Maths Seconde, programme français • Fiche de révision à Montréal

Fiche de révision : nombres et calcul littéral (Seconde)

Q: Comment savoir s'il faut développer ou factoriser en Seconde ?

La question posée décide. Si l'énoncé demande de résoudre une équation ou une inéquation de degré deux, il faut factoriser, car seule la forme factorisée permet la règle du produit nul ou un tableau de signes. Exception : si les carrés s'éliminent après développement, il reste une équation du premier degré, qu'on résout directement. Si l'énoncé demande de calculer une valeur, de comparer ou de démontrer une égalité, il faut développer et réduire les deux membres.

Q: Pourquoi la racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines ?

Parce qu'un seul contre-exemple suffit à interdire la règle. La racine de neuf plus seize vaut la racine de vingt-cinq, soit cinq, alors que la racine de neuf plus la racine de seize font trois plus quatre, soit sept. La racine traverse un produit et un quotient, jamais une somme ni une différence.

Q: Quand faut-il changer le sens d'une inéquation ?

Uniquement quand on multiplie ou qu'on divise les deux membres par un nombre strictement négatif. Ajouter ou retrancher un nombre, même négatif, ne change jamais le sens. Et on ne multiplie jamais par une expression qui contient l'inconnue sans connaître son signe : dans ce cas on passe par un tableau de signes.

Q: Qu'est-ce qu'une valeur interdite et où l'écrire sur la copie ?

C'est une valeur qui annule un dénominateur : la fraction n'existe pas pour cette valeur, elle est donc exclue de l'ensemble des solutions. Elle s'écrit tout en haut de la résolution, avant les calculs, sur une ligne du type la valeur trois est interdite. Elle reste exclue même quand l'inégalité est large.

Q: Comment vérifier une factorisation sans refaire le calcul ?

On remplace la lettre par un nombre simple, souvent zéro, un ou deux, dans l'expression de départ et dans l'expression factorisée. Les deux doivent donner exactement le même résultat. Une seule valeur ne prouve pas l'égalité, mais elle détecte presque toutes les erreurs de signe et de distribution.

Cette fiche ne refait pas le cours sur les nombres et le calcul littéral : vous l'avez déjà dans votre classeur. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note, l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, la transformation à choisir selon la forme de l'expression, et la rédaction que le correcteur de Seconde attend.

Elle est écrite pour les élèves de Seconde du programme français. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Mis à jour le 3 novembre 2026

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Le fil du chapitre

Le calcul littéral n'est pas un calcul, c'est une réécriture : chaque ligne doit désigner le même nombre que la précédente pour TOUTES les valeurs de $x$ . Presque tous les points perdus en Seconde viennent d'une transformation qui change discrètement cette valeur, la racine distribuée sur une somme, le carré d'une somme réduit à la somme des carrés, la fraction simplifiée en barrant un terme, l'inéquation multipliée par un nombre dont on ignore le signe.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Seconde

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 17 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (8 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1 Les nombres décimaux Sixième
2 Les nombres relatifs Cinquième
3 Multiplication et division de relatifs Quatrième
4 Puissances et écriture scientifique Quatrième
5 Calcul littéral et équations Quatrième
6 Développer et factoriser Troisième
7 Les trois identités remarquables Troisième
8 Les trois identités remarquables

L'essentiel

Ce que la racine et le carré font, et ce qu'ils ne font pas

• $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ et $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ pour $a\geq 0$ et $b\geq 0$ ( $b>0$ pour le quotient) : la racine traverse un PRODUIT et un QUOTIENT, jamais une somme.
• $\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$ : $\sqrt{9+16}=5$ alors que $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$ . Un seul contre-exemple suffit à interdire la règle pour toujours.
• $\sqrt{x^{2}}=|x|$ , pas $x$ : pour $x=-5$ , la racine vaut $5$ . C'est le point où l'on perd un signe sans s'en apercevoir.
• $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ : le double produit $2ab$ est le terme que la copie oublie, et c'est lui qui vaut le point.
• $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ : elle sert dans les deux sens, et surtout à factoriser, car une différence de deux carrés se reconnaît à vue.

La courbe de

\sqrt{x^{2}}

(en bleu) est celle de

|x|

: en

x=-5

, elle passe par

5

(point vert), pas par

-5

(point rouge) comme la droite

y=x

Avant d'appliquer une règle sur les lettres, la tester sur des nombres simples. Une règle fausse se démasque en dix secondes avec $a=9$ et $b=16$ .

Puissances et notation scientifique

• $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ : on ADDITIONNE les exposants d'un produit. $(a^{m})^{n}=a^{mn}$ : on les MULTIPLIE seulement dans une puissance de puissance.
• $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ et $a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$ . Un exposant négatif ne rend jamais le nombre négatif : $10^{-3}=0{,}001>0$ .
• $a^{0}=1$ pour tout $a\neq 0$ , y compris quand $a$ est une lettre dont on ignore la valeur.
• Notation scientifique : $a\times 10^{n}$ avec $1\leq |a|<10$ . La mantisse a donc exactement un chiffre non nul avant la virgule.
• $47\times 10^{-5}$ et $0{,}47\times 10^{-3}$ sont des écritures correctes du même nombre, mais aucune des deux n'est la notation scientifique.

Sur une copie, écrire la ligne intermédiaire $0{,}00047=4{,}7\times 10^{-4}$ rapporte le point même si le calcul suivant dérape.

