Troisième, programme français à Montréal • Exercices corrigés

Fiche de révision : Thalès, sa réciproque et les agrandissements (Troisième)

Q: Quelle est la différence entre le théorème de Thalès et sa réciproque ?

Le théorème part du parallélisme, qui doit être donné par l'énoncé, et permet de calculer des longueurs. La réciproque fait le trajet inverse : elle part de longueurs, dont on calcule deux quotients, et conclut que les droites sont parallèles si ces quotients sont égaux.

Q: Quel segment faut-il mettre au dénominateur dans Thalès ?

Toujours le segment entier issu du sommet commun. Si le point M est sur le segment AB, le dénominateur est AB et non MB. Le morceau MB sert à calculer AB par une addition quand l'énoncé ne donne que les deux parties, mais il n'apparaît jamais dans les quotients du théorème.

Q: Comment savoir quels points se correspondent dans la configuration papillon ?

On se fie aux alignements donnés par l'énoncé, pas à la position sur le dessin. Si B, A et M sont alignés, alors M correspond à B. Si C, A et N sont alignés, alors N correspond à C. Dans le papillon les deux triangles sont retournés, donc la lecture visuelle induit en erreur.

Q: Que conclure si les deux quotients ne sont pas égaux ?

Que les droites ne sont pas parallèles. C'est une réponse complète et elle vaut tous les points : si les droites étaient parallèles, le théorème imposerait l'égalité des quotients, donc l'inégalité constatée l'interdit. On parle alors de la contraposée du théorème.

Q: Par combien sont multipliées les aires dans un agrandissement ?

Par le carré du rapport. Un rapport de un virgule cinq multiplie les longueurs par un virgule cinq, les aires par deux virgule vingt-cinq et les volumes par trois virgule trois cent soixante-quinze. Les angles, eux, ne changent pas, ce qui est exactement ce qui conserve la forme.

Cette fiche de révision couvre le théorème de Thalès, sa réciproque et les agrandissements en classe de troisième du programme français, tels qu'ils sont évalués au brevet et dans les contrôles du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas à Montréal.

Elle ne redit pas le cours, que vous avez déjà : elle dit ce qui fait perdre des points sur ce chapitre, et le geste précis qui évite chaque perte. Le fil est toujours le même : écrire la correspondance des points avant le moindre quotient.

Le fil du chapitre

Thalès n'est pas une formule à recopier, c'est une CORRESPONDANCE : on écrit d'abord quel point joue le rôle de quel point, et les quotients ensuite. Et le théorème calcule des longueurs quand la réciproque décide du parallélisme : ce sont deux questions opposées.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Troisième

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Thalès et les agrandissementsQuatrième Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (5 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Fractions et proportionnalitéSixième
2Géométrie et grandeursSixième
3Proportionnalité et pourcentagesCinquième
4Géométrie de CinquièmeCinquième
5Thalès et les agrandissementsQuatrième

L'essentiel

Deux configurations, une seule égalité

• Configuration EMBOÎTÉE : $M$ sur $[AB]$ , $N$ sur $[AC]$ , et $(MN)$ parallèle à $(BC)$ . Alors $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ .
• Configuration PAPILLON : $A$ est entre $B$ et $M$ , et entre $C$ et $N$ . Les trois quotients sont exactement les mêmes, seules les positions changent sur la figure.
• Le sommet commun aux deux triangles, ici $A$ , est le point de départ de CHAQUE longueur écrite : $AM$ , $AB$ , $AN$ , $AC$ .
• Le troisième quotient est le seul qui ne parte pas de $A$ : $\dfrac{MN}{BC}$ , petit côté sur grand côté, les deux côtés parallèles.

Les deux configurations donnent la même triple égalité : à gauche

M

N

sont entre

A

et les sommets, à droite

A

est au milieu. Dans les deux cas, chaque longueur part de

A

Écrire les deux triangles l'un sous l'autre, $A\;M\;N$ au-dessus de $A\;B\;C$ , puis lire les quotients en colonne : cette présentation supprime à elle seule la moitié des erreurs du chapitre.

