Terminale • Lycée • Montréal

Maths expertes en Terminale

L'option maths expertes s'adresse aux élèves qui visent une classe préparatoire ou une école d'ingénieur, et son niveau d'abstraction est nettement supérieur à celui de la spécialité. Les nombres complexes et l'arithmétique y sont traités pour eux-mêmes.

5 séries d'exercices entièrement corrigés (91 exercices), 5 fiches de révision, un examen blanc. Gratuit, sans compte.

1 Les nombres complexes Forme algébrique et conjugué, module et argument, passage à la forme exponentielle, équations du second degré à discriminant négatif, interprétation géométrique des affixes, puis une partie de problèmes au niveau des devoirs de l'année : formule de Moivre, racines n-ièmes de l'unité, ensembles de points définis par une condition de module, et le triangle équilatéral formé par les racines cubiques de 1. Une partie C ajoute cinq classiques : une équation qui mêle z et son conjugué, les racines carrées d'un complexe par les deux méthodes, la linéarisation par les formules d'Euler, une suite de points qui s'enroule vers l'origine, et les formules de cos 3θ et sin 3θ tirées de Moivre. Une partie D fait les démonstrations du programme : conjugué et module d'un produit, d'un inverse, d'une puissance, formule du binôme, ensemble U des complexes de module 1, formules d'addition et de duplication, et l'équation az = b. En ouverture, deux exercices de calculs : vingt calculs directs, des opérations sous forme algébrique aux puissances par la formule de Moivre. Fiche
2 Les équations polynomiales La partie polynomiale du chapitre des nombres complexes, avec ses trois démonstrations au programme : la factorisation de z puissance n moins a puissance n, la factorisation par z moins a dès qu'on tient une racine, et le fait qu'un polynôme de degré n n'a jamais plus de n racines. Le second degré à discriminant négatif, la racine évidente à chercher puis l'identification des coefficients, les racines conjuguées d'un polynôme à coefficients réels, les formules de Viète appliquées sans connaître les racines, le cosinus de deux pi sur cinq et le pentagone, et l'équation de Bombelli résolue par la méthode de Cardan. En ouverture, un exercice de calculs : dix équations polynomiales à résoudre directement dans C, du second degré à discriminant négatif au degré 3 factorisé. Fiche
3 L'arithmétique Division euclidienne, algorithme d'Euclide, congruences et critères de divisibilité, décomposition en facteurs premiers, puis une partie de problèmes au niveau des devoirs de l'année : coefficients de Bézout remontés à la main, résolution complète d'une équation diophantienne, théorème de Gauss, restes de très grandes puissances par le petit théorème de Fermat, et les quatre implications fausses que le chapitre inspire. Une partie C ajoute cinq classiques : des équations rendues impossibles par un bon module, la clé de contrôle d'un code-barres, un carrelage et des phares réglés par PGCD et PPCM, le chiffrement affine et son inverse modulo 26, et le trésor des pirates résolu par un système de congruences. Une partie D fait les démonstrations et les algorithmes du programme : l'infinité des nombres premiers, le PGCD écrit ax + by et le théorème de Bézout, le théorème de Gauss et ses conséquences, le crible d'Ératosthène et la décomposition en facteurs premiers en Python. En ouverture, deux exercices de calculs directs, dix restes par les congruences puis neuf PGCD et couples de Bézout. Fiche
4 Les matrices Opérations et produit matriciel, non-commutativité, inverse d'une matrice carrée d'ordre 2, résolution d'un système par l'inverse, puissances, puis une partie de problèmes au niveau des devoirs de l'année : suites couplées résolues par changement d'inconnues, graphe probabiliste et état stable, expression explicite d'une puissance n-ième, et un modèle de population où le carré de la matrice est une homothétie. Une partie C ajoute cinq classiques : inverser une matrice 3 × 3 grâce à un produit et résoudre un système, une relation du second degré qui donne l'inverse et les puissances, deux lacs pollués modélisés par une suite matricielle avec rejets, le chiffrement de Hill, et les matrices qui commutent avec une matrice donnée. Une partie D représente trois transformations du plan, quart de tour, symétrie et homothétie, lit une matrice sur une figure et calcule ses puissances. En ouverture, deux exercices de calculs : dix-huit calculs directs, des produits et puissances de matrices à l'inverse d'une matrice 2 × 2 et aux systèmes. Fiche
5 Graphes et chaînes de Markov Série illustrée. Vocabulaire et matrice d'adjacence, lemme des poignées de main, comptage des chemins par les puissances de la matrice, matrice de transition, distribution après n étapes et état stable, puis une partie de problèmes au niveau des devoirs de l'année : chaîne à trois états résolue par système, marche aléatoire sur un graphe dont la distribution invariante est proportionnelle aux degrés, démonstration complète de la convergence à deux états par une suite géométrique auxiliaire, quatre affirmations fausses sur les chaînes périodiques et les distributions non normalisées, et un modèle de mobilité hebdomadaire avec seuil par logarithme. Une partie C ajoute cinq classiques : un graphe orienté de sites qui se citent, le graphe complet et les poignées de main, une chaîne de Markov à état absorbant, le classement de pages web par une marche aléatoire, et le modèle d'Ehrenfest, chaîne périodique qui ne converge pas. Une partie D démontre que les puissances de la matrice comptent les chemins, et fait construire le graphe pondéré d'une chaîne de Markov avant de l'exploiter. Fiche

Quand les chapitres sont faits

Une épreuve complète, en conditions d'examen. À faire une fois derrière vous les chapitres qu'elle couvre : elle mesure ce que vous savez faire sur une question jamais vue.

Examen blanc

Examen de synthèse

Devoir de synthèse sur tout le programme de l'option, 12 exercices sur 100 points en 3 heures, quatre parties sur 25. Nombres complexes : équation de degré trois et triangle de ses racines, nature d'un triangle lue sur un quotient, six racines et hexagone régulier. Arithmétique : cycle des puissances contre petit théorème de Fermat, équation diophantienne résolue par Bézout et Gauss, fraction toujours irréductible et critère de divisibilité par onze démontré. Matrices et graphes : suites entrelacées résolues par deux invariants, deux sommets que la matrice ne distingue pas, chaîne de Markov à trois plateformes. Problèmes de synthèse : une rotation vue comme complexe puis comme matrice, les sommes de deux carrés traitées par la norme complexe, et cinq affirmations fausses à corriger.

12 exercices
100 points
180 minutes

Passer l'épreuve

Ce qu'il faut tenir avant

Le programme de mathématiques expertes en Terminale s'appuie sur 5 chapitres venus d'avant. Ce ne sont pas des révisions de confort : chacun est le point d'appui d'un chapitre listé ci-dessus, et un élève qui décroche en cours d'année décroche presque toujours sur l'un d'eux. Tous ont leur fiche de révision, à lire d'une traite avant la rentrée.