Spécialité maths, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : limites, asymptotes et continuité (Terminale spécialité)

Q: Quelle différence entre le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire ?

Le théorème donne l'existence d'au moins une solution : il suffit que la fonction soit continue et que la valeur cherchée soit comprise entre les images des deux bornes. Le corollaire ajoute la stricte monotonie et donne l'unicité. En pratique, on cite le premier quand l'énoncé dit au moins une, le second quand il dit une unique.

Q: Comment montrer qu'une droite est asymptote oblique à une courbe ?

On calcule la différence entre la fonction et l'équation de la droite, on la réduit au même dénominateur, et on montre que cette différence tend vers zéro quand x tend vers l'infini. Il faut le faire des deux côtés si l'énoncé le demande. Le même calcul sert ensuite pour la position relative : c'est son signe qui dit si la courbe est au-dessus ou en dessous.

Q: Un dénominateur qui s'annule donne-t-il toujours une asymptote verticale ?

Non. Il faut que la limite y soit infinie. Si le numérateur s'annule au même endroit, le facteur commun se simplifie et la limite devient finie : la courbe présente alors un simple trou, pas une asymptote. Le réflexe correct est donc de factoriser avant de conclure, puis de calculer les deux limites unilatérales.

Q: Comment lever une forme indéterminée infini moins infini ?

Deux méthodes seulement en Terminale. S'il y a une racine carrée, on multiplie et on divise par la quantité conjuguée, ce qui transforme la différence en quotient. Sinon, on met en facteur le terme qui domine, puis on conclut par les croissances comparées si une exponentielle ou un logarithme apparaît.

Q: Quand utiliser le théorème des gendarmes ?

Dès qu'un facteur borné, comme un sinus ou un cosinus, multiplie une expression qui tend vers zéro, ou dès que l'énoncé fournit un encadrement. On écrit les deux inégalités en entier, on vérifie que les deux bornes ont la même limite finie, puis on conclut. Une seule inégalité ne suffit jamais : elle laisse la fonction libre de l'autre côté.

Q: Comment encadrer une solution avec une amplitude donnée ?

Par balayage à la calculatrice ou par dichotomie. On cherche deux valeurs distantes de l'amplitude demandée dont les images sont de signes contraires, puis on cite la stricte monotonie pour affirmer que la solution est bien entre les deux. Les deux images doivent apparaître sur la copie, sinon l'encadrement n'est pas justifié.

En Terminale, la question de limites n'est presque jamais un calcul difficile : c'est un calcul court entouré de trois justifications. Le correcteur du baccalauréat compte ces justifications une par une, et une copie qui trouve la bonne valeur sans elles perd la moitié des points de la question.

Cette fiche ne redit pas le cours sur les limites. Elle donne les tableaux des opérations, somme, produit, quotient et croissances comparées, chaque ligne suivie d'un exemple chiffré, puis elle montre les huit endroits où les hypothèses disparaissent, avec la phrase exacte qui les remet, l'arbre qui dit quelle transformation employer selon la forme de l'indétermination, et un exercice type de théorème des valeurs intermédiaires suivi d'une dichotomie, décortiqué ligne par ligne.

Le fil du chapitre

Presque tous les points perdus sur ce chapitre viennent d'une hypothèse sautée : on lit un signe contraire sans avoir dit que la fonction est continue, on annonce une unique solution sans avoir dit qu'elle est monotone, on écrit une asymptote sans avoir calculé la limite qui la définit.

Ce chapitre fait partie de Spécialité mathématiques en Terminale

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (13 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Généralités sur les fonctionsSeconde
2Fonctions affines et systèmesSeconde
3Algorithmique et PythonSeconde
4Les suites numériquesPremière
5La dérivationPremière
6Calcul littéral et équationsQuatrième
7Algorithmique et ScratchQuatrième
8La notion de fonctionTroisième
9Les fonctions linéairesTroisième
10Les fonctions affinesTroisième
11Développer et factoriserTroisième
12Équations, équations produit et inéquationsTroisième
13Algorithmique et ScratchTroisième

Notions couvertes

Formes indéterminées
Limite en l'infini
Asymptote verticale
Asymptote horizontale
Asymptote oblique
Position relative d'une courbe
Continuité sur un intervalle
Théorème des valeurs intermédiaires
Corollaire de la bijection
Méthode de dichotomie
Théorème des gendarmes
Limite d'une fonction composée

L'essentiel

Une asymptote est une LIMITE, pas un trait sur un dessin

• Asymptote horizontale $y=\ell$ en $+\infty$ : cela veut dire $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell$ , et rien d'autre. Il y en a potentiellement une en $+\infty$ et une autre, différente, en $-\infty$ .
• Asymptote verticale $x=a$ : cela veut dire qu'une des deux limites unilatérales en $a$ est INFINIE. Un dénominateur qui s'annule ne suffit pas.
• Asymptote oblique $y=ax+b$ : cela veut dire $\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-(ax+b)\bigr)=0$ . On l'obtient par division euclidienne quand $f$ est un quotient de polynômes.
• Position relative : c'est le SIGNE de $f(x)-(ax+b)$ qui décide, pas l'allure du tracé. Positif, la courbe est au-dessus; négatif, en dessous.

