Exercices corrigés : l'arithmétique (maths expertes)

a) On cherche le plus grand multiple de $7$ inférieur ou égal à $2024$ : $7\times 289=2023$, donc $2024=7\times 289+1$, avec $0\leq 1<7$ ✓. Le quotient est $289$ et le reste $1$. La condition sur le reste doit être écrite, c'est elle qui garantit l'unicité du couple.

b) Le piège est ici, et il coûte des points chaque année. On cherche $q$ tel que le reste tombe dans $[0\,;\,5[$. Avec $q=-4$ : $5\times(-4)=-20$ et $-17-(-20)=3$, donc $-17=5\times(-4)+3$, avec quotient $-4$ et reste $3$ ✓. L'erreur classique consiste à écrire $-17=5\times(-3)-2$, ce qui est une égalité vraie mais N'EST PAS une division euclidienne, car $-2$ n'est pas un reste valable. Le reste est toujours POSITIF, même pour un dividende négatif, et le quotient descend donc d'une unité.

c) On décompose d'abord : $36=2^{2}\times 3^{2}$. Les diviseurs positifs s'obtiennent en prenant chaque facteur premier à une puissance comprise entre $0$ et son exposant : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $9$, $12$, $18$ et $36$. Il y en a $(2+1)\times(2+1)=9$, formule qui donne le compte sans énumérer et qui resservira à l'exercice 5.

d) Parmi deux entiers CONSÉCUTIFS, l'un est nécessairement pair, et l'on rédige par disjonction de cas. Si $n$ est pair, alors $n(n+1)$ l'est comme multiple de $n$ ; si $n$ est impair, alors $n+1$ est pair et le produit l'est encore. Dans tous les cas $n(n+1)$ est divisible par $2$. Le même argument, étendu à trois entiers consécutifs, montrerait que leur produit est divisible par $6$.

La division euclidienne est la brique de tout le chapitre, et il faut en retenir deux choses. D'une part le couple $(q\,;\,r)$ est UNIQUE dès qu'on impose $0\leq r<b$, ce qui n'est vrai que grâce à cette condition, comme le montre la question b). D'autre part le reste est exactement ce que mesure la congruence : dire que $2024\equiv 1\ [7]$, c'est dire que sa division par $7$ laisse un reste de $1$. Toute l'arithmétique du programme consiste ensuite à ne travailler QUE sur les restes, ce qui permet de traiter des nombres à mille chiffres sans jamais les écrire.

a) On divise, puis on recommence avec le diviseur et le reste : $1071=2\times 462+147$ ; $462=3\times 147+21$ ; $147=7\times 21+0$. Le dernier reste NON NUL est $21$, donc $\text{pgcd}(1071\,;\,462)=21$. Trois divisions ont suffi, là où l'énumération des diviseurs de $1071$ en aurait demandé des dizaines.

b) $240=1\times 156+84$ ; $156=1\times 84+72$ ; $84=1\times 72+12$ ; $72=6\times 12+0$. Donc $\text{pgcd}(240\,;\,156)=12$. On remarquera que les trois premiers quotients valent $1$, ce qui rend l'algorithme plus lent : c'est le cas le plus défavorable, et il se produit quand les deux nombres sont proches l'un de l'autre.

c) $240=2^{4}\times 3\times 5$ et $156=2^{2}\times 3\times 13$. On garde les facteurs COMMUNS affectés du plus petit exposant : $2^{2}\times 3=12$ ✓, le même résultat. On peut d'ailleurs en déduire le PPCM au passage, en prenant tous les facteurs au plus grand exposant : $2^{4}\times 3\times 5\times 13=3\,120$, et l'on vérifie la relation $12\times 3\,120=37\,440=240\times 156$ ✓.

d) $35=5\times 7$ et $64=2^{6}$ : ils n'ont aucun facteur premier commun, donc $\text{pgcd}(35\,;\,64)=1$ et ils sont PREMIERS ENTRE EUX. Le point à retenir est qu'aucun des deux n'est lui-même un nombre premier : être premiers entre eux est une propriété du COUPLE, pas de chaque nombre, ce que l'exercice 9 reprendra.

