Exercice 0.1 : Calculer des produits et des puissances de matrices : dix calculs directs

Pour chaque ligne, effectuez le calcul demandé, puis donnez les coefficients indiqués du résultat. Le coefficient $(i,j)$ est celui de la ligne $i$ et de la colonne $j$ : la ligne vient toujours en premier.

Une somme et un produit par un réel se calculent coefficient par coefficient. Pour un produit, on écrit d'abord les formats, $(m\times n)(n\times p)$ donnant une matrice $m\times p$ , puis le coefficient $(i,j)$ est la ligne $i$ du premier facteur multipliée par la colonne $j$ du second : on multiplie terme à terme et on additionne. Une puissance se calcule par produits successifs, $M^{3}=M^{2}M$ , jamais en élevant chaque coefficient, sauf pour une matrice diagonale.

a) $\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4 & 6 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}$ : donnez les coefficients $(1,1)$ et $(2,1)$ .
b) $3\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}-2\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ : donnez les coefficients $(1,2)$ et $(2,1)$ .
c) $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ : donnez les coefficients $(1,2)$ et $(2,1)$ du produit.
d) $\begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ : donnez les coefficients $(1,1)$ et $(2,2)$ du produit.
e) $\begin{pmatrix} -1 & 4 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix}$ : donnez le résultat.
f) $\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$ : donnez les deux coefficients de la matrice colonne obtenue.
g) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ : donnez les coefficients $(2,3)$ et $(3,2)$ du produit.
h) $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}^{2}$ : donnez les coefficients $(1,1)$ et $(2,1)$ .
i) $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}^{3}$ : donnez les coefficients $(1,1)$ et $(2,1)$ .
j) $\begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}^{5}$ : donnez les coefficients $(1,1)$ et $(2,2)$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/19

a)

Ligne 1, colonne 1

Ligne 2, colonne 1

b)

Ligne 1, colonne 2

Ligne 2, colonne 1

c)

Ligne 1, colonne 2

Ligne 2, colonne 1

d)

Ligne 1, colonne 1

Ligne 2, colonne 2

e)

Résultat

f)

Coefficient du haut

Coefficient du bas

g)

Ligne 2, colonne 3

Ligne 3, colonne 2

h)

Ligne 1, colonne 1

Ligne 2, colonne 1

i)

Ligne 1, colonne 1

Ligne 2, colonne 1

j)

Ligne 1, colonne 1

Ligne 2, colonne 2

Voir la correction

Réponses

a) $\begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}$ ; $-1$ et $6$
b) $\begin{pmatrix} 4 & -11 \\ 6 & 11 \end{pmatrix}$ ; $-11$ et $6$
c) $\begin{pmatrix} 16 & 2 \\ 13 & 1 \end{pmatrix}$ ; $2$ et $13$
d) $\begin{pmatrix} -13 & 5 \\ 23 & -9 \end{pmatrix}$ ; $-13$ et $-9$
e) $\begin{pmatrix} -5 \end{pmatrix}$ ; $-5$
f) $\begin{pmatrix} 14 \\ -2 \end{pmatrix}$ ; $14$ et $-2$
g) $\begin{pmatrix} 8 & 5 & 2 \\ 1 & -2 & 13 \\ 4 & 1 & 4 \end{pmatrix}$ ; $13$ et $1$
h) $\begin{pmatrix} -5 & -4 \\ 6 & -5 \end{pmatrix}$ ; $-5$ et $6$
i) $\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}$ ; $4$ et $-3$
j) $\begin{pmatrix} -243 & 0 \\ 0 & \frac{1}{32} \end{pmatrix}$ ; $-243$ et $\frac{1}{32}$

Le geste qui décide de tout : pour un produit, nommer la ligne du PREMIER facteur et la colonne du SECOND avant de multiplier. Le coefficient $(2,3)$ d'un produit, c'est la ligne $2$ de gauche contre la colonne $3$ de droite, et rien d'autre.

a)

Coefficient par coefficient : $\begin{pmatrix} 3-4 & -2+6 \\ 5+1 & 0+7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}$ . Coefficients $(1,1)=-1$ et $(2,1)=6$ .

b)

$3\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 15 \end{pmatrix}$ et $2\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 8 \\ -6 & 4 \end{pmatrix}$ , donc la différence vaut $\begin{pmatrix} 4 & -11 \\ 6 & 11 \end{pmatrix}$ . Coefficients $(1,2)=-11$ et $(2,1)=0-(-6)=6$ . Piège : $-2\times(-3)=+6$ , pas $-6$ .

c)

Ligne 1 par colonne 2 : $2\times 1+3\times 0=2$ . Ligne 2 par colonne 1 : $1\times 5+4\times 2=13$ . Le produit complet vaut $\begin{pmatrix} 16 & 2 \\ 13 & 1 \end{pmatrix}$ . Piège : multiplier coefficient par coefficient, ce qui donne $\begin{pmatrix} 10 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ .

d)

Ligne 1 par colonne 1 : $(-1)\times 4+3\times(-3)=-4-9=-13$ . Ligne 2 par colonne 2 : $2\times(-2)+(-5)\times 1=-4-5=-9$ . Le produit complet vaut $\begin{pmatrix} -13 & 5 \\ 23 & -9 \end{pmatrix}$ . Piège : un signe perdu sur $3\times(-3)$ .

e)

Une matrice ligne $1\times 3$ par une matrice colonne $3\times 1$ donne une matrice $1\times 1$ , un seul nombre : $(-1)\times 3+4\times 2+2\times(-5)=-3+8-10=-5$ . Piège : écrire la matrice $3\times 3$ , qui serait le produit dans l'AUTRE ordre.

f)

$(2\times 2)(2\times 1)$ donne une matrice colonne : $\begin{pmatrix} 3\times 4+(-2)\times(-1) \\ 1\times 4+6\times(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 14 \\ -2 \end{pmatrix}$ . Piège : $(-2)\times(-1)=+2$ , d'où $14$ et non $10$ .

g)

Ligne 2 par colonne 3 : $(-1)\times 0+3\times 4+1\times 1=13$ . Ligne 3 par colonne 2 : $2\times 1+1\times(-1)+0\times 2=1$ . Le produit complet vaut $\begin{pmatrix} 8 & 5 & 2 \\ 1 & -2 & 13 \\ 4 & 1 & 4 \end{pmatrix}$ . Piège : prendre la ligne $3$ de la SECONDE matrice ; le premier facteur fournit toujours la ligne.

h)

$\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-6 & -2-2 \\ 3+3 & -6+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5 & -4 \\ 6 & -5 \end{pmatrix}$ . Coefficients $(1,1)=-5$ et $(2,1)=6$ . Piège : élever chaque coefficient au carré, ce qui donne $\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 9 & 1 \end{pmatrix}$ .

i)

$M^{2}=\begin{pmatrix} 4-1 & 2+0 \\ -2+0 & -1+0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$ , puis $M^{3}=M^{2}M=\begin{pmatrix} 6-2 & 3+0 \\ -4+1 & -2+0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}$ . Coefficients $(1,1)=4$ et $(2,1)=-3$ . Recoupement : $M=I+N$ avec $N=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ et $N^{2}=0$ , donc $M^{3}=I+3N$ .

j)

Pour une matrice diagonale, et pour elle seulement, la puissance se calcule coefficient par coefficient sur la diagonale : $(-3)^{5}=-243$ et $\left(\frac{1}{2}\right)^{5}=\frac{1}{32}$ , les autres coefficients restant nuls. Piège : $(-3)^{5}$ est négatif, l'exposant étant impair.

Contrôle : un produit se recoupe en calculant un SECOND coefficient par une autre ligne ou une autre colonne, et une puissance par une autre association : en i), $MM^{2}$ doit redonner la même matrice que $M^{2}M$ .

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Exercice 0.2 : Inverser une matrice 2 × 2 et résoudre un système : huit calculs directs

Pour chaque ligne, effectuez le calcul demandé, puis donnez ce qui est demandé. On rappelle que la matrice $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ est inversible si et seulement si $ad-bc\neq 0$ , et qu'alors son inverse est $\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ . Le nombre $ad-bc$ est ici un outil de calcul rappelé, pas une notion du programme.

On calcule d'abord $ad-bc$ , avec ses signes. On échange ensuite les deux coefficients de la diagonale, on change le signe des deux autres SANS les déplacer, et l'on divise le tout par $ad-bc$ . Un inverse se contrôle par un produit, qui doit donner $I$ ; un système $AX=B$ se résout par $X=A^{-1}B$ , dans cet ordre.

a) Les matrices $\begin{pmatrix} 6 & -4 \\ -9 & 6 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 6 & 4 \\ -9 & 6 \end{pmatrix}$ sont-elles inversibles ?
b) Inverse de $\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ : donnez les coefficients $(1,2)$ et $(2,2)$ .
c) Inverse de $\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ : donnez les coefficients $(1,1)$ et $(2,1)$ .
d) Inverse de $\begin{pmatrix} -3 & 5 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}$ : donnez les coefficients $(1,2)$ et $(2,2)$ .
e) On propose $B=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$ comme inverse de $A=\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$ . Calculez le coefficient $(1,1)$ de $AB$ et concluez.
f) $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ vérifient $AB=kI_{3}$ . Calculez $k$ , puis donnez le coefficient $(2,3)$ de $A^{-1}$ .
g) Résolvez $\begin{cases} 2x+3y=1 \\ 5x+7y=4 \end{cases}$ en calculant $X=A^{-1}B$ .
h) Résolvez $\begin{cases} 3x+2y=4 \\ x+4y=-7 \end{cases}$ en calculant $X=A^{-1}B$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/16

a)

\begin{pmatrix} 6 & -4 \\ -9 & 6 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 6 & 4 \\ -9 & 6 \end{pmatrix}

b)

