Exercice 0.1 : Calculer sous forme algébrique : dix calculs directs

Pour chaque ligne, effectuez le calcul et écrivez le résultat sous la forme algébrique $x+\mathrm{i}y$ , puis donnez ce qui est demandé : le plus souvent la partie réelle $x$ et la partie imaginaire $y$ , qui est un nombre réel.

On calcule comme avec des expressions littérales en $\mathrm{i}$ , on remplace $\mathrm{i}^{2}$ par $-1$ , puis on regroupe parties réelles et parties imaginaires. Pour diviser, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, qui devient réel : $(a+\mathrm{i}b)(a-\mathrm{i}b)=a^{2}+b^{2}$ . Le module se calcule par $|x+\mathrm{i}y|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ , et une puissance de $\mathrm{i}$ se ramène au reste de l'exposant dans la division par $4$ .

a) $(-3+5\mathrm{i})+(6-9\mathrm{i})$ , puis $(-3+5\mathrm{i})-(6-9\mathrm{i})$ : donnez la partie imaginaire de chacun.
b) $(3-4\mathrm{i})(-2+5\mathrm{i})$ .
c) $(5+2\mathrm{i})^{2}$ .
d) $\mathrm{i}^{2030}+\mathrm{i}^{77}$ .
e) $z\overline{z}$ , pour $z=-6+\sqrt{3}\,\mathrm{i}$ .
f) $|-7+24\mathrm{i}|$ et $|\sqrt{5}-2\mathrm{i}|$ .
g) $\frac{5-5\mathrm{i}}{3+\mathrm{i}}$ .
h) $\frac{1}{2-4\mathrm{i}}$ .
i) $\frac{-7+17\mathrm{i}}{3+2\mathrm{i}}$ .
j) $\overline{\left(\frac{1+5\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\right)}$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/19

a)

Partie imaginaire de la somme

Partie imaginaire de la différence

b)

Partie réelle

Partie imaginaire

c)

Partie réelle

Partie imaginaire

d)

Partie réelle

Partie imaginaire

e)

z\overline{z}

f)

|-7+24\mathrm{i}|

|\sqrt{5}-2\mathrm{i}|

g)

Partie réelle

Partie imaginaire

h)

Partie réelle

Partie imaginaire

i)

Partie réelle

Partie imaginaire

j)

Partie réelle

Partie imaginaire

Voir la correction

Réponses

a) $3-4\mathrm{i}$ et $-9+14\mathrm{i}$ ; $-4$ et $14$
b) $14+23\mathrm{i}$
c) $21+20\mathrm{i}$
d) $-1+\mathrm{i}$
e) $z\overline{z}=39$
f) $25$ et $3$
g) $1-2\mathrm{i}$
h) $\frac{1}{10}+\frac{1}{5}\mathrm{i}$
i) $1+5\mathrm{i}$
j) $\overline{-2+3\mathrm{i}}=-2-3\mathrm{i}$

Le geste qui décide de tout : remplacer $\mathrm{i}^{2}$ par $-1$ dès qu'il apparaît, puis regrouper. Pour un quotient, on ne divise jamais par un complexe : on multiplie en haut et en bas par le conjugué du dénominateur, et le dénominateur devient la somme de deux carrés.

a)

$(-3+5\mathrm{i})+(6-9\mathrm{i})=3-4\mathrm{i}$ et $(-3+5\mathrm{i})-(6-9\mathrm{i})=-3+5\mathrm{i}-6+9\mathrm{i}=-9+14\mathrm{i}$ : parties imaginaires $-4$ et $14$ . Piège : ne distribuer le signe moins que sur le $6$ , ce qui donne $-9-4\mathrm{i}$ .

b)

$(3-4\mathrm{i})(-2+5\mathrm{i})=-6+15\mathrm{i}+8\mathrm{i}-20\mathrm{i}^{2}=-6+20+23\mathrm{i}=14+23\mathrm{i}$ . Piège : lire $-20\mathrm{i}^{2}$ comme $-20$ , d'où $-26+23\mathrm{i}$ .

c)

$(5+2\mathrm{i})^{2}=25+20\mathrm{i}+4\mathrm{i}^{2}=25-4+20\mathrm{i}=21+20\mathrm{i}$ . Piège : $25+4=29$ , en oubliant que $(2\mathrm{i})^{2}=-4$ , ou le double produit oublié, $25+4\mathrm{i}^{2}$ .

d)

On divise l'exposant par $4$ : $2030=4\times 507+2$ , donc $\mathrm{i}^{2030}=\mathrm{i}^{2}=-1$ ; $77=4\times 19+1$ , donc $\mathrm{i}^{77}=\mathrm{i}$ . La somme vaut $-1+\mathrm{i}$ .

e)

$z\overline{z}=(-6+\sqrt{3}\,\mathrm{i})(-6-\sqrt{3}\,\mathrm{i})=(-6)^{2}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}=36+3=39$ , un réel positif, égal à $|z|^{2}$ . Piège : $36-3$ , en appliquant une identité réelle $a^{2}-b^{2}$ sans le $\mathrm{i}^{2}=-1$ .

f)

$|-7+24\mathrm{i}|=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$ et $|\sqrt{5}-2\mathrm{i}|=\sqrt{5+4}=3$ . Piège : $\sqrt{5-4}$ ; le module n'utilise que les parties réelle et imaginaire, deux réels, élevés au carré.

g)

$\frac{5-5\mathrm{i}}{3+\mathrm{i}}=\frac{(5-5\mathrm{i})(3-\mathrm{i})}{(3+\mathrm{i})(3-\mathrm{i})}=\frac{15-5\mathrm{i}-15\mathrm{i}+5\mathrm{i}^{2}}{9+1}=\frac{10-20\mathrm{i}}{10}=1-2\mathrm{i}$ .

h)

$\frac{1}{2-4\mathrm{i}}=\frac{2+4\mathrm{i}}{(2-4\mathrm{i})(2+4\mathrm{i})}=\frac{2+4\mathrm{i}}{4+16}=\frac{1}{10}+\frac{1}{5}\mathrm{i}$ . Piège : écrire le dénominateur $4-16$ , alors que $-(4\mathrm{i})^{2}=+16$ .

i)

$\frac{-7+17\mathrm{i}}{3+2\mathrm{i}}=\frac{(-7+17\mathrm{i})(3-2\mathrm{i})}{9+4}=\frac{-21+14\mathrm{i}+51\mathrm{i}-34\mathrm{i}^{2}}{13}=\frac{13+65\mathrm{i}}{13}=1+5\mathrm{i}$ .

j)

Le quotient d'abord : $\frac{(1+5\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}=\frac{1+\mathrm{i}+5\mathrm{i}+5\mathrm{i}^{2}}{2}=\frac{-4+6\mathrm{i}}{2}=-2+3\mathrm{i}$ , dont le conjugué est $-2-3\mathrm{i}$ . On retrouve la même chose par $\frac{\overline{1+5\mathrm{i}}}{\overline{1-\mathrm{i}}}=\frac{1-5\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$ : le conjugué d'un quotient est le quotient des conjugués. Piège : conjuguer le numérateur seul.

Contrôle : un quotient se vérifie en remultipliant. En i), $(1+5\mathrm{i})(3+2\mathrm{i})=3+2\mathrm{i}+15\mathrm{i}-10=-7+17\mathrm{i}$ ; en h), $(2-4\mathrm{i})\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{5}\mathrm{i}\right)=\frac{2}{10}+\frac{8}{10}=1$ , la partie imaginaire s'annulant.

Coche ici les exercices faits ou à revoir : un compte gratuit, sans mot de passe, retient tes coches et tes réponses justes d'une visite à l'autre, te dit quel chapitre attaquer ensuite et te permet de demander l'exercice qui te manque. Crée ton espace, un courriel suffit.

Exercice 0.2 : Passer à la forme exponentielle : dix calculs directs

Pour chaque ligne, calculez ce qui est demandé. Les arguments sont des mesures principales, dans $]-\pi\,;\pi]$ , et se saisissent en multiples de $\pi$ : l'argument $-\frac{3\pi}{4}$ se tape $-3/4$ .

Le module d'abord, $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ , puis l'argument par les DEUX conditions $\cos\theta=\frac{x}{r}$ et $\sin\theta=\frac{y}{r}$ , après avoir placé le point dans son quadrant. En forme exponentielle, les modules se multiplient et les arguments s'additionnent ; la formule de Moivre donne $\left(r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\right)^{n}=r^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}$ . On ramène l'argument trouvé dans $]-\pi\,;\pi]$ en ajoutant ou en retirant des multiples de $2\pi$ .

a) Donnez l'argument principal de $-6$ , puis celui de $-7\mathrm{i}$ .
b) $z=3-3\mathrm{i}$ : donnez $|z|$ et $\arg(z)$ .
c) $z=-2\sqrt{3}+2\mathrm{i}$ : donnez $|z|$ et $\arg(z)$ .
d) $z=4\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$ : écrivez $z$ sous forme algébrique.
e) $\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}\times 3\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}$ : donnez le module et l'argument principal du produit.
f) $\frac{6\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}}{2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}}$ : donnez le module et l'argument principal du quotient.
g) $(\sqrt{3}+\mathrm{i})^{5}$ , par la formule de Moivre, sous forme algébrique.
h) $z=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{5}}$ : donnez l'argument principal de $\overline{z}$ , puis celui de $-z$ .
i) $(1-\mathrm{i}\sqrt{3})(-\sqrt{3}+\mathrm{i})$ : donnez le module et l'argument principal du produit, sans le développer.
j) $\left(\frac{-\sqrt{3}-\mathrm{i}}{2}\right)^{2027}$ : donnez son argument principal et sa partie réelle.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/20

a)

\arg(-6)

(en multiples de π)

\arg(-7\mathrm{i})

(en multiples de π)

b)

|z|

Argument (en multiples de π)

c)

|z|

Argument (en multiples de π)

d)

Partie réelle

Partie imaginaire

e)

Module

Argument (en multiples de π)

f)

Module

Argument (en multiples de π)

g)

Partie réelle

Partie imaginaire

h)

\arg(\overline{z})

(en multiples de π)

\arg(-z)

(en multiples de π)

i)

Module

Argument (en multiples de π)

j)

Argument (en multiples de π)

Partie réelle

Voir la correction

Réponses

a) $\arg(-6)=\pi$ ; $\arg(-7\mathrm{i})=-\frac{\pi}{2}$
b) $z=3\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ ; $3\sqrt{2}\approx 4{,}243$ et $-\frac{\pi}{4}$
c) $z=4\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$ ; $4$ et $\frac{5\pi}{6}$
d) $z=-2-2\sqrt{3}\,\mathrm{i}$ ; $-2$ et $\approx-3{,}464$
e) $6\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$ ; $6$ et $-\frac{3\pi}{4}$
f) $3\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{7\pi}{12}}$ ; $3$ et $-\frac{7\pi}{12}$
g) $32\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}=-16\sqrt{3}+16\mathrm{i}$ ; $\approx-27{,}713$ et $16$
h) $\arg(\overline{z})=-\frac{\pi}{5}$ ; $\arg(-z)=-\frac{4\pi}{5}$
i) $4\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}=4\mathrm{i}$ ; $4$ et $\frac{\pi}{2}$
j) $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$ ; $\frac{5\pi}{6}$ et $-\frac{\sqrt{3}}{2}\approx-0{,}866$

Le geste qui décide de tout : placer le point dans le plan AVANT de chercher l'argument. Le quadrant fixe le signe et la valeur de l'angle ; ensuite, en forme exponentielle, tout se ramène à multiplier des modules, à additionner des arguments, puis à ramener le résultat dans $]-\pi\,;\pi]$ .

a)

$-6$ est sur le demi-axe réel négatif : $\arg(-6)=\pi$ . $-7\mathrm{i}$ est sur le demi-axe imaginaire négatif : $\arg(-7\mathrm{i})=-\frac{\pi}{2}$ . Piège : $\arg(-6)=0$ parce que le nombre est réel, ou $\arg(-7\mathrm{i})=\frac{3\pi}{2}$ , qui n'est pas dans $]-\pi\,;\pi]$ .

b)

$|z|=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}\approx 4{,}243$ , $\cos\theta=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\theta=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ : quatrième quadrant, $\theta=-\frac{\pi}{4}$ , donc $z=3\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ .

c)

$|z|=\sqrt{12+4}=4$ , $\cos\theta=\frac{-2\sqrt{3}}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\theta=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ : deuxième quadrant, $\theta=\frac{5\pi}{6}$ , donc $z=4\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$ . Piège : $\arctan\frac{2}{-2\sqrt{3}}=-\frac{\pi}{6}$ , qui est l'argument du point opposé.

d)

$4\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}=4\left(\cos\frac{2\pi}{3}-\mathrm{i}\sin\frac{2\pi}{3}\right)=4\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)=-2-2\sqrt{3}\,\mathrm{i}$ : partie réelle $-2$ , partie imaginaire $-2\sqrt{3}\approx-3{,}464$ . Piège : $\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\frac{2\pi}{3}$ est négatif, et le sinus d'un angle négatif l'est aussi.