Les deux méthodes ne se valent pas, et il faut savoir choisir. L'algorithme d'Euclide est toujours praticable et très rapide, même sur des nombres de plusieurs centaines de chiffres, et c'est celui qu'utilisent les ordinateurs. La décomposition en facteurs premiers est plus parlante et donne en prime le PPCM et le nombre de diviseurs, mais elle devient impraticable dès que les nombres dépassent quelques dizaines de chiffres, la factorisation étant un problème réputé difficile. C'est d'ailleurs sur cette asymétrie, facile de multiplier mais difficile de factoriser, que repose la cryptographie moderne.

a) D'après l'exercice 1, $2024=7\times 289+1$, donc $2024\equiv 1\ [7]$ et le reste vaut $1$. La congruence n'est qu'une autre écriture de la division euclidienne, et c'est cette écriture qui va permettre de calculer sur des puissances énormes.

b) On ne calcule surtout PAS $3^{100}$, qui compte quarante-huit chiffres. On cherche le CYCLE des puissances de $3$ modulo $7$ : $3^{1}\equiv 3$, $3^{2}\equiv 2$, $3^{3}\equiv 6$, $3^{4}\equiv 4$, $3^{5}\equiv 5$, $3^{6}\equiv 1$. Dès qu'on retombe sur $1$, tout recommence : le cycle a pour longueur $6$. On divise alors l'exposant par cette longueur, $100=6\times 16+4$, d'où $3^{100}=\left(3^{6}\right)^{16}\times 3^{4}\equiv 1^{16}\times 3^{4}\equiv 4\ [7]$. Le reste vaut $4$.

c) Le chiffre des unités d'un entier est son reste MODULO 10, ce qu'il faut reconnaître pour transformer la question. Les puissances de $7$ modulo $10$ sont $7$, $9$, $3$, $1$, puis le cycle recommence : sa longueur est $4$. Or $2024=4\times 506$ exactement, donc $7^{2024}=\left(7^{4}\right)^{506}\equiv 1\ [10]$ et le chiffre des unités est $1$.

d) Comme les restes modulo $7$ sont en nombre fini, on peut tous les tester : $3\times 0=0$, $3\times 1=3$, $3\times 2=6$, $3\times 3=9\equiv 2$, $3\times 4=12\equiv 5$, $3\times 5=15=14+1\equiv 1$ ✓. Donc $x\equiv 5\ [7]$, c'est-à-dire $x\in\{\ldots\,;\,-2\,;\,5\,;\,12\,;\,19\,;\,\ldots\}$. On dit que $5$ est l'INVERSE de $3$ modulo $7$.

La méthode du cycle est le cœur du chapitre et se réutilise telle quelle. On calcule les puissances successives modulo $n$ jusqu'à retomber sur $1$, ce qui donne la longueur $\ell$ du cycle ; on divise l'exposant par $\ell$ ; et seul le RESTE de cette division compte. La longueur du cycle, appelée ordre, divise toujours $n-1$ quand $n$ est premier, ce qui est le contenu du petit théorème de Fermat de l'exercice 10 : ici $6$ divise bien $7-1=6$ ; pour le module $10$, qui n'est pas premier, l'ordre $4$ divise tout de même $4$, le nombre d'entiers inversibles modulo $10$. Il faut retenir qu'un exposant énorme n'est jamais un obstacle, seul son reste modulo la longueur du cycle importe.

a) $10-1=9$ est divisible par $9$, donc $10\equiv 1\ [9]$. La compatibilité des congruences avec le PRODUIT permet ensuite d'élever à la puissance : $10^{k}\equiv 1^{k}=1\ [9]$ pour tout entier naturel $k$. C'est cette compatibilité, admise du cours, qui autorise tout le calcul modulaire.

