Exercice 0.1 : Dériver des fonctions composées : douze calculs directs

Pour chaque fonction, calculez la dérivée à l'aide des formules de dérivation d'une composée, puis évaluez-la au point indiqué. Les fonctions sont définies et dérivables au voisinage de ce point.

Une seule méthode pour les douze lignes : nommer la fonction intérieure $u$ et calculer $u'$ ; reconnaître la forme extérieure, $u^{n}$ , $\sqrt{u}$ , $\mathrm{e}^{u}$ , $\ln u$ , $\frac{1}{u^{n}}$ , $\sin u$ ou $\cos u$ ; écrire la formule, qui porte toujours le facteur $u'$ ; remplacer $x$ par la valeur seulement à la fin.

a) $f(x)=(4x-3)^{3}$ , puis $f'(1)$ .
b) $g(x)=(x^{2}-3x+1)^{4}$ , puis $g'(2)$ .
c) $h(x)=\sqrt{6x+4}$ , puis $h'(2)$ .
d) $k(x)=\sqrt{2x^{2}+x+1}$ , puis $k'(1)$ .
e) $m(x)=\mathrm{e}^{-4x+2}$ , puis $m'\left(\frac{1}{2}\right)$ .
f) $n(x)=\mathrm{e}^{x^{2}-2x}$ , puis $n'(2)$ .
g) $p(x)=\ln(x^{2}+x+1)$ , puis $p'(2)$ .
h) $q(x)=\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}$ , puis $q'(1)$ .
i) $r(x)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ , puis $r'\left(\frac{\pi}{2}\right)$ .
j) $s(x)=\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)$ , puis $s'\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ .
k) $t(x)=x\mathrm{e}^{-2x}$ , puis $t'(1)$ .
l) $v(x)=x\cos(2x)$ , puis $v'\left(\frac{\pi}{4}\right)$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/12

a)

f'(1)

b)

g'(2)

c)

h'(2)

d)

k'(1)

e)

m'\left(\frac{1}{2}\right)

f)

n'(2)

g)

p'(2)

h)

q'(1)

i)

r'\left(\frac{\pi}{2}\right)

j)

s'\left(\frac{2\pi}{3}\right)

k)

t'(1)

l)

v'\left(\frac{\pi}{4}\right)

Voir la correction

Réponses

a) $f'(x)=12(4x-3)^{2}$ ; $f'(1)=12$
b) $g'(x)=4(x^{2}-3x+1)^{3}(2x-3)$ ; $g'(2)=-4$
c) $h'(x)=\frac{3}{\sqrt{6x+4}}$ ; $h'(2)=\frac{3}{4}$
d) $k'(x)=\frac{4x+1}{2\sqrt{2x^{2}+x+1}}$ ; $k'(1)=\frac{5}{4}$
e) $m'(x)=-4\mathrm{e}^{-4x+2}$ ; $m'\left(\frac{1}{2}\right)=-4$
f) $n'(x)=(2x-2)\mathrm{e}^{x^{2}-2x}$ ; $n'(2)=2$
g) $p'(x)=\frac{2x+1}{x^{2}+x+1}$ ; $p'(2)=\frac{5}{7}\approx 0{,}714$
h) $q'(x)=-\frac{4x}{(x^{2}+1)^{3}}$ ; $q'(1)=-\frac{1}{2}$
i) $r'(x)=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ ; $r'\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1$
j) $s'(x)=-\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)$ ; $s'\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}$
k) $t'(x)=(1-2x)\mathrm{e}^{-2x}$ ; $t'(1)=-\mathrm{e}^{-2}\approx-0{,}135$
l) $v'(x)=\cos(2x)-2x\sin(2x)$ ; $v'\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\pi}{2}\approx-1{,}571$

Le geste qui décide de tout : écrire $u$ et $u'$ sur la copie AVANT d'appliquer la formule. Le facteur $u'$ oublié est l'erreur qui coûte le plus en Terminale, et il ne s'oublie plus quand il est déjà écrit à côté.

a)

$u=4x-3$ , $u'=4$ : $f'(x)=3(4x-3)^{2}\times 4=12(4x-3)^{2}$ . En $x=1$ : $f'(1)=12\times 1^{2}=12$ . Piège : $3(4x-3)^{2}$ sans le $4$ , qui donne $3$ .

b)

$u=x^{2}-3x+1$ , $u'=2x-3$ : $g'(x)=4(x^{2}-3x+1)^{3}(2x-3)$ . En $x=2$ : $u(2)=-1$ et $u'(2)=1$ , donc $g'(2)=4\times(-1)^{3}\times 1=-4$ . Piège : un cube garde le signe, $(-1)^{3}=-1$ .

c)

$(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ avec $u=6x+4$ , $u'=6$ : $h'(x)=\frac{6}{2\sqrt{6x+4}}=\frac{3}{\sqrt{6x+4}}$ . En $x=2$ : $h'(2)=\frac{3}{\sqrt{16}}=\frac{3}{4}$ . Piège : $\frac{1}{2\sqrt{u}}$ sans le $6$ , qui donne $\frac{1}{8}$ .

d)

$u=2x^{2}+x+1$ , $u'=4x+1$ : $k'(x)=\frac{4x+1}{2\sqrt{2x^{2}+x+1}}$ . En $x=1$ : $u(1)=4$ , donc $k'(1)=\frac{5}{2\times 2}=\frac{5}{4}$ .

e)

$(\mathrm{e}^{u})'=u'\mathrm{e}^{u}$ avec $u=-4x+2$ , $u'=-4$ : $m'(x)=-4\mathrm{e}^{-4x+2}$ . En $x=\frac{1}{2}$ : l'exposant vaut $0$ , donc $m'\left(\frac{1}{2}\right)=-4$ . Piège : recopier $\mathrm{e}^{-4x+2}$ sans le facteur $-4$ , l'exponentielle n'étant sa propre dérivée que pour $u=x$ .

f)

$u=x^{2}-2x$ , $u'=2x-2$ : $n'(x)=(2x-2)\mathrm{e}^{x^{2}-2x}$ . En $x=2$ : $u(2)=0$ et $u'(2)=2$ , donc $n'(2)=2\mathrm{e}^{0}=2$ .

g)

$(\ln u)'=\frac{u'}{u}$ avec $u=x^{2}+x+1$ , strictement positif puisque son discriminant vaut $-3$ : $p'(x)=\frac{2x+1}{x^{2}+x+1}$ . En $x=2$ : $p'(2)=\frac{5}{7}\approx 0{,}714$ . Piège : $\frac{1}{u}$ sans le numérateur $u'$ , qui donne $\frac{1}{7}$ .

h)

$q=u^{-2}$ avec $u=x^{2}+1$ , $u'=2x$ : $q'(x)=-2u^{-3}u'=-\frac{4x}{(x^{2}+1)^{3}}$ . En $x=1$ : $q'(1)=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}$ . Piège : l'exposant descend en $-2$ et devient $-3$ ; écrire $(x^{2}+1)^{-1}$ fait perdre un étage.

i)

$(\sin u)'=u'\cos u$ avec $u=2x-\frac{\pi}{3}$ , $u'=2$ : $r'(x)=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ . En $x=\frac{\pi}{2}$ : $u=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$ et $\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$ , donc $r'\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1$ .

j)

$(\cos u)'=-u'\sin u$ avec $u=\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}$ , $u'=\frac{1}{2}$ : $s'(x)=-\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)$ . En $x=\frac{2\pi}{3}$ : $u=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$ , donc $s'\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}$ . Piège : le signe moins de la dérivée du cosinus, qui donne $+\frac{1}{2}$ .

k)

Produit, puis composée dans le second facteur : $t'(x)=1\times\mathrm{e}^{-2x}+x\times(-2)\mathrm{e}^{-2x}=(1-2x)\mathrm{e}^{-2x}$ . En $x=1$ : $t'(1)=-\mathrm{e}^{-2}\approx-0{,}135$ . Piège : dériver $\mathrm{e}^{-2x}$ en $\mathrm{e}^{-2x}$ , ce qui donne $(1+x)\mathrm{e}^{-2x}$ et $2\mathrm{e}^{-2}$ .

l)

Produit : $v'(x)=\cos(2x)+x\times\left(-2\sin(2x)\right)=\cos(2x)-2x\sin(2x)$ . En $x=\frac{\pi}{4}$ : $\cos\frac{\pi}{2}=0$ et $\sin\frac{\pi}{2}=1$ , donc $v'\left(\frac{\pi}{4}\right)=-2\times\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}\approx-1{,}571$ .

Contrôle : pour chaque ligne, le taux $\frac{f(a+0{,}001)-f(a-0{,}001)}{0{,}002}$ calculé à la machine, en mode radian, tombe à moins d'un millième de la valeur trouvée. S'il s'en écarte d'un facteur simple, $2$ , $4$ ou $\frac{1}{2}$ , c'est presque toujours le $u'$ oublié.

Coche ici les exercices faits ou à revoir : un compte gratuit, sans mot de passe, retient tes coches et tes réponses justes d'une visite à l'autre, te dit quel chapitre attaquer ensuite et te permet de demander l'exercice qui te manque. Crée ton espace, un courriel suffit.

Exercice 0.2 : Résoudre cos x = a et sin x = a : onze calculs directs

Pour chaque ligne, résolvez l'équation ou l'inéquation sur l'intervalle indiqué, en valeurs exactes, puis choisissez l'ensemble des solutions ou donnez le nombre demandé.