Ligne 1, colonne 2

Ligne 2, colonne 2

c)

Ligne 1, colonne 1

Ligne 2, colonne 1

d)

Ligne 1, colonne 2

Ligne 2, colonne 2

e)

Coefficient

(1,1)

de

AB

B

est-elle l'inverse de

A

?

f)

k

Ligne 2, colonne 3 de

A^{-1}

g)

x

y

h)

x

y

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Réponses

a) $ad-bc=0$ : non inversible ; $ad-bc=72$ : inversible
b) $\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}$ ; $-3$ et $5$
c) $\frac{1}{10}\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$ ; $\frac{3}{10}$ et $-\frac{1}{10}$
d) $\begin{pmatrix} -2 & -\frac{5}{2} \\ -1 & -\frac{3}{2} \end{pmatrix}$ ; $-\frac{5}{2}$ et $-\frac{3}{2}$
e) $AB=\begin{pmatrix} 11 & -6 \\ -20 & 11 \end{pmatrix}\neq I$ ; $11$ , ce n'est pas l'inverse
f) $k=2$ , $A^{-1}=\frac{1}{2}B$ ; $-\frac{1}{2}$
g) $x=5$ et $y=-3$
h) $x=3$ et $y=-\frac{5}{2}$

Le geste qui décide de tout : calculer $ad-bc$ AVANT d'écrire l'inverse, en écrivant chaque signe. Il dit si l'inverse existe, et c'est par lui qu'on divise à la fin ; une erreur de signe sur $bc$ fausse tous les coefficients d'un coup.

a)

Première matrice : $ad-bc=6\times 6-(-4)\times(-9)=36-36=0$ , elle n'est pas inversible ; ses lignes sont proportionnelles, la seconde valant $-\frac{3}{2}$ fois la première. Seconde matrice : $ad-bc=36-4\times(-9)=36+36=72\neq 0$ , elle est inversible. Piège : $(-4)\times(-9)=+36$ , qui annule la première.

b)

$ad-bc=10-9=1$ , donc l'inverse est $\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}$ : coefficients $(1,2)=-3$ et $(2,2)=5$ . Contrôle : $\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10-9 & -15+15 \\ 6-6 & -9+10 \end{pmatrix}=I$ .

c)

$ad-bc=12-2=10$ , donc l'inverse est $\frac{1}{10}\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}3 & -0{,}2 \\ -0{,}1 & 0{,}4 \end{pmatrix}$ : coefficients $(1,1)=\frac{3}{10}$ et $(2,1)=-\frac{1}{10}$ . Piège : oublier de diviser par $10$ , ce qui donne une matrice $B$ telle que $AB=10I$ .

d)

$ad-bc=(-3)\times(-4)-5\times 2=12-10=2$ , donc l'inverse est $\frac{1}{2}\begin{pmatrix} -4 & -5 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & -\frac{5}{2} \\ -1 & -\frac{3}{2} \end{pmatrix}$ : coefficients $(1,2)=-\frac{5}{2}$ et $(2,2)=-\frac{3}{2}$ . Piège : sur la diagonale, on ÉCHANGE $-3$ et $-4$ sans changer leurs signes ; seuls $b$ et $c$ changent de signe.

e)

Ligne 1 de $A$ par colonne 1 de $B$ : $3\times 2+(-1)\times(-5)=6+5=11\neq 1$ . Le produit $AB=\begin{pmatrix} 11 & -6 \\ -20 & 11 \end{pmatrix}$ n'est pas $I$ : $B$ n'est PAS l'inverse de $A$ . On a bien échangé la diagonale, mais oublié de changer le signe de $b$ et de $c$ : $-b=1$ et $-c=5$ . Comme $ad-bc=6-5=1$ , le vrai inverse est $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$ .

f)

Ligne 1 de $A$ par colonne 1 de $B$ : $1\times 1+1\times 1+0\times(-1)=2$ , donc $k=2$ (les autres coefficients se calculent de même : $2$ sur la diagonale, $0$ ailleurs). De $AB=2I_{3}$ on tire $A\times\frac{1}{2}B=I_{3}$ , donc $A^{-1}=\frac{1}{2}B$ , et son coefficient $(2,3)$ vaut $\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$ . Piège : écrire $A^{-1}=2B$ ; on DIVISE par $k$ .

g)

$A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$ , $ad-bc=14-15=-1$ , donc $A^{-1}=-\begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -7 & 3 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}$ . Puis $X=A^{-1}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -7+12 \\ 5-8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$ : $x=5$ et $y=-3$ . Piège : $ad-bc=-1$ change TOUS les signes de la matrice.

h)

$A=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ , $ad-bc=12-2=10$ , $A^{-1}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ . Puis $X=\frac{1}{10}\begin{pmatrix} 4\times 4+(-2)\times(-7) \\ (-1)\times 4+3\times(-7) \end{pmatrix}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix} 30 \\ -25 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -\frac{5}{2} \end{pmatrix}$ : $x=3$ et $y=-\frac{5}{2}$ . Piège : calculer $BA^{-1}$ , qui n'existe même pas, une colonne ne se multipliant pas à droite par une matrice $2\times 2$ .

Contrôle : un inverse se vérifie par $AA^{-1}=I$ , et la solution d'un système en la remplaçant dans les DEUX équations. En h), $3\times 3+2\times\left(-\frac{5}{2}\right)=9-5=4$ et $3+4\times\left(-\frac{5}{2}\right)=3-10=-7$ .

Exercice 1 : Opérations sur les matrices

On considère $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ .

a) Calculez $A+B$ et $2A$ .
b) Calculez le produit $AB$ .
c) Calculez le produit $BA$ .
d) Que constatez-vous en comparant $AB$ et $BA$ ?

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Réponses

a) $A+B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}$ , $2A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$
b) $AB=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}$
c) $BA=\begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$
d) $AB\neq BA$ : pas de commutativité

a)

L'addition et la multiplication par un réel se font COEFFICIENT PAR COEFFICIENT, sans aucune subtilité : $A+B=\begin{pmatrix} 1+0 & 2-1 \\ 3+2 & 4+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}$ et $2A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$ . Ces deux opérations se comportent exactement comme sur les nombres, ce qui n'est plus vrai du produit.

b)

Le produit obéit à la règle LIGNE PAR COLONNE : le coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$ s'obtient en combinant la ligne $i$ de $A$ avec la colonne $j$ de $B$ . En haut à gauche, la première ligne $(1\ ;\ 2)$ contre la première colonne $\binom{0}{2}$ donne $1\times 0+2\times 2=4$ ; en haut à droite $1\times(-1)+2\times 1=1$ ; en bas à gauche $3\times 0+4\times 2=8$ ; en bas à droite $3\times(-1)+4\times 1=1$ . Donc $AB=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}$ .

c)

On refait le calcul dans l'AUTRE ordre, avec cette fois les lignes de $B$ contre les colonnes de $A$ : en haut à gauche $0\times 1+(-1)\times 3=-3$ ; en haut à droite $0\times 2+(-1)\times 4=-4$ ; en bas à gauche $2\times 1+1\times 3=5$ ; en bas à droite $2\times 2+1\times 4=8$ . Donc $BA=\begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$ .

d)

Les deux produits sont DIFFÉRENTS, et pas seulement d'un coefficient : aucun n'est égal à l'autre. Le produit matriciel n'est donc pas COMMUTATIF, ce qui est la différence la plus importante avec le calcul sur les nombres, et elle interdit d'utiliser les identités remarquables sans précaution, comme le montrera l'exercice 2.

La non-commutativité n'est pas une bizarrerie technique, elle a un sens géométrique. Une matrice représente une TRANSFORMATION du plan, et le produit $AB$ correspond à appliquer d'abord $B$ puis $A$ , dans cet ordre. Or enchaîner deux transformations dans un ordre ou dans l'autre ne donne évidemment pas la même chose : une rotation suivie d'une projection ne donne pas la même figure qu'une projection suivie de la même rotation. On notera d'ailleurs que le produit $AB$ se lit de DROITE à GAUCHE, ce qui est déroutant au début mais cohérent avec la notation $f\circ g$ des fonctions.

Exercice 2 : Matrice identité et non-commutativité

On garde $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ , et on note $I$ la matrice identité d'ordre 2.

a) Vérifiez que $AI=IA=A$ .
b) Calculez $A^{2}$ et $B^{2}$ .
c) Calculez $(A+B)^{2}$ .
d) Calculez $A^{2}+2AB+B^{2}$ et comparez avec la question c). Concluez.

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Réponses

a) $AI=IA=A$
b) $A^{2}=\begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix}$ , $B^{2}=\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$
c) $\begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 30 & 30 \end{pmatrix}$
d) $\begin{pmatrix} 13 & 11 \\ 33 & 23 \end{pmatrix}\neq(A+B)^{2}$

a)

Multiplier par l'identité ne change rien, et le calcul le montre : chaque coefficient de $AI$ se calcule comme une somme où un SEUL terme est non nul, puisque l'identité n'a qu'un $1$ par ligne. En haut à gauche : $1\times 1+2\times 0=1$ , et ainsi de suite. On obtient bien $AI=IA=A$ ✓. La matrice $I$ joue donc pour le produit matriciel le rôle que $1$ joue pour les nombres, et c'est l'une des rares propriétés qui survit au passage aux matrices.

b)

$A^{2}=AA$ se calcule par la règle ligne-colonne : en haut à gauche $1\times 1+2\times 3=7$ , en haut à droite $1\times 2+2\times 4=10$ , en bas à gauche $3\times 1+4\times 3=15$ , en bas à droite $3\times 2+4\times 4=22$ , soit $A^{2}=\begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix}$ . De même $B^{2}=\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ . On notera qu'élever au carré n'élève PAS chaque coefficient au carré.

c)

On calcule d'abord la somme, $A+B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}$ , puis son carré : en haut à gauche $1\times 1+1\times 5=6$ , et de même pour les trois autres coefficients, on obtient $(A+B)^{2}=\begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 30 & 30 \end{pmatrix}$ .

d)

$2AB=\begin{pmatrix} 8 & 2 \\ 16 & 2 \end{pmatrix}$ d'après l'exercice 1, donc $A^{2}+2AB+B^{2}=\begin{pmatrix} 7+8-2 & 10+2-1 \\ 15+16+2 & 22+2-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 13 & 11 \\ 33 & 23 \end{pmatrix}$ . Ce n'est PAS égal à $(A+B)^{2}$ , et l'écart est considérable. Le développement correct est $(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}$ , et l'on ne peut regrouper $AB+BA$ en $2AB$ que si les deux matrices COMMUTENT, ce qui n'est pas le cas ici.

