Exercice 0.1 : Dériver à l'aide des formules : douze calculs directs

Pour chaque fonction, calculez la fonction dérivée à l'aide des formules de dérivation, sur un intervalle où elle est dérivable, puis évaluez-la au point indiqué.

Une seule méthode pour les douze lignes : réécrire d'abord chaque fraction de la forme $\frac{k}{x^{n}}$ en puissance, $\frac{3}{x^{2}}=3x^{-2}$ ; repérer ensuite la DERNIÈRE opération, somme, produit, inverse d'une fonction ou quotient ; appliquer la règle qui lui correspond, $(uv)'=u'v+uv'$ , $\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^{2}}$ ou $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ . On remplace $x$ par sa valeur à la toute fin.

a) $f(x)=\frac{2}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+4x-1$ , puis $f'(3)$ .
b) $g(x)=\frac{3}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}$ , puis $g'(2)$ .
c) $h(x)=6\sqrt{x}+\frac{8}{x}-2x$ , puis $h'(4)$ .
d) $k(x)=(3x+2)(x^{2}-4x+1)$ , puis $k'(1)$ .
e) $m(x)=(x^{2}-2x)\sqrt{x}$ , puis $m'(4)$ .
f) $p(x)=(x^{2}-3x)(x^{2}+2x-1)$ , puis $p'(2)$ .
g) $q(x)=\frac{2}{5-x}$ , puis $q'(3)$ .
h) $r(x)=\frac{4}{x^{2}+3}$ , puis $r'(1)$ .
i) $s(x)=\frac{x+5}{2x-1}$ , puis $s'(3)$ .
j) $t(x)=\frac{x^{2}+3}{x-1}$ , puis $t'(5)$ .
k) $\varphi(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$ , puis $\varphi'(2)$ .
l) $\psi(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1}$ , puis $\psi'(4)$ .

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a)

f'(3)

b)

g'(2)

c)

h'(4)

d)

k'(1)

e)

m'(4)

f)

p'(2)

g)

q'(3)

h)

r'(1)

i)

s'(3)

j)

t'(5)

k)

\varphi'(2)

l)

\psi'(4)

Voir la correction

Réponses

a) $f'(x)=2x^{2}-x+4$ ; $f'(3)=19$
b) $g'(x)=-\frac{6}{x^{3}}+\frac{6}{x^{4}}$ ; $g'(2)=-\frac{3}{8}=-0{,}375$
c) $h'(x)=\frac{3}{\sqrt{x}}-\frac{8}{x^{2}}-2$ ; $h'(4)=-1$
d) $k'(x)=9x^{2}-20x-5$ ; $k'(1)=-16$
e) $m'(x)=\frac{5x^{2}-6x}{2\sqrt{x}}$ ; $m'(4)=14$
f) $p'(x)=(2x-3)(x^{2}+2x-1)+(x^{2}-3x)(2x+2)$ ; $p'(2)=-5$
g) $q'(x)=\frac{2}{(5-x)^{2}}$ ; $q'(3)=0{,}5$
h) $r'(x)=-\frac{8x}{(x^{2}+3)^{2}}$ ; $r'(1)=-0{,}5$
i) $s'(x)=\frac{-11}{(2x-1)^{2}}$ ; $s'(3)=-0{,}44$
j) $t'(x)=\frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}$ ; $t'(5)=0{,}75$
k) $\varphi'(x)=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}$ ; $\varphi'(2)=-0{,}12$
l) $\psi'(x)=\frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^{2}}$ ; $\psi'(4)=-0{,}03$

Le geste qui décide de tout se fait AVANT de dériver : nommer la dernière opération. $\frac{3}{x^{2}}$ est une puissance, $3x^{-2}$ , qui se dérive par $(x^{n})'=nx^{n-1}$ ; $(3x+2)(x^{2}-4x+1)$ est un produit ; $\frac{4}{x^{2}+3}$ est un nombre fois l'inverse d'une fonction, qui appelle $\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^{2}}$ ; $\frac{x+5}{2x-1}$ est un quotient. Pour un produit ou un quotient, on écrit d'abord $u$ , $u'$ , $v$ , $v'$ sur une ligne : la formule se remplit ensuite toute seule.

a)

$f'(x)=\frac{2}{3}\times 3x^{2}-\frac{1}{2}\times 2x+4=2x^{2}-x+4$ , sur $\mathbb{R}$ . $f'(3)=18-3+4=19$ . Piège : garder la constante $-1$ , dont la dérivée est nulle.

b)

$g(x)=3x^{-2}-2x^{-3}$ , donc $g'(x)=3\times(-2)x^{-3}-2\times(-3)x^{-4}=-\frac{6}{x^{3}}+\frac{6}{x^{4}}$ , sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$ . $g'(2)=-\frac{6}{8}+\frac{6}{16}=-\frac{3}{8}=-0{,}375$ . Piège : l'exposant DIMINUE de $1$ , $-2-1=-3$ , et le produit de deux négatifs, $-2\times(-3)$ , est positif.

c)

$h'(x)=6\times\frac{1}{2\sqrt{x}}+8\times\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)-2=\frac{3}{\sqrt{x}}-\frac{8}{x^{2}}-2$ , sur $]0\,;+\infty[$ . $h'(4)=\frac{3}{2}-\frac{8}{16}-2=1{,}5-0{,}5-2=-1$ . Piège : $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ , pas $\frac{1}{\sqrt{x}}$ , et la dérivée de $\frac{1}{x}$ est NÉGATIVE.

d)

Produit, avec $u=3x+2$ , $u'=3$ , $v=x^{2}-4x+1$ , $v'=2x-4$ : $k'(x)=3(x^{2}-4x+1)+(3x+2)(2x-4)=9x^{2}-20x-5$ . $k'(1)=3\times(-2)+5\times(-2)=-16$ . Piège : le produit des dérivées $u'v'=3(2x-4)$ , qui donnerait $-6$ .

e)

Produit, avec $u=x^{2}-2x$ , $u'=2x-2$ , $v=\sqrt{x}$ , $v'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ : $m'(x)=(2x-2)\sqrt{x}+\frac{x^{2}-2x}{2\sqrt{x}}=\frac{5x^{2}-6x}{2\sqrt{x}}$ , sur $]0\,;+\infty[$ , en réduisant au dénominateur $2\sqrt{x}$ . $m'(4)=6\times 2+\frac{8}{4}=14$ , et la forme réduite donne bien $\frac{80-24}{4}=14$ .

f)

Produit, avec $u=x^{2}-3x$ , $u'=2x-3$ , $v=x^{2}+2x-1$ , $v'=2x+2$ : $p'(x)=(2x-3)(x^{2}+2x-1)+(x^{2}-3x)(2x+2)$ . En $x=2$ , on calcule les quatre nombres d'abord : $u=-2$ , $u'=1$ , $v=7$ , $v'=6$ , donc $p'(2)=1\times 7+(-2)\times 6=-5$ . C'est plus sûr que de développer un polynôme de degré $4$ .

g)

$q(x)=2\times\frac{1}{v}$ avec $v=5-x$ et $v'=-1$ : $q'(x)=2\times\left(-\frac{-1}{(5-x)^{2}}\right)=\frac{2}{(5-x)^{2}}$ , sur $]-\infty\,;5[$ et sur $]5\,;+\infty[$ . $q'(3)=\frac{2}{4}=0{,}5$ . Piège : oublier que $v'=-1$ et trouver $-0{,}5$ .

h)

$r(x)=4\times\frac{1}{v}$ avec $v=x^{2}+3$ et $v'=2x$ : $r'(x)=-\frac{4\times 2x}{(x^{2}+3)^{2}}=-\frac{8x}{(x^{2}+3)^{2}}$ , sur $\mathbb{R}$ , puisque $x^{2}+3>0$ . $r'(1)=-\frac{8}{16}=-0{,}5$ . Piège : élever le dénominateur au carré mais oublier le facteur $v'=2x$ au numérateur.

i)

Quotient, avec $u=x+5$ , $u'=1$ , $v=2x-1$ , $v'=2$ : $s'(x)=\frac{1\times(2x-1)-(x+5)\times 2}{(2x-1)^{2}}=\frac{-11}{(2x-1)^{2}}$ , pour $x\neq\frac{1}{2}$ . $s'(3)=-\frac{11}{25}=-0{,}44$ . Piège : l'ordre $uv'-u'v$ , qui change le signe.

j)

Quotient, avec $u=x^{2}+3$ , $u'=2x$ , $v=x-1$ , $v'=1$ : $t'(x)=\frac{2x(x-1)-(x^{2}+3)}{(x-1)^{2}}=\frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}$ , pour $x\neq 1$ . $t'(5)=\frac{25-10-3}{16}=\frac{12}{16}=0{,}75$ . Piège : le signe moins porte sur tout le produit $(x^{2}+3)\times 1$ .

k)

Quotient, avec $u=x$ , $u'=1$ , $v=x^{2}+1$ , $v'=2x$ : $\varphi'(x)=\frac{(x^{2}+1)-x\times 2x}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}$ , sur $\mathbb{R}$ . $\varphi'(2)=\frac{1-4}{25}=-\frac{3}{25}=-0{,}12$ . Piège : simplifier par $x$ avant de dériver ; $\frac{x}{x^{2}+1}$ n'est pas $\frac{1}{x+1}$ .

l)

Quotient, avec $u=\sqrt{x}$ , $u'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ , $v=x+1$ , $v'=1$ : $\psi'(x)=\frac{\frac{x+1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}}{(x+1)^{2}}=\frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^{2}}$ , sur $]0\,;+\infty[$ , en multipliant le haut et le bas par $2\sqrt{x}$ et en utilisant $\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}=2x$ . $\psi'(4)=\frac{-3}{2\times 2\times 25}=-\frac{3}{100}=-0{,}03$ . Piège : la racine carrée n'est pas dérivable en $0$ , l'intervalle est ouvert en $0$ .

Contrôle global : pour chaque ligne, le taux d'accroissement $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ calculé à la machine avec $h=0{,}001$ tombe tout près de la valeur trouvée. Pour un produit de polynômes, on peut aussi développer avant de dériver, comme en d).

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Exercice 0.2 : Écrire l'équation d'une tangente : huit calculs directs

Pour chaque fonction, écrivez l'équation réduite $y=mx+p$ de la tangente à sa courbe au point d'abscisse $a$ indiqué, puis donnez $m$ et $p$ . À la dernière ligne, on cherche au contraire les points où la tangente est horizontale.

Trois calculs, toujours dans le même ordre : l'ordonnée du point, $f(a)$ ; la pente, $f'(a)$ ; puis l'équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ , que l'on développe pour lire $m$ et $p$ . Une tangente horizontale a une pente nulle : on résout $f'(x)=0$ .

a) $f(x)=x^{2}-5x+2$ , en $a=3$ .
b) $g(x)=x^{3}+2x^{2}-1$ , en $a=-2$ .
c) $h(x)=\frac{6}{x}$ , en $a=2$ .
d) $r(x)=\sqrt{x}$ , en $a=9$ .
e) $q(x)=x^{-2}$ , en $a=2$ .
f) $k(x)=(x^{2}+2)(1-3x)$ , en $a=0$ .
g) $s(x)=\frac{x+4}{x+1}$ , en $a=1$ .
h) $t(x)=\frac{x^{2}+5}{x+2}$ : les abscisses des points où la tangente est horizontale.