Une seule méthode pour les onze lignes : placer la valeur $a$ sur l'axe des abscisses pour un cosinus, sur l'axe des ordonnées pour un sinus, et tracer la droite verticale ou horizontale qui passe par elle ; nommer l'angle remarquable du premier quadrant, puis lire les points du cercle par symétrie, $-x$ pour le cosinus, $\pi-x$ pour le sinus ; ajouter ou retirer $2\pi$ pour revenir dans l'intervalle demandé. Pour une inéquation, on lit l'ARC du cercle situé du bon côté de la droite.

a) $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ sur $[0\,;2\pi[$ .
b) $\cos x=-\frac{1}{2}$ sur $]-\pi\,;\pi]$ .
c) $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ sur $[0\,;2\pi[$ .
d) $\sin x=-\frac{1}{2}$ sur $]-\pi\,;\pi]$ .
e) $\cos x=0$ sur $[0\,;2\pi[$ .
f) $\sin x=1$ sur $[-2\pi\,;2\pi]$ .
g) $\cos x=1$ sur $[0\,;4\pi]$ : le nombre de solutions.
h) $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ sur $\mathbb{R}$ : la plus petite solution strictement positive.
i) $\cos x\geq-\frac{1}{2}$ sur $]-\pi\,;\pi]$ .
j) $\cos x\leq\frac{\sqrt{3}}{2}$ sur $]-\pi\,;\pi]$ .
k) $\sin x<-\frac{1}{2}$ sur $[0\,;2\pi]$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/11

a)

Solutions

b)

Solutions

c)

Solutions

d)

Solutions

e)

Solutions

f)

Solutions

g)

Nombre de solutions

h)

Plus petite solution strictement positive

i)

Ensemble des solutions

j)

Ensemble des solutions

k)

Ensemble des solutions

Voir la correction

Réponses

a) $\left\{\frac{\pi}{4}\,;\frac{7\pi}{4}\right\}$
b) $\left\{-\frac{2\pi}{3}\,;\frac{2\pi}{3}\right\}$
c) $\left\{\frac{\pi}{3}\,;\frac{2\pi}{3}\right\}$
d) $\left\{-\frac{5\pi}{6}\,;-\frac{\pi}{6}\right\}$
e) $\left\{\frac{\pi}{2}\,;\frac{3\pi}{2}\right\}$
f) $\left\{-\frac{3\pi}{2}\,;\frac{\pi}{2}\right\}$
g) $\{0\,;2\pi\,;4\pi\}$ : $3$ solutions
h) $x=\frac{4\pi}{3}$
i) $\left[-\frac{2\pi}{3}\,;\frac{2\pi}{3}\right]$
j) $\left]-\pi\,;-\frac{\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{\pi}{6}\,;\pi\right]$
k) $\left]\frac{7\pi}{6}\,;\frac{11\pi}{6}\right[$

Le geste qui décide de tout : dessiner le cercle et la droite AVANT de chercher un angle. Une équation $\cos x=a$ ou $\sin x=a$ avec $-1<a<1$ a deux solutions par tour, et c'est le dessin qui empêche d'en oublier une.

a)

$\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , et le point symétrique par rapport à l'axe des abscisses est $-\frac{\pi}{4}$ , soit $2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}$ dans $[0\,;2\pi[$ . Solutions : $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{7\pi}{4}$ . Piège : $\frac{3\pi}{4}$ , qui a le même SINUS, pas le même cosinus.

b)

$\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ ; le signe moins envoie dans le deuxième quadrant : $\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$ , puis son symétrique $-\frac{2\pi}{3}$ . Solutions : $-\frac{2\pi}{3}$ et $\frac{2\pi}{3}$ . Piège : $\frac{4\pi}{3}$ est juste sur le cercle, mais hors de $]-\pi\,;\pi]$ .

c)

$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , et la symétrie du sinus donne $\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$ . Solutions : $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{2\pi}{3}$ . Piège : confondre avec $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ , qui mène à $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{5\pi}{6}$ .

d)

$\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ , donc $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$ ; l'autre point est $\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$ , hors de l'intervalle, et $\frac{7\pi}{6}-2\pi=-\frac{5\pi}{6}$ . Solutions : $-\frac{5\pi}{6}$ et $-\frac{\pi}{6}$ . Piège : garder $\frac{7\pi}{6}$ , qui dépasse $\pi$ .

e)

$\cos x=0$ aux points du haut et du bas du cercle, d'abscisse nulle : $x=\frac{\pi}{2}$ et $x=\frac{3\pi}{2}$ . Piège : $0$ et $\pi$ , qui sont les solutions de $\sin x=0$ .

f)

$\sin x=1$ au seul point du haut du cercle, $x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$ . Dans $[-2\pi\,;2\pi]$ : $k=0$ donne $\frac{\pi}{2}$ , $k=-1$ donne $-\frac{3\pi}{2}$ , et $k=1$ donne $\frac{5\pi}{2}$ , trop grand. Solutions : $-\frac{3\pi}{2}$ et $\frac{\pi}{2}$ . Piège : s'arrêter à $\frac{\pi}{2}$ parce qu'il n'y a qu'un point sur le cercle ; l'intervalle fait deux tours.

g)

$\cos x=1$ au seul point $x=2k\pi$ . Dans $[0\,;4\pi]$ : $0$ , $2\pi$ et $4\pi$ , soit $3$ solutions. Piège : les deux bornes sont incluses et sont solutions, d'où $3$ et non $2$ .

h)

$\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; les deux familles sont $-\frac{\pi}{3}+2k\pi$ et $\pi+\frac{\pi}{3}+2k\pi=\frac{4\pi}{3}+2k\pi$ . Les plus petites valeurs strictement positives sont $\frac{5\pi}{3}$ et $\frac{4\pi}{3}$ : la plus petite est $\frac{4\pi}{3}$ . Piège : répondre $\frac{5\pi}{3}$ en ne corrigeant que la solution négative.

i)

La droite verticale $x=-\frac{1}{2}$ coupe le cercle en $\pm\frac{2\pi}{3}$ ; $\cos x\geq-\frac{1}{2}$ est l'arc à DROITE de cette droite, celui qui contient $0$ . Solution : $\left[-\frac{2\pi}{3}\,;\frac{2\pi}{3}\right]$ , bornes incluses puisque l'inégalité est large. Piège : prendre l'arc de gauche, qui contient $\pi$ .

j)

La droite $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ coupe le cercle en $\pm\frac{\pi}{6}$ ; $\cos x\leq\frac{\sqrt{3}}{2}$ est l'arc à GAUCHE, qui passe par $\pi$ et se prolonge par $-\pi$ . Sur $]-\pi\,;\pi]$ , il se lit en deux morceaux : $\left]-\pi\,;-\frac{\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{\pi}{6}\,;\pi\right]$ . Piège : $\left[\frac{\pi}{6}\,;\frac{11\pi}{6}\right]$ , juste sur $[0\,;2\pi]$ , mais pas sur l'intervalle demandé.

k)

La droite horizontale $y=-\frac{1}{2}$ coupe le cercle en $\frac{7\pi}{6}$ et $\frac{11\pi}{6}$ ; $\sin x<-\frac{1}{2}$ est l'arc situé SOUS cette droite. Solution : $\left]\frac{7\pi}{6}\,;\frac{11\pi}{6}\right[$ , bornes exclues puisque l'inégalité est stricte.

Contrôle : on remplace chaque solution trouvée dans l'équation de départ, et pour une inéquation on teste une valeur simple à l'intérieur de l'arc, par exemple $x=0$ en i), $\cos 0=1\geq-\frac{1}{2}$ , et $x=\frac{3\pi}{2}$ en k), $\sin\frac{3\pi}{2}=-1<-\frac{1}{2}$ .

Exercice 1 : Les cinq formes de la dérivée d'une composée

Calculez la dérivée de chaque fonction en précisant la fonction intérieure $u$ utilisée.

a) $f(x)=(3x^{2}-5)^{4}$ sur $\mathbb{R}$ .
b) $g(x)=\sqrt{x^{2}+1}$ sur $\mathbb{R}$ .
c) $h(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}$ sur $\mathbb{R}$ .
d) $k(x)=\ln(2x+3)$ sur $\left]-\frac{3}{2}\ ;\ +\infty\right[$ , puis $m(x)=\frac{1}{x^{2}+4}$ sur $\mathbb{R}$ .

Voir la correction

Réponses

a) $f'(x)=24x(3x^{2}-5)^{3}$
b) $g'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$
c) $h'(x)=-2x\,e^{-x^{2}}$
d) $k'(x)=\frac{2}{2x+3}$ ; $m'(x)=-\frac{2x}{(x^{2}+4)^{2}}$

a)

Avec $u(x)=3x^{2}-5$ et $u'(x)=6x$ , la formule $\left(u^{n}\right)'=nu'u^{n-1}$ donne $f'(x)=4\times 6x\times(3x^{2}-5)^{3}=24x(3x^{2}-5)^{3}$ . La méthode est invariable : on IDENTIFIE la fonction intérieure, on calcule sa dérivée, puis on applique la formule sans jamais oublier le facteur $u'$ .

b)

Avec $u(x)=x^{2}+1$ , strictement positif sur $\mathbb{R}$ , la formule $\left(\sqrt{u}\right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ donne $g'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ . La condition $u>0$ n'est pas facultative : elle garantit que $\sqrt{u}$ est dérivable, ce qui serait faux là où $u$ s'annule.

c)

Avec $u(x)=-x^{2}$ et $u'(x)=-2x$ , la formule $\left(\mathrm{e}^{u}\right)'=u'\mathrm{e}^{u}$ donne $h'(x)=-2x\mathrm{e}^{-x^{2}}$ . Attention à ne pas dériver l'exposant à l'intérieur de l'exponentielle : celle-ci reste évaluée en $-x^{2}$ , seul un FACTEUR apparaît devant, erreur reprise à l'exercice 9.

d)

Avec $u(x)=2x+3$ , strictement positif sur l'intervalle donné, $\left(\ln u\right)'=\frac{u'}{u}$ donne $k'(x)=\frac{2}{2x+3}$ . Avec $u(x)=x^{2}+4$ , qui ne s'annule jamais, $\left(\frac{1}{u}\right)'=-\frac{u'}{u^{2}}$ donne $m'(x)=-\frac{2x}{(x^{2}+4)^{2}}$ . Le signe moins et le CARRÉ au dénominateur sont les deux points à surveiller.