On vérifie que le développement correct fonctionne bien : $A^{2}+AB+BA+B^{2}=\begin{pmatrix} 7+4-3-2 & 10+1-4-1 \\ 15+8+5+2 & 22+1+8-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 30 & 30 \end{pmatrix}$ ✓, exactement $(A+B)^{2}$ . La leçon vaut pour toutes les identités remarquables : $(A+B)(A-B)$ vaut $A^{2}-AB+BA-B^{2}$ et non $A^{2}-B^{2}$ , et $(A+B)^{3}$ compte huit termes qu'on ne peut pas regrouper. La règle pratique est simple, il ne faut JAMAIS intervertir deux matrices dans un produit, et donc développer en conservant scrupuleusement l'ordre des facteurs.

Exercice 3 : Déterminant et inverse

On rappelle que $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ est inversible si et seulement si $ad-bc\neq 0$ .

Le déterminant n'est pas une notion du programme de l'option : pour une matrice d'ordre $2$ , le nombre $ad-bc$ est un outil de calcul pratique, qu'on peut employer en le rappelant, mais qui n'est pas exigible. Le programme demande de savoir calculer un inverse, par exemple en résolvant $AX=I$ ou à l'aide d'une relation comme celle de l'exercice 12.

a) Calculez le déterminant de $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et déterminez $A^{-1}$ .
b) Vérifiez que $AA^{-1}=I$ .
c) La matrice $C=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ est-elle inversible ?
d) Interprétez la réponse à la question c) en observant les lignes de $C$ .

Voir la correction

Réponses

a) $\det A=-2$ ; $A^{-1}=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1{,}5 & -0{,}5 \end{pmatrix}$
b) $AA^{-1}=I$ ✓
c) $\det C=0$ : non inversible
d) Lignes proportionnelles

a)

$\det(A)=1\times 4-2\times 3=4-6=-2$ , qui est NON NUL, donc $A$ est inversible. La formule d'inversion échange les deux coefficients diagonaux, change le signe des deux autres, puis divise par le déterminant : $A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1{,}5 & -0{,}5 \end{pmatrix}$ .

b)

La vérification est obligatoire, la formule comportant quatre occasions de se tromper de signe. En haut à gauche : $1\times(-2)+2\times 1{,}5=-2+3=1$ ✓ ; en haut à droite : $1\times 1+2\times(-0{,}5)=1-1=0$ ✓ ; en bas à gauche : $3\times(-2)+4\times 1{,}5=-6+6=0$ ✓ ; en bas à droite : $3\times 1+4\times(-0{,}5)=3-2=1$ ✓. On obtient bien l'identité. Il faudrait en toute rigueur vérifier aussi $A^{-1}A=I$ , mais pour des matrices carrées l'une des deux égalités entraîne l'autre.

c)

$\det(C)=2\times 2-4\times 1=4-4=0$ . La matrice $C$ n'est donc PAS inversible, alors qu'elle est loin d'être nulle : c'est le piège que reprendra l'exercice 9.

d)

La première ligne de $C$ est exactement le DOUBLE de la seconde, $(2\ ;\ 4)=2\times(1\ ;\ 2)$ . Les deux lignes sont donc proportionnelles, ce qui traduit géométriquement que la matrice écrase tout le plan sur une DROITE : deux points distincts peuvent avoir la même image, l'information est perdue et l'opération ne peut pas être inversée. On le vérifie : $C$ envoie $\binom{2}{-1}$ sur $\binom{0}{0}$ , tout comme le vecteur nul.

Le déterminant se lit donc comme une mesure de ce que la transformation CONSERVE, et cette lecture aide beaucoup. En valeur absolue, il donne le facteur par lequel les aires sont multipliées : $A$ multiplie les aires par $2$ , tandis que $C$ les annule, ce qui est cohérent avec l'écrasement sur une droite. Son SIGNE indique si l'orientation du plan est conservée ou renversée, négatif signifiant renversée comme pour $A$ . Un déterminant nul signifie donc exactement qu'une dimension a été perdue, et c'est pour cela qu'il caractérise la non-inversibilité, sans qu'il soit besoin de retenir un critère supplémentaire.

Exercice 4 : Résoudre un système par l'inverse

On considère le système $\begin{cases} x+2y=5 \\ 3x+4y=11 \end{cases}$

a) Écrivez ce système sous la forme matricielle $AX=B$ en précisant $A$ , $X$ et $B$ .
b) Justifiez que le système admet une unique solution.
c) Résolvez le système en calculant $X=A^{-1}B$ .
d) Vérifiez la solution dans les deux équations de départ.

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Réponses

a) $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}$
b) $\det A\neq 0$
c) $x=1$ , $y=2$
d) $5$ et $11$ ✓

a)

On sépare les coefficients, les inconnues et les seconds membres : $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ , $X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}$ . On vérifie que le produit $AX$ redonne bien le système : sa première coordonnée vaut $x+2y$ et la seconde $3x+4y$ ✓.

b)

Le déterminant de $A$ vaut $-2$ , non nul d'après l'exercice 3, donc $A$ est INVERSIBLE. Le système admet alors une unique solution, obtenue en multipliant les deux membres à gauche par $A^{-1}$ : $A^{-1}AX=A^{-1}B$ , soit $IX=A^{-1}B$ et finalement $X=A^{-1}B$ . La justification par le déterminant est ce qui garantit l'existence ET l'unicité en une seule ligne.

c)

Avec $A^{-1}=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1{,}5 & -0{,}5 \end{pmatrix}$ : la première coordonnée vaut $-2\times 5+1\times 11=-10+11=1$ , et la seconde $1{,}5\times 5-0{,}5\times 11=7{,}5-5{,}5=2$ . Donc $x=1$ et $y=2$ . Attention à multiplier à GAUCHE, l'écriture $BA^{-1}$ n'ayant même pas de sens ici pour des raisons de format.

d)

Première équation : $1+2\times 2=1+4=5$ ✓. Seconde équation : $3\times 1+4\times 2=3+8=11$ ✓. Les deux sont vérifiées, ce qui valide à la fois la solution et l'inverse calculé à l'exercice 3.

Cette méthode n'est pas la plus rapide sur un système $2\times 2$ , où la substitution irait plus vite, et il faut savoir pourquoi on l'enseigne. Son intérêt est CONCEPTUEL et se voit sur trois points. D'abord elle transforme un système en une simple division, ce qui unifie la théorie : $AX=B$ se résout comme $ax=b$ . Ensuite elle explique d'un coup les trois cas possibles, puisque le déterminant non nul donne une solution unique, tandis qu'un déterminant nul donne soit aucune solution soit une infinité. Enfin elle devient réellement efficace quand on doit résoudre PLUSIEURS systèmes ayant la même matrice $A$ et des seconds membres différents : on inverse une fois, puis chaque résolution ne coûte qu'un produit.

Exercice 5 : Puissances de matrices

On considère $M=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $D=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ .

a) Calculez $M^{2}$ et $M^{3}$ .
b) Conjecturez l'expression de $M^{n}$ et démontrez-la par récurrence.
c) Calculez $D^{2}$ et $D^{5}$ .
d) Donnez l'expression de $D^{n}$ . Pourquoi le calcul est-il si simple pour une matrice diagonale ?

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Réponses

a) $M^{2}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $M^{3}=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
b) $M^{n}=\begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
c) $D^{2}=\mathrm{diag}(4\,;9)$ , $D^{5}=\mathrm{diag}(32\,;243)$
d) $D^{n}=\mathrm{diag}(2^{n}\,;3^{n})$

a)

$M^{2}=\begin{pmatrix} 1\times 1+1\times 0 & 1\times 1+1\times 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , puis $M^{3}=M^{2}M=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Seul le coefficient en haut à droite bouge, et il augmente de $1$ à chaque multiplication.

b)

On conjecture donc $M^{n}=\begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , et l'on démontre par RÉCURRENCE. Initialisation : pour $n=1$ la formule donne $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=M$ ✓. Hérédité : supposons $M^{n}=\begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Alors $M^{n+1}=M^{n}M$ a pour coefficient en haut à droite $1\times 1+n\times 1=n+1$ , les trois autres restant inchangés, soit $\begin{pmatrix} 1 & n+1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ✓. Conclusion : la formule est vraie pour tout entier $n\geq 1$ .

c)

$D^{2}=\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$ et $D^{5}=\begin{pmatrix} 2^{5} & 0 \\ 0 & 3^{5} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 32 & 0 \\ 0 & 243 \end{pmatrix}$ . Ici, contrairement à l'exercice 2, élever la matrice au carré revient bien à élever chaque coefficient au carré, mais uniquement parce qu'elle est DIAGONALE.

d)

$D^{n}=\begin{pmatrix} 2^{n} & 0 \\ 0 & 3^{n} \end{pmatrix}$ . Le calcul est immédiat parce qu'une matrice diagonale agit INDÉPENDAMMENT sur chaque coordonnée : elle multiplie la première par $2$ et la seconde par $3$ , sans jamais les mélanger. Répéter $n$ fois cette action revient donc à multiplier chaque coordonnée par la puissance correspondante. C'est toute la motivation de la DIAGONALISATION, qui consiste à changer de repère pour se ramener à ce cas.