e)

Les modules se multiplient : $\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}=6$ . Les arguments s'additionnent : $\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{4}$ , qui dépasse $\pi$ ; on retire $2\pi$ : argument principal $-\frac{3\pi}{4}$ , et le produit vaut $6\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$ . Piège : laisser $\frac{5\pi}{4}$ .

f)

Les modules se divisent : $\frac{6}{2}=3$ . Les arguments se soustraient : $-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}=-\frac{4\pi}{12}-\frac{3\pi}{12}=-\frac{7\pi}{12}$ , déjà dans $]-\pi\,;\pi]$ . Le quotient vaut $3\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{7\pi}{12}}$ . Piège : additionner les arguments, ce qui donne $-\frac{\pi}{12}$ .

g)

$\sqrt{3}+\mathrm{i}=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$ . Par la formule de Moivre, $(\sqrt{3}+\mathrm{i})^{5}=2^{5}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}=32\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}\right)=-16\sqrt{3}+16\mathrm{i}$ : partie réelle $-16\sqrt{3}\approx-27{,}713$ , partie imaginaire $16$ . Piège : oublier d'élever le module à la puissance $5$ .

h)

$\overline{z}=2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{5}}$ : le conjugué est le symétrique par rapport à l'axe réel, son argument est l'opposé, $-\frac{\pi}{5}$ . $-z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}\times z=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{6\pi}{5}}$ ; on retire $2\pi$ : argument principal $-\frac{4\pi}{5}$ . Piège : confondre $-z$ et $\overline{z}$ ; l'opposé est le symétrique par rapport à l'origine.

i)

$1-\mathrm{i}\sqrt{3}=2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$ et $-\sqrt{3}+\mathrm{i}=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$ . Le produit a pour module $2\times 2=4$ et pour argument $-\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{6}=\frac{-2\pi+5\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$ : le produit vaut $4\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}=4\mathrm{i}$ . Recoupement par le développement : $-\sqrt{3}+\mathrm{i}+3\mathrm{i}-\sqrt{3}\,\mathrm{i}^{2}=4\mathrm{i}$ .

j)

$\frac{-\sqrt{3}-\mathrm{i}}{2}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$ , de module $1$ , au troisième quadrant. Sa puissance $12$ vaut $\mathrm{e}^{-10\mathrm{i}\pi}=1$ , et $2027=12\times 168+11$ , donc le nombre vaut $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{55\pi}{6}}$ . On ajoute $10\pi$ : $-\frac{55\pi}{6}+\frac{60\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$ . Argument principal $\frac{5\pi}{6}$ , et partie réelle $\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\approx-0{,}866$ . Piège : diviser $2027$ par $4$ comme pour une puissance de $\mathrm{i}$ ; c'est l'ordre $12$ de ce nombre qui compte.

Contrôle : une forme exponentielle se recoupe en revenant à la forme algébrique, $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=r\cos\theta+\mathrm{i}r\sin\theta$ . En g), le module de $-16\sqrt{3}+16\mathrm{i}$ vaut $\sqrt{768+256}=\sqrt{1024}=32=2^{5}$ ; en j), le nombre trouvé, $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$ , est bien l'inverse du nombre de départ, puisque $2027\equiv-1$ modulo $12$ .

Exercice 1 : Calculs sous forme algébrique

On pose $z_{1}=3+2\mathrm{i}$ et $z_{2}=1-\mathrm{i}$ .

a) Calculez $z_{1}+z_{2}$ et $z_{1}-z_{2}$ .
b) Calculez $z_{1}z_{2}$ sous forme algébrique.
c) Calculez $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ sous forme algébrique.
d) Calculez $z_{1}\overline{z_{1}}$ et vérifiez que le résultat vaut $|z_{1}|^{2}$ .

Voir la correction

Réponses

a) $4+\mathrm{i}$ et $2+3\mathrm{i}$
b) $5-\mathrm{i}$
c) $\frac{1}{2}+\frac{5}{2}\mathrm{i}$
d) $13=|z_{1}|^{2}$

a)

L'addition et la soustraction se font COMPOSANTE PAR COMPOSANTE, exactement comme pour des vecteurs : $z_{1}+z_{2}=(3+1)+(2-1)\mathrm{i}=4+\mathrm{i}$ et $z_{1}-z_{2}=(3-1)+(2-(-1))\mathrm{i}=2+3\mathrm{i}$ . Attention au double signe moins dans la partie imaginaire de la différence.

b)

On développe les quatre produits sans oublier que $\mathrm{i}^{2}=-1$ : $z_{1}z_{2}=(3+2\mathrm{i})(1-\mathrm{i})=3-3\mathrm{i}+2\mathrm{i}-2\mathrm{i}^{2}=3-\mathrm{i}+2=5-\mathrm{i}$ . C'est le remplacement de $-2\mathrm{i}^{2}$ par $+2$ qui fait toute la différence avec un calcul algébrique ordinaire, et l'oublier est l'erreur la plus fréquente.

c)

On multiplie haut et bas par le CONJUGUÉ du dénominateur, ce qui rend celui-ci réel : $\frac{3+2\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\frac{(3+2\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}$ . Le dénominateur vaut $1^{2}+1^{2}=2$ , et le numérateur $3+3\mathrm{i}+2\mathrm{i}+2\mathrm{i}^{2}=1+5\mathrm{i}$ . Donc le quotient vaut $\frac{1+5\mathrm{i}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}\mathrm{i}$ .

d)

$z_{1}\overline{z_{1}}=(3+2\mathrm{i})(3-2\mathrm{i})=9-4\mathrm{i}^{2}=9+4=13$ , en reconnaissant une différence de carrés. Par ailleurs $|z_{1}|=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}$ , donc $|z_{1}|^{2}=13$ ✓. Les deux coïncident, comme le prévoit le cours.

L'identité $z\overline{z}=|z|^{2}$ établie en d) est ce qui rend possible la division de c), et il vaut mieux voir le lien que mémoriser deux techniques. Multiplier par le conjugué transforme un dénominateur complexe en un RÉEL, à savoir le carré de son module, après quoi la division devient une simple multiplication par $\frac{1}{r}$ . C'est exactement le geste utilisé pour rationaliser $\frac{1}{1+\sqrt{2}}$ au lycée, à ceci près que $\mathrm{i}^{2}=-1$ au lieu de $2$ , ce qui change les signes. Retenons enfin la répartition des rôles qui structure tout le chapitre : la forme ALGÉBRIQUE convient aux sommes et aux différences, la forme EXPONENTIELLE des exercices suivants convient aux produits et aux puissances.

Exercice 2 : Module et argument

Déterminez le module et un argument de chacun des nombres complexes suivants, en valeur exacte.

La figure ci-dessous représente la situation.

a) $z=1+\mathrm{i}\sqrt{3}$
b) $z'=-1+\mathrm{i}$
c) $z''=-2\mathrm{i}$
d) $z'''=5$

Voir la correction

Réponses

a) $2$ et $\frac{\pi}{3}$
b) $\sqrt{2}$ et $\frac{3\pi}{4}$
c) $2$ et $-\frac{\pi}{2}$
d) $5$ et $0$

a)

$|z|=\sqrt{1^{2}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$ . On FACTORISE ensuite par le module pour faire apparaître un point du cercle unité : $z=2\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ , et l'on reconnaît $\cos\frac{\pi}{3}$ et $\sin\frac{\pi}{3}$ . Donc $\arg(z)=\frac{\pi}{3}$ . Les deux coordonnées étant positives, le point est bien dans le premier quadrant ✓.

b)

$|z'|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$ , puis $z'=\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ , ce qui correspond à $\cos\frac{3\pi}{4}$ et $\sin\frac{3\pi}{4}$ . Donc $\arg(z')=\frac{3\pi}{4}$ . Le contrôle par le quadrant est ici décisif : la partie réelle est négative et l'imaginaire positive, on est donc dans le DEUXIÈME quadrant, ce qui exclut $-\frac{\pi}{4}$ ✓.

c)

$|z''|=\sqrt{0+4}=2$ , et $z''$ est un imaginaire pur de partie imaginaire NÉGATIVE : son point est sur l'axe des ordonnées vers le bas, donc $\arg(z'')=-\frac{\pi}{2}$ . On peut aussi écrire $\frac{3\pi}{2}$ , les deux différant d'un tour.

d)

$|z'''|=5$ , et $z'''$ est un réel strictement POSITIF : son point est sur l'axe des abscisses vers la droite, donc $\arg(z''')=0$ . Si le nombre avait été $-5$ , l'argument aurait valu $\pi$ .

La méthode est invariable et il ne faut jamais s'en écarter : on calcule d'abord le module, on factorise par lui, puis on identifie le cosinus et le sinus obtenus, qui sont nécessairement ceux d'un point du cercle unité. Deux contrôles s'imposent ensuite. Le premier vérifie que $\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$ , ce qui est automatique si le module est juste. Le second, plus important, vérifie le QUADRANT : la calculatrice, via l'arctangente, ne distingue pas $z$ de $-z$ , et c'est le signe des deux parties qui tranche. Notons enfin que l'argument n'est défini que MODULO $2\pi$ , si bien qu'il n'existe pas une réponse mais une famille, et le zéro lui-même n'en a aucun.

Exercice 3 : Forme exponentielle

On rappelle que $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)$ .

a) Écrivez $2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$ sous forme algébrique.
b) Écrivez $z=-1+\mathrm{i}$ sous forme exponentielle.
c) Calculez $2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}\times 3\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$ et donnez le résultat sous forme algébrique.
d) Calculez $\frac{2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}}{4\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}}$ sous forme exponentielle.

Voir la correction

Réponses

a) $1+\mathrm{i}\sqrt{3}$
b) $\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$
c) $6\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}=6\mathrm{i}$
d) $\frac{1}{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$

a)

On applique la définition : $2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=1+\mathrm{i}\sqrt{3}$ . On retrouve exactement le nombre de l'exercice 2 a), ce qui n'est pas un hasard : c'est le même nombre écrit dans les deux formes.

b)

D'après l'exercice 2 b), $|z|=\sqrt{2}$ et $\arg(z)=\frac{3\pi}{4}$ , donc $z=\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$ . Le passage de l'algébrique à l'exponentielle ne demande donc rien d'autre que le module et l'argument, déjà calculés.

c)

C'est ici que la forme exponentielle montre sa supériorité : les MODULES se multiplient et les ARGUMENTS s'ajoutent. Donc $2\times 3=6$ et $\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{2\pi}{6}+\frac{\pi}{6}=\frac{3\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$ . Le produit vaut $6\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}=6\left(\cos\frac{\pi}{2}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{2}\right)=6\mathrm{i}$ . Le même calcul en forme algébrique aurait demandé de développer quatre produits contenant des racines.

d)

Symétriquement, les modules se DIVISENT et les arguments se SOUSTRAIENT : $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ et $\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$ . Le quotient vaut $\frac{1}{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$ . Aucune multiplication par le conjugué n'a été nécessaire, contrairement à l'exercice 1 c).

La règle de choix est donc simple et vaut d'être formulée une fois pour toutes : la forme ALGÉBRIQUE pour additionner et soustraire, la forme EXPONENTIELLE pour multiplier, diviser et élever à une puissance. La raison est structurelle, l'exponentielle transformant les sommes en produits, exactement comme dans le cas réel : $\mathrm{e}^{\mathrm{i}a}\times\mathrm{e}^{\mathrm{i}b}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a+b)}$ . Une conséquence géométrique mérite d'être retenue, car elle donne tout son sens au chapitre : multiplier par $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ revient à effectuer une ROTATION d'angle $\theta$ suivie d'un agrandissement de rapport $r$ . Multiplier par $\mathrm{i}$ , dont le module vaut $1$ et l'argument $\frac{\pi}{2}$ , est donc exactement un quart de tour direct.

Exercice 4 : Équations du second degré dans C

Résolvez dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes, à coefficients réels.

a) $z^{2}-2z+5=0$
b) $z^{2}+z+1=0$
c) $z^{2}+9=0$
d) Que remarque-t-on sur les couples de solutions obtenus ? Pourquoi était-ce prévisible ?

