Spécialité maths, Première • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : le second degré (Première spécialité)

Q: Comment savoir si un trinôme du second degré a des racines ?

On calcule le discriminant, égal au carré de b moins quatre fois a fois c. S'il est strictement positif il y a deux racines distinctes, s'il est nul il y a une racine double, et s'il est strictement négatif il n'y a aucune racine réelle. Le piège classique est de calculer le carré de b sans tenir compte de son signe.

Q: Pourquoi faut-il garder le coefficient a dans la forme factorisée ?

Parce que sans lui les deux expressions ne sont pas égales. La factorisation s'écrit a multiplié par le produit des deux facteurs contenant les racines. Le contrôle prend trois secondes : on remplace x par zéro dans le trinôme de départ et dans la forme factorisée, et les deux résultats doivent coïncider.

Q: Que faire quand le discriminant est négatif dans une inéquation ?

Le trinôme ne change jamais de signe : il garde partout le signe de a. Si a est positif, l'expression est strictement positive sur tous les réels, donc une inéquation qui demande le signe positif a pour solution l'ensemble des réels, et celle qui demande le signe négatif n'a aucune solution. Discriminant négatif ne signifie donc jamais absence de solution.

Q: Comment trouver le sommet d'une parabole en Première ?

Son abscisse vaut moins b sur deux a. On l'appelle alpha, et on obtient l'ordonnée du sommet en remplaçant simplement x par alpha dans l'expression de départ. Si a est positif le sommet est un minimum, si a est négatif c'est un maximum. Le sommet est aussi le milieu des deux racines lorsqu'elles existent.

Q: Comment résoudre une équation avec des puissances quatre et deux ?

On pose une inconnue auxiliaire égale à x au carré, ce qui ramène l'équation au second degré. On la résout, puis on revient obligatoirement à x. Chaque valeur strictement positive de l'inconnue auxiliaire donne deux solutions opposées, chaque valeur nulle en donne une, et chaque valeur négative n'en donne aucune.

Q: Comment étudier la position relative de deux courbes ?

On étudie le signe de la différence des deux expressions, jamais les deux courbes séparément. Là où la différence est positive, la première courbe est au-dessus de la seconde. Là où elle s'annule, les courbes se coupent ou se touchent. Cette différence est presque toujours un trinôme, donc on retombe sur le tableau de signes habituel.

Le second degré est le chapitre le mieux su et le plus mal rédigé de l'année. Presque toutes les copies calculent $\Delta$ correctement, et presque toutes perdent des points ailleurs : dans une factorisation à laquelle il manque le $a$ , dans un tableau de signes construit sur les racines sans regarder le coefficient dominant, dans une inéquation dont on donne les racines en guise de réponse.

Cette fiche ne redit pas le cours. Elle liste les huit endroits précis où les points partent, la phrase exacte à recopier pour chacun, l'arbre qui dit quelle méthode employer selon la FORME de l'équation, et un problème de bénéfice décortiqué étape par étape avec la raison de chaque geste.

Le fil du chapitre

Tout le chapitre se joue sur le coefficient $a$ : c'est lui qui oriente la parabole, lui qui donne le signe du trinôme à l'extérieur des racines, et c'est lui qu'on oublie dans la factorisation. Le discriminant, de son côté, répond à une question de NOMBRE de racines, jamais de valeur.

Ce chapitre fait partie de Spécialité mathématiques en Première

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Le second degréSeconde Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (6 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les trois identités remarquablesSeconde
2Nombres et calcul littéralSeconde
3Le second degréSeconde
4Multiplication et division de relatifsQuatrième
5Puissances et écriture scientifiqueQuatrième
6Les trois identités remarquablesTroisième

L'essentiel

Le discriminant compte les racines, il ne les donne pas

• Pour $ax^{2}+bx+c$ avec $a\neq 0$ : $\Delta=b^{2}-4ac$ . La condition $a\neq 0$ est une hypothèse, pas une formalité : si $a=0$ l'équation est du premier degré et $\Delta$ n'a aucun sens.
• $\Delta>0$ : deux racines $x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ . $\Delta=0$ : une racine double $x_{0}=\frac{-b}{2a}$ . $\Delta<0$ : aucune racine RÉELLE.
• Factorisation, seulement si $\Delta\ge 0$ : $ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)$ . Le facteur $a$ est devant, toujours.
• Somme et produit : $x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}$ et $x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$ . Deux nombres de somme $S$ et de produit $P$ sont les racines de $x^{2}-Sx+P=0$ .