Les deux matrices de l'exercice illustrent les deux structures qui rendent les puissances calculables, et il n'y en a guère d'autres au programme. La matrice $M$ est de la forme $I+N$ où $N=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ vérifie $N^{2}=0$ : on dit qu'elle est nilpotente, et la formule du binôme s'y applique puisque $I$ commute avec tout, donnant $M^{n}=I+nN$ ✓, ce qui redonne la conjecture sans récurrence. La matrice $D$ est diagonale, cas le plus simple. Face à une matrice quelconque, la stratégie consiste donc à la ramener à l'une de ces deux formes, ce que fera l'exercice 8 par un détour astucieux.

Exercice 6 : Suites couplées

On définit deux suites par $u_{0}=1$ , $v_{0}=0$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}=2u_{n}+v_{n}$ et $v_{n+1}=u_{n}+2v_{n}$ .

L'option maths expertes est évaluée en contrôle continu, sans écrit au baccalauréat : cette partie B est au niveau des devoirs surveillés de l'année.

a) Écrivez la relation sous forme matricielle $X_{n+1}=AX_{n}$ en précisant $A$ .
b) Calculez $u_{1}$ , $v_{1}$ , $u_{2}$ , $v_{2}$ , $u_{3}$ et $v_{3}$ .
c) On pose $s_{n}=u_{n}+v_{n}$ et $d_{n}=u_{n}-v_{n}$ . Montrez que $(s_{n})$ est géométrique et que $(d_{n})$ est constante.
d) Déduisez-en les expressions explicites de $u_{n}$ et $v_{n}$ .
e) Vérifiez vos formules pour $n=3$ .

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Réponses

a) $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
b) $(2\,;1)$ , $(5\,;4)$ , $(14\,;13)$
c) $s_{n}=3^{n}$ , $d_{n}=1$
d) $u_{n}=\frac{3^{n}+1}{2}$ , $v_{n}=\frac{3^{n}-1}{2}$
e) $14$ et $13$ ✓

a)

En posant $X_{n}=\begin{pmatrix} u_{n} \\ v_{n} \end{pmatrix}$ , les deux relations se rassemblent en une seule : $X_{n+1}=AX_{n}$ avec $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ . On vérifie que la première ligne du produit redonne $2u_{n}+v_{n}$ et la seconde $u_{n}+2v_{n}$ ✓. C'est tout l'intérêt des matrices, ramener un système de deux suites couplées à une seule relation.

b)

On applique la relation pas à pas : $u_{1}=2\times 1+0=2$ et $v_{1}=1+2\times 0=1$ ; $u_{2}=2\times 2+1=5$ et $v_{2}=2+2\times 1=4$ ; $u_{3}=2\times 5+4=14$ et $v_{3}=5+2\times 4=13$ . On remarquera que $u_{n}$ et $v_{n}$ diffèrent toujours de $1$ , ce que la question suivante va expliquer.

c)

$s_{n+1}=u_{n+1}+v_{n+1}=\left(2u_{n}+v_{n}\right)+\left(u_{n}+2v_{n}\right)=3u_{n}+3v_{n}=3s_{n}$ : la suite $(s_{n})$ est GÉOMÉTRIQUE de raison $3$ , de premier terme $s_{0}=1+0=1$ , donc $s_{n}=3^{n}$ . Ensuite $d_{n+1}=\left(2u_{n}+v_{n}\right)-\left(u_{n}+2v_{n}\right)=u_{n}-v_{n}=d_{n}$ : la suite $(d_{n})$ est CONSTANTE, égale à $d_{0}=1$ , ce qui confirme l'observation de b).

d)

On dispose d'un système de deux équations, $u_{n}+v_{n}=3^{n}$ et $u_{n}-v_{n}=1$ . En additionnant puis en divisant par $2$ : $u_{n}=\frac{s_{n}+d_{n}}{2}=\frac{3^{n}+1}{2}$ . En soustrayant : $v_{n}=\frac{s_{n}-d_{n}}{2}=\frac{3^{n}-1}{2}$ .

e)

Pour $n=3$ : $u_{3}=\frac{27+1}{2}=14$ ✓ et $v_{3}=\frac{27-1}{2}=13$ ✓. Ces valeurs correspondent exactement à celles calculées en b), ce qui valide les deux formules.

Le changement de variable de la question c) est le cœur de l'exercice, et il n'est pas tombé du ciel. Les combinaisons $s=u+v$ et $d=u-v$ sont celles qui DÉCOUPLENT le système, c'est-à-dire qui transforment deux suites entremêlées en deux suites indépendantes et élémentaires. En langage matriciel, ce sont les vecteurs propres de $A$ , associés aux valeurs propres $3$ et $1$ , que l'on reconnaît comme les raisons obtenues. La méthode est donc une diagonalisation déguisée, faite à la main, et c'est pourquoi elle marche : dans le bon repère, la matrice devient diagonale et l'exercice 5 s'applique.

Exercice 7 : Graphe probabiliste et état stable

Une population se répartit entre deux abonnements $A$ et $B$ . Chaque mois, 10 % des abonnés $A$ passent en $B$ , et 30 % des abonnés $B$ passent en $A$ .

On note $P_{n}=\begin{pmatrix} a_{n} & b_{n} \end{pmatrix}$ la répartition au mois $n$ , avec $a_{n}+b_{n}=1$ .

Le graphe ci-dessous représente la situation.

a) Écrivez la matrice de transition $T$ telle que $P_{n+1}=P_{n}T$ .
b) Au départ, tous les clients sont en $A$ . Calculez $P_{1}$ et $P_{2}$ .
c) Déterminez l'état stable, c'est-à-dire la répartition $\pi$ vérifiant $\pi T=\pi$ .
d) Vérifiez votre résultat en calculant $\pi T$ .
e) Interprétez cet état stable.

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Réponses

a) $T=\begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$
b) $P_{1}=(0{,}9\ \ 0{,}1)$ , $P_{2}=(0{,}84\ \ 0{,}16)$
c) $\pi=(0{,}75\ \ 0{,}25)$
d) $\pi T=\pi$ ✓
e) $75$ % en $A$ , quel que soit le départ

a)

La convention à respecter est que la LIGNE indique l'état de départ et la COLONNE l'état d'arrivée : $T=\begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ . La première ligne dit que $90\ \%$ des abonnés $A$ restent en $A$ et que $10\ \%$ passent en $B$ . Contrôle systématique : chaque ligne doit sommer à $1$ , puisqu'un abonné va nécessairement quelque part, et c'est le cas ✓.

b)

$P_{0}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ , donc $P_{1}=P_{0}T=\begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \end{pmatrix}$ , la première ligne de $T$ . Ensuite $P_{2}=P_{1}T=\begin{pmatrix} 0{,}9\times 0{,}9+0{,}1\times 0{,}3 & 0{,}9\times 0{,}1+0{,}1\times 0{,}7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}84 & 0{,}16 \end{pmatrix}$ . Contrôle : la somme vaut toujours $1$ ✓.

c)

On note $\pi=\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ avec la contrainte $x+y=1$ , sans laquelle le système serait indéterminé. La première équation de $\pi T=\pi$ s'écrit $0{,}9x+0{,}3y=x$ , soit $0{,}3y=0{,}1x$ et donc $x=3y$ . En reportant dans $x+y=1$ : $3y+y=4y=1$ , d'où $y=0{,}25$ et $x=0{,}75$ . L'état stable est $\pi=\begin{pmatrix} 0{,}75 & 0{,}25 \end{pmatrix}$ .

d)

$0{,}75\times 0{,}9+0{,}25\times 0{,}3=0{,}675+0{,}075=0{,}75$ ✓ et $0{,}75\times 0{,}1+0{,}25\times 0{,}7=0{,}075+0{,}175=0{,}25$ ✓. On retrouve bien $\pi$ , la répartition est donc invariante.

e)

À long terme, la répartition se stabilise à $75\ \%$ d'abonnés $A$ et $25\ \%$ d'abonnés $B$ , et cela QUELLE QUE SOIT la répartition initiale. Le point crucial est que les échanges mensuels ne s'arrêtent pas : chaque mois, $10\ \%$ des $75$ partent, soit $7{,}5$ , tandis que $30\ \%$ des $25$ reviennent, soit $7{,}5$ également. Les deux flux se compensent exactement, ce qui est la définition même de l'équilibre.

Deux remarques utiles pour tout exercice de ce type. D'abord, l'état stable se retrouve sans matrice par un simple bilan : à l'équilibre, le nombre de départs $0{,}1x$ doit égaler le nombre de retours $0{,}3y$ , ce qui redonne $x=3y$ en une ligne. Ensuite, la convergence vers cet état est très rapide, ce qui explique qu'on s'y intéresse : partis de $100\ \%$ en $A$ , on est déjà à $84\ \%$ après deux mois et sous $76\ \%$ après huit. Il faut cependant retenir que cette convergence n'est pas automatique, elle exige que la matrice n'ait aucun coefficient nul en position bloquante ; un état dont on ne peut plus sortir, dit absorbant, changerait complètement le comportement.

Exercice 8 : Puissance n-ième explicite

On reprend $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ de l'exercice 6.

L'objectif est d'obtenir une formule explicite pour $A^{n}$ .

a) Calculez $A^{2}$ et $A^{3}$ .
b) En utilisant les suites $s_{n}$ et $d_{n}$ de l'exercice 6, conjecturez l'expression de $A^{n}$ .
c) Vérifiez votre conjecture pour $n=1$ et $n=2$ .
d) Vérifiez-la pour $n=3$ .
e) Que vaut $A^{0}$ selon votre formule ? Est-ce cohérent ?

