Exercices corrigés : suites et récurrence (Terminale spécialité)

a) Initialisation : pour $n=1$, le membre de gauche vaut $1$ et celui de droite $\frac{1\times 2}{2}=1$. La propriété est vraie au rang 1. Hérédité : supposons $1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ pour un entier $n\geq 1$ fixé. Alors $1+2+\dots+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=(n+1)\left(\frac{n}{2}+1\right)=(n+1)\times\frac{n+2}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$, ce qui est la formule au rang $n+1$. Conclusion : la propriété est vraie pour tout $n\geq 1$.

b) Initialisation : pour $n=0$, $2^{0}=1$ et $0+1=1$, donc $2^{0}\geq 1$. Hérédité : supposons $2^{n}\geq n+1$. Alors $2^{n+1}=2\times 2^{n}\geq 2(n+1)=2n+2$. Or $2n+2\geq n+2$ dès que $n\geq 0$. Donc $2^{n+1}\geq n+2$, la propriété est vraie au rang $n+1$. Conclusion : elle est vraie pour tout entier naturel $n$.

c) Il manque l'initialisation, et pour cause : elle est fausse, puisque $3^{0}=1$ est impair. L'hérédité seule ne démontre rien : elle dit que si la propriété était vraie à un rang, elle le resterait ensuite, mais si elle n'est vraie à aucun rang de départ, la chaîne ne démarre jamais. On vérifie d'ailleurs que $3^{n}$ est impair pour tout $n$.

a) Forme indéterminée $\infty-\infty$. On factorise par le terme dominant : $u_{n}=n^{2}\left(1-\frac{3}{n}\right)$. Le premier facteur tend vers $+\infty$ et le second vers 1, donc $u_{n}$ tend vers $+\infty$.

b) Forme $\frac{\infty}{\infty}$. On factorise par $n$ : $v_{n}=\frac{n\left(2+\frac{1}{n}\right)}{n\left(1-\frac{3}{n}\right)}=\frac{2+\frac{1}{n}}{1-\frac{3}{n}}$, qui tend vers $\frac{2}{1}=2$.

c) Forme $\frac{\infty}{\infty}$. Le dénominateur est de degré supérieur : $w_{n}=\frac{n^{2}\left(3-\frac{1}{n}\right)}{n^{3}\left(1+\frac{1}{n^{3}}\right)}=\frac{1}{n}\times\frac{3-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n^{3}}}$. Le premier facteur tend vers 0 et le second vers 3, donc $w_{n}$ tend vers 0.

d) Forme $\infty-\infty$. On multiplie par la quantité conjuguée : $t_{n}=\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$. Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc $t_{n}$ tend vers 0.

a) Comme $-1<0{,}8<1$, la suite $0{,}8^{n}$ tend vers 0. Par conséquent $5\times 0{,}8^{n}+3$ tend vers $5\times 0+3=3$.

b) Comme $1{,}5>1$, la suite $1{,}5^{n}$ tend vers $+\infty$.

c) Non. Les termes valent $1$, $-2$, $4$, $-8$, $16$, ... : ils changent de signe à chaque rang tout en grandissant en valeur absolue. La suite n'admet donc aucune limite, ni finie ni infinie. C'est le cas général pour $q\leq-1$.

d) La somme géométrique vaut $S_{n}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$. Comme $-1<q<1$, le terme $q^{n+1}$ tend vers 0, donc $S_{n}$ tend vers $\frac{1}{1-q}$. Pour $q=\frac{1}{3}$ : la limite vaut $\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}$.

a) $u_{0}=\frac{1}{2}$, $u_{1}=\frac{4}{3}$ et $u_{10}=\frac{31}{12}\approx 2{,}583$.

b) On étudie la différence : $3-u_{n}=3-\frac{3n+1}{n+2}=\frac{3(n+2)-(3n+1)}{n+2}=\frac{5}{n+2}$. Ce quotient est strictement positif pour tout entier naturel $n$, donc $u_{n}<3$.

