Maths expertes, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : les matrices (maths expertes)

Une matrice se manipule presque comme un nombre : on additionne, on multiplie, on élève à une puissance. Presque, et c'est là tout le chapitre. Le produit n'est pas commutatif, la division n'existe pas, et un produit peut être nul sans qu'aucun facteur le soit. Chacune de ces trois différences fait tomber une identité que l'on croyait acquise.

Cette fiche liste les huit réflexes qui coûtent des points, avec la phrase exacte qui les remet, la lecture géométrique du déterminant comme rapport d'aires, l'arbre de résolution d'un système linéaire, et un exemple complet mené du déterminant jusqu'à la vérification de la solution.

Le fil du chapitre

Le produit matriciel n'est PAS commutatif, et cette seule différence avec les nombres fait tomber toutes les identités remarquables. Le reste du chapitre tient au déterminant : nul, rien ne s'inverse; non nul, tout se résout.

Ce chapitre fait partie de Maths expertes en Terminale

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (13 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Généralités sur les fonctionsSeconde, Mathématiques
2Fonctions affines et systèmesSeconde, Mathématiques
3Algorithmique et PythonSeconde, Mathématiques
4Les suites numériquesPremière, Mathématiques
5Suites et récurrenceMathématiques
6Calcul littéral et équationsQuatrième, Mathématiques
7Proportionnalité, pourcentages et vitessesQuatrième, Mathématiques
8La notion de fonctionTroisième, Mathématiques
9Les fonctions linéairesTroisième, Mathématiques
10Les fonctions affinesTroisième, Mathématiques
11Développer et factoriserTroisième, Mathématiques
12Équations, équations produit et inéquationsTroisième, Mathématiques
13Algorithmique et ScratchTroisième, Mathématiques

L'essentiel

Le déterminant mesure une aire, et décide de tout

• Pour $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ , le déterminant vaut $\det(A)=ad-bc$ .
• Géométriquement, $|\det(A)|$ est le rapport des AIRES : l'image du carré unité par $A$ est un parallélogramme d'aire $|\det(A)|$ .
• $A$ est INVERSIBLE si et seulement si $\det(A)\neq 0$ . Un déterminant nul signifie que l'image s'aplatit sur une droite, et que l'information est perdue.
• Inverse : $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ : les termes diagonaux s'ÉCHANGENT, les autres changent de SIGNE.

Le carré unité en pointillés devient un parallélogramme d'aire

2

: c'est exactement la valeur du déterminant. Un déterminant nul écraserait ce parallélogramme sur un segment.

Le contrôle systématique après un calcul d'inverse : vérifier que $AA^{-1}=I$ . Deux produits de quatre coefficients, et toute erreur de signe ou d'échange apparaît immédiatement.

Le produit matriciel, et ce qu'il ne partage pas avec les nombres

• Le coefficient en ligne $i$ et colonne $j$ de $AB$ est la somme des produits de la LIGNE $i$ de $A$ par la COLONNE $j$ de $B$ .
• Le produit n'est PAS commutatif : en général $AB\neq BA$ , et les deux existent pourtant.
• Un produit peut être NUL sans qu'aucun facteur le soit : $AB=0$ n'entraîne ni $A=0$ ni $B=0$ .
• La DIVISION n'existe pas : on multiplie par l'inverse, en choisissant le côté, à gauche ou à droite.

Conséquence directe : $(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}$ , et cela ne se simplifie en $A^{2}+2AB+B^{2}$ que si $A$ et $B$ COMMUTENT. L'identité remarquable du collège est un cas particulier.

Résoudre un système par l'inverse

• Un système linéaire $\begin{cases} ax+by=e \\ cx+dy=f \end{cases}$ s'écrit $AX=B$ avec $X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix}$ .
• Si $A$ est inversible, la solution est UNIQUE : $X=A^{-1}B$ , en multipliant à GAUCHE des deux côtés.
• Si $\det(A)=0$ , le système n'a soit aucune solution, soit une infinité : les deux droites sont parallèles ou confondues.
• L'ordre compte : $X=A^{-1}B$ et non $X=BA^{-1}$ , qui n'a même pas de sens en tailles.

