Maths expertes, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : l'arithmétique (maths expertes)

Q: Le reste d'une division euclidienne peut-il être négatif ?

Non, jamais. La définition impose qu'il soit compris entre zéro inclus et le diviseur exclu, même quand le dividende est négatif. Pour moins dix-sept divisé par cinq, le quotient est moins quatre et le reste vaut trois : on prend le multiple immédiatement inférieur, ce qui pour un négatif éloigne de zéro.

Q: Peut-on diviser les deux membres d'une congruence ?

Seulement si le facteur qu'on simplifie est premier avec le module. Sinon la simplification est fausse : six et seize sont congrus modulo dix, mais trois et huit ne le sont pas. Somme, produit et puissance sont toujours licites; la division est la seule opération interdite en général.

Q: Quelle est l'hypothèse du théorème de Gauss ?

Que les deux premiers nombres soient premiers entre eux. Si a divise le produit de b par c et que a et b sont premiers entre eux, alors a divise c. Sans cette condition, la conclusion tombe : six divise trente-six qui vaut quatre fois neuf, et pourtant six ne divise pas neuf.

Q: Quand une équation du type ax plus by égale c a-t-elle des solutions entières ?

Exactement lorsque le pgcd de a et b divise c. Toute combinaison entière de a et b est en effet un multiple de leur pgcd. Cette vérification se fait en première ligne et fait parfois gagner tout l'exercice : si la condition n'est pas remplie, la réponse tient en deux phrases.

Q: Comment trouver toutes les solutions d'une équation diophantienne ?

On trouve d'abord une solution particulière, puis on soustrait les deux égalités pour obtenir une relation de divisibilité. Le théorème de Gauss donne alors la forme de la première inconnue, avec un paramètre entier, et on en déduit la seconde. Il faut enfin vérifier la réciproque par substitution.

Q: À quoi sert le petit théorème de Fermat ?

À calculer le reste d'une puissance très élevée modulo un nombre premier. Il affirme que la puissance p moins un d'un nombre non divisible par p est congrue à un. On divise alors l'exposant par p moins un, et il ne reste qu'une petite puissance à calculer. Les deux hypothèses doivent être vérifiées explicitement.

L'arithmétique de l'option maths expertes ne demande presque aucun calcul difficile : des divisions, des restes, des multiples. Ce qu'elle demande, c'est de la rigueur logique, parce que chacun de ses théorèmes vaut sous une hypothèse précise et devient faux sans elle.

Cette fiche liste les huit hypothèses qui se perdent, avec la phrase exacte qui les remet, l'arbre qui dit quel théorème employer selon la formulation de l'énoncé, la méthode complète de résolution d'une équation diophantienne, et un exemple décortiqué du couple de Bézout jusqu'à l'ensemble des solutions.

Le fil du chapitre

Presque tous les théorèmes du chapitre portent une hypothèse de PRIMALITÉ ENTRE EUX, et c'est elle qui saute : Gauss, la simplification d'une congruence, l'existence des coefficients de Bézout. Vérifier un pgcd avant d'appliquer un théorème est la moitié du travail.

Ce chapitre fait partie de Maths expertes en Terminale

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (9 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Généralités sur les fonctionsSeconde, Mathématiques
2Algorithmique et PythonSeconde, Mathématiques
3Les suites numériquesPremière, Mathématiques
4Suites et récurrenceMathématiques
5Multiples, diviseurs et divisibilitéSixième, Mathématiques
6Multiples, diviseurs et nombres premiersQuatrième, Mathématiques
7La notion de fonctionTroisième, Mathématiques
8PGCD, Euclide et fractions irréductiblesTroisième, Mathématiques
9Algorithmique et ScratchTroisième, Mathématiques

L'essentiel

La division euclidienne, et son reste toujours positif

• Pour $a$ entier et $b>0$ , il existe un UNIQUE couple $(q\,;r)$ tel que $a=bq+r$ avec $0\le r<b$ .
• Le reste est TOUJOURS positif ou nul, même si $a$ est négatif : $-17=5\times(-4)+3$ , avec $q=-4$ et $r=3$ .
• $b$ divise $a$ signifie exactement que le reste est nul, c'est-à-dire qu'il existe un entier $k$ tel que $a=bk$ .
• Algorithme d'Euclide : $\mathrm{pgcd}(a\,;b)=\mathrm{pgcd}(b\,;r)$ . On itère jusqu'à un reste nul, et le dernier reste non nul est le pgcd.

