Exercice 0.1 : Calculer des produits scalaires : onze calculs directs

Le plan est muni d'un repère orthonormé. Pour chaque ligne, calculez le nombre demandé : un produit scalaire, une norme, un angle en degrés, une longueur ou un paramètre. Les longueurs irrationnelles se donnent au millième.

Une seule méthode pour les onze lignes : CHOISIR l'expression du produit scalaire qui correspond aux données. Des coordonnées : $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$ et $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ . Deux normes et un angle : $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos\theta$ . Des normes seulement : $\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}$ , et dans un triangle la formule d'Al-Kashi, $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\widehat{A}$ .

a) $\vec{u}\,(5\,;-3)$ et $\vec{v}\,(2\,;4)$ : calculez $\vec{u}\cdot\vec{v}$ .
b) $\vec{u}\,(-3\,;7)$ et $\vec{v}\,(14\,;6)$ : calculez $\vec{u}\cdot\vec{v}$ , puis dites si les vecteurs sont orthogonaux.
c) $\vec{u}\,(4\,;-7)$ : calculez $\|\vec{u}\|$ .
d) $\|\vec{u}\|=3$ , $\|\vec{v}\|=4\sqrt{2}$ et l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ mesure $45^{\circ}$ : calculez $\vec{u}\cdot\vec{v}$ .
e) $\|\vec{u}\|=2\sqrt{3}$ , $\|\vec{v}\|=5$ et l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ mesure $150^{\circ}$ : calculez $\vec{u}\cdot\vec{v}$ .
f) $\|\vec{u}\|=2$ , $\|\vec{v}\|=5$ et $\vec{u}\cdot\vec{v}=-5\sqrt{2}$ : calculez la mesure en degrés de l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .
g) $\|\vec{u}\|=5$ , $\|\vec{v}\|=2$ et $\vec{u}\cdot\vec{v}=3$ : calculez $\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}$ .
h) $\|\vec{u}\|=4$ , $\|\vec{v}\|=3$ et $\|\vec{u}+\vec{v}\|=6$ : calculez $\vec{u}\cdot\vec{v}$ .
i) Dans un triangle $ABC$ , $AB=5$ , $AC=8$ et $\widehat{BAC}=120^{\circ}$ : calculez $BC$ .
j) Un triangle a pour côtés $3$ , $5$ et $7$ : calculez la mesure en degrés de l'angle opposé au côté de longueur $7$ .
k) $\vec{u}\,(k\,;3)$ et $\vec{v}\,(k-1\,;-2)$ : trouvez les valeurs du réel $k$ pour lesquelles $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/13

a)

\vec{u}\cdot\vec{v}

b)

\vec{u}\cdot\vec{v}

Orthogonaux ?

c)

\|\vec{u}\|

d)

\vec{u}\cdot\vec{v}

e)

\vec{u}\cdot\vec{v}

f)

Angle, en degrés

g)

\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}

h)

\vec{u}\cdot\vec{v}

i)

BC

j)

Angle, en degrés

k)

Plus petite valeur

Plus grande valeur

Voir la correction

Réponses

a) $5\times 2+(-3)\times 4$ ; $-2$
b) $-42+42=0$ ; orthogonaux
c) $\sqrt{65}$ ; $\approx 8{,}062$
d) $12\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; $12$
e) $10\sqrt{3}\times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ ; $-15$
f) $\cos\theta=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; $135^{\circ}$
g) $25-6+4$ ; $23$
h) $\frac{36-16-9}{2}$ ; $5{,}5$
i) $BC^{2}=129$ ; $BC=\sqrt{129}\approx 11{,}358$
j) $\cos\theta=-\frac{1}{2}$ ; $120^{\circ}$
k) $k^{2}-k-6=0$ ; $k=-2$ ou $k=3$

Le geste qui décide de tout : lire les DONNÉES avant de choisir la formule. Des coordonnées appellent $xx'+yy'$ ; un angle appelle le cosinus ; trois normes, ou trois côtés, appellent le développement d'un carré ou Al-Kashi. Le piège commun à toute la liste est le signe : un angle obtus donne un cosinus NÉGATIF, donc un produit scalaire négatif.

a)

$\vec{u}\cdot\vec{v}=5\times 2+(-3)\times 4=10-12=-2$ .

b)

$\vec{u}\cdot\vec{v}=(-3)\times 14+7\times 6=-42+42=0$ : les vecteurs, tous deux non nuls, sont orthogonaux.

c)

$\|\vec{u}\|=\sqrt{4^{2}+(-7)^{2}}=\sqrt{16+49}=\sqrt{65}\approx 8{,}062$ . Piège : écrire $16-49$ ; le carré efface le signe de la coordonnée.

d)

$\vec{u}\cdot\vec{v}=3\times 4\sqrt{2}\times\cos 45^{\circ}=12\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=12$ .

e)

$\cos 150^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ , donc $\vec{u}\cdot\vec{v}=2\sqrt{3}\times 5\times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{10\times 3}{2}=-15$ . Piège : prendre $\cos 150^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ et trouver $15$ ; l'angle est obtus, le produit scalaire est négatif.

f)

$\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|}=\frac{-5\sqrt{2}}{10}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ , donc $\theta=135^{\circ}$ . Piège : s'arrêter à $45^{\circ}$ en oubliant le signe du cosinus.

g)

$\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}-2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}=25-6+4=23$ . Piège : oublier le facteur $2$ du double produit, ce qui donne $26$ .

h)

$\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}$ , donc $36=16+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+9$ , puis $2\,\vec{u}\cdot\vec{v}=11$ et $\vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{11}{2}=5{,}5$ . Piège : ne pas élever $\|\vec{u}+\vec{v}\|=6$ au carré.

i)

Al-Kashi : $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\times AB\times AC\times\cos 120^{\circ}=25+64-80\times\left(-\frac{1}{2}\right)=89+40=129$ , donc $BC=\sqrt{129}\approx 11{,}358$ . Piège : retrancher $40$ au lieu de l'ajouter, ce qui donne $\sqrt{49}=7$ ; $\cos 120^{\circ}$ est négatif.

j)

Al-Kashi à l'envers, l'angle étant celui qui fait face au côté $7$ : $7^{2}=3^{2}+5^{2}-2\times 3\times 5\times\cos\theta$ , soit $49=34-30\cos\theta$ , donc $\cos\theta=\frac{34-49}{30}=-\frac{1}{2}$ et $\theta=120^{\circ}$ . Le plus grand côté fait face au plus grand angle, ici obtus.

k)

$\vec{u}\cdot\vec{v}=k(k-1)+3\times(-2)=k^{2}-k-6$ . L'orthogonalité impose $k^{2}-k-6=0$ , de discriminant $\Delta=1+24=25$ : $k=\frac{1-5}{2}=-2$ ou $k=\frac{1+5}{2}=3$ . Vérification pour $k=3$ : $\vec{u}\,(3\,;3)$ , $\vec{v}\,(2\,;-2)$ , et $6-6=0$ .

Contrôle : un cosinus trouvé est toujours entre $-1$ et $1$ , et son signe est celui du produit scalaire ; un produit scalaire calculé par les normes doit vérifier $|\vec{u}\cdot\vec{v}|\leq\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|$ ; une longueur trouvée par Al-Kashi doit respecter l'inégalité triangulaire, comme $\sqrt{129}<5+8$ en i).

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Exercice 1 : Produit scalaire et coordonnées

Le plan est muni d'un repère orthonormé. Les quatre vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ et $\vec{t}$ sont représentés ci-dessous, tous d'origine $O$ .

a) Lisez sur la figure les coordonnées de chacun des quatre vecteurs.
b) Calculez $\vec{u}\cdot\vec{v}$ . Que peut-on en conclure ? Vérifiez cette conclusion sur la figure.
c) Calculez $\vec{w}\cdot\vec{t}$ .
d) Calculez les normes $\|\vec{w}\|$ et $\|\vec{t}\|$ .
e) Déduisez-en une valeur exacte du cosinus de l'angle entre $\vec{w}$ et $\vec{t}$ , puis la mesure de cet angle en degrés.

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Réponses

a) $\vec{u}(3;-2)$ , $\vec{v}(4;6)$ , $\vec{w}(1;5)$ , $\vec{t}(-2;3)$
b) $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ : orthogonaux
c) $\vec{w}\cdot\vec{t}=13$
d) $\sqrt{26}\approx 5{,}10$ et $\sqrt{13}\approx 3{,}61$
e) $\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$ : $45^{\circ}$

a)

On lit les déplacements depuis l'origine : $\vec{u}(3,\ -2)$ , $\vec{v}(4,\ 6)$ , $\vec{w}(1,\ 5)$ et $\vec{t}(-2,\ 3)$ . On compte d'abord le déplacement HORIZONTAL, puis le vertical : c'est l'ordre des coordonnées, et l'inverser est l'erreur la plus fréquente en lecture graphique. Les signes se lisent sur le sens du déplacement, vers la gauche ou vers le bas pour un signe négatif.

b)

$\vec{u}\cdot\vec{v}=3\times 4+(-2)\times 6=12-12=0$ . Les deux vecteurs sont donc ORTHOGONAUX. La figure le confirme : $\vec{u}$ pointe vers le bas à droite et $\vec{v}$ vers le haut à droite, et l'angle qu'ils forment est bien droit. C'est là tout l'intérêt du produit scalaire, qui permet de prouver une perpendicularité par un calcul de deux multiplications, là où la géométrie classique demanderait une construction.

c)

$\vec{w}\cdot\vec{t}=1\times(-2)+5\times 3=-2+15=13$ . Le résultat étant POSITIF, on sait déjà, avant tout calcul d'angle, que l'angle entre les deux vecteurs est aigu.

d)

$\|\vec{w}\|=\sqrt{1^{2}+5^{2}}=\sqrt{26}\approx 5{,}10$ et $\|\vec{t}\|=\sqrt{(-2)^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}\approx 3{,}61$ . La norme n'est rien d'autre que le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par les deux coordonnées, et les carrés effacent les signes.

e)

$\cos\theta=\frac{\vec{w}\cdot\vec{t}}{\|\vec{w}\|\times\|\vec{t}\|}=\frac{13}{\sqrt{26}\times\sqrt{13}}=\frac{13}{\sqrt{338}}$ . On simplifie plutôt que de passer à la calculatrice : $\sqrt{338}=\sqrt{169\times 2}=13\sqrt{2}$ , donc $\cos\theta=\frac{13}{13\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ . L'angle mesure donc EXACTEMENT $45^{\circ}$ .

