Spécialité maths, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : les suites et la récurrence (Terminale spécialité)

Q: Pourquoi faut-il absolument l'initialisation dans une démonstration par récurrence ?

Parce que l'hérédité prouve seulement que la propriété se transmet d'un rang au suivant, pas qu'elle est vraie quelque part. Une propriété peut être parfaitement héréditaire et fausse à tous les rangs : pour une suite qui augmente de deux à chaque étape, la propriété être pair se transmet, et reste fausse si le premier terme est impair.

Q: Comment savoir vers quoi tend q puissance n ?

Quatre cas, et on regarde le signe de q avant sa taille. Si q est strictement compris entre moins un et un, la limite est zéro. Si q est plus grand que un, la limite est plus l'infini. Si q vaut un, la suite est constante égale à un. Si q est inférieur ou égal à moins un, il n'y a pas de limite du tout : la suite change de signe à chaque rang.

Q: Le théorème de convergence monotone donne-t-il la valeur de la limite ?

Non, jamais. Il garantit seulement qu'une suite croissante et majorée converge, sans dire vers quoi. La limite est toujours inférieure ou égale au majorant, et lui est presque toujours strictement inférieure. Sa valeur s'obtient ensuite, soit par l'équation du point fixe, soit en passant à la limite dans la forme explicite.

Q: Comment étudier une suite définie par une relation du type u suivant égale a fois u plus b ?

On calcule d'abord le point fixe en résolvant l'équation où la limite est égale à a fois elle-même plus b. On pose ensuite la suite auxiliaire égale à u moins ce point fixe : elle est géométrique de raison a. On en déduit sa forme explicite, on revient à u en rajoutant le point fixe, et la limite se lit sur a puissance n.

Q: Peut-on conclure que la limite vaut la solution de l'équation du point fixe ?

Seulement après avoir démontré que la suite converge. L'équation du point fixe est une conséquence de la convergence, pas une preuve. Une suite qui vérifie u suivant égale trois u moins six a bien un point fixe égal à trois, et pourtant elle s'en écarte indéfiniment dès que son premier terme en diffère.

Q: Comment trouver le plus petit rang à partir duquel une suite dépasse un seuil ?

Deux méthodes acceptées. Soit un algorithme : on part du premier terme, on répète la relation de récurrence dans une boucle tant que le seuil n'est pas atteint, et on renvoie le compteur. Soit, si la forme explicite est géométrique, une inéquation résolue avec le logarithme, en pensant à retourner l'inégalité quand on divise par un logarithme négatif.

Le premier chapitre de Terminale est aussi celui qui coûte le plus cher au premier devoir, et rarement pour des raisons de calcul. Les copies savent factoriser, dériver, résoudre. Ce qu'elles ratent, c'est la logique : une hérédité rédigée sans initialisation, un « supposons » suivi d'un calcul qui n'utilise jamais l'hypothèse, une limite annoncée parce qu'un majorant traînait dans l'énoncé.

Cette fiche ne redit pas le cours sur les suites. Elle liste les huit endroits précis où les points partent, la phrase exacte à recopier pour chacun, l'arbre qui dit quelle méthode employer selon la FORME de la suite, et un exercice type de suite arithmético-géométrique décortiqué ligne par ligne, avec la raison de chaque étape.

Le fil du chapitre

Une récurrence ne démontre pas une propriété, elle démontre qu'elle SE TRANSMET, et c'est l'initialisation qui la fait démarrer. Le reste du chapitre décline le même défaut de logique : un majorant n'est pas une limite, et un point fixe n'est qu'un candidat.

Ce chapitre fait partie de Spécialité mathématiques en Terminale

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les suites numériquesPremière Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

Notions couvertes

Raisonnement par récurrence
Initialisation et hérédité
Suite majorée, minorée, bornée
Théorème de convergence monotone
Limite d'une suite géométrique
Théorème des gendarmes
Théorème de comparaison
Suite arithmético-géométrique
Point fixe d'une suite récurrente
Algorithme de seuil

L'essentiel

Une récurrence prouve un enchaînement, pas une propriété

• Initialisation : vérifier $P(n_{0})$ par le calcul, en écrivant les DEUX membres. Une ligne, mais sans elle la démonstration ne vaut rien.
• Hérédité : SUPPOSER $P(n)$ vraie pour un entier $n\ge n_{0}$ fixé, puis démontrer $P(n+1)$ . L'hypothèse doit être écrite, et surtout utilisée quelque part.
• Conclusion : « la propriété est vraie au rang $n_{0}$ et héréditaire, donc vraie pour tout entier $n\ge n_{0}$ ».
• Ce que la récurrence ne fait jamais : trouver la formule. Elle la VALIDE. La formule vient du calcul des premiers termes ou d'un changement de suite.