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Réponses

a) $A^{2}=\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ , $A^{3}=\begin{pmatrix} 14 & 13 \\ 13 & 14 \end{pmatrix}$
b) Diagonale $\frac{3^{n}+1}{2}$ , hors diagonale $\frac{3^{n}-1}{2}$
c) $n=1$ et $n=2$ ✓
d) $n=3$ ✓
e) $A^{0}=I$ : cohérent

a)

$A^{2}=\begin{pmatrix} 2\times 2+1\times 1 & 2\times 1+1\times 2 \\ 1\times 2+2\times 1 & 1\times 1+2\times 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ , puis $A^{3}=A^{2}A=\begin{pmatrix} 14 & 13 \\ 13 & 14 \end{pmatrix}$ . On observe que toutes ces matrices restent SYMÉTRIQUES et de la forme $\begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}$ .

b)

La première COLONNE de $A^{n}$ est l'image du vecteur $\binom{1}{0}$ , c'est-à-dire exactement $X_{n}$ de l'exercice 6, soit $\binom{u_{n}}{v_{n}}$ . Par symétrie de $A$ , la seconde colonne est l'image de $\binom{0}{1}$ , qui donne le couple échangé. On conjecture donc $A^{n}=\begin{pmatrix} \frac{3^{n}+1}{2} & \frac{3^{n}-1}{2} \\ \frac{3^{n}-1}{2} & \frac{3^{n}+1}{2} \end{pmatrix}$ .

c)

Pour $n=1$ : $\frac{3+1}{2}=2$ et $\frac{3-1}{2}=1$ , ce qui redonne bien $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ ✓. Pour $n=2$ : $\frac{9+1}{2}=5$ et $\frac{9-1}{2}=4$ , ce qui correspond à $A^{2}$ ✓.

d)

Pour $n=3$ : $\frac{27+1}{2}=14$ et $\frac{27-1}{2}=13$ , ce qui correspond exactement à $A^{3}$ ✓. Trois vérifications indépendantes donnent une confiance raisonnable, même si seule une récurrence constituerait une démonstration.

e)

Pour $n=0$ : $\frac{3^{0}+1}{2}=\frac{2}{2}=1$ et $\frac{3^{0}-1}{2}=\frac{0}{2}=0$ , donc la formule donne $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I$ . C'est parfaitement cohérent, puisque par convention $A^{0}=I$ pour toute matrice inversible, exactement comme $x^{0}=1$ pour les nombres. Qu'une formule conjecturée redonne le bon cas $n=0$ sans qu'on l'y ait forcée est un argument fort en sa faveur.

La structure trouvée s'éclaire complètement à la lumière de l'exercice 6 : les coefficients $\frac{3^{n}+1}{2}$ et $\frac{3^{n}-1}{2}$ sont les demi-somme et demi-différence de $3^{n}$ et de $1$ , qui sont les deux VALEURS PROPRES de $A$ élevées à la puissance $n$ . On peut d'ailleurs écrire $A^{n}=\frac{3^{n}}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}+\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ , décomposition qui sépare proprement les deux comportements : l'un explose en $3^{n}$ , l'autre reste constant. C'est exactement ce que fait la diagonalisation, et cet exercice en donne une version accessible sans le vocabulaire.

Exercice 9 : Quatre pièges du calcul matriciel

Chacune des affirmations suivantes est fausse. Corrigez-la et donnez un contre-exemple explicite.

a) « Pour toutes matrices carrées, $AB=BA$ . »
b) « Si $AB=0$ , alors $A=0$ ou $B=0$ . »
c) « Toute matrice carrée non nulle est inversible. »
d) « $(A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}$ . »

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Réponses

a) Faux : $AB\neq BA$ à l'exercice 1
b) Faux : $\mathrm{diag}(1\,;0)\times\mathrm{diag}(0\,;1)=0$
c) Faux : $\det C=0$
d) Faux : $A^{2}+AB+BA+B^{2}$

a)

Faux. Contre-exemple déjà calculé à l'exercice 1 : avec $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ , on a $AB=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}$ alors que $BA=\begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$ . Les quatre coefficients diffèrent. Certaines matrices commutent tout de même, comme l'identité avec tout le monde, ou deux matrices diagonales entre elles, mais c'est l'exception.

b)

Faux. Contre-exemple : $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Le produit $AB$ est la matrice NULLE, et pourtant ni $A$ ni $B$ n'est nulle. On dit que l'anneau des matrices n'est pas INTÈGRE. Géométriquement, $A$ projette sur le premier axe et $B$ sur le second : enchaîner les deux ne laisse rien, chacune détruisant ce que l'autre conserve.

c)

Faux. Contre-exemple : $C=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ n'est pas nulle mais son déterminant vaut $2\times 2-4\times 1=0$ , donc elle n'est pas inversible. Le critère est le DÉTERMINANT non nul, jamais la non-nullité de la matrice. C'est une différence radicale avec les nombres, où tout réel non nul est inversible.

d)

Faux. Le développement correct est $(A+B)^{2}=(A+B)(A+B)=A^{2}+AB+BA+B^{2}$ , et l'on ne peut regrouper les deux termes du milieu que si $AB=BA$ . Avec les matrices de la question a), l'exercice 2 a montré que $(A+B)^{2}=\begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 30 & 30 \end{pmatrix}$ alors que $A^{2}+2AB+B^{2}=\begin{pmatrix} 13 & 11 \\ 33 & 23 \end{pmatrix}$ ✗.

Ces quatre affirmations sont exactement les quatre propriétés du calcul sur les nombres qui NE SURVIVENT PAS au passage aux matrices, et les connaître comme telles vaut mieux que de les redécouvrir en contrôle. La commutativité tombe, donc l'ordre des facteurs compte partout. L'intégrité tombe, donc un produit nul n'autorise aucune conclusion sur les facteurs, ce qui interdit notamment de résoudre $AX=0$ en disant que $X=0$ . L'inversibilité systématique tombe, remplacée par le critère du déterminant. Et les identités remarquables tombent, conséquence directe de la première. En revanche, l'associativité, la distributivité et le rôle de l'identité subsistent, ce qui laisse tout de même de quoi calculer.

Exercice 10 : Un modèle de population

Une population d'insectes est répartie en deux classes d'âge : les jeunes $j_{n}$ et les adultes $a_{n}$ , comptés chaque saison.

Chaque adulte produit 4 jeunes par saison, et la moitié des jeunes deviennent adultes à la saison suivante. On a donc $j_{n+1}=4a_{n}$ et $a_{n+1}=0{,}5\,j_{n}$ .

La figure ci-dessous représente la situation.

a) Écrivez la matrice $L$ telle que $X_{n+1}=LX_{n}$ .
b) On part de $j_{0}=100$ et $a_{0}=100$ . Calculez $X_{1}$ , $X_{2}$ , $X_{3}$ et $X_{4}$ .
c) Calculez $L^{2}$ . Que remarquez-vous ?
d) Déduisez-en une expression de $X_{2k}$ en fonction de $k$ et de $X_{0}$ .
e) La population totale double-t-elle à chaque saison ? Justifiez.

Voir la correction

Réponses

a) $L=\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 0{,}5 & 0 \end{pmatrix}$
b) $(400\,;50)$ , $(200\,;200)$ , $(800\,;100)$ , $(400\,;400)$
c) $L^{2}=2I$
d) $X_{2k}=2^{k}X_{0}$
e) Non : totaux $200$ , $450$ , $400$ , $900$ , $800$

a)

On lit directement les deux relations : $j_{n+1}=4a_{n}$ et $a_{n+1}=0{,}5\,j_{n}$ , donc $L=\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 0{,}5 & 0 \end{pmatrix}$ avec $X_{n}=\begin{pmatrix} j_{n} \\ a_{n} \end{pmatrix}$ . Les zéros sur la diagonale traduisent le fait qu'aucun jeune ne reste jeune et qu'aucun adulte ne reste adulte d'une saison à l'autre.

b)

On applique la matrice pas à pas. $X_{1}=\begin{pmatrix} 4\times 100 \\ 0{,}5\times 100 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 400 \\ 50 \end{pmatrix}$ ; $X_{2}=\begin{pmatrix} 4\times 50 \\ 0{,}5\times 400 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 200 \\ 200 \end{pmatrix}$ ; $X_{3}=\begin{pmatrix} 800 \\ 100 \end{pmatrix}$ ; $X_{4}=\begin{pmatrix} 400 \\ 400 \end{pmatrix}$ . Les effectifs OSCILLENT fortement d'une saison à l'autre.

c)

$L^{2}=\begin{pmatrix} 0\times 0+4\times 0{,}5 & 0 \\ 0 & 0{,}5\times 4+0\times 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}=2I$ . Le carré de $L$ est donc une simple MULTIPLICATION PAR 2, ce qui est une structure exceptionnellement favorable : la matrice disparaît complètement.

d)

Comme $L^{2}=2I$ , et puisque $I$ commute avec tout, on obtient $L^{2k}=\left(L^{2}\right)^{k}=(2I)^{k}=2^{k}I$ . Donc $X_{2k}=L^{2k}X_{0}=2^{k}X_{0}$ : toutes les DEUX saisons, la population est exactement doublée dans chaque classe. Vérification : $X_{2}=2X_{0}=\begin{pmatrix} 200 \\ 200 \end{pmatrix}$ ✓ et $X_{4}=4X_{0}=\begin{pmatrix} 400 \\ 400 \end{pmatrix}$ ✓.

e)

Non. Les totaux successifs valent $200$ , $450$ , $400$ , $900$ puis $800$ : ils ne doublent pas d'une saison à l'autre, ils OSCILLENT, la population totale diminuant même entre la première et la deuxième saison, de $450$ à $400$ . C'est seulement sur DEUX saisons que le doublement est exact, et l'on vérifie $400=2\times 200$ ✓ puis $800=2\times 400$ ✓.