Deux contrôles valident systématiquement ce type de calcul, et il faut les faire. D'abord le cosinus obtenu doit appartenir à $[-1\,;\,1]$ , faute de quoi une norme a été mal calculée ; ici $0{,}707$ convient ✓. Ensuite son signe doit correspondre à celui du produit scalaire, positif pour un angle aigu et négatif pour un angle obtus ; ici les deux sont positifs ✓. Le fait de tomber sur une valeur exacte comme $45^{\circ}$ n'est jamais un hasard dans un exercice, c'est le signe que la simplification était attendue : une réponse du type $\theta\approx 45{,}0^{\circ}$ obtenue à la calculatrice serait moins bien notée qu'une valeur exacte justifiée.

Exercice 2 : Produit scalaire, normes et angle

On utilise ici l'expression $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos(\theta)$ , où $\theta$ désigne l'angle entre les deux vecteurs.

a) $\|\vec{u}\|=5$ , $\|\vec{v}\|=3$ et $\theta=60^{\circ}$ . Calculez $\vec{u}\cdot\vec{v}$ .
b) Mêmes normes, mais $\theta=120^{\circ}$ . Calculez $\vec{u}\cdot\vec{v}$ et commentez le signe.
c) Mêmes normes, mais $\theta=90^{\circ}$ . Que vaut le produit scalaire ?
d) On sait que $\|\vec{u}\|=4$ , $\|\vec{v}\|=6$ et $\vec{u}\cdot\vec{v}=-12$ . Déterminez $\theta$ .
e) Un élève affirme que $\|\vec{u}\|=3$ , $\|\vec{v}\|=4$ et $\vec{u}\cdot\vec{v}=20$ est possible. Réfutez.

Voir la correction

Réponses

a) $7{,}5$
b) $-7{,}5$ : angle obtus
c) $0$ : orthogonaux
d) $\theta=120^{\circ}$
e) Impossible : $|\vec{u}\cdot\vec{v}|\leq 12$

a)

$\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos\theta=5\times 3\times\cos(60^{\circ})=15\times\frac{1}{2}=7{,}5$ . Cette expression est la SECONDE définition du produit scalaire, celle qui s'utilise quand on connaît l'angle plutôt que les coordonnées ; les deux expressions donnent toujours le même nombre.

b)

$\cos(120^{\circ})=-\frac{1}{2}$ , donc $\vec{u}\cdot\vec{v}=15\times\left(-\frac{1}{2}\right)=-7{,}5$ . Le produit scalaire est NÉGATIF parce que l'angle est obtus : les deux vecteurs pointent globalement en sens opposés. Comparé à a), seul le signe a changé, les angles $60^{\circ}$ et $120^{\circ}$ étant supplémentaires et leurs cosinus opposés.

c)

$\cos(90^{\circ})=0$ , donc le produit scalaire est nul : c'est le cas d'ORTHOGONALITÉ, et l'on retrouve par cette seconde expression ce que l'exercice 1 avait établi par les coordonnées. Le produit scalaire est donc l'unique quantité qui vaut zéro exactement lorsque les vecteurs sont perpendiculaires, ce qui en fait l'outil de démonstration de tout le chapitre.

d)

On isole le cosinus : $\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|}=\frac{-12}{4\times 6}=\frac{-12}{24}=-\frac{1}{2}$ , donc $\theta=120^{\circ}$ . Le signe négatif du produit scalaire annonçait déjà un angle obtus, et l'on vérifie que $120^{\circ}>90^{\circ}$ ✓.

e)

Impossible. Comme $|\cos\theta|\leq 1$ pour tout angle, on a toujours $\left|\vec{u}\cdot\vec{v}\right|\leq\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|$ , soit ici au plus $3\times 4=12$ . La valeur annoncée, $20$ , dépasse ce maximum : aucun couple de vecteurs ne peut réaliser ces trois données.

L'inégalité utilisée en e) porte un nom, celle de Cauchy et Schwarz, et elle mérite d'être retenue comme un contrôle de vraisemblance systématique. Elle dit qu'un produit scalaire ne peut jamais dépasser, en valeur absolue, le produit des normes, et que l'égalité n'a lieu que pour des vecteurs COLINÉAIRES, l'angle valant alors $0^{\circ}$ ou $180^{\circ}$ . On dispose ainsi d'une échelle complète : le produit scalaire vaut $+\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|$ pour des vecteurs de même sens, décroît jusqu'à $0$ à la perpendicularité, puis jusqu'à $-\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|$ pour des vecteurs de sens opposés. Le produit scalaire mesure donc à quel point deux vecteurs vont dans la même direction.

Exercice 3 : Développer avec le produit scalaire

On donne $\|\vec{u}\|=3$ , $\|\vec{v}\|=4$ et $\vec{u}\cdot\vec{v}=5$ .

a) Développez $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2$ en fonction de $\|\vec{u}\|$ , $\|\vec{v}\|$ et $\vec{u}\cdot\vec{v}$ , puis calculez $\|\vec{u}+\vec{v}\|$ .
b) Faites de même pour $\|\vec{u}-\vec{v}\|$ .
c) Calculez $(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})$ et exprimez le résultat en fonction des normes seules.
d) Retrouvez $\vec{u}\cdot\vec{v}$ à partir de $\|\vec{u}+\vec{v}\|$ , $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$ .

Voir la correction

Réponses

a) $\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=35$ , $\|\vec{u}+\vec{v}\|=\sqrt{35}\approx 5{,}92$
b) $15$ , $\sqrt{15}\approx 3{,}87$
c) $\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}=-7$
d) $\frac{1}{2}(35-9-16)=5$

a)

On développe comme une identité remarquable, le produit scalaire se comportant exactement comme une multiplication vis-à-vis de l'addition : $\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\|\vec{u}\|^{2}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}=9+10+16=35$ , donc $\|\vec{u}+\vec{v}\|=\sqrt{35}\approx 5{,}92$ . Le point de méthode est de toujours passer par le CARRÉ de la norme, jamais par la norme elle-même, car seul le carré se développe.

b)

Même développement avec le signe opposé sur le double produit : $\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}-2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}=9-10+16=15$ , donc $\|\vec{u}-\vec{v}\|=\sqrt{15}\approx 3{,}87$ .

c)

$(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}=9-16=-7$ . Les termes croisés se compensent parce que le produit scalaire est SYMÉTRIQUE, c'est-à-dire que $\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$ ; on retrouve exactement l'identité $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ .

d)

On isole le double produit dans la formule de a) : $\vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}-\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}\right)=\frac{1}{2}(35-9-16)=\frac{10}{2}=5$ ✓. On retrouve bien la donnée de l'énoncé, ce qui valide toute la chaîne de calculs.

La question d) a une portée qui dépasse la vérification : elle montre que le produit scalaire se DÉDUIT entièrement des longueurs. Trois distances suffisent donc à retrouver un angle, ce qui est exactement le contenu de la formule d'Al-Kashi de l'exercice 6, et cela explique pourquoi le produit scalaire est l'outil naturel des problèmes métriques. On peut vérifier au passage une identité remarquable de plus : $\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}+\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}=35+15=50$ et $2\left(\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}\right)=2(9+16)=50$ ✓. Cette égalité, dite du parallélogramme, dit que la somme des carrés des diagonales égale la somme des carrés des quatre côtés.

Exercice 4 : Projeté orthogonal

Dans un repère orthonormé, on donne $A(1,\ 2)$ , $B(5,\ 4)$ et $C(3,\ 6)$ .

On note $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ . La longueur $CH$ est alors la distance du point $C$ à la droite $(AB)$ , comme le montre la figure.

a) Calculez les coordonnées de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ , puis le produit scalaire $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ .
b) Calculez $\|\vec{AB}\|$ , puis le coefficient $k=\frac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{\|\vec{AB}\|^{2}}$ . Que nous apprend l'encadrement $0<k<1$ sur la position de $H$ ? Est-ce cohérent avec la figure ?
c) Sachant que $\vec{AH}=k\,\vec{AB}$ , déterminez les coordonnées de $H$ .
d) Vérifiez que $\vec{HC}$ est bien orthogonal à $\vec{AB}$ .