Ces cinq formes ne sont que cinq applications d'une seule règle, celle de la dérivée d'une composée : $\left(v\circ u\right)'=u'\times v'\circ u$ . On dérive la fonction extérieure en laissant l'intérieur intact, puis on MULTIPLIE par la dérivée de l'intérieur. Il vaut mieux retenir ce principe que cinq formules séparées, car il couvre aussi les cas non listés, comme $\left(\cos u\right)'=-u'\sin u$ de l'exercice 4. Un contrôle universel existe et ne coûte rien : sur un cas particulier simple, par exemple $u(x)=x$ , la formule doit redonner la dérivée usuelle, et le facteur $u'$ vaut alors $1$ , ce qui explique qu'on l'oublie si facilement dans le cas général.

Exercice 2 : Tangentes et dérivée seconde d'une composée

Les composées interviennent aussi dans les tangentes et dans l'étude de la convexité.

a) Soit $f(x)=(2x-1)^{5}$ . Déterminez une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$ .
b) Soit $g(x)=\mathrm{e}^{3x-6}$ . Calculez $g(2)$ et $g'(2)$ , puis interprétez.
c) Soit $h(x)=\ln\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)$ . Calculez $h'(x)$ , puis démontrez que $0<h'(x)<1$ pour tout réel $x$ .
d) Soit $p(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}$ . Calculez $p''(x)$ et déterminez les abscisses où elle s'annule en changeant de signe.

Voir la correction

Réponses

a) $y=10x-9$
b) $g(2)=1$ , $g'(2)=3$ : tangente $y=3x-5$
c) $h'(x)=\frac{e^{x}}{1+e^{x}}\in\ ]0;1[$
d) $p''(x)=(4x^{2}-2)e^{-x^{2}}$ , s'annule en changeant de signe en $\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$

a)

$f'(x)=5\times 2\times(2x-1)^{4}=10(2x-1)^{4}$ , le facteur $2$ venant de la dérivée de $2x-1$ . En $x=1$ : $f(1)=1^{5}=1$ et $f'(1)=10\times 1=10$ . L'équation de la tangente est $y=f'(1)(x-1)+f(1)=10(x-1)+1$ , c'est-à-dire $y=10x-9$ . Contrôle : en $x=1$ , la droite donne $10-9=1=f(1)$ ✓.

b)

$g(2)=\mathrm{e}^{3\times 2-6}=\mathrm{e}^{0}=1$ et $g'(x)=3\mathrm{e}^{3x-6}$ , donc $g'(2)=3\mathrm{e}^{0}=3$ . La courbe passe donc par le point $(2\,;\,1)$ avec une pente de $3$ , et sa tangente y a pour équation $y=3(x-2)+1=3x-5$ . Sans le facteur $3$ , on obtiendrait une pente de $1$ au lieu de $3$ , soit une erreur de $200\ \%$ sur l'inclinaison de la tangente : l'oubli du facteur intérieur n'est pas une faute de détail.

c)

Avec $u(x)=1+\mathrm{e}^{x}$ , strictement positif, on obtient $h'(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}$ . Ce quotient est strictement positif comme quotient de deux quantités strictement positives. De plus $\mathrm{e}^{x}<1+\mathrm{e}^{x}$ , donc le quotient est strictement inférieur à $1$ . Ainsi $0<h'(x)<1$ : la fonction $h$ est strictement croissante, mais sa pente reste BORNÉE par $1$ , ce qui signifie que sa courbe ne peut jamais devenir plus raide que la première bissectrice. On note au passage $h'(0)=\frac{1}{2}$ , valeur centrale de l'intervalle.

d)

$p'(x)=-2x\mathrm{e}^{-x^{2}}$ d'après l'exercice 1, puis, en dérivant ce PRODUIT : $p''(x)=(-2)\times\mathrm{e}^{-x^{2}}+(-2x)\times(-2x)\mathrm{e}^{-x^{2}}=\left(4x^{2}-2\right)\mathrm{e}^{-x^{2}}$ . L'exponentielle étant strictement positive, $p''$ a exactement le signe de $4x^{2}-2$ , trinôme qui s'annule en changeant de signe en $x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ et $x=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0{,}707$ . La courbe présente donc deux points d'inflexion, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

La question d) illustre le geste le plus rentable dans toute étude de signe faisant intervenir une exponentielle : on la FACTORISE et on l'écarte, puisqu'elle est toujours strictement positive. Le signe de $p''$ se réduit alors à celui d'un simple trinôme, et l'on retombe sur un exercice de seconde. Ce réflexe vaut pour toutes les expressions de la forme $Q(x)\mathrm{e}^{u(x)}$ , et il évite bien des tableaux de signes inextricables.

Exercice 3 : Cercle trigonométrique et équations

On travaille sur le cercle trigonométrique. Aucune valeur approchée n'est demandée dans les questions a) à c) : les réponses sont exactes.

a) Donnez les valeurs exactes de $\cos\frac{\pi}{3}$ , $\sin\frac{\pi}{3}$ , $\cos\frac{3\pi}{4}$ et $\sin\frac{5\pi}{6}$ .
b) Résolvez $\cos x=\frac{1}{2}$ sur $]-\pi\ ;\ \pi]$ .
c) Résolvez $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ sur $[0\ ;\ 2\pi[$ .
d) Résolvez $\cos(2x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ sur $[0\ ;\ \pi]$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/10

a)

\cos\frac{\pi}{3}

\sin\frac{\pi}{3}

\cos\frac{3\pi}{4}

\sin\frac{5\pi}{6}

b)

Plus petite solution (en multiples de

\pi

)

Plus grande solution (en multiples de

\pi

)

c)

Plus petite solution (en multiples de

\pi

)

Plus grande solution (en multiples de

\pi

)

d)

Plus petite solution (en multiples de

\pi

)

Plus grande solution (en multiples de

\pi

)

Voir la correction

Réponses

a) $\frac{1}{2}$ , $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\frac{1}{2}$
b) $x=-\frac{\pi}{3}$ ou $x=\frac{\pi}{3}$
c) $x=\frac{5\pi}{4}$ ou $x=\frac{7\pi}{4}$
d) $x=\frac{\pi}{12}$ ou $x=\frac{11\pi}{12}$

a)

$\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ et $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , valeurs du premier quadrant à connaître par cœur. Pour les deux suivantes, on passe par l'ANGLE DE RÉFÉRENCE et par le quadrant. L'angle $\frac{3\pi}{4}$ est dans le deuxième quadrant, où le cosinus est négatif, et son angle de référence est $\pi-\frac{3\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$ : donc $\cos\frac{3\pi}{4}=-\cos\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ . L'angle $\frac{5\pi}{6}$ est aussi dans le deuxième quadrant, où le sinus reste positif, avec pour référence $\pi-\frac{5\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$ : donc $\sin\frac{5\pi}{6}=+\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ .

b)

Sur $]-\pi\,;\,\pi]$ , l'équation $\cos x=\frac{1}{2}$ admet les solutions $x=\frac{\pi}{3}$ et $x=-\frac{\pi}{3}$ . Le cosinus étant une fonction PAIRE, les deux solutions sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, et il y en a toujours deux par tour dès que la valeur cherchée est strictement comprise entre $-1$ et $1$ .

c)

On cherche les points du cercle d'ORDONNÉE $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ , donc situés dans les troisième et quatrième quadrants, où le sinus est négatif. L'angle de référence étant $\frac{\pi}{4}$ , on obtient $x=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$ et $x=2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}$ . Pour le sinus, les deux solutions sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées, et non des abscisses : c'est la différence avec le cas b), et elle se retient en regardant le cercle plutôt qu'une liste de formules.

d)

Posons $X=2x$ . Quand $x$ parcourt $[0\,;\,\pi]$ , la variable $X$ parcourt $[0\,;\,2\pi]$ : c'est le point crucial, TRANSFORMER l'intervalle en même temps que l'inconnue. L'équation $\cos X=\frac{\sqrt{3}}{2}$ y admet les solutions $X=\frac{\pi}{6}$ et $X=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$ . En revenant à $x=\frac{X}{2}$ : $x=\frac{\pi}{12}$ et $x=\frac{11\pi}{12}$ , toutes deux bien dans $[0\,;\,\pi]$ ✓.

Oublier de transformer l'intervalle fait perdre la seconde solution, et c'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre : un élève qui raisonne sur $X\in[0\,;\,\pi]$ ne trouve que $\frac{\pi}{6}$ , donc une seule valeur de $x$ . La règle générale à retenir est qu'une équation en $\cos(kx)$ posée sur un intervalle de longueur $\ell$ revient à une équation en $\cos X$ sur un intervalle de longueur $k\ell$ , donc à $k$ fois plus de tours de cercle et, en général, à $2k$ solutions. Le contrôle final consiste toujours à compter les solutions attendues et à vérifier qu'on en a bien ce nombre.

Exercice 4 : Dériver du sinus et du cosinus

Calculez les dérivées demandées, puis répondez à la question de mécanique.

Rappel pour la question c) : pour tout réel $x$ , $\sin(2x)=2\sin x\cos x$ . Cette formule de duplication n'est pas au programme de spécialité (elle est au programme de maths expertes) : un sujet de spécialité la donne toujours dans l'énoncé.

a) $f(x)=\sin(3x)$ et $g(x)=\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)$ .
b) $h(x)=x\sin x$ .
c) $k(x)=\sin^{2}x$ . Simplifiez le résultat à l'aide d'une formule de duplication.
d) La position d'un point mobile est $x(t)=5\cos(2t)$ , en centimètres, $t$ étant en secondes. Déterminez sa vitesse $v(t)$ , la vitesse maximale en valeur absolue, et les instants où elle est atteinte.