Une seule courbe porte les deux asymptotes : verticale en

x=2

parce que la limite y est infinie, oblique

y=x+1

parce que la différence tend vers

0

Toute phrase du type « la courbe admet une asymptote » doit être précédée sur la copie du calcul de limite correspondant. Sans lui, l'affirmation ne vaut aucun point, même si elle est vraie.

Les quatre indéterminations, et ce qui n'en est pas une

• Indéterminées : $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty-\infty$ , $0\times\infty$ .
• PAS indéterminées : $\frac{5}{0^{+}}=+\infty$ , $\frac{5}{0^{-}}=-\infty$ , $\frac{5}{\infty}=0$ , $\infty+\infty=+\infty$ , $0\times 5=0$ .
• Une indétermination n'est pas un résultat : c'est le constat que la forme ne décide pas, donc l'ordre de transformer l'écriture.
• Croissances comparées, à citer par leur nom : $\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}}=+\infty$ , $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0$ , $\lim_{x\to-\infty}x\mathrm{e}^{x}=0$ et $\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x=0$ .

Écrire « il s'agit d'une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ » avant de factoriser rapporte régulièrement un demi-point : cela prouve que la transformation est justifiée et non décorative.

Le théorème des valeurs intermédiaires : deux énoncés, deux usages

• Version existence : $f$ CONTINUE sur $[a\,;b]$ et $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ $\Rightarrow$ l'équation $f(x)=k$ admet AU MOINS une solution dans $[a\,;b]$ .
• Version bijection, dite corollaire : $f$ continue ET STRICTEMENT MONOTONE sur $[a\,;b]$ $\Rightarrow$ l'équation $f(x)=k$ admet EXACTEMENT une solution.
• La continuité est l'hypothèse la plus importante et la plus oubliée. Elle se justifie par une raison : polynôme, quotient dont le dénominateur ne s'annule pas, composée de fonctions continues.
• Sur un intervalle ouvert ou infini, on remplace $f(a)$ et $f(b)$ par les limites aux bornes, et on l'écrit.

Encadrer plutôt que calculer : gendarmes et comparaison

• Gendarmes : $g(x)\le f(x)\le h(x)$ au voisinage, avec $g$ et $h$ de MÊME limite finie $\ell$ , alors $f(x)\to\ell$ .
• Comparaison : $f(x)\ge g(x)$ et $g(x)\to+\infty$ , alors $f(x)\to+\infty$ . Une seule inégalité suffit, dans le bon sens.
• Le signal de l'énoncé est toujours le même : un facteur borné, typiquement $\sin$ , $\cos$ ou $(-1)^{n}$ , multiplié par quelque chose qui tend vers $0$ .
• Une inégalité STRICTE devient LARGE par passage à la limite : $u_{n}<3$ pour tout $n$ donne seulement $\lim u_{n}\le 3$ .

L'encadrement doit être écrit avant le passage à la limite, avec les deux membres. Passer directement à « donc la limite vaut $0$ » ne rapporte rien, même quand c'est vrai.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Somme : la limite de $f+g$

On substitue, on lit les deux limites, on cherche la ligne. Une seule ligne pose problème, et c'est toujours la même.

$\lim f$	$\lim g$	$\lim (f+g)$
$L$	$L'$	$L+L'$
Exemple : $\lim_{x\to 1}\left(x^{2}+3x\right)=1+3=4$
$L$	$+\infty$	$+\infty$
Exemple : $\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1}{x}+x^{2}\right)=0+\infty=+\infty$
$L$	$-\infty$	$-\infty$
Exemple : $\lim_{x\to+\infty}\left(3-x^{2}\right)=3-\infty=-\infty$
$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$
Exemple : $\lim_{x\to+\infty}\left(x^{2}+\mathrm{e}^{x}\right)=+\infty$ , et il n'y a rien à calculer : 2 termes qui explosent vers le haut ne peuvent pas se compenser.
$-\infty$	$-\infty$	$-\infty$
Exemple : $\lim_{x\to-\infty}\left(x^{3}+2x\right)=-\infty$
$+\infty$	$-\infty$	$\infty-\infty$ forme indéterminée
Exemple : $\lim_{x\to+\infty}\left(x^{2}-x\right)$ : on met $x^{2}$ en facteur, et $x^{2}\left(1-\frac{1}{x}\right)\to+\infty\times 1=+\infty$ . Même forme, autre résultat : $\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-x\right)$ a exactement la même forme et vaut $\frac{1}{2}$ , après multiplication par la quantité conjuguée. Ce qu'il faut faire : Mettre en facteur le terme qui domine, ou multiplier par la quantité conjuguée dès qu'une racine carrée apparaît.

C'est la seule ligne rouge du tableau, et c'est celle qui revient à chaque session : les deux calculs ci-dessus ont la même forme et deux réponses différentes, donc la forme ne décide de rien.

Produit : la limite de $f\times g$

La règle des signes s'applique comme sur des nombres. Le seul cas indéterminé est celui où un facteur tend vers $0$ pendant que l'autre explose : $0$ n'a pas de signe, il ne peut donc pas arbitrer.