b) Un entier s'écrit dans le système décimal $N=\sum_{k}a_{k}10^{k}$, où les $a_{k}$ sont ses chiffres. Comme $10^{k}\equiv 1\ [9]$, chaque terme $a_{k}10^{k}$ est congru à $a_{k}$, donc par somme $N\equiv\sum_{k}a_{k}\ [9]$ : un entier est congru à la SOMME DE SES CHIFFRES modulo $9$. En particulier, $N$ est divisible par $9$ si et seulement si cette somme l'est, et l'on peut répéter l'opération autant que nécessaire.

c) La somme des chiffres de $5\,823$ vaut $5+8+2+3=18$, qui est divisible par $9$. Donc $5\,823$ l'est aussi, et l'on vérifie : $5\,823=9\times 647$ ✓. On aurait pu resommer, $1+8=9$, ce qui conclut encore plus vite.

d) Cette fois $10+1=11$ est divisible par $11$, donc $10\equiv-1\ [11]$, puis $10^{k}\equiv(-1)^{k}\ [11]$, valeur qui ALTERNE entre $1$ et $-1$ selon la parité de $k$. Un entier est donc congru modulo $11$ à la somme ALTERNÉE de ses chiffres, en partant du chiffre des unités affecté du signe plus.

e) La somme alternée vaut $3-2+8-5=4$, qui n'est pas divisible par $11$. Donc $5\,823$ ne l'est pas non plus, et le calcul direct confirme même le reste : $5\,823=11\times 529+4$ ✓, on retrouve exactement $4$.

Cet exercice montre d'où viennent des règles apprises au collège sans justification, et c'est ce qui en fait sa valeur. La méthode se généralise immédiatement : pour obtenir un critère de divisibilité par $n$, il suffit de calculer $10\ \text{mod}\ n$ et d'en tirer le comportement des puissances. Pour $n=3$, on retrouve $10\equiv 1$ et donc le même critère que pour $9$. Pour $n=2$ ou $n=5$, on a $10\equiv 0$, donc seul le chiffre des unités compte, ce qui explique ces deux critères. Pour $n=7$ en revanche, les puissances de $10$ suivent un cycle de longueur $6$ sans structure simple, et c'est pourquoi il n'existe pas de critère de divisibilité par $7$ facile à retenir.

a) On divise successivement par les nombres premiers : $360=36\times 10=\left(2^{2}\times 3^{2}\right)\times\left(2\times 5\right)=2^{3}\times 3^{2}\times 5$. Contrôle : $8\times 9\times 5=360$ ✓.

b) $2024=2\times 1\,012=2^{2}\times 506=2^{3}\times 253$. Il reste à factoriser $253$, qui n'est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$, ni par $7$, mais $253=11\times 23$, deux nombres premiers. Donc $2024=2^{3}\times 11\times 23$ ✓.

c) Le nombre de diviseurs positifs s'obtient en ajoutant $1$ à chaque exposant puis en multipliant, chaque diviseur correspondant à un choix indépendant d'exposant : $(3+1)\times(2+1)\times(1+1)=4\times 3\times 2=24$ diviseurs positifs pour $360$. La formule évite une énumération de vingt-quatre nombres.

d) Non. On teste les premiers successifs : $221$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$, ni par $7$, ni par $11$, mais $221=13\times 17$. Il n'est donc pas premier, et le trouver demande d'aller jusqu'à $13$, ce qui justifie la question suivante.

e) Il suffit de chercher jusqu'à $\sqrt{n}$, et la démonstration tient en une ligne. Si $n=ab$ avec $1<a\leq b$, alors $a^{2}\leq ab=n$, donc $a\leq\sqrt{n}$ : tout diviseur non trivial admet un PARTENAIRE, et le plus petit des deux ne dépasse jamais la racine. Pour $221$, il suffisait donc d'aller jusqu'à $14$, puisque $14^{2}=196<221<225=15^{2}$, ce qui représente six divisions à tester au lieu de deux cent dix-neuf.

