Fiche de révision : les matrices (maths expertes)

Inverser une matrice : ce que le programme demande, et l'outil $ad-bc$

• • $A$ carrée est INVERSIBLE s'il existe $B$ telle que $AB=BA=I$ ; on note $B=A^{-1}$. Le programme demande de CALCULER un inverse : en résolvant $AX=I$, par une relation du type $A^{2}=\alpha A+\beta I$, ou à la calculatrice.
• • Outil pratique à l'ordre $2$, hors programme en tant que notion : $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ est inversible si et seulement si $ad-bc\neq 0$ ; ce nombre s'appelle le déterminant. On peut s'en servir en le rappelant, il n'est pas exigible.
• • Si $ad-bc\neq 0$ : $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ : les termes diagonaux s'ÉCHANGENT, les autres changent de SIGNE.
• • Lecture géométrique : les COLONNES de $A$ sont les images de $(1\,;0)$ et $(0\,;1)$. Si elles sont proportionnelles, $A$ écrase le plan sur une droite et n'est pas inversible.

Le contrôle systématique après un calcul d'inverse : vérifier que $AA^{-1}=I$. Deux produits de quatre coefficients, et toute erreur de signe ou d'échange apparaît immédiatement.

Le produit matriciel, et ce qu'il ne partage pas avec les nombres

• • Le coefficient en ligne $i$ et colonne $j$ de $AB$ est la somme des produits de la LIGNE $i$ de $A$ par la COLONNE $j$ de $B$.
• • Le produit n'est PAS commutatif : en général $AB\neq BA$, et les deux existent pourtant.
• • Un produit peut être NUL sans qu'aucun facteur le soit : $AB=0$ n'entraîne ni $A=0$ ni $B=0$.
• • La DIVISION n'existe pas : on multiplie par l'inverse, en choisissant le côté, à gauche ou à droite.

Conséquence directe : $(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}$, et cela ne se simplifie en $A^{2}+2AB+B^{2}$ que si $A$ et $B$ COMMUTENT. L'identité remarquable du collège est un cas particulier.

Résoudre un système par l'inverse

• • Un système linéaire $\begin{cases} ax+by=e \\ cx+dy=f \end{cases}$ s'écrit $AX=B$ avec $X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix}$.
• • Si $A$ est inversible, la solution est UNIQUE : $X=A^{-1}B$, en multipliant à GAUCHE des deux côtés.
• • Si $A$ n'est pas inversible, le système n'a soit aucune solution, soit une infinité : les deux droites sont parallèles ou confondues.
• • L'ordre compte : $X=A^{-1}B$ et non $X=BA^{-1}$, qui n'a même pas de sens en tailles.

Puissances de matrices et suites couplées

• • $A^{n}$ se calcule soit par récurrence à partir d'une conjecture, soit par une relation du type $A^{2}=\alpha A+\beta I$ que l'on itère.
• • Deux suites couplées $u_{n+1}=au_{n}+bv_{n}$ et $v_{n+1}=cu_{n}+dv_{n}$ s'écrivent $X_{n+1}=AX_{n}$, donc $X_{n}=A^{n}X_{0}$.
• • Une conjecture sur $A^{n}$ se DÉMONTRE par récurrence : c'est la seule preuve acceptée, et l'hérédité utilise $A^{n+1}=A^{n}\times A$.
• • L'ordre du produit importe même ici : $A^{n}\times A$ et $A\times A^{n}$ sont égaux, mais $A^{n}B$ et $BA^{n}$ ne le sont pas.

Matrice d'une transformation du plan : les images en colonnes

• • Une transformation $f$ est représentée par $A$ quand l'image de $M(x\,;y)$ est $M'(x'\,;y')$ avec $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ : les COLONNES de $A$ sont les images de $(1\,;0)$ et de $(0\,;1)$.
• • Rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$ : $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ ; pour le quart de tour direct, $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.
• • Symétrie d'axe $(Ox)$ : $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ ; homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ : $kI$.
• • Enchaîner deux transformations, c'est multiplier leurs matrices : $AB$ applique d'abord $B$, puis $A$.