Exercices corrigés : les suites numériques (Première spécialité)

a) On applique la relation à chaque étape, en réutilisant le terme qui vient d'être trouvé : $u_1=3\times 5-4=11$ ; $u_2=3\times 11-4=29$ ; $u_3=3\times 29-4=83$ ; $u_4=3\times 83-4=245$. Les termes triplent presque à chaque rang, ce qui annonce une croissance de type géométrique : c'est le $3$ qui domine et le $-4$ qui freine.

b) Ici, aucun terme n'a besoin du précédent, on remplace simplement $n$ par sa valeur : $v_0=1$ ; $v_1=1-3+1=-1$ ; $v_2=4-6+1=-1$ ; $v_3=9-9+1=1$ ; $v_4=16-12+1=5$. On note que $v_1=v_2$ : une suite peut prendre deux fois la même valeur, elle n'a aucune raison d'être injective. Ici c'est la symétrie du trinôme autour de $n=1{,}5$ qui l'explique.

c) Seule $(v_n)$ le permet. Elle est définie de façon EXPLICITE : $v_n$ s'obtient à partir de $n$ en une seule opération, quel que soit le rang. La suite $(u_n)$ est définie par RÉCURRENCE : chaque terme n'existe qu'à partir du précédent, donc obtenir $u_{100}$ demande de calculer les cent termes qui le précèdent, dans l'ordre. C'est exactement pour cela qu'on écrit un algorithme dans les exercices de seuil, et c'est aussi pour cela qu'on cherchera, à l'exercice 10, à transformer une définition par récurrence en formule explicite.

d) $v_{100}=100^2-3\times 100+1=10000-300+1=9701$. Le calcul est immédiat, et c'est précisément l'avantage de la forme explicite : le rang $100$ ne coûte pas plus cher que le rang $2$.

e) $u_0=2$, puis $u_1=3\times 2-4=2$, $u_2=3\times 2-4=2$, $u_3=2$ : la suite est constante. La raison est que $2$ vérifie l'équation $x=3x-4$, dont la solution est $x=2$ : une fois sur cette valeur, la relation renvoie sur elle-même. On appelle $2$ le point fixe de la relation de récurrence. Ce n'est pas une curiosité : le point fixe est exactement le nombre qu'on retranchera à l'exercice 10 pour fabriquer une suite auxiliaire géométrique.

a) Pour passer du rang $3$ au rang $8$, on ajoute la raison $8-3=5$ fois, et non $8$ fois : $u_8=u_3+5r$. Donc $22=7+5r$, soit $5r=15$ et $r=3$. L'erreur classique consiste à écrire $u_8=u_3+8r$, ce qui donnerait $r=1{,}875$ : un contrôle immédiat consiste à vérifier que la raison trouvée redonne bien les deux termes de l'énoncé.

b) $u_3=u_0+3r$ donne $7=u_0+9$, donc $u_0=-2$. L'expression explicite est $u_n=u_0+nr=-2+3n$. Vérification sur les deux données de départ : $u_3=-2+9=7$ ✓ et $u_8=-2+24=22$ ✓. Cette vérification coûte cinq secondes et elle attrape la quasi-totalité des erreurs de ce type de question.

c) $u_{20}=-2+3\times 20=-2+60=58$.

d) Attention au nombre de termes : de $u_0$ à $u_{20}$, il y en a $21$ et non $20$, puisqu'on compte aussi le rang $0$. La somme d'une suite arithmétique vaut le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier : $S=21\times\frac{u_0+u_{20}}{2}=21\times\frac{-2+58}{2}=21\times 28=588$. La justification de cette formule est celle de Gauss : en additionnant la somme à elle-même écrite à l'envers, chaque paire donne $u_0+u_{20}$.

e) On résout $-2+3n>100$, soit $3n>102$, donc $n>34$. Le premier entier qui convient est $n=35$. Vérification aux deux rangs voisins : $u_{34}=-2+102=100$, qui n'est pas strictement supérieur à $100$, et $u_{35}=103>100$ ✓. Le rang $34$ est un piège d'inégalité stricte : c'est le genre de détail qui coûte un point au contrôle.

a) $v_n=v_0\times q^n=3\times 2^n$, donc $v_{10}=3\times 2^{10}=3\times 1024=3072$. Le facteur $3$ ne s'élève pas à la puissance $n$ : seule la raison le fait. Écrire $(3\times 2)^n$ est l'erreur la plus fréquente, et elle donnerait $6^{10}$, soit environ $60$ millions.