Voir la correction

Réponses

a) $f'(x)=3\cos(3x)$ ; $g'(x)=-2\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)$
b) $h'(x)=\sin x+x\cos x$
c) $k'(x)=2\sin x\cos x=\sin(2x)$
d) $v(t)=-10\sin(2t)$ ; $10$ cm/s en $t=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}$

a)

$f'(x)=3\cos(3x)$ et $g'(x)=-2\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)$ . Deux choses se combinent ici : le FACTEUR vient de la dérivée de la fonction intérieure, $3$ dans le premier cas et $2$ dans le second, tandis que le SIGNE MOINS vient de la dérivée du cosinus. La constante $\frac{\pi}{4}$ ne change rien au facteur, puisque sa dérivée est nulle.

b)

On applique la formule du produit : $h'(x)=1\times\sin x+x\times\cos x=\sin x+x\cos x$ . Aucune composée ici, donc aucun facteur supplémentaire.

c)

$k(x)=\left(\sin x\right)^{2}$ est une composée de la forme $u^{2}$ avec $u=\sin x$ , donc $k'(x)=2u'u=2\cos x\sin x$ . La formule de duplication $\sin(2x)=2\sin x\cos x$ permet de conclure : $k'(x)=\sin(2x)$ . Cette simplification n'est pas de la coquetterie, elle rend l'étude du signe immédiate.

d)

La vitesse est la dérivée de la position : $v(t)=x'(t)=5\times(-\sin(2t))\times 2=-10\sin(2t)$ cm/s. Comme $\left|\sin(2t)\right|\leq 1$ , la vitesse maximale en valeur absolue vaut $10$ cm/s, atteinte lorsque $\sin(2t)=\pm 1$ , c'est-à-dire $2t=\frac{\pi}{2}+k\pi$ , soit $t=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}$ pour tout entier $k$ .

L'interprétation physique est le vrai contenu de cette dernière question et vaut d'être formulée. Les instants de vitesse maximale, $t=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}$ , sont exactement ceux où le mobile passe par l'ORIGINE, puisque $x\left(\frac{\pi}{4}\right)=5\cos\frac{\pi}{2}=0$ ✓. Inversement, la vitesse s'annule aux points extrêmes $x=\pm 5$ , par exemple en $t=0$ où $v(0)=0$ et $x(0)=5$ . C'est le comportement universel d'un oscillateur, celui d'un pendule ou d'une masse au bout d'un ressort : le mobile est le plus rapide au centre et s'immobilise un instant aux extrémités, position et vitesse étant en QUADRATURE, décalées d'un quart de période.

Exercice 5 : Étude d'une fonction trigonométrique

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\ ;\ 2\pi]$ par $f(x)=2\sin x+x$ .

a) Calculez $f'(x)$ et résolvez $f'(x)=0$ sur $[0\ ;\ 2\pi]$ .
b) Dressez le tableau de variation de $f$ sur $[0\ ;\ 2\pi]$ .
c) Donnez les valeurs exactes des extremums locaux, puis leurs valeurs approchées au centième.
d) Déterminez le maximum et le minimum de $f$ sur $[0\ ;\ 2\pi]$ , et expliquez pourquoi ils ne sont pas atteints aux points trouvés en a).

Voir la correction

Réponses

a) $f'(x)=2\cos x+1$ , nulle en $\frac{2\pi}{3}$ et $\frac{4\pi}{3}$
b) Croissante, décroissante sur $\left[\frac{2\pi}{3};\frac{4\pi}{3}\right]$ , croissante
c) Maximum local $\sqrt{3}+\frac{2\pi}{3}\approx 3{,}83$ ; minimum local $-\sqrt{3}+\frac{4\pi}{3}\approx 2{,}46$
d) Maximum $2\pi$ en $2\pi$ , minimum $0$ en $0$ : atteints aux bornes

a)

$f'(x)=2\cos x+1$ . L'équation $f'(x)=0$ équivaut à $\cos x=-\frac{1}{2}$ , dont les solutions sur $[0\,;\,2\pi]$ sont $x=\frac{2\pi}{3}$ et $x=\frac{4\pi}{3}$ , l'angle de référence étant $\frac{\pi}{3}$ et le cosinus étant négatif dans les deuxième et troisième quadrants. Deux solutions par tour, comme toujours.

b)

On a $\cos x>-\frac{1}{2}$ sur $\left[0\,;\,\frac{2\pi}{3}\right[$ et sur $\left]\frac{4\pi}{3}\,;\,2\pi\right]$ , où $f'>0$ et $f$ est donc croissante ; et $\cos x<-\frac{1}{2}$ sur $\left]\frac{2\pi}{3}\,;\,\frac{4\pi}{3}\right[$ , où $f'<0$ et $f$ décroissante. Le tableau comporte donc trois plages : croissance, décroissance, croissance. Pour déterminer les signes sans hésiter, il suffit de tester une valeur par plage, par exemple $f'(1)=2\cos 1+1>0$ ✓.

c)

$f\left(\frac{2\pi}{3}\right)=2\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2\pi}{3}=\sqrt{3}+\frac{2\pi}{3}\approx 1{,}73+2{,}09\approx 3{,}83$ , qui est un maximum LOCAL. Et $f\left(\frac{4\pi}{3}\right)=2\times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{4\pi}{3}=-\sqrt{3}+\frac{4\pi}{3}\approx-1{,}73+4{,}19\approx 2{,}46$ , minimum local.

d)

Aux bornes de l'intervalle, $f(0)=2\sin 0+0=0$ et $f(2\pi)=2\sin(2\pi)+2\pi=2\pi\approx 6{,}28$ . Le MAXIMUM de $f$ sur $[0\,;\,2\pi]$ vaut donc $2\pi$ , atteint en $x=2\pi$ , et le MINIMUM vaut $0$ , atteint en $x=0$ . Les points trouvés en a) ne donnent que des extremums locaux, et l'on constate que $f(2\pi)\approx 6{,}28>f\left(\frac{2\pi}{3}\right)\approx 3{,}83$ ✓ ainsi que $f(0)=0<f\left(\frac{4\pi}{3}\right)\approx 2{,}46$ ✓.

La leçon de méthode est essentielle et vaut au-delà de la trigonométrie : sur un intervalle FERMÉ, il faut toujours comparer les valeurs aux BORNES avec celles des points critiques, car un extremum global peut parfaitement se trouver à un bord où la dérivée ne s'annule pas. Sur le fond, la fonction $f$ combine une oscillation d'amplitude $2$ et une tendance linéaire $x$ qui gagne $2\pi\approx 6{,}28$ sur la période ; la tendance l'emporte largement, ce qui explique que la fonction remonte toujours plus haut qu'elle n'était descendue et que les extremums globaux se trouvent aux extrémités.

Exercice 6 : La limite du quotient sinus sur x en zéro

Toutes les limites trigonométriques usuelles se ramènent à un nombre dérivé. On rappelle que le nombre dérivé de $f$ en $a$ est $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .

a) Démontrez que $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ en reconnaissant un nombre dérivé.
b) Déterminez $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}$ , puis $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{\sin(5x)}$ .
c) Déterminez $\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x}$ par la même méthode.
d) En écrivant $1-\cos x=\frac{\sin^{2}x}{1+\cos x}$ , déterminez $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}$ .

Voir la correction

Réponses

a) $1$ (nombre dérivé $\sin'(0)$ )
b) $3$ ; $\frac{3}{5}$
c) $0$
d) $\frac{1}{2}$

a)

Pour $x\neq 0$ , on écrit $\frac{\sin x}{x}=\frac{\sin x-\sin 0}{x-0}$ , ce qui est licite puisque $\sin 0=0$ . On reconnaît alors le TAUX D'ACCROISSEMENT de la fonction sinus entre $0$ et $x$ , dont la limite quand $x\to 0$ est par définition le nombre dérivé $\sin'(0)=\cos 0=1$ . La démonstration tient en deux lignes une fois qu'on a vu la réécriture, et c'est elle qu'il faut savoir produire.

b)

On fait apparaître le quotient de référence en forçant le même argument en haut et en bas : $\frac{\sin(3x)}{x}=3\times\frac{\sin(3x)}{3x}$ , et comme $3x\to 0$ , la limite vaut $3\times 1=3$ . Pour le second quotient, on introduit les deux références et l'on compense : $\frac{\sin(3x)}{\sin(5x)}=\frac{\sin(3x)}{3x}\times\frac{5x}{\sin(5x)}\times\frac{3x}{5x}$ , dont la limite est $1\times 1\times\frac{3}{5}=\frac{3}{5}$ .

c)

$\frac{\cos x-1}{x}=\frac{\cos x-\cos 0}{x-0}$ est le taux d'accroissement du cosinus en $0$ , de limite $\cos'(0)=-\sin 0=0$ . Le résultat est donc NUL, ce qui traduit le fait que la tangente à la courbe du cosinus en $0$ est horizontale.

d)

On suit l'indication : $\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{\sin^{2}x}{x^{2}(1+\cos x)}=\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}\times\frac{1}{1+\cos x}$ . La première quantité tend vers $1^{2}=1$ et la seconde vers $\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$ . La limite vaut donc $\frac{1}{2}$ .

Ces quatre limites racontent une seule chose, à savoir le comportement des fonctions trigonométriques au voisinage de $0$ , et il vaut mieux la retenir sous forme d'approximations que sous forme de limites isolées. Le résultat de a) signifie que $\sin x\approx x$ près de zéro, la courbe du sinus se confondant avec la première bissectrice. Le résultat de c) dit que le cosinus est plat en $0$ , et celui de d) précise à quel point : $\cos x\approx 1-\frac{x^{2}}{2}$ , ce qui donne pour $x=0{,}01$ une erreur inférieure à $10^{-8}$ ✓. Ces deux approximations sont la base de toute la physique des petites oscillations, où l'on remplace $\sin\theta$ par $\theta$ pour un pendule de faible amplitude.

Exercice 7 : Étude complète de la courbe en cloche

Soit $p$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $p(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}$ . Sa courbe est la fameuse courbe en cloche.

a) Étudiez la parité de $p$ et déterminez ses limites en $-\infty$ et $+\infty$ .
b) Étudiez les variations de $p$ et donnez son maximum.
c) Déterminez les points d'inflexion de la courbe et l'ordonnée exacte de chacun, puis sa valeur approchée au millième.
d) Résolvez l'inéquation $p(x)\geq\frac{1}{2}$ .

