Spécialité maths, Première • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : les suites numériques (Première spécialité)

Q: Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique ?

On calcule la différence de deux termes consécutifs et leur quotient, avec un rang quelconque et non trois valeurs particulières. Si la différence est constante la suite est arithmétique, si le quotient est constant elle est géométrique. Une écriture affine en n annonce une arithmétique, un n placé en exposant annonce une géométrique.

Q: Combien y a-t-il de termes dans une somme de suite ?

Le nombre de termes vaut le dernier indice moins le premier, plus un. De rang zéro à rang dix il y a onze termes, et non dix. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle se contrôle sur un petit exemple : de rang zéro à rang deux il y a bien trois termes.

Q: Quelle est la raison d'une suite quand le taux est de cinq pour cent ?

La raison vaut un virgule zéro cinq, pas zéro virgule zéro cinq. Une hausse de t pour cent multiplie par un plus t divisé par cent, une baisse multiplie par un moins t divisé par cent. Le repère qui ne trompe pas : une raison issue d'un pourcentage annuel est toujours proche de un.

Q: Une suite géométrique de raison négative est-elle croissante ou décroissante ?

Ni l'une ni l'autre. Ses termes changent de signe à chaque rang, donc elle n'est monotone sur aucun intervalle et la question du sens de variation n'a pas de réponse. La règle qui compare la raison à un ne vaut que pour des suites à termes strictement positifs, donc pour une raison positive.

Q: Comment trouver à partir de quelle année une suite dépasse un seuil ?

Deux méthodes acceptées. Soit un tableau de valeurs à la calculatrice, dont on relève le premier rang qui franchit le seuil. Soit un algorithme avec une boucle qui répète la relation tant que le seuil n'est pas atteint, en comptant les tours et en renvoyant le compteur. Dans les deux cas, on écrit sur la copie la valeur du rang trouvé ET celle du rang précédent.

Q: Comment démontrer qu'une suite auxiliaire est géométrique ?

On part de la suite auxiliaire au rang n plus un, on remplace le terme de la suite initiale par sa relation de récurrence, puis on factorise jusqu'à faire réapparaître la suite auxiliaire au rang n. On conclut en donnant la raison et le premier terme, les deux étant exigés pour écrire ensuite la forme explicite.

Les suites ne sont pas un chapitre difficile, c'est un chapitre où l'on perd des points par mécanique : un indice décalé d'une unité, un terme oublié dans une somme, une raison confondue avec un taux d'évolution. Chacune de ces erreurs coûte une question entière, et aucune ne vient d'une incompréhension du cours.

Cette fiche ne redit pas les formules du polycopié. Elle montre les huit endroits où les copies se trompent, la phrase exacte à recopier pour chacun, l'arbre qui reconnaît la nature d'une suite sur sa FORME, et un problème de comparaison de salaires décortiqué étape par étape.

Le fil du chapitre

Une seule question commande tout le chapitre, et on se la pose trop tard : la suite est-elle arithmétique ou géométrique ? Elle se tranche sur la DIFFÉRENCE ou le QUOTIENT de deux termes consécutifs, jamais sur l'allure des premiers termes, et le reste du chapitre n'est que la formule correspondante appliquée au bon rang.

Ce chapitre fait partie de Spécialité mathématiques en Première

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (9 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Généralités sur les fonctionsSeconde
2Algorithmique et PythonSeconde
3Le calcul littéralCinquième
4Algorithmique et ScratchCinquième
5Multiplication et division de relatifsQuatrième
6Calcul littéral et équationsQuatrième
7Algorithmique et ScratchQuatrième
8La notion de fonctionTroisième
9Algorithmique et ScratchTroisième

Notions couvertes

Suite arithmétique
Suite géométrique
Raison d'une suite
Terme général explicite
Relation de récurrence
Sens de variation d'une suite
Somme de termes consécutifs
Taux d'évolution
Algorithme de seuil
Suite auxiliaire

L'essentiel

Arithmétique ou géométrique : deux tests, une seule réponse

• Arithmétique : $u_{n+1}-u_{n}=r$ , la même DIFFÉRENCE à chaque rang. Le terme général est $u_{n}=u_{0}+nr$ .
• Géométrique : $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=q$ , le même QUOTIENT à chaque rang. Le terme général est $u_{n}=u_{0}\times q^{n}$ .
• On reconnaît une arithmétique à son écriture affine en $n$ , et une géométrique à son $n$ en EXPOSANT : $u_{n}=3n+2$ est arithmétique de raison $3$ , $u_{n}=2\times 3^{n}$ est géométrique de raison $3$ , pas $2$ .
• Une suite peut n'être ni l'une ni l'autre, et c'est le cas le plus fréquent au contrôle : $u_{n}=n^{2}$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.

