Exercices corrigés : configurations du plan et trigonométrie (Seconde)

a) L'hypoténuse est $[BC]$, opposée à l'angle droit. $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=25+144=169$, donc $BC=13$ cm.

b) Ici l'angle droit est en $E$, donc l'hypoténuse est $[DF]$. On a $DF^{2}=DE^{2}+EF^{2}$, soit $625=49+EF^{2}$, donc $EF^{2}=576$ et $EF=24$ cm. Identifier l'hypoténuse avant de poser l'égalité est l'étape décisive.

c) Le plus grand côté est 41. On compare : $9^{2}+40^{2}=81+1\,600=1\,681$ et $41^{2}=1\,681$. Les deux quantités sont égales, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au côté de longueur 41.

d) Le plus grand côté est 11. On compare : $6^{2}+8^{2}=36+64=100$ et $11^{2}=121$. Comme $121\neq 100$, le triangle n'est pas rectangle. De plus $121>100$ : le plus grand côté est plus long que dans le cas rectangle, donc l'angle qui lui est opposé est obtus.

a) Par rapport à l'angle $\widehat{B}$, le côté $[AC]$ est opposé et le côté $[AB]$ est adjacent : c'est la tangente qui les relie. $\tan 35^{\circ}=\frac{AC}{AB}$, donc $AC=8\times\tan 35^{\circ}\approx 8\times 0{,}7002\approx 5{,}60$ cm.

b) Première méthode, avec le cosinus : $\cos 35^{\circ}=\frac{AB}{BC}$, donc $BC=\frac{8}{\cos 35^{\circ}}\approx\frac{8}{0{,}8192}\approx 9{,}77$ cm. Seconde méthode, avec le sinus une fois $AC$ connu : $\sin 35^{\circ}=\frac{AC}{BC}$, donc $BC=\frac{5{,}60}{\sin 35^{\circ}}\approx 9{,}77$ cm. Les deux concordent.

c) $AB^{2}+AC^{2}\approx 64+31{,}38\approx 95{,}38$ et $BC^{2}\approx 9{,}77^{2}\approx 95{,}38$. L'égalité est vérifiée aux arrondis près, ce qui valide les deux calculs.

d) Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires. Donc $\widehat{ACB}=90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}$. Aucune calculatrice n'est nécessaire.

a) Par rapport à $\widehat{B}$, $[AC]$ est opposé et $[AB]$ adjacent : $\tan\widehat{B}=\frac{7}{4}=1{,}75$. Donc $\widehat{B}=\arctan(1{,}75)\approx 60{,}3^{\circ}$. Sur la calculatrice, c'est la touche tangente inverse qu'il faut employer, et non une division par la tangente.

b) $BC^{2}=4^{2}+7^{2}=16+49=65$, donc $BC=\sqrt{65}\approx 8{,}06$ cm. La valeur exacte $\sqrt{65}$ est préférable dans les calculs suivants, pour éviter d'accumuler les arrondis.

c) Par rapport à $\widehat{C}$, $[AC]$ est adjacent et $[BC]$ est l'hypoténuse : $\cos\widehat{C}=\frac{7}{\sqrt{65}}\approx 0{,}8682$. Donc $\widehat{C}\approx 29{,}7^{\circ}$.

d) La somme des deux angles aigus vaut environ $60{,}3+29{,}7=90{,}0^{\circ}$, ce qui est bien la propriété attendue dans un triangle rectangle. Le calcul est donc cohérent.

a) Le théorème de Thalès donne $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$. Le coefficient vaut $\frac{AM}{AB}=\frac{6}{4}=1{,}5$ : le triangle $AMN$ est un agrandissement de rapport $1{,}5$ du triangle $ABC$.

b) $AN=1{,}5\times AC=1{,}5\times 6=9$ cm et $MN=1{,}5\times BC=1{,}5\times 5=7{,}5$ cm.

c) Dans un agrandissement de rapport $k$, les aires sont multipliées par $k^{2}$. Ici $k=1{,}5$, donc l'aire est multipliée par $1{,}5^{2}=2{,}25$. Augmenter les longueurs de 50 % augmente donc l'aire de 125 %, et non de 50 %.

d) On compare les rapports : $\frac{AM}{AB}=\frac{6}{4}=1{,}5$ et $\frac{AN}{AC}=\frac{8}{6}\approx 1{,}33$. Ils sont différents, donc d'après la contraposée de la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles. Pour qu'elles le soient, il aurait fallu $AN=9$.