Le dividende tombe entre deux multiples consécutifs de

7

: le quotient est celui du multiple de GAUCHE, et le reste est l'écart qui suit. C'est ce qui force

0\le r<b

Le quotient d'un nombre négatif se prend « vers le bas » : pour $-17$ par $5$ , c'est $-4$ et non $-3$ , faute de quoi le reste sortirait négatif. C'est la contrainte $0\le r<b$ qui décide, jamais l'intuition.

Les congruences, et ce qu'on n'a pas le droit d'en faire

• $a\equiv b\ [n]$ signifie que $n$ divise $a-b$ , c'est-à-dire que $a$ et $b$ ont le même reste dans la division par $n$ .
• Les congruences se conservent par SOMME, par PRODUIT et donc par PUISSANCE : on peut ajouter, multiplier et élever membre à membre.
• Ce qu'on ne peut PAS faire : diviser. Simplifier $ac\equiv bc\ [n]$ en $a\equiv b\ [n]$ n'est licite que si $c$ et $n$ sont PREMIERS ENTRE EUX.
• Travailler modulo $n$ revient à ne garder que $n$ classes, numérotées de $0$ à $n-1$ : les entiers s'enroulent sur un cercle.

Travailler modulo

7

, c'est enrouler la droite des entiers sur un cercle à sept positions :

45

3

y tombent au même endroit. Toutes les congruences se lisent comme des positions, pas comme des nombres.

Contre-exemple à garder en tête : $2\times 3\equiv 2\times 8\ [10]$ , puisque $6$ et $16$ ont le même reste, et pourtant $3\not\equiv 8\ [10]$ . Le facteur $2$ n'est pas premier avec $10$ .

Bézout, Gauss et Fermat : trois théorèmes, trois hypothèses

• BÉZOUT : $a$ et $b$ sont premiers entre eux SI ET SEULEMENT S'IL existe des entiers $u$ et $v$ tels que $au+bv=1$ . C'est le $1$ qui caractérise, pas une valeur quelconque.
• GAUSS : si $a$ divise $bc$ ET si $a$ et $b$ sont PREMIERS ENTRE EUX, alors $a$ divise $c$ . Sans cette seconde hypothèse, la conclusion est fausse.
• FERMAT : si $p$ est PREMIER et ne divise PAS $a$ , alors $a^{p-1}\equiv 1\ [p]$ . Les deux conditions comptent.
• Équation $ax+by=c$ : elle admet des solutions entières SI ET SEULEMENT SI $\mathrm{pgcd}(a\,;b)$ divise $c$ .

Résoudre une équation diophantienne, en quatre temps

• 1. Vérifier l'existence : $d=\mathrm{pgcd}(a\,;b)$ doit diviser $c$ . Sinon il n'y a aucune solution, et c'est la réponse.
• 2. Trouver une solution PARTICULIÈRE, par lecture directe ou par l'algorithme d'Euclide remonté.
• 3. Soustraire les deux égalités pour obtenir $a(x-x_{0})=-b(y-y_{0})$ , puis appliquer GAUSS après avoir divisé par $d$ .
• 4. Conclure par la solution générale, avec un paramètre ENTIER $k$ , et vérifier en substituant.