Le correcteur cherche trois choses sur la copie : le mot « supposons », le moment où l'hypothèse sert, et la phrase de conclusion. Chacune vaut environ un point, et aucune ne demande de réfléchir.

Les limites qu'on reconnaît sans calcul

• $\lim n=\lim n^{2}=\lim\sqrt{n}=+\infty$ et $\lim\frac{1}{n}=\lim\frac{1}{\sqrt{n}}=\lim\frac{1}{n^{2}}=0$ .
• Limite de $q^{n}$ , quatre cas : si $-1<q<1$ elle vaut $0$ ; si $q>1$ elle vaut $+\infty$ ; si $q=1$ elle vaut $1$ ; si $q\le -1$ la suite n'a PAS de limite.
• La condition porte sur $q$ , jamais sur $|q|$ : $q=-1{,}2$ ne tend vers rien, et $q=-0{,}8$ tend vers $0$ en changeant de signe à chaque rang.
• Somme des termes d'une suite géométrique : $1+q+\dots+q^{n}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ pour $q\neq 1$ , et cette somme tend vers $\frac{1}{1-q}$ quand $-1<q<1$ .

Les quatre théorèmes de convergence, avec leurs hypothèses

• Convergence monotone : croissante ET majorée $\Rightarrow$ converge; décroissante ET minorée $\Rightarrow$ converge. Le théorème donne l'EXISTENCE de la limite, jamais sa valeur.
• Gendarmes : $v_{n}\le u_{n}\le w_{n}$ avec $(v_{n})$ et $(w_{n})$ de MÊME limite finie $\ell$ , alors $u_{n}\to\ell$ .
• Comparaison : $u_{n}\ge v_{n}$ et $v_{n}\to+\infty$ , alors $u_{n}\to+\infty$ . Une seule inégalité, dans le bon sens, suffit.
• Point fixe : si $u_{n+1}=f(u_{n})$ avec $f$ continue ET si $(u_{n})$ converge vers $\ell$ , alors $\ell=f(\ell)$ . Le « si converge » est une hypothèse, pas une conclusion.

La suite est croissante et majorée par

3

: le théorème garantit qu'elle converge, rien de plus. Sa limite vaut

2

. Un majorant est un plafond, la limite est la hauteur réellement atteinte.

Une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ : c'est le seul autre comportement possible. Une suite monotone n'oscille pas, donc elle converge ou elle explose.

Suite arithmético-géométrique : le seul changement de suite à connaître

• Forme $u_{n+1}=au_{n}+b$ avec $a\neq 1$ . On résout $\ell=a\ell+b$ , ce qui donne le point fixe $\ell=\frac{b}{1-a}$ .
• On pose $v_{n}=u_{n}-\ell$ : alors $v_{n+1}=av_{n}$ , donc $(v_{n})$ est géométrique de raison $a$ et de premier terme $v_{0}=u_{0}-\ell$ .
• On revient : $u_{n}=\ell+(u_{0}-\ell)a^{n}$ , et la limite se lit entièrement sur $a^{n}$ .
• Si $-1<a<1$ , la suite converge vers $\ell$ quel que soit $u_{0}$ . Sinon elle s'écarte de $\ell$ , sauf si $u_{0}=\ell$ exactement.

L'énoncé impose presque toujours le $v_{n}$ à utiliser. Quand il ne l'impose pas, c'est celui-là qu'il faut poser, et le point fixe se calcule au brouillon en trois secondes.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Les limites de référence des suites

Sept lignes, et le baccalauréat n'en demande pas d'autres. Chacune porte un terme calculé : c'est le meilleur contrôle d'une limite annoncée, et il tient dans la calculatrice.

Suite $u_{n}$	Condition	Limite
$q^{n}$	$-1<q<1$	$0$
Exemple : $0{,}8^{30}\approx 0{,}00124$ . C'est la ligne qui sert dans presque toutes les suites géométriques de l'épreuve.
$q^{n}$	$q>1$	$+\infty$
Exemple : $1{,}05^{100}\approx 131{,}5$ : un placement à $5$ pour cent multiplie le capital par plus de cent trente en cent ans.
$q^{n}$	$q\leq-1$	aucune limite
Exemple : $(-2)^{10}=1024$ puis $(-2)^{11}=-2048$ : la suite oscille en grossissant. On n'écrit pas « diverge vers l'infini », il n'y a pas de limite du tout.
$n^{a}q^{n}$	$\left\|q\right\|<1$ , $a>0$	$0$
Exemple : En $n=100$ avec $a=2$ et $q=0{,}9$ , le terme vaut environ $0{,}266$ , et il continue de décroître : l'exponentielle l'emporte sur la puissance.
$\frac{1}{n^{a}}$	$a>0$	$0$
Exemple : $\frac{1}{\sqrt{n}}$ vaut $0{,}1$ au rang $100$ et $0{,}01$ au rang $10\,000$ : la convergence est lente, elle a lieu quand même.
$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$	aucune	$\mathrm{e}\approx 2{,}718$
Exemple : En $n=1000$ , le terme vaut environ $2{,}717$ . C'est la limite la plus célèbre du programme, et elle n'est pas $1$ .
$u_{n+1}=au_{n}+b$	$\left\|a\right\|<1$	le point fixe $\frac{b}{1-a}$
Exemple : Avec $u_{n+1}=0{,}5u_{n}+3$ , la limite est $\frac{3}{1-0{,}5}=6$ , quel que soit $u_{0}$ . Partant de $u_{0}=0$ , le rang $20$ donne déjà $5{,}999994$ .

