Exercices corrigés : la dérivation (Première spécialité)

a) $f(2)=4+6=10$ et $f(2+h)=(2+h)^2+3(2+h)=4+4h+h^2+6+3h=10+7h+h^2$. Le taux vaut donc $\frac{7h+h^2}{h}=7+h$ pour $h\neq 0$.

b) Quand $h$ tend vers 0, le taux tend vers 7 : $f'(2)=7$.

c) $g(3+h)-g(3)=\frac{1}{3+h}-\frac{1}{3}=\frac{3-(3+h)}{3(3+h)}=\frac{-h}{3(3+h)}$. En divisant par $h$ : $\frac{-1}{3(3+h)}$, qui tend vers $-\frac{1}{9}$. Donc $g'(3)=-\frac{1}{9}$.

d) $f'(x)=2x+3$ donne $f'(2)=7$, et $g'(x)=-\frac{1}{x^2}$ donne $g'(3)=-\frac{1}{9}$. Les deux méthodes concordent.

a) $f'(x)=3x^2-2$.

b) $f(2)=8-4+1=5$ et $f'(2)=12-2=10$. La tangente a pour équation $y=10(x-2)+5$, soit $y=10x-15$.

c) $f(-1)=-1+2+1=2$ et $f'(-1)=3-2=1$. La tangente a pour équation $y=1\times(x+1)+2$, soit $y=x+3$.

d) Pour la première : en $x=2$, $10\times 2-15=5=f(2)$. Pour la seconde : en $x=-1$, $-1+3=2=f(-1)$. Les deux points de contact sont bien sur leur tangente.

a) $f$ est un polynôme, dérivable sur $\mathbb{R}$ : $f'(x)=20x^3-6x+7$.

b) $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ : $g'(x)=\frac{3}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{x^2}$.

c) Avec $u=2x-1$ et $v=x^2+3$ : $h'(x)=2(x^2+3)+(2x-1)\times 2x=2x^2+6+4x^2-2x=6x^2-2x+6$, sur $\mathbb{R}$.

d) Première méthode, comme un produit $u\times u$ avec $u=x^2+1$ : $k'(x)=2\times 2x\times(x^2+1)=4x(x^2+1)=4x^3+4x$. Seconde méthode, en développant d'abord : $k(x)=x^4+2x^2+1$, donc $k'(x)=4x^3+4x$. Les deux méthodes donnent le même résultat.

a) $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ privé de 3. Avec $u=2x+1$ et $v=x-3$ : $f'(x)=\frac{2(x-3)-(2x+1)}{(x-3)^2}=\frac{2x-6-2x-1}{(x-3)^2}=\frac{-7}{(x-3)^2}$.

b) Le dénominateur est un carré, donc strictement positif, et le numérateur vaut $-7<0$ : $f'$ est strictement négative. La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;3[$ et strictement décroissante sur $]3;+\infty[$, mais pas sur la réunion des deux.

c) $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ privé de 0. On peut écrire $g(x)=x+\frac{1}{x}$, d'où $g'(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$.

d) $g'(x)=0$ équivaut à $x^2=1$, soit $x=-1$ ou $x=1$. Le signe de $g'$ est celui de $x^2-1$ : positif à l'extérieur de $[-1;1]$, négatif à l'intérieur. En $x=-1$, $g'$ passe du positif au négatif : maximum local $g(-1)=-2$. En $x=1$, $g'$ passe du négatif au positif : minimum local $g(1)=2$.

a) $f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)$.

b) Le trinôme $x^2-2x-3$ a pour racines $-1$ et 3, et son coefficient dominant est positif : $f'$ est positive sur $]-\infty;-1[$, négative sur $]-1;3[$, positive sur $]3;+\infty[$.

c) $f$ est croissante sur $]-\infty;-1]$, décroissante sur $[-1;3]$, puis croissante sur $[3;+\infty[$.

d) En $x=-1$, la dérivée change de signe du positif au négatif : maximum local $f(-1)=-1-3+9+5=10$. En $x=3$, elle change du négatif au positif : minimum local $f(3)=27-27-27+5=-22$.

a) $f'(x)=6x^2-18x+12=6(x^2-3x+2)=6(x-1)(x-2)$.

b) $f'$ est positive sur $[0;1[$, négative sur $]1;2[$, positive sur $]2;4]$. Valeurs : $f(0)=-3$, $f(1)=2-9+12-3=2$, $f(2)=16-36+24-3=1$, $f(4)=128-144+48-3=29$. La fonction croît de $-3$ à 2, décroît de 2 à 1, puis croît de 1 à 29.

c) Le maximum sur $[0;4]$ vaut 29, atteint en $x=4$ (une borne), et le minimum vaut $-3$, atteint en $x=0$ (l'autre borne). Les extremums locaux, eux, valent 2 en $x=1$ et 1 en $x=2$ : sur un intervalle fermé, il faut toujours comparer aussi les valeurs aux bornes.