Le paramètre $k$ parcourt $\mathbb{Z}$ : oublier de le préciser, ou écrire $k$ réel, coûte le point de rigueur. Les solutions forment une progression arithmétique en $x$ comme en $y$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Rendre un reste négatif pour un dividende négatif

toute la question, et toutes les congruences qui en découlent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $-17=5\times(-3)-2$ , donc le reste de $-17$ par $5$ vaut $-2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le reste vérifie $0\le r<5$ : on écrit $-17=5\times(-4)+3$ , donc $q=-4$ et $r=3$ . »

Pourquoi : La définition impose l'encadrement du reste, pas une intuition de proximité. Le quotient se prend « vers le bas », c'est-à-dire vers le multiple immédiatement inférieur, ce qui pour un négatif éloigne de zéro.

2. Simplifier une congruence par un facteur quelconque

toute la question, et une congruence fausse se propage

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $6\equiv 16\ [10]$ , donc en divisant par $2$ : $3\equiv 8\ [10]$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Simplifier par $c$ n'est licite que si $c$ et le module sont PREMIERS ENTRE EUX. Ici $\mathrm{pgcd}(2\,;10)=2\neq 1$ , la simplification est interdite : $3$ et $8$ n'ont pas le même reste modulo $10$ . »

Pourquoi : Une congruence est une divisibilité déguisée : $10$ divise $6-16=-10$ , mais rien n'oblige $10$ à diviser $3-8=-5$ . La division n'est pas une opération licite sur les congruences en général.

3. Appliquer Gauss sans l'hypothèse de primalité entre eux

toute la question, avec une conclusion franchement fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $6$ divise $4\times 9=36$ , donc $6$ divise $9$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le théorème de Gauss exige que $6$ et $4$ soient PREMIERS ENTRE EUX, or $\mathrm{pgcd}(6\,;4)=2$ . La conclusion est donc invalide, et de fait $6$ ne divise pas $9$ . »

Pourquoi : Sans primalité entre eux, le facteur $a$ peut se répartir entre $b$ et $c$ : ici le $2$ de $6$ vient de $4$ et le $3$ vient de $9$ . C'est exactement ce que l'hypothèse interdit.

4. Croire que $au+bv=d$ caractérise le pgcd

1 à 2 points, et une valeur de pgcd fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $6\times 3+4\times(-3)=6$ , donc $\mathrm{pgcd}(6\,;4)=6$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le théorème de Bézout caractérise les nombres PREMIERS ENTRE EUX, c'est-à-dire le cas $au+bv=1$ . Une combinaison qui donne $d$ prouve seulement que le pgcd DIVISE $d$ ; ici $\mathrm{pgcd}(6\,;4)=2$ . »

Pourquoi : Toute combinaison $au+bv$ est un multiple du pgcd, donc en trouver une qui vaut $d$ ne prouve que la divisibilité. Seule la valeur $1$ est caractéristique, parce qu'aucun entier supérieur à $1$ ne divise $1$ .

5. Appliquer le petit théorème de Fermat quand $p$ divise $a$

toute la question, avec une congruence opposée à la vérité

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $p=7$ est premier, donc $14^{6}\equiv 1\ [7]$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le théorème exige que $p$ NE DIVISE PAS $a$ . Ici $7$ divise $14$ , donc $14\equiv 0\ [7]$ et $14^{6}\equiv 0\ [7]$ , pas $1$ . »

Pourquoi : Si $p$ divise $a$ , alors toutes les puissances de $a$ sont congrues à zéro modulo $p$ : elles ne peuvent pas valoir $1$ . L'hypothèse « ne divise pas » n'est donc pas une précaution, c'est le coeur du théorème.

6. Chercher des solutions à une équation qui n'en a pas

tout le temps de l'exercice, pour une réponse en deux lignes

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Résolvons $6x+4y=7$ dans $\mathbb{Z}^{2}$ en cherchant une solution particulière. »

Ce qu'il faut écrire

« $\mathrm{pgcd}(6\,;4)=2$ , et $2$ ne divise pas $7$ : l'équation n'admet AUCUNE solution entière. Le membre de gauche est toujours pair, celui de droite est impair. »

Pourquoi : Toute combinaison $6x+4y$ est un multiple de $2$ . Vérifier la condition d'existence AVANT de chercher une solution particulière est le premier réflexe du chapitre, et il fait parfois gagner dix minutes.

