Exercices corrigés : les suites numériques (Première spécialité)

$u_n=u_0+nr=-4+3n$, donc $u_{25}=-4+75=71$.

De $u_5$ à $u_{12}$, on ajoute $7$ fois la raison : $u_{12}=u_5+7r$, soit $-8=13+7r$, donc $r=\frac{-21}{7}=-3$. Piège : diviser par $12$ ou par $5$, ou soustraire dans le mauvais sens et trouver $+3$.

Le premier rang est $1$ : $u_n=u_1+(n-1)r=2+5(n-1)$, donc $u_{30}=2+29\times5=147$. Piège : écrire $u_{30}=2+30\times5=152$, comme si la suite commençait au rang $0$.

$v_n=v_0\,q^{n}=5\times(-2)^{n}$, donc $v_7=5\times(-128)=-640$. Piège : $(-2)^{7}$ est NÉGATIF, l'exposant est impair.

De $v_1$ à $v_5$, on multiplie $4$ fois par $q$ : $v_5=v_1\,q^{4}$, soit $48=3q^{4}$ et $q^{4}=16$. Les solutions sont $q=2$ et $q=-2$ ; la raison étant positive, $q=2$. Piège : diviser $16$ par $4$ et trouver $q=4$.

$v_4=v_0\,q^{4}$, donc $v_0=\frac{162}{3^{4}}=\frac{162}{81}=2$.

$1+2+\dots+60=\frac{60\times61}{2}=1830$.

Raison $4$ et premier terme $7$ : $7+4k=99$ donne $k=23$, donc les rangs vont de $0$ à $23$ et la somme compte $24$ termes. Elle vaut $24\times\frac{7+99}{2}=24\times53=1272$. Piège : compter $\frac{99-7}{4}=23$ termes, en oubliant le « plus un ».

Somme des puissances de $q=-2$, de l'exposant $0$ à l'exposant $9$, soit $10$ termes : $\frac{1-(-2)^{10}}{1-(-2)}=\frac{1-1024}{3}=-341$. Piège : écrire $\frac{1-(-2)^{9}}{3}=171$, avec l'exposant du dernier terme au lieu du nombre de termes.

$w_2+\dots+w_9=5\left(2^{2}+2^{3}+\dots+2^{9}\right)=5\times2^{2}\left(1+2+\dots+2^{7}\right)=20\times\frac{2^{8}-1}{2-1}=20\times255=5100$. La somme compte $9-2+1=8$ termes, de premier terme $w_2=20$. Piège : partir de $w_0=5$, ou compter $7$ termes.

On applique la relation à chaque étape, en réutilisant le terme qui vient d'être trouvé : $u_1=3\times 5-4=11$ ; $u_2=3\times 11-4=29$ ; $u_3=3\times 29-4=83$ ; $u_4=3\times 83-4=245$. Les termes triplent presque à chaque rang, ce qui annonce une croissance de type géométrique : c'est le $3$ qui domine et le $-4$ qui freine.

Ici, aucun terme n'a besoin du précédent, on remplace simplement $n$ par sa valeur : $v_0=1$ ; $v_1=1-3+1=-1$ ; $v_2=4-6+1=-1$ ; $v_3=9-9+1=1$ ; $v_4=16-12+1=5$. On note que $v_1=v_2$ : une suite peut prendre deux fois la même valeur, elle n'a aucune raison d'être injective. Ici c'est la symétrie du trinôme autour de $n=1{,}5$ qui l'explique.

Seule $(v_n)$ le permet. Elle est définie de façon EXPLICITE : $v_n$ s'obtient à partir de $n$ en une seule opération, quel que soit le rang. La suite $(u_n)$ est définie par RÉCURRENCE : chaque terme n'existe qu'à partir du précédent, donc obtenir $u_{100}$ demande de calculer les cent termes qui le précèdent, dans l'ordre. C'est exactement pour cela qu'on écrit un algorithme dans les exercices de seuil, et c'est aussi pour cela qu'on cherchera, à l'exercice 10, à transformer une définition par récurrence en formule explicite.