Écrire « $\Delta=100>0$ , donc deux racines distinctes » avant de calculer rapporte souvent un demi-point de méthode. Le correcteur cherche la phrase qui justifie le nombre de racines, pas seulement le nombre.

Le signe du trinôme se lit sur $a$ , jamais sur les racines

• Quand $\Delta>0$ : le trinôme est du signe de $a$ à l'EXTÉRIEUR des racines, du signe de $-a$ ENTRE les racines.
• Quand $\Delta=0$ : le trinôme est du signe de $a$ partout, et s'annule seulement en $x_{0}$ .
• Quand $\Delta<0$ : le trinôme garde le signe de $a$ sur $\mathbb{R}$ tout entier, sans jamais s'annuler.
• Conséquence pratique : $x^{2}+x+1>0$ a pour ensemble de solutions $\mathbb{R}$ , et $x^{2}+x+1<0$ n'a aucune solution. Le même discriminant négatif donne deux réponses opposées selon le sens de l'inégalité.

Avec

a=1>0

, le trinôme est positif à l'extérieur de

[-1\,;3]

et négatif entre les racines; avec

a<0

les deux signes s'échangent.

Le tableau de signes se construit dans cet ordre : racines d'abord, signe de $a$ ensuite, colonnes remplies en partant des extrémités. Jamais l'inverse.

Forme canonique : le sommet lu sans calcul

• $ax^{2}+bx+c=a\left(x-\alpha\right)^{2}+\beta$ avec $\alpha=\frac{-b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)=\frac{-\Delta}{4a}$ .
• Le sommet de la parabole est le point $S\left(\alpha\,;\beta\right)$ . Si $a>0$ , $\beta$ est le MINIMUM de $f$ ; si $a<0$ , c'est son MAXIMUM.
• Le plus sûr : calculer $\alpha=\frac{-b}{2a}$ , puis obtenir $\beta$ en remplaçant $x$ par $\alpha$ dans l'expression de départ. Deux lignes, aucune formule à retenir.
• La parabole est symétrique par rapport à la droite verticale d'équation $x=\alpha$ , et $\alpha$ est aussi le milieu des deux racines quand elles existent.

Un extremum se demande sous vingt formulations différentes : « bénéfice maximal », « aire maximale », « hauteur maximale », « coût minimal ». Toutes appellent la même réponse en Première : $\alpha=\frac{-b}{2a}$ .

Les équations qui ne sont pas du second degré, mais qui le deviennent

• Bicarrée $ax^{4}+bx^{2}+c=0$ : on pose $X=x^{2}$ , on résout en $X$ , puis on REVIENT à $x$ . Une valeur $X<0$ ne donne aucun $x$ ; une valeur $X>0$ en donne deux, $\pm\sqrt{X}$ .
• Quotient $\frac{P(x)}{Q(x)}=0$ : on annule le numérateur, on exclut les valeurs qui annulent le dénominateur, et on l'écrit dans la conclusion.
• Position relative de deux courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ : on étudie le SIGNE de $f(x)-g(x)$ , jamais les deux courbes séparément.
• Équation sans terme constant $ax^{2}+bx=0$ : on factorise par $x$ , ce qui donne $x=0$ ou $x=\frac{-b}{a}$ . Le discriminant fonctionne aussi, mais la factorisation va trois fois plus vite.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Oublier le coefficient $a$ dans la forme factorisée

1 point, et toutes les questions suivantes deviennent fausses

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $2x^{2}-6x+4$ a pour racines $1$ et $2$ , donc $2x^{2}-6x+4=(x-1)(x-2)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $2x^{2}-6x+4=2(x-1)(x-2)$ , car la factorisation d'un trinôme s'écrit $a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)$ . »

Pourquoi : $(x-1)(x-2)$ vaut $2$ en $x=0$ alors que le trinôme y vaut $4$ : les deux expressions ne sont pas égales. Le contrôle qui prend trois secondes est de remplacer $x$ par $0$ des deux côtés.