$\lim f$	$\lim g$	$\lim (f\times g)$
$L$	$L'$	$L\times L'$
Exemple : $\lim_{x\to 3}\left(x^{2}\times\frac{1}{x}\right)=9\times\frac{1}{3}=3$
$L>0$	$+\infty$	$+\infty$
Exemple : $\lim_{x\to+\infty}\left(3+\frac{1}{x}\right)\mathrm{e}^{x}=3\times(+\infty)=+\infty$
$L<0$	$+\infty$	$-\infty$
Exemple : $\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1}{x}-2\right)x^{2}=(-2)\times(+\infty)=-\infty$
$\pm\infty$	$\pm\infty$	$\pm\infty$ , règle des signes
Exemple : $\lim_{x\to-\infty}x\left(x^{2}+1\right)=(-\infty)\times(+\infty)=-\infty$
$0$	$\pm\infty$	$0\times\infty$ forme indéterminée
Exemple : $\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x=0$ : on réécrit $x\ln x=\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$ et on cite la croissance comparée. Même forme, autre résultat : $\lim_{x\to 0^{+}}x\times\frac{1}{x^{2}}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty$ : même forme $0\times\infty$ , résultat infini. Ce qu'il faut faire : Réécrire le produit en quotient pour retomber sur une croissance comparée, ou développer quand les deux facteurs sont des polynômes.

Ligne 2 et ligne 3 : c'est le SIGNE de la limite finie qui décide, pas celui de la fonction avant le passage à la limite. Une fonction négative sur tout un intervalle peut très bien avoir une limite positive.

Quotient : la limite de $\frac{f}{g}$

Deux lignes seulement sont indéterminées. La ligne vraiment dangereuse n'en est pas une : c'est celle où le dénominateur tend vers $0$ , où tout se joue sur le SIGNE de ce zéro.

$\lim f$	$\lim g$	$\lim \frac{f}{g}$
$L$	$L'\neq 0$	$\frac{L}{L'}$
Exemple : $\lim_{x\to 1}\frac{x+3}{x^{2}+1}=\frac{4}{2}=2$
$L$	$\pm\infty$	$0$
Exemple : $\lim_{x\to+\infty}\frac{7}{x^{2}+1}=0$ : c'est cette ligne qui donne l'asymptote horizontale $y=0$ .
$\pm\infty$	$L'\neq 0$	$\pm\infty$ , règle des signes
Exemple : $\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{x-4}=\frac{-\infty}{-4}=+\infty$ : les deux signes négatifs se compensent.
$L\neq 0$	$0^{+}$ ou $0^{-}$	$\pm\infty$ , règle des signes
Exemple : $\lim_{x\to 2^{+}}\frac{5}{x-2}=+\infty$ car $x-2$ vaut $0^{+}$ , alors que $\lim_{x\to 2^{-}}\frac{5}{x-2}=-\infty$ car $x-2$ vaut $0^{-}$ . Deux réponses opposées pour un seul point.
$0$	$0$	$\frac{0}{0}$ forme indéterminée
Exemple : $\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-9}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x+3)=6$ , après factorisation par $(x-3)$ . Même forme, autre résultat : $\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)^{2}}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x-3)=0$ : même forme $\frac{0}{0}$ , résultat $0$ au lieu de $6$ . Ce qu'il faut faire : Factoriser par $(x-a)$ en haut ET en bas, le facteur commun est toujours celui-là, puis simplifier. Avec une racine carrée, multiplier par la quantité conjuguée.
$\pm\infty$	$\pm\infty$	$\frac{\infty}{\infty}$ forme indéterminée
Exemple : $\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^{2}-x}{5x^{2}+1}=\frac{3}{5}$ , après mise en facteur de $x^{2}$ en haut et en bas. Même forme, autre résultat : $\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}=+\infty$ : même forme $\frac{\infty}{\infty}$ , résultat infini. Ce qu'il faut faire : Mettre en facteur le terme de plus haut degré en haut et en bas, puis simplifier. Dès qu'une exponentielle ou un logarithme apparaît, citer la croissance comparée.

La case $\frac{L}{0}$ n'existe pas dans ce tableau : tant que le zéro n'est pas écrit $0^{+}$ ou $0^{-}$ , la ligne 4 n'est pas remplie et la limite n'est pas calculée. Le signe se lit sur un tableau de signes du dénominateur, jamais sur le tracé.

Les limites de référence : la forme dit indéterminé, le cours dit la réponse

Ces six limites se citent par leur nom, sans redémonstration. Chacune part d'une forme indéterminée, et c'est exactement pour cela qu'elles figurent au programme.