Théorème et réciproque : deux questions opposées

• Le THÉORÈME part du parallélisme et donne des longueurs : l'énoncé doit contenir « $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ », sinon on n'a pas le droit de l'appliquer.
• La RÉCIPROQUE part de longueurs et donne le parallélisme : on calcule les deux quotients séparément, PUIS on les compare.
• Conditions de la réciproque : $A$ , $M$ , $B$ alignés dans cet ordre, $A$ , $N$ , $C$ alignés dans le même ordre, et $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$ .
• Si les deux quotients sont DIFFÉRENTS, la conclusion est que les droites ne sont PAS parallèles : c'est une réponse complète, pas un échec.

Le verbe de l'énoncé tranche : « calculer » appelle le théorème, « montrer que les droites sont parallèles » ou « les droites sont-elles parallèles » appelle la réciproque.

Agrandissement et réduction : $k$ , $k^{2}$ , $k^{3}$

• Dans un agrandissement de coefficient $k$ , les LONGUEURS sont multipliées par $k$ , les AIRES par $k^{2}$ , les VOLUMES par $k^{3}$ .
• Une réduction est un agrandissement avec $0<k<1$ : une seule règle, pas deux.
• Les ANGLES sont conservés : c'est ce qui fait que la forme ne change pas.
• Une configuration de Thalès est exactement un agrandissement de rapport le quotient commun.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Mettre le petit morceau au dénominateur

3 points, et toutes les longueurs calculées ensuite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{MN}{BC}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ : le dénominateur est le segment ENTIER $AB=7{,}5$ , et non le morceau $MB=4{,}5$ . »

Le segment

[AB]

mesure

7{,}5

en entier : c'est lui le dénominateur, et non le morceau

[MB]

4{,}5

. Le rapport vaut donc

0{,}4

et non

0{,}67

Pourquoi : Les deux triangles comparés sont $AMN$ et $ABC$ : les côtés du grand triangle sont $AB$ et $AC$ , pas $MB$ et $NC$ . Le quotient $\dfrac{AM}{MB}$ existe et vaut autre chose.

2. Appliquer le théorème sans que les parallèles soient données

toute la question, car l'hypothèse manquante invalide tout

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les droites ont l'air parallèles sur la figure, donc $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'énoncé ne dit pas que $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles : je ne peux pas appliquer le théorème. Je regarde plutôt si la question demande de le DÉMONTRER, donc d'utiliser la réciproque. »

Pourquoi : Le parallélisme est une HYPOTHÈSE du théorème, pas une observation. Un dessin n'est jamais une preuve, et le codage de la figure ne remplace pas l'énoncé.

3. Utiliser la réciproque pour calculer une longueur

1 à 2 points de rigueur, à chaque occurrence

Ce qu'il ne faut pas écrire

« D'après la réciproque de Thalès, $MN=3{,}6$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La réciproque conclut au PARALLÉLISME, jamais à une longueur. Pour calculer $MN$ , c'est le théorème qu'il faut citer, une fois le parallélisme acquis. »

Pourquoi : Une propriété et sa réciproque échangent hypothèses et conclusion. Se tromper de sens revient à supposer ce qu'on veut prouver, et le correcteur y est très attentif.

4. Comparer les quotients avant de les avoir calculés séparément

2 points sur 3, la démonstration est circulaire

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$ donc les droites sont parallèles. »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3}{7{,}5}=0{,}4$ et $\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{4}{10}=0{,}4$ . Ces deux quotients sont égaux, donc d'après la réciproque de Thalès, $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ . »

Pourquoi : Écrire l'égalité tout de suite, c'est supposer le résultat. Il faut deux calculs SÉPARÉS, puis la comparaison, puis la citation de la réciproque.

5. Oublier de vérifier l'ordre d'alignement dans la réciproque

1 point de justification, systématiquement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les deux quotients sont égaux, donc les droites sont parallèles. »

Ce qu'il faut écrire

« $A$ , $M$ , $B$ sont alignés dans cet ordre, $A$ , $N$ , $C$ aussi, et les deux quotients sont égaux : d'après la réciproque de Thalès, $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ . »

Pourquoi : Sans la condition d'alignement dans le MÊME ordre, la conclusion est fausse : les deux points pourraient se trouver de part et d'autre du sommet, ce qui donne une autre figure.