2. Perdre le signe de $b$ en calculant $b^{2}$

toute la question, et la conclusion est exactement l'inverse de la vraie

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour $x^{2}-5x+6$ : $\Delta=-5^{2}-4\times 1\times 6=-25-24=-49$ , donc aucune racine. »

Ce qu'il faut écrire

« $b=-5$ , donc $b^{2}=(-5)^{2}=25$ et $\Delta=25-24=1>0$ : deux racines, $2$ et $3$ . »

Pourquoi : $-5^{2}$ et $(-5)^{2}$ sont deux nombres différents : la calculatrice élève avant de changer le signe. La parade est d'écrire les trois coefficients à part, avec leurs signes, AVANT de remplacer.

3. Traduire « $\Delta<0$ » par « pas de solution » dans une inéquation

toute la question, et c'est le piège le plus rentable des sujets de contrôle

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x^{2}+x+1>0$ : $\Delta=1-4=-3<0$ , donc il n'y a pas de solution. »

Ce qu'il faut écrire

« $\Delta=-3<0$ et $a=1>0$ , donc le trinôme est strictement positif sur $\mathbb{R}$ : l'ensemble des solutions de $x^{2}+x+1>0$ est $\mathbb{R}$ tout entier. »

La parabole ne touche jamais l'axe : c'est cela,

\Delta<0

. Son point le plus bas est à la hauteur

0{,}75

, donc

x^{2}+x+1>0

pour TOUT réel

x

Pourquoi : Un discriminant négatif dit qu'il n'y a pas de racine, donc que le trinôme ne CHANGE jamais de signe. Il ne dit rien sur le sens de l'inégalité : selon ce sens, l'ensemble des solutions est soit $\mathbb{R}$ , soit l'ensemble vide.

4. Répondre à une inéquation en donnant les racines

1,5 point : la question demandait un intervalle, la copie donne deux nombres

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $-x^{2}+4x-3\ge 0$ : les racines sont $1$ et $3$ , donc $S=\{1\,;3\}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $a=-1<0$ , donc le trinôme est positif ENTRE les racines : $S=[1\,;3]$ . »

Pourquoi : Les racines sont les bornes de l'ensemble solution, pas l'ensemble solution. Résoudre une inéquation, c'est toujours produire une réunion d'intervalles, et la moitié du travail consiste à choisir de quel côté des racines on se place.

5. Diviser par $x$ et perdre la racine $0$

1 point : une racine sur deux disparaît

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $3x^{2}-12x=0$ donc $3x-12=0$ donc $x=4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $3x^{2}-12x=3x(x-4)=0$ , donc $x=0$ ou $x=4$ . Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. »

Pourquoi : Diviser par $x$ suppose $x\neq 0$ , ce qui exclut d'office la solution qu'on cherche. On ne divise jamais par une expression contenant l'inconnue dans une équation : on factorise.

6. Résoudre une bicarrée en $X$ et oublier de revenir à $x$

2 points sur 3 : deux solutions au lieu de quatre, et les deux annoncées sont fausses

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x^{4}-5x^{2}+4=0$ , on pose $X=x^{2}$ : $X=1$ ou $X=4$ . Les solutions sont donc $1$ et $4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $X=1$ ou $X=4$ . Comme $X=x^{2}$ : $x^{2}=1$ donne $x=-1$ ou $x=1$ , et $x^{2}=4$ donne $x=-2$ ou $x=2$ . L'équation admet quatre solutions : $-2$ , $-1$ , $1$ et $2$ . »

Pourquoi : L'inconnue auxiliaire est un outil, pas une réponse. Chaque valeur strictement positive de $X$ redonne DEUX valeurs de $x$ , opposées; une valeur négative n'en redonne aucune, et cela se dit dans la copie.

