Exercices corrigés : les suites numériques (Première spécialité)

a) $u_1=3\times 5-4=11$ ; $u_2=3\times 11-4=29$ ; $u_3=3\times 29-4=83$ ; $u_4=3\times 83-4=245$.

b) $v_0=1$ ; $v_1=1-3+1=-1$ ; $v_2=4-6+1=-1$ ; $v_3=9-9+1=1$ ; $v_4=16-12+1=5$.

c) Seule $(v_n)$ le permet : elle est définie par une formule explicite, où $v_n$ se calcule directement à partir de $n$. La suite $(u_n)$ est définie par récurrence : pour obtenir $u_{100}$ il faudrait calculer les 100 termes précédents l'un après l'autre.

d) $v_{100}=100^2-3\times 100+1=10000-300+1=9701$.

a) $u_8=u_3+5r$, donc $22=7+5r$, d'où $r=3$.

b) $u_3=u_0+3r$ donne $7=u_0+9$, donc $u_0=-2$. Ainsi $u_n=-2+3n$.

c) $u_{20}=-2+60=58$.

d) La somme comporte 21 termes : $S=21\times\frac{u_0+u_{20}}{2}=21\times\frac{-2+58}{2}=21\times 28=588$.

a) $v_n=3\times 2^n$, donc $v_{10}=3\times 1024=3072$.

b) $S=v_0\times\frac{1-q^{10}}{1-q}=3\times\frac{1-1024}{1-2}=3\times 1023=3069$.

c) $w_4=w_1\times q^3$, donc $q^3=\frac{1{,}5}{12}=0{,}125$, d'où $q=0{,}5$.

d) $w_1=w_0\times q$ donne $12=0{,}5\,w_0$, donc $w_0=24$. Ainsi $w_n=24\times 0{,}5^n$.

a) $u_{n+1}-u_n=3(n+1)-5-(3n-5)=3>0$ : la suite est strictement croissante (elle est arithmétique de raison 3).

b) La suite est géométrique de raison $0{,}8$, à termes strictement positifs. Comme $0<0{,}8<1$, elle est strictement décroissante. On peut aussi écrire $\frac{v_{n+1}}{v_n}=0{,}8<1$.

c) $w_{n+1}-w_n=(n+1)^2-6(n+1)-(n^2-6n)=2n+1-6=2n-5$. Cette quantité est négative pour $n\leq 2$ et positive pour $n\geq 3$ : la suite décroît de $w_0$ à $w_3$, puis croît. Elle n'est donc pas monotone.

d) $t_0=1$, $t_1=-2$, $t_2=4$, $t_3=-8$ : les termes changent de signe alternativement. La suite n'est ni croissante ni décroissante, ce qui est le cas de toute suite géométrique de raison strictement négative.

a) Somme des 100 premiers entiers : $S_1=100\times\frac{1+100}{2}=50\times 101=5050$.

b) Ce sont les entiers impairs, suite arithmétique de raison 2 allant de 1 à 99, soit 50 termes : $S_2=50\times\frac{1+99}{2}=50\times 50=2500$.

c) Somme géométrique de raison $\frac{1}{2}$ avec 11 termes : $S_3=\frac{1-(\frac{1}{2})^{11}}{1-\frac{1}{2}}=2\left(1-\frac{1}{2048}\right)=2-\frac{1}{1024}=\frac{2047}{1024}$.

d) La somme se rapproche de 2 sans jamais l'atteindre : l'écart vaut $\frac{1}{2^n}$, qui devient aussi petit que l'on veut. La somme tend vers 2.

a) Augmenter de 3 % revient à multiplier par $1{,}03$ : $C_{n+1}=1{,}03\times C_n$. La suite est donc géométrique de raison $q=1{,}03$.

b) $C_n=5000\times 1{,}03^n$.

c) $C_{10}=5000\times 1{,}03^{10}\approx 6719{,}58$ dollars.

d) On calcule les termes successifs : $C_{15}=5000\times 1{,}03^{15}\approx 7789{,}84$, qui est inférieur à 8000, et $C_{16}=5000\times 1{,}03^{16}\approx 8023{,}53$, qui dépasse 8000. Il faut donc 16 années.

a) $(A_n)$ est arithmétique de raison 900 : $A_n=30000+900n$. $(B_n)$ est géométrique de raison $1{,}025$ : $B_n=30000\times 1{,}025^n$.