Le gain de la question e) n'est pas anecdotique, il change la nature du problème. Tester la primalité de $n$ en essayant tous les entiers inférieurs demande environ $n$ divisions, alors que s'arrêter à $\sqrt{n}$ n'en demande que $\sqrt{n}$ : pour un nombre à douze chiffres, on passe de mille milliards d'opérations à un million, soit de plusieurs jours à une fraction de seconde. On peut affiner encore en ne testant que les nombres PREMIERS jusqu'à $\sqrt{n}$, puisqu'un diviseur composé aurait déjà été détecté par l'un de ses facteurs premiers. Notons enfin la cohérence entre a) et c) : la formule des exposants donne $24$ diviseurs, et l'énumération complète en donnerait bien vingt-quatre, ce qui vaut la peine d'être vérifié une fois pour se convaincre.

a) Le nombre $17$ est premier et ne divise pas $5$, donc leur seul diviseur commun positif est $1$ : ils sont premiers entre eux. On peut aussi invoquer l'algorithme de la question suivante, dont le dernier reste non nul vaudra $1$.

b) $17=3\times 5+2$, puis $5=2\times 2+1$. Le reste suivant serait nul, puisque $2=2\times 1+0$, et le dernier reste non nul vaut bien $1$ ✓, ce qui confirme la coprimalité.

c) On REMONTE l'algorithme en partant de la dernière égalité, où apparaît le $1$ : $1=5-2\times 2$. Or la première égalité donne $2=17-3\times 5$, qu'on substitue dans la précédente : $1=5-2\left(17-3\times 5\right)=5-2\times 17+6\times 5=7\times 5-2\times 17$. Donc $u=-2$ et $v=7$. Le point de méthode est de ne JAMAIS calculer les valeurs numériques en cours de route, mais de garder $17$ et $5$ apparents, faute de quoi on obtiendrait $1=1$ et rien d'autre.

d) $17\times(-2)+5\times 7=-34+35=1$ ✓. Le couple convient. Cette vérification est immédiate et doit toujours être faite, la remontée de l'algorithme étant l'étape la plus propice aux erreurs de signe.

e) Non, le couple n'est pas unique. En ajoutant $5$ à $u$ et en retranchant $17$ à $v$, la valeur ne change pas : $17\times 3+5\times(-10)=51-50=1$ ✓. Plus généralement, tous les couples s'écrivent $(-2+5k\,;\,7-17k)$ pour $k$ entier, ce qui donne une INFINITÉ de solutions.

L'identité de Bézout affirme que $au+bv=\text{pgcd}(a\,;\,b)$ admet toujours des solutions entières, et l'algorithme d'Euclide remonté en fournit une explicitement. L'invariance constatée en e) s'explique simplement : ajouter $5$ à $u$ augmente le total de $17\times 5$, et retrancher $17$ à $v$ le diminue de $5\times 17$, les deux effets se compensant exactement. C'est ce mécanisme qui donnera la structure de l'ensemble des solutions à l'exercice suivant. Notons enfin l'usage le plus courant de Bézout : le coefficient $v=7$ trouvé ici est précisément l'INVERSE de $5$ modulo $17$, puisque $5\times 7=35=2\times 17+1\equiv 1\ [17]$ ✓, et c'est ainsi qu'on inverse un nombre modulo $n$.

a) L'équation $ax+by=c$ admet des solutions entières si et seulement si $\text{pgcd}(a\,;\,b)$ DIVISE $c$. Ici $\text{pgcd}(17\,;\,5)=1$, et $1$ divise $3$ : l'équation admet donc des solutions. Cette vérification préalable est obligatoire, car une équation comme $6x+4y=3$ n'en aurait aucune, $2$ ne divisant pas $3$.

b) On part du couple de Bézout de l'exercice 6, $17\times(-2)+5\times 7=1$, et l'on multiplie TOUT par $3$ : $17\times(-6)+5\times 21=3$ ✓. Une solution particulière est donc $(x_{0}\,;\,y_{0})=(-6\,;\,21)$. C'est le raccourci à connaître : on résout d'abord l'équation avec second membre $1$, puis on multiplie.

