Maths expertes, Terminale • Exercices corrigés à Montréal
L'arithmétique de l'option maths expertes ne demande presque aucun calcul difficile : des divisions, des restes, des multiples. Ce qu'elle demande, c'est de la rigueur logique, parce que chacun de ses théorèmes vaut sous une hypothèse précise et devient faux sans elle.
Cette fiche liste les hypothèses qui se perdent, avec la phrase exacte qui les remet, l'arbre qui dit quel théorème employer selon la formulation de l'énoncé, la rédaction des démonstrations que le programme demande de savoir refaire, la méthode complète de résolution d'une équation diophantienne, et un exemple décortiqué du couple de Bézout jusqu'à l'ensemble des solutions. L'option est évaluée en contrôle continu : les exemples sont au niveau des devoirs surveillés.
Le fil du chapitre
Presque tous les théorèmes du chapitre portent une hypothèse de PRIMALITÉ ENTRE EUX, et c'est elle qui saute : Gauss, la simplification d'une congruence, l'existence des coefficients de Bézout. Vérifier un pgcd avant d'appliquer un théorème est la moitié du travail.
Le quotient d'un nombre négatif se prend « vers le bas » : pour par , c'est et non , faute de quoi le reste sortirait négatif. C'est la contrainte qui décide, jamais l'intuition.
Contre-exemple à garder en tête : , puisque et ont le même reste, et pourtant . Le facteur n'est pas premier avec .
Le paramètre parcourt : oublier de le préciser, ou écrire réel, coûte le point de rigueur. Les solutions forment une progression arithmétique en comme en .
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc le reste de par vaut . »
Ce qu'il faut écrire
« Le reste vérifie : on écrit , donc et . »
Pourquoi : La définition impose l'encadrement du reste, pas une intuition de proximité. Le quotient se prend « vers le bas », c'est-à-dire vers le multiple immédiatement inférieur, ce qui pour un négatif éloigne de zéro.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc en divisant par : . »
Ce qu'il faut écrire
« Simplifier par n'est licite que si et le module sont PREMIERS ENTRE EUX. Ici , la simplification est interdite : et n'ont pas le même reste modulo . »
Pourquoi : Une congruence est une divisibilité déguisée : divise , mais rien n'oblige à diviser . La division n'est pas une opération licite sur les congruences en général.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« divise , donc divise . »
Ce qu'il faut écrire
« Le théorème de Gauss exige que et soient PREMIERS ENTRE EUX, or . La conclusion est donc invalide, et de fait ne divise pas . »
Pourquoi : Sans primalité entre eux, le facteur peut se répartir entre et : ici le de vient de et le vient de . C'est exactement ce que l'hypothèse interdit.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« Le théorème de Bézout caractérise les nombres PREMIERS ENTRE EUX, c'est-à-dire le cas . Une combinaison qui donne prouve seulement que le pgcd DIVISE ; ici . »
Pourquoi : Toute combinaison est un multiple du pgcd, donc en trouver une qui vaut ne prouve que la divisibilité. Seule la valeur est caractéristique, parce qu'aucun entier supérieur à ne divise .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« est premier, donc . »
Ce qu'il faut écrire
« Le théorème exige que NE DIVISE PAS . Ici divise , donc et , pas . »
Pourquoi : Si divise , alors toutes les puissances de sont congrues à zéro modulo : elles ne peuvent pas valoir . L'hypothèse « ne divise pas » n'est donc pas une précaution, c'est le coeur du théorème.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Résolvons dans en cherchant une solution particulière. »
Ce qu'il faut écrire
« , et ne divise pas : l'équation n'admet AUCUNE solution entière. Le membre de gauche est toujours pair, celui de droite est impair. »
Pourquoi : Toute combinaison est un multiple de . Vérifier la condition d'existence AVANT de chercher une solution particulière est le premier réflexe du chapitre, et il fait parfois gagner dix minutes.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« admet pour solution et . »
Ce qu'il faut écrire
« C'est UNE solution particulière. L'ensemble des solutions est : il y en a une infinité, régulièrement espacées. »
Pourquoi : L'équation décrit une droite du plan, et les solutions entières sont les points à coordonnées entières de cette droite : ils sont infiniment nombreux et régulièrement répartis, tous les en abscisse et tous les en ordonnée.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« La relation est : ici . »
Pourquoi : Chaque facteur premier apparaît avec son exposant minimal dans le pgcd et maximal dans le ppcm : la somme de ces deux exposants est celle des deux nombres réunis, d'où le produit.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« On pose ; aucun ne le divise, donc est un nouveau nombre premier. »
Ce qu'il faut écrire
« Aucun ne divise , et admet un diviseur premier : ce n'est pas dans la liste, contradiction. » lui-même peut être composé : .