Le modèle produit donc une croissance en dents de scie, et il vaut la peine de comprendre pourquoi. Les jeunes et les adultes ne se convertissent pas au même rythme : une génération d'adultes produit quatre fois plus de jeunes, mais seule la moitié de ces jeunes atteint l'âge adulte. Le déséquilibre entre les deux taux fait alterner les classes, et il faut deux saisons, soit un cycle complet jeune-adulte-jeune, pour retrouver une structure proportionnelle à celle du départ. Ce type de modèle, dit de Leslie, sert réellement en écologie, et le résultat pratique est que le taux de croissance réel n'est pas $4$ ni $0{,}5$ mais $\sqrt{2}\approx 1{,}41$ par saison, moyenne géométrique des deux, ce qui redonne bien un doublement en deux saisons.

Exercice 11 : Inverser une matrice 3 × 3 par un produit

On considère $A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ .

a) Calculez le coefficient de la première ligne et de la première colonne de $AB$ , puis celui de la première ligne et de la deuxième colonne.
b) On admet que $AB=4I_{3}$ . Déduisez-en que $A$ est inversible et donnez $A^{-1}$ .
c) Écrivez le système $2x-y=1$ , $-x+2y-z=0$ , $-y+2z=3$ sous la forme $AX=Y$ .
d) Résolvez-le à l'aide de $A^{-1}$ .
e) Vérifiez la solution dans la deuxième équation.

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Réponses

a) $4$ et $0$ : $AB=4I_{3}$
b) $A^{-1}=\frac{1}{4}B$
c) $Y=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$
d) $x=1{,}5$ , $y=2$ , $z=2{,}5$
e) $0$ ✓

a)

Première ligne de $A$ , $(2\,;-1\,;0)$ , contre première colonne de $B$ , $(3\,;2\,;1)$ : $2\times 3-1\times 2+0\times 1=4$ . Contre la deuxième colonne $(2\,;4\,;2)$ : $4-4+0=0$ . Les neuf coefficients se calculent de même et donnent $4$ sur la diagonale, $0$ ailleurs.

b)

$AB=4I_{3}$ donne $A\left(\frac{1}{4}B\right)=I_{3}$ : $A$ est inversible et $A^{-1}=\frac{1}{4}B$ . On évite ainsi tout calcul de déterminant $3\times 3$ : trouver une matrice dont le produit avec $A$ est un multiple de l'identité suffit.

c)

$X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ : les lignes de $A$ portent les coefficients des trois équations, avec des $0$ pour les inconnues absentes.

d)

$X=A^{-1}Y=\frac{1}{4}BY=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 3\times 1+2\times 0+1\times 3 \\ 2+0+6 \\ 1+0+9 \end{pmatrix}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}$ , soit $x=1{,}5$ , $y=2$ et $z=2{,}5$ .

e)

$-x+2y-z=-1{,}5+4-2{,}5=0$ ✓. Les deux autres équations donnent aussi $2\times 1{,}5-2=1$ ✓ et $-2+5=3$ ✓.

Exercice 12 : Une relation qui donne l'inverse et les puissances

On considère $M=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ et l'on note $I$ la matrice identité d'ordre $2$ .

a) Calculez $M^{2}$ .
b) Vérifiez que $M^{2}=5M-4I$ .
c) Déduisez-en que $M\times\frac{1}{4}(5I-M)=I$ et donnez $M^{-1}$ .
d) Exprimez $M^{3}$ sous la forme $aM+bI$ , puis calculez $M^{3}$ .
e) Retrouvez $M^{-1}$ par la formule du cours, avec le déterminant.
f) On pose $a_{0}=0$ , $b_{0}=1$ et, pour tout entier naturel $n$ , $a_{n+1}=5a_{n}+b_{n}$ et $b_{n+1}=-4a_{n}$ . Démontrez par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , $M^{n}=a_{n}M+b_{n}I$ . Calculez $a_{4}$ et $b_{4}$ .
g) Montrez que, pour tout entier naturel $n$ , $a_{n}+b_{n}=1$ . Déduisez-en que $a_{n+1}=4a_{n}+1$ .
h) On pose $w_{n}=a_{n}+\frac{1}{3}$ . Montrez que la suite $(w_{n})$ est géométrique, précisez sa raison et son premier terme, puis exprimez $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$ .
i) Déduisez-en les quatre coefficients de $M^{n}$ en fonction de $n$ . Contrôlez votre formule avec le résultat de la question d), puis calculez $M^{5}$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/22

a)

M² : coefficient en haut à gauche

M² : coefficient en haut à droite

M² : coefficient en bas à gauche

M² : coefficient en bas à droite

b)

5 et 4 sont

c)

M⁻¹ : coefficient en haut à gauche

M⁻¹ : coefficient en haut à droite

M⁻¹ : coefficient en bas à gauche

M⁻¹ : coefficient en bas à droite

d)

a

dans

M^{3}=aM+bI

b

M^{3}

: coefficient en haut à gauche

e)

\det M

f)

a_{4}

b_{4}

g)

a_{n}+b_{n}

h)

Raison de

(w_{n})

w_{0}

a_{5}

i)

Coefficient en haut à gauche de Mⁿ

M^{5}

: coefficient en haut à gauche

M^{5}

: coefficient en bas à droite

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Réponses

a) $M^{2}=\begin{pmatrix} 11 & 5 \\ 10 & 6 \end{pmatrix}$
b) $M^{2}=5M-4I$ ✓
c) $M^{-1}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$
d) $M^{3}=21M-20I=\begin{pmatrix} 43 & 21 \\ 42 & 22 \end{pmatrix}$
e) $\det M=4$ : même inverse
f) Récurrence avec $M^{2}=5M-4I$ ; $a_{4}=85$ , $b_{4}=-84$
g) $a_{n}+b_{n}=1$ , donc $a_{n+1}=4a_{n}+1$
h) $w_{n}=\frac{1}{3}\times 4^{n}$ ; $a_{n}=\frac{4^{n}-1}{3}$ , $b_{n}=\frac{4-4^{n}}{3}$
i) $M^{n}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2\times 4^{n}+1 & 4^{n}-1 \\ 2\times 4^{n}-2 & 4^{n}+2 \end{pmatrix}$ ; $M^{5}=\begin{pmatrix} 683 & 341 \\ 682 & 342 \end{pmatrix}$

a)

$M^{2}=\begin{pmatrix} 3\times 3+1\times 2 & 3\times 1+1\times 2 \\ 2\times 3+2\times 2 & 2\times 1+2\times 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11 & 5 \\ 10 & 6 \end{pmatrix}$ .

b)

$5M-4I=\begin{pmatrix} 15-4 & 5 \\ 10 & 10-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11 & 5 \\ 10 & 6 \end{pmatrix}=M^{2}$ ✓. Les nombres $5$ et $4$ ne sont pas quelconques : ce sont la somme des coefficients diagonaux et le déterminant de $M$ .

c)

$M^{2}-5M=-4I$ s'écrit $M(5I-M)=4I$ , car $M\times 5I=5M$ et $I$ commute avec $M$ . Donc $M\times\frac{1}{4}(5I-M)=I$ et $M^{-1}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}5 & -0{,}25 \\ -0{,}5 & 0{,}75 \end{pmatrix}$ .

d)

$M^{3}=M\times M^{2}=M(5M-4I)=5M^{2}-4M=5(5M-4I)-4M=21M-20I$ . Donc $M^{3}=\begin{pmatrix} 63-20 & 21 \\ 42 & 42-20 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 43 & 21 \\ 42 & 22 \end{pmatrix}$ . Toute puissance de $M$ se ramène ainsi à une combinaison de $M$ et de $I$ .

e)

$\det M=3\times 2-1\times 2=4$ , et $M^{-1}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ : on échange les coefficients diagonaux et on change le signe des deux autres. C'est la même matrice qu'en c) ✓.

f)

Initialisation : $a_{0}M+b_{0}I=0\times M+1\times I=I=M^{0}$ ✓.

Hérédité : supposons $M^{n}=a_{n}M+b_{n}I$ pour un entier $n$ fixé. Alors $M^{n+1}=M^{n}\times M=a_{n}M^{2}+b_{n}M$ .

D'après b), $M^{2}=5M-4I$ , donc $M^{n+1}=a_{n}(5M-4I)+b_{n}M=(5a_{n}+b_{n})M-4a_{n}I=a_{n+1}M+b_{n+1}I$ .

La propriété est vraie au rang $0$ et héréditaire : elle est vraie pour tout entier naturel $n$ .

Calcul : $(a_{1}\,;b_{1})=(1\,;0)$ , $(a_{2}\,;b_{2})=(5\,;-4)$ , $(a_{3}\,;b_{3})=(21\,;-20)$ , $(a_{4}\,;b_{4})=(5\times 21-20\,;-4\times 21)=(85\,;-84)$ .

Contrôle : on retrouve $M^{2}=5M-4I$ de b) et $M^{3}=21M-20I$ de d).

Piège : écrire $M^{n+1}=M\times M^{n}$ puis développer sans se servir de $M^{2}=5M-4I$ . C'est cette relation qui fait disparaître $M^{2}$ et referme la récurrence.

g)

Pour tout $n$ , $a_{n+1}+b_{n+1}=5a_{n}+b_{n}-4a_{n}=a_{n}+b_{n}$ : la suite $(a_{n}+b_{n})$ est constante.

Elle vaut donc $a_{0}+b_{0}=0+1=1$ pour tout $n$ . Contrôle : $a_{4}+b_{4}=85-84=1$ ✓.

Ainsi $b_{n}=1-a_{n}$ , et $a_{n+1}=5a_{n}+(1-a_{n})=4a_{n}+1$ .