Voir la correction

Réponses

a) $\vec{AB}(4;2)$ , $\vec{AC}(2;4)$ , produit $16$
b) $\|\vec{AB}\|^{2}=20$ , $k=0{,}8$ : $H$ sur le segment $[AB]$
c) $H(4{,}2\,;3{,}6)$
d) $\vec{HC}\cdot\vec{AB}=0$

a)

$\vec{AB}(5-1,\ 4-2)=(4,\ 2)$ et $\vec{AC}(3-1,\ 6-2)=(2,\ 4)$ . Donc $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=4\times 2+2\times 4=8+8=16$ , valeur positive, ce qui indique que l'angle $\widehat{BAC}$ est aigu et que $H$ tombera du bon côté de $A$ .

b)

$\|\vec{AB}\|=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ , donc $\|\vec{AB}\|^{2}=20$ et $k=\frac{16}{20}=0{,}8$ . Comme $0<k<1$ , le point $H$ appartient au SEGMENT $[AB]$ lui-même et non à son prolongement : c'est bien ce que montre la figure, où $H$ se situe entre $A$ et $B$ , plus près de $B$ puisque $k$ est proche de $1$ . Un $k$ négatif aurait placé $H$ de l'autre côté de $A$ , et un $k$ supérieur à $1$ au-delà de $B$ . Le coefficient $k$ se lit donc comme la FRACTION du trajet de $A$ vers $B$ à laquelle se trouve le projeté.

c)

$\vec{AH}=k\,\vec{AB}=0{,}8\times(4,\ 2)=(3{,}2\ ;\ 1{,}6)$ , d'où $H\left(1+3{,}2\ ;\ 2+1{,}6\right)=(4{,}2\ ;\ 3{,}6)$ . Attention à ne pas confondre le VECTEUR $\vec{AH}$ et le POINT $H$ : il faut ajouter les coordonnées de $A$ , faute de quoi on obtiendrait un point situé près de l'origine.

d)

$\vec{HC}=(3-4{,}2\ ;\ 6-3{,}6)=(-1{,}2\ ;\ 2{,}4)$ . Le produit scalaire avec $\vec{AB}(4,\ 2)$ vaut $-1{,}2\times 4+2{,}4\times 2=-4{,}8+4{,}8=0$ ✓ : les vecteurs sont bien orthogonaux, ce qui valide le calcul de $H$ . Cette vérification est indispensable et coûte deux multiplications ; s'en dispenser revient à rendre un résultat non contrôlé.

On dispose maintenant de la distance cherchée : $CH=\sqrt{(-1{,}2)^{2}+2{,}4^{2}}=\sqrt{1{,}44+5{,}76}=\sqrt{7{,}2}\approx 2{,}683$ . Il vaut la peine de noter la logique d'ensemble, car elle se rejoue à l'identique dans l'espace en Terminale. Le projeté orthogonal est le point de la droite le PLUS PROCHE de $C$ , et la formule $k=\frac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{\|\vec{AB}\|^{2}}$ n'est que la traduction de la condition $\vec{HC}\cdot\vec{AB}=0$ , résolue une fois pour toutes. On peut d'ailleurs retrouver la distance sans passer par $H$ , à l'aide du déterminant : $CH=\frac{\left|4\times 4-2\times 2\right|}{\|\vec{AB}\|}=\frac{12}{2\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}\approx 2{,}683$ ✓, exactement la même valeur.

Exercice 5 : Équations de cercles

Le plan est muni d'un repère orthonormé.

Le cercle de la question a) est représenté ci-dessous, ainsi que les points $P(5,\ -1)$ et $Q(0,\ 0)$ .

a) Déterminez une équation du cercle de centre $\Omega(2,\ -1)$ et de rayon 3, sous forme développée.
b) Lisez sur la figure la position de $P$ puis celle de $Q$ par rapport au cercle, et confirmez chacune par le calcul.
c) On considère l'équation $x^2+y^2-6x+4y+9=0$ . Montrez qu'il s'agit d'un cercle et donnez son centre et son rayon.
d) L'équation $x^2+y^2-2x+4y+10=0$ définit-elle un cercle ? Justifiez.

Voir la correction

Réponses

a) $x^{2}+y^{2}-4x+2y-4=0$
b) $P$ sur le cercle, $Q$ à l'intérieur
c) Centre $(3\,;-2)$ , rayon $2$
d) Non : $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=-5$ , ensemble vide

a)

Un cercle de centre $\Omega(a,\ b)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ , traduction directe de $\Omega M=r$ élevée au carré. Ici : $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=9$ , en prenant garde au signe, l'ordonnée du centre valant $-1$ donc $y-(-1)=y+1$ . En développant : $x^{2}-4x+4+y^{2}+2y+1=9$ , soit $x^{2}+y^{2}-4x+2y-4=0$ .

b)

La figure montre $P$ SUR le cercle et $Q$ à l'INTÉRIEUR, et le calcul le confirme. Pour $P(5,\ -1)$ : $25+1-20-2-4=0$ , donc $P$ appartient au cercle. Pour $Q(0,\ 0)$ : $0+0-0+0-4=-4\neq 0$ , donc $Q$ n'appartient pas au cercle ; le résultat étant strictement NÉGATIF, $Q$ est intérieur au disque. On le vérifie par la distance au centre : $\Omega Q=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\approx 2{,}24$ , inférieure au rayon $3$ ✓.

c)

On regroupe les termes en $x$ et ceux en $y$ , puis on COMPLÈTE LES CARRÉS : $x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$ et $y^{2}+4y=(y+2)^{2}-4$ . L'équation devient $(x-3)^{2}-9+(y+2)^{2}-4+9=0$ , soit $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=4$ . C'est le cercle de centre $(3,\ -2)$ et de rayon $2$ . La règle de la complétion se retient ainsi : on prend la moitié du coefficient de $x$ , on la met dans la parenthèse, et l'on retranche son carré.

d)

Même traitement : $x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1$ et $y^{2}+4y=(y+2)^{2}-4$ . L'équation devient $(x-1)^{2}-1+(y+2)^{2}-4+10=0$ , soit $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=-5$ . Une somme de carrés ne peut pas être négative : aucun point ne convient, l'ensemble est VIDE. Ce n'est donc pas un cercle.

Une équation de la forme $x^{2}+y^{2}+\alpha x+\beta y+\gamma=0$ ne définit donc pas toujours un cercle, et la question d) montre qu'il faut vérifier avant de conclure. Après complétion des carrés, on obtient un second membre $R$ qui décide de tout : si $R>0$ c'est un cercle de rayon $\sqrt{R}$ , si $R=0$ l'ensemble se réduit au SEUL point central, et si $R<0$ il est vide. Le rôle joué par $R$ est exactement celui du discriminant pour un trinôme, et l'on retrouvera cette trichotomie dans toute la géométrie analytique.

Exercice 6 : Résoudre un triangle avec Al-Kashi

Dans un triangle $ABC$ , on donne $AB=7$ , $AC=5$ et l'angle $\widehat{A}=60^{\circ}$ .

a) Calculez $BC^2$ à l'aide de la formule d'Al-Kashi, puis donnez $BC$ en valeur exacte et arrondie au millième.
b) Calculez $\cos(\widehat{B})$ , puis la mesure de $\widehat{B}$ arrondie au dixième de degré.
c) Déduisez-en $\widehat{C}$ et vérifiez la somme des angles.
d) Le triangle est-il rectangle ? Justifiez.

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Réponses

a) $BC^{2}=39$ , $BC=\sqrt{39}\approx 6{,}245$
b) $\cos\widehat{B}\approx 0{,}7206$ , $\widehat{B}\approx 43{,}9^{\circ}$
c) $\widehat{C}\approx 76{,}1^{\circ}$
d) Non

a)

La formule d'Al-Kashi, ou loi des cosinus, s'écrit $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\times AB\times AC\times\cos\widehat{A}$ : le côté cherché est OPPOSÉ à l'angle connu, ce qui est la seule chose à mémoriser. Ici : $BC^{2}=49+25-2\times 7\times 5\times\frac{1}{2}=74-35=39$ , donc $BC=\sqrt{39}\approx 6{,}245$ . Contrôle de plausibilité : $BC$ doit être compris entre $7-5=2$ et $7+5=12$ par l'inégalité triangulaire, et $6{,}245$ y est ✓.

b)

On applique Al-Kashi à l'angle $\widehat{B}$ , le côté opposé étant $AC$ : $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\times AB\times BC\times\cos\widehat{B}$ , soit $25=49+39-14\sqrt{39}\cos\widehat{B}$ . On isole : $14\sqrt{39}\cos\widehat{B}=88-25=63$ , donc $\cos\widehat{B}=\frac{63}{14\sqrt{39}}\approx 0{,}7206$ et $\widehat{B}\approx 43{,}9^{\circ}$ .

c)

$\widehat{C}=180^{\circ}-60^{\circ}-43{,}9^{\circ}\approx 76{,}1^{\circ}$ . Il est prudent de le confirmer par un calcul INDÉPENDANT plutôt que par la somme des angles, laquelle propagerait une éventuelle erreur de b) : $\cos\widehat{C}=\frac{AC^{2}+BC^{2}-AB^{2}}{2\times AC\times BC}=\frac{25+39-49}{2\times 5\times\sqrt{39}}=\frac{15}{10\sqrt{39}}\approx 0{,}2402$ , ce qui donne bien environ $76{,}1^{\circ}$ ✓. La somme des trois angles vaut alors $180^{\circ}$ à l'arrondi près ✓.

d)

Non. Aucun des trois angles ne vaut $90^{\circ}$ , les valeurs étant $60^{\circ}$ , $43{,}9^{\circ}$ et $76{,}1^{\circ}$ . On peut aussi le voir sur les longueurs, ce qui évite tout calcul d'angle : le plus grand côté est $AB=7$ , or $AC^{2}+BC^{2}=25+39=64$ alors que $AB^{2}=49$ . L'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, et comme $64>49$ l'angle opposé au plus grand côté est même aigu.