7. Donner une seule solution à une équation diophantienne

1 à 2 points, la question demandant l'ENSEMBLE des solutions

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $5x+3y=1$ admet pour solution $x=2$ et $y=-3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« C'est UNE solution particulière. L'ensemble des solutions est $\{(2+3k\,;-3-5k),\ k\in\mathbb{Z}\}$ : il y en a une infinité, régulièrement espacées. »

Les points marqués sont les solutions entières : ils sont sur la même droite, espacés de

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en abscisse et de

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en ordonnée. Une seule d'entre elles ne répond pas à la question.

Pourquoi : L'équation décrit une droite du plan, et les solutions entières sont les points à coordonnées entières de cette droite : ils sont infiniment nombreux et régulièrement répartis, tous les $b$ en abscisse et tous les $a$ en ordonnée.

8. Confondre pgcd et ppcm dans la relation produit

1 point, et un ppcm faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\mathrm{pgcd}(12\,;18)\times\mathrm{ppcm}(12\,;18)=12+18=30$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La relation est $\mathrm{pgcd}(a\,;b)\times\mathrm{ppcm}(a\,;b)=ab$ : ici $6\times 36=216=12\times 18$ . »

Pourquoi : Chaque facteur premier apparaît avec son exposant minimal dans le pgcd et maximal dans le ppcm : la somme de ces deux exposants est celle des deux nombres réunis, d'où le produit.

Quelle méthode choisir

Quel théorème selon la formulation de l'énoncé

Le mot employé par la question désigne l'outil, et il n'y en a que six dans tout le chapitre.

Si « montrer que $a$ et $b$ sont premiers entre eux » → exhiber un couple $(u\,;v)$ tel que $au+bv=1$ , ou dérouler l'algorithme d'Euclide jusqu'à un reste de $1$
Si « déterminer le pgcd » → algorithme d'Euclide, en écrivant chaque division euclidienne sur une ligne

Exemple : $\mathrm{pgcd}(45\,;7)$ : $45=7\times 6+3$ , $7=3\times 2+1$ , $3=1\times 3+0$ , donc le pgcd vaut $1$
Si « $a$ divise $bc$ et on veut conclure que $a$ divise $c$ » → théorème de GAUSS, après avoir VÉRIFIÉ que $a$ et $b$ sont premiers entre eux
Si « déterminer le reste de $a^{n}$ modulo $p$ » avec $n$ grand → petit théorème de FERMAT si $p$ est premier et ne divise pas $a$ , sinon recherche d'un cycle sur les puissances

Exemple : $2^{6}\equiv 1\ [7]$ , donc $2^{100}=2^{96}\times 2^{4}\equiv 2^{4}=16\equiv 2\ [7]$
Si « résoudre $ax+by=c$ dans $\mathbb{Z}^{2}$ » → vérifier que $\mathrm{pgcd}(a\,;b)$ divise $c$ , trouver une solution particulière, puis conclure par Gauss
Si « montrer un critère de divisibilité » → congruences sur les puissances de $10$ modulo le diviseur

Exemple : $10\equiv 1\ [9]$ donne le critère de la somme des chiffres

Avant tout théorème, écrire le pgcd des nombres en jeu. Cette seule ligne décide de la validité de Gauss, de la simplification d'une congruence et de l'existence des solutions d'une équation.

Comment trouver une solution particulière

Trois méthodes, de la plus rapide à la plus systématique. On les essaie dans cet ordre.