Même premier terme : les points pleins restent sur la droite en pointillés, c'est l'arithmétique; les cercles s'en écartent de plus en plus, c'est la géométrique.

Calculer $u_{1}-u_{0}$ et $u_{2}-u_{1}$ ne DÉMONTRE rien : c'est une conjecture. La démonstration se fait sur $u_{n+1}-u_{n}$ ou $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ , avec $n$ quelconque.

Les formules explicites, et le rang de départ

• À partir de $u_{0}$ : $u_{n}=u_{0}+nr$ et $u_{n}=u_{0}\times q^{n}$ .
• À partir de $u_{1}$ : $u_{n}=u_{1}+(n-1)r$ et $u_{n}=u_{1}\times q^{n-1}$ . Le $-1$ n'est pas une variante, c'est le nombre de pas réellement effectués.
• Cas général, le plus sûr : $u_{n}=u_{p}+(n-p)r$ et $u_{n}=u_{p}\times q^{n-p}$ . On l'écrit avec $p$ et on remplace, plutôt que de retenir deux formules.
• Le repère qui ne trompe pas : de $u_{p}$ à $u_{n}$ il y a $n-p$ pas, donc $n-p$ additions de $r$ ou $n-p$ multiplications par $q$ .

Un énoncé qui commence par « on note $u_{1}$ le montant de la première année » impose $u_{1}$ comme premier terme. Recopier machinalement $u_{0}+nr$ décale toute la copie d'un an.

Les deux sommes, et le nombre de termes

• Arithmétique : $u_{p}+\dots+u_{n}=\left(\text{nombre de termes}\right)\times\frac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}$ .
• Géométrique de raison $q\neq 1$ : $u_{0}+u_{1}+\dots+u_{n}=u_{0}\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ .
• Nombre de termes de $u_{p}$ à $u_{n}$ : c'est $n-p+1$ , et non $n-p$ . De $u_{0}$ à $u_{10}$ il y a ONZE termes.
• Le $n+1$ en exposant dans la somme géométrique n'est pas une coquille : c'est le nombre de termes, et il vaut toujours un de plus que le dernier indice quand on part de $u_{0}$ .

Contrôle en trois secondes : la somme de termes tous compris entre $10$ et $20$ , au nombre de $11$ , est comprise entre $110$ et $220$ . Un résultat hors de cet encadrement est faux.

Sens de variation : le signe d'une différence

• Méthode universelle : étudier le signe de $u_{n+1}-u_{n}$ . Positif pour tout $n$ : croissante. Négatif pour tout $n$ : décroissante.
• Arithmétique : le sens est celui de $r$ , et c'est immédiat.
• Géométrique à termes strictement POSITIFS : croissante si $q>1$ , décroissante si $0<q<1$ , constante si $q=1$ .
• Géométrique de raison $q<0$ : la suite n'est NI croissante NI décroissante, ses termes changent de signe à chaque rang. La question du sens de variation n'a alors pas de réponse.

La comparaison de $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ à $1$ n'est valable que si tous les termes sont strictement positifs. Diviser par un terme négatif retourne l'inégalité et fausse la conclusion.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Suite arithmétique : tout se lit sur un seul exemple, $u_{0}=5$ et $r=3$

La colonne de droite n'est pas une formule de plus, c'est le nombre que la formule produit sur cet exemple. Une formule mal recopiée se voit immédiatement sur ce nombre.

Ce qu'on cherche	La formule	Sur l'exemple
La reconnaître	$u_{n+1}-u_{n}$ constant	$8-5=3$ , puis $11-8=3$
Exemple : On teste la DIFFÉRENCE sur au moins deux couples consécutifs. Un seul couple ne prouve rien : $5$ , $8$ , $16$ commence pareil et n'est pas arithmétique.
Le terme général	$u_{n}=u_{0}+nr$	$u_{n}=5+3n$ , donc $u_{10}=35$
Exemple : Le rang de départ décide de la formule : avec un premier terme $u_{1}$ , ce serait $u_{n}=u_{1}+(n-1)r$ , soit $u_{10}=5+27=32$ , une réponse différente.
Passer d'un rang à un autre	$u_{n}=u_{p}+(n-p)r$	$u_{10}=u_{4}+6\times 3=17+18=35$
Exemple : On ne repart pas de $u_{0}$ quand l'énoncé donne $u_{4}=17$ : cette formule évite un calcul et une erreur.
La somme	$\frac{\text{nombre de termes}\times(\text{premier}+\text{dernier})}{2}$	$\frac{11\times(5+35)}{2}=220$
Exemple : De $u_{0}$ à $u_{10}$ il y a ONZE termes, pas dix. C'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre.
Le sens de variation	le signe de $r$	$r=3>0$ , donc croissante
Exemple : Ici la suite monte de $3$ à chaque rang. Aucune dérivée, aucune étude de fonction : pour une suite arithmétique, le signe de la raison suffit et se rédige en une ligne.
La limite	$\pm\infty$ selon le signe de $r$	$+\infty$ puisque $r>0$
Exemple : Une suite arithmétique de raison non nulle ne converge jamais : elle avance de $3$ à chaque rang, indéfiniment.