Puissances de matrices et suites couplées

• $A^{n}$ se calcule soit par récurrence à partir d'une conjecture, soit par une relation du type $A^{2}=\alpha A+\beta I$ que l'on itère.
• Deux suites couplées $u_{n+1}=au_{n}+bv_{n}$ et $v_{n+1}=cu_{n}+dv_{n}$ s'écrivent $X_{n+1}=AX_{n}$ , donc $X_{n}=A^{n}X_{0}$ .
• Une conjecture sur $A^{n}$ se DÉMONTRE par récurrence : c'est la seule preuve acceptée, et l'hérédité utilise $A^{n+1}=A^{n}\times A$ .
• L'ordre du produit importe même ici : $A^{n}\times A$ et $A\times A^{n}$ sont égaux, mais $A^{n}B$ et $BA^{n}$ ne le sont pas.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Supposer le produit matriciel commutatif

toute la question, et souvent tout l'exercice

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $AB=BA$ , donc on peut réordonner les facteurs comme on veut. »

Ce qu'il faut écrire

« Le produit matriciel n'est PAS commutatif : avec $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ , on trouve $AB=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $BA=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ , qui diffèrent. »

Pourquoi : Le coefficient d'un produit mélange une ligne du premier facteur et une colonne du second : échanger les facteurs échange les rôles et donne un autre résultat. C'est la différence fondatrice avec les nombres.

2. Développer un carré comme avec des nombres

toute la question, avec un développement faux dès le premier terme

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $(A+B)^{2}=(A+B)(A+B)=A^{2}+AB+BA+B^{2}$ . On ne peut regrouper $AB$ et $BA$ que si $A$ et $B$ COMMUTENT, ce qui n'est pas le cas général. »

Pourquoi : Le développement lui-même est valable, c'est la distributivité; c'est le regroupement final qui suppose la commutativité. La même remarque vaut pour $(A+B)(A-B)$ , qui ne vaut $A^{2}-B^{2}$ que si les matrices commutent.

3. Déduire d'un produit nul qu'un facteur est nul

toute la question, et une conclusion fausse sur un système

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $AB=0$ , donc $A=0$ ou $B=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« C'est faux pour les matrices : avec $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , on a $AB=0$ alors qu'aucune des deux n'est nulle. »

Pourquoi : La propriété du produit nul repose, dans $\mathbb{R}$ , sur l'existence d'un inverse pour tout nombre non nul. Une matrice non nulle peut ne pas être inversible, et c'est exactement le cas ici : les deux ont un déterminant nul.

4. Diviser par une matrice

1 à 2 points, et une écriture qui n'a pas de sens

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $AX=B$ , donc $X=\frac{B}{A}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La division matricielle n'existe pas. On multiplie par l'INVERSE, et du bon côté : $A^{-1}AX=A^{-1}B$ , donc $X=A^{-1}B$ . »

Pourquoi : Comme le produit n'est pas commutatif, une même barre de fraction ne dirait pas si l'on multiplie à gauche ou à droite. La notation est donc bannie, et il faut écrire explicitement le côté.

5. Inverser sans vérifier que le déterminant est non nul

toute la question, avec une division par zéro

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ , donc $A^{-1}=\frac{1}{0}\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\det(A)=2\times 2-4\times 1=0$ : la matrice n'est PAS inversible, et il n'y a pas d'inverse à écrire. Le système associé a soit aucune solution, soit une infinité. »

Deux droites de pentes différentes se coupent en un point unique : le déterminant est non nul. La droite pointillée, parallèle à la première, correspond à un déterminant nul et à un système sans solution.

Pourquoi : Le déterminant se calcule AVANT la formule d'inversion, jamais après. Un déterminant nul signifie que les deux lignes sont proportionnelles, donc que la matrice écrase le plan sur une droite.

6. Se tromper d'échange ou de signe dans l'inverse

toute la question, et le produit $AA^{-1}$ ne donne pas l'identité

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix} a & -b \\ -c & d \end{pmatrix}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les coefficients DIAGONAUX s'échangent et les autres changent de signe : $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ . »

Pourquoi : L'échange des termes diagonaux est ce qui fait apparaître $ad-bc$ dans le produit. Sans lui, on obtient une matrice quelconque, et la vérification $AA^{-1}=I$ le montre en dix secondes.