b) $A_5=34500$ et $B_5\approx 33942{,}25$ : l'offre A est meilleure. $A_{10}=39000$ et $B_{10}\approx 38402{,}54$ : l'offre A reste meilleure.

c) On compare année par année : $A_{15}=43500$ et $B_{15}\approx 43448{,}94$, donc A est encore devant. $A_{16}=44400$ et $B_{16}\approx 44535{,}17$, donc B passe devant. La première année où B est plus avantageuse est la seizième.

d) L'offre A croît d'une quantité constante, alors que l'offre B croît d'une quantité proportionnelle au salaire, donc de plus en plus grande. Une croissance géométrique de raison supérieure à 1 finit toujours par dépasser une croissance arithmétique, quel que soit l'écart de départ.

a) La variable C stocke le capital, initialisé à 5000, et n compte les années, initialisé à 0. Tant que le capital reste strictement inférieur à 8000, on le multiplie par $1{,}03$ (une année de plus) et on incrémente le compteur. Dès que le capital atteint ou dépasse 8000, la boucle s'arrête et la fonction renvoie le nombre d'années écoulées.

b) L'appel renvoie 16, ce qui confirme le résultat trouvé à l'exercice 6.

c) Il suffit d'ajouter un paramètre et de l'utiliser dans la condition, comme ci-dessous.

d) La condition est fausse dès le départ, puisque $5000>8000$ est faux. La boucle n'est jamais exécutée et la fonction renvoie immédiatement 0, ce qui n'a aucun sens ici. Il n'y a pas de boucle infinie, mais un résultat faux, ce qui est plus difficile à repérer.

def seuil(objectif):
    C = 5000
    n = 0
    while C < objectif:
        C = C * 1.03
        n = n + 1
    return n

# seuil(8000) renvoie 16
# seuil(10000) renvoie 24

a) $u_1=0{,}8\times 500+300=700$ et $u_2=0{,}8\times 700+300=860$. Les quotients valent $\frac{700}{500}=1{,}4$ et $\frac{860}{700}\approx 1{,}23$ : ils ne sont pas égaux, donc $(u_n)$ n'est pas géométrique.

b) $v_{n+1}=u_{n+1}-1500=0{,}8u_n+300-1500=0{,}8u_n-1200=0{,}8(u_n-1500)=0{,}8v_n$. La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $0{,}8$, de premier terme $v_0=500-1500=-1000$.

c) $v_n=-1000\times 0{,}8^n$, donc $u_n=v_n+1500=1500-1000\times 0{,}8^n$.

d) $u_1=1500-1000\times 0{,}8=1500-800=700$ et $u_2=1500-1000\times 0{,}64=1500-640=860$ : les deux valeurs correspondent.

e) Comme $0<0{,}8<1$, le terme $0{,}8^n$ devient aussi proche de 0 que l'on veut lorsque $n$ grandit. Donc $u_n$ se rapproche de 1500 : la population se stabilise autour de 1500 poissons, en croissant sans jamais atteindre cette valeur.

a) Faux. $u_0=1+1=2$, $u_1=2+3=5$, $u_2=4+9=13$. Les quotients valent $\frac{5}{2}=2{,}5$ et $\frac{13}{5}=2{,}6$ : ils diffèrent, donc la suite n'est pas géométrique. La somme de deux suites géométriques de raisons différentes n'est pas géométrique.

b) Insuffisant. Vérifier la propriété sur trois écarts ne prouve rien pour tous les rangs : il faut démontrer que $u_{n+1}-u_n=5$ pour tout entier naturel $n$, en partant de l'expression de la suite. Un contre-exemple existe : la suite $u_n=5n+n(n-1)(n-2)(n-3)$ vérifie les trois premiers écarts mais pas le quatrième.

c) Faux. Pour $u_n=3n$ on a $u_4=12$, et pour $u_n=3^n$ on a $u_4=81$. Confondre le facteur et l'exposant est l'erreur la plus fréquente du chapitre : la première suite est arithmétique, la seconde géométrique.

d) Faux. Les termes valent $2$, $-6$, $18$, $-54$ : ils alternent de signe, donc la suite n'est ni croissante ni décroissante. Une suite géométrique n'est monotone que si sa raison est strictement positive.