Ces six lignes se recopient à l'identique avec $u_{1}$ comme premier terme, à condition de remplacer $n$ par $n-1$ PARTOUT, y compris dans le nombre de termes de la somme.

Suite géométrique : le même travail sur $u_{0}=5$ et $q=2$

Même exemple filé, même lecture. La différence tient à une seule chose : on multiplie au lieu d'additionner, et cela change la limite du tout au tout.

Ce qu'on cherche	La formule	Sur l'exemple
La reconnaître	$\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ constant	$\frac{10}{5}=2$ , puis $\frac{20}{10}=2$
Exemple : On teste le QUOTIENT, pas la différence. Une suite dont les différences $5$ , $10$ , $20$ augmentent n'est pas arithmétique pour autant, elle est géométrique.
Le terme général	$u_{n}=u_{0}\times q^{n}$	$u_{n}=5\times 2^{n}$ , donc $u_{10}=5120$
Exemple : L'exposant est le RANG, pas le rang moins un, tant que le premier terme est $u_{0}$ .
La somme	$\text{premier}\times\frac{1-q^{\text{nb de termes}}}{1-q}$	$5\times\frac{1-2^{11}}{1-2}=10\,235$
Exemple : Onze termes, donc l'exposant $11$ et non $10$ . Le contrôle est immédiat : la somme doit dépasser le dernier terme, $5120$ , et c'est le cas.
Le sens de variation	le signe de $u_{0}$ et la place de $q$	$q=2>1$ et $u_{0}>0$ , donc croissante
Exemple : Avec $q=0{,}5$ la même suite décroîtrait, et avec $q<0$ elle changerait de signe à chaque rang, sans être monotone du tout.
La limite	$0$ si $\left\|q\right\|<1$ , $\pm\infty$ si $\left\|q\right\|>1$	$+\infty$ puisque $q=2$
Exemple : Avec $q=0{,}5$ , la limite serait $0$ : $u_{10}=5\times 0{,}5^{10}\approx 0{,}00488$ . C'est le seul cas de convergence d'une suite géométrique non constante.

Le test qui tranche entre les deux natures se fait TOUJOURS sur deux couples de termes consécutifs, différence puis quotient. Une suite peut n'être ni l'une ni l'autre, et l'énoncé attend alors qu'on le dise.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Écrire $u_{0}+nr$ alors que l'énoncé part de $u_{1}$

1 point, et tous les résultats numériques de l'exercice sont décalés d'un an

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le premier versement est $u_{1}=500$ et augmente de $30$ par an, donc $u_{n}=500+30n$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $u_{n}=u_{1}+(n-1)r=500+30(n-1)$ , car de $u_{1}$ à $u_{n}$ il y a $n-1$ augmentations. »

Pourquoi : Le nombre de pas est la différence des indices, pas l'indice d'arrivée. Le contrôle qui ne rate jamais : remplacer $n$ par $1$ dans la formule trouvée, on doit retomber sur le premier terme donné.

2. Compter un terme de moins dans une somme

1 point, et l'erreur relative dépasse souvent cinq pour cent, donc la conclusion du problème change

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La somme de $u_{0}$ à $u_{20}$ vaut $20\times\frac{u_{0}+u_{20}}{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« De $u_{0}$ à $u_{20}$ il y a $21$ termes, donc la somme vaut $21\times\frac{u_{0}+u_{20}}{2}$ . »

Pourquoi : Le nombre de termes de $u_{p}$ à $u_{n}$ vaut $n-p+1$ . C'est le même comptage que les jours entre deux dates : du 1er au 5, il y a cinq jours, pas quatre.

3. Affirmer la nature d'une suite sur ses trois premiers termes

1,5 point : la nature est peut-être juste, la démonstration ne vaut rien

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $u_{0}=1$ , $u_{1}=3$ , $u_{2}=5$ : la suite est arithmétique de raison $2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Pour tout entier $n$ , $u_{n+1}-u_{n}=\dots=2$ , donc $(u_{n})$ est arithmétique de raison $2$ . » Les trois premiers termes servent à CONJECTURER, jamais à démontrer.