Pourquoi : Ne pas être divisible par les ne rend pas premier : cela dit seulement que les diviseurs premiers de sont AILLEURS. C'est l'existence d'un diviseur premier, et non la primalité de , qui fait marcher l'argument.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« n'est divisible ni par , ni par , ni par : il est premier. »
Ce qu'il faut écrire
« On teste les nombres premiers tels que , soit , , et : , il n'est PAS premier. »
Pourquoi : Un entier composé a un diviseur premier avec : c'est jusqu'à qu'il faut aller, pas jusqu'à une borne choisie au jugé. Le crible d'Ératosthène s'arrête pour la même raison.
Le mot employé par la question désigne l'outil, et il n'y en a que six dans tout le chapitre.
Si « montrer que et sont premiers entre eux » → exhiber un couple tel que , ou dérouler l'algorithme d'Euclide jusqu'à un reste de
Si « déterminer le pgcd » → algorithme d'Euclide, en écrivant chaque division euclidienne sur une ligne
Exemple : : , , , donc le pgcd vaut
Si « divise et on veut conclure que divise » → théorème de GAUSS, après avoir VÉRIFIÉ que et sont premiers entre eux
Si « déterminer le reste de modulo » avec grand → petit théorème de FERMAT si est premier et ne divise pas , sinon recherche d'un cycle sur les puissances
Exemple : , donc
Si « résoudre dans » → vérifier que divise , trouver une solution particulière, puis conclure par Gauss
Si « montrer un critère de divisibilité » → congruences sur les puissances de modulo le diviseur
Exemple : donne le critère de la somme des chiffres
Avant tout théorème, écrire le pgcd des nombres en jeu. Cette seule ligne décide de la validité de Gauss, de la simplification d'une congruence et de l'existence des solutions d'une équation.
Trois méthodes, de la plus rapide à la plus systématique. On les essaie dans cet ordre.
Si les coefficients sont petits → chercher à vue en testant quelques valeurs de
Exemple : : pour , il vient donc
Si les coefficients sont grands → dérouler l'algorithme d'Euclide, puis le REMONTER en exprimant chaque reste à l'aide des précédents
C'est la méthode systématique : elle marche toujours et se rédige en un tableau à deux colonnes.
Si le second membre n'est pas mais un multiple de → résoudre d'abord avec le second membre , puis MULTIPLIER la solution par
Exemple : de on tire
Si l'énoncé fournit une solution particulière → la VÉRIFIER par substitution en une ligne, puis passer directement à la solution générale
Si l'équation est donnée sous forme de congruence, → la réécrire , ce qui est une équation diophantienne ordinaire
La solution particulière n'est jamais unique : deux copies peuvent en trouver deux différentes et obtenir le même ensemble de solutions. Le correcteur vérifie l'ensemble, pas le représentant choisi.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'exercice central du chapitre, souvent en trois ou quatre questions enchaînées.
Phrase de conclusion
Comme et sont premiers entre eux et que divise , le théorème de Gauss donne , donc avec entier, puis ; l'ensemble des solutions est .