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a)

m

p

b)

m

p

c)

m

p

d)

m

p

e)

m

p

f)

m

p

g)

m

p

h)

Plus petite abscisse

Plus grande abscisse

Voir la correction

Réponses

a) $y=x-7$ ; $m=1$ , $p=-7$
b) $y=4x+7$ ; $m=4$ , $p=7$
c) $y=-1{,}5x+6$ ; $m=-1{,}5$ , $p=6$
d) $y=\frac{1}{6}x+\frac{3}{2}$ ; $m\approx 0{,}167$ , $p=1{,}5$
e) $y=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}$ ; $m=-0{,}25$ , $p=0{,}75$
f) $y=-6x+2$ ; $m=-6$ , $p=2$
g) $y=-\frac{3}{4}x+\frac{13}{4}$ ; $m=-0{,}75$ , $p=3{,}25$
h) $t'(x)=\frac{(x-1)(x+5)}{(x+2)^{2}}$ ; $x=-5$ et $x=1$

Le geste qui décide de tout : calculer DEUX nombres avant d'écrire quoi que ce soit, l'ordonnée $f(a)$ et la pente $f'(a)$ . L'équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ ne se développe qu'ensuite, et c'est dans ce développement, avec un $a$ négatif ou une pente fractionnaire, que se perdent les signes.

a)

$f(3)=9-15+2=-4$ ; $f'(x)=2x-5$ , donc $f'(3)=1$ . $y=1\times(x-3)-4=x-7$ : $m=1$ , $p=-7$ . Piège : intervertir $f(3)$ et $f'(3)$ dans la formule.

b)

$g(-2)=-8+8-1=-1$ ; $g'(x)=3x^{2}+4x$ , donc $g'(-2)=12-8=4$ . $y=4\left(x-(-2)\right)-1=4(x+2)-1=4x+7$ : $m=4$ , $p=7$ . Piège : écrire $x-2$ au lieu de $x+2$ , ce qui donne $p=-9$ .

c)

$h(2)=3$ ; $h'(x)=-\frac{6}{x^{2}}$ , donc $h'(2)=-\frac{6}{4}=-1{,}5$ . $y=-1{,}5(x-2)+3=-1{,}5x+6$ : $m=-1{,}5$ , $p=6$ . Piège : oublier le signe moins de la dérivée de l'inverse.

d)

$r(9)=3$ ; $r'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ , donc $r'(9)=\frac{1}{6}$ . $y=\frac{1}{6}(x-9)+3=\frac{1}{6}x-\frac{3}{2}+3=\frac{1}{6}x+\frac{3}{2}$ : $m=\frac{1}{6}\approx 0{,}167$ , $p=1{,}5$ . Piège : $r'(9)=\frac{1}{2\times 3}$ , pas $\frac{1}{2\times 9}$ .

e)

$q(2)=\frac{1}{4}$ ; $q'(x)=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^{3}}$ , donc $q'(2)=-\frac{2}{8}=-\frac{1}{4}$ . $y=-\frac{1}{4}(x-2)+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}$ : $m=-0{,}25$ , $p=0{,}75$ . Piège : $-\frac{1}{4}\times(-2)=+\frac{1}{2}$ , qui s'AJOUTE à $\frac{1}{4}$ .

f)

$k(0)=2\times 1=2$ . Produit, avec $u=x^{2}+2$ , $u'=2x$ , $v=1-3x$ , $v'=-3$ : $k'(x)=2x(1-3x)-3(x^{2}+2)$ , donc $k'(0)=0-6=-6$ . En $a=0$ , l'équation est directement $y=k'(0)\,x+k(0)=-6x+2$ : $m=-6$ , $p=2$ . Piège : le produit des dérivées $u'v'=-6x$ , nul en $0$ , qui ferait croire à une tangente horizontale.

g)

$s(1)=\frac{5}{2}$ . Quotient, avec $u=x+4$ , $v=x+1$ , $u'=v'=1$ : $s'(x)=\frac{(x+1)-(x+4)}{(x+1)^{2}}=\frac{-3}{(x+1)^{2}}$ , donc $s'(1)=-\frac{3}{4}$ . $y=-\frac{3}{4}(x-1)+\frac{5}{2}=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}+\frac{10}{4}=-\frac{3}{4}x+\frac{13}{4}$ : $m=-0{,}75$ , $p=3{,}25$ . Piège : additionner $\frac{3}{4}$ et $\frac{5}{2}$ sans dénominateur commun.

h)

On résout $t'(x)=0$ . Quotient : $t'(x)=\frac{2x(x+2)-(x^{2}+5)}{(x+2)^{2}}=\frac{x^{2}+4x-5}{(x+2)^{2}}$ , pour $x\neq -2$ . Le numérateur s'annule : $x^{2}+4x-5=(x-1)(x+5)$ , ou par le discriminant $\Delta=16+20=36$ ; d'où $x=-5$ ou $x=1$ , deux valeurs différentes de $-2$ . Les tangentes horizontales sont aux points $(-5\,;-10)$ et $(1\,;2)$ . Piège : résoudre $t(x)=0$ , qui n'a d'ailleurs aucune solution.

Contrôle : le point de contact vérifie l'équation trouvée, par exemple en b) $4\times(-2)+7=-1=g(-2)$ et en g) $-\frac{3}{4}+\frac{13}{4}=\frac{5}{2}=s(1)$ ; la pente se contrôle par un taux d'accroissement à la machine, $\frac{f(a+0{,}001)-f(a)}{0{,}001}$ .

Exercice 1 : Nombre dérivé par le taux d'accroissement

Dans cet exercice, on revient à la définition du nombre dérivé. Aucune formule de dérivation ne doit être utilisée avant la dernière question.

Tout le mécanisme tient en une phrase : le taux d'accroissement est une fraction dont le numérateur ET le dénominateur tendent vers 0, donc il faut le SIMPLIFIER avant de faire tendre $h$ vers 0.

a) Soit $f(x)=x^2+3x$ . Développez $f(2+h)$ , puis simplifiez le taux d'accroissement $\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$ .
b) Déduisez-en $f'(2)$ .
c) Soit $g(x)=\frac{1}{x}$ . Simplifiez $\frac{g(3+h)-g(3)}{h}$ et déduisez-en $g'(3)$ .
d) Retrouvez les deux résultats à l'aide des formules de dérivation.
e) Pourquoi ne peut-on pas remplacer directement $h$ par 0 dans le taux d'accroissement avant de l'avoir simplifié ?

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Réponses

a) $f(2+h)=10+7h+h^{2}$ ; taux $=7+h$ pour $h\neq 0$
b) $f'(2)=7$
c) Taux $=\frac{-1}{3(3+h)}$ ; $g'(3)=-\frac{1}{9}$
d) $f'(x)=2x+3$ et $g'(x)=-\frac{1}{x^{2}}$ redonnent $7$ et $-\frac{1}{9}$
e) On obtiendrait la forme $\frac{0}{0}$

a)

$f(2)=4+6=10$ et $f(2+h)=(2+h)^2+3(2+h)=4+4h+h^2+6+3h=10+7h+h^2$ . La différence $f(2+h)-f(2)=7h+h^2$ se factorise par $h$ , ce qui est toujours le cas et permet la simplification : le taux vaut $\frac{h(7+h)}{h}=7+h$ pour $h\neq 0$ . La condition $h\neq 0$ doit figurer dans la rédaction, puisque c'est elle qui autorise la simplification.

b)

Quand $h$ tend vers $0$ , l'expression $7+h$ tend vers $7$ : $f'(2)=7$ . Interprétation géométrique : la tangente à la courbe au point d'abscisse $2$ a pour coefficient directeur $7$ , donc la courbe y monte de $7$ unités quand $x$ avance de $1$ .

c)

On réduit d'abord au même dénominateur : $g(3+h)-g(3)=\frac{1}{3+h}-\frac{1}{3}=\frac{3-(3+h)}{3(3+h)}=\frac{-h}{3(3+h)}$ . Là encore, $h$ se factorise au numérateur. En divisant par $h$ , c'est-à-dire en multipliant par $\frac{1}{h}$ : le taux vaut $\frac{-1}{3(3+h)}$ , qui tend vers $\frac{-1}{9}$ lorsque $h$ tend vers $0$ . Donc $g'(3)=-\frac{1}{9}$ . Le signe négatif était prévisible : la fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty[$ .

d)

$f'(x)=2x+3$ , donc $f'(2)=4+3=7$ ✓. Et $g'(x)=-\frac{1}{x^2}$ , donc $g'(3)=-\frac{1}{9}$ ✓. Les deux méthodes concordent, ce qui est rassurant mais surtout instructif : les formules de dérivation ne sont pas des règles arbitraires, ce sont des calculs de limites faits une fois pour toutes.

e)

Parce qu'on obtiendrait $\frac{0}{0}$ , qui n'est pas un nombre. Le numérateur $f(2+h)-f(2)$ tend vers $0$ puisque la fonction est continue, et le dénominateur $h$ tend vers $0$ par construction : la fraction est une forme indéterminée, dont la valeur dépend de la vitesse relative des deux termes. C'est justement cette vitesse relative que le nombre dérivé mesure. La simplification par $h$ est donc l'étape essentielle, pas une commodité de présentation : ici elle transforme $\frac{7h+h^2}{h}$ , indéterminée en $0$ , en $7+h$ , parfaitement calculable en $0$ .

Exercice 2 : Équations de tangentes

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-2x+1$ .

L'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ s'écrit $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ : elle se construit toujours avec DEUX nombres, l'ordonnée du point et la pente en ce point.

a) Calculez $f'(x)$ .
b) Déterminez une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 2.
c) Déterminez une équation de la tangente au point d'abscisse $-1$ .
d) Vérifiez que le point de contact appartient bien à chacune des deux tangentes.
e) Utilisez la tangente en 2 pour estimer $f(2{,}01)$ , puis comparez à la valeur exacte.

Voir la correction

Réponses

a) $f'(x)=3x^{2}-2$
b) $y=10x-15$
c) $y=x+3$
d) $10\times 2-15=5=f(2)$ et $-1+3=2=f(-1)$
e) Tangente : $5{,}1$ ; exact : $5{,}100601$

a)

$f'(x)=3x^2-2$ , en dérivant terme à terme : la dérivée de $x^3$ est $3x^2$ , celle de $-2x$ est $-2$ , et celle de la constante $1$ est nulle.

b)

Deux calculs séparés, à ne pas mélanger : $f(2)=8-4+1=5$ donne le point de contact, et $f'(2)=12-2=10$ donne la pente. La tangente a donc pour équation $y=10(x-2)+5$ , soit $y=10x-20+5=10x-15$ .

c)

$f(-1)=-1+2+1=2$ et $f'(-1)=3-2=1$ . La tangente a pour équation $y=1\times(x-(-1))+2=x+1+2$ , soit $y=x+3$ . Attention au double signe dans $x-(-1)$ , qui est une source d'erreur classique.

d)

Pour la première : en $x=2$ , la tangente donne $10\times 2-15=5$ , et $f(2)=5$ ✓. Pour la seconde : en $x=-1$ , elle donne $-1+3=2$ , et $f(-1)=2$ ✓. Cette vérification prend quelques secondes et détecte immédiatement une erreur de signe ou de développement : le point de contact est le seul point où la courbe et sa tangente coïncident à coup sûr.

e)

La tangente donne $y=10\times 2{,}01-15=5{,}1$ . La valeur exacte vaut $f(2{,}01)=2{,}01^3-2\times 2{,}01+1=8{,}120601-4{,}02+1=5{,}100601$ . L'écart est de $0{,}000601$ , soit environ un dix-millième de la valeur : l'approximation est excellente. C'est l'interprétation la plus utile de la tangente, celle qui sert en physique et en économie : au voisinage du point de contact, la courbe se confond avec sa tangente, et une fonction compliquée se remplace localement par une fonction affine. L'erreur croît vite dès qu'on s'éloigne : en $x=3$ , la tangente prédirait $15$ alors que $f(3)=22$ .

Exercice 3 : Dérivées usuelles et opérations

Calculez la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes, en précisant l'ensemble sur lequel vous travaillez.

Préciser l'ensemble n'est pas une formalité : une fonction peut être définie là où elle n'est pas dérivable, comme la racine carrée en 0.

Remarque sur le programme : la formule $(u^{2})'=2u'u$ citée dans le corrigé de d) est un cas de dérivée d'une fonction composée, qui est au programme de Terminale et non de Première. En Première, on écrit $u^{2}=u\times u$ et on dérive le PRODUIT, $u'u+uu'$ , ce que fait la première méthode ; on ne l'applique pas comme une formule toute faite.

a) $f(x)=5x^4-3x^2+7x-2$
b) $g(x)=3\sqrt{x}+\frac{2}{x}$
c) $h(x)=(2x-1)(x^2+3)$ , à traiter comme un produit
d) $k(x)=(x^2+1)^2$ , à traiter de deux façons différentes
e) Vérifiez le résultat de la question c) en développant $h$ avant de dériver.

