Maths expertes, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : les équations polynomiales dans les complexes (maths expertes)

Q: Comment résoudre une équation de degré 3 dans les complexes en maths expertes ?

On cherche d'abord une racine, donnée par l'énoncé ou trouvée en testant les petits diviseurs du terme constant. On factorise ensuite le polynôme par z moins cette racine, en identifiant les coefficients du quotient de degré deux. Il reste à résoudre ce trinôme avec le discriminant, qui donne deux racines conjuguées s'il est négatif.

Q: Un polynôme de degré n a-t-il toujours n racines ?

Le programme de maths expertes démontre seulement qu'il en a au plus n. Une racine peut être multiple, comme 1 pour le cube de z moins 1, et le nombre de racines distinctes est alors plus petit que le degré. Le théorème qui assure l'existence des racines n'est pas au programme : écrivez toujours au plus n racines dans une copie.

Q: Pourquoi les racines d'un polynôme à coefficients réels sont-elles conjuguées ?

Parce que le conjugué de P de z est égal à P du conjugué de z quand tous les coefficients sont réels : le conjugué d'une somme et d'un produit se calcule terme à terme, et un réel est égal à son conjugué. Si P de z vaut zéro, P du conjugué vaut donc le conjugué de zéro, zéro. Sans coefficients réels, la propriété tombe.

Q: Comment factoriser z puissance n moins a puissance n ?

On met z moins a en facteur, et le second facteur est une somme de n termes : z puissance n moins 1, plus a fois z puissance n moins 2, et ainsi de suite jusqu'à a puissance n moins 1, tous avec un signe plus. Pour z au cube moins 27, cela donne z moins 3 fois z au carré plus 3z plus 9.

Cette fiche de révision accompagne la partie « équations polynomiales » du chapitre des nombres complexes de l'option maths expertes : second degré à coefficients réels dans les complexes, factorisation par z moins a, nombre de racines, degré trois dont une racine est connue, racines conjuguées et formules de Viète.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en contrôle, les deux démonstrations que le correcteur attend ligne à ligne, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

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Le fil du chapitre

Une racine, c'est un facteur : $P(a)=0$ équivaut à $P(z)=(z-a)Q(z)$ avec $Q$ de degré un de moins. Chaque racine trouvée abaisse le degré d'un cran, et c'est pour cela qu'un polynôme de degré $n$ n'a jamais plus de $n$ racines.

Ce chapitre fait partie de Maths expertes en Terminale

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les nombres complexes Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (8 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Trigonométrie : sinus et cosinusTroisième, Mathématiques
2Thalès, réciproque et agrandissementsTroisième, Mathématiques
3Nombres et calcul littéralSeconde, Mathématiques
4Le second degréSeconde, Mathématiques
5Configurations et trigonométrieSeconde, Mathématiques
6Le second degréPremière, Mathématiques
7La trigonométriePremière, Mathématiques
8Les nombres complexes

Notions couvertes

Équation polynomiale
Racine d'un polynôme
Degré d'un polynôme
Factorisation par z moins a
Discriminant négatif
Racines complexes conjuguées
Identification des coefficients
Racine évidente
Formules de Viète
Méthode de Cardan

L'essentiel

Une racine, c'est un facteur

• $z^{n}-a^{n}=(z-a)\left(z^{n-1}+az^{n-2}+\cdots+a^{n-2}z+a^{n-1}\right)$ : le second facteur a $n$ termes, tous précédés d'un signe PLUS.
• Pour tout polynôme $P$ et tout complexe $a$ : $P(z)-P(a)=\sum_{k\geq 1}c_{k}(z^{k}-a^{k})$ , et chaque parenthèse se factorise par $z-a$ .
• Donc $P(a)=0$ si et seulement si $P(z)=(z-a)Q(z)$ , avec $\deg Q=\deg P-1$ et le même coefficient dominant.
• Un produit de complexes est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : c'est ce qui permet de résoudre facteur par facteur.

Le quotient se trouve par identification des coefficients, justifiée par le résultat admis du programme : une fonction polynôme nulle a tous ses coefficients nuls.

Au plus n racines, jamais « exactement »

• Un polynôme de degré $n$ a AU PLUS $n$ racines : une racine $a$ donne $P=(z-a)Q$ , et les autres racines de $P$ sont des racines de $Q$ , de degré $n-1$ .
• Deux polynômes de degré au plus $n$ égaux en $n+1$ points sont égaux : leur différence aurait trop de racines.
• Une racine peut être multiple : $(z-1)^{3}$ est de degré $3$ et n'a qu'une racine.
• Un polynôme de degré $3$ à coefficients réels a toujours une racine réelle, par le théorème des valeurs intermédiaires.