La suite $(a_{n})$ vérifie une relation de la forme $a_{n+1}=qa_{n}+r$ : c'est une suite arithmético-géométrique, qui se traite par une suite auxiliaire.

h)

$w_{n+1}=a_{n+1}+\frac{1}{3}=4a_{n}+1+\frac{1}{3}=4a_{n}+\frac{4}{3}=4\left(a_{n}+\frac{1}{3}\right)=4w_{n}$ .

$(w_{n})$ est géométrique de raison $4$ et de premier terme $w_{0}=a_{0}+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$ .

Donc $w_{n}=\frac{1}{3}\times 4^{n}$ , d'où $a_{n}=w_{n}-\frac{1}{3}=\frac{4^{n}-1}{3}$ et $b_{n}=1-a_{n}=\frac{4-4^{n}}{3}$ .

Contrôle : $a_{3}=\frac{64-1}{3}=21$ et $b_{3}=\frac{4-64}{3}=-20$ ✓ ; $a_{4}=\frac{255}{3}=85$ ✓.

Le nombre $\frac{1}{3}$ n'est pas tombé du ciel : c'est le point fixe $\ell$ de $\ell=4\ell+1$ , soit $\ell=-\frac{1}{3}$ , et $w_{n}=a_{n}-\ell$ .

i)

$M^{n}=a_{n}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}+b_{n}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3a_{n}+b_{n} & a_{n} \\ 2a_{n} & 2a_{n}+b_{n} \end{pmatrix}$ .

Avec h) : $3a_{n}+b_{n}=\frac{3\times 4^{n}-3+4-4^{n}}{3}=\frac{2\times 4^{n}+1}{3}$ et $2a_{n}+b_{n}=\frac{2\times 4^{n}-2+4-4^{n}}{3}=\frac{4^{n}+2}{3}$ .

$M^{n}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2\times 4^{n}+1 & 4^{n}-1 \\ 2\times 4^{n}-2 & 4^{n}+2 \end{pmatrix}$ .

Contrôle pour $n=3$ : $\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 129 & 63 \\ 126 & 66 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 43 & 21 \\ 42 & 22 \end{pmatrix}$ , la matrice de d) ✓. Pour $n=0$ , on retrouve $I$ ✓.

Pour $n=5$ , $4^{5}=1\,024$ : $M^{5}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2\,049 & 1\,023 \\ 2\,046 & 1\,026 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 683 & 341 \\ 682 & 342 \end{pmatrix}$ .

Remarque : la formule de h) donne pour $n=-1$ les nombres $a=-\frac{1}{4}$ et $b=\frac{5}{4}$ , soit $\frac{1}{4}(5I-M)$ , l'inverse trouvé en c). La récurrence ne la démontre que pour $n\geq 0$ ; ce rang $-1$ est une vérification, pas une preuve.

Exercice 13 : Deux lacs pollués : une suite matricielle avec rejets

Deux lacs reliés reçoivent chaque année des rejets polluants : $8$ tonnes dans le premier, $12$ dans le second. D'une année à l'autre, le premier lac garde $50\ \%$ de son polluant et en envoie $30\ \%$ au second ; le second en garde $60\ \%$ et en envoie $20\ \%$ au premier. Le reste est éliminé.

On note $u_{n}$ et $v_{n}$ les quantités, en tonnes, l'année $n$ , et $U_{n}=\begin{pmatrix} u_{n} \\ v_{n} \end{pmatrix}$ , avec $U_{0}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ .

Le schéma résume les échanges entre les deux lacs.

a) Écrivez $U_{n+1}=AU_{n}+B$ en précisant la matrice $A$ et la matrice colonne $B$ .
b) Calculez $U_{1}$ et $U_{2}$ .
c) Déterminez la matrice colonne $C$ telle que $C=AC+B$ .
d) On pose $V_{n}=U_{n}-C$ . Montrez que $V_{n+1}=AV_{n}$ et exprimez $U_{n}$ en fonction de $A^{n}$ .
e) On admet que $A^{n}$ tend vers la matrice nulle. Vers quelle quantité totale de polluant les deux lacs tendent-ils ?

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Réponses

a) $A=\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix} 8 \\ 12 \end{pmatrix}$
b) $U_{1}=(8\,;12)$ , $U_{2}=(14{,}4\,;21{,}6)$
c) $C=\begin{pmatrix} 40 \\ 60 \end{pmatrix}$
d) $U_{n}=C-A^{n}C$
e) $100$ tonnes au total

a)

$u_{n+1}=0{,}5u_{n}+0{,}2v_{n}+8$ et $v_{n+1}=0{,}3u_{n}+0{,}6v_{n}+12$ , donc $A=\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 8 \\ 12 \end{pmatrix}$ . Le coefficient $0{,}2$ en haut à droite est la part du second lac qui arrive dans le premier : la LIGNE désigne le lac d'arrivée.

b)

$U_{1}=A\,U_{0}+B=\begin{pmatrix} 8 \\ 12 \end{pmatrix}$ , puis $U_{2}=\begin{pmatrix} 0{,}5\times 8+0{,}2\times 12+8 \\ 0{,}3\times 8+0{,}6\times 12+12 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 14{,}4 \\ 21{,}6 \end{pmatrix}$ .

c)

$C=AC+B$ s'écrit $(I-A)C=B$ , avec $I-A=\begin{pmatrix} 0{,}5 & -0{,}2 \\ -0{,}3 & 0{,}4 \end{pmatrix}$ , de déterminant $0{,}20-0{,}06=0{,}14\neq 0$ . En résolvant $0{,}5x-0{,}2y=8$ et $-0{,}3x+0{,}4y=12$ : la première multipliée par $2$ et ajoutée à la seconde donne $0{,}7x=28$ , soit $x=40$ , puis $y=\frac{0{,}5\times 40-8}{0{,}2}=60$ . Donc $C=\begin{pmatrix} 40 \\ 60 \end{pmatrix}$ .

d)

$V_{n+1}=U_{n+1}-C=AU_{n}+B-(AC+B)=A(U_{n}-C)=AV_{n}$ . Donc $V_{n}=A^{n}V_{0}$ et $U_{n}=C+A^{n}(U_{0}-C)=C-A^{n}C$ . La matrice $B$ a disparu : le changement d'inconnue ramène à une suite géométrique matricielle.

e)

Si $A^{n}$ tend vers la matrice nulle, $U_{n}$ tend vers $C$ : $40$ tonnes dans le premier lac, $60$ dans le second, soit $100$ tonnes au total, quel que soit l'état initial. Au bout de $30$ ans, on en est déjà à $39{,}95$ et $59{,}93$ tonnes.

Exercice 14 : Le chiffrement de Hill

On numérote les lettres de $A=0$ à $Z=25$ . Le chiffrement de Hill code les lettres par paires : la paire de rangs $\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}$ devient la paire $\begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \end{pmatrix}$ où $y_{1}$ et $y_{2}$ sont les restes modulo $26$ des coordonnées de $K\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}$ , avec la clé $K=\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .

Le tableau ci-dessous rappelle le rang de chaque lettre.

a) Chiffrez le mot OK ( $O=14$ , $K=10$ ).
b) Calculez le déterminant de $K$ .
c) Vérifiez que $K'=\begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ vérifie $KK'=I$ . Écrivez $K'$ avec des coefficients entre $0$ et $25$ .
d) Déchiffrez la paire DG ( $D=3$ , $G=6$ ).
e) Pourquoi la matrice $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ ne pourrait-elle pas servir de clé ?

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Réponses

a) OK devient OI
b) $\det K=1$
c) $K'\equiv\begin{pmatrix} 2 & 21 \\ 25 & 3 \end{pmatrix}$
d) DG donne CP
e) Déterminant $2$ , non inversible modulo $26$

a)

$K\begin{pmatrix} 14 \\ 10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\times 14+5\times 10 \\ 14+2\times 10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 92 \\ 34 \end{pmatrix}$ , et modulo $26$ : $92=3\times 26+14$ , $34=26+8$ . On obtient $(14\,;8)$ , soit OI. Les deux lettres de la paire se mélangent : le même $K$ ne donnerait pas le même chiffré dans une autre paire.

b)

$\det K=3\times 2-5\times 1=1$ .

c)

$KK'=\begin{pmatrix} 6-5 & -15+15 \\ 2-2 & -5+6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ✓. Modulo $26$ : $-5\equiv 21$ et $-1\equiv 25$ , d'où $K'\equiv\begin{pmatrix} 2 & 21 \\ 25 & 3 \end{pmatrix}$ .

d)

$K'\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6+126 \\ 75+18 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 132 \\ 93 \end{pmatrix}$ , et $132=5\times 26+2$ , $93=3\times 26+15$ : $(2\,;15)$ , soit CP. Contrôle : $K\begin{pmatrix} 2 \\ 15 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 81 \\ 32 \end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$ ✓.

e)

Son déterminant vaut $4-2=2$ , qui n'est pas premier avec $26$ : il n'a pas d'inverse modulo $26$ , et la matrice non plus. Deux paires différentes auraient le même chiffré, par exemple $(0\,;0)$ et $(13\,;0)$ , qui donnent toutes deux $(0\,;0)$ puisque $4\times 13=52\equiv 0$ et $2\times 13=26\equiv 0$ . Le déchiffrement serait impossible.

Exercice 15 : Des matrices qui commutent avec une matrice donnée

On considère $N=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . On cherche toutes les matrices $X=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ telles que $NX=XN$ .

a) Calculez $NX$ et $XN$ .
b) En identifiant les coefficients, montrez que $c=0$ et $b=d-a$ .
c) Écrivez la forme générale des matrices qui commutent avec $N$ . En combien de nombres réels dépend-elle ?
d) Montrez que $I$ et $N$ appartiennent à cet ensemble, et que toute matrice de la forme $\alpha I+\beta N$ aussi. Pour $X=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$ , trouvez $\alpha$ et $\beta$ .
e) La matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ commute-t-elle avec $N$ ?