Limite	Forme apparente	Valeur
$\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}}$	$\frac{\infty}{\infty}$	$+\infty$
Exemple : Avec $n=3$ , le quotient dépasse déjà $60\,000$ en $x=20$ : l'exponentielle écrase toute puissance, aussi grande soit-elle.
$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^{n}}$	$\frac{\infty}{\infty}$	$0$
Exemple : Avec $n=1$ , en $x=1000$ le quotient vaut environ $0{,}0069$ : le logarithme perd contre toute puissance.
$\lim_{x\to-\infty}x^{n}\mathrm{e}^{x}$	$\infty\times 0$	$0$
Exemple : Avec $n=2$ , en $x=-20$ le produit vaut environ $8\times 10^{-7}$ , déjà indiscernable de zéro.
$\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x$	$0\times\infty$	$0$
Exemple : En $x=0{,}001$ , le produit vaut environ $-0{,}0069$ : la limite est bien $0$ , mais atteinte par valeurs négatives, ce que le tableau de signes doit refléter.
$\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}$	$\frac{0}{0}$	$1$
Exemple : C'est le nombre dérivé de l'exponentielle en $0$ . En $x=0{,}01$ , le quotient vaut environ $1{,}005$ .
$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}$	$\frac{0}{0}$	$1$
Exemple : C'est le nombre dérivé du logarithme en $1$ . En $x=0{,}01$ , le quotient vaut environ $0{,}995$ .

Sur une copie, ces limites s'invoquent en une phrase, « par croissances comparées, $\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{3}}=+\infty$ », et la phrase suffit. Les redémontrer ne rapporte aucun point et coûte cinq minutes.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sans vérifier la continuité

1 point sur 3, et la conclusion peut être franchement fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(0)=-1$ et $f(2)=1$ sont de signes contraires, donc l'équation $f(x)=0$ admet une solution sur $[0\,;2]$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f$ est définie et continue sur $[0\,;2]$ comme quotient dont le dénominateur ne s'annule pas sur cet intervalle; de plus $f(0)=-1<0<1=f(2)$ . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $]0\,;2[$ . »

Les deux points marqués sont bien de signes contraires, et pourtant la courbe ne coupe jamais l'axe : elle passe d'un côté à l'autre par l'infini en

x=1

. Sans continuité, le théorème ne dit rien.

Pourquoi : Le changement de signe ne garantit rien sur une fonction qui saute. La fonction $x\mapsto\frac{1}{x-1}$ vaut $-1$ en $0$ et $1$ en $2$ sans jamais s'annuler : elle traverse l'axe par l'infini, pas par une valeur.

2. Conclure à l'unicité de la solution avec le seul théorème des valeurs intermédiaires

1 point, celui de l'unicité, systématiquement compté à part

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f$ est continue et $f(-2)<0<f(2)$ , donc l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[-2\,;2]$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f$ est continue sur $[-2\,;2]$ et $f(-2)<0<f(2)$ , donc l'équation admet AU MOINS une solution. De plus $f$ est strictement croissante sur $[-2\,;2]$ car $f'(x)>0$ , donc cette solution est UNIQUE. »

f(-2)=-2

f(2)=2

sont bien de signes contraires, et la fonction est continue : le théorème s'applique. Il annonce au moins une solution, et il y en a trois. L'unicité vient de la monotonie, jamais du signe.

Pourquoi : Le théorème donne l'existence, la stricte monotonie donne l'unicité. Sans elle, une fonction continue peut traverser l'axe trois fois entre deux bornes de signes contraires.

3. Traiter $\infty-\infty$ comme une soustraction de nombres

2 points, et la valeur annoncée est fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-x\right)=+\infty-\infty=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Il s'agit d'une forme indéterminée $\infty-\infty$ . On multiplie par la quantité conjuguée : $\sqrt{x^{2}+x}-x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}\to\frac{1}{2}$ . »

Pourquoi : $\infty$ n'est pas un nombre : deux quantités qui explosent peuvent avoir une différence nulle, finie ou infinie. Seule la transformation de l'écriture décide, et pour une racine c'est toujours le conjugué.

4. Annoncer une asymptote verticale parce qu'un dénominateur s'annule

1 point, et l'étude de la courbe part de travers

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=\frac{x^{2}-9}{x-3}$ n'est pas définie en $3$ , donc la droite $x=3$ est asymptote verticale. »

Ce qu'il faut écrire

« Pour $x\neq 3$ , $f(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ , donc $\lim_{x\to 3}f(x)=6$ : la limite est FINIE, il n'y a pas d'asymptote verticale, seulement un point exclu du domaine. »

Pourquoi : L'asymptote verticale se définit par une limite infinie, pas par une valeur interdite. Quand le numérateur s'annule au même point, le facteur se simplifie et il ne reste qu'un trou dans la courbe.

5. Lire la position relative de la courbe et de son asymptote sur le dessin

toute la question, environ 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Sur le graphique, la courbe est au-dessus de son asymptote, donc $\mathcal{C}$ est au-dessus de $\Delta$ sur $\mathbb{R}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Étudions le signe de $f(x)-(x+1)=\frac{1}{x-2}$ : il est positif pour $x>2$ et négatif pour $x<2$ . La courbe est donc au-dessus de $\Delta$ sur $]2\,;+\infty[$ et en dessous sur $]-\infty\,;2[$ . »

Pourquoi : La calculatrice ne distingue pas deux courbes qui se rapprochent : à l'écran elles sont confondues bien avant la limite. Seul le signe de la différence tranche, et il change souvent de part et d'autre de la valeur interdite.