Voir la correction

Réponses

a) Paire ; limite $0$ en $\pm\infty$
b) Croissante sur $]-\infty;0]$ , décroissante sur $[0;+\infty[$ , maximum $1$
c) Points d'inflexion en $\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$ , ordonnée $e^{-\frac{1}{2}}\approx 0{,}607$
d) $\left[-\sqrt{\ln 2}\,;\sqrt{\ln 2}\right]\approx[-0{,}833\,;0{,}833]$

a)

$p(-x)=\mathrm{e}^{-(-x)^{2}}=\mathrm{e}^{-x^{2}}=p(x)$ : la fonction $p$ est PAIRE, et sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Cette symétrie divise le travail par deux, tout ce qui sera établi pour $x>0$ se transposant automatiquement. Quand $x\to\pm\infty$ , on a $-x^{2}\to-\infty$ donc $p(x)\to 0$ : l'axe des abscisses est asymptote horizontale des deux côtés.

b)

$p'(x)=-2x\mathrm{e}^{-x^{2}}$ . L'exponentielle étant strictement positive, $p'$ a exactement le signe de $-2x$ : la fonction est croissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et décroissante sur $[0\,;\,+\infty[$ . Le maximum vaut donc $p(0)=\mathrm{e}^{0}=1$ , atteint en $0$ , ce qui est cohérent avec la parité, une fonction paire ayant nécessairement un extremum ou un point anguleux en $0$ .

c)

On a calculé à l'exercice 2 que $p''(x)=\left(4x^{2}-2\right)\mathrm{e}^{-x^{2}}$ , du signe de $4x^{2}-2$ , lequel change de signe en $\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$ . Il y a donc deux points d'inflexion, d'abscisses $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ et $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , et d'ordonnée commune $p\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\approx 0{,}607$ . La courbe est CONCAVE entre les deux et CONVEXE à l'extérieur, et c'est très exactement ce qui lui donne sa forme de cloche : un sommet arrondi encadré par deux queues qui s'aplatissent.

d)

$\mathrm{e}^{-x^{2}}\geq\frac{1}{2}$ équivaut, en appliquant le logarithme qui est strictement croissant, à $-x^{2}\geq\ln\frac{1}{2}=-\ln 2$ , c'est-à-dire, en multipliant par $-1$ ce qui INVERSE le sens, à $x^{2}\leq\ln 2$ . L'ensemble des solutions est donc $\left[-\sqrt{\ln 2}\,;\,\sqrt{\ln 2}\right]$ , soit environ $[-0{,}833\,;\,0{,}833]$ . Contrôle : $p(0{,}8)>0{,}5$ et $p(0{,}9)<0{,}5$ ✓, le seuil est bien entre les deux.

Cette courbe n'est pas un exercice gratuit, c'est le profil de la loi normale, à un facteur de normalisation près. La largeur trouvée en d) porte d'ailleurs un nom en imagerie et en traitement du signal, la largeur à mi-hauteur, et elle vaut ici $2\sqrt{\ln 2}\approx 1{,}67$ . Quant aux points d'inflexion de la question c), ils repèrent l'ÉCART TYPE de la distribution, ce qui donne une méthode graphique pour l'estimer sans calcul : on cherche à l'œil où la courbe cesse de se creuser pour commencer à s'aplatir.

Exercice 8 : Un modèle de température annuelle

La température moyenne mensuelle d'une ville au climat continental est modélisée par

$T(t)=10{,}5-14{,}5\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$ ,

où $T$ est en degrés Celsius et $t$ le temps en mois, $t=0$ correspondant au 1er janvier. Les résultats numériques seront arrondis au centième.

a) Déterminez la période de $T$ , sa valeur minimale et sa valeur maximale, ainsi que les mois où elles sont atteintes.
b) Calculez $T'(t)$ et déterminez le moment de l'année où le réchauffement est le plus rapide, ainsi que sa valeur en degrés par mois.
c) Résolvez $T(t)\geq 18$ sur $[0\ ;\ 12]$ et interprétez.
d) Résolvez $T(t)\leq 0$ sur $[0\ ;\ 12]$ et donnez la durée totale correspondante.

Voir la correction

Réponses

a) Période $12$ mois ; minimum $-4$ °C en janvier, maximum $25$ °C en juillet
b) $T'(t)=\frac{14{,}5\pi}{6}\sin\frac{\pi t}{6}$ : maximum en $t=3$ , environ $7{,}59$ °C par mois
c) $t\in[4{,}04\,;7{,}96]$ : de début mai à fin août
d) $t\in[0\,;1{,}45]\cup[10{,}55\,;12]$ , soit $2{,}91$ mois

a)

La période de $t\mapsto\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$ vaut $\frac{2\pi}{\pi/6}=12$ mois, ce qui est rassurant pour un modèle de climat annuel. Comme le cosinus varie entre $-1$ et $1$ , la température $T$ varie entre $10{,}5-14{,}5=-4\ ^{\circ}$ C et $10{,}5+14{,}5=25\ ^{\circ}$ C. Attention au signe moins devant le coefficient : le MINIMUM correspond à $\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)=1$ , donc à $t=0$ , soit janvier, et le MAXIMUM à $\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)=-1$ , donc à $t=6$ , soit juillet. Un modèle qui donnerait le maximum en janvier serait immédiatement suspect.

b)

$T'(t)=-14{,}5\times\left(-\frac{\pi}{6}\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)\right)=14{,}5\times\frac{\pi}{6}\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)$ , les deux signes moins se compensant. Cette dérivée est maximale quand $\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)=1$ , soit $\frac{\pi t}{6}=\frac{\pi}{2}$ et donc $t=3$ : le réchauffement est le plus rapide début avril, au rythme de $\frac{14{,}5\pi}{6}\approx 7{,}59\ ^{\circ}$ C par mois.

c)

$T(t)\geq 18$ équivaut à $-14{,}5\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)\geq 7{,}5$ , soit, en divisant par $-14{,}5$ ce qui INVERSE le sens, $\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)\leq-\frac{7{,}5}{14{,}5}\approx-0{,}5172$ . En posant $X=\frac{\pi t}{6}\in[0\,;\,2\pi]$ , cela donne $X\in[\alpha\,;\,2\pi-\alpha]$ avec $\alpha=\arccos(-0{,}5172)\approx 2{,}1144$ . En revenant à $t=\frac{6X}{\pi}$ : $t\in[4{,}04\,;\,7{,}96]$ . La température moyenne dépasse donc $18\ ^{\circ}$ C du début mai à la fin août, soit environ $3{,}9$ mois, puisque $t=4$ correspond au 1er mai et $t=8$ au 1er septembre.

d)

$T(t)\leq 0$ équivaut à $\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)\geq\frac{10{,}5}{14{,}5}\approx 0{,}7241$ . Avec $\beta=\arccos(0{,}7241)\approx 0{,}7611$ , on obtient $X\in[0\,;\,\beta]\cup[2\pi-\beta\,;\,2\pi]$ , donc $t\in[0\,;\,1{,}45]\cup[10{,}55\,;\,12]$ . La durée totale sous le point de congélation vaut $2\times 1{,}45\approx 2{,}91$ mois, répartie de part et d'autre du 1er janvier : c'est la fenêtre qui va de la mi-novembre ( $t\approx 10{,}55$ ) à la mi-février ( $t\approx 1{,}45$ ).

La réponse de b) mérite d'être soulignée, car elle heurte l'intuition : le moment où il fait le plus CHAUD, en juillet, n'est pas celui où la température MONTE le plus vite, qui est début avril. Ce sont deux questions différentes, l'une portant sur $T$ et l'autre sur $T'$ , et l'instant de réchauffement maximal est précisément celui où la température franchit sa moyenne annuelle de $10{,}5\ ^{\circ}$ C, ce qu'on vérifie : $T(3)=10{,}5-14{,}5\cos\frac{\pi}{2}=10{,}5$ ✓. C'est la même distinction qu'entre position et vitesse à l'exercice 4, et c'est le genre de nuance que les questions de modélisation du baccalauréat cherchent à tester.

Exercice 9 : Quatre erreurs à corriger

Chacune des affirmations suivantes est fausse. Corrigez-la et justifiez.

a) « La dérivée de $x\mapsto\sin(3x)$ est $x\mapsto\cos(3x)$ . »
b) « La dérivée de $x\mapsto\mathrm{e}^{x^{2}}$ est $x\mapsto 2x\mathrm{e}^{2x}$ . »
c) « Puisque $\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$ , on a $(\cos x+\sin x)^{2}=1$ . »
d) « L'équation $\cos x=0{,}8$ admet une seule solution dans $[0\ ;\ 2\pi[$ . »

Voir la correction

Réponses

a) $3\cos(3x)$
b) $2x\,e^{x^{2}}$
c) $(\cos x+\sin x)^{2}=1+\sin(2x)$
d) Deux solutions : $\approx 0{,}644$ et $\approx 5{,}640$

a)

Faux : il manque le FACTEUR donné par la dérivée de la fonction intérieure. La bonne réponse est $3\cos(3x)$ . On le vérifie numériquement en un point : le taux d'accroissement de $\sin(3x)$ entre $0$ et $0{,}001$ vaut environ $3$ , et non $1$ . C'est l'erreur la plus répandue du chapitre, et elle a un remède mécanique : après avoir dérivé une composée, se demander systématiquement où est passé $u'$ .

b)

Faux, mais l'erreur est plus subtile : le facteur $u'=2x$ est correct, seulement l'exponentielle doit rester évaluée en $u(x)=x^{2}$ et non en $2x$ . La bonne réponse est $2x\mathrm{e}^{x^{2}}$ . Le point $x=2$ ne permet pas de trancher, puisque $x^{2}$ et $2x$ y prennent la même valeur, et c'est d'ailleurs le seul point non nul où les deux formules coïncident : voilà un cas où tester un point mal choisi valide une formule fausse. En $x=3$ en revanche, la bonne valeur est $6\mathrm{e}^{9}\approx 48\,619$ contre $6\mathrm{e}^{6}\approx 2\,421$ pour la formule fausse, soit vingt fois moins.

c)

Faux : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés, et l'identité de Pythagore ne dispense pas de développer. En développant correctement : $(\cos x+\sin x)^{2}=\cos^{2}x+2\cos x\sin x+\sin^{2}x=1+\sin(2x)$ , en utilisant la formule de duplication de l'exercice 4. Cette quantité varie donc entre $0$ et $2$ , et ne vaut $1$ que lorsque $\sin(2x)=0$ . Contre-exemple : en $x=\frac{\pi}{4}$ , on a $\cos x+\sin x=\sqrt{2}$ , dont le carré vaut $2$ et non $1$ .

d)

Faux : sur un intervalle de longueur $2\pi$ , l'équation $\cos x=a$ avec $-1<a<1$ admet exactement DEUX solutions, symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Ici $x=\arccos(0{,}8)\approx 0{,}6435$ et $x=2\pi-0{,}6435\approx 5{,}6397$ . L'erreur consiste à s'arrêter à la valeur renvoyée par la calculatrice, laquelle ne fournit jamais que la solution appartenant à $[0\,;\,\pi]$ , la fonction arccosinus étant définie ainsi.

