Maths Seconde, programme français • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : configurations et trigonométrie (Seconde)

Cette fiche ne refait pas le cours sur les configurations du plan : vous l'avez déjà dans votre classeur. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note, l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, le théorème à choisir selon la figure, et la rédaction que le correcteur de Seconde attend mot pour mot.

Elle est écrite pour les élèves de Seconde du programme français à Montréal, en particulier au Lycée Marie de France et au Collège Stanislas. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

En géométrie, ce n'est pas le calcul qui est noté, c'est la PROPRIÉTÉ citée avant le calcul, et chaque propriété a une condition d'application que l'énoncé ne rappelle jamais : Pythagore exige un angle droit, la trigonométrie du triangle rectangle aussi, Thalès exige des droites parallèles et une configuration correcte. Presque tous les points perdus viennent d'une propriété appliquée hors de ses conditions, ou d'une conclusion écrite sans la nommer.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Seconde

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (8 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Fractions et proportionnalitéSixième
2Géométrie et grandeursSixième
3Proportionnalité et pourcentagesCinquième
4Géométrie de CinquièmeCinquième
5Pythagore et cosinusQuatrième
6Thalès et les agrandissementsQuatrième
7Trigonométrie : sinus et cosinusTroisième
8Thalès, réciproque et agrandissementsTroisième

L'essentiel

Pythagore et sa réciproque, deux énoncés à ne jamais échanger

• Théorème : SI le triangle est rectangle, ALORS le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des deux autres côtés. On l'utilise pour CALCULER une longueur.
• Réciproque : SI le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, ALORS le triangle est rectangle. On l'utilise pour DÉMONTRER un angle droit.
• L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, et c'est toujours le PLUS GRAND des trois côtés.
• Si le carré du plus grand côté est plus GRAND que la somme des deux autres carrés, l'angle opposé est obtus ; s'il est plus PETIT, l'angle est aigu.
• Dans les deux cas, on calcule séparément les deux membres, puis on les compare. On n'écrit jamais l'égalité avant de l'avoir vérifiée.

Le mot qui décide : si l'énoncé demande une LONGUEUR, c'est le théorème ; s'il demande de montrer qu'un triangle est RECTANGLE, c'est la réciproque. Nommer le bon énoncé rapporte un point à lui seul.

Les trois rapports, et l'angle qui les définit

• Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu : $\cos=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ , $\sin=\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ , $\tan=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$ .
• Adjacent et opposé se lisent PAR RAPPORT À L'ANGLE choisi : le même côté est adjacent pour un angle et opposé pour l'autre.
• L'hypoténuse étant le plus grand côté, un cosinus et un sinus d'angle aigu sont toujours strictement compris entre $0$ et $1$ . La tangente, elle, n'est pas bornée.
• Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires : leur somme vaut $90^{\circ}$ , et $\sin\widehat{B}=\cos\widehat{C}$ .
• La tangente est la seule relation qui n'utilise PAS l'hypoténuse : c'est elle qu'il faut quand l'hypoténuse est inconnue et non demandée.

Les trois côtés portent un rôle, et ce rôle dépend de l'angle choisi : vus de

B

[AB]

est l'adjacent et

[AC]

l'opposé. L'hypoténuse, elle, est toujours face à l'angle droit.

La calculatrice doit être en mode degré. Un affichage $\text{RAD}$ en haut de l'écran fausse tous les résultats de la copie sans qu'aucune ligne ne paraisse fausse.

Thalès, agrandissement et projeté orthogonal

• Thalès en configuration triangle : si $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ , alors $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$ .
• Chaque rapport compare un petit segment au GRAND segment correspondant, et tous partent du même sommet $A$ . Le troisième rapport, celui des bases, ne contient pas $A$ .
• Dans un agrandissement de rapport $k$ : les longueurs sont multipliées par $k$ , les aires par $k^{2}$ , les volumes par $k^{3}$ .
• Le projeté orthogonal de $A$ sur une droite $d$ est le point $H$ de $d$ tel que $(AH)$ soit perpendiculaire à $d$ .
• La distance de $A$ à $d$ est la longueur $AH$ , et c'est la PLUS PETITE distance de $A$ à un point de $d$ : pour tout autre point $M$ de $d$ , $AM>AH$ .