Coefficients réels : symétrie par rapport à l'axe réel

• Si les $c_{k}$ sont RÉELS : $P(\overline{z})=\overline{P(z)}$ , donc le conjugué d'une racine est racine.
• $(z-z_{0})(z-\overline{z_{0}})=z^{2}-2\,\text{Re}(z_{0})\,z+|z_{0}|^{2}$ , à coefficients réels.
• Second degré réel avec $\Delta<0$ : $z=\frac{-b\pm\mathrm{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}$ .
• VIÈTE : pour $az^{3}+bz^{2}+cz+d$ de racines $z_{1},z_{2},z_{3}$ , somme $-\frac{b}{a}$ , somme des produits deux à deux $\frac{c}{a}$ , produit $-\frac{d}{a}$ .

Les racines de

2z^{3}+3z^{2}+8z-5

: la racine réelle

\frac{1}{2}

sur l'axe, et les deux autres symétriques par rapport à lui, parce que les coefficients sont réels.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Factoriser par $z-a$ : le quotient à écrire

Le quotient de $z^{n}-a^{n}$ par $z-a$ a $n$ termes, puissances de $z$ qui descendent et puissances de $a$ qui montent. Une case rouge est une factorisation qui n'existe pas : un seul nombre la réfute.

Expression	Facteur	Quotient
$z^{3}-27$	$z-3$	$z^{2}+3z+9$
Exemple : En $z=1$ : $1-27=-26$ et $(1-3)(1+3+9)=-2\times 13=-26$ .
$z^{4}-16$	$z-2$	$z^{3}+2z^{2}+4z+8$
Exemple : En $z=1$ : $1-16=-15$ et $(1-2)(1+2+4+8)=-15$ .
$z^{3}+8$	$z+2$	$z^{2}-2z+4$
Exemple : $z^{3}+8=z^{3}-(-2)^{3}$ ; en $z=1$ : $9=(1+2)(1-2+4)=3\times 3$ .
$z^{4}-1$	$z-1$	$z^{3}-1$ règle inexistante
Exemple : En $z=2$ : $2^{4}-1=15$ mais $(2-1)(2^{3}-1)=7$ . Ce qu'il faut faire : Le quotient est la somme $z^{3}+z^{2}+z+1$ : en $z=2$ , $1\times 15=15$ .
$z^{2}+16$	$z+4$	$z-4$ règle inexistante
Exemple : En $z=-4$ : $z^{2}+16=32\neq 0$ , donc $z+4$ n'est pas un facteur. Ce qu'il faut faire : Dans $\mathbb{C}$ : $z^{2}+16=z^{2}-(4\mathrm{i})^{2}=(z-4\mathrm{i})(z+4\mathrm{i})$ .

Avant de factoriser par $z-a$ , on vérifie que $a$ est racine : c'est la condition, pas une formalité. $-4$ n'est pas racine de $z^{2}+16$ , donc $z+4$ ne peut pas en être un facteur.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Écrire qu'un polynôme de degré n a exactement n racines

1 point de rigueur, toute la question si c'était la démonstration

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P$ est de degré $3$ , donc l'équation $P(z)=0$ a exactement trois solutions. »

Ce qu'il faut écrire

« $P$ est de degré $3$ , donc l'équation $P(z)=0$ a au plus trois solutions. »

Pourquoi : Le programme démontre « au plus », pas « exactement » : une racine peut être multiple, $z^{3}-z^{2}=z^{2}(z-1)$ n'en a que deux, et l'existence des racines est un théorème que l'option n'établit pas.

2. Écrire de mémoire un quotient qui manque de termes

toute la question, et les racines qui suivent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $z^{3}-27=(z-3)(z^{2}+9)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $z^{3}-27=(z-3)(z^{2}+3z+9)$ , par la factorisation de $z^{n}-a^{n}$ avec $a=3$ . »

Pourquoi : Le quotient a autant de termes que l'exposant : trois ici. Un test en $z=1$ démolit la version fausse, $-26$ contre $-2\times 10=-20$ .