Voir la correction

Réponses

a) $1\pm 2\mathrm{i}$
b) $\frac{-1\pm\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$
c) $\pm 3\mathrm{i}$
d) Conjuguées : coefficients réels

a)

$\Delta=(-2)^{2}-4\times 1\times 5=4-20=-16<0$ . Quand le discriminant est négatif, on écrit $\sqrt{\Delta}$ sous la forme $\mathrm{i}\sqrt{|\Delta|}$ , ici $\mathrm{i}\times 4$ , et les solutions sont $z=\frac{2\pm 4\mathrm{i}}{2}=1\pm 2\mathrm{i}$ . Vérification pour $1+2\mathrm{i}$ : $(1+2\mathrm{i})^{2}=1+4\mathrm{i}+4\mathrm{i}^{2}=-3+4\mathrm{i}$ , puis $-3+4\mathrm{i}-2(1+2\mathrm{i})+5=-3+4\mathrm{i}-2-4\mathrm{i}+5=0$ ✓.

b)

$\Delta=1-4=-3<0$ , donc $\sqrt{\Delta}=\mathrm{i}\sqrt{3}$ et les solutions sont $z=\frac{-1\pm\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$ . Ce sont les nombres traditionnellement notés $j$ et $\overline{j}$ , de module $\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1$ , et l'exercice 10 leur sera entièrement consacré.

c)

Ici le discriminant n'est même pas nécessaire : $z^{2}=-9$ donne directement $z=3\mathrm{i}$ ou $z=-3\mathrm{i}$ , en remarquant que $(3\mathrm{i})^{2}=9\mathrm{i}^{2}=-9$ ✓. Tout nombre complexe non nul admet exactement DEUX racines carrées, opposées l'une de l'autre.

d)

Dans chacun des trois cas, les deux solutions sont CONJUGUÉES l'une de l'autre. C'était prévisible, et la démonstration tient en une ligne : lorsque les coefficients sont réels, conjuguer l'égalité $az^{2}+bz+c=0$ donne $\overline{a}\,\overline{z}^{2}+\overline{b}\,\overline{z}+\overline{c}=a\overline{z}^{2}+b\overline{z}+c=0$ , puisque $\overline{a}=a$ et ainsi de suite. Donc si $z$ est racine, $\overline{z}$ l'est aussi.

La propriété de d) a une conséquence remarquable qu'il vaut la peine de connaître : un polynôme à coefficients RÉELS a toujours un nombre PAIR de racines non réelles, puisqu'elles vont par paires conjuguées. C'est pourquoi un polynôme de degré impair admet toujours au moins une racine réelle, résultat qu'on démontrait en Terminale par le théorème des valeurs intermédiaires et qu'on retrouve ici par un tout autre chemin. Notons enfin que le passage aux complexes ne fait pas disparaître le discriminant, il le rend seulement toujours exploitable : $\Delta>0$ donne deux racines réelles, $\Delta=0$ une racine double réelle, et $\Delta<0$ deux racines complexes conjuguées.

Exercice 5 : Affixes et géométrie

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé. On note $A$ , $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $z_{A}=1+2\mathrm{i}$ , $z_{B}=4-2\mathrm{i}$ et $z_{C}=-2+\mathrm{i}$ .

La figure ci-dessous représente la situation.

a) Calculez l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ , puis la distance $AB$ .
b) Calculez l'affixe du milieu $I$ de $[AB]$ .
c) Calculez $AC$ et $BC$ .
d) Le triangle $ABC$ est-il isocèle ? Rectangle ?

Voir la correction

Réponses

a) $3-4\mathrm{i}$ ; $AB=5$
b) $z_{I}=\frac{5}{2}$
c) $AC=\sqrt{10}$ , $BC=3\sqrt{5}$
d) Ni isocèle ni rectangle (obtus en $A$ )

a)

L'affixe d'un vecteur est la DIFFÉRENCE des affixes, extrémité moins origine : $z_{\vec{AB}}=z_{B}-z_{A}=(4-1)+(-2-2)\mathrm{i}=3-4\mathrm{i}$ . La distance $AB$ est alors le MODULE de cette affixe : $AB=|3-4\mathrm{i}|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ . C'est le lien fondamental entre complexes et géométrie, et tout l'exercice en découle.

b)

L'affixe du milieu est la MOYENNE des affixes : $z_{I}=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}=\frac{(1+4)+(2-2)\mathrm{i}}{2}=\frac{5}{2}$ . Le point $I$ a donc pour coordonnées $\left(\frac{5}{2}\,;\,0\right)$ et se trouve sur l'axe des abscisses, ce qui s'explique : $A$ et $B$ ont des ordonnées opposées.

c)

$z_{C}-z_{A}=(-2-1)+(1-2)\mathrm{i}=-3-\mathrm{i}$ , donc $AC=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\approx 3{,}16$ . Et $z_{C}-z_{B}=(-2-4)+(1+2)\mathrm{i}=-6+3\mathrm{i}$ , donc $BC=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\approx 6{,}71$ .

d)

Les trois longueurs valent $5$ , $\sqrt{10}$ et $3\sqrt{5}$ , deux à deux différentes : le triangle n'est donc PAS isocèle. Pour tester Pythagore, on identifie le plus GRAND côté, ici $BC$ avec $BC^{2}=45$ , et l'on compare à la somme des carrés des deux autres : $AB^{2}+AC^{2}=25+10=35\neq 45$ . Le triangle n'est donc pas rectangle non plus. Comme $35<45$ , l'angle en $A$ est même OBTUS.

Le dictionnaire entre complexes et géométrie mérite d'être écrit une fois, car il rend beaucoup d'exercices immédiats. L'affixe de $\vec{AB}$ est $z_{B}-z_{A}$ ; la distance $AB$ est $|z_{B}-z_{A}|$ ; l'affixe du milieu est la demi-somme ; l'angle $\left(\vec{u}\,;\,\vec{AB}\right)$ est $\arg(z_{B}-z_{A})$ . On dispose ainsi d'un outil qui traite d'un seul calcul ce qui demanderait séparément des coordonnées et de la trigonométrie. La remarque finale sur l'angle obtus illustre un contrôle rentable : comparer $c^{2}$ à $a^{2}+b^{2}$ ne coûte rien de plus que le test de Pythagore et donne en prime la nature de l'angle, aigu si la somme l'emporte, obtus sinon.

Exercice 6 : Formule de Moivre

On pose $z=1+\mathrm{i}$ .

L'option maths expertes est évaluée en contrôle continu, sans écrit au baccalauréat : cette partie B est au niveau des devoirs surveillés de l'année.

a) Déterminez le module et un argument de $z$ , puis sa forme exponentielle.
b) Calculez $z^{4}$ à l'aide de la formule de Moivre.
c) Calculez $z^{8}$ .
d) Retrouvez $z^{4}$ par le calcul direct, en passant par $z^{2}$ .
e) Déterminez le plus petit entier $n\geq 1$ tel que $z^{n}$ soit un réel strictement positif.

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Réponses

a) $\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
b) $z^{4}=-4$
c) $z^{8}=16$
d) $z^{2}=2\mathrm{i}$ , $z^{4}=-4$
e) $n=8$

a)

$|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$ , puis $z=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\mathrm{i}\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ , ce qui donne $\arg(z)=\frac{\pi}{4}$ , les deux coordonnées étant égales et positives. Donc $z=\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ .

b)

La formule de Moivre dit que l'on élève le module à la puissance et que l'on MULTIPLIE l'argument : $z^{4}=\left(\sqrt{2}\right)^{4}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\times 4\times\frac{\pi}{4}}=4\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}=4\times(-1)=-4$ . Le calcul du module utilise $\left(\sqrt{2}\right)^{4}=\left(\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)^{2}=2^{2}=4$ .

c)

$z^{8}=\left(\sqrt{2}\right)^{8}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\times 8\times\frac{\pi}{4}}=16\,\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi}=16\times 1=16$ . L'argument valant un tour complet, le résultat est un réel positif.

d)

Par le calcul direct : $z^{2}=(1+\mathrm{i})^{2}=1+2\mathrm{i}+\mathrm{i}^{2}=1+2\mathrm{i}-1=2\mathrm{i}$ , puis $z^{4}=\left(z^{2}\right)^{2}=(2\mathrm{i})^{2}=4\mathrm{i}^{2}=-4$ ✓. Les deux méthodes concordent. Pour la puissance quatrième les deux se valent, mais pour $z^{100}$ la voie algébrique serait impraticable alors que Moivre donnerait la réponse en une ligne.

e)

On écrit $z^{n}=\left(\sqrt{2}\right)^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{n\pi}{4}}$ . Le module $\left(\sqrt{2}\right)^{n}$ est toujours strictement positif, il n'impose donc aucune condition. Il suffit que l'ARGUMENT soit un multiple de $2\pi$ : $\frac{n\pi}{4}=2k\pi$ donne $n=8k$ . Le plus petit entier convenant est $n=8$ , ce qui redonne bien $z^{8}=16>0$ ✓. Pour $n$ entre $1$ et $7$ , aucune puissance n'est un réel positif, ce qu'on vérifie sur les valeurs : $z^{4}=-4$ est réel mais négatif.

La formule de Moivre transforme une multiplication répétée en une simple multiplication d'angle, ce qui rend calculables des puissances hors de portée autrement : $z^{100}=\left(\sqrt{2}\right)^{100}\mathrm{e}^{25\mathrm{i}\pi}=2^{50}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}=-2^{50}$ , en réduisant $25\pi$ modulo $2\pi$ . La question e) illustre en prime la méthode générale pour ce type de question : on sépare la condition sur le module de celle sur l'argument, et l'on résout séparément. Ici seul l'argument contraint, ce qui ramène le problème à une équation en nombres entiers. Géométriquement, multiplier par $1+\mathrm{i}$ fait tourner d'un huitième de tour tout en agrandissant : il faut donc huit multiplications pour revenir sur l'axe réel positif.

Exercice 7 : Racines n-ièmes de l'unité

On cherche les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $z^{3}=1$ , puis de $z^{4}=16$ .

a) En écrivant $z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ , montrez que $r=1$ et déterminez les valeurs possibles de $\theta$ .
b) Donnez les trois solutions de $z^{3}=1$ sous forme exponentielle puis algébrique.
c) Calculez la somme des trois solutions, puis leur produit.
d) Résolvez de même $z^{4}=16$ .
e) Où se placent les solutions dans le plan complexe ?

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Réponses

a) $r=1$ , $\theta=\frac{2k\pi}{3}$
b) $1$ ; $-\frac{1}{2}\pm\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$
c) Somme $0$ , produit $1$
d) $2$ , $2\mathrm{i}$ , $-2$ , $-2\mathrm{i}$
e) Polygone régulier : triangle, carré

a)

On pose $z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ avec $r>0$ , donc $z^{3}=r^{3}\mathrm{e}^{3\mathrm{i}\theta}$ , qui doit valoir $1=1\times\mathrm{e}^{\mathrm{i}\times 0}$ . On IDENTIFIE alors séparément les modules et les arguments, ce qui est la clé de la méthode. Modules : $r^{3}=1$ , donc $r=1$ puisque $r$ est un réel positif et que la fonction cube est bijective sur les positifs. Arguments, égaux seulement MODULO $2\pi$ : $3\theta=2k\pi$ , donc $\theta=\frac{2k\pi}{3}$ pour $k$ entier.

b)

Bien que $k$ parcoure tous les entiers, seules TROIS valeurs donnent des nombres distincts, car $k$ et $k+3$ donnent des arguments différant d'un tour. On prend $k=0$ , $1$ et $2$ : $z_{0}=\mathrm{e}^{0}=1$ ; $z_{1}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}=\cos\frac{2\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $z_{2}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{4\pi}{3}}=-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

c)

La somme vaut $1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=0$ . Le produit se calcule plus vite en exponentielle : $1\times\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}\times\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{4\pi}{3}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}\right)}=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi}=1$ . Ces deux résultats ne sont pas fortuits, ce sont les relations coefficients-racines appliquées à $z^{3}-1=0$ , dont le coefficient de $z^{2}$ est nul.

d)

Même méthode : $r^{4}=16$ donne $r=2$ , et $4\theta=2k\pi$ donne $\theta=\frac{k\pi}{2}$ . Les quatre solutions distinctes correspondent à $k=0$ , $1$ , $2$ et $3$ : ce sont $2$ , $2\mathrm{i}$ , $-2$ et $-2\mathrm{i}$ . On vérifie par exemple $(2\mathrm{i})^{4}=16\mathrm{i}^{4}=16$ ✓.

e)

Dans les deux cas, les solutions se répartissent RÉGULIÈREMENT sur un cercle centré à l'origine : rayon $1$ et trois points formant un triangle équilatéral pour la première équation, rayon $2$ et quatre points formant un carré pour la seconde. Les arguments sont en progression arithmétique de raison $\frac{2\pi}{n}$ , ce qui est exactement la définition d'un polygone régulier inscrit.

Il faut retenir le résultat général, qui vaut pour tout entier $n\geq 1$ : l'équation $z^{n}=a$ admet exactement $n$ solutions dans $\mathbb{C}$ , toutes de module $|a|^{\frac{1}{n}}$ et d'arguments espacés de $\frac{2\pi}{n}$ . C'est une différence radicale avec les réels, où $z^{4}=16$ n'a que deux solutions et $z^{3}=1$ une seule. Leur somme est toujours NULLE dès que $n\geq 2$ , ce qui se voit géométriquement : les $n$ vecteurs se répartissent symétriquement autour de l'origine et se compensent. Cette propriété sert d'ailleurs de contrôle : si la somme des solutions trouvées n'est pas nulle, c'est qu'une solution manque ou qu'une est fausse.

Exercice 8 : Ensembles de points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé. Dans chaque cas, déterminez et caractérisez l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant la condition donnée.

a) $|z-2|=3$
b) $|z|=|z-2|$
c) $|z-\mathrm{i}|=|z+1|$
d) Vérifiez votre réponse à la question c) en testant les points d'affixes $0$ et $1-\mathrm{i}$ .

