Exercices corrigés : les nombres complexes (maths expertes)

a) L'addition et la soustraction se font COMPOSANTE PAR COMPOSANTE, exactement comme pour des vecteurs : $z_{1}+z_{2}=(3+1)+(2-1)\mathrm{i}=4+\mathrm{i}$ et $z_{1}-z_{2}=(3-1)+(2-(-1))\mathrm{i}=2+3\mathrm{i}$. Attention au double signe moins dans la partie imaginaire de la différence.

b) On développe les quatre produits sans oublier que $\mathrm{i}^{2}=-1$ : $z_{1}z_{2}=(3+2\mathrm{i})(1-\mathrm{i})=3-3\mathrm{i}+2\mathrm{i}-2\mathrm{i}^{2}=3-\mathrm{i}+2=5-\mathrm{i}$. C'est le remplacement de $-2\mathrm{i}^{2}$ par $+2$ qui fait toute la différence avec un calcul algébrique ordinaire, et l'oublier est l'erreur la plus fréquente.

c) On multiplie haut et bas par le CONJUGUÉ du dénominateur, ce qui rend celui-ci réel : $\frac{3+2\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\frac{(3+2\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}$. Le dénominateur vaut $1^{2}+1^{2}=2$, et le numérateur $3+3\mathrm{i}+2\mathrm{i}+2\mathrm{i}^{2}=1+5\mathrm{i}$. Donc le quotient vaut $\frac{1+5\mathrm{i}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}\mathrm{i}$.

d) $z_{1}\overline{z_{1}}=(3+2\mathrm{i})(3-2\mathrm{i})=9-4\mathrm{i}^{2}=9+4=13$, en reconnaissant une différence de carrés. Par ailleurs $|z_{1}|=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}$, donc $|z_{1}|^{2}=13$ ✓. Les deux coïncident, comme le prévoit le cours.

L'identité $z\overline{z}=|z|^{2}$ établie en d) est ce qui rend possible la division de c), et il vaut mieux voir le lien que mémoriser deux techniques. Multiplier par le conjugué transforme un dénominateur complexe en un RÉEL, à savoir le carré de son module, après quoi la division devient une simple multiplication par $\frac{1}{r}$. C'est exactement le geste utilisé pour rationaliser $\frac{1}{1+\sqrt{2}}$ au lycée, à ceci près que $\mathrm{i}^{2}=-1$ au lieu de $2$, ce qui change les signes. Retenons enfin la répartition des rôles qui structure tout le chapitre : la forme ALGÉBRIQUE convient aux sommes et aux différences, la forme EXPONENTIELLE des exercices suivants convient aux produits et aux puissances.

a) $|z|=\sqrt{1^{2}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$. On FACTORISE ensuite par le module pour faire apparaître un point du cercle unité : $z=2\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, et l'on reconnaît $\cos\frac{\pi}{3}$ et $\sin\frac{\pi}{3}$. Donc $\arg(z)=\frac{\pi}{3}$. Les deux coordonnées étant positives, le point est bien dans le premier quadrant ✓.

b) $|z'|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$, puis $z'=\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, ce qui correspond à $\cos\frac{3\pi}{4}$ et $\sin\frac{3\pi}{4}$. Donc $\arg(z')=\frac{3\pi}{4}$. Le contrôle par le quadrant est ici décisif : la partie réelle est négative et l'imaginaire positive, on est donc dans le DEUXIÈME quadrant, ce qui exclut $-\frac{\pi}{4}$ ✓.

c) $|z''|=\sqrt{0+4}=2$, et $z''$ est un imaginaire pur de partie imaginaire NÉGATIVE : son point est sur l'axe des ordonnées vers le bas, donc $\arg(z'')=-\frac{\pi}{2}$. On peut aussi écrire $\frac{3\pi}{2}$, les deux différant d'un tour.

d) $|z'''|=5$, et $z'''$ est un réel strictement POSITIF : son point est sur l'axe des abscisses vers la droite, donc $\arg(z''')=0$. Si le nombre avait été $-5$, l'argument aurait valu $\pi$.