Pourquoi : La suite $u_{n}=n^{2}-2n+1$ donne $1$ , $0$ , $1$ , $4$ : trois termes ne disent rien du quatrième. Une nature de suite est une propriété valable à TOUS les rangs, donc elle se démontre avec un $n$ quelconque.

4. Confondre le taux d'évolution et la raison

toute la question : avec $q=0{,}05$ la population disparaît au lieu de croître

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La population augmente de $5\,\%$ par an, donc la suite est géométrique de raison $0{,}05$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Une hausse de $5\,\%$ multiplie par $1+\frac{5}{100}=1{,}05$ : la suite est géométrique de raison $q=1{,}05$ . »

Pourquoi : La raison est le coefficient MULTIPLICATEUR, le taux est ce qui s'ajoute. Une baisse de $20\,\%$ donne $q=0{,}80$ , et deux baisses de $20\,\%$ donnent $0{,}64$ , pas $0{,}60$ : les pourcentages ne s'additionnent pas.

5. Déclarer décroissante une géométrique de raison négative

1 point, et le tableau de variations demandé ensuite est impossible à remplir

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La raison vaut $-0{,}8$ , et $-0{,}8<1$ , donc la suite est décroissante. »

Ce qu'il faut écrire

« La raison est négative, donc les termes changent de signe à chaque rang : la suite n'est ni croissante ni décroissante. En revanche $\left|u_{n}\right|$ décroît vers $0$ . »

Mêmes valeurs absolues, deux comportements sans rapport : en points pleins la raison

0{,}8

fait descendre régulièrement, en cercles la raison

-0{,}8

fait alterner les signes.

Pourquoi : La règle « croissante si $q>1$ , décroissante si $0<q<1$ » ne vaut que pour des termes strictement positifs, c'est-à-dire pour $q>0$ . Une raison négative sort complètement du cadre de la monotonie.

6. Comparer $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ à $1$ sans vérifier le signe des termes

1 point de rigueur, et la conclusion est fausse dès que les termes sont négatifs

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=0{,}9<1$ , donc la suite est décroissante. »

Ce qu'il faut écrire

« Tous les termes sont strictement positifs, et $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=0{,}9<1$ , donc la suite est décroissante. » La phrase sur le signe est une hypothèse, pas une politesse.

Pourquoi : Avec $u_{n}=-2\times 0{,}9^{n}$ , le quotient vaut aussi $0{,}9$ , et pourtant la suite CROÎT vers $0$ . Multiplier une inégalité par un nombre négatif en retourne le sens, et c'est exactement ce que fait la division par $u_{n}$ .

7. Renvoyer la valeur atteinte au lieu du rang, dans un algorithme de seuil

1 point sur 2, et la réponse au problème n'est pas donnée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $u\leftarrow 5000$ ; tant que $u<8000$ , faire $u\leftarrow 1{,}04\,u$ ; renvoyer $u$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $u\leftarrow 5000$ ; $n\leftarrow 0$ ; tant que $u<8000$ , faire $u\leftarrow 1{,}04\,u$ puis $n\leftarrow n+1$ ; renvoyer $n$ . »

Le rang

11

est encore sous la barre, le rang

12

la franchit : c'est

12

que l'algorithme doit renvoyer, et non la valeur

8005

atteinte à ce rang.

Pourquoi : Une question de seuil demande une DATE, donc un rang. Le compteur s'incrémente juste après la mise à jour de $u$ , de sorte que le rang renvoyé soit celui du premier dépassement et non celui d'avant.

8. Oublier le premier terme dans la somme géométrique

toute la question : le résultat est divisé par le premier terme

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La somme des dix premiers termes vaut $\frac{1-1{,}05^{10}}{1-1{,}05}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La somme des dix premiers termes vaut $u_{0}\times\frac{1-1{,}05^{10}}{1-1{,}05}$ , soit $28000\times 12{,}578=352\,181$ dollars environ. »

Pourquoi : La formule $\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ somme les puissances de $q$ , c'est-à-dire une suite de premier terme $1$ . Il faut la multiplier par le vrai premier terme, et l'exposant est le NOMBRE de termes.

Quelle méthode choisir

Reconnaître la nature d'une suite sur sa forme

On regarde comment la suite est ÉCRITE, avant de calculer quoi que ce soit. Trois écritures possibles : explicite, par récurrence, ou par une phrase.

