Troisième, programme français à Montréal • Exercices corrigés
Cette fiche de révision couvre les triangles égaux et les triangles semblables en classe de troisième du programme français, tels qu'ils sont évalués au brevet et dans les contrôles du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas à Montréal.
Elle ne redit pas le cours, que vous avez déjà : elle dit ce qui fait perdre des points sur ce chapitre, et le geste précis qui évite chaque perte. Le fil est toujours le même : nommer les sommets dans l'ordre qui se correspond, avant d'écrire le moindre rapport.
Le fil du chapitre
ÉGAUX se prouve avec des LONGUEURS, SEMBLABLES se prouve avec des ANGLES : ce sont deux mots différents et deux preuves différentes. Et dès qu'on écrit un rapport de similitude, c'est l'ORDRE DES SOMMETS, pas la position sur le dessin, qui décide de tout.
Sur une copie, le mot « donc » doit être précédé du nom de la propriété utilisée : « si deux triangles ont deux angles deux à deux égaux, alors ils sont semblables ». Sans cette citation, la démonstration ne vaut aucun point.
Écrire les deux triangles l'un sous l'autre, sommet sous sommet, avant d'écrire le moindre quotient : c'est la présentation qui supprime l'erreur d'appariement.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les côtés de gauche se correspondent, donc . »
Ce qu'il faut écrire
« , , sont alignés et , , aussi, donc correspond à et à : . »
Pourquoi : La correspondance vient de la configuration, pas de la place sur la feuille : ce sont les alignements et les parallèles qui apparient les sommets.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les deux triangles ont leurs trois angles égaux, donc ils sont égaux. »
Ce qu'il faut écrire
« Les deux triangles ont leurs trois angles égaux, donc ils sont SEMBLABLES. Rien ne dit qu'ils ont la même taille. »
Pourquoi : Les angles décrivent la FORME, les longueurs décrivent la TAILLE. Un triangle et son agrandissement ont les mêmes angles et ne sont pas superposables.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , et , donc les triangles sont égaux par le deuxième cas. »
Ce qu'il faut écrire
« L'angle n'est pas compris entre et : le deuxième cas ne s'applique pas. Il faudrait . »
Pourquoi : Sans la condition « compris », deux triangles différents peuvent partager ces trois données : c'est le cas ambigu, et c'est précisément pour l'exclure que le mot figure dans la propriété.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Je n'ai que deux angles égaux, je ne peux donc rien conclure. »
Ce qu'il faut écrire
« Deux angles égaux suffisent : le troisième s'obtient par moins la somme des deux autres, donc les triangles sont semblables. »
Pourquoi : La somme des angles d'un triangle est fixée. Deux angles déterminent donc le troisième, et la propriété du cours est bien énoncée avec DEUX angles.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le rapport de similitude vaut , donc l'aire est multipliée par . »
Ce qu'il faut écrire
« Le rapport vaut , donc le périmètre est multiplié par et l'aire par . »
Pourquoi : Une aire est un produit de deux longueurs : si chacune est multipliée par , l'aire l'est par . Le périmètre, lui, est une somme de longueurs, donc simplement .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc les triangles sont semblables. »
Ce qu'il faut écrire
« Deux côtés proportionnels ne suffisent pas : il faut soit les TROIS côtés proportionnels, soit deux angles égaux, soit deux côtés proportionnels ET l'angle compris entre eux égal. »
Pourquoi : Avec deux côtés seulement, le troisième reste libre : on peut fabriquer deux triangles très différents qui vérifient ces deux quotients.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les deux triangles ont les mêmes angles, donc . »
Ce qu'il faut écrire
« Si deux triangles ont deux angles deux à deux égaux, alors ils sont semblables. Ici et , donc et sont semblables, et . »
Pourquoi : Le barème d'une question de démonstration porte essentiellement sur la propriété citée et la vérification de ses hypothèses, pas sur le nombre final.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le côté du bas de l'un correspond au côté du bas de l'autre. »
Ce qu'il faut écrire
« Je repère le plus grand côté de chaque triangle : ils se correspondent. Puis le plus petit avec le plus petit, et enfin les deux restants. »
Pourquoi : Un triangle retourné ou pivoté garde ses proportions mais change de position : seule la comparaison des longueurs, ou l'ordre des sommets écrit dans l'énoncé, donne la correspondance.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« et . »
Ce qu'il faut écrire
« Je calcule toujours image sur modèle : . »
Pourquoi : Le rapport de similitude est un nombre unique. Deux valeurs différentes dans la même copie signalent un quotient renversé, et le correcteur le voit immédiatement.