3. Conclure qu'il n'y a pas de solution quand le discriminant est négatif

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $z^{2}+2z+5=0$ : $\Delta=-16<0$ , donc pas de solution. »

Ce qu'il faut écrire

« $\Delta=-16<0$ : pas de solution réelle, et deux solutions complexes conjuguées $z=\frac{-2\pm 4\mathrm{i}}{2}=-1\pm 2\mathrm{i}$ . »

Pourquoi : En maths expertes, on résout dans $\mathbb{C}$ sauf mention contraire. « Pas de solution » sans préciser l'ensemble est une réponse fausse, pas une réponse incomplète.

4. Oublier le coefficient dominant dans l'identification

2 points, le système n'a plus de solution

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $1/2$ est racine, donc $2z^{3}+3z^{2}+8z-5=(z-\frac{1}{2})(z^{2}+bz+c)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $2z^{3}+3z^{2}+8z-5=(z-\frac{1}{2})(2z^{2}+bz+c)$ , ou mieux $(2z-1)(z^{2}+b'z+c')$ . »

Pourquoi : Le quotient garde le coefficient dominant de $P$ . Sans le $2$ , la première équation donne $1=2$ : si l'identification bloque dès le terme de plus haut degré, c'est ce facteur qui manque.

5. Compter les solutions complexes sur la courbe

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La courbe de $x\mapsto 2x^{3}+3x^{2}+8x-5$ ne coupe l'axe qu'une fois : l'équation a une seule solution. »

Ce qu'il faut écrire

« Elle a une seule solution RÉELLE, $\frac{1}{2}$ ; dans $\mathbb{C}$ elle en a trois, $\frac{1}{2}$ et $-1\pm 2\mathrm{i}$ . »

Une seule traversée de l'axe, en

x=\frac{1}{2}

: c'est la seule racine réelle. Les racines

-1\pm 2\mathrm{i}

existent, mais elles vivent dans le plan complexe, pas sur ce dessin.

Pourquoi : La courbe représente la fonction pour $x$ réel : une racine non réelle n'y a aucun point. Elle donne le nombre de racines réelles, jamais le nombre de solutions dans $\mathbb{C}$ .

6. Invoquer les racines conjuguées sans coefficients réels

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\mathrm{i}$ est racine de $z^{2}-3\mathrm{i}z-2$ , donc $-\mathrm{i}$ aussi. »

Ce qu'il faut écrire

« Les coefficients ne sont pas réels : rien n'oblige $-\mathrm{i}$ à être racine, et en effet $(-\mathrm{i})^{2}-3\mathrm{i}(-\mathrm{i})-2=-6$ . Les racines sont $\mathrm{i}$ et $2\mathrm{i}$ . »

Racines de

z^{2}-3\mathrm{i}z-2

\mathrm{i}

2\mathrm{i}

, points pleins. Leurs conjugués, points creux, ne sont pas racines : sans coefficients réels, aucune symétrie.

Pourquoi : La démonstration utilise $\overline{c_{k}}=c_{k}$ pour chaque coefficient, ce qui n'a lieu que pour un réel. Écrivez l'hypothèse « à coefficients réels » avant de conjuguer.

7. Se tromper de signe dans les formules de Viète

1 point par formule

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour $2z^{3}+3z^{2}+8z-5$ : somme des racines $\frac{3}{2}$ , produit $-\frac{5}{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Somme $-\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}$ , produit $-\frac{d}{a}=\frac{5}{2}$ . »

Pourquoi : Les signes alternent dans $a(z-z_{1})(z-z_{2})(z-z_{3})$ : moins pour la somme, plus pour les produits deux à deux, moins pour le produit. Vérification : $\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}$ et $\frac{1}{2}\times 5=\frac{5}{2}$ .

8. Sauter la ligne clé de la récurrence sur le nombre de racines

la moitié de la démonstration

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P=(z-a)Q$ , donc les racines de $P$ sont $a$ et celles de $Q$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Si $b\neq a$ est racine de $P$ , alors $(b-a)Q(b)=0$ avec $b-a\neq 0$ , donc $Q(b)=0$ : toute racine de $P$ autre que $a$ est racine de $Q$ . »

Pourquoi : C'est la seule ligne qui utilise une propriété de $\mathbb{C}$ : un produit nul a un facteur nul. Elle est fausse pour les matrices, donc elle se justifie.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode selon la forme de l'équation

On regarde le degré, la forme et ce que l'énoncé donne déjà.