6. Encadrer d'un seul côté et invoquer les gendarmes

1 point : le théorème est cité sans que ses hypothèses soient réunies

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{\sin x}{x}\le\frac{1}{x}$ et $\frac{1}{x}\to 0$ , donc par le théorème des gendarmes $\frac{\sin x}{x}\to 0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Pour $x>0$ , $-1\le\sin x\le 1$ donc $-\frac{1}{x}\le\frac{\sin x}{x}\le\frac{1}{x}$ . Les deux bornes tendent vers $0$ en $+\infty$ , donc d'après le théorème des gendarmes $\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0$ . »

Les deux gendarmes se referment sur l'axe et écrasent l'oscillation avec eux. Retirez celui du bas et rien n'empêche plus la courbe de descendre : c'est pourquoi une seule inégalité ne conclut jamais.

Pourquoi : Une majoration seule n'empêche pas la fonction de partir vers $-\infty$ . Les gendarmes tiennent des deux côtés, d'où leur nom : il faut écrire les DEUX inégalités, et vérifier que les deux bornes ont la même limite.

7. Écrire $\frac{1}{0}=+\infty$ sans regarder de quel côté

1 point, et le tableau de variations devient incohérent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\lim_{x\to 2}\frac{1}{x-2}=+\infty$ car le dénominateur tend vers $0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Pour $x>2$ , $x-2\to 0^{+}$ donc $\lim_{x\to 2^{+}}\frac{1}{x-2}=+\infty$ ; pour $x<2$ , $x-2\to 0^{-}$ donc $\lim_{x\to 2^{-}}\frac{1}{x-2}=-\infty$ . La limite en $2$ n'existe pas, mais la droite $x=2$ est asymptote verticale. »

Pourquoi : Un quotient dont le dénominateur tend vers $0$ a une limite infinie SIGNÉE, et le signe vient du côté d'approche. Écrire $0^{+}$ ou $0^{-}$ sur la copie est le geste qui rapporte le point.

8. Conserver une inégalité stricte en passant à la limite

0,5 point, mais la suite du raisonnement s'écroule parfois avec

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $u_{n}<3$ pour tout $n$ , donc $\lim u_{n}<3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $u_{n}<3$ pour tout $n$ , donc par passage à la limite $\lim u_{n}\le 3$ . »

Pourquoi : Le passage à la limite conserve les inégalités LARGES, jamais les strictes. La suite $u_{n}=3-\frac{1}{n}$ vérifie $u_{n}<3$ à tous les rangs et converge exactement vers $3$ .

Quelle méthode choisir

Quelle transformation pour quelle indétermination

On lit la FORME obtenue après substitution, avant de chercher une idée. Chaque forme a une seule méthode standard en Terminale.

Si $\frac{\infty}{\infty}$ avec un quotient de polynômes en $\pm\infty$ → factoriser le terme de plus haut degré en haut ET en bas, puis simplifier

Exemple : $\frac{3x^{2}-x}{5x^{2}+1}=\frac{x^{2}\left(3-\frac{1}{x}\right)}{x^{2}\left(5+\frac{1}{x^{2}}\right)}\to\frac{3}{5}$

Le raccourci « rapport des coefficients dominants » donne la réponse mais pas les points : la factorisation écrite vaut la moitié de la question.
Si $\infty-\infty$ avec une racine carrée → multiplier et diviser par la quantité conjuguée

Exemple : $\sqrt{x^{2}+x}-x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x}\to\frac{1}{2}$
Si $\infty-\infty$ sans racine, entre polynômes ou entre $\mathrm{e}^{x}$ et $x$ → mettre en facteur le terme qui domine, puis conclure par croissances comparées

Exemple : $\mathrm{e}^{x}-x^{3}=x^{3}\left(\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{3}}-1\right)\to+\infty$
Si $\frac{0}{0}$ avec des polynômes → factoriser par $(x-a)$ en haut et en bas, le facteur commun est toujours celui-là

Exemple : $\frac{x^{2}-9}{x-3}=x+3\to 6$ quand $x\to 3$
Si $0\times\infty$ avec un logarithme ou une exponentielle → réécrire en quotient pour retomber sur une croissance comparée connue

Exemple : $x\ln x=\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}\to 0$ quand $x\to 0^{+}$
Si un facteur borné ( $\sin$ , $\cos$ ) multiplie une expression qui tend vers $0$ → théorème des gendarmes, avec les deux inégalités écrites

Exemple : $-\frac{1}{x}\le\frac{\sin x}{x}\le\frac{1}{x}$ donne $0$ en $+\infty$

Aucune branche ne s'applique ? Il n'y a probablement pas d'indétermination : substituez et lisez la réponse. En Terminale, la règle de L'Hospital n'est pas au programme et son emploi est refusé au baccalauréat.

Quel théorème pour quel verbe d'énoncé

La formulation exacte de la question désigne l'outil, et le baccalauréat n'en emploie que cinq sur ce chapitre.