La méthode est invariable et il ne faut jamais s'en écarter : on calcule d'abord le module, on factorise par lui, puis on identifie le cosinus et le sinus obtenus, qui sont nécessairement ceux d'un point du cercle unité. Deux contrôles s'imposent ensuite. Le premier vérifie que $\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$, ce qui est automatique si le module est juste. Le second, plus important, vérifie le QUADRANT : la calculatrice, via l'arctangente, ne distingue pas $z$ de $-z$, et c'est le signe des deux parties qui tranche. Notons enfin que l'argument n'est défini que MODULO $2\pi$, si bien qu'il n'existe pas une réponse mais une famille, et le zéro lui-même n'en a aucun.

a) On applique la définition : $2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=1+\mathrm{i}\sqrt{3}$. On retrouve exactement le nombre de l'exercice 2 a), ce qui n'est pas un hasard : c'est le même nombre écrit dans les deux formes.

b) D'après l'exercice 2 b), $|z|=\sqrt{2}$ et $\arg(z)=\frac{3\pi}{4}$, donc $z=\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$. Le passage de l'algébrique à l'exponentielle ne demande donc rien d'autre que le module et l'argument, déjà calculés.

c) C'est ici que la forme exponentielle montre sa supériorité : les MODULES se multiplient et les ARGUMENTS s'ajoutent. Donc $2\times 3=6$ et $\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{2\pi}{6}+\frac{\pi}{6}=\frac{3\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$. Le produit vaut $6\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}=6\left(\cos\frac{\pi}{2}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{2}\right)=6\mathrm{i}$. Le même calcul en forme algébrique aurait demandé de développer quatre produits contenant des racines.

d) Symétriquement, les modules se DIVISENT et les arguments se SOUSTRAIENT : $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ et $\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$. Le quotient vaut $\frac{1}{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$. Aucune multiplication par le conjugué n'a été nécessaire, contrairement à l'exercice 1 c).

La règle de choix est donc simple et vaut d'être formulée une fois pour toutes : la forme ALGÉBRIQUE pour additionner et soustraire, la forme EXPONENTIELLE pour multiplier, diviser et élever à une puissance. La raison est structurelle, l'exponentielle transformant les sommes en produits, exactement comme dans le cas réel : $\mathrm{e}^{\mathrm{i}a}\times\mathrm{e}^{\mathrm{i}b}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a+b)}$. Une conséquence géométrique mérite d'être retenue, car elle donne tout son sens au chapitre : multiplier par $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ revient à effectuer une ROTATION d'angle $\theta$ suivie d'un agrandissement de rapport $r$. Multiplier par $\mathrm{i}$, dont le module vaut $1$ et l'argument $\frac{\pi}{2}$, est donc exactement un quart de tour direct.

a) $\Delta=(-2)^{2}-4\times 1\times 5=4-20=-16<0$. Quand le discriminant est négatif, on écrit $\sqrt{\Delta}$ sous la forme $\mathrm{i}\sqrt{|\Delta|}$, ici $\mathrm{i}\times 4$, et les solutions sont $z=\frac{2\pm 4\mathrm{i}}{2}=1\pm 2\mathrm{i}$. Vérification pour $1+2\mathrm{i}$ : $(1+2\mathrm{i})^{2}=1+4\mathrm{i}+4\mathrm{i}^{2}=-3+4\mathrm{i}$, puis $-3+4\mathrm{i}-2(1+2\mathrm{i})+5=-3+4\mathrm{i}-2-4\mathrm{i}+5=0$ ✓.

b) $\Delta=1-4=-3<0$, donc $\sqrt{\Delta}=\mathrm{i}\sqrt{3}$ et les solutions sont $z=\frac{-1\pm\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$. Ce sont les nombres traditionnellement notés $j$ et $\overline{j}$, de module $\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1$, et l'exercice 10 leur sera entièrement consacré.

c) Ici le discriminant n'est même pas nécessaire : $z^{2}=-9$ donne directement $z=3\mathrm{i}$ ou $z=-3\mathrm{i}$, en remarquant que $(3\mathrm{i})^{2}=9\mathrm{i}^{2}=-9$ ✓. Tout nombre complexe non nul admet exactement DEUX racines carrées, opposées l'une de l'autre.

d) Dans chacun des trois cas, les deux solutions sont CONJUGUÉES l'une de l'autre. C'était prévisible, et la démonstration tient en une ligne : lorsque les coefficients sont réels, conjuguer l'égalité $az^{2}+bz+c=0$ donne $\overline{a}\,\overline{z}^{2}+\overline{b}\,\overline{z}+\overline{c}=a\overline{z}^{2}+b\overline{z}+c=0$, puisque $\overline{a}=a$ et ainsi de suite. Donc si $z$ est racine, $\overline{z}$ l'est aussi.