Si explicite affine en $n$ : $u_{n}=an+b$ → arithmétique de raison $a$ et de premier terme $b$

Exemple : $u_{n}=3n+2$ est arithmétique de raison $3$ , avec $u_{0}=2$
Si explicite avec $n$ en EXPOSANT : $u_{n}=k\times a^{n}$ → géométrique de raison $a$ et de premier terme $k$

Exemple : $u_{n}=2\times 3^{n}$ est géométrique de raison $3$ , pas $2$

La raison est la base de la puissance. Le facteur devant est le premier terme, il n'intervient jamais dans la nature.
Si récurrence $u_{n+1}=u_{n}+c$ avec $c$ constant → arithmétique de raison $c$
Si récurrence $u_{n+1}=k\,u_{n}$ avec $k$ constant → géométrique de raison $k$
Si récurrence $u_{n+1}=a\,u_{n}+b$ avec $a\neq 1$ et $b\neq 0$ → ni l'une ni l'autre; l'énoncé fournit alors une suite auxiliaire $v_{n}=u_{n}-\ell$ qui, elle, est géométrique

Exemple : $u_{n+1}=0{,}8u_{n}+60$ avec $v_{n}=u_{n}-300$ donne $v_{n+1}=0{,}8v_{n}$

Le nombre $\ell$ à retrancher est toujours donné par l'énoncé en Première. On ne le cherche pas, on le vérifie.
Si une phrase : « augmente de $r$ chaque année » ou « augmente de $t\,\%$ chaque année » → arithmétique de raison $r$ dans le premier cas, géométrique de raison $1+\frac{t}{100}$ dans le second

Exemple : « $+5\,\%$ par an » donne $q=1{,}05$ ; « $+50$ euros par an » donne $r=50$

Aucune branche ne s'applique ? La suite n'est ni arithmétique ni géométrique, et c'est une réponse recevable : on l'écrit, avec un contre-exemple chiffré à l'appui. Une suite comme $u_{n}=n^{2}$ vaut $0$ , $1$ , $4$ , $9$ , de différences $1$ , $3$ , $5$ .

Quelle formule selon la question posée

Une fois la nature établie, la question désigne exactement une formule. Il n'y en a que cinq dans tout le chapitre.

Si « calculer $u_{20}$ », « quelle sera la valeur en 2040 » → formule explicite, après avoir vérifié le rang de départ

Exemple : $u_{1}=500$ et $r=30$ donnent $u_{20}=500+30\times 19=1070$
Si « total », « cumul », « somme des versements » → formule de somme, en comptant d'abord le NOMBRE de termes

Exemple : de $u_{0}$ à $u_{9}$ il y a $10$ termes, donc $S=10\times\frac{u_{0}+u_{9}}{2}$
Si « à partir de quelle année », « le plus petit entier $n$ tel que » → algorithme de seuil, ou tableau de valeurs à la calculatrice, avec les deux rangs voisins écrits sur la copie

Exemple : $5000\times 1{,}04^{n}\ge 8000$ est vrai à partir de $n=12$ , faux en $n=11$
Si « comparer deux offres », « à partir de quand A dépasse-t-elle B » → exprimer les deux suites, puis comparer terme à terme dans un tableau de valeurs

Exemple : $30000+1200n$ contre $28000\times 1{,}05^{n}$ : la seconde passe devant au rang $6$

Une géométrique de raison supérieure à $1$ finit TOUJOURS par dépasser une arithmétique croissante, quel que soit son retard initial.
Si « étudier le sens de variation » → signe de $u_{n+1}-u_{n}$ , et pour une géométrique, signe de la raison AVANT sa comparaison à $1$

Le mot « conjecturer » n'appelle aucune formule : il demande la calculatrice et une phrase au conditionnel. C'est la question suivante qui demandera la démonstration.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Démontrer qu'une suite est géométrique

Quand l'utiliser : L'énoncé pose une suite auxiliaire $v_{n}$ et demande de montrer qu'elle est géométrique. C'est la question la mieux barémée du chapitre et la plus mal rédigée.

1 Partir de $v_{n+1}$ , jamais de $v_{n}$ . « $v_{n+1}=u_{n+1}-300$ . »
2 Remplacer $u_{n+1}$ par la relation de récurrence donnée. « $v_{n+1}=0{,}8u_{n}+60-300=0{,}8u_{n}-240$ . »
3 Factoriser pour faire apparaître $v_{n}$ tout entier. « $v_{n+1}=0{,}8\left(u_{n}-300\right)=0{,}8\,v_{n}$ . »
4 Conclure avec la raison ET le premier terme : les deux sont exigés, et le premier terme se calcule à part.
5 Écrire la forme explicite de $v_{n}$ , puis revenir à $u_{n}$ par $u_{n}=v_{n}+300$ .