Il faut savoir quand employer Al-Kashi plutôt que la loi des sinus, et le critère tient en une phrase. Al-Kashi s'utilise dans deux configurations, quand on connaît deux côtés et l'angle ENTRE eux, comme en a), ou quand on connaît les trois côtés et que l'on cherche un angle, comme en b) et c). La loi des sinus s'utilise dans les autres cas, mais elle présente un risque, le cas ambigu, un même sinus correspondant à deux angles supplémentaires ; le cosinus, lui, détermine l'angle sans ambiguïté sur $[0^{\circ}\,;\,180^{\circ}\,]$ , son signe distinguant d'emblée l'aigu de l'obtus. Al-Kashi est donc l'outil le plus sûr, et il contient Pythagore comme cas particulier, ainsi que le rappellera l'exercice 9.

Exercice 7 : Théorème de la médiane

Dans un repère orthonormé, on donne $A(-2,\ 1)$ et $B(4,\ 5)$ . On note $I$ le milieu de $[AB]$ et $M$ le point de coordonnées $(5,\ -1)$ .

La figure ci-dessous représente le triangle $ABM$ , le milieu $I$ de $[AB]$ et la médiane $[MI]$ en pointillés.

a) Calculez les coordonnées de $I$ et la longueur $AB$ , puis vérifiez la position de $I$ sur la figure.
b) Calculez $MA^2$ , $MB^2$ et $MI^2$ .
c) Vérifiez l'égalité $MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}{2}$ .
d) Déterminez l'ensemble des points $N$ du plan tels que $NA^2+NB^2=100$ . Précisez sa nature et ses éléments caractéristiques.

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Réponses

a) $I(1\,;3)$ , $AB=\sqrt{52}\approx 7{,}21$
b) $MA^{2}=53$ , $MB^{2}=37$ , $MI^{2}=32$
c) $90=90$
d) Cercle de centre $I(1\,;3)$ et de rayon $\sqrt{37}\approx 6{,}08$

a)

Le milieu s'obtient en moyennant les coordonnées : $I\left(\frac{-2+4}{2},\ \frac{1+5}{2}\right)=(1,\ 3)$ , ce qui correspond bien à la position du point marqué sur la figure, à mi-chemin entre $A$ et $B$ ✓. Ensuite $\vec{AB}(6,\ 4)$ , donc $AB=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}\approx 7{,}21$ et $AB^{2}=52$ .

b)

On applique la formule de la distance au carré, qui évite toute racine inutile : $MA^{2}=(5-(-2))^{2}+(-1-1)^{2}=49+4=53$ ; $MB^{2}=(5-4)^{2}+(-1-5)^{2}=1+36=37$ ; $MI^{2}=(5-1)^{2}+(-1-3)^{2}=16+16=32$ . Travailler avec les carrés est le réflexe à prendre dans tout ce chapitre : les formules s'y expriment sans radicaux.

c)

Membre de gauche : $MA^{2}+MB^{2}=53+37=90$ . Membre de droite : $2MI^{2}+\frac{AB^{2}}{2}=2\times 32+\frac{52}{2}=64+26=90$ . L'égalité est vérifiée ✓.

d)

D'après le théorème de la médiane appliqué à un point $N$ quelconque, $NA^{2}+NB^{2}=2NI^{2}+\frac{AB^{2}}{2}=2NI^{2}+26$ . L'équation devient $2NI^{2}+26=100$ , soit $NI^{2}=37$ et $NI=\sqrt{37}\approx 6{,}08$ . L'ensemble cherché est donc le CERCLE de centre $I(1,\ 3)$ et de rayon $\sqrt{37}$ .

La puissance de la question d) mérite d'être soulignée : sans le théorème de la médiane, il aurait fallu écrire $(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(x-4)^{2}+(y-5)^{2}=100$ , développer, regrouper et compléter deux carrés, soit une dizaine de lignes de calcul pour aboutir au même cercle. Le théorème fait ce travail une fois pour toutes. Sur le fond, il dit que la quantité $NA^{2}+NB^{2}$ ne dépend que de la distance de $N$ au MILIEU de $[AB]$ , ce qui rend la nature circulaire de l'ensemble évidente. Notez enfin qu'il faut $\frac{AB^{2}}{2}\leq 100$ pour que la solution existe, condition ici largement satisfaite puisque $26\leq 100$ ; si la valeur imposée avait été $20$ , l'ensemble aurait été vide.

Exercice 8 : Un lieu géométrique

Dans un repère orthonormé, on donne $A(-1,\ 2)$ et $B(5,\ 4)$ .

On cherche l'ensemble $E$ des points $M(x,\ y)$ du plan tels que $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ .

a) Exprimez les coordonnées de $\vec{MA}$ et $\vec{MB}$ en fonction de $x$ et $y$ .
b) Montrez que la condition s'écrit $x^2+y^2-4x-6y+3=0$ .
c) Mettez cette équation sous forme canonique et identifiez $E$ .
d) Retrouvez le résultat sans calcul, à l'aide d'une propriété du cours.

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Réponses

a) $\vec{MA}(-1-x\,;2-y)$ , $\vec{MB}(5-x\,;4-y)$
b) $x^{2}-4x-5+y^{2}-6y+8=0$
c) $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=10$ : centre $(2\,;3)$ , rayon $\sqrt{10}$
d) Cercle de diamètre $[AB]$

a)

On soustrait toujours l'origine du vecteur : $\vec{MA}(-1-x,\ 2-y)$ et $\vec{MB}(5-x,\ 4-y)$ . Le point mobile $M$ étant l'origine des deux vecteurs, ses coordonnées apparaissent en négatif, ce qui est le point à surveiller.

b)

Le produit scalaire vaut $(-1-x)(5-x)+(2-y)(4-y)$ . On développe chaque produit séparément : $(-1-x)(5-x)=-5+x-5x+x^{2}=x^{2}-4x-5$ , et $(2-y)(4-y)=8-2y-4y+y^{2}=y^{2}-6y+8$ . La somme donne $x^{2}+y^{2}-4x-6y+3$ , et la condition $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ s'écrit bien $x^{2}+y^{2}-4x-6y+3=0$ ✓.

c)

On complète les carrés : $x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4$ et $y^{2}-6y=(y-3)^{2}-9$ . L'équation devient $(x-2)^{2}-4+(y-3)^{2}-9+3=0$ , soit $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=10$ . L'ensemble $E$ est le cercle de centre $(2,\ 3)$ et de rayon $\sqrt{10}\approx 3{,}16$ .

d)

Le cours affirme que l'ensemble des points $M$ tels que $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ est le cercle de DIAMÈTRE $[AB]$ . Son centre est donc le milieu de $[AB]$ , soit $\left(\frac{-1+5}{2},\ \frac{2+4}{2}\right)=(2,\ 3)$ , et son rayon vaut $\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{36+4}}{2}=\frac{\sqrt{40}}{2}=\frac{2\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}$ . On retrouve exactement le même cercle ✓, en trois lignes au lieu de quinze.

La comparaison des deux méthodes est l'enseignement principal de cet exercice. Le calcul de b) et c) est infaillible mais long ; la propriété de d) est immédiate mais suppose de l'avoir reconnue. En examen, on gagne à faire les deux : identifier la propriété pour savoir OÙ l'on va, puis mener le calcul pour le démontrer. Quant à la propriété elle-même, elle n'est que la reformulation vectorielle d'un théorème de collège, celui de l'angle inscrit dans un demi-cercle : un triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre est rectangle. Dire que $\widehat{AMB}=90^{\circ}$ ou que $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ , c'est exactement la même chose.

Exercice 9 : Quatre pièges du produit scalaire

Chacune des affirmations suivantes est fausse. Donnez un contre-exemple précis et corrigez.

a) « Si $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ , alors $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$ . »
b) « Si $\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot\vec{w}$ avec $\vec{u}$ non nul, alors $\vec{v}=\vec{w}$ . »
c) « Le produit scalaire de deux vecteurs est toujours positif. »
d) « La formule d'Al-Kashi et le théorème de Pythagore sont deux résultats sans rapport. »

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Réponses

a) $(1;0)\cdot(0;1)=0$ : orthogonaux, pas nuls
b) $\vec{u}\cdot(\vec{v}-\vec{w})=0$ : $\vec{v}-\vec{w}$ orthogonal à $\vec{u}$
c) $(1;0)\cdot(-3;0)=-3$
d) Pythagore est Al-Kashi pour un angle droit

a)

Faux. Avec $\vec{u}(1,\ 0)$ et $\vec{v}(0,\ 1)$ , le produit scalaire vaut $1\times 0+0\times 1=0$ alors qu'aucun des deux vecteurs n'est nul. Le produit scalaire n'est pas INTÈGRE, contrairement au produit des nombres réels : un produit scalaire nul signifie orthogonalité, pas nullité. C'est même toute son utilité, et une affirmation qui la nierait rendrait le chapitre sans objet.

b)

Faux. Avec $\vec{u}(1,\ 0)$ , $\vec{v}(1,\ 5)$ et $\vec{w}(1,\ -3)$ , les deux produits scalaires valent $1$ , et pourtant $\vec{v}\neq\vec{w}$ . On ne peut donc pas SIMPLIFIER par $\vec{u}$ . La conclusion correcte s'obtient en passant tout du même côté : $\vec{u}\cdot(\vec{v}-\vec{w})=0$ , donc $\vec{v}-\vec{w}$ est orthogonal à $\vec{u}$ , ce qui laisse une infinité de possibilités. Ici $\vec{v}-\vec{w}=(0,\ 8)$ est bien orthogonal à $\vec{u}(1,\ 0)$ ✓.

c)

Faux. Avec $\vec{u}(1,\ 0)$ et $\vec{v}(-3,\ 0)$ , le produit vaut $-3$ . Le SIGNE du produit scalaire est celui du cosinus de l'angle : positif pour un angle aigu, nul à la perpendicularité, négatif dès que l'angle est obtus. Cette lecture du signe est un outil de contrôle permanent, comme l'ont montré les exercices 1 et 2.

d)

Faux. Pythagore est exactement le CAS PARTICULIER d'Al-Kashi pour $\widehat{A}=90^{\circ}$ : le terme correctif $-2\times AB\times AC\times\cos\widehat{A}$ s'annule alors, puisque $\cos(90^{\circ})=0$ , et il reste $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ . Loin d'être sans rapport, Al-Kashi est la GÉNÉRALISATION de Pythagore aux triangles quelconques, et le terme correctif mesure précisément l'écart à l'angle droit : il est négatif pour un angle aigu, ce qui raccourcit le côté opposé, et positif pour un angle obtus, ce qui l'allonge.