c) Soit $(x\,;\,y)$ une solution quelconque. En soustrayant l'égalité particulière de l'égalité générale : $17(x+6)+5(y-21)=0$, donc $17(x+6)=-5(y-21)$. Ainsi $5$ divise $17(x+6)$, et comme $5$ et $17$ sont premiers entre eux, le théorème de GAUSS donne que $5$ divise $x+6$. On écrit alors $x+6=5k$, d'où $x=-6+5k$, et en reportant on obtient $17\times 5k=-5(y-21)$, soit $y=21-17k$. Réciproquement ces couples conviennent, ce qu'il faut vérifier pour conclure. L'ensemble des solutions est $\{(-6+5k\,;\,21-17k)\,,\ k\in\mathbb{Z}\}$.

d) Pour $k=1$ : le couple $(-1\,;\,4)$ donne $17\times(-1)+5\times 4=-17+20=3$ ✓. Pour $k=2$ : le couple $(4\,;\,-13)$ donne $68-65=3$ ✓. Deux valeurs différentes du paramètre suffisent à donner confiance dans la forme générale.

e) Il faudrait à la fois $-6+5k\geq 0$, soit $k\geq 1{,}2$ donc $k\geq 2$ puisque $k$ est entier, et $21-17k\geq 0$, soit $k\leq\frac{21}{17}\approx 1{,}235$ donc $k\leq 1$. Ces deux conditions sont INCOMPATIBLES : il n'existe aucune solution à coordonnées toutes deux positives.

La structure de l'ensemble des solutions mérite d'être formulée dans le cas général, car elle est toujours la même : une solution PARTICULIÈRE plus la solution générale de l'équation homogène $17x+5y=0$, dont les solutions sont exactement $(5k\,;\,-17k)$. C'est la même architecture que pour les équations différentielles ou les systèmes linéaires. Le pas de $5$ sur $x$ et de $-17$ sur $y$ n'est pas arbitraire : ce sont les coefficients de l'équation, échangés et affectés d'un signe, divisés par le PGCD. Enfin, la question e) illustre pourquoi ces équations s'appellent diophantiennes et servent en pratique : dès qu'on cherche des quantités entières et positives, comme des nombres d'objets, la contrainte de signe restreint l'infinité de solutions à un ensemble fini, parfois vide.

a) Le nombre $7$ divise le produit $5\times n$, et $\text{pgcd}(7\,;\,5)=1$ puisque $7$ est premier et ne divise pas $5$. Les deux hypothèses du théorème de Gauss sont donc réunies, et il s'applique : $7$ divise $n$. Il faut énoncer les deux hypothèses séparément, c'est ce que le barème vérifie.

b) La congruence $5x\equiv 0\ [7]$ signifie exactement que $7$ divise $5x$. D'après la question a), $7$ divise alors $x$, c'est-à-dire $x\equiv 0\ [7]$. Réciproquement, tout multiple de $7$ convient puisque $5x$ en est alors un aussi. L'ensemble des solutions est donc l'ensemble des MULTIPLES de $7$.

c) Non, on ne peut rien conclure. Contre-exemple : $n=3$. Alors $4n=12$, qui est bien divisible par $6$, alors que $6$ ne divise pas $3$. Un seul contre-exemple suffit à démolir l'implication.

d) Il manque la COPRIMALITÉ : $\text{pgcd}(6\,;\,4)=2$, qui n'est pas égal à $1$. Le théorème de Gauss ne s'applique donc pas, et sa conclusion tombe. C'est un cas typique où l'on ne peut pas invoquer un théorème dont une hypothèse est en défaut, même si la conclusion paraît plausible.

e) On peut tout de même conclure quelque chose, en SIMPLIFIANT d'abord par le PGCD. De $6\mid 4n$ on tire, en divisant les deux membres par $2$, que $3$ divise $2n$. Or $\text{pgcd}(3\,;\,2)=1$, et cette fois Gauss s'applique : $3$ divise $n$. On vérifie sur le contre-exemple de c) : $n=3$ est bien divisible par $3$ ✓, et la conclusion affaiblie est donc correcte là où la forte échouait.