Voir la correction

Réponses

a) $f'(x)=20x^{3}-6x+7$ sur $\mathbb{R}$
b) $g'(x)=\frac{3}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{x^{2}}$ sur $]0;+\infty[$
c) $h'(x)=6x^{2}-2x+6$
d) $k'(x)=4x^{3}+4x$
e) $h(x)=2x^{3}-x^{2}+6x-3$ redonne $6x^{2}-2x+6$

a)

$f$ est un polynôme, donc dérivable sur $\mathbb{R}$ tout entier : $f'(x)=20x^3-6x+7$ . Chaque terme se dérive séparément, l'exposant descend en facteur et diminue de $1$ , et la constante $-2$ disparaît.

b)

$g$ est définie et dérivable sur $]0;+\infty[$ : la racine impose $x\geq 0$ , le quotient impose $x\neq 0$ , et la dérivée de la racine impose à son tour $x>0$ . Avec $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ et $\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}$ : $g'(x)=\frac{3}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{x^2}$ . Le coefficient $3$ et le coefficient $2$ se conservent, seule la partie variable est dérivée.

c)

On pose $u=2x-1$ et $v=x^2+3$ , donc $u'=2$ et $v'=2x$ . La formule $(uv)'=u'v+uv'$ donne $h'(x)=2(x^2+3)+(2x-1)\times 2x=2x^2+6+4x^2-2x=6x^2-2x+6$ , sur $\mathbb{R}$ . Écrire $u$ , $v$ , $u'$ , $v'$ avant d'appliquer la formule est la seule façon fiable d'éviter les oublis, et c'est ce que les correcteurs attendent.

d)

Première méthode, comme un produit $u\times u$ avec $u=x^2+1$ : $k'=u'u+uu'=2u'u=2\times 2x\times(x^2+1)=4x(x^2+1)=4x^3+4x$ . Seconde méthode, en développant d'abord : $k(x)=x^4+2x^2+1$ , donc $k'(x)=4x^3+4x$ ✓. Les deux concordent. À retenir de la première : la dérivée de $u^2$ vaut toujours $2u'u$ , formule qui servira partout et qu'on retrouve ici sans l'avoir apprise.

e)

En développant, $h(x)=2x^3+6x-x^2-3=2x^3-x^2+6x-3$ , dont la dérivée est $6x^2-2x+6$ ✓, exactement le résultat de la question c). C'est le meilleur contrôle disponible sur la règle du produit, et il vaut la peine d'être fait au moins une fois : quand les deux méthodes divergent, l'erreur est presque toujours un terme oublié dans $u'v+uv'$ . Cela dit, développer n'est possible que sur des polynômes : dès qu'apparaissent une racine ou un quotient, la règle du produit devient indispensable.

Exercice 4 : Dérivée d'un quotient

On considère $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$ et $g(x)=\frac{x^2+1}{x}$ .

La formule du quotient, $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ , n'est pas symétrique : l'ordre des deux termes du numérateur compte, contrairement à celle du produit.

a) Donnez l'ensemble de définition de $f$ , puis calculez $f'(x)$ et simplifiez.
b) Déduisez-en le sens de variation de $f$ sur chacun de ses intervalles.
c) Donnez l'ensemble de définition de $g$ , puis calculez $g'(x)$ .
d) Déterminez les valeurs de $x$ pour lesquelles $g'(x)=0$ , et précisez la nature de chaque extremum.
e) La fonction $f$ admet-elle un extremum ? Et une tangente horizontale ? Justifiez.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/11

a)

Valeur interdite

Numérateur de

f'(x)

sur

(x-3)^2

b)

Sens de variation

c)

Valeur interdite

g'(x)

d)

Abscisse du maximum local

Maximum local

Abscisse du minimum local

Minimum local

e)

Extremum ?

Tangente horizontale ?

Voir la correction

Réponses

a) $\mathbb{R}\setminus\{3\}$ ; $f'(x)=\frac{-7}{(x-3)^{2}}$
b) Strictement décroissante sur $]-\infty;3[$ et sur $]3;+\infty[$
c) $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ; $g'(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}}$
d) Maximum local $-2$ en $-1$ , minimum local $2$ en $1$
e) Ni extremum ni tangente horizontale : $f'$ ne s'annule pas

a)

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ privé de $3$ , valeur qui annule le dénominateur. Avec $u=2x+1$ et $v=x-3$ , donc $u'=2$ et $v'=1$ : $f'(x)=\frac{2(x-3)-(2x+1)\times 1}{(x-3)^2}=\frac{2x-6-2x-1}{(x-3)^2}=\frac{-7}{(x-3)^2}$ . Le piège est la soustraction : il faut distribuer le signe moins sur tout le second produit, faute de quoi on trouve $\frac{4x-5}{(x-3)^2}$ , qui est faux.

b)

Le dénominateur $(x-3)^2$ est un carré, donc strictement positif partout où il est défini, et le numérateur vaut $-7<0$ : la dérivée est strictement négative sur tout l'ensemble de définition. La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;3[$ ET strictement décroissante sur $]3;+\infty[$ . Formulation à respecter scrupuleusement : elle n'est PAS décroissante sur la réunion des deux intervalles, puisque $f(2)=-5$ alors que $f(4)=9$ , une valeur pourtant plus à droite mais bien plus grande. Une fonction ne peut être dite monotone que sur un intervalle.

c)

$g$ est définie sur $\mathbb{R}$ privé de $0$ . Plutôt que d'appliquer la formule du quotient, on simplifie l'écriture : $g(x)=\frac{x^2}{x}+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}$ , d'où $g'(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$ . La formule du quotient donnerait bien sûr le même résultat, mais avec trois fois plus de calculs : regarder si l'expression se simplifie avant de dériver est un réflexe qui fait gagner beaucoup de temps en contrôle.

d)

$g'(x)=0$ équivaut à $x^2-1=0$ , soit $x=-1$ ou $x=1$ . Le signe de $g'$ est celui du numérateur $x^2-1$ , puisque $x^2>0$ : positif à l'extérieur de $[-1;1]$ , négatif à l'intérieur. En $x=-1$ , la dérivée passe du positif au négatif, donc $g$ admet un maximum local $g(-1)=-1-1=-2$ . En $x=1$ , elle passe du négatif au positif, donc $g$ admet un minimum local $g(1)=1+1=2$ . Résultat contre-intuitif à souligner : le maximum local vaut $-2$ et le minimum local vaut $2$ , le maximum est donc plus PETIT que le minimum. C'est possible parce qu'ils sont locaux et situés de part et d'autre de la valeur interdite $0$ .

e)

Non dans les deux cas, et pour la même raison. La dérivée $f'(x)=\frac{-7}{(x-3)^2}$ ne s'annule jamais, puisqu'un numérateur constant non nul ne peut pas être nul : il n'existe donc aucun point où la tangente serait horizontale, et aucun extremum local. C'est cohérent avec la question b) : une fonction strictement monotone sur chacun de ses intervalles ne peut y présenter ni sommet ni creux. On remarque en revanche que $f'(x)$ se rapproche de $0$ quand $x$ s'éloigne, ce qui traduit une courbe de plus en plus plate, sans jamais devenir horizontale.

Exercice 5 : Variations et signe de la dérivée

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$ .

Le plan est toujours le même pour un polynôme de degré 3 : dériver, factoriser la dérivée, lire son signe, en déduire les variations. C'est le signe de $f'$ qui gouverne tout, jamais celui de $f$ .

a) Calculez $f'(x)$ et factorisez-la.
b) Étudiez le signe de $f'(x)$ .
c) Dressez le tableau de variation de $f$ .
d) Précisez les extremums locaux de $f$ et les valeurs en lesquelles ils sont atteints.

Voir la correction

Réponses

a) $f'(x)=3(x-3)(x+1)$
b) $f'>0$ sur $]-\infty;-1[$ et $]3;+\infty[$ , $f'<0$ sur $]-1;3[$
c) $f$ croissante, décroissante sur $[-1;3]$ , puis croissante
d) Maximum local $10$ en $-1$ , minimum local $-22$ en $3$

a)

$f'(x)=3x^2-6x-9$ . On met le $3$ en facteur pour simplifier la recherche des racines : $f'(x)=3(x^2-2x-3)$ . Le trinôme se factorise en cherchant deux nombres de somme $2$ et de produit $-3$ , à savoir $3$ et $-1$ : $f'(x)=3(x-3)(x+1)$ .

b)

Le trinôme a pour racines $-1$ et $3$ , et son coefficient dominant $3$ est positif : il est donc du signe de ce coefficient à l'extérieur des racines et de signe opposé entre elles. Ainsi $f'(x)>0$ sur $]-\infty;-1[$ , $f'(x)<0$ sur $]-1;3[$ , et $f'(x)>0$ sur $]3;+\infty[$ . Contrôle sur trois valeurs test, une par intervalle : $f'(-2)=12+12-9=15>0$ ✓, $f'(0)=-9<0$ ✓, $f'(4)=48-24-9=15>0$ ✓.

c)

On traduit directement : $f$ est croissante sur $]-\infty;-1]$ , décroissante sur $[-1;3]$ , puis croissante sur $[3;+\infty[$ . Les bornes sont incluses dans les intervalles de monotonie, alors qu'elles étaient exclues pour le signe strict de la dérivée : c'est la convention du programme, et elle est cohérente puisque la fonction reste croissante jusqu'au sommet inclus.

d)

En $x=-1$ , la dérivée change de signe du positif au négatif : $f$ admet un maximum local $f(-1)=-1-3+9+5=10$ . En $x=3$ , elle change du négatif au positif : $f$ admet un minimum local $f(3)=27-27-27+5=-22$ . Le mot LOCAL est essentiel : $f$ n'a ni maximum ni minimum sur $\mathbb{R}$ , puisqu'elle prend des valeurs aussi grandes et aussi petites que l'on veut. Le maximum local $10$ est d'ailleurs largement dépassé par $f(10)=705$ . Autre lecture, utile pour la suite du programme : comme le minimum local vaut $-22<0$ et le maximum local $10>0$ , la courbe traverse trois fois l'axe des abscisses, donc l'équation $f(x)=0$ a exactement trois solutions.

Exercice 6 : Étude complète sur un intervalle fermé

Soit $f$ définie sur l'intervalle $[0;4]$ par $f(x)=2x^3-9x^2+12x-3$ .

Sur un intervalle FERMÉ, les bornes sont des candidats au titre de maximum ou de minimum au même titre que les extremums locaux : c'est la seule difficulté de l'exercice, et c'est celle qui fait perdre des points.

a) Calculez $f'(x)$ et factorisez-la.
b) Dressez le tableau de variation de $f$ sur $[0;4]$ , en indiquant toutes les valeurs aux bornes et aux extremums.
c) Déterminez le maximum et le minimum de $f$ sur $[0;4]$ . Attention : ce ne sont pas les extremums locaux.
d) Déterminez le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ sur $[0;4]$ , en justifiant intervalle par intervalle.

Voir la correction

Réponses

a) $f'(x)=6(x-1)(x-2)$
b) $f(0)=-3$ , $f(1)=2$ , $f(2)=1$ , $f(4)=29$
c) Maximum $29$ en $4$ , minimum $-3$ en $0$
d) Une seule solution, dans $]0;1[$ (environ $0{,}32$ )

a)

$f'(x)=6x^2-18x+12=6(x^2-3x+2)=6(x-1)(x-2)$ , en cherchant deux nombres de somme $3$ et de produit $2$ .

b)

Le coefficient dominant de $f'$ est positif, donc $f'$ est positive à l'extérieur de $[1;2]$ et négative entre $1$ et $2$ : positive sur $[0;1[$ , négative sur $]1;2[$ , positive sur $]2;4]$ . Les quatre valeurs à faire figurer dans le tableau sont $f(0)=-3$ , $f(1)=2-9+12-3=2$ , $f(2)=16-36+24-3=1$ et $f(4)=128-144+48-3=29$ . La fonction croît de $-3$ à $2$ , décroît de $2$ à $1$ , puis croît de $1$ à $29$ . Noter que la phase décroissante fait perdre très peu, une unité seulement : le creux est peu marqué.

c)

Le maximum sur $[0;4]$ vaut $29$ , atteint en $x=4$ , et le minimum vaut $-3$ , atteint en $x=0$ : ce sont les deux BORNES, pas les extremums locaux. Ceux-ci valent $2$ en $x=1$ et $1$ en $x=2$ , et ils sont tous deux battus par les valeurs aux bornes. La méthode générale à retenir : sur un intervalle fermé, on compare les valeurs en tous les points où $f'$ s'annule ET les valeurs aux deux bornes, puis on prend la plus grande et la plus petite de cette courte liste, ici $-3$ , $2$ , $1$ , $29$ .

d)

On raisonne intervalle par intervalle, en utilisant la monotonie. Sur $[0;1]$ , $f$ croît continûment de $-3$ à $2$ : elle change de signe une fois et une seule, donc elle s'annule exactement une fois. Sur $[1;2]$ , $f$ décroît de $2$ à $1$ , donc reste comprise entre $1$ et $2$ : elle est strictement positive, aucune solution. Sur $[2;4]$ , $f$ croît de $1$ à $29$ : strictement positive elle aussi, aucune solution. L'équation $f(x)=0$ admet donc exactement UNE solution sur $[0;4]$ . La rédaction attendue mentionne à chaque fois la monotonie et les valeurs aux deux bouts : c'est ce qui, en Terminale, deviendra le théorème des valeurs intermédiaires. Pour information, cette solution vaut environ $0{,}32$ .