La propriété de d) a une conséquence remarquable qu'il vaut la peine de connaître : un polynôme à coefficients RÉELS a toujours un nombre PAIR de racines non réelles, puisqu'elles vont par paires conjuguées. C'est pourquoi un polynôme de degré impair admet toujours au moins une racine réelle, résultat qu'on démontrait en Terminale par le théorème des valeurs intermédiaires et qu'on retrouve ici par un tout autre chemin. Notons enfin que le passage aux complexes ne fait pas disparaître le discriminant, il le rend seulement toujours exploitable : $\Delta>0$ donne deux racines réelles, $\Delta=0$ une racine double réelle, et $\Delta<0$ deux racines complexes conjuguées.

a) L'affixe d'un vecteur est la DIFFÉRENCE des affixes, extrémité moins origine : $z_{\vec{AB}}=z_{B}-z_{A}=(4-1)+(-2-2)\mathrm{i}=3-4\mathrm{i}$. La distance $AB$ est alors le MODULE de cette affixe : $AB=|3-4\mathrm{i}|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. C'est le lien fondamental entre complexes et géométrie, et tout l'exercice en découle.

b) L'affixe du milieu est la MOYENNE des affixes : $z_{I}=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}=\frac{(1+4)+(2-2)\mathrm{i}}{2}=\frac{5}{2}$. Le point $I$ a donc pour coordonnées $\left(\frac{5}{2}\,;\,0\right)$ et se trouve sur l'axe des abscisses, ce qui s'explique : $A$ et $B$ ont des ordonnées opposées.

c) $z_{C}-z_{A}=(-2-1)+(1-2)\mathrm{i}=-3-\mathrm{i}$, donc $AC=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\approx 3{,}16$. Et $z_{C}-z_{B}=(-2-4)+(1+2)\mathrm{i}=-6+3\mathrm{i}$, donc $BC=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\approx 6{,}71$.

d) Les trois longueurs valent $5$, $\sqrt{10}$ et $3\sqrt{5}$, deux à deux différentes : le triangle n'est donc PAS isocèle. Pour tester Pythagore, on identifie le plus GRAND côté, ici $BC$ avec $BC^{2}=45$, et l'on compare à la somme des carrés des deux autres : $AB^{2}+AC^{2}=25+10=35\neq 45$. Le triangle n'est donc pas rectangle non plus. Comme $35<45$, l'angle en $A$ est même OBTUS.

Le dictionnaire entre complexes et géométrie mérite d'être écrit une fois, car il rend beaucoup d'exercices immédiats. L'affixe de $\vec{AB}$ est $z_{B}-z_{A}$ ; la distance $AB$ est $|z_{B}-z_{A}|$ ; l'affixe du milieu est la demi-somme ; l'angle $\left(\vec{u}\,;\,\vec{AB}\right)$ est $\arg(z_{B}-z_{A})$. On dispose ainsi d'un outil qui traite d'un seul calcul ce qui demanderait séparément des coordonnées et de la trigonométrie. La remarque finale sur l'angle obtus illustre un contrôle rentable : comparer $c^{2}$ à $a^{2}+b^{2}$ ne coûte rien de plus que le test de Pythagore et donne en prime la nature de l'angle, aigu si la somme l'emporte, obtus sinon.

a) $|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$, puis $z=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\mathrm{i}\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, ce qui donne $\arg(z)=\frac{\pi}{4}$, les deux coordonnées étant égales et positives. Donc $z=\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$.

b) La formule de Moivre dit que l'on élève le module à la puissance et que l'on MULTIPLIE l'argument : $z^{4}=\left(\sqrt{2}\right)^{4}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\times 4\times\frac{\pi}{4}}=4\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}=4\times(-1)=-4$. Le calcul du module utilise $\left(\sqrt{2}\right)^{4}=\left(\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)^{2}=2^{2}=4$.

c) $z^{8}=\left(\sqrt{2}\right)^{8}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\times 8\times\frac{\pi}{4}}=16\,\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi}=16\times 1=16$. L'argument valant un tour complet, le résultat est un réel positif.

d) Par le calcul direct : $z^{2}=(1+\mathrm{i})^{2}=1+2\mathrm{i}+\mathrm{i}^{2}=1+2\mathrm{i}-1=2\mathrm{i}$, puis $z^{4}=\left(z^{2}\right)^{2}=(2\mathrm{i})^{2}=4\mathrm{i}^{2}=-4$ ✓. Les deux méthodes concordent. Pour la puissance quatrième les deux se valent, mais pour $z^{100}$ la voie algébrique serait impraticable alors que Moivre donnerait la réponse en une ligne.