Si les coefficients sont petits → chercher à vue en testant quelques valeurs de $x$

Exemple : $5x+3y=1$ : pour $x=2$ , il vient $3y=-9$ donc $y=-3$
Si les coefficients sont grands → dérouler l'algorithme d'Euclide, puis le REMONTER en exprimant chaque reste à l'aide des précédents

C'est la méthode systématique : elle marche toujours et se rédige en un tableau à deux colonnes.
Si le second membre n'est pas $1$ mais un multiple $c$ de $d$ → résoudre d'abord avec le second membre $d$ , puis MULTIPLIER la solution par $\frac{c}{d}$

Exemple : de $5\times 2+3\times(-3)=1$ on tire $5\times 14+3\times(-21)=7$
Si l'énoncé fournit une solution particulière → la VÉRIFIER par substitution en une ligne, puis passer directement à la solution générale
Si l'équation est donnée sous forme de congruence, $ax\equiv c\ [n]$ → la réécrire $ax-ny=c$ , ce qui est une équation diophantienne ordinaire

La solution particulière n'est jamais unique : deux copies peuvent en trouver deux différentes et obtenir le même ensemble de solutions. Le correcteur vérifie l'ensemble, pas le représentant choisi.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre une équation diophantienne de bout en bout

Quand l'utiliser : L'exercice central du chapitre, souvent en trois ou quatre questions enchaînées.

1 Calculer $d=\mathrm{pgcd}(a\,;b)$ et VÉRIFIER que $d$ divise $c$ : sinon, conclure qu'il n'y a pas de solution.
2 Exhiber une solution particulière $(x_{0}\,;y_{0})$ et la vérifier par substitution.
3 Soustraire membre à membre les deux égalités : $a(x-x_{0})+b(y-y_{0})=0$ .
4 Diviser par $d$ , puis appliquer GAUSS en citant la primalité entre eux des coefficients obtenus.
5 En déduire $x=x_{0}+\frac{b}{d}k$ et $y=y_{0}-\frac{a}{d}k$ , avec $k$ ENTIER.
6 Vérifier en substituant la solution générale dans l'équation de départ, et conclure par l'ensemble.

Phrase de conclusion

Comme $5$ et $3$ sont premiers entre eux et que $3$ divise $5(x-2)$ , le théorème de Gauss donne $3\mid x-2$ , donc $x=2+3k$ avec $k$ entier, puis $y=-3-5k$ ; l'ensemble des solutions est $\{(2+3k\,;-3-5k),\ k\in\mathbb{Z}\}$ .

Le piège : Appliquer Gauss sans nommer l'hypothèse. La phrase attendue contient toujours « comme $a$ et $b$ sont premiers entre eux », et c'est elle que le barème cherche, pas la conclusion.

Barème : 0,5 point pour la condition d'existence, 1 point pour la solution particulière, 1,5 point pour l'application de Gauss avec son hypothèse, 1 point pour l'ensemble avec le paramètre entier.

Déterminer un reste de puissance par les congruences

Quand l'utiliser : L'énoncé demande le reste de $a^{n}$ modulo $p$ avec un exposant très grand.

1 Vérifier si $p$ est PREMIER et s'il divise ou non $a$ : cela décide de l'emploi du petit théorème de Fermat.
2 Si Fermat s'applique, écrire $a^{p-1}\equiv 1\ [p]$ et l'énoncer avec ses deux hypothèses.
3 Effectuer la division euclidienne de l'exposant par $p-1$ : $n=(p-1)q+r$ .
4 En déduire $a^{n}=\left(a^{p-1}\right)^{q}\times a^{r}\equiv a^{r}\ [p]$ .
5 Calculer $a^{r}$ modulo $p$ , avec $r<p-1$ , donc un calcul court.
6 Conclure en donnant le reste, qui doit être compris entre $0$ et $p-1$ .

Phrase de conclusion

$7$ est premier et ne divise pas $2$ , donc $2^{6}\equiv 1\ [7]$ ; comme $100=6\times 16+4$ , il vient $2^{100}\equiv 2^{4}=16\equiv 2\ [7]$ , et le reste cherché vaut $2$ .