a) La droite $(BC)$ est l'axe des abscisses, d'équation $y=0$. Le projeté orthogonal de $A$ s'obtient en abaissant la perpendiculaire, c'est-à-dire en conservant l'abscisse et en annulant l'ordonnée : $H\,(2\ ;\ 0)$.

b) $AH=\sqrt{(2-2)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{16}=4$. La distance du point $A$ à la droite $(BC)$ vaut donc 4.

c) $AB=\sqrt{(2-0)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\approx 4{,}47$ et $AC=\sqrt{(2-6)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}\approx 5{,}66$. Les deux sont strictement supérieures à $AH=4$ : le projeté orthogonal est bien le point de la droite le plus proche de $A$.

d) La base $[BC]$ mesure 6 et la hauteur associée est $AH=4$. L'aire vaut $\frac{6\times 4}{2}=12$ unités d'aire. C'est précisément parce que la hauteur d'un triangle est la distance d'un sommet à la droite opposée que le projeté orthogonal intervient dans le calcul d'aire.

a) On travaille dans le triangle rectangle formé par l'œil, le point de l'immeuble situé à la hauteur des yeux, et le sommet. Le côté adjacent à l'angle de visée mesure 45 m et le côté opposé est la hauteur cherchée : $h=45\times\tan 58^{\circ}\approx 45\times 1{,}6003\approx 72{,}02$ m.

b) L'immeuble monte de la hauteur des yeux jusqu'au sommet, plus la hauteur des yeux elle-même : $72{,}02+1{,}65\approx 73{,}67$ m. Oublier les 1,65 m est l'erreur classique de ce type d'énoncé : elle représente ici plus de deux pour cent de la réponse.

c) L'hypoténuse s'obtient par le cosinus : $d=\frac{45}{\cos 58^{\circ}}\approx\frac{45}{0{,}5299}\approx 84{,}92$ m.

d) La hauteur au-dessus des yeux ne change pas, seule la distance au pied augmente : elle passe à 65 m. Le nouvel angle vérifie $\tan\alpha=\frac{72{,}02}{65}\approx 1{,}1079$, donc $\alpha\approx 47{,}9^{\circ}$. Reculer de 20 mètres fait donc perdre environ dix degrés de visée.

a) Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$ par définition de la hauteur. Donc $AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}=144+25=169$ et $AB=13$ cm.

b) De même, le triangle $AHC$ est rectangle en $H$ : $AC^{2}=AH^{2}+HC^{2}=144+256=400$ et $AC=20$ cm.

c) On a $BC=BH+HC=5+16=21$ cm. On compare $AB^{2}+AC^{2}=169+400=569$ et $BC^{2}=441$. Comme $569\neq 441$, le triangle $ABC$ n'est pas rectangle en $A$. Comme de plus $441<569$, l'angle en $A$ est aigu.

d) Dans le triangle $ABH$ : $\tan\widehat{ABH}=\frac{12}{5}=2{,}4$, donc $\widehat{ABC}\approx 67{,}38^{\circ}$. Dans le triangle $AHC$ : $\tan\widehat{ACH}=\frac{12}{16}=0{,}75$, donc $\widehat{ACB}\approx 36{,}87^{\circ}$. La somme des angles d'un triangle valant $180^{\circ}$, on obtient $\widehat{BAC}\approx 180-67{,}38-36{,}87\approx 75{,}75^{\circ}$, bien aigu, ce qui confirme la question c). L'aire vaut $\frac{BC\times AH}{2}=\frac{21\times 12}{2}=126$ cm².

a) Par définition, $\cos\widehat{B}=\frac{AB}{BC}$ et $\sin\widehat{B}=\frac{AC}{BC}$. Donc $\cos^{2}\widehat{B}+\sin^{2}\widehat{B}=\frac{AB^{2}+AC^{2}}{BC^{2}}$. Or le théorème de Pythagore donne $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$, donc le quotient vaut $\frac{BC^{2}}{BC^{2}}=1$. La relation fondamentale n'est donc rien d'autre que le théorème de Pythagore divisé par $BC^{2}$.

b) $\frac{\sin\widehat{B}}{\cos\widehat{B}}=\frac{AC/BC}{AB/BC}=\frac{AC}{BC}\times\frac{BC}{AB}=\frac{AC}{AB}$. Or $\frac{AC}{AB}$ est bien le rapport du côté opposé sur le côté adjacent, c'est-à-dire $\tan\widehat{B}$.