e) On écrit $z^{n}=\left(\sqrt{2}\right)^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{n\pi}{4}}$. Le module $\left(\sqrt{2}\right)^{n}$ est toujours strictement positif, il n'impose donc aucune condition. Il suffit que l'ARGUMENT soit un multiple de $2\pi$ : $\frac{n\pi}{4}=2k\pi$ donne $n=8k$. Le plus petit entier convenant est $n=8$, ce qui redonne bien $z^{8}=16>0$ ✓. Pour $n$ entre $1$ et $7$, aucune puissance n'est un réel positif, ce qu'on vérifie sur les valeurs : $z^{4}=-4$ est réel mais négatif.

La formule de Moivre transforme une multiplication répétée en une simple multiplication d'angle, ce qui rend calculables des puissances hors de portée autrement : $z^{100}=\left(\sqrt{2}\right)^{100}\mathrm{e}^{25\mathrm{i}\pi}=2^{50}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}=-2^{50}$, en réduisant $25\pi$ modulo $2\pi$. La question e) illustre en prime la méthode générale pour ce type de question : on sépare la condition sur le module de celle sur l'argument, et l'on résout séparément. Ici seul l'argument contraint, ce qui ramène le problème à une équation en nombres entiers. Géométriquement, multiplier par $1+\mathrm{i}$ fait tourner d'un huitième de tour tout en agrandissant : il faut donc huit multiplications pour revenir sur l'axe réel positif.

a) On pose $z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ avec $r>0$, donc $z^{3}=r^{3}\mathrm{e}^{3\mathrm{i}\theta}$, qui doit valoir $1=1\times\mathrm{e}^{\mathrm{i}\times 0}$. On IDENTIFIE alors séparément les modules et les arguments, ce qui est la clé de la méthode. Modules : $r^{3}=1$, donc $r=1$ puisque $r$ est un réel positif et que la fonction cube est bijective sur les positifs. Arguments, égaux seulement MODULO $2\pi$ : $3\theta=2k\pi$, donc $\theta=\frac{2k\pi}{3}$ pour $k$ entier.

b) Bien que $k$ parcoure tous les entiers, seules TROIS valeurs donnent des nombres distincts, car $k$ et $k+3$ donnent des arguments différant d'un tour. On prend $k=0$, $1$ et $2$ : $z_{0}=\mathrm{e}^{0}=1$ ; $z_{1}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}=\cos\frac{2\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $z_{2}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{4\pi}{3}}=-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$.

c) La somme vaut $1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=0$. Le produit se calcule plus vite en exponentielle : $1\times\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}\times\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{4\pi}{3}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}\right)}=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi}=1$. Ces deux résultats ne sont pas fortuits, ce sont les relations coefficients-racines appliquées à $z^{3}-1=0$, dont le coefficient de $z^{2}$ est nul.

d) Même méthode : $r^{4}=16$ donne $r=2$, et $4\theta=2k\pi$ donne $\theta=\frac{k\pi}{2}$. Les quatre solutions distinctes correspondent à $k=0$, $1$, $2$ et $3$ : ce sont $2$, $2\mathrm{i}$, $-2$ et $-2\mathrm{i}$. On vérifie par exemple $(2\mathrm{i})^{4}=16\mathrm{i}^{4}=16$ ✓.

e) Dans les deux cas, les solutions se répartissent RÉGULIÈREMENT sur un cercle centré à l'origine : rayon $1$ et trois points formant un triangle équilatéral pour la première équation, rayon $2$ et quatre points formant un carré pour la seconde. Les arguments sont en progression arithmétique de raison $\frac{2\pi}{n}$, ce qui est exactement la définition d'un polygone régulier inscrit.