7. Écrire $x_{1}+x_{2}=\frac{b}{a}$ au lieu de $\frac{-b}{a}$

1 point, plus toute la question de somme et produit qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour $2x^{2}-10x+8$ : $x_{1}+x_{2}=\frac{-10}{2}=-5$ et $x_{1}x_{2}=\frac{8}{2}=4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}=\frac{10}{2}=5$ et $x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=4$ . Les racines sont $1$ et $4$ , dont la somme vaut bien $5$ . »

Pourquoi : Le signe moins fait partie de la formule, il ne vient pas du signe de $b$ . Le contrôle imparable : la somme des racines doit valoir le double de l'abscisse du sommet, et le sommet est du côté où la parabole se creuse.

8. Comparer deux courbes en comparant leurs formes au lieu de leur différence

toute la question : la conclusion peut être juste et la démonstration nulle

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La parabole $y=x^{2}$ monte plus vite que la droite $y=2x-1$ , donc elle est toujours au-dessus. »

Ce qu'il faut écrire

« $x^{2}-(2x-1)=x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}\ge 0$ , donc $\mathcal{C}_{f}$ est au-dessus de $\mathcal{D}$ sur $\mathbb{R}$ , avec contact au seul point d'abscisse $1$ . »

Pourquoi : Une position relative se démontre par le SIGNE d'une différence, et cette différence est presque toujours un trinôme. C'est le seul endroit du chapitre où $\Delta=0$ a une lecture géométrique : les deux courbes sont tangentes.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode selon la forme de l'équation

On regarde la FORME écrite au tableau, avant de savoir de quoi parle l'exercice. Le discriminant n'est que la quatrième branche, et c'est la plus lente.

Les trois allures entre lesquelles

\Delta

tranche, toutes avec

a>0

: deux points de contact avec l'axe des abscisses, un seul, ou aucun.

Si il n'y a pas de terme constant : $ax^{2}+bx=0$ → factoriser par $x$ , produit nul

Exemple : $3x^{2}-12x=3x(x-4)=0$ donne $x=0$ ou $x=4$

Le discriminant marche aussi et donne les mêmes racines, mais on perd une minute et on risque une erreur de signe.
Si il n'y a pas de terme en $x$ : $ax^{2}+c=0$ → isoler $x^{2}$ , puis conclure selon le signe obtenu

Exemple : $2x^{2}-18=0$ donne $x^{2}=9$ , donc $x=-3$ ou $x=3$

Si $x^{2}$ vaut un nombre strictement négatif, il n'y a aucune solution réelle, et c'est cela qu'il faut écrire.
Si le trinôme se factorise à vue, ou une identité remarquable saute aux yeux → factoriser directement, puis produit nul

Exemple : $x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}=0$ donne la racine double $3$
Si trinôme complet $ax^{2}+bx+c$ avec $a\neq 0$ → discriminant, en écrivant d'abord les trois coefficients avec leurs signes

Exemple : $2x^{2}-3x-2$ : $\Delta=9+16=25$ , racines $2$ et $-\frac{1}{2}$
Si puissances $4$ et $2$ seulement : $ax^{4}+bx^{2}+c=0$ → poser $X=x^{2}$ , résoudre en $X$ , PUIS revenir à $x$ pour chaque valeur positive

Exemple : $x^{4}-5x^{2}+4=0$ donne $X=1$ ou $X=4$ , donc quatre solutions
Si une fraction $\frac{P(x)}{Q(x)}=0$ ou une racine carrée → poser le domaine AVANT de résoudre, puis annuler le numérateur et vérifier chaque solution

Exemple : $\frac{x^{2}-4}{x-2}=0$ n'a qu'une solution, $-2$ , car $2$ est exclue du domaine

Aucune branche ne s'applique ? Vérifier d'abord que $a\neq 0$ : si le coefficient de $x^{2}$ dépend d'un paramètre, le cas $a=0$ se traite à part, en premier degré, et il vaut presque toujours un point à lui seul.

Quel outil selon le verbe de l'énoncé

Les questions du contrôle se ressemblent toutes. Le verbe désigne l'outil, et il n'y en a que six.