c) $u_{n+1}-u_{n}=\frac{3(n+1)+1}{n+3}-\frac{3n+1}{n+2}=\frac{(3n+4)(n+2)-(3n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}$. Le numérateur vaut $(3n^{2}+10n+8)-(3n^{2}+10n+3)=5$, strictement positif. La différence est donc strictement positive : la suite est croissante.

d) Oui. Elle est majorée par 3 d'après la question b), et minorée par son premier terme $u_{0}=\frac{1}{2}$ puisqu'elle est croissante. Étant à la fois majorée et minorée, elle est bornée.

e) Croissante et majorée, elle converge d'après le théorème de convergence monotone. Sa limite s'obtient en factorisant : $u_{n}=\frac{n\left(3+\frac{1}{n}\right)}{n\left(1+\frac{2}{n}\right)}$, qui tend vers 3. La suite converge donc vers 3, sans jamais l'atteindre.

a) $u_{1}=\sqrt{3}\approx 1{,}732$ ; $u_{2}=\sqrt{3\sqrt{3}}\approx 2{,}280$ ; $u_{3}\approx 2{,}615$.

b) Initialisation : $u_{0}=1$ vérifie bien $0<1\leq 3$. Hérédité : supposons $0<u_{n}\leq 3$. Alors $0<3u_{n}\leq 9$, et la fonction racine carrée étant croissante, $0<\sqrt{3u_{n}}\leq 3$, c'est-à-dire $0<u_{n+1}\leq 3$. Conclusion : la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.

c) $u_{n+1}^{2}-u_{n}^{2}=3u_{n}-u_{n}^{2}=u_{n}(3-u_{n})$. D'après la question b), $u_{n}>0$ et $3-u_{n}\geq 0$, donc ce produit est positif ou nul. Ainsi $u_{n+1}^{2}\geq u_{n}^{2}$, et comme les deux termes sont strictement positifs, $u_{n+1}\geq u_{n}$ : la suite est croissante.

d) La suite est croissante et majorée par 3 : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel $\ell$. Comme $u_{n+1}=\sqrt{3u_{n}}$ et que la fonction racine est continue, la limite vérifie $\ell=\sqrt{3\ell}$, donc $\ell^{2}=3\ell$, soit $\ell(\ell-3)=0$. Les termes étant tous supérieurs ou égaux à $u_{0}=1$, la limite ne peut pas être nulle : $\ell=3$.

a) $u_{1}=0{,}6\times 5+4=7$ ; $u_{2}=0{,}6\times 7+4=8{,}2$ ; $u_{3}=0{,}6\times 8{,}2+4=8{,}92$.

b) $\ell=0{,}6\ell+4$ donne $0{,}4\ell=4$, donc $\ell=10$.

c) $v_{n+1}=u_{n+1}-10=0{,}6\,u_{n}+4-10=0{,}6\,u_{n}-6=0{,}6(u_{n}-10)=0{,}6\,v_{n}$. La suite $(v_{n})$ est donc géométrique de raison $0{,}6$, de premier terme $v_{0}=5-10=-5$.

d) $v_{n}=-5\times 0{,}6^{n}$, donc $u_{n}=v_{n}+10=10-5\times 0{,}6^{n}$. Vérification : $u_{1}=10-5\times 0{,}6=10-3=7$, ce qui correspond bien.

e) Comme $-1<0{,}6<1$, le terme $0{,}6^{n}$ tend vers 0, donc $u_{n}$ tend vers 10. La suite converge vers le point fixe $\ell$, en croissant sans jamais l'atteindre.

f) $u_{n}>9{,}9$ équivaut à $5\times 0{,}6^{n}<0{,}1$, soit $0{,}6^{n}<0{,}02$. En passant au logarithme et en tenant compte de $\ln(0{,}6)<0$, qui inverse l'inégalité : $n>\frac{\ln(0{,}02)}{\ln(0{,}6)}\approx 7{,}66$. Le plus petit entier est $n=8$. Vérification : $5\times 0{,}6^{7}\approx 0{,}140$, encore supérieur à $0{,}1$, tandis que $5\times 0{,}6^{8}\approx 0{,}084$.