Ces quatre erreurs ont une origine commune : on transporte au produit scalaire des réflexes valables pour la multiplication des nombres. Or le produit scalaire n'est pas une multiplication ordinaire, et trois de ses propriétés usuelles sont perdues. Il n'est pas intègre, comme le montre a) ; il ne se simplifie pas, comme le montre b) ; et il n'est pas de signe constant, comme le montre c). Il n'est d'ailleurs même pas une opération interne, puisqu'il transforme deux VECTEURS en un NOMBRE, ce qui interdit d'emblée d'écrire des expressions du type $\vec{u}\cdot\vec{v}\cdot\vec{w}$ , dépourvues de sens.

Exercice 10 : Les diagonales d'un losange

$ABCD$ est un losange, c'est-à-dire un parallélogramme dont les quatre côtés ont la même longueur.

La démonstration de la question b) doit être menée vectoriellement, sans coordonnées.

La figure ci-dessous représente un losange et ses deux diagonales, qui se coupent en leur milieu.

a) Exprimez $\vec{AC}$ et $\vec{BD}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AD}$ .
b) Calculez $\vec{AC}\cdot\vec{BD}$ et démontrez que les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.
c) Vérifiez ce résultat sur l'exemple $A(0,\ 0)$ , $B(4,\ 3)$ , $C(8,\ 0)$ , $D(4,\ -3)$ , après avoir contrôlé qu'il s'agit bien d'un losange.
d) La réciproque est-elle vraie ? Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est-il nécessairement un losange ?

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Réponses

a) $\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}$ , $\vec{BD}=\vec{AD}-\vec{AB}$
b) $\vec{AC}\cdot\vec{BD}=AD^{2}-AB^{2}=0$
c) Côtés de longueur $5$ , $\vec{AC}\cdot\vec{BD}=0$
d) Oui : diagonales perpendiculaires équivaut à $AD=AB$

a)

Comme $ABCD$ est un parallélogramme, la diagonale issue de $A$ est la somme des deux côtés issus de $A$ : $\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}$ . Par ailleurs, en passant par $A$ grâce à la relation de Chasles : $\vec{BD}=\vec{BA}+\vec{AD}=\vec{AD}-\vec{AB}$ . Les deux diagonales s'expriment donc comme la SOMME et la DIFFÉRENCE des mêmes deux vecteurs, ce qui appelle immédiatement l'identité remarquable de l'exercice 3.

b)

$\vec{AC}\cdot\vec{BD}=\left(\vec{AB}+\vec{AD}\right)\cdot\left(\vec{AD}-\vec{AB}\right)=\|\vec{AD}\|^{2}-\|\vec{AB}\|^{2}$ , les termes croisés se compensant par symétrie du produit scalaire. Or dans un losange les quatre côtés ont la même longueur, donc $\|\vec{AD}\|=\|\vec{AB}\|$ et le produit scalaire est NUL : les diagonales sont perpendiculaires. La démonstration tient en deux lignes, sans aucune coordonnée ni aucun angle, et c'est exactement ce que l'énoncé demandait.

c)

Vérifions d'abord qu'il s'agit d'un losange : $\vec{AB}(4,\ 3)$ de norme $5$ , $\vec{BC}(4,\ -3)$ de norme $5$ , $\vec{CD}(-4,\ -3)$ de norme $5$ et $\vec{DA}(-4,\ 3)$ de norme $5$ ✓, et l'on vérifie aussi que $\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}$ ✓, donc c'est bien un parallélogramme à côtés égaux. Ensuite $\vec{AC}(8,\ 0)$ et $\vec{BD}(0,\ -6)$ , dont le produit scalaire vaut $8\times 0+0\times(-6)=0$ ✓. Les diagonales sont bien perpendiculaires, l'une horizontale et l'autre verticale.

d)

Oui, la réciproque est vraie. Le calcul de la question b) reste valable dans TOUT parallélogramme, puisqu'il n'a utilisé que la relation $\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}$ : on a donc toujours $\vec{AC}\cdot\vec{BD}=\|\vec{AD}\|^{2}-\|\vec{AB}\|^{2}$ . Si ce produit est nul, alors $\|\vec{AD}\|^{2}=\|\vec{AB}\|^{2}$ , donc $\|\vec{AD}\|=\|\vec{AB}\|$ , les normes étant positives : deux côtés consécutifs sont égaux, ce qui caractérise le losange dans un parallélogramme. L'équivalence est donc complète.

Cet exercice illustre ce que le produit scalaire apporte de neuf par rapport à la géométrie du collège. La même propriété se démontrerait par les triangles isocèles et les cas d'égalité, en une demi-page ; ici deux lignes de calcul suffisent, et surtout la RÉCIPROQUE vient gratuitement, alors qu'elle demanderait un raisonnement entièrement nouveau par les méthodes classiques. C'est la marque d'une bonne traduction algébrique : le calcul $\|\vec{AD}\|^{2}-\|\vec{AB}\|^{2}=0$ équivaut à $\|\vec{AD}\|=\|\vec{AB}\|$ dans les deux sens à la fois, et l'équivalence est lisible sur la formule.

Exercice 11 : Produit scalaire et projection dans un carré

$ABCD$ est un carré de côté $4$ , et $I$ est le milieu du côté $[CD]$ .

On rappelle que si $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur la droite $(AB)$ , alors $\vec{AB}\cdot\vec{AM}=\vec{AB}\cdot\vec{AH}$ , qui vaut $AB\times AH$ si $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ sont de même sens et $-AB\times AH$ sinon.

a) Calculez $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ par projection.
b) Calculez $\vec{AB}\cdot\vec{AI}$ par projection.
c) Calculez $\vec{AB}\cdot\vec{CD}$ .
d) En écrivant $\vec{AI}=\vec{AD}+\frac{1}{2}\vec{AB}$ et $\vec{BD}=\vec{AD}-\vec{AB}$ , calculez $\vec{AI}\cdot\vec{BD}$ .
e) Calculez $AI$ , puis la mesure de l'angle $\widehat{IAB}$ au centième de degré.

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Réponses

a) $16$
b) $8$
c) $-16$
d) $8$
e) $AI=2\sqrt{5}$ , $\widehat{IAB}\approx 63{,}43^{\circ}$

a)

Le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ est $B$ , puisque $(BC)\perp(AB)$ . Donc $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\vec{AB}\cdot\vec{AB}=AB^{2}=16$ . La longueur de la diagonale, $4\sqrt{2}$ , n'intervient pas : c'est tout l'intérêt de la projection.

b)

Le projeté de $I$ sur $(AB)$ est le milieu $J$ de $[AB]$ , car $I$ est à mi-chemin entre $D$ et $C$ . $\vec{AB}$ et $\vec{AJ}$ sont de même sens, donc $\vec{AB}\cdot\vec{AI}=AB\times AJ=4\times 2=8$ .

c)

$\vec{CD}=-\vec{AB}$ dans un carré (côtés opposés parallèles, de même longueur, parcourus en sens contraires). Donc $\vec{AB}\cdot\vec{CD}=-AB^{2}=-16$ . Le produit scalaire est NÉGATIF : les deux vecteurs vont en sens opposés.

d)

$\vec{AI}\cdot\vec{BD}=\left(\vec{AD}+\frac{1}{2}\vec{AB}\right)\cdot\left(\vec{AD}-\vec{AB}\right)=AD^{2}-\vec{AD}\cdot\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{AB}\cdot\vec{AD}-\frac{1}{2}AB^{2}$ . Or $\vec{AD}\cdot\vec{AB}=0$ puisque le carré a des angles droits : il reste $16-8=8$ .

e)

Par Pythagore dans le triangle $ADI$ rectangle en $D$ : $AI^{2}=16+4=20$ , $AI=2\sqrt{5}$ . Ensuite $\cos\widehat{IAB}=\frac{\vec{AB}\cdot\vec{AI}}{AB\times AI}=\frac{8}{4\times 2\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\approx 0{,}4472$ , d'où $\widehat{IAB}\approx 63{,}43^{\circ}$ . Contrôle par la tangente dans le triangle rectangle $AJI$ : $\tan\widehat{IAB}=\frac{JI}{AJ}=\frac{4}{2}=2$ , qui donne bien $63{,}43^{\circ}$ ✓.