La ligne 7 ne se cite pas telle quelle en Terminale : le point fixe donne la limite ATTENDUE, mais la copie doit d'abord prouver la convergence, par une suite auxiliaire géométrique ou par le théorème de la convergence monotone. Résoudre $\ell=a\ell+b$ sans avoir prouvé que la limite existe est la faute classique du chapitre.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Une hérédité impeccable, sans initialisation

2 points sur 4 : la démonstration est comptée fausse, pas incomplète

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Supposons $u_{n}\le 3$ . Alors $u_{n+1}=\sqrt{2u_{n}+3}\le\sqrt{9}=3$ . La propriété est donc vraie pour tout $n$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Initialisation : $u_{0}=1\le 3$ , donc $P(0)$ est vraie. Hérédité : supposons $u_{n}\le 3$ pour un entier $n\ge 0$ fixé; alors $2u_{n}+3\le 9$ , donc $u_{n+1}=\sqrt{2u_{n}+3}\le 3$ . Conclusion : $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire, donc $u_{n}\le 3$ pour tout $n\ge 0$ . »

Pourquoi : L'hérédité seule prouve que la propriété se transmet, pas qu'elle démarre. Pour $u_{n+1}=u_{n}+2$ , la propriété « $u_{n}$ est pair » est parfaitement héréditaire, et pourtant fausse à tous les rangs si $u_{0}=1$ .

2. Écrire « supposons » puis ne jamais se servir de l'hypothèse

1,5 point : l'hérédité est affirmée, pas démontrée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Supposons $u_{n}=3\times 2^{n}-1$ . Alors $u_{n+1}=3\times 2^{n+1}-1$ , ce qu'il fallait démontrer. »

Ce qu'il faut écrire

« Supposons $u_{n}=3\times 2^{n}-1$ pour un entier $n\ge 0$ fixé. Alors $u_{n+1}=2u_{n}+1=2\left(3\times 2^{n}-1\right)+1=3\times 2^{n+1}-1$ . »

Pourquoi : Une hérédité qui n'utilise pas $P(n)$ n'est pas une hérédité. L'hypothèse ne peut servir qu'à un seul endroit : la ligne où l'on remplace $u_{n}$ par son expression, juste après avoir écrit la relation de récurrence.

3. Annoncer la limite en lisant le majorant

1 point, et souvent toute la fin de l'exercice

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(u_{n})$ est croissante et majorée par $3$ , donc $\lim u_{n}=3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $(u_{n})$ est croissante et majorée par $3$ , donc d'après le théorème de convergence monotone elle converge vers un réel $\ell\le 3$ . Comme $u_{n+1}=f(u_{n})$ avec $f$ continue, $\ell$ vérifie $\ell=f(\ell)$ , ce qui donne $\ell=3$ . »

Pourquoi : Le théorème de convergence monotone est un théorème d'EXISTENCE. La valeur de la limite vient toujours d'ailleurs : de l'équation du point fixe, d'une forme explicite, ou des gendarmes.

4. Appliquer la règle de $q^{n}$ à $|q|$ au lieu de $q$

1 point, et une conclusion fausse sur toute la suite de l'étude

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La raison vaut $-1{,}2$ , donc $|q|>1$ , donc $q^{n}$ tend vers $+\infty$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La raison vaut $q=-1{,}2\le -1$ : la suite $(q^{n})$ n'a pas de limite. Elle change de signe à chaque rang et sa valeur absolue tend vers $+\infty$ . »

Deux façons opposées de changer de signe :

(-0{,}8)^{n}

, en points pleins, se rapproche de

0

en alternant;

(-1{,}2)^{n}

, en cercles, s'en écarte de plus en plus. La règle porte sur

q

, pas sur

|q|

Pourquoi : Une limite infinie a un signe. Une suite qui passe de $-3{,}58$ à $+4{,}30$ ne tend ni vers $+\infty$ , ni vers $-\infty$ , ni vers un réel : elle n'a pas de limite du tout.