Si « montrer que l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution » → théorème des valeurs intermédiaires, continuité justifiée par sa raison

Exemple : $f$ polynôme donc continue, $f(0)<k<f(2)$ , donc au moins une solution
Si « montrer que l'équation admet une UNIQUE solution » → TVI pour l'existence, PUIS stricte monotonie pour l'unicité, en deux phrases séparées

Exemple : $f'(x)=3x^{2}+1>0$ , donc $f$ est strictement croissante et la solution est unique
Si « donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$ » → dichotomie ou balayage à la calculatrice, avec les deux valeurs de signes contraires écrites

Exemple : $f(1{,}2)<0<f(1{,}3)$ donne $1{,}2<\alpha<1{,}3$
Si « la courbe admet-elle une asymptote » → calcul de limite, puis phrase de conclusion nommant la droite et sa nature
Si « étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et de $\Delta$ » → signe de la différence $f(x)-(ax+b)$ , présenté dans un tableau de signes

Le mot « conjecturer » n'appelle aucun théorème : il demande la calculatrice et une phrase au conditionnel. La démonstration est toujours la question suivante, et elle rapporte trois fois plus.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Le théorème des valeurs intermédiaires avec unicité, rédigé pour le correcteur

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé demande de montrer qu'une équation admet une unique solution sur un intervalle, sans la calculer.

1 Ramener l'équation à la forme $f(x)=0$ ou $f(x)=k$ , en nommant $f$ : « Posons $f(x)=x^{3}+x-3$ sur $[0\,;2]$ . »
2 Justifier la continuité par sa RAISON, jamais par « c'est évident » : « $f$ est une fonction polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$ , en particulier sur $[0\,;2]$ . »
3 Calculer et écrire les deux valeurs aux bornes : « $f(0)=-3$ et $f(2)=7$ . »
4 Énoncer l'encadrement de la cible : « $0$ est compris entre $f(0)=-3$ et $f(2)=7$ . »
5 Démontrer la stricte monotonie par le signe de la dérivée : « $f'(x)=3x^{2}+1>0$ sur $[0\,;2]$ , donc $f$ est strictement croissante. »
6 Conclure en une seule phrase qui nomme le théorème et distingue existence et unicité.

Phrase de conclusion

$f$ est continue et strictement croissante sur $[0\,;2]$ , et $0$ est compris entre $f(0)=-3$ et $f(2)=7$ ; d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;2[$ .

Le piège : Sauter l'étape de la dérivée. Une copie qui conclut à l'unicité sans avoir écrit $f'(x)>0$ perd le point de l'unicité même si la fonction est effectivement monotone.

Barème : En général 1 point pour la continuité justifiée, 1 point pour les valeurs aux bornes, 1 point pour la monotonie, 1 point pour la conclusion nommant le théorème.

Démontrer une asymptote oblique et placer la courbe

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une droite $\Delta$ d'équation $y=ax+b$ et demande de montrer qu'elle est asymptote, puis la position relative.

1 Écrire la différence et la réduire : « $f(x)-(x+1)=\frac{x^{2}-x-1}{x-2}-(x+1)=\frac{1}{x-2}$ . »
2 Calculer la limite de cette différence en $+\infty$ , puis en $-\infty$ : « $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x-2}=0$ . »
3 Conclure sur la nature de la droite avec la phrase type, en $+\infty$ ET en $-\infty$ .
4 Étudier le SIGNE de la même différence, dans un tableau, en repérant la valeur interdite.
5 Traduire chaque signe en position : positif au-dessus, négatif en dessous, avec les intervalles.

Phrase de conclusion

$\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-(x+1)\bigr)=0$ , donc la droite $\Delta$ d'équation $y=x+1$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .

Le piège : Calculer la différence, trouver $0$ , et s'arrêter là. La position relative est presque toujours la question suivante, et elle se traite avec le MÊME calcul : on n'a qu'à en lire le signe au lieu de la limite.

Barème : 1 point pour la réduction de la différence, 1 point pour la limite et la phrase, 1 à 2 points pour le tableau de signes et la conclusion en intervalles.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Remplacer mentalement par les termes dominants

En $\pm\infty$ , ne garder que le terme de plus haut degré en haut et en bas. Le rapport obtenu doit coïncider avec le résultat rédigé, sinon la factorisation est fausse.

$\frac{3x^{2}-x}{5x^{2}+1}$ se lit $\frac{3x^{2}}{5x^{2}}=\frac{3}{5}$ en trois secondes; un résultat annoncé à $0$ signale un degré mal compté.
Évaluer en un grand nombre à la calculatrice

Une limite en $+\infty$ se contrôle en calculant $f(10^{6})$ . Une limite en un point se contrôle en calculant $f(a+10^{-3})$ ET $f(a-10^{-3})$ , pour attraper les limites infinies non signées.

Une limite annoncée à $+\infty$ mais un $f(1{,}999)=-1000$ à l'écran dit que le signe du dénominateur a été mal lu.
Vérifier un encadrement par ses deux bornes

Après une dichotomie, calculer $f$ aux deux bornes trouvées : elles doivent être de signes CONTRAIRES. Une seule des deux hors du bon signe, et l'encadrement est faux.