Avant d'écrire un rapport de Thalès, colorier les deux triangles emboîtés au brouillon. Presque toutes les erreurs viennent d'un segment apparié avec le mauvais.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Invoquer le théorème de Pythagore là où c'est sa réciproque

1 point sur 3, et parfois la question entière selon le correcteur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $AB=5$ , $AC=4$ , $BC=3$ : $5^{2}=4^{2}+3^{2}$ , donc d'après le théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $BC^{2}+AC^{2}=9+16=25$ et $AB^{2}=25$ . Ces deux nombres sont égaux, donc d'après la RÉCIPROQUE du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ . »

Pourquoi : Le théorème part de l'angle droit pour donner l'égalité, la réciproque part de l'égalité pour donner l'angle droit. Nommer le mauvais énoncé montre qu'on a appliqué une recette. Le sommet de l'angle droit se lit ensuite : il est opposé au plus grand côté.

2. Se tromper d'hypoténuse dans le calcul

toute la question, et la longueur trouvée dépasse l'hypoténuse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le triangle est rectangle en $A$ avec $AB=6$ et $BC=10$ : donc $AC=\sqrt{6^{2}+10^{2}}=\sqrt{136}\approx 11{,}7$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $BC$ est l'hypoténuse car elle est opposée à l'angle droit en $A$ . Donc $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ , d'où $AC^{2}=100-36=64$ et $AC=8$ . »

Pourquoi : L'hypoténuse n'est pas le côté cité en dernier, c'est celui qui est opposé à l'angle droit, donc le plus grand. Le contrôle immédiat : une longueur trouvée SUPÉRIEURE à l'hypoténuse est géométriquement impossible.

3. Utiliser le cosinus alors que l'hypoténuse est inconnue

toute la question, et la hauteur trouvée est quatre fois trop petite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'observateur est à $25$ mètres du pied de l'immeuble et voit le sommet sous $62^{\circ}$ : $\cos(62^{\circ})=\frac{h}{25}$ , donc $h\approx 11{,}7$ mètres. »

Ce qu'il faut écrire

« Les deux côtés en jeu sont l'opposé $h$ et l'adjacent $25$ , sans l'hypoténuse : $\tan(62^{\circ})=\frac{h}{25}$ , donc $h=25\tan(62^{\circ})\approx 47{,}0$ mètres. »

Pourquoi : Le choix de la relation se fait sur les trois côtés en jeu, pas sur l'habitude : la tangente est la seule des trois qui ignore l'hypoténuse. Un contrôle de bon sens suffit ici, un immeuble vu sous plus de quarante-cinq degrés à vingt-cinq mètres est forcément plus haut que vingt-cinq mètres.

4. Laisser la calculatrice en radians

toutes les questions de trigonométrie de la copie, souvent la moitié du contrôle

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\cos(35^{\circ})\approx -0{,}90$ , donc le côté adjacent est négatif. »

Ce qu'il faut écrire

« En mode degré, $\cos(35^{\circ})\approx 0{,}819$ . Un cosinus d'angle aigu est toujours compris entre $0$ et $1$ , une valeur négative signale le mode radian. »

Pourquoi : En radians, la calculatrice interprète $35$ comme un angle de plus de cinq tours, et rend une valeur qui n'a aucun sens dans un triangle rectangle. Le réflexe : vérifier l'indicateur de mode AVANT le premier calcul, puis contrôler que le cosinus obtenu est bien entre zéro et un.

5. Accepter un cosinus supérieur à $1$

2 points, et une question laissée sans réponse alors que l'erreur est repérable

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\cos\widehat{B}=\frac{12}{9}\approx 1{,}33$ , donc $\widehat{B}\approx$ erreur de la calculatrice. »

Ce qu'il faut écrire

« Le rapport doit être adjacent sur HYPOTÉNUSE, donc $\cos\widehat{B}=\frac{9}{12}=0{,}75$ et $\widehat{B}\approx 41{,}4^{\circ}$ . Un cosinus supérieur à $1$ est impossible. »

Pourquoi : L'hypoténuse est le plus grand côté, donc le quotient d'un autre côté par elle est toujours plus petit que $1$ . Le message d'erreur de la calculatrice n'est pas une panne, c'est un diagnostic : la fraction a été écrite à l'envers.

6. Apparier les mauvais segments dans Thalès

toute la question, et la longueur trouvée est incohérente avec la figure

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ , donc $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{NC}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ , donc $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$ : chaque rapport compare un segment du petit triangle au segment correspondant du GRAND. »

Pourquoi : $NC$ n'est pas un côté du grand triangle, c'est un morceau de $AC$ . Les deux triangles $AMN$ et $ABC$ se correspondent sommet par sommet à partir de $A$ : les dénominateurs contiennent donc toujours $A$ , sauf pour le rapport des bases.