$v_{100}=100^2-3\times 100+1=10000-300+1=9701$. Le calcul est immédiat, et c'est précisément l'avantage de la forme explicite : le rang $100$ ne coûte pas plus cher que le rang $2$.

$u_0=2$, puis $u_1=3\times 2-4=2$, $u_2=3\times 2-4=2$, $u_3=2$ : la suite est constante. La raison est que $2$ vérifie l'équation $x=3x-4$, dont la solution est $x=2$ : une fois sur cette valeur, la relation renvoie sur elle-même. On appelle $2$ le point fixe de la relation de récurrence. Ce n'est pas une curiosité : le point fixe est exactement le nombre qu'on retranchera à l'exercice 10 pour fabriquer une suite auxiliaire géométrique.

Pour passer du rang $3$ au rang $8$, on ajoute la raison $8-3=5$ fois, et non $8$ fois : $u_8=u_3+5r$. Donc $22=7+5r$, soit $5r=15$ et $r=3$. L'erreur classique consiste à écrire $u_8=u_3+8r$, ce qui donnerait $r=1{,}875$ : un contrôle immédiat consiste à vérifier que la raison trouvée redonne bien les deux termes de l'énoncé.

$u_3=u_0+3r$ donne $7=u_0+9$, donc $u_0=-2$. L'expression explicite est $u_n=u_0+nr=-2+3n$. Vérification sur les deux données de départ : $u_3=-2+9=7$ ✓ et $u_8=-2+24=22$ ✓. Cette vérification coûte cinq secondes et elle attrape la quasi-totalité des erreurs de ce type de question.

$u_{20}=-2+3\times 20=-2+60=58$.

Attention au nombre de termes : de $u_0$ à $u_{20}$, il y en a $21$ et non $20$, puisqu'on compte aussi le rang $0$. La somme d'une suite arithmétique vaut le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier : $S=21\times\frac{u_0+u_{20}}{2}=21\times\frac{-2+58}{2}=21\times 28=588$. La justification de cette formule est celle de Gauss : en additionnant la somme à elle-même écrite à l'envers, chaque paire donne $u_0+u_{20}$.

On résout $-2+3n>100$, soit $3n>102$, donc $n>34$. Le premier entier qui convient est $n=35$. Vérification aux deux rangs voisins : $u_{34}=-2+102=100$, qui n'est pas strictement supérieur à $100$, et $u_{35}=103>100$ ✓. Le rang $34$ est un piège d'inégalité stricte : c'est le genre de détail qui coûte un point au contrôle.

$v_n=v_0\times q^n=3\times 2^n$, donc $v_{10}=3\times 2^{10}=3\times 1024=3072$. Le facteur $3$ ne s'élève pas à la puissance $n$ : seule la raison le fait. Écrire $(3\times 2)^n$ est l'erreur la plus fréquente, et elle donnerait $6^{10}$, soit environ $60$ millions.

La somme de $v_0$ à $v_9$ comporte $10$ termes : $S=v_0\times\frac{1-q^{10}}{1-q}=3\times\frac{1-1024}{1-2}=3\times\frac{-1023}{-1}=3\times 1023=3069$. Contrôle de plausibilité : la somme doit être un peu inférieure au double du dernier terme $v_9=1536$, et $3069<3072$ ✓.

De $w_1$ à $w_4$, on multiplie par $q$ trois fois : $w_4=w_1\times q^3$. Donc $q^3=\frac{1{,}5}{12}=0{,}125=\frac{1}{8}$, d'où $q=0{,}5$. On peut prendre la racine cubique sans discuter de signe, contrairement à une racine carrée : tout réel a exactement une racine cubique réelle. Si l'énoncé avait donné $w_3$ au lieu de $w_4$, on aurait eu $q^2$, et il aurait fallu envisager les deux signes.