$f(1{,}2)=-0{,}072<0$ et $f(1{,}3)=0{,}497>0$ valident l'encadrement $1{,}2<\alpha<1{,}3$ .
Contrôler qu'une asymptote horizontale et une asymptote oblique ne coexistent pas du même côté

Une courbe a, en $+\infty$ , soit une asymptote horizontale, soit une asymptote oblique, soit ni l'une ni l'autre. Trouver les deux du même côté signale une erreur de degré.

Un quotient de degré $2$ sur degré $1$ ne peut pas avoir d'asymptote horizontale : la différence de degrés vaut $1$ , donc c'est une oblique.
Relire les hypothèses écrites avant la conclusion

Sur toute question de TVI, compter sur la copie : continuité justifiée, valeurs aux bornes calculées, monotonie si l'unicité est demandée. Trois lignes, trois points.

Une conclusion qui dit « unique » alors que la dérivée n'apparaît nulle part : le point de l'unicité est perdu, quelle que soit la qualité du reste.

L'exercice type décortiqué

Existence, unicité et encadrement, comme à l'épreuve écrite

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^{3}+x-3$ .

1. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0\,;2]$ . 2. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$ . 3. Justifier que $\alpha$ est la seule solution sur $\mathbb{R}$ tout entier.

Étape 1

$f$ est une fonction polynôme, donc continue et dérivable sur $\mathbb{R}$ , en particulier sur $[0\,;2]$ .

Pourquoi

C'est la ligne que les copies sautent, et c'est celle qui vaut un point. « Polynôme donc continue » est une RAISON; « $f$ est continue » tout seul est une affirmation.

Étape 2

$f(0)=-3$ et $f(2)=8+2-3=7$ . Ainsi $f(0)<0<f(2)$ : le réel $0$ est compris entre $f(0)$ et $f(2)$ .

Pourquoi

Il faut écrire les deux nombres, pas seulement dire qu'ils sont de signes contraires. C'est l'encadrement de la cible, pas le signe, qui est l'hypothèse du théorème.

Étape 3

$f'(x)=3x^{2}+1$ . Or $3x^{2}\ge 0$ , donc $f'(x)\ge 1>0$ pour tout réel $x$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Pourquoi

La minoration $f'(x)\ge 1$ est plus forte et plus courte que l'étude du signe d'un trinôme. Elle servira une seconde fois à la question 3, sur $\mathbb{R}$ entier.

Étape 4

$f$ étant continue et strictement croissante sur $[0\,;2]$ et $0$ étant compris entre $f(0)$ et $f(2)$ , le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;2[$ .

Pourquoi

Une seule phrase, mais elle reprend les trois hypothèses dans l'ordre où elles ont été démontrées. Un correcteur peut cocher trois cases sans relire ce qui précède.

Étape 5

Balayage : $f(1{,}2)=1{,}728+1{,}2-3=-0{,}072<0$ et $f(1{,}3)=2{,}197+1{,}3-3=0{,}497>0$ . Comme $f$ est strictement croissante, $1{,}2<\alpha<1{,}3$ .

Pourquoi

Les deux valeurs doivent être de signes CONTRAIRES et distantes de $10^{-1}$ exactement. Citer à nouveau la croissance stricte est ce qui autorise à conclure que $\alpha$ est entre les deux et nulle part ailleurs.

Étape 6

Sur $\mathbb{R}$ : $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ , et $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . L'équation $f(x)=0$ admet donc une unique solution sur $\mathbb{R}$ , qui est $\alpha$ .

Pourquoi

Sur un intervalle non borné, on remplace $f(a)$ et $f(b)$ par les LIMITES aux bornes. C'est la seule adaptation du théorème, et elle doit être écrite explicitement.

Étape 7

Vérification : $f(1{,}213)\approx 1{,}784+1{,}213-3\approx-0{,}003$ et $f(1{,}214)\approx 0{,}002$ , ce qui confirme $\alpha\approx 1{,}213$ , bien situé dans $]1{,}2\,;1{,}3[$ .

Pourquoi

Trente secondes de calculatrice qui valident l'encadrement rendu. Une valeur approchée hors de l'intervalle annoncé signale une erreur de signe dans le balayage.

Conclusion rédigée

L'équation $x^{3}+x-3=0$ admet une unique solution réelle $\alpha$ , encadrée par $1{,}2<\alpha<1{,}3$ , l'unicité venant de la stricte croissance de $f$ sur $\mathbb{R}$ et non du théorème des valeurs intermédiaires seul.

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire « $f(0)$ et $f(2)$ sont de signes contraires donc il y a une unique solution ». Cette phrase mélange les deux théorèmes : le signe contraire donne l'existence, la croissance stricte donne l'unicité, et elles se rédigent séparément.