7. Multiplier du mauvais côté pour résoudre un système

1 à 2 points, et un produit impossible en tailles

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $AX=B$ , donc $X=BA^{-1}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« On multiplie à GAUCHE des deux côtés, du même côté : $A^{-1}(AX)=A^{-1}B$ , donc $X=A^{-1}B$ . Le produit $BA^{-1}$ n'est d'ailleurs même pas défini si $B$ est une colonne. »

Pourquoi : Multiplier une égalité par une matrice se fait toujours du MÊME côté à gauche et à droite, précisément parce que le produit n'est pas commutatif. Le contrôle des tailles suffit à trancher.

8. Conjecturer une puissance sans la démontrer

1 à 2 points, ceux de la démonstration

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On calcule $A^{2}$ et $A^{3}$ , on voit la forme générale, donc $A^{n}=\dots$ »

Ce qu'il faut écrire

« Les premiers calculs permettent de CONJECTURER; la formule doit ensuite être démontrée par RÉCURRENCE, avec initialisation, hérédité utilisant $A^{n+1}=A^{n}\times A$ , et conclusion. »

Les coefficients des puissances successives de

\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

sont exactement les nombres de Fibonacci : chacun est la somme des deux précédents, ce qui est la récurrence à démontrer.

Pourquoi : Trois cas particuliers ne prouvent rien sur tous les entiers, exactement comme pour les suites. C'est d'ailleurs la même récurrence, appliquée à des tableaux de nombres au lieu de nombres.

9. Multiplier des matrices de tailles incompatibles

toute la question, avec un calcul impossible mené jusqu'au bout

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je multiplie une matrice $2\times 3$ par une matrice $2\times 2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le produit $AB$ n'existe que si le nombre de COLONNES de $A$ égale le nombre de LIGNES de $B$ . Ici $3\neq 2$ : le produit n'est pas défini dans cet ordre, alors qu'il l'est dans l'autre. »

Pourquoi : Chaque coefficient du produit est une somme de produits terme à terme d'une ligne et d'une colonne : il faut qu'elles aient la même longueur. C'est aussi une seconde raison, purement dimensionnelle, pour laquelle $AB$ et $BA$ diffèrent.

Quelle méthode choisir

Comment résoudre un système linéaire

On écrit le système sous forme matricielle, puis tout se décide sur le déterminant.

Si $\det(A)\neq 0$ → le système admet une UNIQUE solution, donnée par $X=A^{-1}B$

Exemple : $\det(A)=10$ pour $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ , donc une seule solution
Si $\det(A)=0$ et les seconds membres ne sont pas proportionnels comme les lignes → aucune solution : les deux droites sont strictement parallèles
Si $\det(A)=0$ et le second membre suit la même proportion → une infinité de solutions : les deux droites sont confondues
Si l'énoncé demande de résoudre plusieurs systèmes de même matrice → calculer $A^{-1}$ UNE fois, puis multiplier par chaque second membre

C'est le seul cas où l'inverse est vraiment plus rapide qu'une substitution.
Si l'énoncé donne deux suites couplées → les écrire $X_{n+1}=AX_{n}$ , en déduire $X_{n}=A^{n}X_{0}$ , puis chercher $A^{n}$
Si il faut calculer $A^{n}$ → conjecturer sur $A^{2}$ et $A^{3}$ , puis DÉMONTRER par récurrence

Pour un système $2\times 2$ isolé, la substitution reste plus rapide que l'inversion. La méthode matricielle prend l'avantage quand la même matrice sert plusieurs fois, ou quand le sujet demande explicitement l'inverse.

Quelles règles survivent au passage aux matrices

On teste chaque réflexe du calcul numérique : certains restent vrais, d'autres tombent.