6. Mélanger les sommets dans la configuration papillon

3 points, tous les calculs deviennent faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $A$ , $B$ , $M$ sont alignés, donc $M$ correspond à $B$ ; $A$ , $C$ , $N$ le sont aussi, donc $N$ correspond à $C$ : $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$ . »

Pourquoi : La correspondance est donnée par les ALIGNEMENTS, pas par la place des lettres sur le dessin. Dans le papillon, les deux triangles sont retournés l'un par rapport à l'autre.

7. Multiplier l'aire par le rapport au lieu de son carré

2 points, et un résultat très éloigné du bon

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le rapport de l'agrandissement vaut $1{,}5$ , donc l'aire est multipliée par $1{,}5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le rapport vaut $1{,}5$ , donc les longueurs sont multipliées par $1{,}5$ , les aires par $1{,}5^{2}=2{,}25$ et les volumes par $1{,}5^{3}=3{,}375$ . »

Pourquoi : Une aire est le produit de deux longueurs, un volume le produit de trois : chaque longueur apporte son facteur $k$ .

8. Ne pas conclure quand les quotients sont différents

2 points, la question était fermée et attendait une réponse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{AM}{AB}=0{,}4$ et $\dfrac{AN}{AC}=0{,}45$ , je ne peux rien dire. »

Ce qu'il faut écrire

« Ces deux quotients sont différents, donc d'après la contraposée du théorème de Thalès, $(MN)$ n'est PAS parallèle à $(BC)$ . »

Pourquoi : Si les droites étaient parallèles, le théorème imposerait l'égalité des quotients. Comme elle est en défaut, les droites ne peuvent pas être parallèles : c'est une conclusion, pas une absence de conclusion.

9. Écrire le troisième quotient à partir de $A$

2 points, et la longueur cherchée est fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AN}{BC}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le troisième quotient est $\dfrac{MN}{BC}$ : il compare les deux côtés PARALLÈLES, et c'est le seul qui ne parte pas de $A$ . »

Pourquoi : Les deux premiers quotients comparent les côtés issus du sommet commun ; le troisième compare les côtés opposés à ce sommet, c'est-à-dire précisément les deux parallèles.

Quelle méthode choisir

Théorème ou réciproque : que demande la question ?

Lire le verbe de la question et la liste des données.

Si l'énoncé DONNE le parallélisme et demande une longueur → THÉORÈME de Thalès

Exemple : $(MN)$ parallèle à $(BC)$ , calculer $MN$
Si l'énoncé donne des longueurs et demande « les droites sont-elles parallèles » → RÉCIPROQUE : deux quotients calculés séparément, puis comparés

Exemple : $\dfrac{3}{7{,}5}=0{,}4$ et $\dfrac{4}{10}=0{,}4$
Si les deux quotients calculés sont différents → conclure que les droites NE SONT PAS parallèles

Exemple : $0{,}4\neq 0{,}45$

c'est la contraposée du théorème, et c'est une réponse complète
Si l'énoncé parle d'agrandissement, de maquette, d'échelle → utiliser $k$ pour les longueurs, $k^{2}$ pour les aires, $k^{3}$ pour les volumes

Exemple : $k=1{,}5$ donne une aire multipliée par $2{,}25$
Si la figure comporte un angle droit et deux longueurs, sans parallèles → ce n'est pas Thalès mais PYTHAGORE

Exemple : $3^{2}+4^{2}=5^{2}$

Si aucune paire de droites parallèles n'apparaît dans l'énoncé ni dans le codage, Thalès ne s'applique pas : chercher plutôt les triangles semblables.

Comment écrire la triple égalité sans se tromper

Repérer d'abord le SOMMET COMMUN aux deux triangles, puis les deux paires de points qui se correspondent.