Le piège : Oublier de vérifier que $p$ ne divise pas $a$ . Si c'est le cas, toutes les puissances sont congrues à zéro, et la conclusion de Fermat est exactement l'inverse de la vérité.

Barème : 1 point pour les hypothèses de Fermat vérifiées, 1 point pour la division de l'exposant, 1 point pour le calcul final et le reste dans le bon intervalle.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Vérifier qu'un reste est bien dans son intervalle

Le reste d'une division par $b$ vérifie $0\le r<b$ . Un reste négatif ou supérieur au diviseur signale un quotient mal choisi.

Pour $-17$ par $5$ , un reste de $-2$ est impossible : le bon couple est $q=-4$ et $r=3$ .
Substituer la solution générale dans l'équation

Remplacer $x$ et $y$ par leurs expressions en $k$ et développer : les termes en $k$ doivent se simplifier entièrement, et il doit rester exactement $c$ .

$5(2+3k)+3(-3-5k)=10+15k-9-15k=1$ : les $15k$ se compensent, l'ensemble est validé pour tout $k$ .
Contrôler le pgcd avant tout théorème

Gauss, la simplification d'une congruence et l'existence de solutions dépendent tous du même calcul. Une ligne de pgcd valide ou invalide trois raisonnements.

$\mathrm{pgcd}(6\,;4)=2$ interdit à la fois Gauss avec ces nombres et la résolution de $6x+4y=7$ .
Tester une congruence sur un petit exemple

Une manipulation douteuse se vérifie en remplaçant par de petits entiers et en calculant les deux restes. Trente secondes, et l'erreur apparaît.

Simplifier $6\equiv 16\ [10]$ par $2$ donnerait $3\equiv 8$ , or $3$ et $8$ ont des restes différents : la simplification est fausse.
Vérifier la parité des deux membres

Sur une équation diophantienne, comparer la parité ou le reste modulo un petit nombre des deux côtés. Une incompatibilité prouve l'absence de solution en une ligne.

$6x+4y$ est toujours pair et $7$ est impair : l'équation n'a aucune solution, sans aucun calcul de pgcd.

L'exercice type décortiqué

Une équation diophantienne complète, comme au baccalauréat

On considère l'équation $(E)$ : $5x+3y=7$ , d'inconnues $x$ et $y$ entiers relatifs.

1. Justifier que $(E)$ admet des solutions. 2. Résoudre d'abord $5x+3y=1$ et en donner une solution particulière. 3. En déduire une solution particulière de $(E)$ . 4. Déterminer l'ensemble des solutions de $(E)$ . 5. Vérifier le résultat.

Étape 1

$\mathrm{pgcd}(5\,;3)=1$ , car $5=3\times 1+2$ , $3=2\times 1+1$ et $2=1\times 2+0$ . Comme $1$ divise $7$ , l'équation $(E)$ admet des solutions entières.

Pourquoi

La condition d'existence se vérifie AVANT toute recherche. L'algorithme d'Euclide est écrit ligne par ligne : il servira aussi, remonté, à trouver les coefficients de Bézout si la solution ne se voit pas.

Étape 2

Pour $5x+3y=1$ , on cherche à vue : $x=2$ donne $3y=1-10=-9$ , donc $y=-3$ . Vérification : $5\times 2+3\times(-3)=10-9=1$ .

Pourquoi

Avec de petits coefficients, l'essai direct va plus vite que l'algorithme remonté. La vérification par substitution est obligatoire et prend une ligne.

Étape 3

En multipliant par $7$ : $5\times 14+3\times(-21)=7$ . Donc $(14\,;-21)$ est une solution particulière de $(E)$ .

Pourquoi

Multiplier une solution de l'équation à second membre $1$ par $c$ donne une solution de l'équation à second membre $c$ . C'est le raccourci que les sujets attendent, et il évite un second algorithme.