Si il s'agit d'une ADDITION → tout reste vrai : commutative, associative, avec la matrice nulle comme élément neutre
Si il s'agit de la DISTRIBUTIVITÉ du produit sur la somme → elle reste vraie, à condition de garder l'ORDRE : $A(B+C)=AB+AC$ et $(B+C)A=BA+CA$
Si il s'agit de l'ASSOCIATIVITÉ du produit → elle reste vraie : $(AB)C=A(BC)$ , ce qui permet de regrouper sans réordonner
Si il s'agit de la COMMUTATIVITÉ du produit → elle tombe : $AB\neq BA$ en général, et avec elle toutes les identités remarquables
Si il s'agit de la règle du produit nul → elle tombe : $AB=0$ n'entraîne rien sur $A$ ni sur $B$
Si il s'agit de la simplification, $AB=AC$ donne $B=C$ → elle tombe, sauf si $A$ est INVERSIBLE, auquel cas on multiplie à gauche par $A^{-1}$

Le fil commun des trois règles qui tombent est l'inversibilité : dans $\mathbb{R}$ , tout nombre non nul est inversible, ce qui n'est pas le cas des matrices. Toutes les exceptions viennent de là.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer un inverse et résoudre un système

Quand l'utiliser : L'exercice standard du chapitre, souvent en trois questions enchaînées.

1 Écrire le système sous forme matricielle $AX=B$ , en identifiant clairement $A$ , $X$ et $B$ .
2 Calculer $\det(A)=ad-bc$ et CONCLURE sur l'inversibilité : « $\det(A)=10\neq 0$ , donc $A$ est inversible ».
3 Écrire $A^{-1}$ avec la formule, en échangeant les termes diagonaux et en changeant le signe des autres.
4 VÉRIFIER que $AA^{-1}=I$ par un produit, ce qui valide l'écriture.
5 Calculer $X=A^{-1}B$ , en multipliant bien à GAUCHE.
6 Vérifier la solution en la substituant dans les deux équations de départ.

Phrase de conclusion

$\det(A)=3\times 4-1\times 2=10\neq 0$ , donc $A$ est inversible et $A^{-1}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ ; le système admet l'unique solution $X=A^{-1}B=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ .

Le piège : Écrire l'inverse sans le facteur $\frac{1}{\det}$ . La matrice obtenue est alors $\det(A)$ fois trop grande, et le produit $AA^{-1}$ donne $\det(A)\,I$ au lieu de $I$ : la vérification l'attrape aussitôt.

Barème : 0,5 point pour l'écriture matricielle, 0,5 point pour le déterminant avec sa conclusion, 1 point pour l'inverse, 1 point pour la solution, 0,5 point pour la vérification.

Démontrer une formule de puissance par récurrence

Quand l'utiliser : L'énoncé demande $A^{n}$ , souvent après avoir fait calculer $A^{2}$ et $A^{3}$ .

1 Calculer $A^{2}$ et $A^{3}$ explicitement, coefficient par coefficient.
2 CONJECTURER une forme générale, en identifiant le motif sur chacun des quatre coefficients.
3 Nommer la propriété : « pour tout entier $n\ge 1$ , notons $P(n)$ la propriété $A^{n}=\dots$ ».
4 Initialisation : vérifier $P(1)$ , ce qui est immédiat.
5 Hérédité : supposer $P(n)$ , écrire $A^{n+1}=A^{n}\times A$ , effectuer le produit et retrouver la forme attendue au rang $n+1$ .
6 Conclusion rédigée, avec la phrase type du principe de récurrence.

Phrase de conclusion

$P(1)$ est vraie et, pour tout $n\ge 1$ , $A^{n+1}=A^{n}\times A$ redonne la forme annoncée au rang $n+1$ : d'après le principe de récurrence, la formule est vraie pour tout entier $n\ge 1$ .

Le piège : Écrire $A^{n+1}=A\times A^{n}$ puis effectuer le produit dans le mauvais ordre. Les deux écritures sont ici égales, mais l'habitude de vérifier l'ordre évite l'erreur dans les questions où elle compte.

Barème : 1 point pour la conjecture appuyée sur des calculs, 0,5 point pour l'initialisation, 1,5 point pour l'hérédité, 0,5 point pour la conclusion.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Vérifier un inverse par le produit

Calculer $AA^{-1}$ doit donner exactement la matrice identité. Quatre produits de deux termes, et toute erreur de signe, d'échange ou de facteur apparaît.

Un produit qui donne $10\,I$ au lieu de $I$ signale l'oubli du facteur $\frac{1}{\det}$ .
Substituer la solution dans le système de départ

Les deux équations doivent être vérifiées numériquement. C'est le contrôle final, indépendant de toute la méthode matricielle employée.