7. Multiplier une aire par le rapport d'agrandissement

2 points, et une réponse trois fois trop petite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Toutes les longueurs sont multipliées par $3$ , donc l'aire de $12$ centimètres carrés devient $36$ centimètres carrés. »

Ce qu'il faut écrire

« Dans un agrandissement de rapport $3$ , les aires sont multipliées par $3^{2}=9$ : l'aire devient $12\times 9=108$ centimètres carrés. »

Le grand rectangle est l'agrandissement de rapport

3

du petit : il en contient exactement

9

, pas

3

. Les aires sont multipliées par

k^{2}

Pourquoi : Une aire est un produit de deux longueurs, donc chacune est multipliée par $k$ et l'aire par $k\times k$ . Le contrôle visuel est immédiat sur un carré : en triplant le côté, on voit neuf petits carrés, pas trois.

8. Mesurer la distance d'un point à une droite sur un point quelconque

1 à 2 points, et une comparaison de distances faussée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La distance de $A$ à la droite $d$ vaut $AM=7$ , puisque $M$ est un point de $d$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La distance de $A$ à $d$ est $AH$ , où $H$ est le projeté ORTHOGONAL de $A$ sur $d$ . Comme $AHM$ est rectangle en $H$ , $AH<AM=7$ : la distance cherchée est strictement inférieure à $7$ . »

La distance de

A

à la droite se mesure sur le projeté ORTHOGONAL

H

, pas sur un point quelconque

M

[AH]

est un côté du triangle rectangle dont

[AM]

est l'hypoténuse, donc

AH<AM

Pourquoi : La distance d'un point à une droite est un MINIMUM, et il est atteint sur la perpendiculaire. Dans le triangle rectangle $AHM$ , $AM$ est l'hypoténuse, donc le plus grand côté : c'est Pythagore qui garantit que le projeté donne bien la plus courte distance.

Quelle méthode choisir

Quelle relation trigonométrique choisir

Lister les trois côtés du triangle rectangle : celui qu'on connaît, celui qu'on cherche, et l'hypoténuse.

Si on connaît l'hypoténuse et on cherche le côté ADJACENT à l'angle → cosinus

Exemple : $\cos(40^{\circ})=\frac{x}{12}$ donne $x=12\cos(40^{\circ})$
Si on connaît l'hypoténuse et on cherche le côté OPPOSÉ à l'angle → sinus

Exemple : $\sin(40^{\circ})=\frac{x}{12}$ donne $x=12\sin(40^{\circ})$
Si l'hypoténuse n'est ni connue ni demandée → tangente, la seule relation qui ne la contient pas

Exemple : $\tan(62^{\circ})=\frac{h}{25}$ donne $h=25\tan(62^{\circ})$

c'est le cas de tous les problèmes de visée et de hauteur
Si on connaît deux longueurs et on cherche l'ANGLE → former le rapport correspondant, puis utiliser la touche inverse de la calculatrice

Exemple : $\cos\widehat{B}=0{,}75$ donne $\widehat{B}\approx 41{,}4^{\circ}$
Si on connaît deux côtés et on cherche le troisième, sans aucun angle → Pythagore, pas la trigonométrie

Exemple : $AC^{2}=100-36=64$ donne $AC=8$

Si aucune branche ne s'applique, c'est que le triangle n'est pas rectangle : en Seconde, il faut alors le découper en deux triangles rectangles par une hauteur.

Quel théorème selon ce que l'énoncé demande

Lire le verbe de la question et repérer ce qui est marqué sur la figure.

Si l'angle droit est donné et on demande une LONGUEUR → théorème de Pythagore

Exemple : « $ABC$ rectangle en $A$ , calculer $BC$ »
Si trois longueurs sont données et on demande si le triangle est RECTANGLE → réciproque du théorème de Pythagore, avec les deux membres calculés séparément

Exemple : « montrer que $ABC$ est rectangle »
Si deux droites sont parallèles dans une configuration en triangle → théorème de Thalès

Exemple : « $(MN)$ parallèle à $(BC)$ , calculer $MN$ »
Si l'énoncé parle d'un modèle réduit, d'une maquette ou d'un rapport de longueurs → agrandissement : $k$ pour les longueurs, $k^{2}$ pour les aires, $k^{3}$ pour les volumes