Étape 4

Soit $(x\,;y)$ une solution de $(E)$ . En soustrayant : $5(x-14)+3(y+21)=0$ , soit $5(x-14)=-3(y+21)$ .

Pourquoi

La soustraction membre à membre est le geste central de la méthode : elle transforme une équation avec second membre en une relation de divisibilité entre deux termes.

Étape 5

Ainsi $3$ divise $5(x-14)$ . Or $\mathrm{pgcd}(3\,;5)=1$ : $3$ et $5$ sont premiers entre eux. Le théorème de GAUSS donne alors $3\mid x-14$ , donc il existe un entier $k$ tel que $x=14+3k$ .

Pourquoi

L'hypothèse « premiers entre eux » est écrite explicitement avant d'invoquer Gauss. C'est le point le mieux noté de l'exercice, et celui qui manque le plus souvent.

Étape 6

En reportant : $5(14+3k)+3y=7$ , soit $70+15k+3y=7$ , donc $3y=-63-15k$ et $y=-21-5k$ .

Pourquoi

On reporte dans l'équation de DÉPART, pas dans la relation soustraite : cela évite une erreur de signe et donne directement l'expression de $y$ .

Étape 7

Réciproquement, pour tout entier $k$ , $5(14+3k)+3(-21-5k)=70+15k-63-15k=7$ . L'ensemble des solutions est donc $\mathcal{S}=\left\{(14+3k\,;-21-5k),\ k\in\mathbb{Z}\right\}$ .

Pourquoi

La RÉCIPROQUE est indispensable : le raisonnement précédent montre que toute solution est de cette forme, il reste à montrer que toute expression de cette forme est solution. Les $15k$ qui se compensent en sont la preuve.

Étape 8

Contrôles : $k=0$ donne $(14\,;-21)$ , $k=-4$ donne $(2\,;-1)$ et $5\times 2+3\times(-1)=7$ ; $k=1$ donne $(17\,;-26)$ et $85-78=7$ .

Pourquoi

Trois valeurs de $k$ testées, dont une négative, valident l'ensemble sur des cas éloignés. Le représentant $(2\,;-1)$ montre au passage qu'une autre solution particulière aurait donné le même ensemble.

Conclusion rédigée

Comme $\mathrm{pgcd}(5\,;3)=1$ divise $7$ , l'équation admet des solutions; $(14\,;-21)$ en est une, et le théorème de Gauss donne l'ensemble complet $\left\{(14+3k\,;-21-5k),\ k\in\mathbb{Z}\right\}$ , dont les points sont espacés de $3$ en abscisse et de $5$ en ordonnée.

L'erreur classique sur cet exercice : S'arrêter à la solution particulière $(14\,;-21)$ . La question demande l'ENSEMBLE des solutions, qui est infini : sans le paramètre entier $k$ et sans la réciproque, la réponse ne vaut qu'un tiers des points.

À savoir par cœur

• Division euclidienne : $a=bq+r$ avec $0\le r<b$ . Le reste est POSITIF, même pour $a$ négatif.
• Euclide : $\mathrm{pgcd}(a\,;b)=\mathrm{pgcd}(b\,;r)$ , jusqu'à un reste nul.
• Les congruences se conservent par somme, produit et puissance, JAMAIS par division.
• Simplifier $ac\equiv bc\ [n]$ exige $\mathrm{pgcd}(c\,;n)=1$ .
• Bézout caractérise les nombres PREMIERS ENTRE EUX : $au+bv=1$ , et seulement $1$ .
• Gauss : $a\mid bc$ ET $\mathrm{pgcd}(a\,;b)=1$ donnent $a\mid c$ . Sans la seconde hypothèse, c'est faux.
• Fermat : $p$ PREMIER et $p\nmid a$ donnent $a^{p-1}\equiv 1\ [p]$ .
• $ax+by=c$ a des solutions SI ET SEULEMENT SI $\mathrm{pgcd}(a\,;b)$ divise $c$ .
• $\mathrm{pgcd}(a\,;b)\times\mathrm{ppcm}(a\,;b)=ab$ .