5. Résoudre $\ell=f(\ell)$ et déclarer que c'est la limite

toute la question : la conclusion annoncée est fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $u_{n+1}=3u_{n}-6$ , donc $\ell=3\ell-6$ , donc $\ell=3$ : la suite converge vers $3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« SI $(u_{n})$ converge vers $\ell$ , alors par continuité $\ell=3\ell-6$ , donc $\ell=3$ . Or $u_{n}-3=(u_{0}-3)\times 3^{n}$ , qui ne tend pas vers $0$ dès que $u_{0}\neq 3$ : la suite diverge, et $3$ n'était qu'un candidat. »

Le point fixe

\ell=3

existe bel et bien, et pourtant les deux suites s'en écartent, l'une vers le haut depuis

u_{0}=4

, l'autre vers le bas depuis

u_{0}=2

. Résoudre

\ell=f(\ell)

ne démontre aucune convergence.

Pourquoi : L'équation du point fixe est une CONSÉQUENCE de la convergence, jamais sa preuve. Il faut d'abord établir la convergence, par monotonie et bornes, ou par une forme explicite.

6. Encadrer par deux suites qui n'ont pas la même limite

1 point, et le théorème cité est le mauvais

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On a $0\le u_{n}\le 2$ , donc d'après le théorème des gendarmes, $(u_{n})$ converge. »

Ce qu'il faut écrire

« On a $0\le u_{n}\le 2$ , donc $(u_{n})$ est bornée. Pour conclure par les gendarmes il faut deux suites de MÊME limite : ici $-\frac{1}{n}\le u_{n}\le\frac{1}{n}$ donne $\lim u_{n}=0$ . »

Pourquoi : Bornée n'implique pas convergente : $u_{n}=(-1)^{n}$ reste entre $-1$ et $1$ et n'a aucune limite. Il faut la monotonie en plus, ou un encadrement dont les deux bords se referment sur la même valeur.

7. Conclure à la croissance en regardant les trois premiers termes

1 à 2 points, et l'hypothèse du théorème suivant s'effondre avec

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $u_{0}=1$ , $u_{1}=2{,}24$ , $u_{2}=2{,}73$ : la suite est croissante. »

Ce qu'il faut écrire

« Étudions le signe de $u_{n+1}-u_{n}$ » ou « montrons par récurrence que $u_{n}\le u_{n+1}$ pour tout $n$ ». Les premiers termes servent à CONJECTURER la monotonie, jamais à la démontrer.

Pourquoi : La monotonie sert d'hypothèse au théorème de convergence monotone. Si elle est seulement observée, tout ce qui en découle tombe. Trois termes ne disent rien du millième.

8. Renvoyer la valeur atteinte au lieu du rang, dans un algorithme de seuil

1 point sur 2, et la réponse numérique est décalée d'un rang

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Tant que $u<1000$ , faire $u\leftarrow 1{,}05\,u$ ; renvoyer $u$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $n\leftarrow 0$ ; tant que $u<1000$ , faire $u\leftarrow 1{,}05\,u$ puis $n\leftarrow n+1$ ; renvoyer $n$ . »

Pourquoi : Une question de seuil demande le plus petit RANG à partir duquel la suite dépasse la valeur. Incrémenter $n$ après la mise à jour de $u$ garantit que le rang renvoyé est bien celui du dépassement, pas celui d'avant.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode pour la limite d'une suite

On regarde la FORME sous laquelle la suite est donnée, avant même de savoir de quoi parle l'exercice.

La branche «

u_{n+1}=f(u_{n})

non affine » se lit ici : l'escalier part de

u_{0}=1

et s'accumule sur l'intersection de la courbe et de la droite

y=x

Si forme explicite $u_{n}=f(n)$ , quotient de polynômes en $n$ → comparer les degrés, ou mettre en facteur la plus haute puissance de $n$ en haut et en bas

Exemple : $\frac{3n^{2}-n}{5n^{2}+1}\to\frac{3}{5}$

Le raccourci « rapport des coefficients dominants » ne se rédige pas seul : écrire la mise en facteur rapporte le point de méthode.
Si une puissance $q^{n}$ apparaît quelque part → classer $q$ dans les quatre cas, en regardant son SIGNE avant sa taille

Exemple : $0{,}8^{n}\to 0$ , $1{,}2^{n}\to+\infty$ , $(-1{,}2)^{n}$ n'a pas de limite
Si relation $u_{n+1}=au_{n}+b$ avec $a$ et $b$ constants → point fixe, changement de suite $v_{n}=u_{n}-\ell$ , forme explicite, puis limite lue sur $a^{n}$