Exemple : « la maquette est à l'échelle $\frac{1}{20}$ »
Si l'énoncé demande la DISTANCE d'un point à une droite → projeté orthogonal, puis Pythagore ou trigonométrie dans le triangle rectangle formé

Exemple : « calculer la distance de $A$ à $(BC)$ »

La propriété doit être NOMMÉE dans la copie avant le calcul. Un résultat juste sans propriété citée perd le point de justification, qui pèse souvent autant que le calcul.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Appliquer la réciproque du théorème de Pythagore

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé donne trois longueurs et demande de démontrer qu'un triangle est rectangle, ou qu'il ne l'est pas.

1 Repérer le PLUS GRAND côté et le nommer : « le plus grand côté est $[AB]$ , il mesure $5$ ».
2 Calculer le premier membre séparément, sur sa propre ligne : « $AB^{2}=5^{2}=25$ ».
3 Calculer le second membre séparément : « $AC^{2}+BC^{2}=4^{2}+3^{2}=16+9=25$ ».
4 Comparer les deux nombres obtenus, explicitement : « ces deux résultats sont égaux ».
5 Citer la réciproque, puis conclure en nommant le sommet de l'angle droit, qui est celui opposé au plus grand côté.

Phrase de conclusion

« $AB^{2}=25$ et $AC^{2}+BC^{2}=25$ , ces deux nombres sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ . »

Le piège : Écrire directement l'égalité $AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$ en tête de la démonstration. C'est ce qu'il faut PROUVER : l'écrire d'emblée revient à supposer la conclusion, et le correcteur retire le point.

Barème : Souvent 1 point pour chaque membre calculé séparément, 1 point pour la comparaison, 1 point pour la propriété nommée et le sommet de l'angle droit.

Calculer une longueur avec le théorème de Thalès

Quand l'utiliser : Dès que la figure présente deux triangles emboîtés et que l'énoncé donne un parallélisme.

1 Citer l'hypothèse de parallélisme telle qu'elle est donnée : « les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles ».
2 Nommer les deux triangles emboîtés et le sommet commun : « les triangles $AMN$ et $ABC$ ont le sommet $A$ en commun ».
3 Écrire la chaîne complète des trois rapports, même si un seul servira : $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$ .
4 Ne garder que l'égalité entre les deux rapports utiles, remplacer par les valeurs numériques, puis résoudre par produit en croix.
5 Conclure avec l'unité et un arrondi annoncé si le résultat n'est pas exact.

Phrase de conclusion

« Comme $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, le théorème de Thalès donne $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$ , soit $\frac{3}{5}=\frac{MN}{10}$ , donc $MN=6$ centimètres. »

Le piège : Comparer un petit segment à un morceau du grand, comme $\frac{AN}{NC}$ . Le dénominateur doit être le segment ENTIER issu du sommet commun.

Barème : Souvent 1 point pour l'hypothèse citée, 1 point pour la chaîne de rapports, 1 point pour le calcul et l'unité.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'hypoténuse est le plus grand côté

Après tout calcul de longueur dans un triangle rectangle, comparer le résultat à l'hypoténuse. Il doit lui être strictement inférieur.

Un côté trouvé à $11{,}7$ dans un triangle d'hypoténuse $10$ est impossible : le calcul a additionné au lieu de soustraire.
Le cosinus et le sinus restent entre $0$ et $1$

Regarder la valeur affichée avant de chercher l'angle. Une valeur négative signale le mode radian, une valeur supérieure à $1$ signale une fraction écrite à l'envers.

$\cos(35^{\circ})\approx 0{,}819$ en mode degré, mais $\cos(35)\approx -0{,}903$ en mode radian : la calculatrice n'a pas changé, le mode si.
L'ordre de grandeur de la figure

Comparer le résultat à la réalité décrite : une hauteur d'immeuble, une longueur de rampe, une distance de visée. Une réponse absurde se repère sans calcul.

Un immeuble vu sous $62^{\circ}$ à $25$ mètres est forcément plus haut que $25$ mètres : la réponse $11{,}7$ mètres est éliminée d'emblée.
Le contrôle croisé par Pythagore

Quand la trigonométrie a donné deux côtés, vérifier le troisième par Pythagore. Les deux méthodes doivent concorder à l'arrondi près.