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Réponses

a) Cercle de centre $(2\,;0)$ , rayon $3$
b) Médiatrice : $x=1$
c) Droite $y=-x$
d) Distances égales ( $1$ et $\sqrt{5}$ ) ✓

a)

La quantité $|z-2|$ est la DISTANCE entre le point $M$ d'affixe $z$ et le point $A$ d'affixe $2$ , puisque $z-2$ est l'affixe du vecteur $\vec{AM}$ . La condition $|z-2|=3$ signifie donc que $M$ est à distance $3$ de $A$ : l'ensemble est le CERCLE de centre $A(2\,;\,0)$ et de rayon $3$ .

b)

La condition $|z|=|z-2|$ traduit l'égalité des distances de $M$ à l'origine $O$ et au point $A$ d'affixe $2$ . L'ensemble des points équidistants de deux points fixes est leur MÉDIATRICE : ici celle du segment joignant $(0\,;\,0)$ et $(2\,;\,0)$ , c'est-à-dire la droite verticale d'équation $x=1$ .

c)

On réécrit d'abord la seconde distance sous la bonne forme : $|z+1|=|z-(-1)|$ , distance de $M$ au point $B(-1\,;\,0)$ . La première, $|z-\mathrm{i}|$ , est la distance au point $A(0\,;\,1)$ . L'ensemble est donc la médiatrice de $[AB]$ . Son milieu est $\left(-\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\right)$ et $\vec{AB}(-1\,;\,-1)$ en est un vecteur normal, d'où l'équation $-1\left(x+\frac{1}{2}\right)-1\left(y-\frac{1}{2}\right)=0$ , soit $-x-y=0$ , c'est-à-dire la droite $y=-x$ .

d)

Pour $z=0$ : $|0-\mathrm{i}|=1$ et $|0+1|=1$ , les distances sont bien égales ✓, et le point $(0\,;\,0)$ vérifie $y=-x$ ✓. Pour $z=1-\mathrm{i}$ : $|1-\mathrm{i}-\mathrm{i}|=|1-2\mathrm{i}|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$ et $|1-\mathrm{i}+1|=|2-\mathrm{i}|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$ , égalité également ✓, et le point $(1\,;\,-1)$ vérifie $y=-x$ ✓. Les deux vérifications confirment la droite trouvée.

La règle qui gouverne tout cet exercice tient en une phrase : $|z-a|$ est la DISTANCE du point d'affixe $z$ au point d'affixe $a$ , et rien d'autre. Deux configurations en découlent immédiatement, et elles couvrent la quasi-totalité des questions posées. Une égalité du type $|z-a|=r$ , avec $r$ constant, décrit un CERCLE de centre $a$ et de rayon $r$ . Une égalité du type $|z-a|=|z-b|$ , entre deux distances variables, décrit la MÉDIATRICE de $[ab]$ . Le piège principal est le signe : $|z+1|$ n'est pas la distance au point $1$ mais au point $-1$ , et il faut systématiquement réécrire sous la forme $|z-a|$ avant d'interpréter, comme en c).

Exercice 9 : Cinq erreurs sur les complexes

Chacune des affirmations suivantes est fausse. Corrigez-la et donnez un contre-exemple.

a) « $|z|^{2}=z^{2}$ . »
b) « $\arg(zz')=\arg(z)\times\arg(z')$ . »
c) « Puisque $\mathrm{i}^{2}=-1$ , on peut écrire $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$ et donc $\sqrt{-4}=2\mathrm{i}$ . »
d) « Si $|z|=|z'|$ , alors $z=z'$ . »
e) « Le nombre $1+\mathrm{i}$ est plus grand que $1$ . »

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Réponses

a) Faux : $|z|^{2}=z\overline{z}$
b) Faux : les arguments s'ajoutent
c) Faux : deux racines, $\pm 2\mathrm{i}$
d) Faux : même cercle seulement
e) Faux : $\mathbb{C}$ n'est pas ordonné

a)

Faux. La relation correcte est $|z|^{2}=z\overline{z}$ , établie à l'exercice 1. Contre-exemple avec $z=\mathrm{i}$ : $|z|^{2}=1^{2}=1$ alors que $z^{2}=\mathrm{i}^{2}=-1$ . Les deux ne coïncident que si $z$ est RÉEL, cas où $z=\overline{z}$ . On notera que $|z|^{2}$ est toujours un réel positif, alors que $z^{2}$ peut être n'importe quel complexe.

b)

Faux. Les arguments s'AJOUTENT, ils ne se multiplient pas : $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')$ modulo $2\pi$ . Contre-exemple avec $z=z'=\mathrm{i}$ : $\arg(\mathrm{i}\times\mathrm{i})=\arg(-1)=\pi$ , ce qui est bien $\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}$ ✓, et non $\frac{\pi}{2}\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi^{2}}{4}\approx 2{,}47$ ✗. Ce sont les MODULES qui se multiplient, et confondre les deux règles est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

c)

Faux. La notation $\sqrt{\ }$ est réservée aux réels positifs, où elle désigne l'UNIQUE racine carrée positive. Dans $\mathbb{C}$ , tout nombre non nul admet deux racines carrées opposées, et rien ne permet d'en privilégier une : celles de $-4$ sont $2\mathrm{i}$ et $-2\mathrm{i}$ , sans qu'aucune ne soit plus légitime. Utiliser $\sqrt{-1}$ conduit d'ailleurs à des absurdités du type $-1=\mathrm{i}^{2}=\sqrt{-1}\times\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)\times(-1)}=\sqrt{1}=1$ , la règle $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ ne valant que pour $a$ et $b$ positifs.

d)

Faux. L'égalité des modules signifie seulement que les deux points sont sur le MÊME CERCLE centré à l'origine, ce qui laisse une infinité de possibilités. Contre-exemple : $|1|=|\mathrm{i}|=1$ , et pourtant $1\neq\mathrm{i}$ . Pour conclure à l'égalité il faut le module ET l'argument, ce qui revient à dire qu'un complexe est déterminé par deux nombres réels et non par un seul.

e)

Faux, et la phrase n'a même pas de SENS. L'ensemble $\mathbb{C}$ n'est pas ordonné : il n'existe aucune relation d'ordre compatible avec les opérations, et l'on peut le démontrer. Si un tel ordre existait, $\mathrm{i}$ serait positif ou négatif ; dans les deux cas son carré serait positif, or $\mathrm{i}^{2}=-1<0$ , contradiction. On peut donc comparer des MODULES, qui sont des réels, mais jamais deux nombres complexes entre eux.

Ces cinq erreurs se ramènent à un même réflexe fautif, celui de transporter dans $\mathbb{C}$ des propriétés qui ne valaient que dans $\mathbb{R}$ . Trois choses ont été PERDUES en passant aux complexes, et il faut les connaître : l'ordre, comme le montre e) ; l'unicité de la racine carrée, comme le montre c) ; et la possibilité d'identifier un nombre à sa seule valeur absolue, comme le montre d). Trois choses ont été GAGNÉES en échange : toute équation polynomiale y admet des solutions, les rotations deviennent des multiplications, et la géométrie du plan se calcule. Les affirmations a) et b) relèvent d'une autre confusion, entre l'écriture algébrique et l'écriture exponentielle, chacune ayant ses propres règles.

Exercice 10 : Le triangle des racines cubiques

On note $j=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}=-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$ , et on considère les points $A$ , $B$ et $C$ d'affixes respectives $1$ , $j$ et $j^{2}$ .

Ce sont les trois racines cubiques de l'unité, trouvées à l'exercice 7.

La figure ci-dessous représente la situation.

a) Vérifiez que $|j|=1$ et calculez $j^{2}$ sous forme algébrique.
b) Démontrez que $1+j+j^{2}=0$ .
c) Calculez les longueurs $AB$ , $BC$ et $CA$ . Que peut-on en conclure sur le triangle $ABC$ ?
d) Quel est le centre de gravité du triangle $ABC$ ? Justifiez à partir de la question b).
e) Calculez $j^{3}$ et $j^{2024}$ .

Voir la correction

Réponses

a) $|j|=1$ , $j^{2}=-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$
b) $1+j+j^{2}=0$
c) Côtés $\sqrt{3}$ : équilatéral
d) L'origine
e) $j^{3}=1$ , $j^{2024}=j^{2}$

a)

$|j|=\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{1}=1$ ✓, ce qui est cohérent avec la forme exponentielle donnée, dont le module vaut $1$ . Ensuite $j^{2}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{4\pi}{3}}=\cos\frac{4\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$ , qui n'est autre que $\overline{j}$ .

b)

$1+j+j^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\left(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)+\mathrm{i}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=0$ ✓. On peut aussi l'obtenir sans calcul : $j$ est racine de $z^{2}+z+1=0$ d'après l'exercice 4 b), donc $j^{2}+j+1=0$ par définition.

c)

$AB=|j-1|=\left|-\frac{3}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right|=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{3}$ . $BC=\left|j^{2}-j\right|=\left|-\mathrm{i}\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}$ . $CA=\left|1-j^{2}\right|=\left|\frac{3}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right|=\sqrt{3}$ . Les trois côtés sont égaux : le triangle $ABC$ est ÉQUILATÉRAL de côté $\sqrt{3}$ .

d)

L'affixe du centre de gravité est la MOYENNE des trois affixes : $\frac{1+j+j^{2}}{3}=\frac{0}{3}=0$ d'après b). Le centre de gravité est donc l'ORIGINE du repère. C'est cohérent : les trois points sont sur le cercle unité et régulièrement répartis, leur barycentre ne peut être que le centre du cercle.

e)

$j^{3}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\times 3\times\frac{2\pi}{3}}=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi}=1$ , ce qui confirme que $j$ est bien une racine cubique de l'unité. Pour $j^{2024}$ , on divise l'exposant par $3$ : $2\,024=3\times 674+2$ , donc $j^{2024}=\left(j^{3}\right)^{674}\times j^{2}=1^{674}\times j^{2}=j^{2}=-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Le nombre $j$ revient constamment en maths expertes, et il vaut la peine de retenir ses trois propriétés d'un bloc : $j^{3}=1$ , $1+j+j^{2}=0$ , et $j^{2}=\overline{j}=\frac{1}{j}$ . La dernière égalité vient de ce que le module vaut $1$ , cas où l'inverse et le conjugué coïncident. La question e) reprend exactement la technique de l'exercice sur les congruences en arithmétique : seul le RESTE de l'exposant modulo $3$ compte, et l'on ne calcule jamais la puissance entière. Enfin, le résultat de c) et d) se généralise : les $n$ racines n-ièmes de l'unité forment toujours un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, de centre de gravité l'origine, puisque leur somme est nulle.

Exercice 11 : Une équation qui fait intervenir le conjugué

On cherche les nombres complexes $z$ tels que $2z+\mathrm{i}\,\overline{z}=3-\mathrm{i}$ .

On pose $z=x+\mathrm{i}y$ , avec $x$ et $y$ réels.

a) Exprimez $\overline{z}$ , puis écrivez le membre de gauche sous forme algébrique.
b) En identifiant parties réelles et imaginaires, écrivez le système vérifié par $x$ et $y$ , puis calculez $x$ .
c) Calculez $y$ et donnez $z$ .
d) Vérifiez la solution dans l'équation de départ.
e) Calculez le module de $z$ .

Voir la correction

Réponses

a) $(2x+y)+\mathrm{i}(x+2y)$
b) $x=\frac{7}{3}$
c) $y=-\frac{5}{3}$ : $z=\frac{7}{3}-\frac{5}{3}\mathrm{i}$
d) On retrouve $3-\mathrm{i}$ ✓
e) $|z|=\frac{\sqrt{74}}{3}\approx 2{,}868$

a)

$\overline{z}=x-\mathrm{i}y$ , donc $\mathrm{i}\,\overline{z}=\mathrm{i}x-\mathrm{i}^{2}y=y+\mathrm{i}x$ . Le membre de gauche vaut $2x+2\mathrm{i}y+y+\mathrm{i}x=(2x+y)+\mathrm{i}(x+2y)$ . Le conjugué empêche de résoudre comme une équation du premier degré ordinaire : on ne peut pas isoler $z$ , d'où le passage par $x$ et $y$ .

b)

Deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles ET leurs parties imaginaires sont égales : $2x+y=3$ et $x+2y=-1$ . La première donne $y=3-2x$ ; en reportant, $x+6-4x=-1$ , soit $-3x=-7$ et $x=\frac{7}{3}$ .

c)

$y=3-\frac{14}{3}=-\frac{5}{3}$ , donc $z=\frac{7}{3}-\frac{5}{3}\mathrm{i}$ .

d)

$\overline{z}=\frac{7}{3}+\frac{5}{3}\mathrm{i}$ et $\mathrm{i}\,\overline{z}=-\frac{5}{3}+\frac{7}{3}\mathrm{i}$ . Alors $2z+\mathrm{i}\,\overline{z}=\frac{14}{3}-\frac{10}{3}\mathrm{i}-\frac{5}{3}+\frac{7}{3}\mathrm{i}=\frac{9}{3}-\frac{3}{3}\mathrm{i}=3-\mathrm{i}$ ✓.

e)

$|z|=\sqrt{\left(\frac{7}{3}\right)^{2}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{49+25}}{3}=\frac{\sqrt{74}}{3}\approx 2{,}868$ .