Exemple : $u_{n+1}=0{,}8u_{n}+60$ donne $u_{n}=300+(u_{0}-300)\times 0{,}8^{n}\to 300$
Si relation $u_{n+1}=f(u_{n})$ avec $f$ non affine → récurrence pour les bornes, récurrence ou signe de $u_{n+1}-u_{n}$ pour la monotonie, convergence monotone, PUIS seulement $\ell=f(\ell)$

Exemple : $u_{n+1}=\sqrt{2u_{n}+3}$ croissante et majorée par $3$ , puis $\ell^{2}=2\ell+3$ donne $\ell=3$
Si un facteur borné multiplie une suite qui tend vers $0$ , ou l'énoncé fournit un encadrement → théorème des gendarmes, en écrivant l'encadrement AVANT de passer à la limite

Exemple : $-\frac{1}{n}\le\frac{\sin n}{n}\le\frac{1}{n}$ , donc la limite vaut $0$
Si l'énoncé fournit une minoration par une suite qui explose → théorème de comparaison, une seule inégalité suffit

Exemple : $u_{n}\ge n-5$ donne $u_{n}\to+\infty$

Aucune branche ne s'applique ? C'est en général qu'il n'y a pas d'indétermination du tout : les limites de référence donnent la réponse directement. En Terminale, les croissances comparées ne sont disponibles qu'avec l'exponentielle et le logarithme, jamais entre deux puissances de $n$ .

Quel théorème pour quel verbe d'énoncé

Les questions de la partie B se ressemblent toutes. Le verbe de la question désigne l'outil, et il n'y en a que cinq.

Si l'énoncé dit « démontrer que, pour tout entier $n$ » → récurrence, sauf si une forme explicite est déjà démontrée à la question précédente

Exemple : montrer que $u_{n}\le 3$ pour tout $n$ , sur une suite définie par récurrence
Si l'énoncé dit « montrer que la suite converge », SANS demander la limite → convergence monotone : une monotonie et une borne, chacune démontrée à part
Si l'énoncé dit « déterminer la limite », après une question de convergence → passage à la limite dans $\ell=f(\ell)$ , ou lecture directe sur la forme explicite

Exemple : $\ell=\sqrt{2\ell+3}$ donne $\ell^{2}-2\ell-3=0$ , donc $\ell=3$ (la racine $-1$ est exclue car $u_{n}\ge 0$ )
Si l'énoncé dit « montrer que $u_{n}$ tend vers $+\infty$ » → théorème de comparaison, avec une suite plus petite qui tend déjà vers $+\infty$

Exemple : montrer d'abord $u_{n}\ge n$ par récurrence, puis conclure
Si l'énoncé dit « déterminer le plus petit entier $n$ tel que » → algorithme de seuil, ou inéquation résolue au logarithme quand la forme explicite est géométrique

Exemple : $0{,}8^{n}<0{,}01$ donne $n>\frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8}\approx 20{,}6$ , donc $n=21$

Le mot « conjecturer » n'appelle aucun théorème : il demande la calculatrice et une phrase au conditionnel. C'est la question suivante qui demandera la démonstration, et elle rapporte trois fois plus.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Une démonstration par récurrence, rédigée pour le correcteur

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé dit « démontrer que, pour tout entier $n$ », et que la suite est définie par une relation de récurrence.

1 Nommer la propriété : « Pour tout entier $n\ge 0$ , notons $P(n)$ la propriété : $u_{n}\le 3$ . » Sans nom, les trois étapes suivantes n'ont pas de sujet.
2 Initialisation : calculer et comparer explicitement. « $u_{0}=1$ et $1\le 3$ , donc $P(0)$ est vraie. » Deux nombres écrits, pas un « c'est évident ».
3 Hérédité, ouverture : « Soit $n\ge 0$ un entier fixé. Supposons $P(n)$ vraie, c'est-à-dire $u_{n}\le 3$ . »
4 Hérédité, corps : partir de la relation de récurrence, injecter l'hypothèse, aboutir à $P(n+1)$ écrite sous la forme attendue. C'est ici, et seulement ici, que l'hypothèse sert.
5 Hérédité, fermeture : « donc $u_{n+1}\le 3$ , c'est-à-dire $P(n+1)$ . »
6 Conclusion : « $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire, donc par récurrence $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\ge 0$ . »

Phrase de conclusion

$P(0)$ est vraie et, pour tout entier $n\ge 0$ , $P(n)$ implique $P(n+1)$ ; d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\ge 0$ .

Le piège : Écrire « supposons que $P(n)$ soit vraie pour tout $n$ ». Cela suppose ce qu'on veut démontrer. La formulation correcte est « pour un entier $n$ FIXÉ », et ce mot vaut un point de rigueur.

Barème : En général 0,5 point pour l'initialisation, 2 points pour l'hérédité dont 1 pour l'usage effectif de l'hypothèse, 0,5 point pour la conclusion rédigée.