Les quatre erreurs se ramènent à deux réflexes manquants. Les deux premières relèvent de la DÉRIVATION COMPOSÉE, où il faut à la fois placer le bon facteur devant et garder le bon argument à l'intérieur ; la question b) montre en prime qu'une vérification numérique en un seul point mal choisi peut valider une formule fausse, et qu'il faut donc en tester deux. Les deux dernières relèvent de la TRIGONOMÉTRIE, où l'on ne peut ni manipuler les identités sans développer, ni faire confiance à la calculatrice pour énumérer les solutions. Le remède commun est de toujours revenir au cercle pour compter les solutions et de toujours dériver ou développer pour vérifier une formule.

Exercice 10 : Problème de synthèse : la section d'une gouttière

On fabrique une gouttière en pliant une longue feuille de métal de 30 cm de largeur en trois bandes de 10 cm. La bande centrale reste horizontale et forme le fond ; les deux bandes latérales sont relevées, chacune faisant un angle $\theta$ avec l'horizontale, avec $\theta\in\left]0\ ;\ \frac{\pi}{2}\right]$ .

La section droite est donc un trapèze isocèle. On cherche l'angle qui maximise l'aire de cette section, c'est-à-dire le débit de la gouttière.

La figure donne cette section, dessinée pour une valeur quelconque de $\theta$ : les trois bandes de 10 cm y sont repérées.

a) Exprimez la hauteur du trapèze et la longueur de sa grande base en fonction de $\theta$ , puis montrez que l'aire vaut $A(\theta)=100\sin\theta\,(1+\cos\theta)$ en centimètres carrés.
b) Montrez que $A'(\theta)=100\,(2\cos\theta-1)(\cos\theta+1)$ .
c) Déterminez l'angle qui maximise l'aire et la valeur exacte de cette aire maximale.
d) Comparez avec la gouttière rectangulaire obtenue pour $\theta=\frac{\pi}{2}$ et concluez.

Voir la correction

Réponses

a) $h=10\sin\theta$ , grande base $10+20\cos\theta$
b) $A'(\theta)=100(2\cos\theta-1)(\cos\theta+1)$
c) $\theta=\frac{\pi}{3}$ ( $60$ degrés), aire $75\sqrt{3}\approx 129{,}9$ cm²
d) $100$ cm² en angle droit : le pliage à $60$ degrés gagne environ $29{,}9\ \%$

a)

Chaque bande latérale mesure $10$ cm et fait un angle $\theta$ avec l'horizontale. Sa projection VERTICALE donne la hauteur du trapèze, $h=10\sin\theta$ , et sa projection HORIZONTALE donne le débord de chaque côté, $10\cos\theta$ . La petite base est le fond, de longueur $10$ ; la grande base vaut donc $10+2\times 10\cos\theta$ , un débord de chaque côté. En appliquant la formule de l'aire d'un trapèze, demi-somme des bases fois la hauteur : $A(\theta)=\frac{10+(10+20\cos\theta)}{2}\times 10\sin\theta=\frac{20+20\cos\theta}{2}\times 10\sin\theta=(10+10\cos\theta)\times 10\sin\theta=100\sin\theta\,(1+\cos\theta)$ .

b)

On dérive le produit : $A'(\theta)=100\left[\cos\theta\,(1+\cos\theta)+\sin\theta\times(-\sin\theta)\right]=100\left[\cos\theta+\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta\right]$ . Le mélange de $\cos^{2}$ et de $\sin^{2}$ empêche toute conclusion, on RAMÈNE donc tout au cosinus grâce à $\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$ : $A'(\theta)=100\left[\cos\theta+\cos^{2}\theta-1+\cos^{2}\theta\right]=100\left[2\cos^{2}\theta+\cos\theta-1\right]$ . Ce trinôme en $\cos\theta$ a pour racines $\frac{1}{2}$ et $-1$ , d'où la factorisation $A'(\theta)=100\,(2\cos\theta-1)(\cos\theta+1)$ .

c)

Sur $\left]0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$ , le facteur $\cos\theta+1$ est strictement positif, donc $A'$ a le signe de $2\cos\theta-1$ . Cette quantité est positive tant que $\cos\theta>\frac{1}{2}$ , c'est-à-dire $\theta<\frac{\pi}{3}$ , et négative ensuite. L'aire est donc maximale en $\theta=\frac{\pi}{3}$ , soit $60$ degrés, et vaut $A\left(\frac{\pi}{3}\right)=100\times\frac{\sqrt{3}}{2}\times\left(1+\frac{1}{2}\right)=100\times\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{3}{2}=75\sqrt{3}\approx 129{,}9$ cm $^{2}$ .

d)

Pour $\theta=\frac{\pi}{2}$ , les bandes latérales sont verticales et la gouttière est un rectangle de $10$ cm sur $10$ cm : $A\left(\frac{\pi}{2}\right)=100\times 1\times(1+0)=100$ cm $^{2}$ , ce qui est bien l'aire du carré ✓. Le pliage à $60$ degrés apporte donc $\frac{75\sqrt{3}-100}{100}\approx 29{,}9\ \%$ de section en plus, soit près d'un tiers, sans un gramme de métal supplémentaire.

C'est le résultat contre-intuitif du problème : le réflexe de plier à angle droit est le mauvais, et il coûte $30\ \%$ de débit. L'explication tient à un arbitrage, que la dérivée résout à notre place. Redresser les bandes augmente la hauteur du trapèze mais rétrécit sa grande base, et incliner davantage fait l'inverse ; l'optimum est atteint là où les deux effets s'équilibrent exactement, à $60$ degrés. On peut prolonger la remarque : la section obtenue est alors la moitié d'un HEXAGONE RÉGULIER de côté $10$ , ce qui n'est pas un hasard, l'hexagone étant le polygone qui maximise l'aire à périmètre donné parmi ceux qui pavent le plan. Les abeilles construisent leurs alvéoles selon exactement cet angle.

Exercice 11 : Inéquations trigonométriques et équation en cosinus

On raisonne sur le cercle trigonométrique : une inéquation en $\sin x$ se lit sur l'axe des ordonnées, une inéquation en $\cos x$ sur l'axe des abscisses.

Les réponses sont exactes, exprimées à l'aide de $\pi$ .

a) Résolvez $\sin x\geq\frac{1}{2}$ sur $[0\,;2\pi]$ .
b) Résolvez $\cos x<\frac{\sqrt{2}}{2}$ sur $]-\pi\,;\pi]$ .
c) Résolvez $2\cos^{2}x-\cos x-1=0$ sur $[0\,;2\pi[$ .
d) Résolvez $\sin x=\cos x$ sur $[0\,;2\pi[$ .

Voir la correction

Réponses

a) $\left[\frac{\pi}{6}\,;\frac{5\pi}{6}\right]$
b) $\left]-\pi\,;-\frac{\pi}{4}\right[\cup\left]\frac{\pi}{4}\,;\pi\right]$
c) $x\in\left\{0\,;\frac{2\pi}{3}\,;\frac{4\pi}{3}\right\}$
d) $x=\frac{\pi}{4}$ ou $x=\frac{5\pi}{4}$

a)

On trace la droite horizontale $y=\frac{1}{2}$ : elle coupe le cercle aux points associés à $\frac{\pi}{6}$ et à $\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$ . Les points d'ordonnée SUPÉRIEURE ou égale à $\frac{1}{2}$ forment l'arc du haut, entre ces deux points. Solution : $\left[\frac{\pi}{6}\,;\frac{5\pi}{6}\right]$ . Contrôle : $\sin\frac{\pi}{2}=1\geq\frac{1}{2}$ ✓ et $\sin\pi=0<\frac{1}{2}$ ✓.

b)

La droite verticale $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ coupe le cercle en $\frac{\pi}{4}$ et $-\frac{\pi}{4}$ . Les points d'abscisse STRICTEMENT INFÉRIEURE sont à gauche de cette droite : c'est l'arc qui passe par $\pi$ . Sur $]-\pi\,;\pi]$ , il se coupe en deux morceaux : $\left]-\pi\,;-\frac{\pi}{4}\right[\cup\left]\frac{\pi}{4}\,;\pi\right]$ . Le crochet en $\pi$ est fermé car $\pi$ appartient à l'intervalle d'étude et $\cos\pi=-1<\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; celui en $-\pi$ est ouvert car $-\pi$ est exclu de l'intervalle d'étude. L'erreur typique est de répondre $\left]-\frac{\pi}{4}\,;\frac{\pi}{4}\right[$ , qui est l'ensemble où $\cos x$ est SUPÉRIEUR.

c)

On pose $X=\cos x$ , avec $X\in[-1\,;1]$ . L'équation devient $2X^{2}-X-1=0$ , de racine évidente $X=1$ ; le produit des racines vaut $-\frac{1}{2}$ , donc l'autre est $X=-\frac{1}{2}$ . Les deux valeurs sont dans $[-1\,;1]$ . $\cos x=1$ donne $x=0$ sur $[0\,;2\pi[$ ; $\cos x=-\frac{1}{2}$ donne $x=\frac{2\pi}{3}$ et $x=\frac{4\pi}{3}$ . Trois solutions : $0$ , $\frac{2\pi}{3}$ et $\frac{4\pi}{3}$ . Oublier de vérifier que $X$ reste dans $[-1\,;1]$ ferait accepter des « solutions » impossibles dans d'autres exercices.

d)

$\cos x=0$ n'est pas solution, car alors $\sin x=\pm 1\neq 0$ . On cherche donc les points du cercle dont l'abscisse et l'ordonnée sont égales : ils sont sur la première bissectrice $y=x$ , en $\frac{\pi}{4}$ (où les deux valent $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ) et en $\frac{5\pi}{4}$ (où les deux valent $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ). Solutions : $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{5\pi}{4}$ . S'arrêter à $\frac{\pi}{4}$ est l'oubli le plus fréquent.