Si « résoudre l'équation » → racines, réponse sous forme d'ensemble $S=\{\dots\}$
Si « résoudre l'inéquation » ou « étudier le signe » → racines, PUIS tableau de signes construit avec le signe de $a$ , réponse sous forme d'intervalles

Exemple : $-x^{2}+4x-3\ge 0$ donne $S=[1\,;3]$ , pas $\{1\,;3\}$
Si « montrer que pour tout réel $x$ » une inégalité est vraie → tout ramener d'un côté, calculer $\Delta$ , et conclure sur le signe constant

Exemple : $x^{2}+x+1>0$ pour tout $x$ car $\Delta=-3<0$ et $a=1>0$
Si « maximum », « minimum », « optimal », « le plus grand » → forme canonique, ou directement $\alpha=\frac{-b}{2a}$ puis $\beta=f(\alpha)$

Exemple : $B(x)=-x^{2}+14x-24$ est maximal en $x=7$ , où $B(7)=25$
Si « deux nombres dont la somme est $S$ et le produit $P$ » → résoudre $x^{2}-Sx+P=0$

Exemple : somme $7$ et produit $12$ donnent $3$ et $4$

Si $\Delta<0$ , c'est que ces deux nombres n'existent pas : $S=2$ et $P=5$ est impossible.
Si « position relative », « au-dessus de », « points d'intersection » → étudier le signe de $f(x)-g(x)$

Exemple : $x^{2}-(2x-1)=(x-1)^{2}\ge 0$ : la parabole est au-dessus, tangente en $x=1$

Le mot « conjecturer » n'appelle aucun calcul de discriminant : il demande la calculatrice et une phrase au conditionnel. C'est la question suivante qui demandera la démonstration, et elle rapporte trois fois plus.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre une inéquation du second degré, rédigée pour le correcteur

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé contient un signe $<$ , $>$ , $\le$ ou $\ge$ avec un carré, ou demande le signe d'une expression.

1 Tout ramener d'un côté, de façon que l'autre membre soit $0$ . « L'inéquation équivaut à $-x^{2}+4x-3\ge 0$ . »
2 Identifier les coefficients avec leurs signes : « $a=-1$ , $b=4$ , $c=-3$ . » Trois nombres écrits, c'est ce qui empêche l'erreur sur $b^{2}$ .
3 Calculer et commenter le discriminant : « $\Delta=16-12=4>0$ , donc le trinôme admet deux racines distinctes. »
4 Calculer les racines, puis les ranger dans l'ordre croissant. Le tableau se lit de gauche à droite, donc la plus petite d'abord.
5 Construire le tableau de signes en écrivant le signe de $a$ dans les cases extérieures, celui de $-a$ dans la case intérieure.
6 Conclure par un ensemble de solutions, avec des crochets ouverts ou fermés selon que l'inégalité est stricte ou large.

Phrase de conclusion

$\Delta=4>0$ , donc le trinôme s'annule en $1$ et en $3$ ; comme $a=-1<0$ , il est positif entre les racines. L'ensemble des solutions est $S=[1\,;3]$ .

Le piège : Recopier le tableau de signes d'un trinôme à $a>0$ vu en cours quand celui de l'exercice a $a<0$ . Les deux tableaux sont exactement inversés, et la moitié des copies rendent le mauvais.

Barème : En général 0,5 point pour le discriminant, 1 point pour les racines, 1 point pour le tableau, 0,5 point pour l'ensemble de solutions correctement noté.

Discuter le nombre de solutions selon un paramètre

Quand l'utiliser : L'énoncé écrit un $m$ dans l'équation et demande « selon les valeurs de $m$ », ou « pour quelles valeurs de $m$ l'équation admet-elle deux solutions ».

1 Traiter d'abord le cas où le coefficient de $x^{2}$ s'annule, s'il contient le paramètre. « Si $m=0$ , l'équation devient $-2x+1=0$ , du premier degré, de solution unique $x=\frac{1}{2}$ . »
2 Se placer ensuite dans le cas $a\neq 0$ et écrire $\Delta$ EN FONCTION DE $m$ , sans le simplifier trop tôt.
3 Reconnaître que $\Delta(m)$ est lui-même un trinôme en $m$ , et étudier son signe avec exactement la même méthode qu'à la question précédente.
4 Traduire chaque signe de $\Delta$ en nombre de solutions, et donner les intervalles de $m$ correspondants.
5 Réunir les trois cas dans une conclusion unique, sans oublier le cas écarté au début.