$3\times 1+2=5$ et $2\times 1+4\times 2=10$ : la solution $(1\,;2)$ est validée.
Calculer le déterminant avant toute inversion

Un déterminant nul interdit l'inversion et change la réponse du tout au tout. Ce calcul d'une ligne se fait systématiquement en premier.

Pour $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ , les lignes sont proportionnelles et le déterminant est nul : il n'y a pas d'inverse.
Contrôler la compatibilité des tailles

Avant tout produit, vérifier que le nombre de colonnes du premier facteur égale le nombre de lignes du second. Un produit impossible n'a pas de résultat.

Une matrice $2\times 3$ ne peut pas multiplier une matrice $2\times 2$ , mais l'inverse est possible et donne une matrice $2\times 3$ .
Tester une identité douteuse sur deux matrices simples

Les deux matrices $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ ne commutent pas : elles servent de contre-exemple à presque toutes les identités fausses.

Leur produit dans les deux ordres donne des matrices différentes, ce qui suffit à réfuter $AB=BA$ et l'identité remarquable du carré.

L'exercice type décortiqué

Un système résolu par l'inverse, comme au baccalauréat

On considère le système $\begin{cases} 3x+y=5 \\ 2x+4y=10 \end{cases}$ et les matrices $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .

1. Écrire le système sous forme matricielle. 2. Calculer le déterminant de sa matrice et conclure. 3. Déterminer l'inverse et le vérifier. 4. Résoudre le système. 5. Calculer $AB$ et $BA$ et commenter.

Étape 1

Le système s'écrit $MX=C$ avec $M=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ , $X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $C=\begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}$ .

Pourquoi

La matrice recueille les COEFFICIENTS, la colonne de droite les seconds membres. Écrire les trois objets séparément évite de mélanger les inconnues et les données.

Étape 2

$\det(M)=3\times 4-1\times 2=12-2=10$ . Comme $10\neq 0$ , la matrice $M$ est inversible et le système admet une unique solution.

Pourquoi

La conclusion sur l'inversibilité et sur l'unicité de la solution se dit en une phrase, avant tout autre calcul. Un déterminant nul aurait entièrement changé la réponse.

Étape 3

$M^{-1}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ : les termes diagonaux $3$ et $4$ sont échangés, les termes $1$ et $2$ changent de signe.

Pourquoi

On énonce la règle en même temps qu'on l'applique, ce qui évite l'erreur la plus fréquente. Le facteur $\frac{1}{10}$ est écrit devant la matrice et non distribué, pour alléger la suite.

Étape 4

Vérification : $MM^{-1}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix} 3\times 4+1\times(-2) & 3\times(-1)+1\times 3 \\ 2\times 4+4\times(-2) & 2\times(-1)+4\times 3 \end{pmatrix}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix}=I$ .

Pourquoi

Quatre produits de deux termes suffisent à valider l'inverse. Le résultat $10\,I$ avant division confirme aussi la valeur du déterminant : deux contrôles pour le prix d'un.

Étape 5

$X=M^{-1}C=\frac{1}{10}\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix} 20-10 \\ -10+30 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ .

Pourquoi

On multiplie à GAUCHE par l'inverse. L'écriture $CM^{-1}$ serait d'ailleurs impossible, une colonne de deux lignes ne pouvant pas multiplier une matrice carrée par la gauche.

Étape 6

Contrôle : $3\times 1+2=5$ et $2\times 1+4\times 2=2+8=10$ . Les deux équations sont vérifiées, donc $(x\,;y)=(1\,;2)$ .

Pourquoi

La substitution dans le système de DÉPART est indépendante de toute la méthode matricielle : elle attrape aussi bien une erreur d'inverse qu'une erreur de produit.

Étape 7

$AB=\begin{pmatrix} 1\times 1+2\times 1 & 1\times 0+2\times 1 \\ 0\times 1+1\times 1 & 0\times 0+1\times 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ , tandis que $BA=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ .

Pourquoi

Les deux produits existent et diffèrent : c'est le contre-exemple le plus court à la commutativité, et il tient en quatre multiplications de chaque côté.

Étape 8

Commentaire : $AB\neq BA$ , donc $A$ et $B$ ne commutent pas. Par conséquent $(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}$ ne se simplifie PAS en $A^{2}+2AB+B^{2}$ .