Si on a repéré le sommet commun $A$ → écrire les deux triangles l'un sous l'autre, $A\;M\;N$ au-dessus de $A\;B\;C$

Exemple : $M$ est sous $B$ , $N$ est sous $C$
Si on veut le premier quotient → lire la première colonne : $\dfrac{AM}{AB}$

Exemple : $\dfrac{3}{7{,}5}$
Si on veut le deuxième quotient → lire la deuxième colonne : $\dfrac{AN}{AC}$

Exemple : $\dfrac{4}{10}$
Si on veut le troisième quotient → prendre les deux côtés PARALLÈLES : $\dfrac{MN}{BC}$

Exemple : $\dfrac{3{,}6}{9}$

c'est le seul qui ne commence pas par $A$
Si il manque une longueur au dénominateur, comme $AB$ → l'obtenir par une addition avant d'écrire les quotients

Exemple : $AB=AM+MB=3+4{,}5=7{,}5$

Une fois la triple égalité écrite, on ne garde que l'égalité de DEUX quotients : celle qui contient l'inconnue et trois longueurs connues.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer une longueur avec le théorème de Thalès

Quand l'utiliser : L'énoncé donne le parallélisme et demande une longueur.

1 Citer les hypothèses avec leurs noms : « les points $A$ , $M$ , $B$ sont alignés, les points $A$ , $N$ , $C$ aussi, et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ ».
2 Annoncer la propriété : « d'après le théorème de Thalès ».
3 Écrire la triple égalité en entier, dans l'ordre des sommets.
4 Ne garder que l'égalité utile, celle qui contient l'inconnue et trois longueurs connues, puis faire le produit en croix.
5 Calculer, arrondir si l'énoncé le demande, et donner l'unité.

Phrase de conclusion

« D'après le théorème de Thalès, $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ , donc $MN=\dfrac{3\times 9}{7{,}5}=3{,}6$ cm. »

Le piège : Sauter la ligne des hypothèses : elle vaut un point entier au brevet, et elle est absente de la majorité des copies.

Barème : 1 point pour les hypothèses citées, 1 point pour la triple égalité correcte, 1 point pour le calcul et l'unité.

Démontrer que deux droites sont parallèles

Quand l'utiliser : L'énoncé donne quatre longueurs et demande si les droites sont parallèles.

1 Vérifier et écrire l'alignement dans le même ordre : « $A$ , $M$ , $B$ d'une part et $A$ , $N$ , $C$ d'autre part sont alignés dans le même ordre ».
2 Calculer le premier quotient SEUL, avec son résultat décimal : $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3}{7{,}5}=0{,}4$ .
3 Calculer le second quotient SEUL : $\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{4}{10}=0{,}4$ .
4 Comparer les deux résultats, puis citer la réciproque et conclure.

Phrase de conclusion

« Les deux quotients sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ . »

Le piège : Écrire d'emblée l'égalité des deux quotients : c'est supposer ce qu'on doit prouver. Les deux calculs viennent avant la comparaison.

Barème : 0,5 point pour l'alignement, 1 point par quotient calculé séparément, 1 point pour la citation de la réciproque et la conclusion.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le rapport est le même partout

Une fois toutes les longueurs trouvées, recalculer les trois quotients : ils doivent donner exactement le même nombre.

$\dfrac{6}{4}=1{,}5$ , $\dfrac{9}{6}=1{,}5$ , $\dfrac{7{,}5}{5}=1{,}5$ : cohérent. Un quotient différent signale une paire mal appariée.
Le sens de l'agrandissement

Comparer la longueur trouvée à celle qui lui correspond. Si le second triangle est plus grand, chaque longueur trouvée doit être plus grande que son homologue.

Trouver $MN=3{,}3$ alors que $BC=5$ et que le triangle est agrandi signale un quotient renversé.
Le complément se vérifie aussi

Dans la configuration emboîtée, les morceaux restants sont eux aussi proportionnels : $\dfrac{MB}{AB}=\dfrac{NC}{AC}$ .