Étude complète d'une suite définie par $u_{n+1}=f(u_{n})$

Quand l'utiliser : L'exercice de fin de sujet : quatre ou cinq questions enchaînées sur la même suite, qui se terminent par « déterminer la limite ».

1 Borner : démontrer par récurrence un encadrement du type $0\le u_{n}\le 3$ . C'est presque toujours la première question, et elle sert à toutes les autres.
2 Monotoner : étudier le signe de $u_{n+1}-u_{n}$ , en utilisant l'encadrement précédent. Si le signe n'est pas lisible, faire une seconde récurrence sur $u_{n}\le u_{n+1}$ .
3 Conclure à la convergence : « $(u_{n})$ est croissante et majorée par $3$ , donc d'après le théorème de convergence monotone elle converge vers un réel $\ell$ . »
4 Justifier la continuité de $f$ avant de passer à la limite : « $f$ est continue sur $[0\,;3]$ comme composée de fonctions continues. »
5 Résoudre $\ell=f(\ell)$ , puis ÉLIMINER les solutions incompatibles avec l'encadrement démontré à l'étape 1.
6 Rédiger la conclusion avec la valeur retenue et la raison du rejet de l'autre.

Phrase de conclusion

$(u_{n})$ converge vers un réel $\ell$ vérifiant $\ell=\sqrt{2\ell+3}$ , soit $\ell^{2}-2\ell-3=0$ , donc $\ell=3$ ou $\ell=-1$ ; comme $u_{n}\ge 0$ pour tout $n$ , la limite est positive et $\lim u_{n}=3$ .

Le piège : Oublier d'éliminer la racine négative. L'équation du point fixe a deux solutions dans presque tous les sujets, et le demi-point se gagne en citant l'encadrement de la première question.

Barème : Une question par étape, environ 1 point chacune. L'étape de continuité est celle que les copies sautent le plus souvent.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Faire calculer les dix premiers termes par la calculatrice

Sur TI, menu SUITE : entrer $u(n+1)$ en fonction de $u(n)$ et le premier terme, puis lire la TABLE. Sur Casio, le menu RECUR joue le même rôle. Trente secondes, et la monotonie comme la limite se voient.

Une limite annoncée à $3$ mais une table qui monte vers $2{,}236$ puis $2{,}414$ dit que l'équation du point fixe a été mal résolue.
Réinjecter la forme explicite dans la relation de récurrence

La formule $u_{n}=\ell+(u_{0}-\ell)a^{n}$ trouvée par changement de suite doit redonner la relation de départ. On la substitue dans $u_{n+1}=au_{n}+b$ et on vérifie l'égalité.

Avec $u_{n}=300-100\times 0{,}8^{n}$ : $0{,}8u_{n}+60=240-80\times 0{,}8^{n}+60=300-100\times 0{,}8^{n+1}$ , qui est bien $u_{n+1}$ .
Contrôler la cohérence entre monotonie, borne et limite

Une suite croissante ne peut pas converger vers une valeur inférieure à $u_{0}$ , et une suite décroissante ne peut pas converger au-dessus. Comparer la limite trouvée au premier terme prend deux secondes.

Une suite croissante partant de $u_{0}=200$ et dont on annonce la limite $150$ : la contradiction est immédiate, il y a une erreur de signe dans le changement de suite.
Vérifier un rang de seuil par ses deux voisins

Le rang $n$ trouvé doit vérifier la condition, et $n-1$ doit NE PAS la vérifier. Les deux calculs à la calculatrice valident le « plus petit ».

$0{,}8^{21}\approx 0{,}0092<0{,}01$ et $0{,}8^{20}\approx 0{,}0115>0{,}01$ : le rang $21$ est bien le plus petit.
Relire le rang de départ de la récurrence

Une propriété peut n'être vraie qu'à partir de $n=1$ ou $n=4$ . L'initialisation doit se faire au rang demandé par l'énoncé, pas systématiquement à $0$ .

« Pour tout $n\ge 4$ , $2^{n}\ge n^{2}$ » s'initialise en $n=4$ , où $16\ge 16$ ; testée en $n=3$ elle est fausse, ce qui n'enlève rien à la démonstration.

L'exercice type décortiqué

Suite arithmético-géométrique : une population sous quota, comme au baccalauréat

Une réserve naturelle compte $200$ animaux au 1er janvier de l'année $0$ . Chaque année, $20\,\%$ de la population quitte la réserve, et $60$ animaux y sont introduits. On note $u_{n}$ la population au 1er janvier de l'année $n$ , donc $u_{0}=200$ et $u_{n+1}=0{,}8\,u_{n}+60$ .

1. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ . 2. On pose $v_{n}=u_{n}-300$ . Montrer que $(v_{n})$ est géométrique. 3. En déduire $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis la limite de $(u_{n})$ . 4. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_{n}\ge 290$ .