Pourquoi

La conclusion relie le contre-exemple à sa conséquence pratique. C'est cette phrase, et non le calcul, qui est notée : elle montre qu'on a compris pourquoi les identités remarquables tombent.

Conclusion rédigée

Le déterminant valant $10$ , la matrice du système est inversible et le système admet l'unique solution $(1\,;2)$ , confirmée par substitution; les matrices $A$ et $B$ , elles, ne commutent pas, ce qui interdit d'appliquer les identités remarquables du calcul numérique.

L'erreur classique sur cet exercice : Oublier le facteur $\frac{1}{\det}$ devant l'inverse. La solution obtenue est alors $(10\,;20)$ , dix fois trop grande, et la substitution dans le système de départ le révèle immédiatement.

À savoir par cœur

• $\det(A)=ad-bc$ , et $|\det(A)|$ est le rapport des AIRES.
• $A$ est inversible SI ET SEULEMENT SI $\det(A)\neq 0$ .
• $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ : diagonale ÉCHANGÉE, antidiagonale changée de SIGNE.
• $AB\neq BA$ en général : la commutativité tombe, et avec elle les identités remarquables.
• $(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}$ , et rien de plus sans hypothèse de commutation.
• $AB=0$ n'entraîne ni $A=0$ ni $B=0$ .
• La division n'existe pas : on multiplie par l'inverse, du MÊME côté des deux membres.
• $AX=B$ avec $A$ inversible donne $X=A^{-1}B$ , jamais $BA^{-1}$ .
• Une formule de puissance se CONJECTURE puis se démontre par récurrence.

Questions fréquentes

Pourquoi le produit de deux matrices n'est-il pas commutatif ?

Parce que chaque coefficient du produit combine une ligne du premier facteur et une colonne du second. Échanger les facteurs échange donc les rôles des lignes et des colonnes, et le résultat change. Deux matrices deux fois deux très simples suffisent à le voir : leurs deux produits diffèrent sur trois coefficients sur quatre.

Que signifie un déterminant nul ?

Que la matrice n'est pas inversible. Géométriquement, elle écrase le plan sur une droite : l'image du carré unité a une aire nulle, et l'information de départ est perdue. Pour un système linéaire, cela signifie que les deux droites sont parallèles, donc qu'il n'y a aucune solution ou une infinité.

Peut-on diviser par une matrice ?

Non. On multiplie par la matrice inverse, quand elle existe, et il faut préciser de quel côté puisque le produit n'est pas commutatif. Une barre de fraction serait ambiguë : elle ne dirait pas s'il s'agit d'une multiplication à gauche ou à droite, qui donnent des résultats différents.

Un produit de matrices nul implique-t-il qu'un facteur est nul ?

Non, contrairement aux nombres. Deux matrices non nulles peuvent avoir un produit nul, à condition qu'aucune des deux ne soit inversible. C'est justement l'inversibilité qui, dans les réels, garantit la règle du produit nul : tout nombre non nul y est inversible, ce qui n'est pas le cas des matrices.

Comment résoudre un système avec des matrices ?

On l'écrit sous la forme matrice fois colonne des inconnues égale colonne des seconds membres. On calcule le déterminant : s'il est non nul, on écrit l'inverse et on multiplie à gauche des deux côtés. La solution est le produit de l'inverse par la colonne des seconds membres, dans cet ordre.

Comment calculer la puissance n-ième d'une matrice ?

On calcule d'abord les premières puissances explicitement pour conjecturer la forme générale, puis on la démontre par récurrence. L'hérédité consiste à multiplier la forme supposée au rang n par la matrice de départ et à retrouver la forme au rang suivant. Une conjecture non démontrée ne vaut aucun point.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les matrices

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

Fiche précédente L'arithmétique Fiche suivante Graphes et chaînes de Markov

Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Graphes et chaînes de Markov

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Mathématiques Tutorat cégep

Vous cherchez un tuteur à Montréal pour ce chapitre ?

Contactez-moi pour une première séance. On reprend les points de méthode qui font perdre des points en évaluation, puis on les met à l'épreuve sur des exercices du niveau réel de l'examen.

Me contacter WhatsApp

Site par Studio Squalli