Exercices corrigés : les matrices (maths expertes)

a) $A+B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}$ et $2A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$.

b) Le coefficient en haut à gauche vaut $1\times 0+2\times 2=4$, celui en haut à droite $1\times(-1)+2\times 1=1$, celui en bas à gauche $3\times 0+4\times 2=8$, celui en bas à droite $3\times(-1)+4\times 1=1$. Donc $AB=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}$.

c) De même $BA=\begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$.

d) Les deux produits sont différents : le produit matriciel n'est pas commutatif. C'est la différence la plus importante avec le calcul sur les nombres, et elle interdit d'utiliser les identités remarquables sans précaution.

a) Multiplier par l'identité ne change rien : chaque coefficient de $AI$ se calcule comme une somme où un seul terme est non nul. On obtient bien $AI=IA=A$.

b) $A^{2}=\begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix}$ et $B^{2}=\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$.

c) $A+B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}$, donc $(A+B)^{2}=\begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 30 & 30 \end{pmatrix}$.

d) $2AB=\begin{pmatrix} 8 & 2 \\ 16 & 2 \end{pmatrix}$, donc $A^{2}+2AB+B^{2}=\begin{pmatrix} 13 & 11 \\ 33 & 23 \end{pmatrix}$. Ce n'est pas égal à $(A+B)^{2}$. Le développement correct est $(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}$, et on ne peut regrouper $AB+BA$ en $2AB$ que si les deux matrices commutent, ce qui n'est pas le cas ici.

a) $\det(A)=1\times 4-2\times 3=4-6=-2$, non nul, donc $A$ est inversible. La formule donne $A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1{,}5 & -0{,}5 \end{pmatrix}$.

b) Le coefficient en haut à gauche du produit vaut $1\times(-2)+2\times 1{,}5=-2+3=1$, celui en haut à droite $1\times 1+2\times(-0{,}5)=0$, celui en bas à gauche $3\times(-2)+4\times 1{,}5=0$, celui en bas à droite $3\times 1+4\times(-0{,}5)=1$. On obtient bien l'identité.

c) $\det(C)=2\times 2-4\times 1=0$. La matrice $C$ n'est donc pas inversible.

d) La première ligne de $C$ est exactement le double de la seconde. Les deux lignes sont proportionnelles, ce qui traduit géométriquement que la matrice écrase le plan sur une droite : l'information est perdue et l'opération ne peut pas être inversée.

a) $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}$.

b) Le déterminant de $A$ vaut $-2$, qui est non nul : $A$ est inversible, donc le système admet une unique solution, donnée par $X=A^{-1}B$.

c) Avec $A^{-1}=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1{,}5 & -0{,}5 \end{pmatrix}$ : la première coordonnée vaut $-2\times 5+1\times 11=-10+11=1$, et la seconde $1{,}5\times 5-0{,}5\times 11=7{,}5-5{,}5=2$. Donc $x=1$ et $y=2$.

d) Première équation : $1+2\times 2=5$. Seconde équation : $3\times 1+4\times 2=3+8=11$. Les deux sont vérifiées.

a) $M^{2}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $M^{3}=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

b) On conjecture $M^{n}=\begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Initialisation : pour $n=1$ la formule donne bien $M$. Hérédité : si $M^{n}=\begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, alors $M^{n+1}=M^{n}M$ a pour coefficient en haut à droite $1\times 1+n\times 1=n+1$, les autres restant inchangés, soit $\begin{pmatrix} 1 & n+1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. La formule est donc vraie pour tout entier $n\geq 1$.

c) $D^{2}=\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$ et $D^{5}=\begin{pmatrix} 32 & 0 \\ 0 & 243 \end{pmatrix}$.

d) $D^{n}=\begin{pmatrix} 2^{n} & 0 \\ 0 & 3^{n} \end{pmatrix}$. Le calcul est immédiat parce qu'une matrice diagonale agit indépendamment sur chaque coordonnée : il n'y a aucun mélange entre les lignes, donc élever la matrice à la puissance $n$ revient à élever chaque coefficient diagonal à la puissance $n$. C'est toute la motivation de la diagonalisation.

a) Avec $X_{n}=\begin{pmatrix} u_{n} \\ v_{n} \end{pmatrix}$, on a $X_{n+1}=AX_{n}$ où $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.

b) $u_{1}=2$, $v_{1}=1$ ; $u_{2}=2\times 2+1=5$, $v_{2}=2+2\times 1=4$ ; $u_{3}=2\times 5+4=14$, $v_{3}=5+2\times 4=13$.

c) $s_{n+1}=u_{n+1}+v_{n+1}=(2u_{n}+v_{n})+(u_{n}+2v_{n})=3u_{n}+3v_{n}=3s_{n}$ : la suite $(s_{n})$ est géométrique de raison 3, de premier terme $s_{0}=1$, donc $s_{n}=3^{n}$. Ensuite $d_{n+1}=(2u_{n}+v_{n})-(u_{n}+2v_{n})=u_{n}-v_{n}=d_{n}$ : la suite $(d_{n})$ est constante, égale à $d_{0}=1$.

d) On résout le système : $u_{n}=\frac{s_{n}+d_{n}}{2}=\frac{3^{n}+1}{2}$ et $v_{n}=\frac{s_{n}-d_{n}}{2}=\frac{3^{n}-1}{2}$.

e) Pour $n=3$ : $\frac{27+1}{2}=14$ et $\frac{27-1}{2}=13$. Ces valeurs correspondent bien à celles calculées à la question b).