Exercice 12 : Les racines carrées d'un nombre complexe

Dans $\mathbb{C}$ , tout nombre non nul $w$ admet exactement deux racines carrées, c'est-à-dire deux solutions de $z^{2}=w$ , opposées l'une de l'autre.

a) Écrivez $w=8\mathrm{i}$ sous forme exponentielle.
b) En posant $z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ , résolvez $z^{2}=8\mathrm{i}$ : déterminez $r$ et les deux valeurs de $\theta$ dans $[0\,;2\pi[$ .
c) Donnez les deux solutions sous forme algébrique et vérifiez l'une d'elles.
d) On veut résoudre $z^{2}=-3+4\mathrm{i}$ , dont l'argument n'est pas remarquable. En posant $z=x+\mathrm{i}y$ et en utilisant aussi $|z|^{2}=|w|$ , trouvez les deux solutions.
e) Pourquoi l'égalité des modules est-elle indispensable dans la méthode de d) ?

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Réponses

a) $8\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}$
b) $r=2\sqrt{2}$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ ou $\frac{5\pi}{4}$
c) $2+2\mathrm{i}$ et $-2-2\mathrm{i}$
d) $1+2\mathrm{i}$ et $-1-2\mathrm{i}$
e) Troisième équation $x^{2}+y^{2}=5$

a)

$8\mathrm{i}$ a pour module $8$ et, étant un imaginaire pur de partie imaginaire positive, pour argument $\frac{\pi}{2}$ : $w=8\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}$ .

b)

$z^{2}=r^{2}\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta}=8\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}$ donne $r^{2}=8$ , soit $r=2\sqrt{2}$ , et $2\theta=\frac{\pi}{2}+2k\pi$ , soit $\theta=\frac{\pi}{4}+k\pi$ . Dans $[0\,;2\pi[$ : $\theta=\frac{\pi}{4}$ ou $\theta=\frac{5\pi}{4}$ . Oublier le $+2k\pi$ avant de diviser par deux fait perdre la seconde solution.

c)

$2\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}=2\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=2+2\mathrm{i}$ , et l'autre est son opposé, $-2-2\mathrm{i}$ . Vérification : $(2+2\mathrm{i})^{2}=4+8\mathrm{i}+4\mathrm{i}^{2}=8\mathrm{i}$ ✓.

d)

$(x+\mathrm{i}y)^{2}=x^{2}-y^{2}+2\mathrm{i}xy$ , donc $x^{2}-y^{2}=-3$ et $2xy=4$ . Les modules donnent $x^{2}+y^{2}=|-3+4\mathrm{i}|=5$ . En ajoutant et en retranchant : $2x^{2}=2$ et $2y^{2}=8$ , soit $x=\pm 1$ et $y=\pm 2$ . Comme $xy=2>0$ , $x$ et $y$ sont de même signe : les solutions sont $1+2\mathrm{i}$ et $-1-2\mathrm{i}$ . Vérification : $(1+2\mathrm{i})^{2}=1+4\mathrm{i}-4=-3+4\mathrm{i}$ ✓.

e)

Les deux équations $x^{2}-y^{2}=-3$ et $2xy=4$ mènent à une équation du quatrième degré difficile. L'égalité des modules fournit une troisième équation, $x^{2}+y^{2}=5$ , qui, combinée à la première, donne directement $x^{2}$ et $y^{2}$ ; l'équation $2xy=4$ ne sert plus alors qu'à choisir les SIGNES.

Exercice 13 : Linéariser avec les formules d'Euler

Les formules d'Euler s'écrivent $\cos x=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2}$ et $\sin x=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}$ . Linéariser une puissance de cosinus, c'est l'écrire comme une somme de cosinus d'angles multiples, ce qui permet de la primitiver.

a) Développez $\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2}\right)^{2}$ et déduisez-en l'expression linéarisée de $\cos^{2}x$ .
b) Développez de même $\cos^{3}x$ par la formule du binôme et linéarisez-le.
c) Vérifiez la formule de b) en $x=0$ et en $x=\frac{\pi}{3}$ .
d) Calculez $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{3}x\,dx$ en valeur exacte.
e) Linéarisez $\sin^{2}x$ et calculez $\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx$ .

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Réponses

a) $\cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$
b) $\cos^{3}x=\frac{\cos 3x+3\cos x}{4}$
c) $1$ en $0$ et $\frac{1}{8}$ en $\frac{\pi}{3}$ ✓
d) $\frac{2}{3}$
e) $\sin^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ ; intégrale $\frac{\pi}{2}$

a)

$\cos^{2}x=\frac{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}x}+2+\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x}}{4}=\frac{2\cos 2x+2}{4}=\frac{1+\cos 2x}{2}$ , en regroupant $\mathrm{e}^{2\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x}=2\cos 2x$ .

b)

Avec $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ : $\cos^{3}x=\frac{\mathrm{e}^{3\mathrm{i}x}+3\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}+3\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-3\mathrm{i}x}}{8}=\frac{2\cos 3x+6\cos x}{8}=\frac{\cos 3x+3\cos x}{4}$ . Le dénominateur est $2^{3}=8$ et non $2$ .

c)

En $x=0$ : $\frac{1+3}{4}=1=\cos^{3}0$ ✓. En $x=\frac{\pi}{3}$ : $\cos\pi=-1$ et $\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ , donc $\frac{-1+\frac{3}{2}}{4}=\frac{1}{8}=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ ✓.

d)

Une primitive de $\frac{\cos 3x+3\cos x}{4}$ est $\frac{\sin 3x}{12}+\frac{3\sin x}{4}$ . Donc $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{3}x\,dx=\frac{\sin\frac{3\pi}{2}}{12}+\frac{3}{4}-0=-\frac{1}{12}+\frac{9}{12}=\frac{2}{3}$ .

e)

$\sin^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ , par la même méthode ou par $\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$ . Alors $\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx=\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi}{2}\approx 1{,}571$ : la moitié de la longueur de l'intervalle, puisque $\sin^{2}$ oscille autour de sa valeur moyenne $\frac{1}{2}$ .

Exercice 14 : Une suite de points qui s'enroule vers l'origine

On définit la suite de nombres complexes $(z_{n})$ par $z_{0}=4$ et $z_{n+1}=\frac{1+\mathrm{i}}{2}\,z_{n}$ . On note $M_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$ .

a) Écrivez $q=\frac{1+\mathrm{i}}{2}$ sous forme exponentielle.
b) Exprimez $z_{n}$ en fonction de $n$ , puis $|z_{n}|$ . Quelle est la limite de $|z_{n}|$ ?
c) Calculez $z_{4}$ .
d) Déterminez le plus petit entier $n$ tel que $M_{n}$ soit dans le disque de centre $O$ et de rayon $0{,}01$ .
e) Montrez que le triangle $OM_{n}M_{n+1}$ est isocèle rectangle en $M_{n+1}$ . Calculez la longueur totale de la ligne brisée $M_{0}M_{1}M_{2}\ldots$

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Réponses

a) $q=\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
b) $|z_{n}|=4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n}\to 0$
c) $z_{4}=-1$
d) $n=18$
e) Isocèle rectangle en $M_{n+1}$ ; longueur $4(\sqrt{2}+1)$

a)

$|q|=\frac{\sqrt{1+1}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , et $q=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ donne $\arg q=\frac{\pi}{4}$ : $q=\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ . Multiplier par $q$ , c'est tourner d'un huitième de tour et réduire de $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}707$ .

b)

C'est une suite géométrique de raison $q$ : $z_{n}=4q^{n}=4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{n\pi}{4}}$ et $|z_{n}|=4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n}$ . Comme $0<\frac{\sqrt{2}}{2}<1$ , $|z_{n}|$ tend vers $0$ : les points s'enroulent vers l'origine.

c)

$z_{4}=4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{4}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}=4\times\frac{1}{4}\times(-1)=-1$ .

d)

On cherche $4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n}<0{,}01$ , soit $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n}<0{,}0025$ et, en passant au logarithme qui est croissant, $n\ln\frac{\sqrt{2}}{2}<\ln 0{,}0025$ . Le logarithme de $\frac{\sqrt{2}}{2}$ étant NÉGATIF, l'inégalité change de sens : $n>\frac{\ln 0{,}0025}{\ln\frac{\sqrt{2}}{2}}\approx 17{,}3$ . Le rang cherché est $n=18$ ; vérification : $|z_{17}|\approx 0{,}011$ et $|z_{18}|\approx 0{,}0078$ .

e)

$OM_{n+1}=|z_{n+1}|=\frac{\sqrt{2}}{2}|z_{n}|$ et $M_{n}M_{n+1}=|z_{n+1}-z_{n}|=|z_{n}|\,|q-1|=|z_{n}|\left|\frac{-1+\mathrm{i}}{2}\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}|z_{n}|$ : les deux côtés sont égaux. De plus $OM_{n+1}^{2}+M_{n}M_{n+1}^{2}=\frac{1}{2}|z_{n}|^{2}+\frac{1}{2}|z_{n}|^{2}=OM_{n}^{2}$ , donc le triangle est rectangle en $M_{n+1}$ par la réciproque de Pythagore. La longueur totale est la somme géométrique $\sum_{n\geq 0}4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n+1}=\frac{4\times\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=4\left(\sqrt{2}+1\right)\approx 9{,}66$ : une spirale infinie de longueur finie.

Exercice 15 : Trigonométrie par la formule de Moivre

La formule de Moivre donne, pour tout réel $\theta$ : $(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)^{3}=\cos 3\theta+\mathrm{i}\sin 3\theta$ . En développant le membre de gauche, on obtient des formules de trigonométrie.

a) Développez $(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)^{3}$ et, en identifiant les parties réelles, exprimez $\cos 3\theta$ en fonction de $\cos\theta$ seul.
b) En identifiant les parties imaginaires, exprimez $\sin 3\theta$ en fonction de $\sin\theta$ seul.
c) Vérifiez la formule de a) pour $\theta=\frac{\pi}{3}$ .
d) Montrez que $c=\cos\frac{\pi}{9}$ est solution de $8x^{3}-6x-1=0$ , et donnez sa valeur approchée.
e) Les trois racines de cette équation sont $\cos\frac{\pi}{9}$ , $\cos\frac{7\pi}{9}$ et $\cos\frac{13\pi}{9}$ . Que vaut leur somme ? Quelle est la plus petite ?

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Réponses

a) $\cos 3\theta=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta$
b) $\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^{3}\theta$
c) $-1$ ✓
d) $8c^{3}-6c-1=0$ , $c\approx 0{,}940$
e) Somme $0$ ; plus petite $\cos\frac{7\pi}{9}\approx -0{,}766$

a)

Avec $c=\cos\theta$ et $s=\sin\theta$ : $(c+\mathrm{i}s)^{3}=c^{3}+3\mathrm{i}c^{2}s-3cs^{2}-\mathrm{i}s^{3}$ . Partie réelle : $\cos 3\theta=c^{3}-3cs^{2}=c^{3}-3c(1-c^{2})=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta$ .

b)

Partie imaginaire : $\sin 3\theta=3c^{2}s-s^{3}=3(1-s^{2})s-s^{3}=3\sin\theta-4\sin^{3}\theta$ . Attention : $\mathrm{i}^{3}=-\mathrm{i}$ , d'où le signe du dernier terme.

c)

$\cos\pi=-1$ et $4\left(\frac{1}{2}\right)^{3}-3\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-1$ ✓.

d)

Pour $\theta=\frac{\pi}{9}$ , $3\theta=\frac{\pi}{3}$ et $\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ : $4c^{3}-3c=\frac{1}{2}$ , soit en multipliant par $2$ , $8c^{3}-6c-1=0$ . Numériquement $c\approx 0{,}940$ . Le cosinus de $20^{\circ}$ n'a pas d'expression simple avec des racines carrées, mais il est racine d'une équation du troisième degré à coefficients entiers.

e)

Le coefficient de $x^{2}$ étant nul, la somme des racines est NULLE : $0{,}940-0{,}766-0{,}174=0$ . La plus petite est $\cos\frac{7\pi}{9}\approx -0{,}766$ . Les deux autres angles conviennent aussi, car $3\times\frac{7\pi}{9}=\frac{7\pi}{3}$ et $3\times\frac{13\pi}{9}=\frac{13\pi}{3}$ ont le même cosinus que $\frac{\pi}{3}$ .