Il faut retenir le résultat général, qui vaut pour tout entier $n\geq 1$ : l'équation $z^{n}=a$ admet exactement $n$ solutions dans $\mathbb{C}$, toutes de module $|a|^{\frac{1}{n}}$ et d'arguments espacés de $\frac{2\pi}{n}$. C'est une différence radicale avec les réels, où $z^{4}=16$ n'a que deux solutions et $z^{3}=1$ une seule. Leur somme est toujours NULLE dès que $n\geq 2$, ce qui se voit géométriquement : les $n$ vecteurs se répartissent symétriquement autour de l'origine et se compensent. Cette propriété sert d'ailleurs de contrôle : si la somme des solutions trouvées n'est pas nulle, c'est qu'une solution manque ou qu'une est fausse.

a) La quantité $|z-2|$ est la DISTANCE entre le point $M$ d'affixe $z$ et le point $A$ d'affixe $2$, puisque $z-2$ est l'affixe du vecteur $\vec{AM}$. La condition $|z-2|=3$ signifie donc que $M$ est à distance $3$ de $A$ : l'ensemble est le CERCLE de centre $A(2\,;\,0)$ et de rayon $3$.

b) La condition $|z|=|z-2|$ traduit l'égalité des distances de $M$ à l'origine $O$ et au point $A$ d'affixe $2$. L'ensemble des points équidistants de deux points fixes est leur MÉDIATRICE : ici celle du segment joignant $(0\,;\,0)$ et $(2\,;\,0)$, c'est-à-dire la droite verticale d'équation $x=1$.

c) On réécrit d'abord la seconde distance sous la bonne forme : $|z+1|=|z-(-1)|$, distance de $M$ au point $B(-1\,;\,0)$. La première, $|z-\mathrm{i}|$, est la distance au point $A(0\,;\,1)$. L'ensemble est donc la médiatrice de $[AB]$. Son milieu est $\left(-\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\right)$ et $\vec{AB}(-1\,;\,-1)$ en est un vecteur normal, d'où l'équation $-1\left(x+\frac{1}{2}\right)-1\left(y-\frac{1}{2}\right)=0$, soit $-x-y=0$, c'est-à-dire la droite $y=-x$.

d) Pour $z=0$ : $|0-\mathrm{i}|=1$ et $|0+1|=1$, les distances sont bien égales ✓, et le point $(0\,;\,0)$ vérifie $y=-x$ ✓. Pour $z=1-\mathrm{i}$ : $|1-\mathrm{i}-\mathrm{i}|=|1-2\mathrm{i}|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$ et $|1-\mathrm{i}+1|=|2-\mathrm{i}|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$, égalité également ✓, et le point $(1\,;\,-1)$ vérifie $y=-x$ ✓. Les deux vérifications confirment la droite trouvée.

La règle qui gouverne tout cet exercice tient en une phrase : $|z-a|$ est la DISTANCE du point d'affixe $z$ au point d'affixe $a$, et rien d'autre. Deux configurations en découlent immédiatement, et elles couvrent la quasi-totalité des questions posées. Une égalité du type $|z-a|=r$, avec $r$ constant, décrit un CERCLE de centre $a$ et de rayon $r$. Une égalité du type $|z-a|=|z-b|$, entre deux distances variables, décrit la MÉDIATRICE de $[ab]$. Le piège principal est le signe : $|z+1|$ n'est pas la distance au point $1$ mais au point $-1$, et il faut systématiquement réécrire sous la forme $|z-a|$ avant d'interpréter, comme en c).

a) Faux. La relation correcte est $|z|^{2}=z\overline{z}$, établie à l'exercice 1. Contre-exemple avec $z=\mathrm{i}$ : $|z|^{2}=1^{2}=1$ alors que $z^{2}=\mathrm{i}^{2}=-1$. Les deux ne coïncident que si $z$ est RÉEL, cas où $z=\overline{z}$. On notera que $|z|^{2}$ est toujours un réel positif, alors que $z^{2}$ peut être n'importe quel complexe.

b) Faux. Les arguments s'AJOUTENT, ils ne se multiplient pas : $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')$ modulo $2\pi$. Contre-exemple avec $z=z'=\mathrm{i}$ : $\arg(\mathrm{i}\times\mathrm{i})=\arg(-1)=\pi$, ce qui est bien $\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}$ ✓, et non $\frac{\pi}{2}\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi^{2}}{4}\approx 2{,}47$ ✗. Ce sont les MODULES qui se multiplient, et confondre les deux règles est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

c) Faux. La notation $\sqrt{\ }$ est réservée aux réels positifs, où elle désigne l'UNIQUE racine carrée positive. Dans $\mathbb{C}$, tout nombre non nul admet deux racines carrées opposées, et rien ne permet d'en privilégier une : celles de $-4$ sont $2\mathrm{i}$ et $-2\mathrm{i}$, sans qu'aucune ne soit plus légitime. Utiliser $\sqrt{-1}$ conduit d'ailleurs à des absurdités du type $-1=\mathrm{i}^{2}=\sqrt{-1}\times\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)\times(-1)}=\sqrt{1}=1$, la règle $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ ne valant que pour $a$ et $b$ positifs.