b) La somme de $v_0$ à $v_9$ comporte $10$ termes : $S=v_0\times\frac{1-q^{10}}{1-q}=3\times\frac{1-1024}{1-2}=3\times\frac{-1023}{-1}=3\times 1023=3069$. Contrôle de plausibilité : la somme doit être un peu inférieure au double du dernier terme $v_9=1536$, et $3069<3072$ ✓.

c) De $w_1$ à $w_4$, on multiplie par $q$ trois fois : $w_4=w_1\times q^3$. Donc $q^3=\frac{1{,}5}{12}=0{,}125=\frac{1}{8}$, d'où $q=0{,}5$. On peut prendre la racine cubique sans discuter de signe, contrairement à une racine carrée : tout réel a exactement une racine cubique réelle. Si l'énoncé avait donné $w_3$ au lieu de $w_4$, on aurait eu $q^2$, et il aurait fallu envisager les deux signes.

d) $w_1=w_0\times q$ donne $12=0{,}5\,w_0$, donc $w_0=24$. Ainsi $w_n=24\times 0{,}5^n$. Vérification des deux données : $w_1=24\times 0{,}5=12$ ✓ et $w_4=24\times 0{,}0625=1{,}5$ ✓.

e) La somme des dix premiers termes vaut $3069$ et $v_{10}=3072$ : la somme de tout ce qui précède est presque égale au terme suivant, à $3$ près, c'est-à-dire à $v_0$ près. Ce n'est pas un hasard, c'est l'identité $1+2+4+\dots+2^9=2^{10}-1$ multipliée par $3$. Autrement dit, avec une raison $2$, chaque terme pèse à lui seul un peu plus que la totalité des précédents : c'est l'image concrète de ce que veut dire une croissance exponentielle, et c'est la même remarque qui explique l'écriture binaire des entiers.

a) $u_{n+1}-u_n=\left(3(n+1)-5\right)-(3n-5)=3n+3-5-3n+5=3>0$. L'écart est constant et positif, donc la suite est strictement croissante. C'est la définition même d'une suite arithmétique de raison $3$ : le signe de la raison donne directement le sens de variation, sans autre calcul.

b) La suite est géométrique de raison $0{,}8$ et de premier terme $5>0$, donc tous ses termes sont strictement positifs. On peut donc comparer le quotient à $1$ : $\frac{v_{n+1}}{v_n}=0{,}8<1$, donc chaque terme est plus petit que le précédent et la suite est strictement décroissante. Le passage par le quotient n'est légitime QUE parce que les termes sont positifs : diviser par un terme négatif renverserait l'inégalité, ce qui est le piège de la question d).

c) $w_{n+1}-w_n=(n+1)^2-6(n+1)-(n^2-6n)=n^2+2n+1-6n-6-n^2+6n=2n-5$. Cette quantité est négative pour $n\leq 2$ (elle vaut $-5$, $-3$, $-1$) et positive à partir de $n=3$ (elle vaut $1$, $3$, $5$). La suite décroît donc de $w_0=0$ jusqu'à $w_3=-9$, puis croît indéfiniment : elle n'est pas monotone. Retenir la formulation attendue : une suite qui change de sens en cours de route n'est ni croissante ni décroissante, mais on peut dire qu'elle est décroissante puis croissante.

d) $t_0=1$, $t_1=-2$, $t_2=4$, $t_3=-8$ : les termes changent de signe à chaque rang, donc ils montent et descendent alternativement. La suite n'est ni croissante ni décroissante. C'est le cas de TOUTE suite géométrique de raison strictement négative, et la valeur absolue de la raison n'y change rien : elle règle la vitesse d'éloignement, pas l'alternance.

e) Oui ici, mais c'est une coïncidence qui mérite d'être vue. La fonction $f$ atteint son minimum au sommet de la parabole, en $x=3$, où $f(3)=-9$. La suite, elle, n'existe qu'aux entiers : son plus petit terme est $w_3=-9$, qui tombe ici exactement sur le sommet parce que $3$ est entier. Avec $w_n=n^2-5n$, le sommet serait en $x=2{,}5$, qui n'est pas un rang : le minimum de la suite serait atteint DEUX fois, en $n=2$ et $n=3$, avec la même valeur $-6$. Une suite hérite du sens de variation de la fonction associée, mais pas nécessairement de la position exacte de son extremum.

a) Ce sont les cent premiers entiers, une suite arithmétique de raison $1$ : $S_1=100\times\frac{1+100}{2}=50\times 101=5050$. C'est le calcul attribué à Gauss enfant, et sa justification tient en une ligne : en écrivant la somme à l'endroit puis à l'envers et en additionnant terme à terme, on obtient $100$ paires valant chacune $101$, donc deux fois la somme.