$\dfrac{4{,}5}{7{,}5}=0{,}6$ et $\dfrac{6}{10}=0{,}6$ : cohérent avec le rapport $0{,}4$ trouvé, puisque $0{,}4+0{,}6=1$ .
Le produit en croix se relit

Reprendre l'égalité de départ et remplacer l'inconnue par la valeur trouvée : les deux quotients doivent donner le même décimal.

$\dfrac{3{,}6}{9}=0{,}4$ , égal à $\dfrac{3}{7{,}5}$ : le calcul est confirmé sans le refaire.

L'exercice type décortiqué

Une configuration papillon, du rapport aux deux longueurs

Les points $B$ , $A$ , $M$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points $C$ , $A$ , $N$ . Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

On donne $AB=4$ cm, $AC=6$ cm, $AM=6$ cm et $BC=5$ cm.

Calculer $AN$ et $MN$ .

Le point

A

est au centre du papillon : les deux triangles

ABC

AMN

sont retournés l'un par rapport à l'autre, et

M

correspond à

B

parce que

B

A

M

sont alignés.

Étape 1

Correspondance : $B$ , $A$ , $M$ alignés donne $M\leftrightarrow B$ ; $C$ , $A$ , $N$ alignés donne $N\leftrightarrow C$ . On écrit donc $A\;M\;N$ au-dessus de $A\;B\;C$ .

Pourquoi

C'est l'unique étape qui décide de tout le reste. Elle repose sur les alignements donnés par l'énoncé et non sur la position des lettres sur la figure, qui est trompeuse dans le papillon.

Étape 2

D'après le théorème de Thalès, $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ .

Pourquoi

On cite le théorème parce que le parallélisme est DONNÉ par l'énoncé. La triple égalité s'écrit en entier même si une seule partie servira : c'est un point de barème.

Étape 3

Rapport : $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{6}{4}=1{,}5$ .

Pourquoi

Calculer le rapport une fois pour toutes évite deux produits en croix. Il est plus grand que $1$ , ce qui est cohérent : le triangle $AMN$ est l'agrandissement du triangle $ABC$ .

Étape 4

$\dfrac{AN}{AC}=1{,}5$ donne $AN=1{,}5\times 6=9$ cm.

Pourquoi

L'inconnue est au numérateur, on multiplie. Contrôle immédiat : $9$ est plus grand que $6$ , comme le rapport l'exige.

Étape 5

$\dfrac{MN}{BC}=1{,}5$ donne $MN=1{,}5\times 5=7{,}5$ cm.

Pourquoi

Le troisième quotient compare les deux côtés PARALLÈLES : c'est le seul qui ne part pas de $A$ , et l'oublier de cette règle fait écrire $\dfrac{AN}{BC}$ , qui n'a aucun sens.

Étape 6

Vérification : $\dfrac{6}{4}=1{,}5$ , $\dfrac{9}{6}=1{,}5$ et $\dfrac{7{,}5}{5}=1{,}5$ . Les trois quotients coïncident.

Pourquoi

Le contrôle porte sur les trois paires à la fois : il attrape aussi bien un produit en croix raté qu'une correspondance inversée, et il coûte dix secondes.

Conclusion rédigée

« D'après le théorème de Thalès, le rapport vaut $\dfrac{AM}{AB}=1{,}5$ , donc $AN=9$ cm et $MN=7{,}5$ cm. »

L'erreur classique sur cet exercice : Apparier $M$ avec $C$ parce que les deux sont à droite sur la figure, et écrire $\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{6}{6}=1$ : le rapport vaudrait $1$ , donc les deux triangles seraient égaux, ce que la figure dément à l'oeil nu.

À savoir par cœur

• Emboîtée ou papillon, la triple égalité est la MÊME : $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ .
• Le dénominateur est le segment ENTIER, $AB$ , jamais le morceau $MB$ .
• Le troisième quotient est le seul qui ne part pas de $A$ : il compare les deux côtés PARALLÈLES.
• Le théorème part du parallélisme et donne des longueurs ; la réciproque part des longueurs et donne le parallélisme.
• Dans la réciproque, on calcule les deux quotients SÉPARÉMENT avant de les comparer.
• Quotients différents : les droites ne sont PAS parallèles, et c'est une conclusion complète.
• Agrandissement de rapport $k$ : longueurs $\times k$ , aires $\times k^{2}$ , volumes $\times k^{3}$ .