a) Pour tout $n\geq 1$, $-1\leq\sin n\leq 1$, donc $-\frac{1}{n^{2}}\leq u_{n}\leq\frac{1}{n^{2}}$. Les deux bornes tendent vers 0, donc par le théorème des gendarmes $u_{n}$ tend vers 0.

b) Pour tout $n$, $(-1)^{n}\geq-1$, donc $v_{n}\geq n-1$. Or $n-1$ tend vers $+\infty$, donc par le théorème de comparaison $v_{n}$ tend vers $+\infty$.

c) L'inégalité $2^{n}\geq n+1$, démontrée par récurrence à l'exercice 1, donne le résultat par comparaison : $n+1$ tend vers $+\infty$, donc $2^{n}$ aussi. Par passage à l'inverse d'une suite tendant vers $+\infty$ et à termes strictement positifs, $\frac{1}{2^{n}}$ tend vers 0.

d) Parce que les quantités $\sin n$ et $(-1)^{n}$ n'ont pas de limite : elles oscillent indéfiniment sans se stabiliser. Aucun théorème d'opération ne s'applique à une expression contenant une suite sans limite. En revanche ces quantités restent bornées, et c'est exactement ce qu'exploitent l'encadrement et la comparaison.

a) Elle calcule les termes successifs de la suite tant qu'ils n'ont pas dépassé l'objectif, et renvoie le rang du premier terme strictement supérieur à cet objectif.

b) Elle renvoie 8, ce qui confirme le résultat obtenu à l'exercice 6 par le logarithme.

c) On résout $5\times 0{,}6^{n}<0{,}01$, soit $0{,}6^{n}<0{,}002$, donc $n>\frac{\ln(0{,}002)}{\ln(0{,}6)}\approx 12{,}17$. La fonction renvoie 13.

d) La boucle ne s'arrête jamais. La suite est strictement croissante mais converge vers 10 sans jamais l'atteindre : tous ses termes vérifient $u_{n}<10$, donc la condition $u\leq 10$ reste vraie indéfiniment. Le programme tourne sans fin. C'est le danger d'un algorithme de seuil dont l'objectif est la limite elle-même, ou une valeur au-delà.

e) Il suffit de borner le nombre d'itérations, par exemple en remplaçant la condition par u <= objectif and n < 1000, puis en signalant l'échec si la boucle s'est arrêtée sur le compteur. On peut aussi vérifier au préalable que l'objectif est strictement inférieur à la limite.

def seuil(objectif, maxi=1000):
    u = 5
    n = 0
    while u <= objectif and n < maxi:
        u = 0.6 * u + 4
        n = n + 1
    if n == maxi:
        return None   # objectif inatteignable : il vaut au moins la limite
    return n

a) $u_{1}=\frac{1}{2}\left(2+1\right)=1{,}5$ ; $u_{2}=\frac{1}{2}\left(1{,}5+\frac{2}{1{,}5}\right)=\frac{17}{12}\approx 1{,}4166667$ ; $u_{3}\approx 1{,}4142157$. Dès le rang 3, les six premières décimales de $\sqrt{2}$ sont correctes : la convergence est extrêmement rapide.

b) $u_{n+1}^{2}-2=\frac{1}{4}\left(u_{n}+\frac{2}{u_{n}}\right)^{2}-2=\frac{1}{4}\left(u_{n}^{2}+4+\frac{4}{u_{n}^{2}}\right)-2=\frac{1}{4}\left(u_{n}^{2}-4+\frac{4}{u_{n}^{2}}\right)=\frac{1}{4}\left(u_{n}-\frac{2}{u_{n}}\right)^{2}=\left(\frac{u_{n}^{2}-2}{2u_{n}}\right)^{2}$.