d) Faux. L'égalité des modules signifie seulement que les deux points sont sur le MÊME CERCLE centré à l'origine, ce qui laisse une infinité de possibilités. Contre-exemple : $|1|=|\mathrm{i}|=1$, et pourtant $1\neq\mathrm{i}$. Pour conclure à l'égalité il faut le module ET l'argument, ce qui revient à dire qu'un complexe est déterminé par deux nombres réels et non par un seul.

e) Faux, et la phrase n'a même pas de SENS. L'ensemble $\mathbb{C}$ n'est pas ordonné : il n'existe aucune relation d'ordre compatible avec les opérations, et l'on peut le démontrer. Si un tel ordre existait, $\mathrm{i}$ serait positif ou négatif ; dans les deux cas son carré serait positif, or $\mathrm{i}^{2}=-1<0$, contradiction. On peut donc comparer des MODULES, qui sont des réels, mais jamais deux nombres complexes entre eux.

Ces cinq erreurs se ramènent à un même réflexe fautif, celui de transporter dans $\mathbb{C}$ des propriétés qui ne valaient que dans $\mathbb{R}$. Trois choses ont été PERDUES en passant aux complexes, et il faut les connaître : l'ordre, comme le montre e) ; l'unicité de la racine carrée, comme le montre c) ; et la possibilité d'identifier un nombre à sa seule valeur absolue, comme le montre d). Trois choses ont été GAGNÉES en échange : toute équation polynomiale y admet des solutions, les rotations deviennent des multiplications, et la géométrie du plan se calcule. Les affirmations a) et b) relèvent d'une autre confusion, entre l'écriture algébrique et l'écriture exponentielle, chacune ayant ses propres règles.

a) $|j|=\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{1}=1$ ✓, ce qui est cohérent avec la forme exponentielle donnée, dont le module vaut $1$. Ensuite $j^{2}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{4\pi}{3}}=\cos\frac{4\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$, qui n'est autre que $\overline{j}$.

b) $1+j+j^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\left(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)+\mathrm{i}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=0$ ✓. On peut aussi l'obtenir sans calcul : $j$ est racine de $z^{2}+z+1=0$ d'après l'exercice 4 b), donc $j^{2}+j+1=0$ par définition.

c) $AB=|j-1|=\left|-\frac{3}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right|=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{3}$. $BC=\left|j^{2}-j\right|=\left|-\mathrm{i}\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}$. $CA=\left|1-j^{2}\right|=\left|\frac{3}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right|=\sqrt{3}$. Les trois côtés sont égaux : le triangle $ABC$ est ÉQUILATÉRAL de côté $\sqrt{3}$.

d) L'affixe du centre de gravité est la MOYENNE des trois affixes : $\frac{1+j+j^{2}}{3}=\frac{0}{3}=0$ d'après b). Le centre de gravité est donc l'ORIGINE du repère. C'est cohérent : les trois points sont sur le cercle unité et régulièrement répartis, leur barycentre ne peut être que le centre du cercle.

e) $j^{3}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\times 3\times\frac{2\pi}{3}}=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi}=1$, ce qui confirme que $j$ est bien une racine cubique de l'unité. Pour $j^{2024}$, on divise l'exposant par $3$ : $2\,024=3\times 674+2$, donc $j^{2024}=\left(j^{3}\right)^{674}\times j^{2}=1^{674}\times j^{2}=j^{2}=-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Le nombre $j$ revient constamment en maths expertes, et il vaut la peine de retenir ses trois propriétés d'un bloc : $j^{3}=1$, $1+j+j^{2}=0$, et $j^{2}=\overline{j}=\frac{1}{j}$. La dernière égalité vient de ce que le module vaut $1$, cas où l'inverse et le conjugué coïncident. La question e) reprend exactement la technique de l'exercice sur les congruences en arithmétique : seul le RESTE de l'exposant modulo $3$ compte, et l'on ne calcule jamais la puissance entière. Enfin, le résultat de c) et d) se généralise : les $n$ racines n-ièmes de l'unité forment toujours un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, de centre de gravité l'origine, puisque leur somme est nulle.