b) Ce sont les entiers impairs, une suite arithmétique de raison $2$ allant de $1$ à $99$. Le nombre de termes n'est pas $99$ : de $1$ à $99$ avec un pas de $2$, il y en a $\frac{99-1}{2}+1=50$. D'où $S_2=50\times\frac{1+99}{2}=50\times 50=2500$. Le $+1$ dans le décompte est la source d'erreur numéro un de ce chapitre.

c) Somme géométrique de raison $\frac{1}{2}$, de premier terme $1$. Elle va du rang $0$ au rang $10$, donc elle compte $11$ termes : $S_3=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{11}}{1-\frac{1}{2}}=2\left(1-\frac{1}{2048}\right)=2-\frac{1}{1024}=\frac{2047}{1024}\approx 1{,}999$.

d) La somme se rapproche de $2$ sans jamais l'atteindre. L'écart au but est exactement $\frac{1}{2^{n}}$ pour une somme allant jusqu'au rang $n$, et il peut être rendu aussi petit que l'on veut en prenant $n$ assez grand. Image classique : on parcourt la moitié du chemin restant à chaque étape, on s'approche indéfiniment de l'arrivée sans jamais la franchir. En Terminale, on écrira que la somme tend vers $2$.

e) $S_2=2500=50^2$, et le nombre de termes est justement $50$. Ce n'est pas un hasard : la somme des $n$ premiers entiers impairs vaut toujours $n^2$. On le voit sur la formule, $n\times\frac{1+(2n-1)}{2}=n\times n$, et on le voit géométriquement en construisant un carré de côté $n$ par couches successives en forme de L, qui contiennent $1$, $3$, $5$, ... petits carrés. Vérification sur les premiers cas : $1=1^2$, $1+3=4=2^2$, $1+3+5=9=3^2$ ✓.

a) Augmenter une quantité de 3 % revient à la multiplier par $1+\frac{3}{100}=1{,}03$. Donc $C_{n+1}=C_n+0{,}03\,C_n=1{,}03\times C_n$ : le quotient de deux termes consécutifs est constant, la suite est géométrique de raison $q=1{,}03$. Insister sur l'écriture $C_{n+1}=1{,}03\,C_n$ plutôt que sur un simple ajout : c'est elle qui justifie le mot géométrique dans la rédaction attendue.

b) $C_n=C_0\times q^n=5000\times 1{,}03^n$.

c) $C_{10}=5000\times 1{,}03^{10}\approx 6719{,}58$ dollars. On a donc gagné environ $1719{,}58$ dollars d'intérêts, alors qu'un placement sans capitalisation aurait rapporté $10\times 150=1500$ dollars : les $219{,}58$ dollars d'écart sont exactement les intérêts produits par les intérêts.

d) Il n'y a pas de logarithme en Première, donc on encadre en calculant les termes successifs, ce qui est aussi ce que fera l'algorithme de l'exercice 8. On trouve $C_{15}=5000\times 1{,}03^{15}\approx 7789{,}84$, encore inférieur à $8000$, et $C_{16}=5000\times 1{,}03^{16}\approx 8023{,}53$, qui dépasse $8000$. Comme la suite est strictement croissante, l'encadrement suffit à conclure : il faut $16$ années. La justification par la croissance n'est pas une formalité, c'est elle qui garantit qu'aucun rang plus petit ne convient.

e) L'affirmation confond intérêts simples et intérêts composés. Le facteur réel sur dix ans est $1{,}03^{10}\approx 1{,}3439$, soit une augmentation d'environ $34{,}4$ %, et non $30$ %. La règle à retenir : les pourcentages d'évolution ne s'additionnent pas, leurs coefficients multiplicateurs se multiplient. L'écart, ici de $4{,}4$ points, grandit très vite avec la durée : sur $30$ ans, $1{,}03^{30}\approx 2{,}427$, soit $142{,}7$ % d'augmentation là où l'addition naïve annoncerait $90$ %.

a) L'offre A ajoute la même somme chaque année : $(A_n)$ est arithmétique de raison $900$, donc $A_n=30000+900n$. L'offre B multiplie par le même coefficient chaque année : $(B_n)$ est géométrique de raison $1{,}025$, donc $B_n=30000\times 1{,}025^n$. La première année, B ne rapporte que $30000\times 0{,}025=750$ dollars de plus, contre $900$ pour A : c'est pour cela que A prend l'avantage au début.