Questions fréquentes

Le reste d'une division euclidienne peut-il être négatif ?

Non, jamais. La définition impose qu'il soit compris entre zéro inclus et le diviseur exclu, même quand le dividende est négatif. Pour moins dix-sept divisé par cinq, le quotient est moins quatre et le reste vaut trois : on prend le multiple immédiatement inférieur, ce qui pour un négatif éloigne de zéro.

Peut-on diviser les deux membres d'une congruence ?

Seulement si le facteur qu'on simplifie est premier avec le module. Sinon la simplification est fausse : six et seize sont congrus modulo dix, mais trois et huit ne le sont pas. Somme, produit et puissance sont toujours licites; la division est la seule opération interdite en général.

Quelle est l'hypothèse du théorème de Gauss ?

Que les deux premiers nombres soient premiers entre eux. Si a divise le produit de b par c et que a et b sont premiers entre eux, alors a divise c. Sans cette condition, la conclusion tombe : six divise trente-six qui vaut quatre fois neuf, et pourtant six ne divise pas neuf.

Quand une équation du type ax plus by égale c a-t-elle des solutions entières ?

Exactement lorsque le pgcd de a et b divise c. Toute combinaison entière de a et b est en effet un multiple de leur pgcd. Cette vérification se fait en première ligne et fait parfois gagner tout l'exercice : si la condition n'est pas remplie, la réponse tient en deux phrases.

Comment trouver toutes les solutions d'une équation diophantienne ?

On trouve d'abord une solution particulière, puis on soustrait les deux égalités pour obtenir une relation de divisibilité. Le théorème de Gauss donne alors la forme de la première inconnue, avec un paramètre entier, et on en déduit la seconde. Il faut enfin vérifier la réciproque par substitution.

À quoi sert le petit théorème de Fermat ?

À calculer le reste d'une puissance très élevée modulo un nombre premier. Il affirme que la puissance p moins un d'un nombre non divisible par p est congrue à un. On divise alors l'exposant par p moins un, et il ne reste qu'une petite puissance à calculer. Les deux hypothèses doivent être vérifiées explicitement.

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Exercices corrigés : L'arithmétique

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
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Fiche de révision : l'arithmétique (maths expertes)

L'essentiel

La division euclidienne, et son reste toujours positif

Les congruences, et ce qu'on n'a pas le droit d'en faire

Bézout, Gauss et Fermat : trois théorèmes, trois hypothèses

Résoudre une équation diophantienne, en quatre temps

Les pièges qui coûtent des points

1. Rendre un reste négatif pour un dividende négatif

2. Simplifier une congruence par un facteur quelconque

3. Appliquer Gauss sans l'hypothèse de primalité entre eux

4. Croire que au+bv=dau+bv=dau+bv=d caractérise le pgcd

5. Appliquer le petit théorème de Fermat quand ppp divise aaa

6. Chercher des solutions à une équation qui n'en a pas

7. Donner une seule solution à une équation diophantienne

8. Confondre pgcd et ppcm dans la relation produit

Quelle méthode choisir

Quel théorème selon la formulation de l'énoncé

Comment trouver une solution particulière

La rédaction attendue

Résoudre une équation diophantienne de bout en bout

Déterminer un reste de puissance par les congruences

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une équation diophantienne complète, comme au baccalauréat

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Le reste d'une division euclidienne peut-il être négatif ?

Peut-on diviser les deux membres d'une congruence ?

Quelle est l'hypothèse du théorème de Gauss ?

Quand une équation du type ax plus by égale c a-t-elle des solutions entières ?

Comment trouver toutes les solutions d'une équation diophantienne ?

À quoi sert le petit théorème de Fermat ?

Exercices corrigés : L'arithmétique

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4. Croire que $au+bv=d$ caractérise le pgcd

5. Appliquer le petit théorème de Fermat quand $p$ divise $a$