Exercice 16 : Conjugué d'un produit, d'un inverse, d'une puissance : trois démonstrations

Dans tout l'exercice, $z=a+\mathrm{i}b$ et $w=c+\mathrm{i}d$ sont deux nombres complexes, avec $a$ , $b$ , $c$ et $d$ réels. On démontre les trois règles de calcul du conjugué que le programme demande de savoir établir, puis on s'en sert.

a) Démontrez que $\overline{zw}=\overline{z}\,\overline{w}$ en calculant les deux membres sous forme algébrique. Vérifiez-le avec $z=2+3\mathrm{i}$ et $w=1-4\mathrm{i}$ : donnez la partie réelle et la partie imaginaire de $\overline{zw}$ .
b) Démontrez par récurrence que $\overline{z^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{n}$ pour tout entier naturel $n$ . Quelle règle sert dans l'hérédité ?
c) On suppose $z\neq 0$ . En conjuguant l'égalité $z\times\frac{1}{z}=1$ , démontrez que $\overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}}$ . Pour $z=2+3\mathrm{i}$ , donnez la partie imaginaire de $\overline{\left(\frac{1}{z}\right)}$ .
d) Déduisez de b) et c) que $\overline{z^{-n}}=\left(\overline{z}\right)^{-n}$ pour tout entier naturel $n$ et tout $z\neq 0$ . Que vaut $\overline{\mathrm{i}^{-3}}$ ?
e) On pose $t=3+\mathrm{i}$ . Démontrez, sans le calculer, que $t^{3}+\overline{t}^{\,3}$ est un réel, puis calculez-le.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/6

a)

Partie réelle de

\overline{zw}

Partie imaginaire de

\overline{zw}

b)

Règle utilisée dans l'hérédité

c)

Partie imaginaire de

\overline{\left(1/z\right)}

d)

\overline{\mathrm{i}^{-3}}

e)

t^{3}+\overline{t}^{\,3}

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Réponses

a) $\overline{zw}=(ac-bd)-\mathrm{i}(ad+bc)=\overline{z}\,\overline{w}$ ; exemple : $14+5\mathrm{i}$
b) Récurrence, hérédité par le conjugué d'un produit
c) $\overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}}$ ; exemple : partie imaginaire $\frac{3}{13}$
d) $\overline{z^{-n}}=\left(\overline{z}\right)^{-n}$ ; $\overline{\mathrm{i}^{-3}}=-\mathrm{i}$
e) $\overline{Z}=Z$ donc $Z$ réel ; $t^{3}+\overline{t}^{\,3}=36$

a)

D'un côté, $zw=(a+\mathrm{i}b)(c+\mathrm{i}d)=ac+\mathrm{i}ad+\mathrm{i}bc+\mathrm{i}^{2}bd=(ac-bd)+\mathrm{i}(ad+bc)$ , donc $\overline{zw}=(ac-bd)-\mathrm{i}(ad+bc)$ . De l'autre, $\overline{z}\,\overline{w}=(a-\mathrm{i}b)(c-\mathrm{i}d)=ac-\mathrm{i}ad-\mathrm{i}bc+\mathrm{i}^{2}bd=(ac-bd)-\mathrm{i}(ad+bc)$ . Les deux membres ont même partie réelle et même partie imaginaire : ils sont égaux, pour TOUS $z$ et $w$ , ce qui est une démonstration et non une vérification. Sur l'exemple, $zw=(2+3\mathrm{i})(1-4\mathrm{i})=2-8\mathrm{i}+3\mathrm{i}-12\mathrm{i}^{2}=14-5\mathrm{i}$ , donc $\overline{zw}=14+5\mathrm{i}$ ; et $\overline{z}\,\overline{w}=(2-3\mathrm{i})(1+4\mathrm{i})=2+8\mathrm{i}-3\mathrm{i}+12=14+5\mathrm{i}$ . Partie réelle $14$ , partie imaginaire $5$ .

b)

Notons $P(n)$ : « $\overline{z^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{n}$ ». Initialisation : $z^{0}=1$ et $\overline{1}=1=\left(\overline{z}\right)^{0}$ , donc $P(0)$ est vraie. Hérédité : supposons $P(n)$ . Alors $\overline{z^{n+1}}=\overline{z^{n}\times z}=\overline{z^{n}}\times\overline{z}$ par la règle du conjugué d'un PRODUIT démontrée en a), puis $=\left(\overline{z}\right)^{n}\times\overline{z}=\left(\overline{z}\right)^{n+1}$ par hypothèse de récurrence. Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n$ . Contrôle sur $z=2+3\mathrm{i}$ : $z^{4}=-119-120\mathrm{i}$ et $(2-3\mathrm{i})^{4}=-119+120\mathrm{i}$ , qui est bien le conjugué. Le piège est d'écrire l'hérédité avec une somme : c'est le produit qui sert, parce qu'une puissance est un produit répété.

c)

Pour $z\neq 0$ , $z\times\frac{1}{z}=1$ . On conjugue les deux membres : $\overline{z\times\frac{1}{z}}=\overline{1}=1$ , et par a), $\overline{z}\times\overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=1$ . Comme $z\neq 0$ , $\overline{z}\neq 0$ (un complexe et son conjugué ont le même module), et l'on peut diviser : $\overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}}$ . Pour $z=2+3\mathrm{i}$ : $\frac{1}{z}=\frac{2-3\mathrm{i}}{(2+3\mathrm{i})(2-3\mathrm{i})}=\frac{2-3\mathrm{i}}{13}$ , donc $\overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{2+3\mathrm{i}}{13}$ , de partie imaginaire $\frac{3}{13}\approx 0{,}231$ . On retrouve bien $\frac{1}{\overline{z}}=\frac{1}{2-3\mathrm{i}}=\frac{2+3\mathrm{i}}{13}$ .

d)

Par définition, $z^{-n}=\frac{1}{z^{n}}$ . Alors $\overline{z^{-n}}=\overline{\left(\frac{1}{z^{n}}\right)}=\frac{1}{\overline{z^{n}}}$ par c) appliqué à $z^{n}\neq 0$ , puis $=\frac{1}{\left(\overline{z}\right)^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{-n}$ par b). La règle vaut donc pour toute puissance ENTIÈRE, positive ou négative. Exemple : $\mathrm{i}^{3}=-\mathrm{i}$ , donc $\mathrm{i}^{-3}=\frac{1}{-\mathrm{i}}=\mathrm{i}$ et $\overline{\mathrm{i}^{-3}}=-\mathrm{i}$ ; par la règle, $\left(\overline{\mathrm{i}}\right)^{-3}=(-\mathrm{i})^{-3}=\frac{1}{(-\mathrm{i})^{3}}=\frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$ . Les deux calculs concordent.

e)

Un complexe $Z$ est réel si et seulement si $\overline{Z}=Z$ . Posons $Z=t^{3}+\overline{t}^{\,3}$ . Le conjugué d'une somme est la somme des conjugués, donc $\overline{Z}=\overline{t^{3}}+\overline{\overline{t}^{\,3}}=\overline{t}^{\,3}+\left(\overline{\overline{t}}\right)^{3}=\overline{t}^{\,3}+t^{3}=Z$ , en utilisant b) deux fois et $\overline{\overline{t}}=t$ . Donc $Z$ est réel, sans aucun calcul. Pour la valeur : $t^{2}=9+6\mathrm{i}-1=8+6\mathrm{i}$ , $t^{3}=(8+6\mathrm{i})(3+\mathrm{i})=24+8\mathrm{i}+18\mathrm{i}-6=18+26\mathrm{i}$ , et $\overline{t}^{\,3}=18-26\mathrm{i}$ par b). La somme vaut $36$ , soit deux fois la partie réelle de $t^{3}$ .

À retenir : les trois règles se démontrent dans l'ordre produit, puissance, inverse, et chacune s'appuie sur la précédente. Sur une copie, citer la règle utilisée à chaque ligne vaut autant que le calcul.

Exercice 17 : Module d'un produit, d'un inverse, d'une puissance : la démonstration par le conjugué

On utilise la relation $|z|^{2}=z\overline{z}$ , valable pour tout complexe $z$ , et la règle $\overline{zw}=\overline{z}\,\overline{w}$ démontrée à l'exercice 16.

a) Démontrez que $|zw|^{2}=|z|^{2}\,|w|^{2}$ pour tous complexes $z$ et $w$ , puis que $|zw|=|z|\,|w|$ . Quel argument permet de passer des carrés aux modules ?
b) Démontrez par récurrence que $|z^{n}|=|z|^{n}$ pour tout entier naturel $n$ . Application : calculez $\left|(1+3\mathrm{i})^{4}\right|$ .
c) Pour $z\neq 0$ , démontrez que $\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|}$ . Application : calculez $\left|\frac{1}{4-3\mathrm{i}}\right|$ .
d) Calculez le module de $Z=\frac{(1+3\mathrm{i})^{4}\,(2-2\mathrm{i})^{2}}{(4-3\mathrm{i})^{3}}$ sans développer aucune puissance.
e) Existe-t-il un complexe $z$ tel que $z^{4}=3+4\mathrm{i}$ et $|z|=2$ ? Justifiez, puis donnez le module que doit avoir tout complexe $z$ vérifiant $z^{4}=3+4\mathrm{i}$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/6

a)

Des carrés aux modules, car

b)

\left|(1+3\mathrm{i})^{4}\right|

c)

\left|\frac{1}{4-3\mathrm{i}}\right|

d)

|Z|

e)

Un tel

z

existe-t-il ?

Module de toute solution

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Réponses

a) $|zw|^{2}=z\overline{z}\,w\overline{w}=|z|^{2}|w|^{2}$ , puis positivité : $|zw|=|z|\,|w|$
b) Récurrence ; $\left|(1+3\mathrm{i})^{4}\right|=100$
c) $\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|}$ ; $\left|\frac{1}{4-3\mathrm{i}}\right|=0{,}2$
d) $|Z|=\frac{100\times 8}{125}=6{,}4$
e) Non, car $|z|^{4}=5\neq 16$ ; module $5^{1/4}\approx 1{,}495$

a)

Par la relation $|u|^{2}=u\overline{u}$ appliquée à $u=zw$ : $|zw|^{2}=zw\,\overline{zw}=zw\,\overline{z}\,\overline{w}$ , par la règle du conjugué d'un produit. Le produit des complexes est commutatif et associatif, donc on regroupe : $=\left(z\overline{z}\right)\left(w\overline{w}\right)=|z|^{2}|w|^{2}$ . Ainsi $|zw|^{2}=\left(|z|\,|w|\right)^{2}$ . Pour conclure, il faut un argument : $|zw|$ et $|z|\,|w|$ sont deux réels POSITIFS, et deux réels positifs de même carré sont égaux. D'où $|zw|=|z|\,|w|$ . Sans cette phrase, on a seulement démontré l'égalité au signe près, et c'est la ligne que le barème attend.

b)

Notons $P(n)$ : « $|z^{n}|=|z|^{n}$ ». $P(0)$ : $|z^{0}|=|1|=1=|z|^{0}$ . Si $P(n)$ est vraie, alors $|z^{n+1}|=|z^{n}\times z|=|z^{n}|\times|z|$ par a), puis $=|z|^{n}\times|z|=|z|^{n+1}$ par hypothèse de récurrence : $P(n+1)$ est vraie. Donc $|z^{n}|=|z|^{n}$ pour tout $n$ . Application : $|1+3\mathrm{i}|=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$ , donc $\left|(1+3\mathrm{i})^{4}\right|=\left(\sqrt{10}\right)^{4}=100$ , sans développer $(1+3\mathrm{i})^{4}=28-96\mathrm{i}$ ; le contrôle est gratuit : $28^{2}+96^{2}=784+9\,216=10\,000=100^{2}$ .

c)

Pour $z\neq 0$ , $z\times\frac{1}{z}=1$ . Par a), $|z|\times\left|\frac{1}{z}\right|=|1|=1$ . Comme $z\neq 0$ , $|z|\neq 0$ et l'on divise : $\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|}$ . Application : $|4-3\mathrm{i}|=\sqrt{16+9}=5$ , donc $\left|\frac{1}{4-3\mathrm{i}}\right|=\frac{1}{5}=0{,}2$ . Par la forme algébrique, $\frac{1}{4-3\mathrm{i}}=\frac{4+3\mathrm{i}}{25}$ , de module $\frac{5}{25}$ : même résultat. On en déduit aussi le module d'un quotient, $\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}$ .

d)

Tout se ramène à des modules connus : $|1+3\mathrm{i}|=\sqrt{10}$ , $|2-2\mathrm{i}|=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ et $|4-3\mathrm{i}|=5$ . Par b) et c), $|Z|=\frac{\left(\sqrt{10}\right)^{4}\times\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}{5^{3}}=\frac{100\times 8}{125}=\frac{800}{125}=6{,}4$ . Le calcul direct demanderait une puissance quatrième, un carré, un cube et une division de complexes ; on trouverait $Z=3{,}84-5{,}12\mathrm{i}$ , et $3{,}84^{2}+5{,}12^{2}=40{,}96=6{,}4^{2}$ . Le module d'un produit est la raison d'être de la forme exponentielle : on ne multiplie que des longueurs.

e)

Si $z^{4}=3+4\mathrm{i}$ , alors par b) $|z|^{4}=|z^{4}|=|3+4\mathrm{i}|=5$ . Avec $|z|=2$ , on aurait $|z|^{4}=16\neq 5$ : c'est impossible, la réponse est NON. Tout complexe solution a donc un module $r$ positif tel que $r^{4}=5$ , soit $r=5^{\frac{1}{4}}=\sqrt{\sqrt{5}}\approx 1{,}495$ . Le module d'une puissance sert ici d'OBSTRUCTION : il élimine une hypothèse sans résoudre l'équation.

