Exercices corrigés : limites et continuité (Terminale spécialité)

a) On factorise par $n^2$ : $u_n=\frac{n^2(3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2})}{n^2(1+\frac{5}{n^2})}=\frac{3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{5}{n^2}}$. Les termes en $\frac{1}{n}$ tendent vers 0, donc $u_n$ tend vers 3.

b) Le degré du dénominateur dépasse celui du numérateur : $v_n=\frac{n(2+\frac{1}{n})}{n^2(1+\frac{3}{n^2})}=\frac{1}{n}\times\frac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{n^2}}$. Le premier facteur tend vers 0 et le second vers 2, donc $v_n$ tend vers 0.

c) Cette fois le numérateur l'emporte : $w_n=\frac{n^3(1-\frac{1}{n^2})}{n^2(2+\frac{1}{n^2})}=n\times\frac{1-\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n^2}}$. Le second facteur tend vers $\frac{1}{2}$ et $n$ tend vers $+\infty$, donc $w_n$ tend vers $+\infty$.

d) On encadre : $-\frac{1}{n}\leq t_n\leq\frac{1}{n}$. Les deux bornes tendent vers 0, donc par le théorème des gendarmes $t_n$ tend vers 0.

a) On factorise par $x^2$ : $f(x)=\frac{5-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}{2+\frac{1}{x}-\frac{4}{x^2}}$, qui tend vers $\frac{5}{2}$ en $+\infty$ comme en $-\infty$.

b) Le dénominateur est de degré supérieur : $g(x)=\frac{1}{x}\times\frac{3+\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}$, qui tend vers 0.

c) $h(x)=\frac{x^2(1+\frac{1}{x^2})}{x(1-\frac{1}{x})}=x\times\frac{1+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x}}$, qui tend vers $+\infty$.

d) La courbe de $f$ admet la droite d'équation $y=\frac{5}{2}$ comme asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$. Celle de $g$ admet l'axe des abscisses $y=0$. Celle de $h$ n'admet pas d'asymptote horizontale, sa limite étant infinie.

a) En 3, le numérateur tend vers $7>0$ et le dénominateur vers 0. Pour $x>3$, $x-3>0$ donc le quotient tend vers $+\infty$. Pour $x<3$, $x-3<0$ donc il tend vers $-\infty$.

b) La droite d'équation $x=3$ est asymptote verticale à la courbe de $f$.

c) $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ privé de 2. Pour $x\neq 2$ : $g(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$.

d) La limite de $g$ en 2 vaut $2+2=4$, elle est finie. Il n'y a donc aucune asymptote verticale : la courbe de $g$ est la droite $y=x+2$ privée du point d'abscisse 2. La différence vient de ce que le facteur $x-2$ se simplifie, alors que dans le cas de $f$ le numérateur ne s'annule pas en 3.

a) Forme $\frac{0}{0}$. On factorise : $\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-1)}=\frac{x+2}{x-1}$ pour $x\neq 2$. La limite vaut donc $\frac{4}{1}=4$.

b) Forme $\infty-\infty$. On multiplie par la quantité conjuguée : $\sqrt{x^2+x}-x=\frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}$. Pour $x>0$, on factorise par $x$ au dénominateur : $\frac{x}{x(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1)}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}$, qui tend vers $\frac{1}{2}$.

c) Forme $\frac{0}{0}$. Par la quantité conjuguée : $\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}$, qui tend vers $\frac{1}{2}$.

a) $f$ est une fonction polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$.

b) $f(0)=-1$ et $f(1)=1$. Ces deux valeurs sont de signes contraires : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $]0;1[$.

c) $f'(x)=3x^2+1$. Un carré est positif, donc $f'(x)\geq 1>0$ pour tout réel : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

d) La stricte croissance assure l'unicité de la solution, notée $\alpha$. À la calculatrice : $f(0{,}68)\approx -0{,}0056$ et $f(0{,}69)\approx 0{,}0185$. Comme $f$ est croissante et change de signe entre ces deux valeurs, on a $0{,}68<\alpha<0{,}69$.

a) On effectue la division : $2x^2-3x+1=(x-2)(2x+1)+3$. En effet $(x-2)(2x+1)=2x^2-3x-2$, et il faut ajouter 3. Donc $f(x)=2x+1+\frac{3}{x-2}$.

b) En 2, le terme $\frac{3}{x-2}$ domine : pour $x>2$ il tend vers $+\infty$, pour $x<2$ vers $-\infty$. La droite $x=2$ est asymptote verticale.

c) $f(x)-(2x+1)=\frac{3}{x-2}$, qui tend vers 0 quand $x$ tend vers $+\infty$ comme vers $-\infty$. La droite $D$ est donc asymptote oblique aux deux extrémités.

d) Le signe de $f(x)-(2x+1)=\frac{3}{x-2}$ est celui de $x-2$. Pour $x>2$ la différence est positive : la courbe est au-dessus de $D$. Pour $x<2$ elle est négative : la courbe est en dessous.

e) Non. La différence $\frac{3}{x-2}$ ne s'annule jamais, puisque son numérateur vaut 3. La courbe ne coupe donc jamais son asymptote oblique.