Phrase de conclusion

Pour $m=0$ l'équation est du premier degré et admet une solution unique; pour $m\neq 0$ , $\Delta=4-4m$ , donc l'équation admet deux solutions si $m<1$ , une racine double si $m=1$ , et aucune solution réelle si $m>1$ .

Le piège : Oublier le cas $a=0$ . Il n'est jamais rappelé dans l'énoncé, il vaut souvent un point entier, et c'est la première chose que le correcteur regarde sur ce type de question.

Barème : 1 point pour le cas $a=0$ traité à part, 1 point pour $\Delta$ en fonction de $m$ , 1,5 point pour la discussion complète des trois cas.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Contrôler les racines par leur somme et leur produit

Une fois $x_{1}$ et $x_{2}$ trouvées, vérifier mentalement que $x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}$ et $x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$ . Deux additions, aucun risque, et cela attrape presque toutes les erreurs de signe.

Des racines annoncées $-2$ et $3$ pour $x^{2}-5x+6$ : leur somme vaut $1$ et non $5$ , donc l'une des deux est fausse. C'est $-2$ qui devrait être $2$ .
Réinjecter une racine dans le trinôme de départ

Remplacer $x$ par la racine trouvée dans l'expression initiale, pas dans une expression intermédiaire. Le résultat doit être exactement $0$ .

$x=\frac{3}{2}$ annoncée racine de $2x^{2}-3x-2$ : le calcul donne $\frac{9}{2}-\frac{9}{2}-2=-2$ , donc c'est faux. La bonne racine est $2$ .
Tester un point de chaque intervalle du tableau de signes

Choisir une valeur simple dans chaque zone du tableau, la plus ronde possible, et calculer le trinôme. Le signe obtenu doit être celui de la case.

Pour $-x^{2}+4x-3$ avec $S=[1\,;3]$ : $f(0)=-3<0$ , $f(2)=1>0$ , $f(5)=-8<0$ . Les trois signes confirment le tableau en quinze secondes.
Comparer le sommet trouvé au milieu des racines

L'abscisse du sommet est toujours le milieu des deux racines quand elles existent. Si $\alpha\neq\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$ , il y a une erreur quelque part.

Racines $2$ et $12$ , sommet annoncé en $\alpha=6$ : le milieu vaut $7$ , donc $\alpha$ est faux, et l'erreur est dans le $2a$ du dénominateur.
Lire la parabole sur la calculatrice

Entrer le trinôme en $Y_{1}$ , régler la fenêtre, et regarder combien de fois la courbe coupe l'axe. Le nombre de points d'intersection doit correspondre au signe de $\Delta$ trouvé.

Une courbe qui ne coupe jamais l'axe alors que la copie annonce $\Delta=25$ : le carré de $b$ a été calculé avec le mauvais signe.

L'exercice type décortiqué

Seuil de rentabilité et bénéfice maximal, comme au contrôle

Une entreprise fabrique $x$ centaines d'objets, avec $0\le x\le 14$ . Son bénéfice, en milliers de dollars, est donné par $B(x)=-x^{2}+14x-24$ .

1. Déterminer les productions pour lesquelles l'entreprise est bénéficiaire. 2. Déterminer la production qui rend le bénéfice maximal, et la valeur de ce bénéfice.

Étape 1

L'entreprise est bénéficiaire lorsque $B(x)>0$ , c'est-à-dire $-x^{2}+14x-24>0$ , avec $a=-1$ , $b=14$ et $c=-24$ .

Pourquoi

Traduire « bénéficiaire » par une inéquation stricte est la seule difficulté de lecture de l'énoncé, et elle vaut un demi-point. Écrire les trois coefficients avec leurs signes protège du carré de $b$ mal calculé.

Étape 2

$\Delta=14^{2}-4\times(-1)\times(-24)=196-96=100>0$ , donc le trinôme admet deux racines distinctes.