b) $A_5=30000+4500=34500$ et $B_5\approx 33942{,}25$ : l'offre A est meilleure, avec environ $558$ dollars d'écart. $A_{10}=39000$ et $B_{10}\approx 38402{,}54$ : A reste meilleure, mais l'écart s'est réduit à environ $597$ dollars après avoir culminé vers la huitième année. Le rattrapage est amorcé bien avant d'être visible dans le classement.

c) On compare année par année, la calculatrice suffisant à ce niveau : $A_{15}=43500$ et $B_{15}\approx 43448{,}94$, donc A est encore devant de $51$ dollars. $A_{16}=44400$ et $B_{16}\approx 44535{,}17$, donc B passe devant de $135$ dollars. La première année où l'offre B est plus avantageuse est la seizième. Rédaction attendue : donner les deux valeurs qui encadrent le changement, pas seulement celle qui convient.

d) L'offre A progresse d'une quantité constante, $900$ dollars, alors que l'offre B progresse de $2{,}5$ % du salaire courant, donc d'une quantité qui grandit avec le salaire lui-même. Or l'augmentation annuelle de B dépasse $900$ dollars dès que le salaire dépasse $36000$ dollars, ce qui finit par arriver. À partir de là, B gagne plus chaque année que A, et l'écart accumulé se comble puis se creuse en sens inverse. Une croissance géométrique de raison strictement supérieure à $1$ finit toujours par dépasser une croissance arithmétique, quel que soit l'avantage de départ.

e) Le total de A sur les années $0$ à $15$ vaut $16\times\frac{30000+43500}{2}=588000$ dollars. Celui de B vaut $30000\times\frac{1-1{,}025^{16}}{1-1{,}025}\approx 581406{,}74$ dollars. L'offre A a donc rapporté environ $6593$ dollars de plus au total, alors même que B propose un meilleur salaire à partir de la seizième année. Il n'y a aucune contradiction : la question c) compare des salaires annuels à un instant donné, celle-ci compare des cumuls. C'est exactement l'arbitrage réel entre un poste qui paie mieux tout de suite et un poste dont la progression est plus rapide, et la réponse dépend de la durée pendant laquelle on reste.

a) La variable C stocke le capital, initialisée à la valeur de départ $5000$, et n compte les années écoulées, initialisée à $0$. La boucle while teste sa condition AVANT chaque tour : tant que le capital reste strictement inférieur à $8000$, on le multiplie par $1{,}03$, ce qui simule une année de plus, et on augmente le compteur de $1$. Les deux instructions vont toujours ensemble : c'est ce qui garantit que n compte exactement le nombre de multiplications effectuées. Dès que le capital atteint ou dépasse $8000$, la condition devient fausse, la boucle s'arrête et la fonction renvoie n.

b) L'appel renvoie $16$, ce qui confirme par une autre voie le résultat trouvé à la main à l'exercice 6. C'est l'intérêt de l'algorithme : il fait le même encadrement, mais sans risque d'erreur de recopie.

c) Il suffit d'ajouter un paramètre et de l'utiliser dans la condition, comme ci-dessous. Le reste du corps ne change pas, ce qui est le signe d'une bonne paramétrisation. On peut alors interroger la fonction pour n'importe quel objectif, par exemple seuil(10000) qui renvoie $24$.

d) La condition $C>8000$ est fausse dès le départ, puisque $5000>8000$ est faux. La boucle n'est donc exécutée aucune fois et la fonction renvoie immédiatement $0$. Le point à retenir : il n'y a pas de plantage ni de boucle infinie, juste un résultat faux et silencieux, ce qui est le plus difficile à repérer. Un test rapide contre une valeur connue, ici $16$, est la seule protection efficace.

e) Avec la raison $1{,}03$, le capital croît sans borne, donc tout objectif finit par être atteint et la fonction s'arrête toujours : aucun objectif ne la bloque. En revanche, si la raison valait $0{,}97$, le capital décroîtrait à chaque tour et n'atteindrait jamais un objectif supérieur à $5000$ : la condition resterait vraie indéfiniment et le programme tournerait sans fin. C'est la question qu'il faut se poser devant toute boucle while : qu'est-ce qui garantit que la condition finira par devenir fausse ?

def seuil(objectif):
    C = 5000
    n = 0
    while C < objectif:
        C = C * 1.03
        n = n + 1
    return n

# seuil(8000) renvoie 16
# seuil(10000) renvoie 24

a) Faux. On calcule trois termes : $u_0=1+1=2$, $u_1=2+3=5$, $u_2=4+9=13$. Les quotients successifs valent $\frac{5}{2}=2{,}5$ et $\frac{13}{5}=2{,}6$ : ils diffèrent, donc la suite n'est pas géométrique, et le contre-exemple suffit à conclure. La règle générale : la somme de deux suites géométriques de raisons DIFFÉRENTES n'est pas géométrique, car le terme de plus grande raison finit par dominer et le quotient se rapproche de $3$ sans jamais être constant. En revanche, la somme de deux suites arithmétiques est toujours arithmétique, et c'est cette dissymétrie qui trompe.