La méthode ne change jamais : on dessine le cercle, la droite horizontale ou verticale, on repère les deux points d'intersection, puis on lit l'arc demandé EN TOURNANT dans le sens direct à l'intérieur de l'intervalle d'étude. Quand l'arc franchit une borne de l'intervalle, il se coupe en deux morceaux, et c'est là que la réponse devient une réunion.

Exercice 12 : Réduire l'intervalle d'étude

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\cos(2x)+2\cos x$ .

Rappel pour les questions b) et e) : pour tout réel $x$ , $\sin(2x)=2\sin x\cos x$ et $\cos(2x)=2\cos^{2}x-1$ . Ces formules de duplication ne sont pas au programme de spécialité (elles sont au programme de maths expertes) : un sujet de spécialité les donne dans l'énoncé.

a) Démontrez que $f$ est $2\pi$ -périodique et paire. Sur quel intervalle suffit-il de l'étudier ?
b) Démontrez que $f'(x)=-2\sin x\,(2\cos x+1)$ .
c) Étudiez le signe de $f'(x)$ sur $[0\,;\pi]$ et dressez le tableau de variation de $f$ sur cet intervalle.
d) Déterminez le maximum et le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
e) Combien l'équation $f(x)=0$ admet-elle de solutions sur $[-\pi\,;\pi]$ ? Donnez la solution positive au millième.

Voir la correction

Réponses

a) $2\pi$ -périodique et paire : étude sur $[0\,;\pi]$
b) $f'(x)=-2\sin x\,(2\cos x+1)$
c) Décroissante sur $\left[0;\frac{2\pi}{3}\right]$ , croissante sur $\left[\frac{2\pi}{3};\pi\right]$ ; $f(0)=3$ , $f\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{3}{2}$ , $f(\pi)=-1$
d) Maximum $3$ , minimum $-\frac{3}{2}$
e) $2$ solutions, $x\approx\pm 1{,}196$

a)

$f(x+2\pi)=\cos(2x+4\pi)+2\cos(x+2\pi)=\cos(2x)+2\cos x=f(x)$ : $f$ est $2\pi$ -périodique. $f(-x)=\cos(-2x)+2\cos(-x)=\cos(2x)+2\cos x=f(x)$ car le cosinus est pair : $f$ est paire. La périodicité ramène l'étude à un intervalle de longueur $2\pi$ , par exemple $[-\pi\,;\pi]$ , et la parité à sa moitié positive : il suffit d'étudier $f$ sur $[0\,;\pi]$ , puis de compléter la courbe par symétrie d'axe $(Oy)$ et par translations de $2\pi$ .

b)

$f'(x)=-2\sin(2x)-2\sin x$ , le facteur $2$ venant de la dérivée de $2x$ . Avec $\sin(2x)=2\sin x\cos x$ : $f'(x)=-4\sin x\cos x-2\sin x=-2\sin x\,(2\cos x+1)$ .

c)

Sur $]0\,;\pi[$ , $\sin x>0$ , donc $f'(x)$ a le signe de $-(2\cos x+1)$ . Or $2\cos x+1>0\iff\cos x>-\frac{1}{2}\iff x<\frac{2\pi}{3}$ sur $[0\,;\pi]$ . Donc $f'<0$ sur $\left]0\,;\frac{2\pi}{3}\right[$ et $f'>0$ sur $\left]\frac{2\pi}{3}\,;\pi\right[$ : $f$ est décroissante sur $\left[0\,;\frac{2\pi}{3}\right]$ puis croissante sur $\left[\frac{2\pi}{3}\,;\pi\right]$ . Valeurs : $f(0)=1+2=3$ ; $f\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\frac{4\pi}{3}+2\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}$ ; $f(\pi)=\cos 2\pi+2\cos\pi=1-2=-1$ .

d)

Sur $[0\,;\pi]$ , le maximum est $3$ (en $0$ ) et le minimum $-\frac{3}{2}$ (en $\frac{2\pi}{3}$ ). Par parité puis périodicité, $f$ prend sur $\mathbb{R}$ exactement les mêmes valeurs que sur $[0\,;\pi]$ : son maximum sur $\mathbb{R}$ vaut $3$ , son minimum $-\frac{3}{2}$ . Le point $x=\pi$ , où $f'$ s'annule aussi, n'est qu'un maximum LOCAL de valeur $-1$ .

e)

Sur $\left[0\,;\frac{2\pi}{3}\right]$ , $f$ est continue, strictement décroissante, de $3$ à $-\frac{3}{2}$ : elle s'annule exactement une fois. Sur $\left[\frac{2\pi}{3}\,;\pi\right]$ , elle reste entre $-\frac{3}{2}$ et $-1$ : aucune solution. Donc une solution sur $[0\,;\pi]$ , et par parité une sur $[-\pi\,;0]$ : $2$ solutions en tout. Pour la valeur, $\cos(2x)=2\cos^{2}x-1$ donne $2\cos^{2}x+2\cos x-1=0$ , d'où $\cos x=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$ (l'autre racine est inférieure à $-1$ ), soit $x\approx 1{,}196$ .

Réduire l'intervalle d'étude n'est pas une coquetterie : ici, l'étude sur $\mathbb{R}$ tout entier se ramène à un intervalle de longueur $\pi$ , soit un seul tableau à trois valeurs. Au bac, la question « justifier qu'il suffit d'étudier $f$ sur $[0\,;\pi]$ » attend exactement les deux calculs de a), et la conclusion sur $\mathbb{R}$ doit rappeler que parité et périodicité CONSERVENT les extremums.

Exercice 13 : Approximation affine d'une composée

Près d'un point $a$ où $f$ est dérivable, la tangente fournit l'approximation $f(a+h)\approx f(a)+f'(a)\,h$ , d'autant meilleure que $h$ est petit.

On travaille ici en $a=0$ .

a) Soit $f(x)=\sqrt{1+x}$ . Déterminez l'équation réduite de la tangente à sa courbe en $0$ .
b) Déduisez-en une valeur approchée de $\sqrt{1{,}06}$ ; comparez à la calculatrice et dites si l'approximation est par excès ou par défaut.
c) Soit $g(x)=e^{\sin x}$ . Déterminez la tangente en $0$ et une valeur approchée de $g(0{,}1)$ .
d) Soit $h(x)=(1+x)^{10}$ . Déterminez la tangente en $0$ et une valeur approchée de $1{,}003^{10}$ .

Voir la correction

Réponses

a) $y=1+\frac{x}{2}$
b) $\sqrt{1{,}06}\approx 1{,}03$ (exact $1{,}02956$ ) : par excès
c) $y=1+x$ ; $g(0{,}1)\approx 1{,}1$ (exact $1{,}10499$ )
d) $y=1+10x$ ; $1{,}003^{10}\approx 1{,}03$ (exact $1{,}030408$ )

a)

$f(0)=1$ et, par la formule $(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ avec $u=1+x$ , $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}$ , donc $f'(0)=\frac{1}{2}$ . Tangente : $y=f'(0)(x-0)+f(0)$ , soit $y=1+\frac{x}{2}$ .

b)

Avec $x=0{,}06$ : $\sqrt{1{,}06}\approx 1+\frac{0{,}06}{2}=1{,}03$ . La calculatrice donne $\sqrt{1{,}06}\approx 1{,}02956$ . L'erreur est d'environ $0{,}0004$ , soit moins de $0{,}05\ \%$ . Comme $1{,}03>1{,}02956$ , l'approximation est par EXCÈS : la courbe de la racine est sous sa tangente, elle « s'aplatit ».

c)

$g(0)=e^{0}=1$ et, par la formule $(e^{u})'=u'e^{u}$ avec $u=\sin x$ , $g'(x)=\cos x\,e^{\sin x}$ , d'où $g'(0)=1$ . Tangente : $y=1+x$ . Donc $g(0{,}1)\approx 1{,}1$ . La calculatrice donne $e^{\sin 0{,}1}\approx 1{,}10499$ : approximation par défaut, erreur d'environ $0{,}005$ .

d)

$h(0)=1$ et $h'(x)=10(1+x)^{9}$ , donc $h'(0)=10$ et la tangente est $y=1+10x$ . Ainsi $1{,}003^{10}\approx 1+10\times 0{,}003=1{,}03$ . La calculatrice donne $1{,}030408$ : les quatre premières décimales sont presque justes. C'est l'approximation $(1+x)^{n}\approx 1+nx$ , qu'on utilise pour estimer de petits taux cumulés : dix hausses de $0{,}3\ \%$ font environ $3\ \%$ .

L'approximation affine n'est rien d'autre que la définition du nombre dérivé lue à l'envers : $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\approx f'(a)$ quand $h$ est petit. Pour une composée, tout le travail est dans le calcul de $f'(0)$ , où l'on retrouve le facteur $u'$ ; et la qualité se lit sur l'erreur, qui diminue comme $h^{2}$ : diviser $h$ par $10$ divise l'erreur par environ $100$ .