d) Sur $[0;1]$, $f$ croît continûment de $-3$ à 2 : elle s'annule exactement une fois. Sur $[1;2]$, $f$ reste comprise entre 1 et 2, donc strictement positive : aucune solution. Sur $[2;4]$, $f$ croît de 1 à 29, toujours strictement positive : aucune solution. L'équation admet donc exactement une solution sur $[0;4]$.

a) Le côté découpé doit être strictement positif, et on retire $2x$ à la longueur de 20 cm : il faut $20-2x>0$, soit $x<10$. Donc $x\in\ ]0;10[$.

b) La base est un carré de côté $20-2x$ et la hauteur vaut $x$ : $V(x)=x(20-2x)^2=x(400-80x+4x^2)=4x^3-80x^2+400x$.

c) $V'(x)=12x^2-160x+400=4(3x^2-40x+100)$. Le discriminant du trinôme vaut $1600-1200=400$, de racine carrée 20. Les racines sont $\frac{40\pm 20}{6}$, soit $x=10$ et $x=\frac{10}{3}$.

d) Sur $]0;10[$, seule la racine $\frac{10}{3}$ est intérieure. Le trinôme $3x^2-40x+100$ a un coefficient dominant positif, donc il est positif avant $\frac{10}{3}$ et négatif entre $\frac{10}{3}$ et 10. Le volume croît puis décroît : il est maximal en $x=\frac{10}{3}$ cm.

e) $V\left(\frac{10}{3}\right)=\frac{10}{3}\times\left(20-\frac{20}{3}\right)^2=\frac{10}{3}\times\left(\frac{40}{3}\right)^2=\frac{10}{3}\times\frac{1600}{9}=\frac{16000}{27}$, soit environ $592{,}59$ centimètres cubes.

a) La dérivée vaut $2x$. Deux droites sont parallèles quand elles ont le même coefficient directeur : $2a=4$ donne $a=2$. Le point est $(2,\ 4)$ et la tangente a pour équation $y=4(x-2)+4=4x-4$.

b) Au point d'abscisse $a$, l'ordonnée vaut $a^2$ et le coefficient directeur vaut $2a$ : $y=2a(x-a)+a^2=2ax-2a^2+a^2=2ax-a^2$.

c) La tangente passe par $A(0,\ -1)$ lorsque $-1=2a\times 0-a^2$, soit $a^2=1$, donc $a=1$ ou $a=-1$. Il y a deux tangentes : pour $a=1$, $y=2x-1$ ; pour $a=-1$, $y=-2x-1$.

d) $A$ n'appartient pas à $C$ car $-1\neq 0^2$. Le point est situé strictement sous la parabole, et l'équation $a^2=1$ a eu deux solutions : par un point situé sous la parabole passent exactement deux tangentes.

a) La courbe de $f'$ coupe l'axe des abscisses en $x=-1$ et en $x=3$.

b) La courbe de $f'$ est sous l'axe pour $x<-1$ et pour $x>3$, et au-dessus entre les deux. Donc $f'(x)<0$ sur $]-\infty;-1[$, $f'(x)>0$ sur $]-1;3[$, et $f'(x)<0$ sur $]3;+\infty[$.

c) $f$ est décroissante sur $]-\infty;-1]$, croissante sur $[-1;3]$, puis décroissante sur $[3;+\infty[$. Elle admet un minimum local en $x=-1$ et un maximum local en $x=3$.

d) Non. En $x=1$ la dérivée vaut 4, qui est le maximum de $f'$, mais $f'(1)\neq 0$ : la fonction $f$ y est en pleine croissance. C'est la dérivée qui atteint son maximum en 1, pas la fonction.

e) Il lit le sens de variation de $f'$ au lieu du signe de $f'$. Entre $-1$ et 3, la courbe de $f'$ redescend à partir de $x=1$, mais elle reste au-dessus de l'axe : la dérivée reste positive, donc $f$ est croissante sur tout $[-1;3]$.

a) Contre-exemple : $f(x)=x^3$. On a $f'(x)=3x^2$ donc $f'(0)=0$, mais $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et n'a aucun extremum. L'énoncé correct est : si $f'$ s'annule en $a$ EN CHANGEANT DE SIGNE, alors $f$ admet un extremum local en $a$.

b) Contre-exemple : avec $u(x)=x^2$ et $v(x)=x^3$, le produit vaut $x^5$ de dérivée $5x^4$, alors que le produit des dérivées vaut $2x\times 3x^2=6x^3$. Les deux diffèrent. La formule correcte est $(uv)'=u'v+uv'$.

c) La fonction racine carrée est bien définie en 0, mais sa dérivée $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ n'y est pas définie : on ne peut pas diviser par 0. Elle est dérivable seulement sur $]0;+\infty[$. Graphiquement, la tangente en 0 est verticale.

d) Contre-exemple : $f(x)=x^3$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, pourtant $f'(0)=0$. L'énoncé correct est : si $f$ est croissante sur un intervalle, alors $f'(x)\geq 0$ sur cet intervalle. La réciproque avec inégalité stricte est vraie dans l'autre sens seulement.