Phrase de conclusion

Pour tout entier $n$ , $v_{n+1}=0{,}8\,v_{n}$ : la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $0{,}8$ et de premier terme $v_{0}=u_{0}-300$ .

Le piège : Conclure « donc $(v_{n})$ est géométrique » sans donner le premier terme. La forme explicite $v_{n}=v_{0}\times q^{n}$ en a besoin, et le demi-point part avec lui.

Barème : En général 0,5 point pour le départ sur $v_{n+1}$ , 1 point pour la factorisation, 0,5 point pour la raison et le premier terme énoncés ensemble.

Répondre à une question de seuil

Quand l'utiliser : L'énoncé demande « à partir de quelle année », « au bout de combien de temps », ou « le plus petit entier $n$ tel que ».

1 Traduire la question en inéquation portant sur $u_{n}$ , avec le bon sens et la bonne borne. « On cherche le plus petit entier $n$ tel que $u_{n}\ge 8000$ . »
2 Choisir l'outil : tableau de valeurs à la calculatrice, ou algorithme, ou inéquation résolue si le programme le permet. Les trois sont acceptés.
3 Donner le rang trouvé, puis ÉCRIRE les deux valeurs voisines : celle du rang trouvé et celle du rang précédent.
4 Traduire le rang dans le langage de l'énoncé : une année, un nombre de mois, une date, avec l'unité.

Phrase de conclusion

On a $u_{11}\approx 7697<8000$ et $u_{12}\approx 8005\ge 8000$ : le plus petit entier cherché est $n=12$ , c'est-à-dire au cours de la douzième année.

Le piège : Donner le rang sans les deux valeurs voisines. Le mot « plus petit » de l'énoncé exige la preuve que le rang précédent ne convient pas, et cette preuve vaut la moitié des points.

Barème : 1 point pour la mise en inéquation, 1 point pour le rang, 1 point pour les deux valeurs encadrantes et la phrase de conclusion datée.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Remplacer $n$ par le rang de départ dans la formule trouvée

La formule explicite doit redonner exactement le premier terme donné par l'énoncé. Un seul calcul, aucune réflexion, et cela attrape tous les décalages d'indice.

$u_{n}=500+30n$ avec $u_{1}=500$ annoncé : la formule donne $u_{1}=530$ , donc elle est fausse. La bonne est $500+30(n-1)$ .
Encadrer une somme par ses termes extrêmes

Une somme de $N$ termes tous compris entre $m$ et $M$ vaut entre $Nm$ et $NM$ . Deux multiplications qui valident l'ordre de grandeur sans refaire le calcul.

Onze termes compris entre $3$ et $43$ : la somme est entre $33$ et $473$ . Un résultat de $1200$ signale un nombre de termes doublé.
Faire afficher la suite par la calculatrice

Sur TI, menu SUITE : entrer $u(n+1)$ ou la formule explicite, régler $n$ du premier rang, puis lire la TABLE. Sur Casio, le menu RECUR fait la même chose. Les dix premiers termes en trente secondes.

Une table qui affiche $520$ en deuxième position alors que la copie a calculé $500$ dit que le rang de départ n'est pas le bon.
Vérifier un rang de seuil par ses deux voisins

Le rang $n$ trouvé doit vérifier la condition, et $n-1$ doit NE PAS la vérifier. Deux calculs à la calculatrice, et le mot « plus petit » est démontré.

$5000\times 1{,}04^{12}\approx 8005\ge 8000$ et $5000\times 1{,}04^{11}\approx 7697<8000$ : le rang $12$ est bien le premier.
Contrôler qu'une raison en pourcentage est proche de $1$

Un taux d'évolution annuel donne toujours une raison voisine de $1$ : $1{,}05$ pour une hausse de cinq pour cent, $0{,}97$ pour une baisse de trois. Une raison de $0{,}05$ ou de $5$ signale une confusion entre taux et coefficient.

Une population de $10\,000$ habitants qui tombe à $500$ en un an avec « une baisse de cinq pour cent » : la raison utilisée était $0{,}05$ au lieu de $0{,}95$ .

L'exercice type décortiqué

Comparer deux offres de salaire, comme au contrôle

Deux entreprises proposent un poste. L'offre A verse $30\,000$ dollars la première année, puis augmente de $1\,200$ dollars par an. L'offre B verse $28\,000$ dollars la première année, puis augmente de $5\,\%$ par an. On note $a_{n}$ et $b_{n}$ les salaires de l'année de rang $n$ , avec $n=0$ pour la première année.