$w_1=w_0\times q$ donne $12=0{,}5\,w_0$, donc $w_0=24$. Ainsi $w_n=24\times 0{,}5^n$. Vérification des deux données : $w_1=24\times 0{,}5=12$ ✓ et $w_4=24\times 0{,}0625=1{,}5$ ✓.

La somme des dix premiers termes vaut $3069$ et $v_{10}=3072$ : la somme de tout ce qui précède est presque égale au terme suivant, à $3$ près, c'est-à-dire à $v_0$ près. Ce n'est pas un hasard, c'est l'identité $1+2+4+\dots+2^9=2^{10}-1$ multipliée par $3$. Autrement dit, avec une raison $2$, chaque terme pèse à lui seul un peu plus que la totalité des précédents : c'est l'image concrète de ce que veut dire une croissance exponentielle, et c'est la même remarque qui explique l'écriture binaire des entiers.

$u_{n+1}-u_n=\left(3(n+1)-5\right)-(3n-5)=3n+3-5-3n+5=3>0$. L'écart est constant et positif, donc la suite est strictement croissante. C'est la définition même d'une suite arithmétique de raison $3$ : le signe de la raison donne directement le sens de variation, sans autre calcul.

La suite est géométrique de raison $0{,}8$ et de premier terme $5>0$, donc tous ses termes sont strictement positifs. On peut donc comparer le quotient à $1$ : $\frac{v_{n+1}}{v_n}=0{,}8<1$, donc chaque terme est plus petit que le précédent et la suite est strictement décroissante. Le passage par le quotient n'est légitime QUE parce que les termes sont positifs : diviser par un terme négatif renverserait l'inégalité, ce qui est le piège de la question d).

$w_{n+1}-w_n=(n+1)^2-6(n+1)-(n^2-6n)=n^2+2n+1-6n-6-n^2+6n=2n-5$. Cette quantité est négative pour $n\leq 2$ (elle vaut $-5$, $-3$, $-1$) et positive à partir de $n=3$ (elle vaut $1$, $3$, $5$). La suite décroît donc de $w_0=0$ jusqu'à $w_3=-9$, puis croît indéfiniment : elle n'est pas monotone. Retenir la formulation attendue : une suite qui change de sens en cours de route n'est ni croissante ni décroissante, mais on peut dire qu'elle est décroissante puis croissante.

$t_0=1$, $t_1=-2$, $t_2=4$, $t_3=-8$ : les termes changent de signe à chaque rang, donc ils montent et descendent alternativement. La suite n'est ni croissante ni décroissante. C'est le cas de TOUTE suite géométrique de raison strictement négative, et la valeur absolue de la raison n'y change rien : elle règle la vitesse d'éloignement, pas l'alternance.

Oui ici, mais c'est une coïncidence qui mérite d'être vue. La fonction $f$ atteint son minimum au sommet de la parabole, en $x=3$, où $f(3)=-9$. La suite, elle, n'existe qu'aux entiers : son plus petit terme est $w_3=-9$, qui tombe ici exactement sur le sommet parce que $3$ est entier. Avec $w_n=n^2-5n$, le sommet serait en $x=2{,}5$, qui n'est pas un rang : le minimum de la suite serait atteint DEUX fois, en $n=2$ et $n=3$, avec la même valeur $-6$. Une suite hérite du sens de variation de la fonction associée, mais pas nécessairement de la position exacte de son extremum.

Ce sont les cent premiers entiers, une suite arithmétique de raison $1$ : $S_1=100\times\frac{1+100}{2}=50\times 101=5050$. C'est le calcul attribué à Gauss enfant, et sa justification tient en une ligne : en écrivant la somme à l'endroit puis à l'envers et en additionnant terme à terme, on obtient $100$ paires valant chacune $101$, donc deux fois la somme.