Regarder la NATURE des données de l'énoncé, longueurs ou angles, avant de choisir la propriété.
Si trois longueurs deux à deux égales → triangles ÉGAUX, premier cas d'égalité
Exemple : , ,
Si deux longueurs égales et l'angle COMPRIS entre elles égal → triangles ÉGAUX, deuxième cas
Exemple : , et
vérifier que l'angle est bien celui du sommet commun aux deux côtés
Si une longueur égale et les deux angles ADJACENTS à ce côté égaux → triangles ÉGAUX, troisième cas
Exemple : , ,
Si deux angles deux à deux égaux → triangles SEMBLABLES
Exemple : et
c'est le critère le plus utilisé au brevet
Si trois longueurs deux à deux PROPORTIONNELLES → triangles SEMBLABLES, de rapport ce quotient commun
Exemple :
Si les données mélangent une longueur et un angle non compris, aucune des cinq branches ne s'applique : il faut d'abord obtenir une donnée supplémentaire, souvent par la somme des angles.
Regarder la configuration de la figure autour des deux angles à comparer.
Si les deux angles sont le même angle, partagé par les deux triangles → dire simplement « angle commun »
Exemple : appartient à et à
Si deux droites parallèles coupées par une sécante → invoquer les angles ALTERNES-INTERNES
Exemple : parallèle à coupées par
Si deux droites sécantes, angles de part et d'autre du point → invoquer les angles OPPOSÉS PAR LE SOMMET
Exemple : les angles en dans la configuration papillon
Si deux angles connus dans un triangle, le troisième cherché → utiliser la somme
Exemple :
Si un angle droit dans chacun des deux triangles → c'est déjà une égalité d'angles, il n'en reste qu'une à trouver
Exemple : deux triangles rectangles partageant un angle aigu
Écrire la raison entre parenthèses à côté de chaque égalité d'angles : c'est ce que le barème appelle la justification, et c'est souvent la moitié des points de la question.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé demande de montrer que deux triangles sont semblables, ou de calculer une longueur en passant par la similitude.
Phrase de conclusion
« Les triangles et ont deux angles deux à deux égaux, donc ils sont semblables, et . »
Le piège : Écrire les rapports avant d'avoir établi la similitude : l'ordre de la copie compte, car les quotients ne sont légitimes qu'une fois la propriété citée.
Barème : 1 point par égalité d'angles justifiée, 1 point pour la propriété citée, 1 point pour les rapports correctement appariés.
Quand l'utiliser : La similitude est établie et l'énoncé demande une longueur.
Phrase de conclusion
« Les triangles étant semblables, , donc m. »
Le piège : Renverser l'un des deux quotients : le contrôle est immédiat, l'inconnue doit se trouver du même côté que la grande longueur si le triangle est le plus grand.
Barème : 1 point pour l'égalité de quotients correctement écrite, 1 point pour le produit en croix, 0,5 point pour l'unité.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Le plus grand avec le plus grand
Classer mentalement les trois côtés de chaque triangle. Le plus grand de l'un doit correspondre au plus grand de l'autre, et le plus petit au plus petit.
Un rapport qui apparierait le côté de avec celui de alors que est le plus petit d'un côté et le milieu de l'autre est faux, sans même calculer.
Le rapport est le même pour les trois paires
Calculer les trois quotients quand les six longueurs sont connues : ils doivent donner exactement le même nombre.