Dans une figure sans repère, trois outils se complètent : la projection quand un angle droit est visible, la décomposition par Chasles pour ramener un produit à des vecteurs orthogonaux ou égaux, et la formule avec le cosinus pour revenir à un angle. Le repère $A(0\,;0)$ , $B(4\,;0)$ , $D(0\,;4)$ permet de tout vérifier : $\vec{AI}(2\,;4)$ et $\vec{BD}(-4\,;4)$ donnent $-8+16=8$ ✓.

Exercice 12 : L'angle entre deux vecteurs n'est pas toujours celui de la figure

$ABC$ est un triangle équilatéral de côté $6$ . $ABCDEF$ est un hexagone régulier de côté $2$ et de centre $O$ , ses sommets étant nommés dans le sens direct.

a) Calculez $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ dans le triangle équilatéral.
b) Calculez $\vec{AB}\cdot\vec{BC}$ . Pourquoi le résultat n'est-il pas le même qu'en a) ?
c) Dans l'hexagone, calculez $\vec{AB}\cdot\vec{AF}$ et $\vec{AB}\cdot\vec{AD}$ .
d) Calculez $\vec{OA}\cdot\vec{OC}$ .
e) Calculez $\vec{AB}\cdot\vec{ED}$ .

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Réponses

a) $18$
b) $-18$ : l'angle entre les vecteurs vaut $120^{\circ}$
c) $-2$ et $4$
d) $-2$
e) $4$ ( $\vec{ED}=\vec{AB}$ )

a)

Les deux vecteurs partent de $A$ et forment l'angle $\widehat{BAC}=60^{\circ}$ : $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=6\times 6\times\cos 60^{\circ}=18$ .

b)

Pour lire l'angle entre $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$ , il faut les faire partir du MÊME point : on reporte $\vec{AB}$ en $B$ , où il prolonge $[AB]$ . L'angle entre ce prolongement et $[BC]$ est le supplémentaire de $\widehat{ABC}$ , soit $180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$ . Donc $\vec{AB}\cdot\vec{BC}=36\cos 120^{\circ}=-18$ . Autre voie : $\vec{AB}\cdot\vec{BC}=-\vec{BA}\cdot\vec{BC}=-18$ .

c)

Dans un hexagone régulier, chaque angle intérieur vaut $120^{\circ}$ : $\vec{AB}\cdot\vec{AF}=2\times 2\times\cos 120^{\circ}=-2$ . La grande diagonale $[AD]$ passe par $O$ et mesure $4$ ; elle fait avec $[AB]$ un angle de $60^{\circ}$ (le triangle $OAB$ est équilatéral). $\vec{AB}\cdot\vec{AD}=2\times 4\times\cos 60^{\circ}=4$ . Par projection : le projeté de $B$ sur $(AD)$ est le milieu de $[AO]$ , à la distance $1$ de $A$ , et $4\times 1=4$ ✓.

d)

Les rayons $[OA]$ et $[OC]$ mesurent $2$ et font un angle de deux sixièmes de tour, soit $120^{\circ}$ : $\vec{OA}\cdot\vec{OC}=4\cos 120^{\circ}=-2$ .

e)

Dans l'hexagone régulier, le côté $[ED]$ est parallèle à $[AB]$ et parcouru dans le MÊME sens : $\vec{ED}=\vec{AB}$ (le quadrilatère $ABDE$ est un rectangle). Donc $\vec{AB}\cdot\vec{ED}=AB^{2}=4$ . En coordonnées, avec $O$ pour origine et $A(2\,;0)$ : $B(1\,;\sqrt{3})$ , $D(-2\,;0)$ , $E(-1\,;-\sqrt{3})$ , et $\vec{AB}=\vec{ED}=(-1\,;\sqrt{3})$ ✓.

L'angle qui entre dans $\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$ est celui des deux vecteurs placés à la même ORIGINE, pas l'angle du sommet que l'on voit sur la figure. Mettre bout à bout deux vecteurs, comme $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$ , remplace l'angle du triangle par son supplémentaire et change le signe du cosinus.

Exercice 13 : Les points pour lesquels un produit scalaire est constant

Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\,;1)$ et $B(3\,;2)$ . On cherche l'ensemble $\mathcal{D}$ des points $M(x\,;y)$ tels que $\vec{AB}\cdot\vec{AM}=10$ .

a) Montrez que $M\in\mathcal{D}$ si et seulement si $2x+y-13=0$ .
b) Justifiez que $\mathcal{D}$ est une droite perpendiculaire à $(AB)$ .
c) Déterminez le point $H$ de la droite $(AB)$ qui appartient à $\mathcal{D}$ .
d) Calculez $AH$ et vérifiez que $AB\times AH=10$ .
e) Quel est l'ensemble des points $M$ tels que $\vec{AB}\cdot\vec{AM}=0$ ? Donnez son équation.

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Réponses

a) $2(x-1)+(y-1)=10$
b) Vecteur normal $\vec{AB}(2;1)$ : droite perpendiculaire à $(AB)$
c) $H(5\,;3)$
d) $AH=2\sqrt{5}$ et $\sqrt{5}\times 2\sqrt{5}=10$
e) $2x+y-3=0$ , perpendiculaire à $(AB)$ en $A$

a)

$\vec{AB}(2\,;1)$ et $\vec{AM}(x-1\,;y-1)$ . Donc $\vec{AB}\cdot\vec{AM}=2(x-1)+(y-1)=2x+y-3$ , et la condition $2x+y-3=10$ s'écrit $2x+y-13=0$ .

b)

C'est une équation cartésienne de droite, de vecteur normal $(2\,;1)$ , c'est-à-dire $\vec{AB}$ : la droite est perpendiculaire à $(AB)$ .

c)

Un point de $(AB)$ s'écrit $A+t\vec{AB}=(1+2t\,;1+t)$ . Il appartient à $\mathcal{D}$ si $2(1+2t)+(1+t)-13=0$ , soit $5t-10=0$ et $t=2$ . Donc $H(5\,;3)$ . Contrôle : $2\times 5+3=13$ ✓.

d)

$\vec{AH}=2\vec{AB}=(4\,;2)$ , donc $AH=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4{,}47$ . Comme $AB=\sqrt{5}$ , $AB\times AH=\sqrt{5}\times 2\sqrt{5}=10$ ✓ : c'est exactement la projection, $\vec{AB}\cdot\vec{AM}=\vec{AB}\cdot\vec{AH}$ pour tout $M$ de $\mathcal{D}$ .

e)

La condition devient $2x+y-3=0$ : c'est la droite passant par $A$ et perpendiculaire à $(AB)$ , puisque $A$ la vérifie ( $2+1-3=0$ ).

Tous les points d'une même perpendiculaire à $(AB)$ ont le même projeté $H$ sur $(AB)$ , donc le même produit scalaire $\vec{AB}\cdot\vec{AM}$ : les ensembles « produit scalaire constant » sont des droites parallèles entre elles, perpendiculaires à $(AB)$ . La valeur de la constante fixe seulement la position de $H$ , à la distance $\frac{k}{AB}$ de $A$ .

Exercice 14 : Le travail d'une force

En physique, le travail d'une force constante $\vec{F}$ lors d'un déplacement rectiligne $\vec{AB}$ est le produit scalaire $W=\vec{F}\cdot\vec{AB}$ . Avec $F$ en newtons (N) et $AB$ en mètres, $W$ s'exprime en joules (J).

La figure ci-dessous représente la situation de la question a).

a) Un enfant tire une luge sur $20$ m, sur un sol horizontal, avec une corde qui fait un angle de $30^{\circ}$ avec le sol et exerce une force de $50$ N. Calculez le travail de cette force, au centième.
b) Dans un repère orthonormé, une force $\vec{F}(40\,;30)$ déplace un objet de $\vec{AB}(12\,;-5)$ . Calculez le travail, puis l'angle entre la force et le déplacement au centième de degré.
c) Une caisse de poids $\vec{P}(0\,;-196)$ glisse de $\vec{AB}(8\,;-6)$ le long d'une pente. Calculez le travail du poids. De quelle coordonnée du déplacement dépend-il seulement ?
d) Même caisse, remontée de $\vec{BA}$ . Que vaut le travail du poids ?
e) Une force de $50$ N déplace un objet de $20$ m. Quel est le travail maximal possible, et le travail lorsque la force est perpendiculaire au déplacement ?

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Réponses

a) $500\sqrt{3}\approx 866{,}03$ J
b) $330$ J, angle $\approx 59{,}49^{\circ}$
c) $1\,176$ J ; seule la descente verticale de $6$ m compte
d) $-1\,176$ J
e) $1\,000$ J au maximum ; $0$ J pour une force perpendiculaire

a)

$W=F\times AB\times\cos 30^{\circ}=50\times 20\times\frac{\sqrt{3}}{2}=500\sqrt{3}\approx 866{,}03$ J. Seule la composante de la force parallèle au sol travaille ; la composante verticale soulève à peine la luge et ne fait pas avancer.

b)

$W=40\times 12+30\times(-5)=480-150=330$ J. $\|\vec{F}\|=\sqrt{1\,600+900}=50$ N et $AB=\sqrt{144+25}=13$ m. $\cos\theta=\frac{330}{50\times 13}=\frac{330}{650}\approx 0{,}5077$ , donc $\theta\approx 59{,}49^{\circ}$ .

c)

$W=0\times 8+(-196)\times(-6)=1\,176$ J. Le poids étant vertical, seule la coordonnée VERTICALE du déplacement compte : la caisse descend de $6$ m, et $196\times 6=1\,176$ . La longueur de la pente, $10$ m, n'intervient pas.

d)

$\vec{BA}=-\vec{AB}$ , donc $W=-1\,176$ J. Le travail est RÉSISTANT : le poids s'oppose à la montée.

e)

$W=50\times 20\times\cos\theta$ est maximal pour $\cos\theta=1$ , force et déplacement de même sens : $W=1\,000$ J. Pour une force perpendiculaire, $\cos\theta=0$ et $W=0$ : la force ne travaille pas, comme la réaction d'un sol horizontal.