Si Degré 2 à coefficients réels, discriminant négatif → Deux racines conjuguées par la formule avec i fois la racine de moins delta

Exemple : $z^{2}+2z+5$ : $\Delta=-16$ , $z=-1\pm 2\mathrm{i}$
Si Forme $z^{n}=a^{n}$ avec $a$ connu → Factoriser par z moins a avec le quotient à n termes, puis résoudre le quotient

Exemple : $z^{3}=27$ : $(z-3)(z^{2}+3z+9)=0$ , $z=3$ ou $z=\frac{-3\pm 3\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$
Si Seulement des puissances paires, $z^{4}$ et $z^{2}$ → Poser Z égal à z au carré, puis revenir à z

Exemple : $z^{4}-3z^{2}-4=0$ : $Z=4$ ou $Z=-1$ , donc $z=\pm 2$ ou $z=\pm\mathrm{i}$
Si Degré 3 sans racine donnée → Tester les petits diviseurs du terme constant, puis les fractions p sur q

Exemple : $2z^{3}+3z^{2}+8z-5$ : $\pm 1$ , $\pm 5$ échouent, $\frac{1}{2}$ convient

p divise le terme constant et q le coefficient dominant
Si Une racine non réelle donnée, coefficients réels → Son conjugué est racine : factoriser par le trinôme réel qu'ils forment

Exemple : racine $1+2\mathrm{i}$ : facteur $z^{2}-2z+5$
Si On demande une somme ou un produit de racines non calculées → Formules de Viète, sans chercher les racines

Exemple : $z^{3}-4z+7$ : somme $0$ , produit $-7$

La formule de Cardan n'est pas exigible : elle se traite sur un exemple guidé. Et aucun énoncé ne vous demandera de prouver qu'un polynôme a des racines, seulement d'en compter au plus.

Quel résultat selon le verbe de l'énoncé

Le verbe de la question désigne le théorème à citer.

Si « Montrer que a est racine » → Calculer P(a) et trouver 0, rien de plus

Exemple : $P(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+4-5=0$
Si « En déduire une factorisation » → Citer : si P(a) est nul, P se factorise par z moins a ; puis identifier

Exemple : $P(z)=(2z-1)(z^{2}+2z+5)$
Si « Combien de solutions au plus » → Le degré, par le théorème du nombre de racines

Exemple : degré $5$ : au plus $5$ solutions
Si « Montrer qu'il existe une racine réelle » → Théorème des valeurs intermédiaires sur la fonction réelle

Exemple : $f(0)=-5<0$ et $f(1)=8>0$
Si « Montrer que le conjugué est racine » → Coefficients réels, puis P du conjugué égale conjugué de P

Exemple : $P(-1-2\mathrm{i})=\overline{P(-1+2\mathrm{i})}=0$

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Démontrer la factorisation par z moins a

Quand l'utiliser : « Démontrer que si P(a) = 0, alors P se factorise par z − a. »

1 Écrire $P(z)=\sum_{k=0}^{n}c_{k}z^{k}$ et soustraire : $P(z)-P(a)=\sum_{k=1}^{n}c_{k}(z^{k}-a^{k})$ , le terme $k=0$ étant nul.
2 Citer la factorisation $z^{k}-a^{k}=(z-a)S_{k}(z)$ , avec $S_{k}$ de degré $k-1$ .
3 Mettre $z-a$ en facteur : $P(z)-P(a)=(z-a)Q(z)$ avec $Q=\sum c_{k}S_{k}$ , de degré $n-1$ car seul $c_{n}S_{n}$ contient $z^{n-1}$ .
4 Conclure avec l'hypothèse $P(a)=0$ .

Phrase de conclusion

« Pour tout complexe $z$ , $P(z)=(z-a)Q(z)$ , où $Q$ est un polynôme de degré $n-1$ . »

Le piège : Oublier que le terme constant disparaît : c'est lui qui rend la mise en facteur possible dans chaque terme.

Démontrer qu'un polynôme de degré n a au plus n racines

Quand l'utiliser : « Démontrer que le nombre de solutions est inférieur ou égal au degré. »

1 Poser la propriété $\mathcal{P}_{n}$ : « tout polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines ».
2 Initialisation : un polynôme de degré $0$ est une constante non nulle, il n'a aucune racine.
3 Hérédité : si $P$ de degré $n$ n'a pas de racine, c'est fini ; sinon $P=(z-a)Q$ avec $\deg Q=n-1$ .
4 Pour $b\neq a$ racine de $P$ : $(b-a)Q(b)=0$ et $b-a\neq 0$ , donc $Q(b)=0$ .
5 Compter : $a$ , plus au plus $n-1$ racines de $Q$ , soit au plus $n$ .

Phrase de conclusion

« Par récurrence, pour tout entier $n$ , un polynôme de degré $n$ admet au plus $n$ racines. »

Le piège : Écrire l'hérédité sans le cas « $P$ n'a aucune racine », ou sans justifier $Q(b)=0$ .