À retenir : une démonstration de module passe par $|u|^{2}=u\overline{u}$ , puis se conclut par la positivité des modules. Les puissances et les inverses en découlent par récurrence et par $z\times\frac{1}{z}=1$ .

Exercice 18 : La formule du binôme dans C : démonstration et deux usages

Pour tous complexes $z$ et $w$ et tout entier naturel $n$ , la formule du binôme affirme que $(z+w)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}z^{k}w^{n-k}$ . Les coefficients vérifient la relation de Pascal $\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$ , vue en spécialité.

a) Démontrez la formule par récurrence sur $n$ . Dans l'hérédité, quelle propriété du produit des complexes est indispensable pour regrouper les termes ?
b) Développez $(2+\mathrm{i})^{5}$ par la formule du binôme, en calculant les puissances de $\mathrm{i}$ . Donnez la partie réelle et la partie imaginaire.
c) Contrôlez le résultat de b) par le module : calculez $38^{2}+41^{2}$ et comparez à $|2+\mathrm{i}|^{10}$ .
d) En calculant $(1+\mathrm{i})^{7}$ de deux façons, par le binôme et par la forme exponentielle, déterminez $S=1-\binom{7}{2}+\binom{7}{4}-\binom{7}{6}$ et $T=\binom{7}{1}-\binom{7}{3}+\binom{7}{5}-\binom{7}{7}$ .
e) Pour deux matrices carrées $A$ et $B$ , l'égalité $(A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}$ peut être fausse. En relisant votre démonstration de a), dites à quelle condition la formule du binôme reste vraie pour des matrices.

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Réponses

a) Récurrence avec la relation de Pascal ; la commutativité $zw=wz$ est indispensable
b) $(2+\mathrm{i})^{5}=-38+41\mathrm{i}$
c) $38^{2}+41^{2}=3\,125=5^{5}=|2+\mathrm{i}|^{10}$ ✓
d) $(1+\mathrm{i})^{7}=8-8\mathrm{i}$ , donc $S=8$ et $T=-8$
e) Vraie si $AB=BA$

a)

Notons $P(n)$ la formule au rang $n$ . $P(0)$ : $(z+w)^{0}=1$ et la somme se réduit à $\binom{0}{0}z^{0}w^{0}=1$ . Supposons $P(n)$ . Alors $(z+w)^{n+1}=(z+w)(z+w)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}z^{k+1}w^{n-k}+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}z^{k}w^{n+1-k}$ . Pour obtenir $z\times z^{k}w^{n-k}=z^{k+1}w^{n-k}$ , on a fait passer $z$ devant $w^{n-k}$ : c'est la COMMUTATIVITÉ $zw=wz$ . On décale l'indice de la première somme ( $j=k+1$ ), puis on regroupe les termes en $z^{j}w^{n+1-j}$ : le coefficient vaut $\binom{n}{j-1}+\binom{n}{j}=\binom{n+1}{j}$ par Pascal, et les deux termes extrêmes donnent $z^{n+1}$ et $w^{n+1}$ , de coefficient $1=\binom{n+1}{n+1}=\binom{n+1}{0}$ . On obtient $(z+w)^{n+1}=\sum_{j=0}^{n+1}\binom{n+1}{j}z^{j}w^{n+1-j}$ : $P(n+1)$ est vraie. La démonstration est mot pour mot celle de $\mathbb{R}$ , et c'est le point : elle n'utilise que les règles de calcul que $\mathbb{C}$ partage avec $\mathbb{R}$ .

b)

Avec $z=\mathrm{i}$ et $w=2$ : $(2+\mathrm{i})^{5}=\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}\mathrm{i}^{k}2^{5-k}$ . Les puissances de $\mathrm{i}$ tournent sur un cycle de $4$ : $1$ , $\mathrm{i}$ , $-1$ , $-\mathrm{i}$ , $1$ , $\mathrm{i}$ . Les six termes valent $32$ , $5\times 16\,\mathrm{i}=80\mathrm{i}$ , $10\times 8\times(-1)=-80$ , $10\times 4\times(-\mathrm{i})=-40\mathrm{i}$ , $5\times 2\times 1=10$ et $\mathrm{i}$ . Partie réelle : $32-80+10=-38$ . Partie imaginaire : $80-40+1=41$ . Donc $(2+\mathrm{i})^{5}=-38+41\mathrm{i}$ . Le piège est le terme $k=2$ : $\mathrm{i}^{2}=-1$ rend le troisième terme NÉGATIF, et l'oublier donne une partie réelle de $122$ .

c)

$38^{2}+41^{2}=1\,444+1\,681=3\,125$ . Or $|2+\mathrm{i}|=\sqrt{5}$ , donc par l'exercice 17, $\left|(2+\mathrm{i})^{5}\right|^{2}=|2+\mathrm{i}|^{10}=5^{5}=3\,125$ . Les deux nombres coïncident : le développement passe le contrôle. Une erreur de signe sur un terme aurait presque toujours cassé cette égalité, ce qui fait du module un contrôle en dix secondes de tout développement.

d)

Par le binôme, $(1+\mathrm{i})^{7}=\sum_{k=0}^{7}\binom{7}{k}\mathrm{i}^{k}$ . Les $k$ pairs donnent la partie réelle, avec le signe de $\mathrm{i}^{k}$ : $1-\binom{7}{2}+\binom{7}{4}-\binom{7}{6}=S$ ; les $k$ impairs donnent la partie imaginaire : $\binom{7}{1}-\binom{7}{3}+\binom{7}{5}-\binom{7}{7}=T$ . Par la forme exponentielle, $1+\mathrm{i}=\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ , donc $(1+\mathrm{i})^{7}=\left(\sqrt{2}\right)^{7}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{7\pi}{4}}=8\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=8-8\mathrm{i}$ . En identifiant : $S=8$ et $T=-8$ . Contrôle direct : $1-21+35-7=8$ et $7-35+21-1=-8$ .

e)

La démonstration de a) n'a utilisé qu'une propriété que les matrices n'ont pas toujours : $zw=wz$ . Pour des matrices, $(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}$ , et l'on ne regroupe $AB+BA$ en $2AB$ que si $AB=BA$ . La formule du binôme est donc vraie pour deux matrices qui COMMUTENT, et en général fausse sinon. Relire une démonstration pour y trouver l'hypothèse cachée, c'est exactement ce qui permet de savoir où un résultat cesse de valoir.

À retenir : dans $\mathbb{C}$ , la formule du binôme est licite parce que le produit est commutatif, et les puissances de $\mathrm{i}$ se lisent sur le cycle $1$ , $\mathrm{i}$ , $-1$ , $-\mathrm{i}$ .

Exercice 19 : L'ensemble U des nombres complexes de module 1

On note $\mathbb{U}$ l'ensemble des nombres complexes de module $1$ : dans le plan complexe, c'est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ . On considère $u=\frac{5+12\mathrm{i}}{13}$ et $v=\frac{8-15\mathrm{i}}{17}$ , dont les images $U$ et $V$ sont placées ci-dessous.

a) Vérifiez que $u$ et $v$ appartiennent à $\mathbb{U}$ . Démontrez ensuite que $\mathbb{U}$ est stable par produit : si $|u|=|v|=1$ , alors $|uv|=1$ .
b) Calculez $uv$ sous la forme $\frac{p+\mathrm{i}q}{221}$ avec $p$ et $q$ entiers, et vérifiez que $|uv|=1$ .
c) Démontrez que si $u\in\mathbb{U}$ , alors $\frac{1}{u}=\overline{u}$ et $\frac{1}{u}\in\mathbb{U}$ : $\mathbb{U}$ est stable par passage à l'inverse. Donnez $\frac{1}{u}$ sous forme algébrique.
d) $\mathbb{U}$ est-il stable par somme ? Justifiez par un contre-exemple, en calculant $|1+\mathrm{i}|$ .
e) Démontrez que pour $u$ et $v$ dans $\mathbb{U}$ avec $uv\neq -1$ , le nombre $Z=\frac{u+v}{1+uv}$ est réel. Calculez-le pour les valeurs de l'énoncé.

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Réponses

a) $|u|=|v|=1$ ; $|uv|=|u|\,|v|=1$
b) $uv=\frac{220+21\mathrm{i}}{221}$ , et $220^{2}+21^{2}=221^{2}$
c) $\frac{1}{u}=\overline{u}=\frac{5-12\mathrm{i}}{13}\in\mathbb{U}$
d) Non : $|1+\mathrm{i}|=\sqrt{2}\neq 1$
e) $\overline{Z}=Z$ , donc $Z$ réel ; $Z=\frac{3}{7}$

a)

$|u|^{2}=\frac{5^{2}+12^{2}}{13^{2}}=\frac{25+144}{169}=1$ et $|v|^{2}=\frac{8^{2}+15^{2}}{17^{2}}=\frac{64+225}{289}=1$ : $u$ et $v$ sont dans $\mathbb{U}$ . Pour la stabilité, on applique le module d'un produit (exercice 17) : $|uv|=|u|\,|v|=1\times 1=1$ , donc $uv\in\mathbb{U}$ . La démonstration tient en une ligne parce que le module d'un produit a été démontré avant ; sans lui, il faudrait développer $uv$ et recalculer une somme de carrés à chaque fois.

b)

$(5+12\mathrm{i})(8-15\mathrm{i})=40-75\mathrm{i}+96\mathrm{i}-180\mathrm{i}^{2}=220+21\mathrm{i}$ , et $13\times 17=221$ , donc $uv=\frac{220+21\mathrm{i}}{221}$ : $p=220$ et $q=21$ . Vérification : $220^{2}+21^{2}=48\,400+441=48\,841=221^{2}$ , donc $|uv|=1$ , comme la question a) l'annonçait. Le point $W$ d'affixe $uv$ est presque sur l'axe des abscisses : l'angle de $u$ et celui de $v$ , de signes contraires, se compensent presque, puisque les arguments s'ajoutent.

c)

Si $|u|=1$ , alors $u\overline{u}=|u|^{2}=1$ , donc $u\neq 0$ et $\frac{1}{u}=\overline{u}$ . De plus $\left|\frac{1}{u}\right|=\frac{1}{|u|}=1$ (exercice 17), ou directement $|\overline{u}|=|u|=1$ : $\frac{1}{u}\in\mathbb{U}$ . Sur un élément de $\mathbb{U}$ , inverser revient donc à CONJUGUER, c'est-à-dire à prendre le symétrique par rapport à l'axe des abscisses : ici $\frac{1}{u}=\frac{5-12\mathrm{i}}{13}$ , point $U'$ . Contrôle : $\frac{5+12\mathrm{i}}{13}\times\frac{5-12\mathrm{i}}{13}=\frac{25+144}{169}=1$ .

d)

Non. $1$ et $\mathrm{i}$ sont dans $\mathbb{U}$ , mais $|1+\mathrm{i}|=\sqrt{2}\approx 1{,}414\neq 1$ . Un seul contre-exemple suffit à réfuter une propriété générale. Géométriquement, la somme de deux vecteurs unitaires n'est unitaire que dans un cas très particulier (angle de $120^{\circ}$ entre eux), alors que le produit, qui fait TOURNER un point du cercle, le laisse toujours sur le cercle.

e)

Un complexe est réel si et seulement s'il est égal à son conjugué. Par les règles de l'exercice 16 et $\overline{u}=\frac{1}{u}$ , $\overline{v}=\frac{1}{v}$ : $\overline{Z}=\frac{\overline{u}+\overline{v}}{1+\overline{u}\,\overline{v}}=\frac{\frac{1}{u}+\frac{1}{v}}{1+\frac{1}{uv}}$ . On multiplie en haut et en bas par $uv\neq 0$ : $\overline{Z}=\frac{v+u}{uv+1}=Z$ . Donc $Z$ est réel. Pour les valeurs de l'énoncé : $u+v=\frac{85+204\mathrm{i}+104-195\mathrm{i}}{221}=\frac{189+9\mathrm{i}}{221}$ et $1+uv=\frac{441+21\mathrm{i}}{221}$ , d'où $Z=\frac{189+9\mathrm{i}}{441+21\mathrm{i}}=\frac{9(21+\mathrm{i})}{21(21+\mathrm{i})}=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}\approx 0{,}4286$ . Le calcul confirme la démonstration : la partie imaginaire disparaît.

À retenir : dans $\mathbb{U}$ , l'inverse est le conjugué. C'est cette égalité qui rend les calculs sur les complexes de module $1$ si courts, et elle vient de $u\overline{u}=|u|^{2}$ .

Exercice 20 : Les formules d'addition, par le produit scalaire puis par un produit de complexes

Pour tout réel $a$ , le nombre $\cos a+\mathrm{i}\sin a$ est de module $1$ . Le cours établit d'abord la formule de $\cos(a-b)$ par le produit scalaire, et en déduit la relation $\mathrm{e}^{\mathrm{i}a}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}b}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a+b)}$ ; c'est elle qui permet ensuite de RETROUVER toutes les formules en un seul produit, au lieu de les apprendre par cœur.