Exercice 7 : Problème : la boîte de volume maximal

On dispose d'une feuille de carton carrée de 20 cm de côté. On découpe aux quatre coins un carré de côté $x$ centimètres, puis on relève les bords pour former une boîte sans couvercle.

La figure montre le patron : les quatre carrés hachurés sont découpés, les traits pointillés sont les plis.

Un problème d'optimisation se traite toujours dans le même ordre : définir la variable et son intervalle, exprimer la grandeur à optimiser, dériver, lire le signe, conclure. L'intervalle n'est pas décoratif, il élimine ici une racine parasite.

a) Justifiez que $x$ appartient à l'intervalle $]0;10[$ .
b) Exprimez le volume $V(x)$ de la boîte, en centimètres cubes, puis développez-le.
c) Calculez $V'(x)$ et déterminez ses racines.
d) Dressez le tableau de variation de $V$ sur $]0;10[$ et déduisez-en la valeur de $x$ qui rend le volume maximal.
e) Calculez ce volume maximal, en valeur exacte puis arrondi au centième.

Voir la correction

Réponses

a) $x\in\,]0;10[$
b) $V(x)=4x^{3}-80x^{2}+400x$
c) $V'(x)=4(3x^{2}-40x+100)$ , racines $\frac{10}{3}$ et $10$
d) Maximum en $x=\frac{10}{3}$ cm
e) $\frac{16\,000}{27}\approx 592{,}59$ cm³

a)

Le côté découpé doit être strictement positif, sinon il n'y a pas de découpe, donc $x>0$ . Et il faut qu'il reste du carton pour la base : on retire $x$ à chaque extrémité, donc le côté de la base vaut $20-2x$ , qui doit être strictement positif, d'où $x<10$ . Ainsi $x\in\ ]0;10[$ . Le cas $x=10$ correspondrait à une boîte de base nulle, le cas $x=0$ à une feuille non découpée.

b)

La base est un carré de côté $20-2x$ et la hauteur vaut $x$ , celle des bords relevés : $V(x)=x(20-2x)^2=x(400-80x+4x^2)=4x^3-80x^2+400x$ centimètres cubes. Contrôle rapide sur une valeur simple : pour $x=5$ , la formule donne $500-2000+2000=500$ , et directement $5\times 10^2=500$ ✓.

c)

$V'(x)=12x^2-160x+400=4(3x^2-40x+100)$ . Le discriminant du trinôme vaut $40^2-4\times 3\times 100=1600-1200=400$ , dont la racine carrée est $20$ . Les racines sont $\frac{40\pm 20}{6}$ , soit $x=10$ et $x=\frac{10}{3}\approx 3{,}33$ .

d)

Sur $]0;10[$ , seule la racine $\frac{10}{3}$ est intérieure : la racine $10$ est exclue de l'intervalle, et c'est là que la question a) sert. Le trinôme $3x^2-40x+100$ a un coefficient dominant positif, donc il est positif avant $\frac{10}{3}$ et négatif entre $\frac{10}{3}$ et $10$ . Le volume croît donc jusqu'à $\frac{10}{3}$ puis décroît : il est maximal en $x=\frac{10}{3}$ cm. Contrôle du signe sur deux valeurs test : $V'(1)=12-160+400=252>0$ ✓ et $V'(5)=300-800+400=-100<0$ ✓.

e)

$V\left(\frac{10}{3}\right)=\frac{10}{3}\times\left(20-\frac{20}{3}\right)^2=\frac{10}{3}\times\left(\frac{40}{3}\right)^2=\frac{10}{3}\times\frac{1600}{9}=\frac{16000}{27}$ centimètres cubes, soit environ $592{,}59$ cm³. La boîte optimale mesure donc environ $13{,}33$ cm de côté sur $3{,}33$ cm de haut : la hauteur vaut exactement le sixième du côté de la feuille, ce qui est le résultat général pour ce problème classique. Vérification de plausibilité : avec $x=3$ on obtient $588$ cm³ et avec $x=4$ on obtient $576$ cm³, tous deux inférieurs ✓. Noter que le volume varie peu autour de l'optimum, ce qui est fréquent en optimisation : une erreur de découpe d'un demi-centimètre coûte moins de $1$ % du volume.

Exercice 8 : Tangentes issues d'un point

On note $C$ la parabole d'équation $y=x^2$ .

Attention à la différence entre tangente EN un point de la courbe et tangente PASSANT PAR un point extérieur : dans le second cas, le point de contact est inconnu et devient l'inconnue du problème.

La figure ci-dessous représente la parabole et les points A et B.

a) Déterminez le point de $C$ en lequel la tangente est parallèle à la droite d'équation $y=4x-1$ , et donnez l'équation de cette tangente.
b) Montrez que la tangente à $C$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=2ax-a^2$ .
c) Déterminez toutes les tangentes à $C$ qui passent par le point $A(0,\ -1)$ .
d) Le point $A$ appartient-il à la parabole ? Combien de tangentes passent par un point situé sous la parabole ?
e) Reprenez la question c) avec le point $B(0,\ 1)$ , situé au-dessus de la parabole. Que constatez-vous ?

Voir la correction

Réponses

a) Point $(2\,;4)$ , tangente $y=4x-4$
b) $y=2a(x-a)+a^{2}=2ax-a^{2}$
c) $y=2x-1$ et $y=-2x-1$
d) Non ; deux tangentes depuis un point sous la parabole
e) Aucune tangente : $a^{2}=-1$

a)

La dérivée de $x^2$ vaut $2x$ . Deux droites sont parallèles exactement lorsqu'elles ont le même coefficient directeur, donc on résout $2a=4$ , soit $a=2$ . Le point cherché est $(2,\ 4)$ , et la tangente a pour équation $y=4(x-2)+4=4x-4$ . On vérifie qu'elle est bien parallèle à $y=4x-1$ sans lui être confondue, puisque les ordonnées à l'origine diffèrent ✓.

b)

Au point d'abscisse $a$ , l'ordonnée vaut $a^2$ et le coefficient directeur vaut $2a$ . La formule générale donne $y=2a(x-a)+a^2=2ax-2a^2+a^2=2ax-a^2$ . Cette équation dépend du paramètre $a$ : elle décrit d'un seul coup TOUTES les tangentes à la parabole, ce qui est exactement ce dont on a besoin pour la question suivante.

c)

On cherche les valeurs de $a$ pour lesquelles la tangente passe par $A(0,\ -1)$ , c'est-à-dire pour lesquelles le couple $(0,\ -1)$ vérifie l'équation : $-1=2a\times 0-a^2$ , soit $-1=-a^2$ , donc $a^2=1$ et $a=1$ ou $a=-1$ . Il y a donc deux tangentes : pour $a=1$ , $y=2x-1$ ; pour $a=-1$ , $y=-2x-1$ . Vérification : les deux passent bien par $A$ , puisqu'elles valent $-1$ en $x=0$ ✓, et leurs points de contact sont $(1,\ 1)$ et $(-1,\ 1)$ , symétriques par rapport à l'axe de la parabole, ce qui était prévisible.

d)

$A$ n'appartient pas à $C$ , car $-1\neq 0^2$ . Il est situé strictement SOUS la parabole, puisque son ordonnée $-1$ est inférieure à $0^2=0$ . L'équation $a^2=1$ ayant eu deux solutions, on conclut : par un point situé sous la parabole passent exactement deux tangentes. Le résultat se comprend géométriquement, la parabole étant tournée vers le haut : depuis un point situé dessous, on voit la courbe des deux côtés et on peut la frôler à gauche comme à droite.

e)

Avec $B(0,\ 1)$ : $1=2a\times 0-a^2$ donne $a^2=-1$ , équation sans solution réelle. Il n'existe donc AUCUNE tangente à la parabole passant par $B$ . C'est cohérent avec la lecture géométrique : $B$ est à l'intérieur de la parabole, c'est-à-dire au-dessus d'elle, et toute droite passant par un point intérieur coupe la courbe en deux points au lieu de la frôler. On obtient ainsi la règle complète : deux tangentes depuis un point extérieur, une seule depuis un point de la courbe, aucune depuis un point intérieur. Le nombre de tangentes est exactement le nombre de solutions de l'équation $a^2=-y_B$ .

Exercice 9 : Quatre affirmations à corriger

Chacune des affirmations suivantes est fausse. Donnez un contre-exemple et corrigez l'énoncé.

Trois des quatre erreurs se règlent avec la même fonction, $x\mapsto x^3$ : c'est le contre-exemple à connaître par cœur pour ce chapitre.

a) « Si $f'(a)=0$ , alors $f$ admet un extremum en $a$ . »
b) « La dérivée d'un produit est le produit des dérivées. »
c) « La fonction racine carrée est dérivable sur $[0;+\infty[$ . »
d) « Si $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , alors $f'(x)>0$ pour tout réel $x$ . »

Voir la correction

Réponses

a) $x^{3}$ en $0$ ; il faut que $f'$ change de signe
b) $(uv)'=u'v+uv'$
c) Dérivable sur $]0;+\infty[$ seulement
d) $x^{3}$ ; seulement $f'(x)\geq 0$

a)

Contre-exemple : $f(x)=x^3$ . On a $f'(x)=3x^2$ , donc $f'(0)=0$ , et pourtant $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et n'admet aucun extremum. La dérivée s'annule en $0$ sans y changer de signe, puisque $3x^2$ est positif de part et d'autre : la courbe présente un simple palier, appelé point d'inflexion à tangente horizontale. L'énoncé correct est : si $f'$ s'annule en $a$ EN CHANGEANT DE SIGNE, alors $f$ admet un extremum local en $a$ . C'est le changement de signe qui compte, pas l'annulation.

b)

Contre-exemple : avec $u(x)=x^2$ et $v(x)=x^3$ , le produit vaut $x^5$ , de dérivée $5x^4$ , alors que le produit des dérivées vaut $2x\times 3x^2=6x^3$ . Les deux expressions diffèrent partout sauf en $0$ et en un point isolé. La formule correcte est $(uv)'=u'v+uv'$ , ce qui donne bien $2x\times x^3+x^2\times 3x^2=2x^4+3x^4=5x^4$ ✓. La dérivation est linéaire pour la somme, elle ne l'est pas pour le produit : c'est la première grande rupture du chapitre.

c)

La fonction racine carrée est bien DÉFINIE en $0$ , où elle vaut $0$ , mais elle n'y est pas DÉRIVABLE : sa dérivée $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ n'existe pas en $0$ , puisqu'on ne peut pas diviser par zéro. Elle est donc dérivable seulement sur $]0;+\infty[$ . Lecture graphique : le taux d'accroissement $\frac{\sqrt{h}-0}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}$ devient arbitrairement grand quand $h$ tend vers $0$ , ce qui signifie que la tangente en $0$ est VERTICALE. Une tangente verticale n'a pas de coefficient directeur, d'où l'absence de nombre dérivé.

d)

Contre-exemple : encore $f(x)=x^3$ , strictement croissante sur $\mathbb{R}$ alors que $f'(0)=0$ . L'implication correcte est : si $f$ est croissante sur un intervalle, alors $f'(x)\geq 0$ sur cet intervalle, avec une inégalité LARGE. Dans l'autre sens, en revanche, l'inégalité stricte fonctionne : si $f'(x)>0$ sur un intervalle, alors $f$ y est strictement croissante. Les deux énoncés ne sont donc pas symétriques, et c'est exactement le point que la question teste. À retenir : une dérivée strictement positive garantit la stricte croissance, mais la stricte croissance ne garantit qu'une dérivée positive ou nulle.

Exercice 10 : Lire la courbe de la dérivée

Attention : la courbe tracée ci-dessous est celle de $f'$ , la dérivée de $f$ , et non celle de $f$ .

On sait de plus que $f(0)=1$ .