Le piège : Appliquer Gauss sans nommer l'hypothèse. La phrase attendue contient toujours « comme et sont premiers entre eux », et c'est elle que le barème cherche, pas la conclusion.
Barème : 0,5 point pour la condition d'existence, 1 point pour la solution particulière, 1,5 point pour l'application de Gauss avec son hypothèse, 1 point pour l'ensemble avec le paramètre entier.
Quand l'utiliser : L'énoncé demande le reste de modulo avec un exposant très grand.
Phrase de conclusion
est premier et ne divise pas , donc ; comme , il vient , et le reste cherché vaut .
Le piège : Oublier de vérifier que ne divise pas . Si c'est le cas, toutes les puissances sont congrues à zéro, et la conclusion de Fermat est exactement l'inverse de la vérité.
Barème : 1 point pour les hypothèses de Fermat vérifiées, 1 point pour la division de l'exposant, 1 point pour le calcul final et le reste dans le bon intervalle.
Quand l'utiliser : Démonstration exigible du programme, demandée telle quelle ou adaptée (premiers de la forme 4k + 3).
Phrase de conclusion
Le nombre admet un diviseur premier ; comme le reste de par chaque vaut , n'est aucun des , ce qui contredit l'hypothèse : l'ensemble des nombres premiers est infini.
Le piège : Écrire que est premier. C'est faux en général, , et ce n'est pas utile.
Barème : 1 point pour le diviseur premier de tout entier, 1 point pour le reste 1, 1 point pour la contradiction rédigée.
Quand l'utiliser : Démonstration exigible, qui donne le théorème de Bézout et, par lui, celui de Gauss.
Phrase de conclusion
Si l'on avait , serait un élément de strictement inférieur à , ce qui contredit la minimalité de ; donc et divise .
Le piège : Chercher à construire u et v : la démonstration ne les calcule pas, elle prend le plus petit élément d'un ensemble non vide.
Barème : 1 point pour E non vide et son minimum, 1,5 point pour le reste nul, 1 point pour le caractère de plus grand diviseur commun.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Vérifier qu'un reste est bien dans son intervalle
Le reste d'une division par vérifie . Un reste négatif ou supérieur au diviseur signale un quotient mal choisi.
Pour par , un reste de est impossible : le bon couple est et .
Substituer la solution générale dans l'équation
Remplacer et par leurs expressions en et développer : les termes en doivent se simplifier entièrement, et il doit rester exactement .
: les se compensent, l'ensemble est validé pour tout .
Contrôler le pgcd avant tout théorème
Gauss, la simplification d'une congruence et l'existence de solutions dépendent tous du même calcul. Une ligne de pgcd valide ou invalide trois raisonnements.
interdit à la fois Gauss avec ces nombres et la résolution de .
Tester une congruence sur un petit exemple
Une manipulation douteuse se vérifie en remplaçant par de petits entiers et en calculant les deux restes. Trente secondes, et l'erreur apparaît.
Simplifier par donnerait , or et ont des restes différents : la simplification est fausse.
Vérifier la parité des deux membres
Sur une équation diophantienne, comparer la parité ou le reste modulo un petit nombre des deux côtés. Une incompatibilité prouve l'absence de solution en une ligne.
est toujours pair et est impair : l'équation n'a aucune solution, sans aucun calcul de pgcd.
On considère l'équation : , d'inconnues et entiers relatifs.
1. Justifier que admet des solutions. 2. Résoudre d'abord et en donner une solution particulière. 3. En déduire une solution particulière de . 4. Déterminer l'ensemble des solutions de . 5. Vérifier le résultat.
Étape 1
, car , et . Comme divise , l'équation admet des solutions entières.
Pourquoi
La condition d'existence se vérifie AVANT toute recherche. L'algorithme d'Euclide est écrit ligne par ligne : il servira aussi, remonté, à trouver les coefficients de Bézout si la solution ne se voit pas.
Étape 2
Pour , on cherche à vue : donne , donc . Vérification : .