a) $f(1)=1-3-1=-3$ et $f(2)=8-6-1=1$. La fonction est polynôme donc continue, et les deux valeurs sont de signes contraires : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet au moins une solution dans $]1;2[$.

b) $f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$. Sur $[1;3]$, on a $x\geq 1$ donc $f'(x)\geq 0$, et $f'$ ne s'annule qu'en 1 : $f$ est strictement croissante sur $[1;3]$. La solution est donc unique.

c) Ce test regarde si $f$ change de signe entre $a$ et le milieu $m$. Si c'est le cas, la solution se trouve dans la moitié gauche et on remplace $b$ par $m$ ; sinon elle est dans la moitié droite et on remplace $a$ par $m$. L'intervalle est divisé par deux à chaque tour.

d) Étape 1 : $m=1{,}5$, $f(1{,}5)=3{,}375-4{,}5-1=-2{,}125$, de même signe que $f(1)$, donc on garde $[1{,}5\ ;\ 2]$. Étape 2 : $m=1{,}75$, $f(1{,}75)=5{,}359375-5{,}25-1=-0{,}890625$, encore négatif, donc on garde $[1{,}75\ ;\ 2]$.

e) En poursuivant : $f(1{,}87)\approx -0{,}0708$ et $f(1{,}88)\approx 0{,}0047$. Donc $1{,}87<\alpha<1{,}88$.

def f(x):
    return x**3 - 3*x - 1

# dichotomie(1, 2, 0.01) renvoie environ (1.87, 1.88)

a) $u_1=\sqrt{2}\approx 1{,}414$ ; $u_2=\sqrt{2+\sqrt{2}}\approx 1{,}848$ ; $u_3\approx 1{,}962$.

b) Initialisation : $u_0=0$ vérifie bien $0\leq 0\leq 2$. Hérédité : supposons $0\leq u_n\leq 2$. Alors $2\leq 2+u_n\leq 4$, donc en prenant la racine carrée, qui est croissante, $\sqrt{2}\leq u_{n+1}\leq 2$. En particulier $0\leq u_{n+1}\leq 2$. La propriété est donc vraie pour tout $n$.

c) $u_{n+1}^2-u_n^2=(2+u_n)-u_n^2=-(u_n^2-u_n-2)=-(u_n-2)(u_n+1)$. Or $0\leq u_n\leq 2$, donc $u_n-2\leq 0$ et $u_n+1>0$ : le produit $(u_n-2)(u_n+1)$ est négatif, et son opposé est positif. Donc $u_{n+1}^2\geq u_n^2$, et comme les termes sont positifs, $u_{n+1}\geq u_n$ : la suite est croissante.

d) La suite est croissante et majorée par 2, donc elle converge vers une limite $\ell$. Cette limite vérifie $\ell=\sqrt{2+\ell}$, donc $\ell^2=2+\ell$, soit $\ell^2-\ell-2=0$, c'est-à-dire $(\ell-2)(\ell+1)=0$. Comme $\ell\geq 0$, on obtient $\ell=2$.

a) Pour tout entier $n\geq 1$, $-1\leq\sin(n)\leq 1$, donc $-\frac{1}{n}\leq u_n\leq\frac{1}{n}$. Les deux bornes tendent vers 0, donc $u_n$ tend vers 0.

b) $v_n=1+\frac{\cos(n)}{n}$, et par le même encadrement $\frac{\cos(n)}{n}$ tend vers 0. Donc $v_n$ tend vers 1.

c) Pour $x\neq 0$, $\left|\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right|\leq 1$, donc $|f(x)|\leq|x|$, c'est-à-dire $-|x|\leq f(x)\leq|x|$. Les deux bornes tendent vers 0 quand $x$ tend vers 0, donc $f(x)$ tend vers 0.

d) Parce que $\sin(n)$ et $\cos(n)$ n'ont pas de limite quand $n$ tend vers $+\infty$ : ils oscillent indéfiniment entre $-1$ et 1. De même $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ n'a pas de limite en 0. Aucun théorème d'opération ne s'applique à une expression sans limite ; seul l'encadrement permet de conclure, en exploitant le fait que ces quantités restent bornées.

a) Faux. La fonction $g(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ n'est pas définie en 2, et pourtant sa limite en 2 vaut 4. L'existence d'une limite en $a$ ne dit rien sur la définition en $a$ : c'est justement la continuité qui exige les deux, plus leur égalité.

b) Faux. La fonction $f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$ admet l'axe des abscisses pour asymptote horizontale en $+\infty$, et pourtant elle le coupe une infinité de fois, en tous les multiples de $\pi$. Une asymptote décrit un comportement à l'infini, pas une barrière.

c) Faux. Le théorème garantit l'existence d'au moins une solution, pas l'unicité. Contre-exemple : $f(x)=x^3-3x+1$ sur $[-2;2]$ vérifie $f(-2)=-1$ et $f(2)=3$, mais l'équation $f(x)=0$ y admet trois solutions. Pour l'unicité il faut ajouter l'hypothèse de stricte monotonie.

d) Faux dans le cas $\infty-\infty$. Avec $f(x)=x+1$ et $g(x)=-x$, les deux ont des limites infinies de signes contraires en $+\infty$, mais leur somme vaut constamment 1 et tend vers 1. Le théorème sur les sommes ne s'applique que si la somme des limites a un sens.