Pourquoi

Le double signe moins dans $-4ac$ donne un produit négatif : c'est là que se perdent les points. La phrase « donc deux racines distinctes » n'est pas décorative, c'est elle qui justifie la suite.

Étape 3

$x_{1}=\frac{-14-10}{-2}=12$ et $x_{2}=\frac{-14+10}{-2}=2$ . Contrôle : $x_{1}+x_{2}=14=\frac{-b}{a}$ et $x_{1}x_{2}=24=\frac{c}{a}$ .

Pourquoi

Le dénominateur $2a$ vaut ici $-2$ , donc la racine « avec le plus » est la plus PETITE. Le contrôle par somme et produit prend cinq secondes et attrape l'inversion.

Étape 4

Comme $a=-1<0$ , le trinôme est positif entre les racines. Donc $B(x)>0$ pour $x\in\,]2\,;12[$ , soit entre $200$ et $1200$ objets, bornes exclues.

Pourquoi

Le signe de $a$ décide seul du côté. Les bornes sont exclues parce que l'inégalité est stricte : en $x=2$ et $x=12$ le bénéfice est nul, l'entreprise n'est ni bénéficiaire ni déficitaire.

Étape 5

Le maximum est atteint au sommet : $\alpha=\frac{-b}{2a}=\frac{-14}{-2}=7$ , et $\beta=B(7)=-49+98-24=25$ .

Pourquoi

On calcule $\alpha$ par la formule et $\beta$ en remplaçant, jamais l'inverse : $\beta=\frac{-\Delta}{4a}$ marche aussi, mais elle ajoute un signe à se tromper pour rien.

Étape 6

Vérification : $7$ est bien le milieu de $2$ et $12$ ; $B(6)=24$ et $B(8)=24$ , tous deux inférieurs à $25$ ; $B(0)=-24<0$ et $B(14)=-24<0$ , cohérents avec un intervalle de rentabilité intérieur.

Pourquoi

Trois contrôles indépendants qui ne refont pas l'exercice : la symétrie du sommet, deux valeurs encadrantes, et les deux bornes du domaine. Un maximum qui n'est pas le plus grand des trois est un maximum faux.

Conclusion rédigée

L'entreprise est bénéficiaire pour une production strictement comprise entre $200$ et $1200$ objets, et son bénéfice est maximal pour $700$ objets, où il atteint $25$ milliers de dollars.

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre « la production maximale est $25$ » en confondant l'abscisse du sommet et son ordonnée. L'énoncé demande deux choses distinctes, la production et le bénéfice, et la conclusion doit les nommer toutes les deux avec leur unité.

À savoir par cœur

• $\Delta=b^{2}-4ac$ , avec $b^{2}$ calculé sur $b$ ET son signe : $(-5)^{2}=25$ , jamais $-25$ .
• Factorisation : $a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)$ . Le $a$ est devant, et il n'est jamais facultatif.
• Signe du trinôme : celui de $a$ à l'EXTÉRIEUR des racines, celui de $-a$ entre elles.
• $\Delta<0$ ne veut pas dire « pas de solution » : le trinôme garde alors le signe de $a$ sur $\mathbb{R}$ tout entier.
• Sommet : $\alpha=\frac{-b}{2a}$ , puis $\beta=f(\alpha)$ en remplaçant. C'est aussi le milieu des racines.
• $x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}$ et $x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$ . Deux nombres de somme $S$ et de produit $P$ sont racines de $x^{2}-Sx+P=0$ .
• Bicarrée : poser $X=x^{2}$ , résoudre, puis REVENIR. Chaque $X>0$ donne deux $x$ , chaque $X<0$ n'en donne aucun.
• Position relative de deux courbes : signe de la différence, jamais comparaison des formes.

Questions fréquentes

Comment savoir si un trinôme du second degré a des racines ?

On calcule le discriminant, égal au carré de b moins quatre fois a fois c. S'il est strictement positif il y a deux racines distinctes, s'il est nul il y a une racine double, et s'il est strictement négatif il n'y a aucune racine réelle. Le piège classique est de calculer le carré de b sans tenir compte de son signe.