1. Donner la nature de chaque suite, puis $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$ . 2. À partir de quelle année l'offre B verse-t-elle davantage que l'offre A ? 3. Comparer les totaux perçus sur les dix premières années.

Étape 1

$(a_{n})$ est arithmétique de raison $1\,200$ et de premier terme $a_{0}=30\,000$ , donc $a_{n}=30\,000+1\,200n$ . $(b_{n})$ est géométrique de raison $q=1{,}05$ et de premier terme $b_{0}=28\,000$ , donc $b_{n}=28\,000\times 1{,}05^{n}$ .

Pourquoi

« Augmente de $1\,200$ dollars » est une addition, « augmente de $5\,\%$ » est une multiplication : c'est le seul mot de l'énoncé qui décide de la nature. Le rang $0$ est imposé par l'énoncé, donc les formules sont celles de $u_{0}$ , sans $-1$ .

Étape 2

$a_{5}=36\,000$ et $b_{5}=28\,000\times 1{,}05^{5}\approx 35\,736$ : l'offre A reste devant. $a_{6}=37\,200$ et $b_{6}=28\,000\times 1{,}05^{6}\approx 37\,523$ : l'offre B passe devant.

Pourquoi

On encadre le rang cherché avec les deux valeurs voisines, exactement comme pour un seuil. Écrire seulement le rang $6$ sans montrer que le rang $5$ ne convient pas coûte la moitié des points.

Étape 3

L'offre B verse davantage à partir du rang $6$ , c'est-à-dire à partir de la septième année.

Pourquoi

La traduction du rang en année est la question réelle. Avec $n=0$ pour la première année, le rang $6$ est la septième année : c'est le décalage que le correcteur cherche sur la copie.

Étape 4

Total A sur dix ans, de $a_{0}$ à $a_{9}$ : dix termes, $a_{9}=30\,000+1\,200\times 9=40\,800$ , donc $S_{A}=10\times\frac{30\,000+40\,800}{2}=354\,000$ dollars.

Pourquoi

Le nombre de termes est $9-0+1=10$ , pas $9$ . Et le dernier terme est $a_{9}$ , pas $a_{10}$ : dix années à partir de la première se terminent au rang $9$ .

Étape 5

Total B : $S_{B}=28\,000\times\frac{1-1{,}05^{10}}{1-1{,}05}\approx 28\,000\times 12{,}578\approx 352\,181$ dollars.

Pourquoi

L'exposant $10$ est le NOMBRE de termes, et le facteur $28\,000$ devant est indispensable : la fraction seule sommerait les puissances de $1{,}05$ à partir de $1$ .

Étape 6

Vérification : $S_{A}$ et $S_{B}$ sont tous deux voisins de dix fois un salaire moyen d'environ $35\,000$ dollars, soit $350\,000$ ; et $S_{A}-S_{B}\approx 1\,819$ dollars, un écart faible, cohérent avec deux offres qui se croisent au milieu de la période.

Pourquoi

L'ordre de grandeur se contrôle en une multiplication, sans refaire la somme. Un total de $35\,000$ ou de $3\,500\,000$ signalerait un facteur oublié ou un nombre de termes faux.

Conclusion rédigée

L'offre B verse un salaire annuel supérieur à celui de l'offre A à partir de la septième année, mais sur les dix premières années le cumul reste à l'avantage de l'offre A, avec $354\,000$ dollars contre environ $352\,181$ dollars.

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre « l'offre B est meilleure » dès qu'on a trouvé le rang $6$ , sans faire la question sur les totaux. Dépasser annuellement et rapporter davantage au total sont deux choses différentes, et l'exercice est construit exactement sur cet écart.

À savoir par cœur

• Arithmétique : même DIFFÉRENCE, $u_{n}=u_{0}+nr$ . Géométrique : même QUOTIENT, $u_{n}=u_{0}\times q^{n}$ .
• De $u_{p}$ à $u_{n}$ il y a $n-p$ pas, donc $u_{n}=u_{p}+(n-p)r$ ou $u_{n}=u_{p}\times q^{n-p}$ .
• Nombre de termes de $u_{p}$ à $u_{n}$ : $n-p+1$ . De $u_{0}$ à $u_{10}$ , ONZE termes.
• Somme arithmétique : nombre de termes multiplié par la demi-somme des extrêmes.
• Somme géométrique : $u_{0}\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ , avec l'exposant égal au nombre de termes.
• Une hausse de $t\,\%$ donne $q=1+\frac{t}{100}$ , une baisse donne $q=1-\frac{t}{100}$ . Jamais $q=\frac{t}{100}$ .
• Une nature de suite se démontre sur $u_{n+1}-u_{n}$ ou $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ avec $n$ quelconque, jamais sur trois termes.
• Une géométrique de raison négative n'est ni croissante ni décroissante : elle alterne.

