Exercices corrigés : les nombres complexes (maths expertes)

a) $z_{1}+z_{2}=(3+1)+(2-1)\mathrm{i}=4+\mathrm{i}$ et $z_{1}-z_{2}=2+3\mathrm{i}$.

b) $z_{1}z_{2}=(3+2\mathrm{i})(1-\mathrm{i})=3-3\mathrm{i}+2\mathrm{i}-2\mathrm{i}^{2}=3-\mathrm{i}+2=5-\mathrm{i}$.

c) On multiplie par le conjugué du dénominateur : $\frac{3+2\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\frac{(3+2\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}=\frac{3+3\mathrm{i}+2\mathrm{i}-2}{2}=\frac{1+5\mathrm{i}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}\mathrm{i}$.

d) $z_{1}\overline{z_{1}}=(3+2\mathrm{i})(3-2\mathrm{i})=9-4\mathrm{i}^{2}=9+4=13$. Par ailleurs $|z_{1}|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$, donc $|z_{1}|^{2}=13$. Les deux coïncident, comme le prévoit le cours.

a) $|z|=\sqrt{1+3}=2$. On écrit $z=2\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, et on reconnaît $\cos\frac{\pi}{3}$ et $\sin\frac{\pi}{3}$. Donc $\arg(z)=\frac{\pi}{3}$.

b) $|z'|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$. On écrit $z'=\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, ce qui correspond à $\cos\frac{3\pi}{4}$ et $\sin\frac{3\pi}{4}$. Donc $\arg(z')=\frac{3\pi}{4}$.

c) $|z''|=2$ et $z''$ est un imaginaire pur de partie imaginaire négative : $\arg(z'')=-\frac{\pi}{2}$.

d) $|z'''|=5$ et $z'''$ est un réel strictement positif : $\arg(z''')=0$.

a) $2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=1+\mathrm{i}\sqrt{3}$.

b) D'après l'exercice 2, $|z|=\sqrt{2}$ et $\arg(z)=\frac{3\pi}{4}$, donc $z=\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$.

c) Les modules se multiplient et les arguments s'ajoutent : $2\times 3=6$ et $\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$. Le produit vaut $6\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}=6\mathrm{i}$.

d) Les modules se divisent et les arguments se soustraient : $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ et $\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$. Le quotient vaut $\frac{1}{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$.

a) $\Delta=4-20=-16<0$. Les solutions sont $z=\frac{2\pm\mathrm{i}\sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm 4\mathrm{i}}{2}=1\pm 2\mathrm{i}$. Vérification pour $1+2\mathrm{i}$ : $(1+2\mathrm{i})^{2}=1+4\mathrm{i}-4=-3+4\mathrm{i}$, puis $-3+4\mathrm{i}-2-4\mathrm{i}+5=0$.

b) $\Delta=1-4=-3<0$. Les solutions sont $z=\frac{-1\pm\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$. Ce sont les nombres notés $j$ et $\overline{j}$, de module 1.

c) $z^{2}=-9$, donc $z=3\mathrm{i}$ ou $z=-3\mathrm{i}$.

d) Dans chaque cas les deux solutions sont conjuguées l'une de l'autre. C'était prévisible : lorsque les coefficients sont réels, si $z$ est racine alors $\overline{z}$ l'est aussi, car conjuguer l'égalité $az^{2}+bz+c=0$ donne $a\overline{z}^{2}+b\overline{z}+c=0$.

a) L'affixe de $\vec{AB}$ est $z_{B}-z_{A}=3-4\mathrm{i}$, donc $AB=|3-4\mathrm{i}|=\sqrt{9+16}=5$.

b) L'affixe de $I$ est $\frac{z_{A}+z_{B}}{2}=\frac{5+0\mathrm{i}}{2}=\frac{5}{2}$. Le point $I$ a donc pour coordonnées $\left(\frac{5}{2},\ 0\right)$.

c) $z_{C}-z_{A}=-3-\mathrm{i}$, donc $AC=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$. $z_{C}-z_{B}=-6+3\mathrm{i}$, donc $BC=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$.

d) Les trois longueurs valent $5$, $\sqrt{10}$ et $3\sqrt{5}$ : elles sont deux à deux différentes, le triangle n'est pas isocèle. Pour le test de Pythagore, le plus grand côté est $BC$ avec $BC^{2}=45$, tandis que $AB^{2}+AC^{2}=25+10=35\neq 45$. Le triangle n'est donc pas rectangle non plus.

a) $|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$, et $z=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, donc $\arg(z)=\frac{\pi}{4}$ et $z=\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$.

b) $z^{4}=(\sqrt{2})^{4}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\times 4\times\frac{\pi}{4}}=4\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}=-4$.

c) $z^{8}=(\sqrt{2})^{8}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\times 8\times\frac{\pi}{4}}=16\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi}=16$.

d) $z^{2}=(1+\mathrm{i})^{2}=1+2\mathrm{i}-1=2\mathrm{i}$, puis $z^{4}=(2\mathrm{i})^{2}=4\mathrm{i}^{2}=-4$. Les deux méthodes concordent.

e) $z^{n}=(\sqrt{2})^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{n\pi}{4}}$. Le module est toujours strictement positif, donc il suffit que l'argument soit un multiple de $2\pi$ : $\frac{n\pi}{4}=2k\pi$ donne $n=8k$. Le plus petit entier convenant est $n=8$, ce qui redonne $z^{8}=16$.