$47{,}0$ et $25$ donnent $\sqrt{47{,}0^{2}+25^{2}}\approx 53{,}2$ , ce qui doit être aussi $\frac{25}{\cos(62^{\circ})}$ .

L'exercice type décortiqué

La hauteur d'un immeuble par visée

Un observateur se place à $25$ mètres du pied d'un immeuble, sur un sol horizontal.

Ses yeux sont à $1{,}60$ mètre du sol et il voit le sommet de l'immeuble sous un angle d'élévation de $62^{\circ}$ .

1. Calculer la hauteur de l'immeuble, arrondie au centième de mètre.

2. Calculer la distance entre ses yeux et le sommet de l'immeuble.

3. Vérifier ce dernier résultat par une autre méthode.

Étape 1

On note $H$ le point de l'immeuble à la hauteur des yeux, $S$ son sommet et $O$ la position des yeux. Le triangle $OHS$ est rectangle en $H$ , avec $OH=25$ et l'angle $\widehat{HOS}=62^{\circ}$ .

Pourquoi

La figure doit être posée avant tout calcul, et surtout le triangle rectangle doit être isolé du reste de la situation. La hauteur des yeux ne fait pas partie du triangle, elle s'ajoutera à la fin.

Étape 2

Dans ce triangle, $HS$ est le côté opposé à l'angle et $OH$ le côté adjacent ; l'hypoténuse $OS$ n'est ni connue ni demandée. On utilise donc la tangente : $\tan(62^{\circ})=\frac{HS}{25}$ .

Pourquoi

Le choix de la relation se justifie par les côtés en jeu, et cette justification est notée. Avec le cosinus, on obtiendrait un résultat plus petit que la distance au pied, ce qui n'a pas de sens ici.

Étape 3

$HS=25\times\tan(62^{\circ})\approx 25\times 1{,}8807\approx 47{,}02$ mètres.

Pourquoi

La calculatrice doit être en mode degré. Un contrôle instantané : l'angle dépasse $45^{\circ}$ , donc la tangente dépasse $1$ , donc la hauteur dépasse la distance de $25$ mètres.

Étape 4

La hauteur de l'immeuble est $HS$ augmentée de la hauteur des yeux : $h\approx 47{,}02+1{,}60\approx 48{,}62$ mètres.

Pourquoi

C'est l'étape que la moitié des copies oublie, alors qu'elle est explicitement dans l'énoncé. Le triangle ne mesure que la partie visée, jamais la partie située sous le niveau des yeux.

Étape 5

Pour la distance $OS$ , on connaît l'adjacent et on cherche l'hypoténuse : $\cos(62^{\circ})=\frac{25}{OS}$ , donc $OS=\frac{25}{\cos(62^{\circ})}\approx 53{,}25$ mètres.

Pourquoi

L'inconnue est ici au DÉNOMINATEUR, ce qui change le geste algébrique : on multiplie en croix au lieu de multiplier directement. C'est la deuxième erreur la plus fréquente du chapitre après le choix de la relation.

Étape 6

Vérification par Pythagore dans le triangle $OHS$ rectangle en $H$ : $OS^{2}=OH^{2}+HS^{2}\approx 625+2210{,}7\approx 2835{,}7$ , donc $OS\approx 53{,}25$ mètres.

Pourquoi

Les deux méthodes sont indépendantes, l'une trigonométrique et l'autre métrique : leur accord valide à la fois la valeur de la tangente et celle du cosinus, donc le mode de la calculatrice.

Étape 7

Contrôle final de cohérence : $OS>HS>OH$ , soit $53{,}25>47{,}02>25$ . L'hypoténuse est bien le plus grand côté du triangle.

Pourquoi

Ce classement doit être vrai dans tout triangle rectangle. S'il ne l'est pas, l'erreur est dans le choix de la relation ou dans le mode de la calculatrice, et elle se localise sans refaire un seul calcul.

Conclusion rédigée

L'immeuble mesure environ $48{,}62$ mètres de haut, et la distance entre les yeux de l'observateur et le sommet est d'environ $53{,}25$ mètres.

L'erreur classique sur cet exercice : Oublier d'ajouter les $1{,}60$ mètre de la hauteur des yeux. Le résultat $47{,}02$ mètres reste tout à fait plausible pour un immeuble, donc l'erreur ne se voit ni à la relecture ni au contrôle d'ordre de grandeur : seule la relecture de l'énoncé la révèle.