Pourquoi
Avec de petits coefficients, l'essai direct va plus vite que l'algorithme remonté. La vérification par substitution est obligatoire et prend une ligne.
Étape 3
En multipliant par : . Donc est une solution particulière de .
Pourquoi
Multiplier une solution de l'équation à second membre par donne une solution de l'équation à second membre . C'est le raccourci que les sujets attendent, et il évite un second algorithme.
Étape 4
Soit une solution de . En soustrayant : , soit .
Pourquoi
La soustraction membre à membre est le geste central de la méthode : elle transforme une équation avec second membre en une relation de divisibilité entre deux termes.
Étape 5
Ainsi divise . Or : et sont premiers entre eux. Le théorème de GAUSS donne alors , donc il existe un entier tel que .
Pourquoi
L'hypothèse « premiers entre eux » est écrite explicitement avant d'invoquer Gauss. C'est le point le mieux noté de l'exercice, et celui qui manque le plus souvent.
Étape 6
En reportant : , soit , donc et .
Pourquoi
On reporte dans l'équation de DÉPART, pas dans la relation soustraite : cela évite une erreur de signe et donne directement l'expression de .
Étape 7
Réciproquement, pour tout entier , . L'ensemble des solutions est donc .
Pourquoi
La RÉCIPROQUE est indispensable : le raisonnement précédent montre que toute solution est de cette forme, il reste à montrer que toute expression de cette forme est solution. Les qui se compensent en sont la preuve.
Étape 8
Contrôles : donne , donne et ; donne et .
Pourquoi
Trois valeurs de testées, dont une négative, valident l'ensemble sur des cas éloignés. Le représentant montre au passage qu'une autre solution particulière aurait donné le même ensemble.
Conclusion rédigée
Comme divise , l'équation admet des solutions; en est une, et le théorème de Gauss donne l'ensemble complet , dont les points sont espacés de en abscisse et de en ordonnée.
L'erreur classique sur cet exercice : S'arrêter à la solution particulière . La question demande l'ENSEMBLE des solutions, qui est infini : sans le paramètre entier et sans la réciproque, la réponse ne vaut qu'un tiers des points.
Non, jamais. La définition impose qu'il soit compris entre zéro inclus et le diviseur exclu, même quand le dividende est négatif. Pour moins dix-sept divisé par cinq, le quotient est moins quatre et le reste vaut trois : on prend le multiple immédiatement inférieur, ce qui pour un négatif éloigne de zéro.
Seulement si le facteur qu'on simplifie est premier avec le module. Sinon la simplification est fausse : six et seize sont congrus modulo dix, mais trois et huit ne le sont pas. Somme, produit et puissance sont toujours licites; la division est la seule opération interdite en général.
Que les deux premiers nombres soient premiers entre eux. Si a divise le produit de b par c et que a et b sont premiers entre eux, alors a divise c. Sans cette condition, la conclusion tombe : six divise trente-six qui vaut quatre fois neuf, et pourtant six ne divise pas neuf.
Exactement lorsque le pgcd de a et b divise c. Toute combinaison entière de a et b est en effet un multiple de leur pgcd. Cette vérification se fait en première ligne et fait parfois gagner tout l'exercice : si la condition n'est pas remplie, la réponse tient en deux phrases.
On trouve d'abord une solution particulière, puis on soustrait les deux égalités pour obtenir une relation de divisibilité. Le théorème de Gauss donne alors la forme de la première inconnue, avec un paramètre entier, et on en déduit la seconde. Il faut enfin vérifier la réciproque par substitution.
À calculer le reste d'une puissance très élevée modulo un nombre premier. Il affirme que la puissance p moins un d'un nombre non divisible par p est congrue à un. On divise alors l'exposant par p moins un, et il ne reste qu'une petite puissance à calculer. Les deux hypothèses doivent être vérifiées explicitement.
© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/expertes-arithmetique. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).