C'est l'exercice que les élèves ratent le plus souvent, et toujours de la même manière : en lisant sur le dessin les variations de la courbe tracée au lieu de son SIGNE.

a) Lisez les valeurs de $x$ pour lesquelles $f'(x)=0$ .
b) Déterminez le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$ .
c) Déduisez-en le tableau de variation de $f$ .
d) La fonction $f$ admet-elle un maximum en $x=1$ ? Justifiez soigneusement.
e) Un élève affirme que $f$ est décroissante entre $-1$ et 3 parce que la courbe descend sur cette zone. Où est l'erreur ?

Voir la correction

Réponses

a) $x=-1$ et $x=3$
b) $f'<0$ sur $]-\infty;-1[$ et $]3;+\infty[$ , $f'>0$ sur $]-1;3[$
c) $f$ décroissante, croissante sur $[-1;3]$ , puis décroissante
d) Non : $f'(1)=4\neq 0$
e) Il lit les variations de $f'$ au lieu de son signe

a)

La courbe de $f'$ coupe l'axe des abscisses en $x=-1$ et en $x=3$ . Ce sont les seules valeurs où la dérivée s'annule, donc les seuls candidats à un extremum de $f$ .

b)

On lit la position de la courbe par rapport à l'axe, et non son sens de parcours. La courbe de $f'$ est SOUS l'axe pour $x<-1$ et pour $x>3$ , et AU-DESSUS entre les deux. Donc $f'(x)<0$ sur $]-\infty;-1[$ , $f'(x)>0$ sur $]-1;3[$ , et $f'(x)<0$ sur $]3;+\infty[$ .

c)

On traduit le signe de $f'$ en variations de $f$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty;-1]$ , croissante sur $[-1;3]$ , puis décroissante sur $[3;+\infty[$ . Elle admet donc un minimum local en $x=-1$ et un maximum local en $x=3$ . On sait de plus que $f(0)=1$ , ce qui permet de situer la courbe de $f$ en hauteur, mais pas de calculer $f(-1)$ ni $f(3)$ : la seule lecture du graphique de $f'$ ne donne jamais les valeurs de $f$ , uniquement ses variations.

d)

Non. En $x=1$ , la dérivée vaut $4$ , ce qui est la plus grande valeur atteinte par $f'$ , mais $f'(1)\neq 0$ : la fonction $f$ y est au contraire en pleine croissance, et même à sa croissance la plus rapide. C'est la DÉRIVÉE qui atteint son maximum en $1$ , pas la fonction. Cette confusion est exactement celle que l'exercice cherche à provoquer, et la parade est mécanique : un extremum de $f$ ne peut se produire que là où $f'$ COUPE l'axe, donc ici en $-1$ ou en $3$ , jamais au sommet de la courbe tracée.

e)

Il lit le sens de variation de $f'$ au lieu du signe de $f'$ . Il est exact que la courbe de $f'$ redescend à partir de $x=1$ , mais elle reste au-dessus de l'axe jusqu'en $x=3$ : la dérivée reste positive, donc $f$ continue de croître sur tout $[-1;3]$ , simplement de moins en moins vite. Traduction concrète, avec l'image d'un véhicule : entre $1$ et $3$ , il ralentit mais avance toujours, sa position continue donc d'augmenter. La règle à retenir tient en une ligne : le SIGNE de $f'$ donne les variations de $f$ , tandis que les VARIATIONS de $f'$ donnent la convexité de $f$ , notion qui sera étudiée en Terminale.

Exercice 11 : Retrouver une fonction à partir de ses tangentes

On cherche une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^{2}+bx+c$ , dont la courbe passe par le point $A(0\,;1)$ , admet en $A$ une tangente de coefficient directeur $3$ , et admet une tangente horizontale au point d'abscisse $1{,}5$ .

a) Traduisez les trois conditions par trois équations portant sur $a$ , $b$ et $c$ .
b) Déterminez $a$ , $b$ et $c$ .
c) Déterminez une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $2$ .
d) Déterminez le point de la courbe en lequel la tangente est parallèle à la droite d'équation $y=x+7$ .
e) Quelle est la valeur maximale de $f$ ?

Voir la correction

Réponses

a) $c=1$ , $b=3$ , $3a+b=0$
b) $a=-1$ , $b=3$ , $c=1$
c) $y=-x+5$
d) Point $(1\,;3)$
e) $f(1{,}5)=3{,}25$

a)

$f'(x)=2ax+b$ . La courbe passe par $A$ : $f(0)=1$ , soit $c=1$ . La tangente en $A$ a pour coefficient directeur $f'(0)$ : $f'(0)=3$ , soit $b=3$ . Une tangente horizontale a un coefficient directeur nul : $f'(1{,}5)=0$ , soit $3a+b=0$ . Chaque phrase de l'énoncé se traduit par une valeur de $f$ OU une valeur de $f'$ : c'est la seule chose à ne pas confondre.

b)

$c=1$ , $b=3$ , puis $3a+3=0$ donne $a=-1$ . Donc $f(x)=-x^{2}+3x+1$ . Contrôle des trois conditions : $f(0)=1$ ✓, $f'(x)=-2x+3$ donne $f'(0)=3$ ✓ et $f'(1{,}5)=0$ ✓.

c)

$f(2)=-4+6+1=3$ et $f'(2)=-4+3=-1$ . La tangente a pour équation $y=-1\times(x-2)+3$ , soit $y=-x+5$ . Vérification : en $x=2$ , $-2+5=3=f(2)$ ✓.

d)

Deux droites sont parallèles quand elles ont le même coefficient directeur, ici $1$ . On résout $f'(x)=1$ : $-2x+3=1$ , donc $x=1$ . Le point est $(1\,;f(1))=(1\,;3)$ , et la tangente y a pour équation $y=(x-1)+3=x+2$ , bien distincte de $y=x+7$ .

e)

$f'(x)=-2x+3$ est positive pour $x<1{,}5$ et négative pour $x>1{,}5$ : $f$ croît puis décroît, et son maximum est $f(1{,}5)=-2{,}25+4{,}5+1=3{,}25$ . La tangente horizontale imposée par l'énoncé est donc celle du sommet.

Une condition sur un POINT de la courbe porte sur $f$ , une condition sur une TANGENTE porte sur $f'$ . Trois inconnues demandent trois conditions indépendantes, et le contrôle final sur les trois phrases de l'énoncé est la seule vérification qui garantit que rien n'a été mal traduit.

Exercice 12 : Vitesse moyenne et vitesse instantanée

Une voiture freine à partir de l'instant $t=0$ . La distance parcourue, en mètres, $t$ secondes après le début du freinage vaut $d(t)=30t-1{,}5t^{2}$ , pour $t\in[0\,;10]$ .

La vitesse instantanée à l'instant $t$ est le nombre dérivé $d'(t)$ , en m/s.

La figure ci-dessous représente la situation.

a) Calculez $d(4)$ , puis la vitesse moyenne entre $t=0$ et $t=4$ .
b) Calculez $d'(t)$ , puis la vitesse instantanée à $t=4$ .
c) À quel instant la voiture s'arrête-t-elle ? Quelle est la distance de freinage ?
d) Calculez la vitesse moyenne sur tout le freinage, puis l'instant où la vitesse instantanée lui est égale.
e) Convertissez la vitesse au début du freinage en km/h.

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Réponses

a) $d(4)=96$ m ; $24$ m/s
b) $d'(t)=30-3t$ ; $d'(4)=18$ m/s
c) Arrêt à $t=10$ s, après $150$ m
d) $15$ m/s, atteinte à $t=5$ s
e) $30$ m/s $=108$ km/h

a)

$d(4)=120-24=96$ m. La vitesse moyenne est le quotient de la distance par la durée : $\frac{d(4)-d(0)}{4-0}=\frac{96}{4}=24$ m/s. C'est un TAUX D'ACCROISSEMENT, calculé entre deux instants éloignés.

b)

$d'(t)=30-3t$ , donc $d'(4)=30-12=18$ m/s. La vitesse instantanée à $t=4$ est plus petite que la vitesse moyenne sur $[0\,;4]$ : la voiture ralentit, elle roulait donc plus vite avant $t=4$ .

c)

La voiture s'arrête quand sa vitesse s'annule : $30-3t=0$ , soit $t=10$ s. La distance de freinage vaut $d(10)=300-150=150$ m. On ne cherche pas le moment où $d(t)=0$ , qui est l'instant de départ : c'est la VITESSE qui s'annule à l'arrêt, pas la distance.

d)

Sur $[0\,;10]$ , la vitesse moyenne vaut $\frac{150}{10}=15$ m/s. On résout $30-3t=15$ : $t=5$ s. À mi-freinage, la vitesse instantanée égale la vitesse moyenne ; c'est propre à une distance du second degré, où la vitesse diminue régulièrement.

e)

$d'(0)=30$ m/s. Une heure contient $3\,600$ secondes et un kilomètre $1\,000$ m : $30\times\frac{3\,600}{1\,000}=108$ km/h.

Le nombre dérivé n'est pas qu'une pente : c'est une vitesse de variation, la limite des vitesses moyennes sur des intervalles de plus en plus courts. Garder les unités (m, s, m/s) sur chaque résultat est la meilleure protection contre les confusions entre $d$ et $d'$ .

Exercice 13 : Une fonction avec racine carrée

On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x)=(x-3)\sqrt{x}$ .

a) Justifiez que $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et montrez que $f'(x)=\frac{3(x-1)}{2\sqrt{x}}$ .
b) Étudiez le signe de $f'(x)$ sur $]0\,;+\infty[$ .
c) Dressez le tableau de variation de $f$ et donnez son minimum.
d) Résolvez l'équation $f(x)=0$ .
e) Déterminez une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $4$ .
f) En étudiant le taux d'accroissement $\frac{f(h)-f(0)}{h}$ pour $h>0$ , montrez que $f$ n'est pas dérivable en $0$ .

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Réponses

a) $f'(x)=\sqrt{x}+\frac{x-3}{2\sqrt{x}}=\frac{3(x-1)}{2\sqrt{x}}$
b) $f'<0$ sur $]0;1[$ , $f'>0$ sur $]1;+\infty[$
c) Minimum $-2$ en $x=1$
d) $S=\{0\,;3\}$
e) $y=\frac{9}{4}x-7$
f) $\frac{h-3}{\sqrt{h}}$ n'a pas de limite finie : pas dérivable en $0$

a)

$f$ est le produit de $u(x)=x-3$ , dérivable sur $\mathbb{R}$ , et de $v(x)=\sqrt{x}$ , dérivable sur $]0\,;+\infty[$ SEULEMENT. Avec $u'=1$ et $v'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ : $f'(x)=\sqrt{x}+\frac{x-3}{2\sqrt{x}}$ . On réduit au même dénominateur, en écrivant $\sqrt{x}=\frac{2x}{2\sqrt{x}}$ : $f'(x)=\frac{2x+x-3}{2\sqrt{x}}=\frac{3x-3}{2\sqrt{x}}=\frac{3(x-1)}{2\sqrt{x}}$ .

b)

Le dénominateur $2\sqrt{x}$ est strictement positif sur $]0\,;+\infty[$ , donc $f'(x)$ a le signe de $x-1$ : négatif sur $]0\,;1[$ , nul en $1$ , positif sur $]1\,;+\infty[$ .

c)

$f$ est décroissante sur $[0\,;1]$ et croissante sur $[1\,;+\infty[$ . Valeurs : $f(0)=0$ , $f(1)=(1-3)\times 1=-2$ . Le minimum de $f$ vaut $-2$ , atteint en $x=1$ .

d)

Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : $x-3=0$ ou $\sqrt{x}=0$ , soit $x=3$ ou $x=0$ . $S=\{0\,;3\}$ , cohérent avec le tableau : $f$ part de $0$ , descend à $-2$ , puis remonte et repasse par $0$ une seule fois.

e)

$f(4)=(4-3)\times 2=2$ et $f'(4)=\frac{3\times 3}{2\times 2}=\frac{9}{4}$ . La tangente a pour équation $y=\frac{9}{4}(x-4)+2$ , soit $y=\frac{9}{4}x-7$ .

f)

Pour $h>0$ : $\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{(h-3)\sqrt{h}}{h}=\frac{h-3}{\sqrt{h}}$ . Quand $h$ tend vers $0$ , le numérateur tend vers $-3$ et le dénominateur tend vers $0$ en restant positif : le quotient devient négatif et aussi grand qu'on veut en valeur absolue, il n'a pas de limite finie. $f$ n'est donc pas dérivable en $0$ , et sa courbe y admet une tangente VERTICALE. La formule de a) le laissait prévoir, puisqu'elle divise par $\sqrt{x}$ .