À savoir par cœur

• Asymptote = limite. Verticale, la limite est infinie; horizontale, elle est finie à l'infini; oblique, c'est la DIFFÉRENCE qui tend vers $0$ .
• Position relative : signe de $f(x)-(ax+b)$ , jamais l'allure du tracé.
• TVI : continuité + valeur intermédiaire $\Rightarrow$ AU MOINS une solution. Unicité : + stricte monotonie.
• La continuité se justifie par une raison : polynôme, quotient à dénominateur non nul, composée de fonctions continues.
• Gendarmes : DEUX inégalités, et les deux bornes de même limite finie. Une seule ne conclut rien.
• $\frac{5}{0}$ n'a pas de sens : il faut $0^{+}$ ou $0^{-}$ , et le signe vient du côté d'approche.
• Une inégalité stricte devient large par passage à la limite : $u_{n}<3$ donne $\lim u_{n}\le 3$ .
• Croissances comparées : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, toute puissance l'emporte sur le logarithme.

Questions fréquentes

Quelle différence entre le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire ?

Le théorème donne l'existence d'au moins une solution : il suffit que la fonction soit continue et que la valeur cherchée soit comprise entre les images des deux bornes. Le corollaire ajoute la stricte monotonie et donne l'unicité. En pratique, on cite le premier quand l'énoncé dit au moins une, le second quand il dit une unique.

Comment montrer qu'une droite est asymptote oblique à une courbe ?

On calcule la différence entre la fonction et l'équation de la droite, on la réduit au même dénominateur, et on montre que cette différence tend vers zéro quand x tend vers l'infini. Il faut le faire des deux côtés si l'énoncé le demande. Le même calcul sert ensuite pour la position relative : c'est son signe qui dit si la courbe est au-dessus ou en dessous.

Un dénominateur qui s'annule donne-t-il toujours une asymptote verticale ?

Non. Il faut que la limite y soit infinie. Si le numérateur s'annule au même endroit, le facteur commun se simplifie et la limite devient finie : la courbe présente alors un simple trou, pas une asymptote. Le réflexe correct est donc de factoriser avant de conclure, puis de calculer les deux limites unilatérales.

Comment lever une forme indéterminée infini moins infini ?

Deux méthodes seulement en Terminale. S'il y a une racine carrée, on multiplie et on divise par la quantité conjuguée, ce qui transforme la différence en quotient. Sinon, on met en facteur le terme qui domine, puis on conclut par les croissances comparées si une exponentielle ou un logarithme apparaît.

Quand utiliser le théorème des gendarmes ?

Dès qu'un facteur borné, comme un sinus ou un cosinus, multiplie une expression qui tend vers zéro, ou dès que l'énoncé fournit un encadrement. On écrit les deux inégalités en entier, on vérifie que les deux bornes ont la même limite finie, puis on conclut. Une seule inégalité ne suffit jamais : elle laisse la fonction libre de l'autre côté.

Comment encadrer une solution avec une amplitude donnée ?

Par balayage à la calculatrice ou par dichotomie. On cherche deux valeurs distantes de l'amplitude demandée dont les images sont de signes contraires, puis on cite la stricte monotonie pour affirmer que la solution est bien entre les deux. Les deux images doivent apparaître sur la copie, sinon l'encadrement n'est pas justifié.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Limites et continuité

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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Fiche de révision : limites, asymptotes et continuité (Terminale spécialité)

L'essentiel

Une asymptote est une LIMITE, pas un trait sur un dessin

Les quatre indéterminations, et ce qui n'en est pas une

Le théorème des valeurs intermédiaires : deux énoncés, deux usages

Encadrer plutôt que calculer : gendarmes et comparaison

Les règles de calcul en tableau

Somme : la limite de f+gf+gf+g

Produit : la limite de f×gf\times gf×g

Quotient : la limite de fg\frac{f}{g}gf​

Les limites de référence : la forme dit indéterminé, le cours dit la réponse

Les pièges qui coûtent des points

1. Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sans vérifier la continuité

2. Conclure à l'unicité de la solution avec le seul théorème des valeurs intermédiaires

3. Traiter ∞−∞\infty-\infty∞−∞ comme une soustraction de nombres

4. Annoncer une asymptote verticale parce qu'un dénominateur s'annule

5. Lire la position relative de la courbe et de son asymptote sur le dessin

6. Encadrer d'un seul côté et invoquer les gendarmes

7. Écrire 10=+∞\frac{1}{0}=+\infty01​=+∞ sans regarder de quel côté

8. Conserver une inégalité stricte en passant à la limite

Quelle méthode choisir

Quelle transformation pour quelle indétermination

Quel théorème pour quel verbe d'énoncé

La rédaction attendue

Le théorème des valeurs intermédiaires avec unicité, rédigé pour le correcteur

Démontrer une asymptote oblique et placer la courbe

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Existence, unicité et encadrement, comme à l'épreuve écrite

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quelle différence entre le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire ?

Comment montrer qu'une droite est asymptote oblique à une courbe ?

Un dénominateur qui s'annule donne-t-il toujours une asymptote verticale ?

Comment lever une forme indéterminée infini moins infini ?

Quand utiliser le théorème des gendarmes ?

Comment encadrer une solution avec une amplitude donnée ?

Exercices corrigés : Limites et continuité

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Somme : la limite de $f+g$

Produit : la limite de $f\times g$

Quotient : la limite de $\frac{f}{g}$

3. Traiter $\infty-\infty$ comme une soustraction de nombres

7. Écrire $\frac{1}{0}=+\infty$ sans regarder de quel côté