Étape 1

$u_{1}=0{,}8\times 200+60=220$ et $u_{2}=0{,}8\times 220+60=236$ .

Pourquoi

Ces deux nombres ne rapportent qu'un demi-point, mais ils servent de contrôle à toutes les questions suivantes : la formule explicite trouvée plus bas devra les redonner exactement.

Étape 2

$v_{n+1}=u_{n+1}-300=0{,}8u_{n}+60-300=0{,}8u_{n}-240=0{,}8\left(u_{n}-300\right)=0{,}8\,v_{n}$ . Donc $(v_{n})$ est géométrique de raison $0{,}8$ , de premier terme $v_{0}=200-300=-100$ .

Pourquoi

On part de $v_{n+1}$ et on arrive à $v_{n}$ , jamais l'inverse. La factorisation par $0{,}8$ est l'unique geste de la question : c'est elle qui fait apparaître $u_{n}-300$ , donc $v_{n}$ .

Étape 3

Donc $v_{n}=-100\times 0{,}8^{n}$ , puis $u_{n}=v_{n}+300=300-100\times 0{,}8^{n}$ . Contrôle : $u_{1}=300-80=220$ et $u_{2}=300-64=236$ .

Pourquoi

Le retour à $u_{n}$ se fait par $u_{n}=v_{n}+300$ , pas $v_{n}-300$ . Les deux valeurs recalculées confirment le signe du premier terme, qui est l'erreur la plus fréquente de la question.

Étape 4

Comme $-1<0{,}8<1$ , $\lim 0{,}8^{n}=0$ , donc $\lim u_{n}=300$ .

Pourquoi

La limite se lit sur $0{,}8^{n}$ , pas sur la relation de récurrence. Citer l'encadrement $-1<0{,}8<1$ est la justification attendue : c'est l'hypothèse du théorème, pas une décoration.

Étape 5

$u_{n}\ge 290\iff 300-100\times 0{,}8^{n}\ge 290\iff 0{,}8^{n}\le 0{,}1\iff n\ln 0{,}8\le\ln 0{,}1$ . Comme $\ln 0{,}8<0$ , l'inégalité CHANGE de sens : $n\ge\frac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}8}\approx 10{,}3$ , donc $n=11$ .

Pourquoi

Le changement de sens à la division par $\ln 0{,}8$ , qui est négatif, vaut un point à lui seul et se perd dans une copie sur deux. Le repère : diviser par un logarithme de nombre inférieur à $1$ retourne toujours l'inégalité.

Étape 6

Vérification : $u_{11}=300-100\times 0{,}8^{11}\approx 291{,}4\ge 290$ , et $u_{10}=300-100\times 0{,}8^{10}\approx 289{,}3<290$ .

Pourquoi

Deux calculs de dix secondes qui prouvent le « plus petit » demandé par l'énoncé. Sans eux, le correcteur ne sait pas si $11$ vient d'un raisonnement ou d'un arrondi heureux.

Conclusion rédigée

La population suit $u_{n}=300-100\times 0{,}8^{n}$ , croît vers une limite de $300$ animaux sans jamais l'atteindre, et dépasse $290$ animaux pour la première fois au 1er janvier de l'année $11$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Poser $v_{n}=300-u_{n}$ au lieu de $v_{n}=u_{n}-300$ parce que « la suite est croissante donc $v_{n}$ doit être positif ». Le changement de suite est imposé par l'énoncé; le signe négatif de $v_{0}$ est normal et disparaît au retour à $u_{n}$ .

À savoir par cœur

• Une récurrence, c'est trois blocs : initialisation calculée, hérédité qui UTILISE l'hypothèse, conclusion rédigée. Il manque toujours le même : l'initialisation.
• Dans l'hérédité, l'entier $n$ est FIXÉ. « Supposons vrai pour tout $n$ » suppose ce qu'on démontre.
• $q^{n}$ : $0$ si $-1<q<1$ , $+\infty$ si $q>1$ , $1$ si $q=1$ , PAS DE LIMITE si $q\le -1$ . La règle regarde $q$ , jamais $|q|$ .
• Croissante et majorée $\Rightarrow$ converge. Le théorème donne l'existence, jamais la valeur.
• $\ell=f(\ell)$ n'est vraie que SI la suite converge déjà. C'est un candidat, pas une preuve.
• Gendarmes : les deux bornes doivent avoir la MÊME limite. Bornée ne veut pas dire convergente.
• Arithmético-géométrique $u_{n+1}=au_{n}+b$ : point fixe $\ell=\frac{b}{1-a}$ , puis $v_{n}=u_{n}-\ell$ géométrique de raison $a$ , puis $u_{n}=\ell+(u_{0}-\ell)a^{n}$ .
• Diviser une inéquation par $\ln q$ avec $0<q<1$ retourne le sens de l'inégalité.