Le domaine de dérivabilité se lit AVANT de dériver : la racine carrée est définie en $0$ mais pas dérivable en $0$ , et tout produit qui la contient hérite de ce défaut, sauf compensation. Écrire $f'$ sous forme d'un seul quotient factorisé est ce qui rend le signe lisible, et c'est l'étape que les copies sautent le plus souvent.

Exercice 14 : Le plus grand rectangle sous une parabole

On note $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y=12-x^{2}$ . Pour $x$ réel, on construit le rectangle dont deux sommets sont $(-x\,;0)$ et $(x\,;0)$ sur l'axe des abscisses, et les deux autres $(-x\,;12-x^{2})$ et $(x\,;12-x^{2})$ sur la parabole.

La figure montre un rectangle de la famille, tracé pour une valeur de $x$ quelconque.

a) Justifiez que le rectangle existe pour $x\in\,]0\,;2\sqrt{3}[$ .
b) Montrez que son aire vaut $A(x)=24x-2x^{3}$ .
c) Calculez $A'(x)$ et factorisez-la.
d) Dressez le tableau de variation de $A$ et donnez les dimensions du rectangle d'aire maximale, ainsi que cette aire.
e) Déterminez maintenant le rectangle de PÉRIMÈTRE maximal. Est-ce le même ?

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Réponses

a) $x>0$ et $12-x^{2}>0$
b) $A(x)=2x(12-x^{2})$
c) $A'(x)=6(2-x)(2+x)$
d) Rectangle $4\times 8$ , aire maximale $32$
e) Rectangle $2\times 11$ , périmètre $26$ : pas le même

a)

La largeur $2x$ doit être strictement positive, donc $x>0$ , et la hauteur $12-x^{2}$ aussi, donc $x^{2}<12$ , soit $x<\sqrt{12}=2\sqrt{3}\approx 3{,}46$ puisque $x>0$ .

b)

Largeur $2x$ , hauteur $12-x^{2}$ : $A(x)=2x(12-x^{2})=24x-2x^{3}$ .

c)

$A'(x)=24-6x^{2}=6(4-x^{2})=6(2-x)(2+x)$ .

d)

Sur $]0\,;2\sqrt{3}[$ , le facteur $2+x$ est positif ; $A'(x)$ a donc le signe de $2-x$ : positive sur $]0\,;2[$ , négative sur $]2\,;2\sqrt{3}[$ . $A$ croît puis décroît, avec un maximum en $x=2$ : $A(2)=48-16=32$ . Le rectangle optimal mesure $4$ de large et $12-4=8$ de haut.

e)

Le périmètre vaut $P(x)=2\times 2x+2(12-x^{2})=-2x^{2}+4x+24$ , et $P'(x)=-4x+4$ s'annule en $x=1$ en passant du positif au négatif. Le périmètre maximal vaut $P(1)=26$ , pour un rectangle de $2$ sur $11$ . Ce n'est PAS le rectangle d'aire maximale : $P(2)=24$ et $A(1)=22$ . Optimiser une grandeur ne dit rien de l'autre.

Tout problème d'optimisation suit le même plan : choisir la variable, fixer son intervalle à partir des contraintes géométriques, exprimer la grandeur, dériver, lire le signe. La question e) rappelle que « le plus grand rectangle » n'a pas de sens tant qu'on n'a pas dit ce qu'on mesure.

Exercice 15 : La boîte qui utilise le moins de carton

On veut fabriquer une boîte SANS couvercle, en forme de pavé droit à base carrée, de volume $32$ cm³. On note $x$ le côté de la base et $h$ la hauteur, en centimètres, avec $x>0$ .

La figure ci-dessous représente une boîte de la famille.

a) Exprimez $h$ en fonction de $x$ .
b) Montrez que l'aire totale de carton utilisée vaut $S(x)=x^{2}+\frac{128}{x}$ .
c) Calculez $S'(x)$ et montrez que $S'(x)=\frac{2(x^{3}-64)}{x^{2}}$ .
d) Étudiez les variations de $S$ sur $]0\,;+\infty[$ .
e) Déduisez-en les dimensions de la boîte la plus économe et l'aire de carton correspondante.
f) On veut maintenant une boîte FERMÉE de même volume. L'aire devient $2x^{2}+\frac{128}{x}$ . Déterminez le côté optimal au centième et comparez-le à la hauteur.

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Réponses

a) $h=\frac{32}{x^{2}}$
b) $S=x^{2}+4xh=x^{2}+\frac{128}{x}$
c) $S'(x)=\frac{2(x^{3}-64)}{x^{2}}$
d) Décroissante sur $]0;4]$ , croissante sur $[4;+\infty[$
e) Base $4$ cm, hauteur $2$ cm, $48$ cm²
f) $x=\sqrt[3]{32}\approx 3{,}17$ cm $=h$ : un cube

a)

Le volume d'un pavé est l'aire de la base fois la hauteur : $x^{2}h=32$ , donc $h=\frac{32}{x^{2}}$ .

b)

La boîte a un fond carré d'aire $x^{2}$ et quatre faces latérales rectangulaires d'aire $xh$ chacune : $S=x^{2}+4xh=x^{2}+4x\times\frac{32}{x^{2}}=x^{2}+\frac{128}{x}$ .

c)

$S'(x)=2x+128\times\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=2x-\frac{128}{x^{2}}=\frac{2x^{3}-128}{x^{2}}=\frac{2(x^{3}-64)}{x^{2}}$ .

d)

$x^{2}>0$ , donc $S'(x)$ a le signe de $x^{3}-64$ . La fonction cube étant strictement croissante, $x^{3}<64$ équivaut à $x<4$ : $S'$ est négative sur $]0\,;4[$ et positive sur $]4\,;+\infty[$ . $S$ décroît sur $]0\,;4]$ puis croît sur $[4\,;+\infty[$ .

e)

Le minimum est atteint pour $x=4$ cm, avec $h=\frac{32}{16}=2$ cm. L'aire vaut $S(4)=16+32=48$ cm². La boîte optimale sans couvercle a une hauteur égale à la MOITIÉ du côté de la base.

f)

$S_{2}'(x)=4x-\frac{128}{x^{2}}=\frac{4(x^{3}-32)}{x^{2}}$ s'annule pour $x^{3}=32$ , soit $x=\sqrt[3]{32}\approx 3{,}17$ cm, avec le même tableau de signes. La hauteur vaut alors $\frac{32}{x^{2}}=\frac{x^{3}}{x^{2}}=x$ : la boîte fermée la plus économe est un CUBE, d'environ $3{,}17$ cm de côté, pour $6x^{2}\approx 60{,}48$ cm² de carton.

Le passage de a) à b) est le cœur du problème : une grandeur qui dépend de deux dimensions liées par une contrainte devient une fonction d'une seule variable. Et c'est la dérivée de $\frac{1}{x}$ qui rend l'étude possible, sans elle on ne saurait pas où $x^{2}$ , qui croît, et $\frac{128}{x}$ , qui décroît, s'équilibrent.

Exercice 16 : L'approximation linéaire près de 1 : carré, inverse, racine

On étudie trois fonctions au voisinage de $a=1$ : le carré $f(x)=x^{2}$ , l'inverse $g(x)=\frac{1}{x}$ et la racine carrée $r(x)=\sqrt{x}$ .

Si $\varphi$ est dérivable en $a$ , la fonction affine $x\mapsto\varphi(a)+\varphi'(a)(x-a)$ est la FONCTION AFFINE TANGENTE à $\varphi$ en $a$ : sa courbe est la tangente. Pour $h$ proche de $0$ , elle donne l'APPROXIMATION LINÉAIRE $\varphi(a+h)\approx\varphi(a)+\varphi'(a)h$ .

Les questions a) à d) se traitent sans calculatrice.

a) Calculez $f'(1)$ , $g'(1)$ et $r'(1)$ , puis écrivez l'approximation linéaire de $(1+h)^{2}$ , de $\frac{1}{1+h}$ et de $\sqrt{1+h}$ pour $h$ proche de $0$ .
b) Déduisez-en une valeur approchée de $1{,}003^{2}$ , de $\frac{1}{1{,}003}$ et de $\sqrt{1{,}003}$ .
c) Montrez que l'erreur commise sur le carré, $(1+h)^{2}-(1+2h)$ , vaut $h^{2}$ , et que l'erreur commise sur l'inverse, $\frac{1}{1+h}-(1-h)$ , vaut $\frac{h^{2}}{1+h}$ . Donnez ces deux erreurs pour $h=0{,}003$ , en millionièmes.
d) Que dit le signe de ces erreurs sur la position de chaque courbe par rapport à sa tangente en $1$ ? Pour la racine, comparez l'approximation linéaire de $\sqrt{1{,}21}$ à sa valeur exacte, puis dites si la tangente est au-dessus ou au-dessous de la courbe.
e) Le côté d'un carré de $1$ m est allongé de $1\ \%$ . D'après a), de combien de pour cent son aire augmente-t-elle environ ? Quelle est l'erreur exacte commise sur l'aire ? De combien de pour cent l'inverse du côté diminue-t-il environ ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/14

a)

f'(1)

g'(1)

r'(1)

b)

1{,}003^{2}\approx

\frac{1}{1{,}003}\approx

\sqrt{1{,}003}\approx

c)

Erreur sur le carré millionièmes

Erreur sur l'inverse millionièmes

d)

Approximation de

\sqrt{1{,}21}

\sqrt{1{,}21}

exacte

Pour la racine, la tangente est

e)

Hausse de l'aire %

Erreur sur l'aire m²

Baisse de l'inverse %

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Réponses

a) $f'(1)=2$ , $g'(1)=-1$ , $r'(1)=\frac{1}{2}$ ; $(1+h)^{2}\approx 1+2h$ , $\frac{1}{1+h}\approx 1-h$ , $\sqrt{1+h}\approx 1+\frac{h}{2}$
b) $1{,}006$ ; $0{,}997$ ; $1{,}0015$
c) Erreurs $h^{2}$ et $\frac{h^{2}}{1+h}$ : $9$ et environ $8{,}97$ millionièmes
d) Carré et inverse au-dessus de leur tangente ; $\sqrt{1{,}21}\approx 1{,}105>1{,}1$ : tangente au-dessus de la racine
e) Aire : environ $+2\ \%$ , erreur $0{,}0001$ m² ; inverse du côté : environ $-1\ \%$

a)

$f'(x)=2x$ , $g'(x)=-\frac{1}{x^{2}}$ et $r'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ , donc $f'(1)=2$ , $g'(1)=-1$ et $r'(1)=\frac{1}{2}$ . Les trois fonctions valent $1$ en $1$ . Leurs fonctions affines tangentes en $1$ sont $x\mapsto 1+2(x-1)$ , $x\mapsto 1-(x-1)$ et $x\mapsto 1+\frac{1}{2}(x-1)$ . En posant $x=1+h$ , l'écart $x-1$ devient $h$ , et l'on obtient les trois approximations à connaître : $(1+h)^{2}\approx 1+2h$ , $\frac{1}{1+h}\approx 1-h$ et $\sqrt{1+h}\approx 1+\frac{h}{2}$ . Le coefficient de $h$ est le nombre dérivé en $1$ , rien d'autre : c'est tout le contenu de la formule.

b)

Ici $h=0{,}003$ . Donc $1{,}003^{2}\approx 1+2\times 0{,}003=1{,}006$ , puis $\frac{1}{1{,}003}\approx 1-0{,}003=0{,}997$ , et $\sqrt{1{,}003}\approx 1+0{,}0015=1{,}0015$ . Trois calculs de tête, là où la valeur exacte demande une machine : $1{,}003^{2}=1{,}006009$ , $\frac{1}{1{,}003}\approx 0{,}997009$ et $\sqrt{1{,}003}\approx 1{,}001499$ . Les approximations sont justes au millionième près, parce que $h$ est petit. L'erreur fréquente est d'écrire $\varphi(1)+\varphi'(1)$ en oubliant le facteur $h$ : on obtiendrait $3$ pour $1{,}003^{2}$ , ce qui n'a aucun sens.

c)

Pour le carré : $(1+h)^{2}-(1+2h)=1+2h+h^{2}-1-2h=h^{2}$ . Pour l'inverse, on réduit au même dénominateur : $\frac{1}{1+h}-(1-h)=\frac{1-(1-h)(1+h)}{1+h}=\frac{1-(1-h^{2})}{1+h}=\frac{h^{2}}{1+h}$ . Pour $h=0{,}003$ : $h^{2}=0{,}000009$ , soit $9$ millionièmes, et $\frac{0{,}000009}{1{,}003}\approx 0{,}00000897$ , soit environ $8{,}97$ millionièmes. Les deux erreurs sont de l'ordre de $h^{2}$ : quand $h$ est divisé par $10$ , l'erreur est divisée par $100$ . C'est ce qui fait de la tangente la MEILLEURE droite au voisinage du point : toute autre droite passant par $(1\,;1)$ commettrait une erreur de l'ordre de $h$ , cent fois plus grande pour $h=0{,}01$ .