Pourquoi faut-il garder le coefficient a dans la forme factorisée ?

Parce que sans lui les deux expressions ne sont pas égales. La factorisation s'écrit a multiplié par le produit des deux facteurs contenant les racines. Le contrôle prend trois secondes : on remplace x par zéro dans le trinôme de départ et dans la forme factorisée, et les deux résultats doivent coïncider.

Que faire quand le discriminant est négatif dans une inéquation ?

Le trinôme ne change jamais de signe : il garde partout le signe de a. Si a est positif, l'expression est strictement positive sur tous les réels, donc une inéquation qui demande le signe positif a pour solution l'ensemble des réels, et celle qui demande le signe négatif n'a aucune solution. Discriminant négatif ne signifie donc jamais absence de solution.

Comment trouver le sommet d'une parabole en Première ?

Son abscisse vaut moins b sur deux a. On l'appelle alpha, et on obtient l'ordonnée du sommet en remplaçant simplement x par alpha dans l'expression de départ. Si a est positif le sommet est un minimum, si a est négatif c'est un maximum. Le sommet est aussi le milieu des deux racines lorsqu'elles existent.

Comment résoudre une équation avec des puissances quatre et deux ?

On pose une inconnue auxiliaire égale à x au carré, ce qui ramène l'équation au second degré. On la résout, puis on revient obligatoirement à x. Chaque valeur strictement positive de l'inconnue auxiliaire donne deux solutions opposées, chaque valeur nulle en donne une, et chaque valeur négative n'en donne aucune.

Comment étudier la position relative de deux courbes ?

On étudie le signe de la différence des deux expressions, jamais les deux courbes séparément. Là où la différence est positive, la première courbe est au-dessus de la seconde. Là où elle s'annule, les courbes se coupent ou se touchent. Cette différence est presque toujours un trinôme, donc on retombe sur le tableau de signes habituel.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Le second degré

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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Fiche de révision : le second degré (Première spécialité)

L'essentiel

Le discriminant compte les racines, il ne les donne pas

Le signe du trinôme se lit sur aaa, jamais sur les racines

Forme canonique : le sommet lu sans calcul

Les équations qui ne sont pas du second degré, mais qui le deviennent

Les pièges qui coûtent des points

1. Oublier le coefficient aaa dans la forme factorisée

2. Perdre le signe de bbb en calculant b2b^{2}b2

3. Traduire « Δ<0\Delta<0Δ<0 » par « pas de solution » dans une inéquation

4. Répondre à une inéquation en donnant les racines

5. Diviser par xxx et perdre la racine 000

6. Résoudre une bicarrée en XXX et oublier de revenir à xxx

7. Écrire x1+x2=bax_{1}+x_{2}=\frac{b}{a}x1​+x2​=ab​ au lieu de −ba\frac{-b}{a}a−b​

8. Comparer deux courbes en comparant leurs formes au lieu de leur différence

Quelle méthode choisir

Quelle méthode selon la forme de l'équation

Quel outil selon le verbe de l'énoncé

La rédaction attendue

Résoudre une inéquation du second degré, rédigée pour le correcteur

Discuter le nombre de solutions selon un paramètre

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Seuil de rentabilité et bénéfice maximal, comme au contrôle

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment savoir si un trinôme du second degré a des racines ?

Pourquoi faut-il garder le coefficient a dans la forme factorisée ?

Que faire quand le discriminant est négatif dans une inéquation ?

Comment trouver le sommet d'une parabole en Première ?

Comment résoudre une équation avec des puissances quatre et deux ?

Comment étudier la position relative de deux courbes ?

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Le signe du trinôme se lit sur $a$ , jamais sur les racines

1. Oublier le coefficient $a$ dans la forme factorisée

2. Perdre le signe de $b$ en calculant $b^{2}$

3. Traduire « $\Delta<0$ » par « pas de solution » dans une inéquation

5. Diviser par $x$ et perdre la racine $0$

6. Résoudre une bicarrée en $X$ et oublier de revenir à $x$

7. Écrire $x_{1}+x_{2}=\frac{b}{a}$ au lieu de $\frac{-b}{a}$