c) $\sin\widehat{B}=\frac{AC}{BC}$, côté opposé à $\widehat{B}$ sur hypoténuse. Et $\cos\widehat{C}=\frac{AC}{BC}$, car $[AC]$ est adjacent à l'angle $\widehat{C}$ et $[BC]$ reste l'hypoténuse. Les deux quotients sont identiques, donc $\sin\widehat{B}=\cos\widehat{C}$. Le même segment $[AC]$ est opposé pour un angle et adjacent pour l'autre : c'est toute la subtilité du chapitre.

d) Par définition du projeté orthogonal, la droite $(AH)$ est perpendiculaire à $d$. Le point $M$ appartenant à $d$, le triangle $AHM$ est rectangle en $H$. Le théorème de Pythagore donne $AM^{2}=AH^{2}+HM^{2}$. Comme $M\neq H$, on a $HM>0$ donc $HM^{2}>0$, d'où $AM^{2}>AH^{2}$. Les longueurs étant positives, $AM>AH$. Le projeté orthogonal est donc l'unique point de $d$ le plus proche de $A$.

a) Faux : l'égalité de Pythagore ne vaut que dans un triangle rectangle, et à condition que $c$ désigne l'hypoténuse. Contre-exemple : le triangle de côtés 6, 8 et 11 vérifie $36+64=100$ alors que $11^{2}=121$.

b) Faux : le cosinus d'un angle aigu est le quotient du côté adjacent par l'hypoténuse. Or l'hypoténuse est le plus grand côté du triangle rectangle, donc ce quotient est toujours strictement compris entre 0 et 1. Une valeur de $1{,}2$ signalerait une erreur de calcul ou une confusion avec la tangente, qui elle peut dépasser 1 : par exemple $\tan 60^{\circ}\approx 1{,}732$.

c) Faux : par rapport à l'angle $\widehat{B}$, le côté $[AB]$ est adjacent, pas opposé. On a donc $\cos\widehat{B}=\frac{AB}{BC}$ et $\sin\widehat{B}=\frac{AC}{BC}$. Contre-exemple : avec $AB=8$, $AC=6$ et $BC=10$, la formule fausse donnerait $\sin\widehat{B}=0{,}8$, soit un angle d'environ $53{,}1^{\circ}$, alors que la vraie valeur est $0{,}6$, soit environ $36{,}9^{\circ}$.

d) Faux : dans un agrandissement de rapport 2, les longueurs sont multipliées par 2 mais les aires par $2^{2}=4$. Contre-exemple : un carré de côté 3 a pour aire 9 ; un carré de côté 6 a pour aire 36, soit quatre fois plus. Pour les volumes, le facteur serait $2^{3}=8$.

a) Une pente de 5 % signifie que le rapport de la hauteur à la longueur horizontale vaut $0{,}05$. On résout $\frac{0{,}80}{L}=0{,}05$, donc $L=\frac{0{,}80}{0{,}05}=16$ mètres. Il faut donc 16 mètres de dégagement pour franchir 80 centimètres.

b) L'angle $\alpha$ vérifie $\tan\alpha=0{,}05$, donc $\alpha=\arctan(0{,}05)\approx 2{,}86^{\circ}$. Une rampe conforme est donc presque plate, ce qui explique la longueur exigée.

c) Avec 10 mètres, la pente vaut $\frac{0{,}80}{10}=0{,}08$, soit 8 %. C'est supérieur à 5 % : la norme n'est pas respectée. L'angle correspondant vaut $\arctan(0{,}08)\approx 4{,}57^{\circ}$.

d) En 10 mètres à 5 %, on peut franchir au plus $10\times 0{,}05=0{,}50$ mètre. Il reste 30 centimètres à rattraper autrement, par exemple par une marche ou un palier intermédiaire. Enfin, la longueur réelle de la rampe conforme de 16 mètres est l'hypoténuse : $\sqrt{16^{2}+0{,}80^{2}}=\sqrt{256{,}64}\approx 16{,}02$ mètres. Elle ne dépasse la longueur horizontale que de 2 centimètres : à faible pente, longueur réelle et longueur au sol sont pratiquement confondues, ce qui justifie que les normes soient rédigées en pourcentage de longueur horizontale.