Le théorème de Gauss est l'outil qui autorise à SIMPLIFIER en arithmétique, opération qui va de soi dans $\mathbb{R}$ mais qui devient délicate chez les entiers. Sans hypothèse de coprimalité, on ne peut rien simplifier, et l'exercice 9 en donnera une variante sur les congruences. La démarche de la question e) est celle qu'il faut retenir : quand l'hypothèse manque, on ne renonce pas, on divise par le PGCD pour la faire apparaître, puis on applique le théorème à la version réduite. C'est exactement ce qu'on fait pour résoudre une équation diophantienne dont le PGCD ne vaut pas $1$.

a) Faux. Contre-exemple : $a=8$ et $b=9$. Leur PGCD vaut $1$, ils sont donc premiers ENTRE EUX, et pourtant $8=2^{3}$ et $9=3^{2}$ ne sont ni l'un ni l'autre des nombres premiers. La confusion vient du vocabulaire : être premier est une propriété d'un NOMBRE, être premiers entre eux est une propriété du COUPLE, et les deux notions sont indépendantes.

b) Faux. Contre-exemple : $a=6$, $b=4$ et $c=3$. On a $bc=12$, divisible par $6$, alors que $6$ ne divise ni $4$ ni $3$. L'implication redevient vraie dans deux cas seulement : si $a$ est PREMIER, c'est le lemme d'Euclide, ou si l'on ajoute une hypothèse de coprimalité, ce qui donne le théorème de Gauss de l'exercice 8. Sans l'une de ces deux conditions, l'énoncé est faux.

c) Faux. On ne peut simplifier par $c$ que si $c$ et le MODULE $n$ sont premiers entre eux. Contre-exemple modulo $6$ avec $c=2$ : $2\times 3=6\equiv 0$ et $2\times 0=0\equiv 0$, donc $2\times 3\equiv 2\times 0\ [6]$, et pourtant $3\not\equiv 0\ [6]$. Ici $\text{pgcd}(2\,;\,6)=2\neq 1$, ce qui explique l'échec. La règle correcte est que la simplification donne $a\equiv b\ \left[\frac{n}{\text{pgcd}(c\,;\,n)}\right]$, ici modulo $3$, et l'on vérifie bien que $3\equiv 0\ [3]$ ✓.

d) Faux. Un nombre premier est par définition un entier admettant EXACTEMENT DEUX diviseurs positifs distincts. Or $1$ n'en a qu'un seul, lui-même, et il est donc exclu. Cette exclusion n'est pas une convention arbitraire : c'est elle qui rend UNIQUE la décomposition en facteurs premiers, car sinon on pourrait écrire $12=2^{2}\times 3=1\times 2^{2}\times 3=1^{17}\times 2^{2}\times 3$ et une infinité d'autres.

Trois de ces quatre erreurs portent sur une hypothèse manquante, et c'est le fil de tout le chapitre : en arithmétique, les théorèmes sont fragiles et leurs hypothèses ne sont jamais décoratives. La coprimalité en particulier apparaît partout, chez Gauss, dans la simplification des congruences et dans l'existence d'un inverse modulaire, et son absence fait toujours tomber la conclusion. La quatrième erreur est d'une autre nature, c'est une question de DÉFINITION, et elle rappelle qu'une définition bien posée est souvent celle qui rend un théorème vrai plutôt que celle qui paraît naturelle.

a) Le nombre $11$ est premier et ne divise pas $2$, donc le petit théorème de Fermat s'applique : $2^{10}\equiv 1\ [11]$. Comme $100=10\times 10$, on obtient $2^{100}=\left(2^{10}\right)^{10}\equiv 1^{10}=1\ [11]$. Le reste vaut $1$. On a ainsi traité un nombre de trente et un chiffres sans jamais l'écrire.

b) $13$ est premier et ne divise pas $3$, donc $3^{12}\equiv 1\ [13]$. On divise l'exposant par $12$ : $2\,024=12\times 168+8$. Donc $3^{2024}=\left(3^{12}\right)^{168}\times 3^{8}\equiv 3^{8}\ [13]$. Reste à calculer $3^{8}$ modulo $13$ par élévations au carré successives : $3^{2}=9$, $3^{4}\equiv 81\equiv 3$ puisque $81=78+3$, puis $3^{8}\equiv 3^{2}=9\ [13]$. Le reste vaut $9$.