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Réponses

a) $NX=\begin{pmatrix} a+c & b+d \\ 2c & 2d \end{pmatrix}$ , $XN=\begin{pmatrix} a & a+2b \\ c & c+2d \end{pmatrix}$
b) $c=0$ , $b=d-a$
c) $\begin{pmatrix} a & d-a \\ 0 & d \end{pmatrix}$ : deux paramètres
d) $X=I+2N$
e) Non

a)

$NX=\begin{pmatrix} a+c & b+d \\ 2c & 2d \end{pmatrix}$ et $XN=\begin{pmatrix} a & a+2b \\ c & c+2d \end{pmatrix}$ .

b)

En bas à gauche : $2c=c$ , donc $c=0$ . En haut à gauche : $a+c=a$ , ce qui redonne $c=0$ . En haut à droite : $b+d=a+2b$ , soit $b=d-a$ . En bas à droite : $2d=c+2d$ , encore $c=0$ .

c)

$X=\begin{pmatrix} a & d-a \\ 0 & d \end{pmatrix}$ : ces matrices dépendent de DEUX réels libres, $a$ et $d$ . Parmi les quatre coefficients, deux sont imposés par la commutation.

d)

$I$ correspond à $a=d=1$ , $b=0=d-a$ ✓, et $N$ à $a=1$ , $d=2$ , $b=1=2-1$ ✓. Pour $\alpha I+\beta N=\begin{pmatrix} \alpha+\beta & \beta \\ 0 & \alpha+2\beta \end{pmatrix}$ , on a bien $b=\beta=d-a$ . Avec $X=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$ : $\beta=2$ et $\alpha+\beta=3$ , donc $\alpha=1$ ; vérification en bas à droite, $1+4=5$ ✓. Les matrices qui commutent avec $N$ sont exactement les $\alpha I+\beta N$ .

e)

Ici $a=1$ , $d=2$ et $b=0$ , alors que $d-a=1$ : la condition n'est pas remplie, elle NE commute PAS avec $N$ . Vérification : le coefficient en haut à droite de son produit à gauche par $N$ vaut $2$ , et celui de son produit à droite par $N$ vaut $1$ .

Exercice 16 : Trois transformations du plan et leurs matrices

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On dit qu'une transformation $f$ est représentée par la matrice $A$ lorsque l'image du point $M(x\,;y)$ est le point $M'(x'\,;y')$ tel que $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ . Les colonnes de $A$ sont alors les coordonnées des images des points $(1\,;0)$ et $(0\,;1)$ .

On note $R$ la matrice du quart de tour direct de centre $O$ , qui envoie $(x\,;y)$ sur $(-y\,;x)$ , et $S$ celle de la symétrie d'axe $(Ox)$ , qui envoie $(x\,;y)$ sur $(x\,;-y)$ .

La figure montre un drapeau $F$ , de sommets $(0\,;0)$ , $(0\,;2)$ , $(1\,;1{,}5)$ et $(0\,;1)$ , et son image $G$ par une transformation $T$ représentée par une matrice.

a) Écrivez les matrices $R$ et $S$ . Donnez le coefficient de $R$ en ligne $1$ et colonne $2$ , et celui de $S$ en ligne $2$ et colonne $2$ .
b) Calculez $R^{2}$ et interprétez-la. Quel est le plus petit entier $n\geq 1$ tel que $R^{n}=I$ ? Déduisez-en $R^{2026}$ .
c) Lisez sur la figure les images par $T$ des points $(0\,;1)$ et $(1\,;1{,}5)$ . Déduisez-en l'image de $(1\,;0)$ , puis la matrice de $T$ . Quelle transformation est-ce ?
d) Calculez $RS$ et $SR$ . Laquelle représente $T$ ? Quelle transformation l'autre représente-t-elle ?
e) On note $H=3I$ la matrice de l'homothétie de centre $O$ et de rapport $3$ , et $M=HR$ . Justifiez que $M^{n}=3^{n}R^{n}$ pour tout entier naturel $n$ , puis calculez $M^{4}$ et $M^{6}$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/12

a)

R

, ligne 1, colonne 2

S

, ligne 2, colonne 2

b)

R^{2}

, ligne 1, colonne 1

Plus petit

n

avec

R^{n}=I

R^{2026}

, ligne 1, colonne 1

c)

T

, ligne 1, colonne 1

T

, ligne 1, colonne 2

T est la symétrie d'axe

d)

T est représentée par

SR

, ligne 1, colonne 2

e)

M^{4}

, ligne 1, colonne 1

M^{6}

, ligne 1, colonne 1

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Réponses

a) $R=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , $S=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
b) $R^{2}=-I$ (demi-tour), $R^{4}=I$ , $R^{2026}=-I$
c) $T=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , symétrie d'axe $y=x$
d) $RS=T$ ; $SR=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ , symétrie d'axe $y=-x$
e) $M^{4}=81I$ , $M^{6}=-729I$

a)

Le quart de tour envoie $(1\,;0)$ sur $(0\,;1)$ et $(0\,;1)$ sur $(-1\,;0)$ : ce sont les deux COLONNES de $R=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . On vérifie : $R\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}$ . De même, $S=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ . Le coefficient de $R$ en ligne $1$ , colonne $2$ vaut $-1$ , celui de $S$ en ligne $2$ , colonne $2$ vaut $-1$ . L'erreur fréquente est d'écrire les images en LIGNES : on obtient alors $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ , qui est le quart de tour dans l'autre sens.

b)

$R^{2}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=-I$ : deux quarts de tour font un demi-tour, la symétrie de centre $O$ . Puis $R^{3}=-R\neq I$ et $R^{4}=(-I)^{2}=I$ : le plus petit $n$ est $4$ , ce qui se voyait géométriquement, quatre quarts de tour ramènent chaque point à sa place. Comme $2026=4\times 506+2$ , $R^{2026}=\left(R^{4}\right)^{506}R^{2}=R^{2}=-I$ , de coefficient $-1$ en ligne $1$ , colonne $1$ . La périodicité remplace ici toute récurrence.

c)

Sur la figure, le point $(0\,;1)$ du mât de $F$ a pour image $(1\,;0)$ , et la pointe $(1\,;1{,}5)$ a pour image $(1{,}5\,;1)$ . Donc $T(0\,;1)=(1\,;0)$ , deuxième colonne. Par linéarité, $(1\,;1{,}5)=(1\,;0)+1{,}5\times(0\,;1)$ , donc $T(1\,;1{,}5)=T(1\,;0)+1{,}5\times(1\,;0)$ , soit $T(1\,;0)=(1{,}5\,;1)-(1{,}5\,;0)=(0\,;1)$ , première colonne. Ainsi $T=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ : $(x\,;y)$ devient $(y\,;x)$ , c'est la symétrie d'axe la droite d'équation $y=x$ . Le point $(1\,;0)$ n'est pas un sommet de $F$ : c'est la linéarité qui permet de le traiter quand même.

d)

$RS=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=T$ et $SR=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ . $RS\,X=R(SX)$ : on applique d'abord $S$ , puis $R$ ; la matrice de DROITE agit la première. $SR$ envoie $(x\,;y)$ sur $(-y\,;-x)$ : c'est la symétrie d'axe la droite $y=-x$ . Les deux produits diffèrent : la non-commutativité du produit matriciel est ici visible, composer dans l'autre ordre donne une autre transformation.

e)

$H=3I$ commute avec toute matrice : $HR=3R=RH$ . Donc $M^{n}=(3R)^{n}=3^{n}R^{n}$ , ce qu'on démontre par récurrence : $M^{n+1}=M^{n}M=3^{n}R^{n}\times 3R=3^{n+1}R^{n+1}$ . Alors $M^{4}=81R^{4}=81I$ et $M^{6}=729R^{6}=729R^{2}=-729I$ : coefficients $81$ et $-729$ en ligne $1$ , colonne $1$ . En général $(AB)^{n}\neq A^{n}B^{n}$ ; l'égalité est licite ici parce que l'un des facteurs est un multiple de l'identité. Géométriquement, $M$ tourne d'un quart de tour et agrandit trois fois ; quatre applications ramènent à la position de départ, agrandie $81$ fois.

À retenir : on écrit la matrice d'une transformation colonne par colonne, avec les images de $(1\,;0)$ et $(0\,;1)$ , et on lit un produit de droite à gauche.

Exercices corrigés : les matrices (maths expertes)

Rappel de cours

Calculs : les produits et les puissances de matrices

Exercice 0.1 : Calculer des produits et des puissances de matrices : dix calculs directs

Calculs : l'inverse d'une matrice et les systèmes

Exercice 0.2 : Inverser une matrice 2 × 2 et résoudre un système : huit calculs directs

Partie A : Les bases (/50)

Exercice 1 : Opérations sur les matrices

Exercice 2 : Matrice identité et non-commutativité

Exercice 3 : Déterminant et inverse

Exercice 4 : Résoudre un système par l'inverse

Exercice 5 : Puissances de matrices

Partie B : Niveau baccalauréat (/50)

Exercice 6 : Suites couplées

Exercice 7 : Graphe probabiliste et état stable

Exercice 8 : Puissance n-ième explicite

Exercice 9 : Quatre pièges du calcul matriciel

Exercice 10 : Un modèle de population

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 11 : Inverser une matrice 3 × 3 par un produit

Exercice 12 : Une relation qui donne l'inverse et les puissances

Exercice 13 : Deux lacs pollués : une suite matricielle avec rejets

Exercice 14 : Le chiffrement de Hill

Exercice 15 : Des matrices qui commutent avec une matrice donnée

Partie D : transformations du plan (/10)

Exercice 16 : Trois transformations du plan et leurs matrices

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