Résoudre une équation de degré 3 dont une racine est connue

Quand l'utiliser : « Vérifier que a est racine, puis résoudre P(z) = 0 dans C. »

1 Calculer $P(a)$ et écrire « $P(a)=0$ , donc $P$ se factorise par $z-a$ ».
2 Écrire $P(z)=(z-a)(\alpha z^{2}+\beta z+\gamma)$ , $\alpha$ étant le coefficient dominant de $P$ .
3 Développer, identifier, et utiliser l'équation en trop comme vérification.
4 Résoudre le trinôme, puis citer « un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est ».

Phrase de conclusion

« L'ensemble des solutions dans $\mathbb{C}$ est $\{a\,;z_{2}\,;z_{3}\}$ . »

Le piège : Ne pas vérifier la troisième équation de l'identification, qui est le seul contrôle gratuit.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Réinjecter une racine

Remplacer $z$ par la racine trouvée dans $P$ , en séparant parties réelle et imaginaire.

$(-1+2\mathrm{i})^{2}+2(-1+2\mathrm{i})+5=-3-4\mathrm{i}-2+4\mathrm{i}+5=0$ . Un reste non nul dit que le trinôme est faux.
Tester la factorisation en un point

Évaluer $P$ et le produit en $z=1$ ou $z=2$ : deux nombres différents condamnent la factorisation.

$2z^{3}+3z^{2}+8z-5$ vaut $8$ en $z=1$ , et $(2-1)(1+2+5)=8$ : la factorisation tient.
Contrôler somme et produit

Comparer la somme des racines à $-\frac{b}{a}$ et leur produit à $-\frac{d}{a}$ en degré $3$ .

$\frac{1}{2}+(-1+2\mathrm{i})+(-1-2\mathrm{i})=-\frac{3}{2}$ : c'est bien $-\frac{3}{2}$ . Un écart signale une racine fausse.
Regarder la symétrie

Avec des coefficients réels, toute racine non réelle doit avoir son conjugué dans la liste.

Trouver $-1+2\mathrm{i}$ et $1-2\mathrm{i}$ pour un polynôme réel signale une erreur de signe.

L'exercice type décortiqué

Une équation de degré 3 sans racine donnée

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $P(z)=0$ , où $P(z)=2z^{3}+3z^{2}+8z-5$ .

Étape 1

On cherche une racine. $P(1)=8$ , $P(-1)=-2+3-8-5=-12$ , $P(5)$ et $P(-5)$ sont loin de $0$ . On essaie les fractions $\frac{p}{q}$ , $p$ divisant $5$ et $q$ divisant $2$ : $P(\frac{1}{2})=\frac{2}{8}+\frac{3}{4}+4-5=0$ .

Pourquoi

Sans racine donnée, on trouve un facteur en testant : les candidats rationnels sont en nombre fini, et c'est le coefficient dominant $2$ qui ouvre la piste des demis.

Étape 2

$P(\frac{1}{2})=0$ donc $P(z)=(2z-1)(z^{2}+bz+c)$ . En développant : $2z^{3}+(2b-1)z^{2}+(2c-b)z-c$ . D'où $2b-1=3$ , $b=2$ ; $-c=-5$ , $c=5$ ; vérification $2c-b=8$ .

Pourquoi

Écrire $2z-1$ plutôt que $z-\frac{1}{2}$ garde le coefficient dominant et des coefficients entiers. L'équation en trop est le contrôle gratuit de l'identification.

Étape 3

$z^{2}+2z+5=0$ : $\Delta=4-20=-16<0$ , donc $z=\frac{-2\pm 4\mathrm{i}}{2}=-1\pm 2\mathrm{i}$ .

Pourquoi

Le trinôme est à coefficients réels : deux racines conjuguées, qu'on écrit avec $\mathrm{i}\sqrt{-\Delta}$ et jamais avec $\sqrt{\Delta}$ .

Étape 4

$P(z)=0$ si et seulement si $2z-1=0$ ou $z^{2}+2z+5=0$ , puisqu'un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est.

Pourquoi

C'est la ligne qui autorise à résoudre facteur par facteur ; elle se cite.

Étape 5

Contrôle par Viète : somme $\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}=-\frac{b}{a}$ ; produit $\frac{1}{2}\times|{-1+2\mathrm{i}}|^{2}=\frac{5}{2}=-\frac{d}{a}$ .