À savoir par cœur

• Théorème de Pythagore : on part de l'angle droit pour CALCULER une longueur. Réciproque : on part des trois longueurs pour DÉMONTRER un angle droit.
• L'hypoténuse est opposée à l'angle droit, et c'est toujours le plus grand côté.
• $\cos=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ , $\sin=\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ , $\tan=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$ , avec adjacent et opposé lus par rapport à l'angle choisi.
• La tangente est la seule des trois qui n'utilise pas l'hypoténuse.
• Un cosinus ou un sinus d'angle aigu est strictement compris entre $0$ et $1$ : sinon, la calculatrice est en radians ou la fraction est à l'envers.
• Thalès : $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$ , chaque dénominateur est le segment ENTIER issu du sommet commun.
• Agrandissement de rapport $k$ : longueurs $\times k$ , aires $\times k^{2}$ , volumes $\times k^{3}$ .
• La distance d'un point à une droite se mesure sur le projeté ORTHOGONAL, et c'est la plus petite de toutes.

Questions fréquentes

Quand utiliser le théorème de Pythagore et quand utiliser sa réciproque ?

Le théorème s'utilise quand l'angle droit est déjà connu et qu'on cherche une longueur. La réciproque s'utilise quand on connaît les trois longueurs et qu'on veut démontrer que le triangle est rectangle. Nommer le bon énoncé rapporte un point à lui seul, et le sommet de l'angle droit est celui opposé au plus grand côté.

Comment choisir entre cosinus, sinus et tangente ?

On regarde les trois côtés en jeu. Si l'hypoténuse intervient avec le côté collé à l'angle, c'est le cosinus ; avec le côté en face de l'angle, c'est le sinus. Si l'hypoténuse n'est ni connue ni demandée, c'est la tangente, la seule relation qui ne la contient pas. C'est le cas de tous les problèmes de visée.

Pourquoi ma calculatrice donne un cosinus négatif ?

Parce qu'elle est en mode radian et non en mode degré. En radians, un angle de trente-cinq correspond à plus de cinq tours, ce qui n'a aucun sens dans un triangle rectangle. Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours compris strictement entre zéro et un : toute autre valeur signale le mauvais mode.

Comment écrire correctement les rapports du théorème de Thalès ?

Chaque rapport compare un segment du petit triangle au segment correspondant du grand, et les dénominateurs partent tous du sommet commun aux deux triangles. Le dernier rapport, celui des deux bases parallèles, ne contient pas ce sommet. Comparer un segment à un simple morceau du grand côté est l'erreur la plus fréquente.

Par combien sont multipliées les aires dans un agrandissement ?

Par le carré du rapport d'agrandissement, pas par le rapport lui-même. Une aire est un produit de deux longueurs, donc chacune est multipliée par le rapport et l'aire par le rapport au carré. Pour les volumes, c'est le cube. En triplant le côté d'un carré, on obtient neuf petits carrés et non trois.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Configurations et trigonométrie

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

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La trigonométriePremière

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Fiche de révision : configurations et trigonométrie (Seconde)

L'essentiel

Pythagore et sa réciproque, deux énoncés à ne jamais échanger

Les trois rapports, et l'angle qui les définit

Thalès, agrandissement et projeté orthogonal

Les pièges qui coûtent des points

1. Invoquer le théorème de Pythagore là où c'est sa réciproque

2. Se tromper d'hypoténuse dans le calcul

3. Utiliser le cosinus alors que l'hypoténuse est inconnue

4. Laisser la calculatrice en radians

5. Accepter un cosinus supérieur à 111

6. Apparier les mauvais segments dans Thalès

7. Multiplier une aire par le rapport d'agrandissement

8. Mesurer la distance d'un point à une droite sur un point quelconque

Quelle méthode choisir

Quelle relation trigonométrique choisir

Quel théorème selon ce que l'énoncé demande

La rédaction attendue

Appliquer la réciproque du théorème de Pythagore

Calculer une longueur avec le théorème de Thalès

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

La hauteur d'un immeuble par visée

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quand utiliser le théorème de Pythagore et quand utiliser sa réciproque ?

Comment choisir entre cosinus, sinus et tangente ?

Pourquoi ma calculatrice donne un cosinus négatif ?

Comment écrire correctement les rapports du théorème de Thalès ?

Par combien sont multipliées les aires dans un agrandissement ?

Exercices corrigés : Configurations et trigonométrie

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5. Accepter un cosinus supérieur à $1$