a) $z^{3}=r^{3}\mathrm{e}^{3\mathrm{i}\theta}$ doit valoir $1=1\times\mathrm{e}^{\mathrm{i}\times 0}$. En identifiant les modules : $r^{3}=1$ donc $r=1$, puisque $r$ est un réel positif. En identifiant les arguments modulo $2\pi$ : $3\theta=2k\pi$, donc $\theta=\frac{2k\pi}{3}$ pour $k$ entier.

b) Trois valeurs distinctes suffisent, pour $k=0$, $1$ et $2$ : $z_{0}=\mathrm{e}^{0}=1$, $z_{1}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}=-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $z_{2}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{4\pi}{3}}=-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$.

c) La somme vaut $1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=0$. Le produit vaut $1\times\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}\times\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{4\pi}{3}}=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi}=1$.

d) $r^{4}=16$ donne $r=2$, et $4\theta=2k\pi$ donne $\theta=\frac{k\pi}{2}$. Les quatre solutions sont $2$, $2\mathrm{i}$, $-2$ et $-2\mathrm{i}$.

e) Dans les deux cas les solutions se répartissent régulièrement sur un cercle centré à l'origine : rayon 1 et trois points formant un triangle équilatéral pour la première équation, rayon 2 et quatre points formant un carré pour la seconde.

a) $|z-2|$ est la distance entre $M$ et le point $A$ d'affixe $2$. L'ensemble est donc le cercle de centre $A(2,\ 0)$ et de rayon 3.

b) La condition traduit l'égalité des distances de $M$ à l'origine et au point d'affixe 2. L'ensemble est la médiatrice du segment joignant $(0,\ 0)$ et $(2,\ 0)$, c'est-à-dire la droite verticale d'équation $x=1$.

c) $|z-\mathrm{i}|$ est la distance de $M$ au point $A(0,\ 1)$ et $|z+1|=|z-(-1)|$ la distance au point $B(-1,\ 0)$. L'ensemble est la médiatrice de $[AB]$. Son milieu est $\left(-\frac{1}{2},\ \frac{1}{2}\right)$ et $\vec{AB}(-1,\ -1)$ en est un vecteur normal, d'où l'équation $-1\left(x+\frac{1}{2}\right)-1\left(y-\frac{1}{2}\right)=0$, soit $x+y=0$ : c'est la droite d'équation $y=-x$.

d) Pour $z=0$ : $|0-\mathrm{i}|=1$ et $|0+1|=1$, les distances sont égales, et le point $(0,\ 0)$ vérifie bien $y=-x$. Pour $z=1-\mathrm{i}$ : $|1-\mathrm{i}-\mathrm{i}|=|1-2\mathrm{i}|=\sqrt{5}$ et $|1-\mathrm{i}+1|=|2-\mathrm{i}|=\sqrt{5}$, égalité également, et $(1,\ -1)$ vérifie $y=-x$.

a) $|j|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{1}=1$. Ensuite $j^{2}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{4\pi}{3}}=-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$, qui est aussi $\overline{j}$.

b) $1+j+j^{2}=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=0$. On peut aussi l'obtenir en remarquant que $j$ est racine de $z^{2}+z+1=0$, d'après l'exercice 4.

c) $AB=|j-1|=\left|-\frac{3}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right|=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{3}$. $BC=|j^{2}-j|=|-\mathrm{i}\sqrt{3}|=\sqrt{3}$. $CA=|1-j^{2}|=\left|\frac{3}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right|=\sqrt{3}$. Les trois côtés sont égaux : le triangle $ABC$ est équilatéral de côté $\sqrt{3}$.

d) Le centre de gravité a pour affixe la moyenne des trois affixes, soit $\frac{1+j+j^{2}}{3}=\frac{0}{3}=0$. C'est donc l'origine du repère, ce qui est cohérent : les trois points sont sur le cercle unité et régulièrement répartis.

e) $j^{3}=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi}=1$. Pour $j^{2024}$, on divise l'exposant par 3 : $2024=3\times 674+2$, donc $j^{2024}=(j^{3})^{674}\times j^{2}=j^{2}=-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$.

a) Faux. La relation correcte est $|z|^{2}=z\overline{z}$. Contre-exemple avec $z=\mathrm{i}$ : $|z|^{2}=1$ alors que $z^{2}=-1$. Les deux ne coïncident que si $z$ est réel.

b) Faux. Les arguments s'ajoutent, ils ne se multiplient pas : $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')$ modulo $2\pi$. Contre-exemple avec $z=z'=\mathrm{i}$ : $\arg(\mathrm{i}\times\mathrm{i})=\arg(-1)=\pi$, ce qui est bien $\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}$, et non $\frac{\pi}{2}\times\frac{\pi}{2}$.

c) Faux. La notation $\sqrt{\ }$ est réservée aux réels positifs. Tout nombre complexe non nul admet deux racines carrées opposées : celles de $-4$ sont $2\mathrm{i}$ et $-2\mathrm{i}$, et rien ne permet d'en privilégier une. Utiliser $\sqrt{-1}$ conduit d'ailleurs à des absurdités du type $-1=\mathrm{i}^{2}=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{1}=1$.

d) Faux. L'égalité des modules signifie seulement que les deux points sont sur le même cercle centré à l'origine. Contre-exemple : $|1|=|\mathrm{i}|=1$, pourtant $1\neq\mathrm{i}$. Il faut l'égalité du module ET de l'argument.

e) Faux, et la phrase n'a même pas de sens. L'ensemble $\mathbb{C}$ n'est pas ordonné : il n'existe aucune relation d'ordre compatible avec les opérations. On peut comparer des modules, qui sont des réels, mais jamais deux nombres complexes entre eux.