Le produit scalaire mesure ce qu'une force apporte AU déplacement : positif quand elle aide, négatif quand elle freine, nul quand elle est perpendiculaire. Les deux formules du cours, avec l'angle en a) ou avec les coordonnées en b) et c), donnent le même nombre, et c'est la situation qui désigne la plus rapide.

Exercice 15 : Deux bateaux qui s'éloignent

Deux bateaux quittent un port au même instant. Le premier fait route plein nord à $12$ nœuds, le second suit le cap $\mathrm{N}60^{\circ}\mathrm{E}$ , c'est-à-dire à $60^{\circ}$ du nord vers l'est, à $16$ nœuds. Un nœud est une vitesse d'un mille marin par heure.

On place le port à l'origine d'un repère orthonormé, l'axe des ordonnées vers le nord et l'axe des abscisses vers l'est, l'unité étant le mille marin.

La figure ci-dessous représente la situation.

a) Quelles distances ont-ils parcourues au bout de $2$ heures ? À l'aide de la formule d'Al-Kashi, calculez la distance qui les sépare alors, au centième.
b) Donnez les coordonnées des deux bateaux au bout de $2$ heures, et retrouvez la distance de a).
c) Montrez qu'au bout de $t$ heures la distance entre les bateaux vaut $\sqrt{208}\,t$ milles. Au bout de combien de temps sont-ils à $50$ milles l'un de l'autre ? Donnez la durée au centième d'heure.
d) Au bout de $2$ heures, le premier bateau aperçoit le second. Calculez, au centième de degré, l'angle entre la direction du nord et la direction dans laquelle il le voit.

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Réponses

a) $24$ et $32$ milles ; $\sqrt{832}\approx 28{,}84$ milles
b) $B_{1}(0;24)$ , $B_{2}(16\sqrt{3};16)$
c) $\sqrt{208}\,t$ ; $50$ milles au bout de $3{,}47$ h
d) $\theta\approx 106{,}10^{\circ}$

a)

Distances : $12\times 2=24$ milles et $16\times 2=32$ milles. Les deux routes font entre elles un angle de $60^{\circ}$ . Par Al-Kashi : $d^{2}=24^{2}+32^{2}-2\times 24\times 32\times\cos 60^{\circ}=576+1\,024-768=832$ , donc $d=\sqrt{832}\approx 28{,}84$ milles.

b)

Premier bateau : $B_{1}(0\,;24)$ . Second : $B_{2}(32\sin 60^{\circ}\,;32\cos 60^{\circ})=(16\sqrt{3}\,;16)\approx(27{,}71\,;16)$ . Le cap se mesure à partir du NORD, donc le sinus donne l'abscisse et le cosinus l'ordonnée. $\vec{B_{1}B_{2}}(16\sqrt{3}\,;-8)$ et $B_{1}B_{2}^{2}=768+64=832$ ✓.

c)

Au bout de $t$ heures, $B_{1}(0\,;12t)$ et $B_{2}(8\sqrt{3}\,t\,;8t)$ . $\vec{B_{1}B_{2}}(8\sqrt{3}\,t\,;-4t)$ et $B_{1}B_{2}^{2}=192t^{2}+16t^{2}=208t^{2}$ , donc $B_{1}B_{2}=\sqrt{208}\,t\approx 14{,}42\,t$ . La distance croît PROPORTIONNELLEMENT au temps. Elle vaut $50$ milles pour $t=\frac{50}{\sqrt{208}}\approx 3{,}47$ h, soit environ $3$ h $28$ min.

d)

On cherche l'angle entre $\vec{n}(0\,;1)$ , direction du nord, et $\vec{B_{1}B_{2}}(16\sqrt{3}\,;-8)$ . $\cos\theta=\frac{\vec{n}\cdot\vec{B_{1}B_{2}}}{1\times\sqrt{832}}=\frac{-8}{\sqrt{832}}\approx-0{,}2774$ , donc $\theta\approx 106{,}10^{\circ}$ . Le second bateau est vu vers l'est et un peu vers le sud : le cosinus négatif le disait avant tout calcul d'angle.

Al-Kashi donne une distance quand on connaît deux côtés et l'angle compris ; les coordonnées donnent en plus les directions, ce qui permet de répondre à d). Écrire les deux calculs et vérifier qu'ils concordent, comme en b), est le meilleur contrôle sur une conversion de cap en coordonnées, où sinus et cosinus s'échangent.

Exercice 16 : Coordonnées dans une base orthonormée par produits scalaires

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath})$ dont l'unité est la longueur d'un pâté de maisons. Dans un quartier, les rues suivent les directions des vecteurs $\vec{e_{1}}(0{,}6\,;0{,}8)$ et $\vec{e_{2}}(-0{,}8\,;0{,}6)$ . Un promeneur va de la gare, en $O$ , au musée : son déplacement est $\vec{w}(5\,;10)$ . La figure représente $2\vec{e_{1}}$ , $2\vec{e_{2}}$ et $\vec{w}$ .

a) Montrez que $(\vec{e_{1}},\vec{e_{2}})$ est une base orthonormée.
b) Soit $\vec{u}=a\vec{e_{1}}+b\vec{e_{2}}$ . Démontrez que $a=\vec{u}\cdot\vec{e_{1}}$ et $b=\vec{u}\cdot\vec{e_{2}}$ .
c) Déduisez-en les coordonnées de $\vec{w}$ dans la base $(\vec{e_{1}},\vec{e_{2}})$ , vérifiez-les, et interprétez-les pour le promeneur.
d) Calculez $\|\vec{w}\|^{2}$ dans chacune des deux bases. Un second trajet a pour coordonnées $(3\,;-4)$ dans la base $(\vec{e_{1}},\vec{e_{2}})$ : donnez ses coordonnées dans la base $(\vec{\imath},\vec{\jmath})$ .
e) Soit $\vec{f}(1\,;1)$ . Déterminez les coordonnées de $\vec{w}$ dans la base $(\vec{\imath},\vec{f})$ , puis calculez $\vec{w}\cdot\vec{\imath}$ et $\vec{w}\cdot\vec{f}$ . Qu'en concluez-vous ?

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Réponses

a) $\|\vec{e_{1}}\|=\|\vec{e_{2}}\|=1$ et $\vec{e_{1}}\cdot\vec{e_{2}}=0$ : base orthonormée
b) Bilinéarité : $\vec{u}\cdot\vec{e_{1}}=a\times 1+b\times 0=a$ , de même pour $b$
c) $\vec{w}=11\vec{e_{1}}+2\vec{e_{2}}$ : $11$ pâtés dans une direction, $2$ dans l'autre
d) $\|\vec{w}\|^{2}=125$ dans les deux bases ; second trajet $(5\,;0)$
e) Coordonnées $(-5\,;10)$ , mais $\vec{w}\cdot\vec{\imath}=5$ et $\vec{w}\cdot\vec{f}=15$ : la formule exige une base orthonormée

a)

Dans le repère orthonormé, $\|\vec{e_{1}}\|^{2}=0{,}6^{2}+0{,}8^{2}=0{,}36+0{,}64=1$ et $\|\vec{e_{2}}\|^{2}=0{,}64+0{,}36=1$ : les deux vecteurs sont unitaires. $\vec{e_{1}}\cdot\vec{e_{2}}=0{,}6\times(-0{,}8)+0{,}8\times 0{,}6=-0{,}48+0{,}48=0$ : ils sont orthogonaux, donc non colinéaires. Deux vecteurs unitaires et orthogonaux forment une base orthonormée. C'est la base $(\vec{\imath},\vec{\jmath})$ tournée d'un angle dont le cosinus vaut $0{,}6$ .

b)

Par bilinéarité du produit scalaire, $\vec{u}\cdot\vec{e_{1}}=(a\vec{e_{1}}+b\vec{e_{2}})\cdot\vec{e_{1}}=a\,\vec{e_{1}}\cdot\vec{e_{1}}+b\,\vec{e_{2}}\cdot\vec{e_{1}}=a\times 1+b\times 0=a$ . De même $\vec{u}\cdot\vec{e_{2}}=a\times 0+b\times 1=b$ . Les DEUX propriétés de la base servent : $\vec{e_{1}}\cdot\vec{e_{1}}=1$ parce que le vecteur est unitaire, $\vec{e_{2}}\cdot\vec{e_{1}}=0$ parce que les vecteurs sont orthogonaux. Dans une base orthonormée, chaque coordonnée est le produit scalaire avec le vecteur de base correspondant.

c)

$a=\vec{w}\cdot\vec{e_{1}}=5\times 0{,}6+10\times 0{,}8=3+8=11$ et $b=\vec{w}\cdot\vec{e_{2}}=5\times(-0{,}8)+10\times 0{,}6=-4+6=2$ . Vérification : $11\vec{e_{1}}+2\vec{e_{2}}$ a pour coordonnées $(6{,}6-1{,}6\,;8{,}8+1{,}2)=(5\,;10)$ , c'est bien $\vec{w}$ . Pour le promeneur : $11$ pâtés de maisons le long des rues de direction $\vec{e_{1}}$ , puis $2$ le long des rues de direction $\vec{e_{2}}$ . Aucun système à résoudre : deux produits scalaires ont suffi, là où la méthode par identification demande de résoudre $0{,}6a-0{,}8b=5$ et $0{,}8a+0{,}6b=10$ .