, , : l'appariement est correct. Un quotient différent signale une paire mal formée.
Le sens du rapport
Si le second triangle est plus grand, le rapport image sur modèle doit être supérieur à . S'il est plus petit, il doit être compris entre et .
Trouver pour un agrandissement signale que le quotient a été écrit à l'envers.
La cohérence des angles
Additionner les trois angles de chaque triangle : la somme doit valoir dans les deux cas.
: cohérent. Une somme différente signale un angle mal reporté.
Une personne mesurant m pose un petit miroir au sol, à m de ses pieds. Elle recule jusqu'à voir le sommet de l'immeuble dans le miroir. Le miroir se trouve alors à m du pied de l'immeuble.
Les deux rayons lumineux font avec le sol des angles de même mesure.
Calculer la hauteur de l'immeuble.
Étape 1
La personne et l'immeuble sont verticaux, le sol est horizontal : les deux triangles formés sont rectangles au sol.
Pourquoi
C'est la première égalité d'angles, et elle est gratuite. La chercher en premier économise la moitié du travail de justification.
Étape 2
Les deux rayons font avec le sol des angles de même mesure, donnés par l'énoncé : c'est la seconde égalité d'angles.
Pourquoi
Deux angles égaux suffisent pour conclure à la similitude : inutile de chercher le troisième, il se déduit de la somme .
Étape 3
Les deux triangles ont deux angles deux à deux égaux, donc ils sont semblables. En notant le petit triangle et le grand, la hauteur correspond à la hauteur et la distance au miroir à la distance au miroir.
Pourquoi
L'appariement se lit sur la configuration : le côté vertical de l'un correspond au côté vertical de l'autre. C'est cette phrase, et non le dessin, qui justifie les quotients écrits ensuite.
Étape 4
Rapports : , donc m.
Pourquoi
On isole l'égalité qui contient l'inconnue et trois longueurs connues, puis on fait le produit en croix. Écrire la ligne intermédiaire vaut un demi-point.
Étape 5
Vérification : le rapport de similitude vaut , et . Les deux chemins concordent.
Pourquoi
Le rapport calculé sur la paire de côtés horizontaux doit redonner la hauteur à partir de : c'est un contrôle indépendant du produit en croix, et il attrape un quotient renversé.
Conclusion rédigée
« Les deux triangles ayant deux angles deux à deux égaux, ils sont semblables. Le rapport de similitude vaut , donc l'immeuble mesure m de haut. »
L'erreur classique sur cet exercice : Écrire et trouver m : un immeuble de trente-huit centimètres est absurde, et le contrôle du sens du rapport, plus grand que pour un agrandissement, l'aurait évité.
Des triangles égaux ont exactement les mêmes longueurs de côtés : ils sont superposables. Des triangles semblables ont seulement les mêmes angles : ils ont la même forme mais pas forcément la même taille. Deux triangles égaux sont donc semblables, avec un rapport de similitude égal à un.
Deux suffisent. Comme la somme des angles d'un triangle vaut cent quatre-vingts degrés, deux angles égaux forcent le troisième à l'être aussi. La propriété du cours est d'ailleurs énoncée avec deux angles : chercher le troisième est une perte de temps.
On se fie à l'ordre des sommets écrit dans l'énoncé, ou aux alignements et aux parallèles de la figure, jamais à la position sur le dessin. Un contrôle simple : le plus grand côté de l'un correspond toujours au plus grand côté de l'autre, et le plus petit au plus petit.
Parce que sans cette condition, deux triangles différents peuvent avoir les mêmes deux côtés et le même angle : c'est le cas ambigu. L'angle compris entre les deux côtés verrouille la figure et rend les triangles superposables. Le mot compris fait partie de la propriété, il ne se supprime pas.
Par le carré du rapport de similitude. Si le rapport vaut un virgule cinq, le périmètre est multiplié par un virgule cinq mais l'aire par deux virgule vingt-cinq. La raison est qu'une aire se calcule à partir de deux longueurs, toutes deux multipliées par le rapport.