La figure ci-dessous représente la situation.

a) Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs unitaires $\vec{u}(\cos a\,;\sin a)$ et $\vec{v}(\cos b\,;\sin b)$ , qui font avec l'axe des abscisses les angles $a$ et $b$ . En calculant $\vec{u}\cdot\vec{v}$ de deux façons, démontrez que $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ .
b) Développez $(\cos a+\mathrm{i}\sin a)(\cos b+\mathrm{i}\sin b)$ et identifiez-le à $\cos(a+b)+\mathrm{i}\sin(a+b)$ : écrivez les formules de $\cos(a+b)$ et de $\sin(a+b)$ .
c) Prenez $b=a$ pour obtenir les formules de duplication. Application : avec $\cos a=\frac{4}{5}$ et $\sin a=\frac{3}{5}$ , calculez $\cos 2a$ et $\sin 2a$ , puis vérifiez le résultat en calculant $\left(\frac{4+3\mathrm{i}}{5}\right)^{2}$ .
d) Calculez $\cos\frac{\pi}{12}$ en valeur exacte, en écrivant $\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}$ .
e) Exprimez $\cos^{2}\frac{\pi}{12}$ à l'aide de $\cos\frac{\pi}{6}$ par une formule de duplication, et vérifiez la cohérence avec d).

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/6

a)

\vec{u}\cdot\vec{v}

vaut aussi

b)

\sin(a+b)

c)

\cos 2a

\sin 2a

d)

\cos\frac{\pi}{12}

e)

\cos^{2}\frac{\pi}{12}

Voir la correction

Réponses

a) $\vec{u}\cdot\vec{v}=\cos a\cos b+\sin a\sin b=\cos(a-b)$
b) $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ , $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
c) $\cos 2a=\frac{7}{25}$ , $\sin 2a=\frac{24}{25}$ ; $\left(\frac{4+3\mathrm{i}}{5}\right)^{2}=\frac{7+24\mathrm{i}}{25}$
d) $\cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\approx 0{,}9659$
e) $\cos^{2}\frac{\pi}{12}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$ , égal au carré de d)

a)

Première façon, par les coordonnées dans un repère orthonormé : $\vec{u}\cdot\vec{v}=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ . Seconde façon, par la définition géométrique : $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)$ . Les deux vecteurs sont unitaires, car $\cos^{2}a+\sin^{2}a=1$ , et l'angle orienté $\left(\vec{u},\vec{v}\right)$ vaut $b-a$ à $2\pi$ près ; le cosinus étant pair, $\vec{u}\cdot\vec{v}=\cos(b-a)=\cos(a-b)$ . En égalant : $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ . C'est la démonstration du programme ; en remplaçant $b$ par $-b$ , on obtient $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ .

b)

$(\cos a+\mathrm{i}\sin a)(\cos b+\mathrm{i}\sin b)=\cos a\cos b+\mathrm{i}\cos a\sin b+\mathrm{i}\sin a\cos b+\mathrm{i}^{2}\sin a\sin b=(\cos a\cos b-\sin a\sin b)+\mathrm{i}(\sin a\cos b+\cos a\sin b)$ . Ce produit vaut $\mathrm{e}^{\mathrm{i}a}\mathrm{e}^{\mathrm{i}b}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a+b)}=\cos(a+b)+\mathrm{i}\sin(a+b)$ . Deux complexes égaux ont même partie réelle et même partie imaginaire : $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ et $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ . Attention à l'ordre logique : ce produit RETROUVE les formules, il ne les démontre pas à lui seul, puisque la relation fonctionnelle a été établie à partir de a). On l'emploie en devoir pour ne jamais se tromper de signe.

c)

Avec $b=a$ : $\cos 2a=\cos^{2}a-\sin^{2}a$ et $\sin 2a=2\sin a\cos a$ . Comme $\cos^{2}a+\sin^{2}a=1$ , on a aussi $\cos 2a=2\cos^{2}a-1=1-2\sin^{2}a$ . Application : $\cos 2a=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}=0{,}28$ et $\sin 2a=2\times\frac{3}{5}\times\frac{4}{5}=\frac{24}{25}=0{,}96$ . Vérification par un carré de complexe de module $1$ : $\left(\frac{4+3\mathrm{i}}{5}\right)^{2}=\frac{16+24\mathrm{i}+9\mathrm{i}^{2}}{25}=\frac{7+24\mathrm{i}}{25}$ , dont les parties réelle et imaginaire sont exactement $\cos 2a$ et $\sin 2a$ : élever au carré double l'argument.

d)

$\cos\frac{\pi}{12}=\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\approx 0{,}9659$ . Le piège est de choisir la formule de $\cos(a+b)$ : le signe moins de $a-b$ devient un signe PLUS dans la formule, et c'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre.

e)

Par $\cos 2x=2\cos^{2}x-1$ avec $x=\frac{\pi}{12}$ : $\cos^{2}\frac{\pi}{12}=\frac{1+\cos\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\approx 0{,}9330$ . Cohérence avec d) : $\left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right)^{2}=\frac{2+2\sqrt{12}+6}{16}=\frac{8+4\sqrt{3}}{16}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$ . Les deux chemins donnent le même carré, et $\cos\frac{\pi}{12}>0$ puisque $\frac{\pi}{12}\in\left]0\,;\frac{\pi}{2}\right[$ , ce qui permet de revenir à la racine positive.

À retenir : on DÉMONTRE une formule d'addition par le produit scalaire, et on les RETROUVE toutes en développant un produit de deux complexes de module $1$ .

Exercice 21 : L'équation az = b, et trois équations qui s'y ramènent

Soit $a$ et $b$ deux nombres complexes. On résout dans $\mathbb{C}$ l'équation $az=b$ , d'inconnue $z$ , puis des équations qui se ramènent à cette forme.

a) Discutez selon $a$ : si $a\neq 0$ , donnez l'unique solution ; si $a=0$ , décrivez l'ensemble des solutions selon $b$ .
b) Résolvez $(2-\mathrm{i})z=3+4\mathrm{i}$ et donnez $z$ sous forme algébrique.
c) Résolvez $(1+\mathrm{i})z+3=2\mathrm{i}z-\mathrm{i}$ .
d) Résolvez $\frac{z-\mathrm{i}}{z+1}=2\mathrm{i}$ , en précisant d'abord la valeur interdite.
e) Déterminez le réel $m$ pour lequel l'équation $(m+2\mathrm{i})z=4+6\mathrm{i}$ admet une solution RÉELLE, et donnez cette solution.

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Réponses

a) $a\neq 0$ : $z=\frac{b}{a}$ ; $a=0$ : vide si $b\neq 0$ , $\mathbb{C}$ si $b=0$
b) $z=\frac{2+11\mathrm{i}}{5}=0{,}4+2{,}2\mathrm{i}$
c) $z=-1-2\mathrm{i}$
d) Valeur interdite $-1$ ; $z=-1{,}2+0{,}6\mathrm{i}$ , acceptée
e) $m=\frac{4}{3}$ , solution $z=3$

a)

Si $a\neq 0$ , $a$ admet un inverse $\frac{1}{a}=\frac{\overline{a}}{|a|^{2}}$ , et $az=b$ équivaut à $z=\frac{b}{a}=\frac{b\,\overline{a}}{|a|^{2}}$ : une unique solution. Si $a=0$ , l'équation devient $0=b$ : si $b\neq 0$ , elle n'a aucune solution, l'ensemble est vide ; si $b=0$ , tout complexe convient, l'ensemble est $\mathbb{C}$ entier. La discussion est la même que dans $\mathbb{R}$ , et c'est pour cela que le cas $a=0$ se traite en premier et en une phrase.

b)

$a=2-\mathrm{i}\neq 0$ , donc $z=\frac{3+4\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}}$ . On multiplie en haut et en bas par le conjugué du dénominateur : $z=\frac{(3+4\mathrm{i})(2+\mathrm{i})}{(2-\mathrm{i})(2+\mathrm{i})}=\frac{6+3\mathrm{i}+8\mathrm{i}+4\mathrm{i}^{2}}{4+1}=\frac{2+11\mathrm{i}}{5}=0{,}4+2{,}2\mathrm{i}$ . Vérification : $(2-\mathrm{i})(0{,}4+2{,}2\mathrm{i})=0{,}8+4{,}4\mathrm{i}-0{,}4\mathrm{i}+2{,}2=3+4\mathrm{i}$ . L'erreur classique divise les parties réelles entre elles, $\frac{3}{2}$ , et les parties imaginaires entre elles, $\frac{4}{-1}$ : un quotient de complexes ne se calcule jamais composante par composante.

c)

On regroupe les termes en $z$ d'un côté : $(1+\mathrm{i})z-2\mathrm{i}z=-\mathrm{i}-3$ , soit $(1-\mathrm{i})z=-3-\mathrm{i}$ . C'est la forme $az=b$ avec $a=1-\mathrm{i}\neq 0$ : $z=\frac{(-3-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}=\frac{-3-3\mathrm{i}-\mathrm{i}-\mathrm{i}^{2}}{2}=\frac{-2-4\mathrm{i}}{2}=-1-2\mathrm{i}$ . Vérification : à gauche, $(1+\mathrm{i})(-1-2\mathrm{i})+3=-1-3\mathrm{i}+2+3=4-3\mathrm{i}$ ; à droite, $2\mathrm{i}(-1-2\mathrm{i})-\mathrm{i}=-2\mathrm{i}+4-\mathrm{i}=4-3\mathrm{i}$ . Les deux membres coïncident.

d)

Le dénominateur s'annule pour $z=-1$ : c'est la valeur interdite. Pour $z\neq -1$ , on multiplie par $z+1$ : $z-\mathrm{i}=2\mathrm{i}(z+1)=2\mathrm{i}z+2\mathrm{i}$ , soit $(1-2\mathrm{i})z=3\mathrm{i}$ , donc $z=\frac{3\mathrm{i}(1+2\mathrm{i})}{(1-2\mathrm{i})(1+2\mathrm{i})}=\frac{3\mathrm{i}-6}{5}=-1{,}2+0{,}6\mathrm{i}$ . Cette valeur est différente de $-1$ , donc elle est acceptée. La précaution n'est pas décorative : une solution égale à la valeur interdite devrait être rejetée, et le barème compte la phrase qui le vérifie.

e)

Si $z$ est un réel, alors $(m+2\mathrm{i})z=mz+2\mathrm{i}z$ a pour partie réelle $mz$ et pour partie imaginaire $2z$ , puisque $m$ et $z$ sont réels. L'égalité avec $4+6\mathrm{i}$ donne $2z=6$ , donc $z=3$ , puis $3m=4$ , donc $m=\frac{4}{3}$ . Réciproquement, pour $m=\frac{4}{3}$ , l'unique solution est $z=\frac{4+6\mathrm{i}}{\frac{4}{3}+2\mathrm{i}}=\frac{3(4+6\mathrm{i})}{4+6\mathrm{i}}=3$ , qui est bien réelle. L'identification des parties réelle et imaginaire n'est licite que parce que $m$ et $z$ sont réels : c'est l'hypothèse à écrire avant de séparer.

À retenir : $az=b$ se résout en multipliant par l'inverse de $a$ , calculé par le conjugué ; toute équation du premier degré en $z$ , sans $\overline{z}$ , se ramène à cette forme en regroupant les termes.

Exercices corrigés : les nombres complexes (maths expertes)

Rappel de cours

Calculs : les calculs sous forme algébrique

Exercice 0.1 : Calculer sous forme algébrique : dix calculs directs

Calculs : module, argument et forme exponentielle

Exercice 0.2 : Passer à la forme exponentielle : dix calculs directs

Partie A : Les bases (/50)

Exercice 1 : Calculs sous forme algébrique

Exercice 2 : Module et argument

Exercice 3 : Forme exponentielle

Exercice 4 : Équations du second degré dans C

Exercice 5 : Affixes et géométrie

Partie B : Niveau baccalauréat (/50)

Exercice 6 : Formule de Moivre

Exercice 7 : Racines n-ièmes de l'unité

Exercice 8 : Ensembles de points

Exercice 9 : Cinq erreurs sur les complexes

Exercice 10 : Le triangle des racines cubiques

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 11 : Une équation qui fait intervenir le conjugué

Exercice 12 : Les racines carrées d'un nombre complexe

Exercice 13 : Linéariser avec les formules d'Euler

Exercice 14 : Une suite de points qui s'enroule vers l'origine

Exercice 15 : Trigonométrie par la formule de Moivre

Partie D : démonstrations et contenus du programme (/60)

Exercice 16 : Conjugué d'un produit, d'un inverse, d'une puissance : trois démonstrations

Exercice 17 : Module d'un produit, d'un inverse, d'une puissance : la démonstration par le conjugué

Exercice 18 : La formule du binôme dans C : démonstration et deux usages

Exercice 19 : L'ensemble U des nombres complexes de module 1

Exercice 20 : Les formules d'addition, par le produit scalaire puis par un produit de complexes

Exercice 21 : L'équation az = b, et trois équations qui s'y ramènent

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