a) La ligne indique l'état de départ : $T=\begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$. La première ligne dit que 90 % des $A$ restent en $A$ et 10 % passent en $B$.

b) $P_{0}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$, donc $P_{1}=\begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \end{pmatrix}$. Ensuite $P_{2}=\begin{pmatrix} 0{,}9\times 0{,}9+0{,}1\times 0{,}3 & 0{,}9\times 0{,}1+0{,}1\times 0{,}7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}84 & 0{,}16 \end{pmatrix}$.

c) On note $\pi=\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ avec $x+y=1$. La première équation de $\pi T=\pi$ s'écrit $0{,}9x+0{,}3y=x$, soit $0{,}3y=0{,}1x$, donc $x=3y$. Avec $x+y=1$ : $4y=1$, d'où $y=0{,}25$ et $x=0{,}75$. L'état stable est $\begin{pmatrix} 0{,}75 & 0{,}25 \end{pmatrix}$.

d) $0{,}75\times 0{,}9+0{,}25\times 0{,}3=0{,}675+0{,}075=0{,}75$ et $0{,}75\times 0{,}1+0{,}25\times 0{,}7=0{,}075+0{,}175=0{,}25$. On retrouve bien $\pi$.

e) À long terme, la répartition se stabilise à 75 % d'abonnés $A$ et 25 % d'abonnés $B$, et cela quelle que soit la répartition initiale. Les échanges mensuels continuent, mais ils se compensent exactement : autant de clients quittent $A$ qu'il en revient.

a) $A^{2}=\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ et $A^{3}=\begin{pmatrix} 14 & 13 \\ 13 & 14 \end{pmatrix}$.

b) La première colonne de $A^{n}$ est le vecteur $X_{n}$ obtenu à partir de $X_{0}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, c'est-à-dire $\begin{pmatrix} u_{n} \\ v_{n} \end{pmatrix}$. Par symétrie de $A$, on conjecture $A^{n}=\begin{pmatrix} \frac{3^{n}+1}{2} & \frac{3^{n}-1}{2} \\ \frac{3^{n}-1}{2} & \frac{3^{n}+1}{2} \end{pmatrix}$.

c) Pour $n=1$ : $\frac{3+1}{2}=2$ et $\frac{3-1}{2}=1$, ce qui redonne bien $A$. Pour $n=2$ : $\frac{9+1}{2}=5$ et $\frac{9-1}{2}=4$, ce qui correspond à $A^{2}$.

d) Pour $n=3$ : $\frac{27+1}{2}=14$ et $\frac{27-1}{2}=13$, ce qui correspond à $A^{3}$.

e) Pour $n=0$ : $\frac{1+1}{2}=1$ et $\frac{1-1}{2}=0$, donc la formule donne la matrice identité. C'est cohérent, puisque par convention $A^{0}=I$.

a) $L=\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 0{,}5 & 0 \end{pmatrix}$, avec $X_{n}=\begin{pmatrix} j_{n} \\ a_{n} \end{pmatrix}$.

b) $X_{1}=\begin{pmatrix} 400 \\ 50 \end{pmatrix}$, $X_{2}=\begin{pmatrix} 200 \\ 200 \end{pmatrix}$, $X_{3}=\begin{pmatrix} 800 \\ 100 \end{pmatrix}$ et $X_{4}=\begin{pmatrix} 400 \\ 400 \end{pmatrix}$.

c) $L^{2}=\begin{pmatrix} 4\times 0{,}5 & 0 \\ 0 & 0{,}5\times 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}=2I$. Le carré de $L$ est donc une simple multiplication par 2.

d) Comme $L^{2}=2I$, on obtient $L^{2k}=(L^{2})^{k}=(2I)^{k}=2^{k}I$. Donc $X_{2k}=2^{k}X_{0}$ : toutes les deux saisons, la population est exactement doublée dans chaque classe. On vérifie : $X_{2}=2X_{0}=\begin{pmatrix} 200 \\ 200 \end{pmatrix}$ et $X_{4}=4X_{0}=\begin{pmatrix} 400 \\ 400 \end{pmatrix}$.

e) Non. Les totaux successifs valent $200$, $450$, $400$, $900$, $800$ : ils ne doublent pas d'une saison à l'autre, ils oscillent. C'est seulement sur deux saisons que le doublement est exact. Le modèle produit une croissance en dents de scie, parce que les jeunes et les adultes ne se convertissent pas au même rythme.

a) Faux. Contre-exemple de l'exercice 1 : avec $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, on a $AB=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}$ alors que $BA=\begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$.

b) Faux. Contre-exemple : $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Le produit $AB$ est la matrice nulle, pourtant ni $A$ ni $B$ n'est nulle. On dit que l'anneau des matrices n'est pas intègre.

c) Faux. Contre-exemple : $C=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ n'est pas nulle mais son déterminant vaut 0, donc elle n'est pas inversible. Le critère est le déterminant non nul, pas la non-nullité de la matrice.

d) Faux. Le développement correct est $(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}$, et on ne peut regrouper les deux termes du milieu que si $AB=BA$. Avec les matrices de la question a), on a calculé à l'exercice 2 que $(A+B)^{2}=\begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 30 & 30 \end{pmatrix}$ alors que $A^{2}+2AB+B^{2}=\begin{pmatrix} 13 & 11 \\ 33 & 23 \end{pmatrix}$.