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre le théorème de Thalès et sa réciproque ?

Le théorème part du parallélisme, qui doit être donné par l'énoncé, et permet de calculer des longueurs. La réciproque fait le trajet inverse : elle part de longueurs, dont on calcule deux quotients, et conclut que les droites sont parallèles si ces quotients sont égaux.

Quel segment faut-il mettre au dénominateur dans Thalès ?

Toujours le segment entier issu du sommet commun. Si le point M est sur le segment AB, le dénominateur est AB et non MB. Le morceau MB sert à calculer AB par une addition quand l'énoncé ne donne que les deux parties, mais il n'apparaît jamais dans les quotients du théorème.

Comment savoir quels points se correspondent dans la configuration papillon ?

On se fie aux alignements donnés par l'énoncé, pas à la position sur le dessin. Si B, A et M sont alignés, alors M correspond à B. Si C, A et N sont alignés, alors N correspond à C. Dans le papillon les deux triangles sont retournés, donc la lecture visuelle induit en erreur.

Que conclure si les deux quotients ne sont pas égaux ?

Que les droites ne sont pas parallèles. C'est une réponse complète et elle vaut tous les points : si les droites étaient parallèles, le théorème imposerait l'égalité des quotients, donc l'inégalité constatée l'interdit. On parle alors de la contraposée du théorème.

Par combien sont multipliées les aires dans un agrandissement ?

Par le carré du rapport. Un rapport de un virgule cinq multiplie les longueurs par un virgule cinq, les aires par deux virgule vingt-cinq et les volumes par trois virgule trois cent soixante-quinze. Les angles, eux, ne changent pas, ce qui est exactement ce qui conserve la forme.

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Exercices corrigés : Thalès, réciproque et agrandissements

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
195 minutes

Faire les exercices

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Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Configurations et trigonométrieSeconde

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Le théorème de Thalès bloque en troisième à Montréal ?

Contactez-moi pour une première séance. Thalès est le chapitre où l'on apprend à distinguer une propriété de sa réciproque, distinction qui sera exigée tout le lycée. Une séance suffit souvent à installer la méthode de la correspondance, et les points reviennent dès le contrôle suivant.

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Fiche de révision : Thalès, sa réciproque et les agrandissements (Troisième)

L'essentiel

Deux configurations, une seule égalité

Théorème et réciproque : deux questions opposées

Agrandissement et réduction : kkk, k2k^{2}k2, k3k^{3}k3

Les pièges qui coûtent des points

1. Mettre le petit morceau au dénominateur

2. Appliquer le théorème sans que les parallèles soient données

3. Utiliser la réciproque pour calculer une longueur

4. Comparer les quotients avant de les avoir calculés séparément

5. Oublier de vérifier l'ordre d'alignement dans la réciproque

6. Mélanger les sommets dans la configuration papillon

7. Multiplier l'aire par le rapport au lieu de son carré

8. Ne pas conclure quand les quotients sont différents

9. Écrire le troisième quotient à partir de AAA

Quelle méthode choisir

Théorème ou réciproque : que demande la question ?

Comment écrire la triple égalité sans se tromper

La rédaction attendue

Calculer une longueur avec le théorème de Thalès

Démontrer que deux droites sont parallèles

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une configuration papillon, du rapport aux deux longueurs

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre le théorème de Thalès et sa réciproque ?

Quel segment faut-il mettre au dénominateur dans Thalès ?

Comment savoir quels points se correspondent dans la configuration papillon ?

Que conclure si les deux quotients ne sont pas égaux ?

Par combien sont multipliées les aires dans un agrandissement ?

Exercices corrigés : Thalès, réciproque et agrandissements

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Le théorème de Thalès bloque en troisième à Montréal ?

Agrandissement et réduction : $k$ , $k^{2}$ , $k^{3}$

9. Écrire le troisième quotient à partir de $A$