Pourquoi

Deux lignes qui vérifient les trois racines d'un coup, sans les réinjecter une par une.

Conclusion rédigée

« L'ensemble des solutions dans $\mathbb{C}$ est $\left\{\frac{1}{2}\,;-1+2\mathrm{i}\,;-1-2\mathrm{i}\right\}$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $(z-\frac{1}{2})(z^{2}+bz+c)$ sans le coefficient $2$ : l'identification donne alors $1=2$ sur le terme en $z^{3}$ , et l'élève conclut que $\frac{1}{2}$ n'était pas racine.

À savoir par cœur

• $z^{n}-a^{n}=(z-a)(z^{n-1}+az^{n-2}+\cdots+a^{n-1})$ : $n$ termes, tous positifs.
• $P(a)=0$ si et seulement si $P(z)=(z-a)Q(z)$ , avec $\deg Q=\deg P-1$ .
• Un polynôme de degré $n$ a AU PLUS $n$ racines.
• Coefficients RÉELS : le conjugué d'une racine est racine.
• $\Delta<0$ et coefficients réels : $z=\frac{-b\pm\mathrm{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}$ .
• Degré $3$ : somme $-\frac{b}{a}$ , produits deux à deux $\frac{c}{a}$ , produit $-\frac{d}{a}$ .
• Degré $3$ réel : toujours une racine réelle, par le théorème des valeurs intermédiaires.

Questions fréquentes

Comment résoudre une équation de degré 3 dans les complexes en maths expertes ?

On cherche d'abord une racine, donnée par l'énoncé ou trouvée en testant les petits diviseurs du terme constant. On factorise ensuite le polynôme par z moins cette racine, en identifiant les coefficients du quotient de degré deux. Il reste à résoudre ce trinôme avec le discriminant, qui donne deux racines conjuguées s'il est négatif.

Un polynôme de degré n a-t-il toujours n racines ?

Le programme de maths expertes démontre seulement qu'il en a au plus n. Une racine peut être multiple, comme 1 pour le cube de z moins 1, et le nombre de racines distinctes est alors plus petit que le degré. Le théorème qui assure l'existence des racines n'est pas au programme : écrivez toujours au plus n racines dans une copie.

Pourquoi les racines d'un polynôme à coefficients réels sont-elles conjuguées ?

Parce que le conjugué de P de z est égal à P du conjugué de z quand tous les coefficients sont réels : le conjugué d'une somme et d'un produit se calcule terme à terme, et un réel est égal à son conjugué. Si P de z vaut zéro, P du conjugué vaut donc le conjugué de zéro, zéro. Sans coefficients réels, la propriété tombe.

Comment factoriser z puissance n moins a puissance n ?

On met z moins a en facteur, et le second facteur est une somme de n termes : z puissance n moins 1, plus a fois z puissance n moins 2, et ainsi de suite jusqu'à a puissance n moins 1, tous avec un signe plus. Pour z au cube moins 27, cela donne z moins 3 fois z au carré plus 3z plus 9.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les équations polynomiales

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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150 minutes

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/expertes-equations-polynomiales. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Fiche de révision : les équations polynomiales dans les complexes (maths expertes)

L'essentiel

Une racine, c'est un facteur

Au plus n racines, jamais « exactement »

Coefficients réels : symétrie par rapport à l'axe réel

Les règles de calcul en tableau

Factoriser par z−az-az−a : le quotient à écrire

Les pièges qui coûtent des points

1. Écrire qu'un polynôme de degré n a exactement n racines

2. Écrire de mémoire un quotient qui manque de termes

3. Conclure qu'il n'y a pas de solution quand le discriminant est négatif

4. Oublier le coefficient dominant dans l'identification

5. Compter les solutions complexes sur la courbe

6. Invoquer les racines conjuguées sans coefficients réels

7. Se tromper de signe dans les formules de Viète

8. Sauter la ligne clé de la récurrence sur le nombre de racines

Quelle méthode choisir

Quelle méthode selon la forme de l'équation

Quel résultat selon le verbe de l'énoncé

La rédaction attendue

Démontrer la factorisation par z moins a

Démontrer qu'un polynôme de degré n a au plus n racines

Résoudre une équation de degré 3 dont une racine est connue

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une équation de degré 3 sans racine donnée

À savoir par cœur

Questions fréquentes

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Un polynôme de degré n a-t-il toujours n racines ?

Pourquoi les racines d'un polynôme à coefficients réels sont-elles conjuguées ?

Comment factoriser z puissance n moins a puissance n ?

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