d)

Dans $(\vec{\imath},\vec{\jmath})$ : $\|\vec{w}\|^{2}=25+100=125$ . Dans $(\vec{e_{1}},\vec{e_{2}})$ : $\|11\vec{e_{1}}+2\vec{e_{2}}\|^{2}=121\|\vec{e_{1}}\|^{2}+2\times 22\,\vec{e_{1}}\cdot\vec{e_{2}}+4\|\vec{e_{2}}\|^{2}=121+0+4=125$ . La formule $x^{2}+y^{2}$ vaut dans TOUTE base orthonormée, et la distance parcourue à vol d'oiseau est $\sqrt{125}=5\sqrt{5}\approx 11{,}18$ pâtés. Le second trajet est $3\vec{e_{1}}-4\vec{e_{2}}$ , de coordonnées $(1{,}8+3{,}2\,;2{,}4-2{,}4)=(5\,;0)$ : cinq pâtés plein est.

e)

$\vec{w}=x\vec{\imath}+y\vec{f}$ s'écrit $(x+y\,;y)=(5\,;10)$ , donc $y=10$ et $x=-5$ : coordonnées $(-5\,;10)$ . Or $\vec{w}\cdot\vec{\imath}=5$ et $\vec{w}\cdot\vec{f}=5+10=15$ : ni l'un ni l'autre n'est une coordonnée. La base $(\vec{\imath},\vec{f})$ n'est pas orthonormée, puisque $\|\vec{f}\|=\sqrt{2}$ et $\vec{\imath}\cdot\vec{f}=1\neq 0$ : la démonstration de b), qui utilisait ces deux propriétés, ne s'applique plus.

À retenir : dans une base orthonormée, $\vec{u}=(\vec{u}\cdot\vec{e_{1}})\,\vec{e_{1}}+(\vec{u}\cdot\vec{e_{2}})\,\vec{e_{2}}$ . Sur une copie, on vérifie d'abord que la base EST orthonormée, et on l'écrit : c'est l'hypothèse qui rend la formule vraie.

Exercice 17 : Transformer MA·MB avec le milieu : cercle, point ou ensemble vide

Dans un repère orthonormé, on donne $A(-1\,;1)$ et $B(5\,;-7)$ , et l'on note $I$ le milieu de $[AB]$ . Pour un réel $k$ , on note $E_{k}$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=k$ .

a) En écrivant $\vec{MA}=\vec{MI}+\vec{IA}$ et $\vec{MB}=\vec{MI}+\vec{IB}$ , démontrez que, pour tout point $M$ , $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=MI^{2}-\frac{AB^{2}}{4}$ .
b) Calculez les coordonnées de $I$ , la longueur $AB$ et le nombre $\frac{AB^{2}}{4}$ .
c) Déterminez l'ensemble $E_{24}$ . Vérifiez que le point $P(9\,;-3)$ lui appartient en calculant $\vec{PA}\cdot\vec{PB}$ , puis retrouvez une équation de $E_{24}$ à partir des coordonnées $(x\,;y)$ de $M$ .
d) Déterminez les ensembles $E_{-25}$ et $E_{-30}$ . Quelle est la plus petite valeur que peut prendre $\vec{MA}\cdot\vec{MB}$ , et en quel point ?
e) Pour quelle valeur de $k$ l'ensemble $E_{k}$ passe-t-il par l'origine $O$ ? Retrouvez-la par un calcul direct.

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Réponses

a) $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=(\vec{MI}+\vec{IA})\cdot(\vec{MI}-\vec{IA})=MI^{2}-IA^{2}=MI^{2}-\frac{AB^{2}}{4}$
b) $I(2\,;-3)$ , $AB=10$ , $\frac{AB^{2}}{4}=25$
c) $E_{24}$ : cercle de centre $I$ et de rayon $7$ ; $\vec{PA}\cdot\vec{PB}=24$ ; $(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=49$
d) $E_{-25}=\{I\}$ , $E_{-30}=\varnothing$ ; minimum $-25$ , atteint en $I$
e) $k=OI^{2}-25=-12=\vec{OA}\cdot\vec{OB}$

a)

$I$ est le milieu de $[AB]$ , donc $\vec{IB}=-\vec{IA}$ . Alors $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=(\vec{MI}+\vec{IA})\cdot(\vec{MI}-\vec{IA})$ . Par bilinéarité et symétrie, on développe comme une identité remarquable : $\vec{MI}\cdot\vec{MI}-\vec{MI}\cdot\vec{IA}+\vec{IA}\cdot\vec{MI}-\vec{IA}\cdot\vec{IA}=MI^{2}-IA^{2}$ , les deux termes croisés s'annulant. Enfin $IA=\frac{AB}{2}$ , donc $IA^{2}=\frac{AB^{2}}{4}$ et $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=MI^{2}-\frac{AB^{2}}{4}$ . Tout l'intérêt est là : un produit de DEUX vecteurs qui dépendent de $M$ devient une seule distance, $MI$ .

b)

$I\left(\frac{-1+5}{2}\,;\frac{1-7}{2}\right)=(2\,;-3)$ . $\vec{AB}(6\,;-8)$ , donc $AB=\sqrt{36+64}=10$ et $\frac{AB^{2}}{4}=\frac{100}{4}=25$ . Donc, pour tout $M$ , $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=MI^{2}-25$ .

c)

$M\in E_{24}$ équivaut à $MI^{2}-25=24$ , soit $MI^{2}=49$ , soit $MI=7$ puisqu'une distance est positive : $E_{24}$ est le cercle de centre $I(2\,;-3)$ et de rayon $7$ . Pour $P$ : $\vec{PA}(-10\,;4)$ et $\vec{PB}(-4\,;-4)$ , donc $\vec{PA}\cdot\vec{PB}=40-16=24$ , et d'ailleurs $PI=|9-2|=7$ . En coordonnées : $\vec{MA}(-1-x\,;1-y)$ et $\vec{MB}(5-x\,;-7-y)$ , d'où $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=(x+1)(x-5)+(y-1)(y+7)=x^{2}-4x-5+y^{2}+6y-7$ . L'équation $x^{2}+y^{2}-4x+6y-36=0$ s'écrit $(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=36+4+9=49$ : c'est bien le cercle trouvé, mais la transformation l'a donné sans une ligne de développement.

d)

$E_{-25}$ : $MI^{2}=0$ , donc $M=I$ ; l'ensemble est réduit au point $I$ . $E_{-30}$ : $MI^{2}=-5$ , impossible, l'ensemble est vide. Comme $MI^{2}\geqslant 0$ , on a toujours $\vec{MA}\cdot\vec{MB}\geqslant -25$ , avec égalité seulement en $I$ : la plus petite valeur est $-25$ . Contrôle : $\vec{IA}\cdot\vec{IB}=-IA^{2}=-25$ . La discussion a donc trois cas, comme pour une équation de cercle : $k>-25$ donne un cercle de rayon $\sqrt{k+25}$ , $k=-25$ un point, $k<-25$ l'ensemble vide. Le cas $k=0$ , cercle de diamètre $[AB]$ , est celui de l'exercice 8.

e)

$O\in E_{k}$ équivaut à $k=OI^{2}-25=(4+9)-25=-12$ . Calcul direct : les vecteurs $\vec{OA}$ et $\vec{OB}$ ont les coordonnées de $A$ et $B$ , donc $\vec{OA}\cdot\vec{OB}=(-1)\times 5+1\times(-7)=-12$ . Les deux calculs concordent, et $E_{-12}$ est le cercle de centre $I$ et de rayon $\sqrt{13}$ .

À retenir : dès qu'un énoncé demande l'ensemble des points $M$ tels que $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=k$ , on introduit le milieu $I$ de $[AB]$ ; la condition devient $MI^{2}=k+\frac{AB^{2}}{4}$ , et c'est le SIGNE de ce second membre qui décide : cercle, point ou ensemble vide.

Exercices corrigés : le produit scalaire (Première spécialité)

Rappel de cours

Calculs : les produits scalaires à calculer

Exercice 0.1 : Calculer des produits scalaires : onze calculs directs

Partie A : Les bases (/50)

Exercice 1 : Produit scalaire et coordonnées

Exercice 2 : Produit scalaire, normes et angle

Exercice 3 : Développer avec le produit scalaire

Exercice 4 : Projeté orthogonal

Exercice 5 : Équations de cercles

Partie B : Niveau examen (/50)

Exercice 6 : Résoudre un triangle avec Al-Kashi

Exercice 7 : Théorème de la médiane

Exercice 8 : Un lieu géométrique

Exercice 9 : Quatre pièges du produit scalaire

Exercice 10 : Les diagonales d'un losange

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 11 : Produit scalaire et projection dans un carré

Exercice 12 : L'angle entre deux vecteurs n'est pas toujours celui de la figure

Exercice 13 : Les points pour lesquels un produit scalaire est constant

Exercice 14 : Le travail d'une force

Exercice 15 : Deux bateaux qui s'éloignent

Partie D : programme 2026 (/20)

Exercice 16 : Coordonnées dans une base orthonormée par produits scalaires

Exercice 17 : Transformer MA·MB avec le milieu : cercle, point ou ensemble vide

Ce chapitre au bac 2025 et 2026

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