c) Initialisation : $u_{0}=2\geq\sqrt{2}$. Hérédité : supposons $u_{n}\geq\sqrt{2}$, donc $u_{n}>0$. D'après la question b), $u_{n+1}^{2}-2$ est un carré, donc positif ou nul : $u_{n+1}^{2}\geq 2$. Comme $u_{n+1}$ est strictement positif (somme de deux positifs divisée par 2), on obtient $u_{n+1}\geq\sqrt{2}$. Conclusion : la propriété est vraie pour tout $n$.

d) $u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{2}\left(u_{n}+\frac{2}{u_{n}}\right)-u_{n}=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{u_{n}}-u_{n}\right)=\frac{2-u_{n}^{2}}{2u_{n}}$. D'après la question c), $u_{n}^{2}\geq 2$, donc le numérateur est négatif ou nul, et le dénominateur strictement positif. La différence est donc négative ou nulle : la suite est décroissante.

e) Décroissante et minorée par $\sqrt{2}$, la suite converge d'après le théorème de convergence monotone. Sa limite $\ell$ vérifie $\ell=\frac{1}{2}\left(\ell+\frac{2}{\ell}\right)$, soit $2\ell^{2}=\ell^{2}+2$, donc $\ell^{2}=2$. Comme tous les termes sont positifs, $\ell=\sqrt{2}$.

a) Diminuer de 20 % revient à multiplier par $0{,}8$, et réintroduire 60 animaux revient à ajouter $0{,}6$ centaine. D'où $u_{n+1}=0{,}8\,u_{n}+0{,}6$. Alors $u_{1}=0{,}8+0{,}6=1{,}4$ ; $u_{2}=0{,}8\times 1{,}4+0{,}6=1{,}72$ ; $u_{3}=0{,}8\times 1{,}72+0{,}6=1{,}976$.

b) Initialisation : $u_{0}=1$ vérifie $0<1<3$. Hérédité : supposons $0<u_{n}<3$. En multipliant par $0{,}8$, qui est positif : $0<0{,}8\,u_{n}<2{,}4$. En ajoutant $0{,}6$ : $0{,}6<u_{n+1}<3$. En particulier $0<u_{n+1}<3$. Conclusion : la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.

c) $u_{n+1}-u_{n}=0{,}8\,u_{n}+0{,}6-u_{n}=0{,}6-0{,}2\,u_{n}=0{,}2(3-u_{n})$. D'après la question b), $u_{n}<3$, donc cette différence est strictement positive : la suite est croissante.

d) Croissante et majorée par 3, la suite converge d'après le théorème de convergence monotone. Sa limite $\ell$ vérifie $\ell=0{,}8\ell+0{,}6$, soit $0{,}2\ell=0{,}6$, donc $\ell=3$. La population se stabilise donc autour de 300 animaux, sans jamais atteindre ce seuil.

e) $v_{n+1}=u_{n+1}-3=0{,}8\,u_{n}+0{,}6-3=0{,}8\,u_{n}-2{,}4=0{,}8(u_{n}-3)=0{,}8\,v_{n}$. La suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $0{,}8$, de premier terme $v_{0}=1-3=-2$. Donc $v_{n}=-2\times 0{,}8^{n}$ et $u_{n}=3-2\times 0{,}8^{n}$. Vérification : $u_{3}=3-2\times 0{,}512=3-1{,}024=1{,}976$.

f) On cherche $u_{n}>2{,}9$, soit $2\times 0{,}8^{n}<0{,}1$, c'est-à-dire $0{,}8^{n}<0{,}05$. En passant au logarithme, et comme $\ln(0{,}8)<0$ inverse l'inégalité : $n>\frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}8)}\approx 13{,}43$. Le plus petit entier convenant est $n=14$. Vérification : $2\times 0{,}8^{13}\approx 0{,}110$, encore supérieur à $0{,}1$, tandis que $2\times 0{,}8^{14}\approx 0{,}088$. La réserve est donc saturée au bout de 14 années.