Questions fréquentes

Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique ?

On calcule la différence de deux termes consécutifs et leur quotient, avec un rang quelconque et non trois valeurs particulières. Si la différence est constante la suite est arithmétique, si le quotient est constant elle est géométrique. Une écriture affine en n annonce une arithmétique, un n placé en exposant annonce une géométrique.

Combien y a-t-il de termes dans une somme de suite ?

Le nombre de termes vaut le dernier indice moins le premier, plus un. De rang zéro à rang dix il y a onze termes, et non dix. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle se contrôle sur un petit exemple : de rang zéro à rang deux il y a bien trois termes.

Quelle est la raison d'une suite quand le taux est de cinq pour cent ?

La raison vaut un virgule zéro cinq, pas zéro virgule zéro cinq. Une hausse de t pour cent multiplie par un plus t divisé par cent, une baisse multiplie par un moins t divisé par cent. Le repère qui ne trompe pas : une raison issue d'un pourcentage annuel est toujours proche de un.

Une suite géométrique de raison négative est-elle croissante ou décroissante ?

Ni l'une ni l'autre. Ses termes changent de signe à chaque rang, donc elle n'est monotone sur aucun intervalle et la question du sens de variation n'a pas de réponse. La règle qui compare la raison à un ne vaut que pour des suites à termes strictement positifs, donc pour une raison positive.

Comment trouver à partir de quelle année une suite dépasse un seuil ?

Deux méthodes acceptées. Soit un tableau de valeurs à la calculatrice, dont on relève le premier rang qui franchit le seuil. Soit un algorithme avec une boucle qui répète la relation tant que le seuil n'est pas atteint, en comptant les tours et en renvoyant le compteur. Dans les deux cas, on écrit sur la copie la valeur du rang trouvé ET celle du rang précédent.

Comment démontrer qu'une suite auxiliaire est géométrique ?

On part de la suite auxiliaire au rang n plus un, on remplace le terme de la suite initiale par sa relation de récurrence, puis on factorise jusqu'à faire réapparaître la suite auxiliaire au rang n. On conclut en donnant la raison et le premier terme, les deux étant exigés pour écrire ensuite la forme explicite.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les suites numériques

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

La fonction exponentielle Suites et récurrenceTerminale Limites et continuitéTerminale Suites et modèles discretsTerminale, Mathématiques complémentaires

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Fiche de révision : les suites numériques (Première spécialité)

L'essentiel

Arithmétique ou géométrique : deux tests, une seule réponse

Les formules explicites, et le rang de départ

Les deux sommes, et le nombre de termes

Sens de variation : le signe d'une différence

Les règles de calcul en tableau

Suite arithmétique : tout se lit sur un seul exemple, u0=5u_{0}=5u0​=5 et r=3r=3r=3

Suite géométrique : le même travail sur u0=5u_{0}=5u0​=5 et q=2q=2q=2

Les pièges qui coûtent des points

1. Écrire u0+nru_{0}+nru0​+nr alors que l'énoncé part de u1u_{1}u1​

2. Compter un terme de moins dans une somme

3. Affirmer la nature d'une suite sur ses trois premiers termes

4. Confondre le taux d'évolution et la raison

5. Déclarer décroissante une géométrique de raison négative

6. Comparer un+1un\frac{u_{n+1}}{u_{n}}un​un+1​​ à 111 sans vérifier le signe des termes

7. Renvoyer la valeur atteinte au lieu du rang, dans un algorithme de seuil

8. Oublier le premier terme dans la somme géométrique

Quelle méthode choisir

Reconnaître la nature d'une suite sur sa forme

Quelle formule selon la question posée

La rédaction attendue

Démontrer qu'une suite est géométrique

Répondre à une question de seuil

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Comparer deux offres de salaire, comme au contrôle

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique ?

Combien y a-t-il de termes dans une somme de suite ?

Quelle est la raison d'une suite quand le taux est de cinq pour cent ?

Une suite géométrique de raison négative est-elle croissante ou décroissante ?

Comment trouver à partir de quelle année une suite dépasse un seuil ?

Comment démontrer qu'une suite auxiliaire est géométrique ?

Exercices corrigés : Les suites numériques

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Suite arithmétique : tout se lit sur un seul exemple, $u_{0}=5$ et $r=3$

Suite géométrique : le même travail sur $u_{0}=5$ et $q=2$

1. Écrire $u_{0}+nr$ alors que l'énoncé part de $u_{1}$

6. Comparer $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ à $1$ sans vérifier le signe des termes