d)

$h^{2}\geq 0$ : la courbe du carré est AU-DESSUS de sa tangente, sur tout $\mathbb{R}$ . Et $\frac{h^{2}}{1+h}\geq 0$ tant que $1+h>0$ , c'est-à-dire tant que $x=1+h>0$ : sur $]0\,;+\infty[$ , la courbe de l'inverse est au-dessus de sa tangente, et les deux approximations sont par DÉFAUT. Pour la racine, $1{,}21=1+0{,}21$ donne $\sqrt{1{,}21}\approx 1+\frac{0{,}21}{2}=1{,}105$ , alors que $\sqrt{1{,}21}=1{,}1$ exactement : l'approximation est trop GRANDE de $0{,}005$ . La tangente est donc au-dessus de la courbe, et cela se démontre en une ligne pour tout $h>-1$ : $\left(1+\frac{h}{2}\right)^{2}=1+h+\frac{h^{2}}{4}\geq 1+h$ , et deux nombres positifs sont rangés comme leurs carrés, donc $1+\frac{h}{2}\geq\sqrt{1+h}$ . Une approximation linéaire se donne avec son SENS : par défaut pour le carré et l'inverse, par excès pour la racine.

e)

Le côté passe de $1$ à $1{,}01$ m, donc $h=0{,}01$ . L'aire vaut $(1+h)^{2}\approx 1+2h=1{,}02$ m² : elle augmente d'environ $2\ \%$ , le DOUBLE de la hausse du côté. L'aire exacte vaut $1{,}0201$ m², et l'erreur commise vaut $h^{2}=0{,}0001$ m², soit un carré de $1$ cm de côté : c'est littéralement le petit carré du coin que l'approximation oublie. L'inverse du côté vaut $\frac{1}{1{,}01}\approx 1-0{,}01=0{,}99$ : il DIMINUE d'environ $1\ \%$ (exactement $0{,}990\ \%$ environ).

À retenir, pour une petite variation relative $h$ autour de $1$ : le carré varie d'environ $2h$ , l'inverse de $-h$ , la racine de $\frac{h}{2}$ . Ces trois nombres sont les nombres dérivés en $1$ . C'est l'idée de Leibniz et de Newton : pour de petites variations, un phénomène se comporte comme une fonction affine, et le nombre dérivé en est le coefficient.

Exercice 17 : Les notations Δy/Δx et dy/dx : vitesse et coût marginal

En physique et en économie, on note $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ le taux de variation d'une grandeur $y$ par rapport à une grandeur $x$ entre deux valeurs, et $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ sa dérivée : si $y=f(x)$ , alors $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f'(x)$ . On adapte les lettres au contexte : $x=f(t)$ , $C=f(q)$ , etc. Les deux nombres s'expriment dans l'unité de $y$ PAR unité de $x$ .

Situation 1. Une bille lâchée sur un plan incliné a parcouru, $t$ secondes après le départ, la distance $x=0{,}4t^{2}$ mètres.

Situation 2. Un atelier fabrique $q$ tables par semaine, avec $0\leq q\leq 100$ . Le coût total, en euros, est $C=0{,}5q^{2}+30q+400$ .

La figure ci-dessous représente la situation 1.

a) Situation 1. Calculez $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ entre $t=2$ et $t=3$ , puis entre $t=2$ et $t=2{,}1$ . Dans quelle unité s'expriment ces nombres, et que représentent-ils ?
b) Montrez que, pour $h>0$ , le taux entre $t=2$ et $t=2+h$ vaut $1{,}6+0{,}4h$ . Retrouvez les résultats de a), calculez ce taux pour $h=0{,}01$ , puis dites vers quoi il tend quand $h$ tend vers $0$ .
c) Calculez $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ en fonction de $t$ , puis sa valeur pour $t=2$ . Comment le physicien nomme-t-il ce nombre ?
d) Situation 2. Calculez $\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}q}$ , puis sa valeur pour $q=40$ , qu'on appelle le coût marginal. Comparez-la au coût réel de la $41$ e table, $C(41)-C(40)$ , et expliquez l'écart.
e) Pour quelle production le coût marginal atteint-il $100$ euros par table ? Calculez le coût MOYEN d'une table pour $q=40$ : lequel des deux nombres renseigne sur le coût de la table suivante ?

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a)

\frac{\Delta x}{\Delta t}

entre

2

et

3

m/s

\frac{\Delta x}{\Delta t}

entre

2

et

2{,}1

m/s

b)

Taux pour

h=0{,}01

m/s

Limite quand

h

tend vers

0

m/s

c)

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}

pour

t=2

m/s

Ce nombre est

d)

Coût marginal pour

q=40

euros

C(41)-C(40)

euros

e)

Production tables

Coût moyen pour

q=40

euros

Le coût de la table suivante se lit sur

Voir la correction

Réponses

a) $2$ m/s et $1{,}64$ m/s : des vitesses moyennes
b) $\frac{1{,}6h+0{,}4h^{2}}{h}=1{,}6+0{,}4h$ ; $1{,}604$ pour $h=0{,}01$ ; limite $1{,}6$
c) $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=0{,}8t$ , soit $1{,}6$ m/s en $t=2$ : la vitesse instantanée
d) $\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}q}=q+30$ ; $70$ euros par table, contre $70{,}5$ euros réels
e) $q=70$ tables ; coût moyen $60$ euros ; c'est le coût marginal qui renseigne

a)

$x(2)=0{,}4\times 4=1{,}6$ m, $x(3)=0{,}4\times 9=3{,}6$ m et $x(2{,}1)=0{,}4\times 4{,}41=1{,}764$ m. Donc $\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{3{,}6-1{,}6}{3-2}=2$ entre $2$ et $3$ , et $\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{1{,}764-1{,}6}{0{,}1}=1{,}64$ entre $2$ et $2{,}1$ . Le numérateur est en mètres, le dénominateur en secondes : ce sont des m/s, des VITESSES MOYENNES sur l'intervalle. La notation porte l'unité : $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ se lit « variation de $x$ par unité de $t$ ». Les deux vitesses diffèrent parce que la bille accélère : sur un intervalle plus long, elle a eu le temps d'aller plus vite.

b)

$x(2+h)=0{,}4(4+4h+h^{2})=1{,}6+1{,}6h+0{,}4h^{2}$ , donc $\frac{x(2+h)-x(2)}{h}=\frac{1{,}6h+0{,}4h^{2}}{h}=1{,}6+0{,}4h$ pour $h\neq 0$ . Pour $h=1$ on retrouve $2$ , pour $h=0{,}1$ on retrouve $1{,}64$ , et pour $h=0{,}01$ on obtient $1{,}604$ . Quand $h$ tend vers $0$ , le terme $0{,}4h$ tend vers $0$ et le taux tend vers $1{,}6$ : c'est le nombre dérivé en $2$ .

c)

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=0{,}4\times 2t=0{,}8t$ , et pour $t=2$ : $0{,}8\times 2=1{,}6$ m/s, la limite trouvée en b). Le physicien l'appelle VITESSE INSTANTANÉE : c'est ce qu'affiche le compteur à l'instant $t=2$ . Le « d » remplace le « $\Delta$ » quand l'intervalle devient infiniment petit, et l'écriture $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ n'est PAS une fraction qu'on simplifierait par d : c'est un seul symbole, qui veut dire $x'(t)$ .

d)

$\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}q}=0{,}5\times 2q+30=q+30$ , en euros par table, et pour $q=40$ : $40+30=70$ euros par table. Le coût réel de la $41$ e table vaut $C(41)-C(40)$ . Or $C(40)=0{,}5\times 1\,600+1\,200+400=2\,400$ et $C(41)=0{,}5\times 1\,681+1\,230+400=2\,470{,}5$ , d'où $70{,}5$ euros. L'écart de $0{,}5$ euro s'explique : le coût marginal est une APPROXIMATION LINÉAIRE, $C(40+1)\approx C(40)+C'(40)\times 1=2\,470$ , et comme pour le carré, l'erreur vient du terme en $h^{2}$ : ici $0{,}5\times 1^{2}=0{,}5$ . Une table n'est pas un « petit » accroissement, mais comparé à $40$ elle l'est assez pour que l'approximation soit bonne à un euro près.

e)

$q+30=100$ donne $q=70$ tables par semaine : au-delà, chaque table supplémentaire coûte plus de $100$ euros. Le coût moyen pour $q=40$ vaut $\frac{C(40)}{40}=\frac{2\,400}{40}=60$ euros par table : il répartit sur toutes les tables les $400$ euros de frais fixes et les tables bon marché du début. Pour décider s'il faut produire une table DE PLUS, c'est le coût marginal qui compte : la $41$ e coûtera environ $70$ euros, pas $60$ . Confondre les deux, c'est vendre à perte en croyant faire du bénéfice.

Ce qu'il faut retenir : $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ est un taux sur un intervalle, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ un taux à un instant ou pour une valeur, et les deux ont la même unité. Vitesse instantanée et coût marginal sont deux noms du même objet mathématique, le nombre dérivé.

Exercice 18 : La dérivée de x puissance n quand n est un entier négatif

Pour $n$ entier naturel non nul, $(x^{n})'=nx^{n-1}$ sur $\mathbb{R}$ . Le programme étend la formule à tout entier $n$ : pour $n=-p$ avec $p$ entier naturel non nul, $x^{-p}=\frac{1}{x^{p}}$ n'est définie que pour $x\neq 0$ , et $(x^{n})'=nx^{n-1}$ vaut alors sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$ .

On pose $f(x)=\frac{1}{x^{4}}$ et $g(x)=x^{2}+\frac{16}{x^{2}}$ , pour $x\neq 0$ .

a) Écrivez $f(x)$ sous la forme $x^{n}$ avec $n$ entier, précisez sur quel ensemble $f$ est dérivable, puis calculez $f'(x)$ à l'aide de la formule $(x^{n})'=nx^{n-1}$ .
b) Retrouvez $f'(x)$ avec la formule $\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^{2}}$ , puis calculez $f'(2)$ .
c) Étudiez le signe de $f'(x)$ et les variations de $f$ . Un élève écrit : « $f'(x)$ a un signe moins devant, donc $f$ est décroissante sur son ensemble de définition. » Corrigez-le.
d) Déterminez une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$ , puis au point d'abscisse $-1$ . Que remarquez-vous ?
e) En écrivant $\frac{16}{x^{2}}=16x^{-2}$ , montrez que $g'(x)=\frac{2(x^{4}-16)}{x^{3}}$ . Déterminez les abscisses des points où la tangente à la courbe de $g$ est horizontale, puis le minimum de $g$ .