Questions fréquentes

Pourquoi faut-il absolument l'initialisation dans une démonstration par récurrence ?

Parce que l'hérédité prouve seulement que la propriété se transmet d'un rang au suivant, pas qu'elle est vraie quelque part. Une propriété peut être parfaitement héréditaire et fausse à tous les rangs : pour une suite qui augmente de deux à chaque étape, la propriété être pair se transmet, et reste fausse si le premier terme est impair.

Comment savoir vers quoi tend q puissance n ?

Quatre cas, et on regarde le signe de q avant sa taille. Si q est strictement compris entre moins un et un, la limite est zéro. Si q est plus grand que un, la limite est plus l'infini. Si q vaut un, la suite est constante égale à un. Si q est inférieur ou égal à moins un, il n'y a pas de limite du tout : la suite change de signe à chaque rang.

Le théorème de convergence monotone donne-t-il la valeur de la limite ?

Non, jamais. Il garantit seulement qu'une suite croissante et majorée converge, sans dire vers quoi. La limite est toujours inférieure ou égale au majorant, et lui est presque toujours strictement inférieure. Sa valeur s'obtient ensuite, soit par l'équation du point fixe, soit en passant à la limite dans la forme explicite.

Comment étudier une suite définie par une relation du type u suivant égale a fois u plus b ?

On calcule d'abord le point fixe en résolvant l'équation où la limite est égale à a fois elle-même plus b. On pose ensuite la suite auxiliaire égale à u moins ce point fixe : elle est géométrique de raison a. On en déduit sa forme explicite, on revient à u en rajoutant le point fixe, et la limite se lit sur a puissance n.

Peut-on conclure que la limite vaut la solution de l'équation du point fixe ?

Seulement après avoir démontré que la suite converge. L'équation du point fixe est une conséquence de la convergence, pas une preuve. Une suite qui vérifie u suivant égale trois u moins six a bien un point fixe égal à trois, et pourtant elle s'en écarte indéfiniment dès que son premier terme en diffère.

Comment trouver le plus petit rang à partir duquel une suite dépasse un seuil ?

Deux méthodes acceptées. Soit un algorithme : on part du premier terme, on répète la relation de récurrence dans une boucle tant que le seuil n'est pas atteint, et on renvoie le compteur. Soit, si la forme explicite est géométrique, une inéquation résolue avec le logarithme, en pensant à retourner l'inégalité quand on divise par un logarithme négatif.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Suites et récurrence

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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Fiche de révision : les suites et la récurrence (Terminale spécialité)

L'essentiel

Une récurrence prouve un enchaînement, pas une propriété

Les limites qu'on reconnaît sans calcul

Les quatre théorèmes de convergence, avec leurs hypothèses

Suite arithmético-géométrique : le seul changement de suite à connaître

Les règles de calcul en tableau

Les limites de référence des suites

Les pièges qui coûtent des points

1. Une hérédité impeccable, sans initialisation

2. Écrire « supposons » puis ne jamais se servir de l'hypothèse

3. Annoncer la limite en lisant le majorant

4. Appliquer la règle de qnq^{n}qn à ∣q∣|q|∣q∣ au lieu de qqq

5. Résoudre ℓ=f(ℓ)\ell=f(\ell)ℓ=f(ℓ) et déclarer que c'est la limite

6. Encadrer par deux suites qui n'ont pas la même limite

7. Conclure à la croissance en regardant les trois premiers termes

8. Renvoyer la valeur atteinte au lieu du rang, dans un algorithme de seuil

Quelle méthode choisir

Quelle méthode pour la limite d'une suite

Quel théorème pour quel verbe d'énoncé

La rédaction attendue

Une démonstration par récurrence, rédigée pour le correcteur

Étude complète d'une suite définie par un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_{n})un+1​=f(un​)

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Suite arithmético-géométrique : une population sous quota, comme au baccalauréat

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi faut-il absolument l'initialisation dans une démonstration par récurrence ?

Comment savoir vers quoi tend q puissance n ?

Le théorème de convergence monotone donne-t-il la valeur de la limite ?

Comment étudier une suite définie par une relation du type u suivant égale a fois u plus b ?

Peut-on conclure que la limite vaut la solution de l'équation du point fixe ?

Comment trouver le plus petit rang à partir duquel une suite dépasse un seuil ?

Exercices corrigés : Suites et récurrence

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4. Appliquer la règle de $q^{n}$ à $|q|$ au lieu de $q$

5. Résoudre $\ell=f(\ell)$ et déclarer que c'est la limite

Étude complète d'une suite définie par $u_{n+1}=f(u_{n})$