour aire $9$ ; un carré de côté $6$ a pour aire $36$, soit QUATRE fois plus. Pour les volumes, le facteur serait $2^{3}=8$ : la règle des aires de l'exercice 4 s'étend ainsi à la troisième dimension.

Les quatre erreurs se répartissent en deux familles. Les affirmations a) et c) oublient une CONDITION : l'angle droit dans un cas, la position du côté dans l'autre, et le remède est de toujours dessiner et nommer avant de calculer. Les affirmations b) et d) relèvent d'un défaut de CONTRÔLE : un cosinus supérieur à $1$ et une aire qui suivrait les longueurs sont deux impossibilités qu'un instant de réflexion suffit à écarter. Une habitude protège des quatre, celle de se demander devant chaque résultat s'il est plausible : un cosinus doit rester dans $[-1\,;\,1]$, un côté doit rester inférieur à l'hypoténuse, une aire doit croître comme le carré des longueurs.

a) Une pente de $5\ \%$ signifie que le rapport de la hauteur à la longueur HORIZONTALE vaut $0{,}05$, et non que l'angle vaut $5$ degrés. On résout $\frac{0{,}80}{L}=0{,}05$, donc $L=\frac{0{,}80}{0{,}05}=16$ mètres. Il faut donc seize mètres de dégagement pour franchir quatre-vingts centimètres, ce qui surprend souvent.

b) L'angle $\alpha$ que fait la rampe avec l'horizontale vérifie $\tan\alpha=0{,}05$, donc $\alpha=\arctan(0{,}05)\approx 2{,}86^{\circ}$. Une rampe conforme est donc presque PLATE, ce qui explique la longueur exigée en a). On notera au passage que $5\ \%$ de pente ne fait pas $5$ degrés, l'écart venant de ce que la tangente n'est pas l'angle.

c) Avec seulement dix mètres, la pente vaut $\frac{0{,}80}{10}=0{,}08$, soit $8\ \%$. C'est supérieur à $5\ \%$ : la norme n'est PAS respectée, et la rampe serait impraticable en fauteuil roulant. L'angle correspondant vaut $\arctan(0{,}08)\approx 4{,}57^{\circ}$.

d) En dix mètres à $5\ \%$, on peut franchir au plus $10\times 0{,}05=0{,}50$ mètre. Il reste donc trente centimètres à rattraper autrement, par exemple par une marche ou par un palier intermédiaire avec un retour d'équerre. Quant à la longueur RÉELLE de la rampe conforme de la question a), c'est l'hypoténuse : $\sqrt{16^{2}+0{,}80^{2}}=\sqrt{256+0{,}64}=\sqrt{256{,}64}\approx 16{,}02$ mètres.

Le dernier calcul mérite le commentaire que l'énoncé demande. La longueur réelle ne dépasse la longueur au sol que de DEUX centimètres, soit un dix-huit-centième : à faible pente, longueur réelle et longueur horizontale sont pratiquement confondues, ce qui justifie que les normes d'accessibilité soient rédigées en pourcentage de longueur horizontale plutôt qu'en longueur de rampe, bien plus difficile à mesurer sur un plan. L'approximation cesse en revanche d'être valable dès que la pente s'élève : à $50\ \%$, l'écart atteindrait déjà $12\ \%$. Sur le fond, l'exercice montre que la contrainte d'accessibilité est d'abord une contrainte de PLACE, et c'est bien ce qui la rend difficile à satisfaire en centre-ville.

a) $\sin^{2}\alpha=1-\cos^{2}\alpha=1-0{,}36=0{,}64$. Comme $\alpha$ est aigu, $\sin\alpha>0$, donc $\sin\alpha=0{,}8$. On ne garde pas $-0{,}8$ : pour un angle aigu, le sinus est un quotient de deux longueurs, donc positif.

b) $\tan\alpha=\frac{0{,}8}{0{,}6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\approx 1{,}33$. Une tangente peut dépasser $1$, contrairement au sinus et au cosinus.

c) À la calculatrice, en mode degrés : $\alpha=\arccos(0{,}6)\approx 53{,}1^{\circ}$. Contrôle : $\arctan\left(\frac{4}{3}\right)\approx 53{,}1^{\circ}$ aussi ✓. On reconnaît le triangle $(3\,;4\,;5)$ : $\cos\alpha=\frac{3}{5}$ et $\sin\alpha=\frac{4}{5}$.

d) La diagonale coupe le carré en deux triangles rectangles isocèles. Pythagore : $d^{2}=1+1=2$, donc $d=\sqrt{2}$. L'angle entre un côté et la diagonale mesure $45^{\circ}$, et $\cos 45^{\circ}=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}71$.

e) La hauteur issue d'un sommet coupe le côté opposé en son milieu, donc en deux segments de longueur $1$. Pythagore dans le demi-triangle : $h^{2}=2^{2}-1^{2}=3$, $h=\sqrt{3}$. Dans ce demi-triangle, l'angle à la base mesure $60^{\circ}$ : $\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$ et $\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}87$.

Le fil : on n'apprend pas un tableau de valeurs, on le reconstruit. Un demi-carré donne $45^{\circ}$, un demi-triangle équilatéral donne $30^{\circ}$ et $60^{\circ}$, et la relation $\cos^{2}+\sin^{2}=1$ fait passer de l'un à l'autre.

a) La hauteur tombe au milieu du côté opposé : Pythagore dans le demi-triangle donne $h^{2}=6^{2}-3^{2}=27$, donc $h=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\approx 5{,}20$. Aire : $\frac{6\times 3\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\approx 15{,}59$ cm². Plus généralement, un triangle équilatéral de côté $a$ a pour hauteur $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

b) Si $c$ est le côté, Pythagore donne $c^{2}+c^{2}=10^{2}$, soit $2c^{2}=100$, $c^{2}=50$ et $c=5\sqrt{2}\approx 7{,}07$. L'aire vaut directement $c^{2}=50$ cm², sans passer par la valeur approchée du côté : c'est le carré du côté qu'on connaissait déjà.

c) Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Aire : $\frac{8\times 6}{2}=24$ cm², car le losange est la moitié du rectangle $8\times 6$ qui l'entoure. Côté : chaque quart de losange est un triangle rectangle de côtés $4$ et $3$, donc le côté vaut $\sqrt{16+9}=5$. Périmètre : $4\times 5=20$ cm.

d) On abaisse la hauteur depuis l'extrémité de la petite base : elle découpe un rectangle $3\times 3$ et un triangle rectangle de côtés $7-3=4$ et $3$. Côté oblique : $\sqrt{16+9}=5$. Aire du trapèze : $\frac{(7+3)\times 3}{2}=15$ cm². Contrôle par découpage : rectangle $9$ plus triangle $\frac{4\times 3}{2}=6$, soit $15$ ✓.