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a)

n

f

est dérivable sur

f'(x)

b)

f'(2)

c)

f

sur

]-\infty;0[

f

sur

]0;+\infty[

d)

Pente de la tangente en

1

Ordonnée à l'origine

Pente de la tangente en

-1

Ordonnée à l'origine

e)

Abscisse positive

Abscisse négative

Minimum de

g

Voir la correction

Réponses

a) $f(x)=x^{-4}$ , dérivable sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$ ; $f'(x)=-4x^{-5}=-\frac{4}{x^{5}}$
b) $-\frac{4x^{3}}{x^{8}}=-\frac{4}{x^{5}}$ ; $f'(2)=-0{,}125$
c) $f$ croissante sur $]-\infty;0[$ , décroissante sur $]0;+\infty[$ : le signe de $x^{5}$ change en $0$
d) $y=-4x+5$ et $y=4x+5$ , symétriques par rapport à l'axe des ordonnées : $f$ est paire
e) $g'(x)=2x-\frac{32}{x^{3}}=\frac{2(x^{4}-16)}{x^{3}}$ ; tangentes horizontales en $-2$ et $2$ ; minimum $8$

a)

$f(x)=x^{-4}$ , donc $n=-4$ . La fonction n'est définie que pour $x\neq 0$ : elle est dérivable sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$ , jamais en $0$ , où elle n'existe pas. La formule donne $f'(x)=-4x^{-4-1}=-4x^{-5}=-\frac{4}{x^{5}}$ . Le piège classique est l'exposant : $-4-1=-5$ , pas $-3$ . L'exposant DIMINUE de $1$ , et diminuer un nombre négatif l'éloigne de zéro.

b)

Avec $v(x)=x^{4}$ et $v'(x)=4x^{3}$ : $f'(x)=-\frac{4x^{3}}{\left(x^{4}\right)^{2}}=-\frac{4x^{3}}{x^{8}}=-\frac{4}{x^{5}}$ ✓. Les deux méthodes concordent, ce qui justifie la formule étendue : elle n'est pas une règle de plus à apprendre, elle se déduit de la dérivée de l'inverse. Puis $f'(2)=-\frac{4}{2^{5}}=-\frac{4}{32}=-0{,}125$ .

c)

Le numérateur $-4$ est négatif ; le signe de $f'(x)$ est donc l'OPPOSÉ de celui de $x^{5}$ , qui a le signe de $x$ puisque l'exposant est impair. Pour $x<0$ : $x^{5}<0$ et $f'(x)>0$ , donc $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;0[$ . Pour $x>0$ : $x^{5}>0$ et $f'(x)<0$ , donc $f$ est strictement décroissante sur $]0\,;+\infty[$ . L'élève a lu le signe devant la fraction sans regarder le dénominateur, qui change de signe en $0$ : un signe « devant » ne décide de rien tant que le reste de l'expression n'a pas un signe constant. Contrôle : $f(-2)=\frac{1}{16}<f(-1)=1$ , la fonction monte bien à gauche de $0$ .

d)

En $1$ : $f(1)=1$ et $f'(1)=-4$ , donc $y=-4(x-1)+1$ , soit $y=-4x+5$ . En $-1$ : $f(-1)=\frac{1}{(-1)^{4}}=1$ et $f'(-1)=-\frac{4}{(-1)^{5}}=4$ , donc $y=4(x+1)+1$ , soit $y=4x+5$ . Les deux tangentes ont des pentes OPPOSÉES et la même ordonnée à l'origine : elles sont symétriques l'une de l'autre par rapport à l'axe des ordonnées. Ce n'est pas un hasard : $f(-x)=\frac{1}{(-x)^{4}}=f(x)$ , la fonction est PAIRE, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et la symétrie emporte les tangentes avec elle.

e)

$g(x)=x^{2}+16x^{-2}$ , donc $g'(x)=2x+16\times(-2)x^{-3}=2x-\frac{32}{x^{3}}=\frac{2x^{4}-32}{x^{3}}=\frac{2(x^{4}-16)}{x^{3}}$ . La tangente est horizontale quand $g'(x)=0$ , soit $x^{4}=16$ , c'est-à-dire $x=2$ ou $x=-2$ (la valeur $0$ est exclue). Sur $]0\,;+\infty[$ , $x^{3}>0$ et $g'$ a le signe de $x^{4}-16$ : négatif avant $2$ , positif après, donc $g$ décroît puis croît, avec $g(2)=4+4=8$ . Sur $]-\infty\,;0[$ , $x^{3}<0$ inverse le signe : $g$ décroît jusqu'à $-2$ puis croît, avec $g(-2)=8$ . Le minimum de $g$ sur son ensemble de définition vaut donc $8$ , atteint deux fois. Contrôle : $g(1)=1+16=17$ et $g(4)=16+1=17$ , tous deux au-dessus de $8$ .

La formule $(x^{n})'=nx^{n-1}$ vaut pour tout entier $n$ , mais son DOMAINE change avec le signe de $n$ : $\mathbb{R}$ pour $n\geq 1$ , $\mathbb{R}$ privé de $0$ pour $n\leq -1$ . Et le signe d'une dérivée à puissance impaire au dénominateur se discute des deux côtés de $0$ .

Exercice 19 : Valeur absolue et parité : la courbe en V et ses symétries

La fonction valeur absolue est définie sur $\mathbb{R}$ par $|x|=x$ si $x\geq 0$ et $|x|=-x$ si $x<0$ .

Une fonction $f$ est définie sur un ensemble $D$ SYMÉTRIQUE par rapport à $0$ lorsque, pour tout $x$ de $D$ , $-x$ appartient aussi à $D$ . Sur un tel ensemble, $f$ est PAIRE si $f(-x)=f(x)$ pour tout $x$ de $D$ , et IMPAIRE si $f(-x)=-f(x)$ pour tout $x$ de $D$ .

La figure donne la courbe d'une fonction $k$ définie sur $[-2\,;2]$ , tracée seulement sur $[0\,;2]$ ; on sait que $k(1)=-2$ et $k(2)=2$ .

a) Démontrez que la fonction valeur absolue est paire. Pour chacune des fonctions suivantes, dites si elle est paire, impaire ou ni l'une ni l'autre, en justifiant : $u(x)=x^{3}-5x$ sur $\mathbb{R}$ , $v(x)=x^{2}+x$ sur $\mathbb{R}$ , $w(x)=\frac{1}{x^{2}}+|x|$ sur $\mathbb{R}$ privé de $0$ .
b) Quelle symétrie possède la courbe d'une fonction paire ? Celle d'une fonction impaire ? Justifiez qu'une fonction impaire définie en $0$ s'annule en $0$ .
c) Complétez la courbe de $k$ sur $[-2\,;0]$ lorsque $k$ est paire, puis lorsque $k$ est impaire. Donnez $k(-1)$ dans chacun des deux cas.
d) La fonction $s(x)=x^{2}$ , définie sur l'intervalle $[-2\,;3]$ , est-elle paire ? Justifiez.
e) Calculez le taux de variation $\frac{|0+h|-|0|}{h}$ de la valeur absolue en $0$ pour $h>0$ , puis pour $h<0$ . La fonction est-elle dérivable en $0$ ? Faites le même calcul pour $m(x)=x|x|$ et concluez.

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a)

u

est

v

est

w

est

b)

Courbe d'une fonction paire

Courbe d'une fonction impaire

c)

k(-1)

si

k

est paire

k(-1)

si

k

est impaire

d)

s

est-elle paire ?

e)

Taux pour

h>0

Taux pour

h<0

Valeur absolue dérivable en

0

?

m'(0)

Voir la correction

Réponses

a) $|-x|=|x|$ : paire ; $u$ impaire ; $v$ ni l'une ni l'autre ( $v(-1)=0$ , $v(1)=2$ ) ; $w$ paire
b) Paire : axe de symétrie l'axe des ordonnées ; impaire : centre de symétrie l'origine ; $f(0)=-f(0)$ donne $f(0)=0$
c) Paire : $k(-1)=-2$ ; impaire : $k(-1)=2$
d) Non : $[-2;3]$ n'est pas symétrique par rapport à $0$
e) Taux $1$ à droite, $-1$ à gauche : $|x|$ non dérivable en $0$ ; $m'(0)=0$

a)

Pour tout réel $x$ , $|-x|$ est la distance de $-x$ à $0$ , égale à celle de $x$ à $0$ : $|-x|=|x|$ , et $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$ , donc la valeur absolue est paire. Ensuite $u(-x)=(-x)^{3}-5(-x)=-x^{3}+5x=-u(x)$ pour tout réel $x$ : $u$ est IMPAIRE. Pour $v$ , un contre-exemple suffit : $v(1)=2$ et $v(-1)=1-1=0$ , donc $v(-1)\neq v(1)$ et $v(-1)\neq -v(1)$ : $v$ n'est ni paire ni impaire. Enfin $\mathbb{R}$ privé de $0$ est symétrique par rapport à $0$ et $w(-x)=\frac{1}{(-x)^{2}}+|-x|=w(x)$ : $w$ est PAIRE. Une égalité sur un seul nombre ne prouve jamais la parité, elle ne sert qu'à la RÉFUTER : il faut « pour tout $x$ ».

b)

Si $f$ est paire, les points $(x\,;f(x))$ et $(-x\,;f(x))$ sont tous deux sur la courbe : ils sont symétriques par rapport à l'AXE DES ORDONNÉES, qui est donc axe de symétrie de la courbe. Si $f$ est impaire, les points $(x\,;f(x))$ et $(-x\,;-f(x))$ sont sur la courbe : ils sont symétriques par rapport à l'ORIGINE, qui est centre de symétrie. Enfin, si $f$ est impaire et définie en $0$ , $f(-0)=-f(0)$ s'écrit $f(0)=-f(0)$ , donc $2f(0)=0$ et $f(0)=0$ : la courbe passe par l'origine.

c)

Si $k$ est paire, on complète par la symétrie d'axe l'axe des ordonnées : $k(-1)=k(1)=-2$ et $k(-2)=k(2)=2$ , et la courbe à gauche est le reflet de celle de droite dans un miroir vertical. Si $k$ est impaire, on complète par la symétrie de centre l'origine : $k(-1)=-k(1)=2$ et $k(-2)=-k(2)=-2$ . La courbe tracée passe bien par l'origine, ce que b) exige d'une fonction impaire définie en $0$ : les deux cas sont possibles. On peut d'ailleurs vérifier que la courbe tracée est celle de $x\mapsto x^{3}-3x$ , qui est impaire. Sur la figure du corrigé, la complétion impaire est en trait plein, la complétion paire en pointillés, avec ses deux points marqués d'un rond vide.

d)

Non. L'intervalle $[-2\,;3]$ n'est pas symétrique par rapport à $0$ : $3$ y appartient, $-3$ non, et $s(-3)$ n'existe même pas. La formule $x^{2}$ vérifie $(-x)^{2}=x^{2}$ , mais la parité est une propriété de la FONCTION, domaine compris, pas de la formule seule. C'est le piège classique de la question : on vérifie le domaine AVANT de calculer $f(-x)$ .

e)

Pour $h>0$ : $\frac{|h|-0}{h}=\frac{h}{h}=1$ . Pour $h<0$ : $\frac{|h|}{h}=\frac{-h}{h}=-1$ . Le taux vaut $1$ à droite de $0$ et $-1$ à gauche, quel que soit $h$ : il n'a pas de limite commune quand $h$ tend vers $0$ , donc la valeur absolue n'est PAS dérivable en $0$ . Sa courbe y forme un angle, un « V » : deux demi-tangentes de pentes $1$ et $-1$ , et aucune tangente. C'est un autre défaut que celui de la racine carrée en $0$ , dont le taux devient infini et dont la tangente est verticale. Pour $m(x)=x|x|$ : $\frac{m(h)-m(0)}{h}=\frac{h|h|}{h}=|h|$ , qui tend vers $0$ des deux côtés. Donc $m$ est dérivable en $0$ et $m'(0)=0$ : multiplier par $x$ a « arrondi » l'angle. La fonction $m$ est d'ailleurs impaire, puisque $m(-x)=-x|-x|=-x|x|=-m(x)$ .

Le fil des cinq questions : la parité se lit sur le DOMAINE avant de se lire sur la formule, et la dérivabilité en un point se lit sur le taux de variation des DEUX côtés du point.

Exercices corrigés : la dérivation (Première spécialité)

Rappel de cours

Calculs : les dérivées à calculer

Exercice 0.1 : Dériver à l'aide des formules : douze calculs directs

Calculs : les tangentes à écrire

Exercice 0.2 : Écrire l'équation d'une tangente : huit calculs directs

Partie A : Les bases (/50)

Exercice 1 : Nombre dérivé par le taux d'accroissement

Exercice 2 : Équations de tangentes

Exercice 3 : Dérivées usuelles et opérations

Exercice 4 : Dérivée d'un quotient

Exercice 5 : Variations et signe de la dérivée

Partie B : Niveau examen (/50)

Exercice 6 : Étude complète sur un intervalle fermé

Exercice 7 : Problème : la boîte de volume maximal

Exercice 8 : Tangentes issues d'un point

Exercice 9 : Quatre affirmations à corriger

Exercice 10 : Lire la courbe de la dérivée

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 11 : Retrouver une fonction à partir de ses tangentes

Exercice 12 : Vitesse moyenne et vitesse instantanée

Exercice 13 : Une fonction avec racine carrée

Exercice 14 : Le plus grand rectangle sous une parabole

Exercice 15 : La boîte qui utilise le moins de carton

Partie D : programme 2026, approximation, notations, parité (/40)

Exercice 16 : L'approximation linéaire près de 1 : carré, inverse, racine

Exercice 17 : Les notations Δy/Δx et dy/dx : vitesse et coût marginal

Exercice 18 : La dérivée de x puissance n quand n est un entier négatif

Exercice 19 : Valeur absolue et parité : la courbe en V et ses symétries

Ce chapitre au bac 2026

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