c) Même démarche : $7^{12}\equiv 1\ [13]$ et $2\,024=12\times 168+8$, donc $7^{2024}\equiv 7^{8}\ [13]$. On calcule par carrés successifs : $7^{2}=49\equiv 10$, $7^{4}\equiv 10^{2}=100\equiv 9$ puisque $100=91+9$, et $7^{8}\equiv 9^{2}=81\equiv 3\ [13]$. Le reste vaut $3$.

d) Vérifions : $3^{3}=27=2\times 13+1$, donc $3^{3}\equiv 1\ [13]$ ✓. L'ORDRE de $3$ modulo $13$ vaut donc $3$, et non $12$ : c'est un diviseur de $12$, comme le théorème de Lagrange le garantit. On écrit alors $2\,024=3\times 674+2$, d'où $3^{2024}\equiv 3^{2}=9\ [13]$ ✓. On retrouve le même reste avec un calcul nettement plus court, puisqu'il n'a fallu élever qu'au carré au lieu d'aller jusqu'à la puissance huitième.

e) Parce que $12$ n'est pas PREMIER. Le petit théorème de Fermat exige un module premier, et son hypothèse est ici en défaut. On remarque d'ailleurs que $\text{pgcd}(6\,;\,12)=6\neq 1$, ce qui empêche toute inversibilité de $6$ modulo $12$ : les puissances de $6$ ne reviennent jamais à $1$, elles valent $6$ puis $0$ dès l'exposant $2$, et $6^{100}\equiv 0\ [12]$. Il faudrait passer par un autre outil, le théorème d'Euler, qui remplace $p-1$ par le nombre d'entiers inversibles modulo $n$.

Le contraste entre b) et d) porte l'enseignement principal : le théorème de Fermat donne un exposant qui MARCHE toujours, à savoir $p-1$, mais pas nécessairement le plus petit. L'ordre réel divise $p-1$ et peut être bien plus court, ici $3$ au lieu de $12$, ce qui divise le travail par quatre. En pratique on applique donc Fermat pour garantir un cycle, puis on cherche s'il n'existe pas un exposant plus court en testant les diviseurs de $p-1$ : pour $13$, ce sont $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ et $12$. La question e) rappelle enfin la limite : dès que le module n'est pas premier, le théorème ne s'applique plus, et certains nombres n'ont même aucun ordre puisqu'ils ne reviennent jamais à $1$.

a) $0^{2}=0$, $1^{2}=1$, $2^{2}=4\equiv 1\ [3]$ : un carré est congru à $0$ ou à $1$ modulo $3$, jamais à $2$.

b) Modulo $3$, $3y^{2}\equiv 0$, donc l'équation donnerait $x^{2}\equiv 2\ [3]$, impossible d'après a). Elle n'a AUCUNE solution entière, et on l'a prouvé sans essayer un seul couple.

c) Si ni $a$ ni $b$ n'est multiple de $3$, alors $a^{2}\equiv 1$ et $b^{2}\equiv 1$, donc $c^{2}=a^{2}+b^{2}\equiv 2\ [3]$, impossible. Par contraposée, $3$ divise $a$ ou $b$. Pour $(5\,;12\,;13)$ : $25+144=169$ ✓, et c'est $12$ qui est multiple de $3$.

d) Trois restes pris dans $\{0\,;1\,;4\}$ ont pour somme $0,1,2,3,4,5,6,8,9$ ou $12$, soit modulo $8$ : $0,1,2,3,4,5,6$ ; le reste $7$ n'est JAMAIS atteint. Or $2\,023=8\times 252+7$ : $2\,023$ n'est pas somme de trois carrés, il en faut au moins quatre.

e) Trois restes pris dans $\{0\,;1\,;8\}$ donnent modulo $9$ les sommes $0,1,2,3,6,7,8$ : jamais $4$ ni $5$. Or $2\,021=9\times 224+5$, donc $2\,021$ n'est pas somme de trois cubes d'entiers. Pour $4$ et $5$ modulo $9$, la question est close ; pour les autres restes, elle est encore étudiée par les chercheurs.