Ce sont les entiers impairs, une suite arithmétique de raison $2$ allant de $1$ à $99$. Le nombre de termes n'est pas $99$ : de $1$ à $99$ avec un pas de $2$, il y en a $\frac{99-1}{2}+1=50$. D'où $S_2=50\times\frac{1+99}{2}=50\times 50=2500$. Le $+1$ dans le décompte est la source d'erreur numéro un de ce chapitre.

Somme géométrique de raison $\frac{1}{2}$, de premier terme $1$. Elle va du rang $0$ au rang $10$, donc elle compte $11$ termes : $S_3=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{11}}{1-\frac{1}{2}}=2\left(1-\frac{1}{2048}\right)=2-\frac{1}{1024}=\frac{2047}{1024}\approx 1{,}999$.

La somme se rapproche de $2$ sans jamais l'atteindre. L'écart au but est exactement $\frac{1}{2^{n}}$ pour une somme allant jusqu'au rang $n$, et il peut être rendu aussi petit que l'on veut en prenant $n$ assez grand. Image classique : on parcourt la moitié du chemin restant à chaque étape, on s'approche indéfiniment de l'arrivée sans jamais la franchir. En Terminale, on écrira que la somme tend vers $2$.

$S_2=2500=50^2$, et le nombre de termes est justement $50$. Ce n'est pas un hasard : la somme des $n$ premiers entiers impairs vaut toujours $n^2$. On le voit sur la formule, $n\times\frac{1+(2n-1)}{2}=n\times n$, et on le voit géométriquement en construisant un carré de côté $n$ par couches successives en forme de L, qui contiennent $1$, $3$, $5$, ... petits carrés. Vérification sur les premiers cas : $1=1^2$, $1+3=4=2^2$, $1+3+5=9=3^2$ ✓. La figure du corrigé montre ces couches en L pour $n=7$.

Augmenter une quantité de 3 % revient à la multiplier par $1+\frac{3}{100}=1{,}03$. Donc $C_{n+1}=C_n+0{,}03\,C_n=1{,}03\times C_n$ : le quotient de deux termes consécutifs est constant, la suite est géométrique de raison $q=1{,}03$. Insister sur l'écriture $C_{n+1}=1{,}03\,C_n$ plutôt que sur un simple ajout : c'est elle qui justifie le mot géométrique dans la rédaction attendue.

$C_n=C_0\times q^n=5000\times 1{,}03^n$.

$C_{10}=5000\times 1{,}03^{10}\approx 6719{,}58$ dollars. On a donc gagné environ $1719{,}58$ dollars d'intérêts, alors qu'un placement sans capitalisation aurait rapporté $10\times 150=1500$ dollars : les $219{,}58$ dollars d'écart sont exactement les intérêts produits par les intérêts.

Il n'y a pas de logarithme en Première, donc on encadre en calculant les termes successifs, ce qui est aussi ce que fera l'algorithme de l'exercice 8. On trouve $C_{15}=5000\times 1{,}03^{15}\approx 7789{,}84$, encore inférieur à $8000$, et $C_{16}=5000\times 1{,}03^{16}\approx 8023{,}53$, qui dépasse $8000$. Comme la suite est strictement croissante, l'encadrement suffit à conclure : il faut $16$ années. La justification par la croissance n'est pas une formalité, c'est elle qui garantit qu'aucun rang plus petit ne convient.

L'affirmation confond intérêts simples et intérêts composés. Le facteur réel sur dix ans est $1{,}03^{10}\approx 1{,}3439$, soit une augmentation d'environ $34{,}4$ %, et non $30$ %. La règle à retenir : les pourcentages d'évolution ne s'additionnent pas, leurs coefficients multiplicateurs se multiplient. L'écart, ici de $4{,}4$ points, grandit très vite avec la durée : sur $30$ ans, $1{,}03^{30}\approx 2{,}427$, soit $142{,}7$ % d'augmentation là où l'addition naïve annoncerait $90$ %.