b) Insuffisant. Vérifier une propriété sur trois écarts ne la démontre pas pour tous les rangs : il faut établir $u_{n+1}-u_n=5$ pour un $n$ quelconque, à partir de l'expression de la suite. Que ce ne soit pas une chicane de rédaction se voit sur un contre-exemple explicite : la suite $u_n=5n+n(n-1)(n-2)(n-3)$ a bien $u_1-u_0=5$, $u_2-u_1=5$ et $u_3-u_2=5$, mais $u_4-u_3=29$. Le terme ajouté s'annule aux quatre premiers rangs et se réveille ensuite, exactement ce que trois vérifications ne peuvent pas détecter.

c) Faux, et c'est la confusion centrale du chapitre. Pour $u_n=3n$, le rang multiplie : $u_4=12$. Pour $u_n=3^n$, le rang est en exposant : $u_4=81$. La première suite est arithmétique de raison $3$, elle avance de $3$ à chaque pas ; la seconde est géométrique de raison $3$, elle triple à chaque pas. Au rang $10$, l'écart est déjà de $30$ contre $59049$.

d) Faux. On calcule les premiers termes : $2$, $-6$, $18$, $-54$. Ils alternent de signe, donc la suite n'est ni croissante ni décroissante. L'erreur consiste à raisonner sur $|q|$ : la valeur absolue de la raison contrôle la vitesse d'éloignement de zéro, mais c'est le SIGNE de la raison qui décide de la monotonie. Une suite géométrique n'est monotone que si sa raison est strictement positive, et il faut alors encore tenir compte du signe du premier terme.

a) $u_1=0{,}8\times 500+300=400+300=700$ et $u_2=0{,}8\times 700+300=560+300=860$. Les quotients valent $\frac{700}{500}=1{,}4$ et $\frac{860}{700}\approx 1{,}23$ : ils ne sont pas égaux, donc $(u_n)$ n'est pas géométrique. Elle n'est pas non plus arithmétique, puisque les écarts $200$ et $160$ diffèrent. Elle n'entre dans aucun des deux modèles du cours, et c'est précisément pourquoi on lui associe une suite auxiliaire.

b) On part de la définition de $v_{n+1}$ et on remplace $u_{n+1}$ par son expression : $v_{n+1}=u_{n+1}-1500=0{,}8u_n+300-1500=0{,}8u_n-1200$. On met alors $0{,}8$ en facteur, en remarquant que $\frac{1200}{0{,}8}=1500$ : $v_{n+1}=0{,}8(u_n-1500)=0{,}8v_n$. La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $0{,}8$, de premier terme $v_0=u_0-1500=500-1500=-1000$. Le point technique à ne pas rater est cette factorisation : c'est elle qui fait apparaître $v_n$, et elle ne fonctionne que parce que $1500$ a été bien choisi.

c) Comme $(v_n)$ est géométrique : $v_n=v_0\times 0{,}8^n=-1000\times 0{,}8^n$. On revient ensuite à $u_n$ par $u_n=v_n+1500$, soit $u_n=1500-1000\times 0{,}8^n$. On a donc transformé une définition par récurrence en formule explicite, ce qui permet maintenant de calculer $u_{100}$ directement, sans les cent termes précédents.

d) $u_1=1500-1000\times 0{,}8=1500-800=700$ ✓ et $u_2=1500-1000\times 0{,}64=1500-640=860$ ✓. Les deux valeurs coïncident avec celles de la question a), ce qui valide la formule. Cette vérification sur deux rangs est le contrôle standard après toute mise en forme explicite.

e) Comme $0<0{,}8<1$, la quantité $0{,}8^n$ devient aussi proche de $0$ que l'on veut lorsque $n$ grandit : $0{,}8^{10}\approx 0{,}107$, $0{,}8^{50}\approx 1{,}4\times 10^{-5}$. Donc $u_n=1500-1000\times 0{,}8^n$ se rapproche de $1500$. La population se stabilise autour de $1500$ poissons, en croissant sans jamais atteindre cette valeur, puisque le terme retranché reste strictement positif. Interprétation du modèle : chaque année, $20$ % de la population disparaît et $300$ individus sont réintroduits ; l'équilibre est atteint quand ces deux effets se compensent.