Exercice 14 : La portée d'un tir selon l'angle

Un projectile est lancé depuis le sol à la vitesse $v_{0}=20$ m/s, avec un angle $\theta$ par rapport à l'horizontale, $\theta\in\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]$ . En négligeant les frottements et avec $g=9{,}8$ m/s², la portée, distance horizontale parcourue avant de retomber, vaut $R(\theta)=\frac{v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}=\frac{400\sin(2\theta)}{9{,}8}$ mètres.

Les résultats numériques sont arrondis au centième pour les distances, au dixième de degré pour les angles.

La figure représente une trajectoire, pour un angle $\theta$ quelconque.

a) Calculez la portée pour $\theta=\frac{\pi}{6}$ .
b) Calculez $R'(\theta)$ , étudiez son signe et déduisez-en l'angle, en degrés, qui rend la portée maximale.
c) Quelle est la portée maximale ?
d) On veut atteindre une cible à $30$ m. Déterminez les deux angles possibles, en degrés.
e) Que vaut la somme de ces deux angles ? Justifiez ce résultat pour toute portée inférieure au maximum.

Voir la correction

Réponses

a) $R\left(\frac{\pi}{6}\right)\approx 35{,}35$ m
b) $R'(\theta)=\frac{800}{9{,}8}\cos(2\theta)$ : maximum pour $45$ degrés
c) $\frac{400}{9{,}8}\approx 40{,}82$ m
d) $\theta\approx 23{,}7$ degrés ou $\theta\approx 66{,}3$ degrés
e) $90$ degrés : $R\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=R(\theta)$

a)

$R\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{400\sin\frac{\pi}{3}}{9{,}8}=\frac{400\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{9{,}8}=\frac{200\sqrt{3}}{9{,}8}\approx 35{,}35$ m.

b)

$R'(\theta)=\frac{400}{9{,}8}\times 2\cos(2\theta)=\frac{800}{9{,}8}\cos(2\theta)$ , le facteur $2$ venant de la dérivée de $2\theta$ . Pour $\theta\in\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]$ , $2\theta\in[0\,;\pi]$ : $\cos(2\theta)>0$ pour $2\theta<\frac{\pi}{2}$ et $<0$ pour $2\theta>\frac{\pi}{2}$ . $R$ croît sur $\left[0\,;\frac{\pi}{4}\right]$ puis décroît : la portée est maximale pour $\theta=\frac{\pi}{4}$ , soit $45$ degrés.

c)

$R\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{400\sin\frac{\pi}{2}}{9{,}8}=\frac{400}{9{,}8}\approx 40{,}82$ m.

d)

$R(\theta)=30\iff\sin(2\theta)=\frac{30\times 9{,}8}{400}=0{,}735$ . Avec $X=2\theta\in[0\,;\pi]$ , l'équation $\sin X=0{,}735$ a DEUX solutions : $X_{1}=\arcsin(0{,}735)\approx 47{,}31$ degrés et $X_{2}=180-47{,}31=132{,}69$ degrés, le sinus étant symétrique par rapport à $90$ degrés. D'où $\theta_{1}\approx 23{,}7$ degrés (tir tendu) et $\theta_{2}\approx 66{,}3$ degrés (tir en cloche). La calculatrice ne donne que $X_{1}$ : c'est le cercle qui fournit le second.

e)

$\theta_{1}+\theta_{2}=\frac{X_{1}+X_{2}}{2}=\frac{180}{2}=90$ degrés. En général, $R\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{400\sin(\pi-2\theta)}{9{,}8}=\frac{400\sin(2\theta)}{9{,}8}=R(\theta)$ puisque $\sin(\pi-X)=\sin X$ : deux angles COMPLÉMENTAIRES donnent la même portée. Toute portée strictement inférieure au maximum est donc atteinte par deux angles symétriques par rapport à $45$ degrés.

Le problème réunit les trois gestes du chapitre : dériver une composée en $\sin(2\theta)$ sans oublier le facteur $2$ , étudier un signe de cosinus sur un intervalle transformé, et résoudre une équation en sinus en comptant ses solutions sur le cercle. L'interprétation physique n'est pas décorative : le tir tendu arrive plus vite, le tir en cloche passe au-dessus des obstacles, et c'est le même calcul qui les donne tous les deux.

Exercice 15 : Une oscillation amortie

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x)=e^{-x}\sin x$ . Elle modélise par exemple l'écart à l'équilibre d'une suspension de voiture après un choc.

a) Démontrez que $f'(x)=e^{-x}(\cos x-\sin x)$ .
b) Résolvez $f'(x)=0$ sur $[0\,;2\pi]$ .
c) Calculez les valeurs exactes de $f$ en ces points, puis leurs valeurs approchées au millième.
d) Démontrez que $-e^{-x}\leq f(x)\leq e^{-x}$ , déduisez-en la limite de $f$ en $+\infty$ , puis donnez le nombre de solutions de $f(x)=0$ sur $[0\,;2\pi]$ .
e) Les maximums locaux sont atteints en $\frac{\pi}{4}+2k\pi$ . Calculez le rapport entre deux maximums consécutifs, $\frac{f\left(\frac{\pi}{4}+2\pi\right)}{f\left(\frac{\pi}{4}\right)}$ , au dix-millième.

Voir la correction

Réponses

a) $f'(x)=e^{-x}(\cos x-\sin x)$
b) $x=\frac{\pi}{4}$ ou $x=\frac{5\pi}{4}$
c) $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{\pi}{4}}\approx 0{,}322$ ; $f\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{5\pi}{4}}\approx-0{,}014$
d) Limite $0$ par encadrement ; $3$ zéros : $0$ , $\pi$ , $2\pi$
e) $e^{-2\pi}\approx 0{,}0019$

a)

Produit $uv$ avec $u=e^{-x}$ , $u'=-e^{-x}$ , et $v=\sin x$ , $v'=\cos x$ : $f'(x)=-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x=e^{-x}(\cos x-\sin x)$ .

b)

$e^{-x}>0$ , donc $f'(x)=0\iff\cos x=\sin x$ . Sur $[0\,;2\pi]$ , cela donne $x=\frac{\pi}{4}$ et $x=\frac{5\pi}{4}$ , les deux points du cercle situés sur la première bissectrice. Le signe de $f'$ est celui de $\cos x-\sin x$ : positif sur $\left[0\,;\frac{\pi}{4}\right[$ , négatif sur $\left]\frac{\pi}{4}\,;\frac{5\pi}{4}\right[$ , positif sur $\left]\frac{5\pi}{4}\,;2\pi\right]$ .

c)

$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=e^{-\frac{\pi}{4}}\times\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}322$ , maximum local. $f\left(\frac{5\pi}{4}\right)=e^{-\frac{5\pi}{4}}\times\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\approx-0{,}014$ , minimum local. Le deuxième écart est déjà vingt-trois fois plus petit que le premier en valeur absolue.

d)

Pour tout réel $x$ , $-1\leq\sin x\leq 1$ . En multipliant par $e^{-x}>0$ , le sens est conservé : $-e^{-x}\leq f(x)\leq e^{-x}$ . Les deux bornes tendent vers $0$ en $+\infty$ , donc par le théorème des gendarmes $f(x)\to 0$ . Enfin $f(x)=0\iff\sin x=0$ puisque $e^{-x}\neq 0$ : sur $[0\,;2\pi]$ , les solutions sont $0$ , $\pi$ et $2\pi$ , soit $3$ solutions. La courbe oscille entre les deux « enveloppes » $y=e^{-x}$ et $y=-e^{-x}$ et coupe l'axe à chaque multiple de $\pi$ .

e)

$f\left(\frac{\pi}{4}+2\pi\right)=e^{-\frac{\pi}{4}-2\pi}\sin\left(\frac{\pi}{4}+2\pi\right)=e^{-2\pi}\times e^{-\frac{\pi}{4}}\sin\frac{\pi}{4}$ , car le sinus est $2\pi$ -périodique. Le rapport vaut donc $e^{-2\pi}\approx 0{,}0019$ : chaque oscillation réduit l'amplitude d'un facteur d'environ $535$ . Le rapport ne dépend pas de $k$ , ce qui caractérise un amortissement exponentiel.

Retenez la structure « exponentielle décroissante fois fonction périodique » : les zéros viennent de la partie périodique, la limite de la partie exponentielle par encadrement, et les extremums du produit ne sont PAS ceux du sinus, mais sont décalés de $\frac{\pi}{4}$ vers la gauche par l'amortissement. Au bac, la question « démontrer que $f'(x)=\dots$ » se traite toujours en factorisant l'exponentielle, qui ne s'annule jamais.

Exercices corrigés : dérivation et fonctions trigonométriques (Terminale spécialité)

Rappel de cours

Calculs : les dérivées de composées à calculer

Exercice 0.1 : Dériver des fonctions composées : douze calculs directs

Calculs : équations et inéquations trigonométriques

Exercice 0.2 : Résoudre cos x = a et sin x = a : onze calculs directs

Partie A : Les bases (/50)

Exercice 1 : Les cinq formes de la dérivée d'une composée

Exercice 2 : Tangentes et dérivée seconde d'une composée

Exercice 3 : Cercle trigonométrique et équations

Exercice 4 : Dériver du sinus et du cosinus

Exercice 5 : Étude d'une fonction trigonométrique

Partie B : Niveau baccalauréat (/50)

Exercice 6 : La limite du quotient sinus sur x en zéro

Exercice 7 : Étude complète de la courbe en cloche

Exercice 8 : Un modèle de température annuelle

Exercice 9 : Quatre erreurs à corriger

Exercice 10 : Problème de synthèse : la section d'une gouttière

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 11 : Inéquations trigonométriques et équation en cosinus

Exercice 12 : Réduire l'intervalle d'étude

Exercice 13 : Approximation affine d'une composée

Exercice 14 : La portée d'un tir selon l'angle

Exercice 15 : Une oscillation amortie

Ce chapitre au bac 2025 et 2026

Ce chapitre resservira dans

Voir aussi

Vous cherchez un tuteur de spécialité maths en Terminale à Montréal ?