Les trois règles qui résolvent presque tout

• Produit nul : $A\times B=0$ équivaut à $A=0$ ou $B=0$ . La règle exige un produit d'un côté et le nombre ZÉRO de l'autre, sans exception.
• Quotient nul : $\frac{A}{B}=0$ équivaut à $A=0$ ET $B\neq 0$ . La deuxième condition est celle que la copie oublie.
• $x^{2}=a$ avec $a>0$ : deux solutions, $x=\sqrt{a}$ et $x=-\sqrt{a}$ . Avec $a<0$ , aucune solution réelle, et il faut l'écrire.
• Inéquation : on peut ajouter n'importe quoi aux deux membres, mais multiplier ou diviser par un nombre strictement NÉGATIF retourne l'inégalité.
• Une expression qui contient $x$ n'a en général pas de signe constant : on ne multiplie donc jamais une inéquation par $x$ ou par $x-3$ sans connaître leur signe.

La parabole

y=x^{2}

coupe la droite

y=7

en DEUX points, d'abscisses

-\sqrt{7}

\sqrt{7}

: l'équation

x^{2}=7

a deux solutions, une de chaque signe.

Toute inéquation qui contient un produit ou un quotient de facteurs passe par un tableau de signes, sauf la forme $(x-a)^{2}\leq r^{2}$ , qui se lit comme une distance : $|x-a|\leq r$ .

Les ensembles de nombres : on calcule avant de classer

• $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ : chaque ensemble contient le précédent, et chaque inclusion est stricte.
• Un décimal s'écrit $\frac{a}{10^{n}}$ avec $a$ entier relatif et $n$ entier naturel. Un rationnel s'écrit $\frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers, $q\neq 0$ .
• Tout décimal est rationnel, mais $\frac{1}{3}$ est rationnel sans être décimal : son écriture décimale ne s'arrête jamais.
• $\sqrt{2}$ et $\pi$ ne sont pas rationnels. $\sqrt{9}=3$ , lui, est un entier naturel : le radical ne décide de rien.

Les intervalles et la valeur absolue ont leur propre fiche, celle des ensembles de nombres.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Distribuer la racine carrée sur une somme

2 points, et tout calcul de longueur qui suit est faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sqrt{9+16}=\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ : on calcule d'abord la somme sous la racine, car $\sqrt{a+b}$ n'est pas $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ . »

L'hypoténuse vaut

\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

, pas

3+4=7

: la racine d'une somme n'est pas la somme des racines, et le triangle le montre en une seconde.

Pourquoi : La racine traverse le produit et le quotient, ce qui donne l'impression trompeuse qu'elle est linéaire. Elle ne l'est pas, et le contre-exemple $9$ et $16$ suffit à s'en souvenir toute l'année : $5$ contre $7$ .

2. Oublier le double produit dans le carré d'une somme

1 point sur 2, et l'expression obtenue ne s'annule plus pour les mêmes valeurs

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(x+3)^{2}=x^{2}+9$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $(x+3)^{2}=x^{2}+2\times x\times 3+3^{2}=x^{2}+6x+9$ . »

Le carré de côté

x+3

contient QUATRE morceaux :

x^{2}

, deux rectangles

3x

et le carré

9

. Les deux rectangles sont le double produit que la copie oublie.

Pourquoi : L'élève applique au carré la règle du produit, où l'exposant se distribue vraiment. Le test en $x=2$ démasque l'erreur immédiatement : $(2+3)^{2}=25$ , alors que $4+9=13$ .

3. Simplifier une fraction en barrant un terme d'une somme

2 points, et l'équation qui suit change de solution

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{3x+6}{3}=x+6$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\frac{3x+6}{3}=\frac{3(x+2)}{3}=x+2$ : on ne simplifie qu'après avoir mis en facteur, car le $3$ du dénominateur divise la somme ENTIÈRE. »

Diviser

3x+6

par

3

, c'est garder une seule des trois lignes, donc

x+2

en entier : le

6

est divisé lui aussi, il ne reste jamais tel quel.

Pourquoi : Barrer un symbole est un geste visuel, pas un calcul. Une simplification n'est légitime qu'entre un FACTEUR du numérateur et un FACTEUR du dénominateur, donc la factorisation vient toujours avant.

4. Multiplier une inéquation par un nombre négatif sans retourner le sens

toute la question, la réponse fausse est l'autre côté de

-3

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $-2x>6$ , donc $x>\frac{6}{-2}$ , donc $x>-3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $-2x>6$ , je divise les deux membres par $-2$ qui est strictement négatif, donc l'inégalité change de sens : $x<-3$ . Ainsi $S=\,]-\infty;-3[$ . »

En haut, l'ensemble juste

]-\infty;-3[

(en vert), qui contient

-4

; en bas, la réponse sans retournement (en rouge) : exactement l'autre côté de

-3

Pourquoi : Une multiplication par un négatif renverse l'ordre des nombres sur la droite graduée. Le contrôle qui sauve : tester une valeur. $x=-4$ donne $-2\times(-4)=8>6$ , donc $-4$ est bien solution, ce que la réponse fausse exclut.

5. Appliquer la règle du produit nul à un produit qui ne vaut pas zéro

toute la question, les deux valeurs proposées ne sont pas solutions

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(x-3)(x+1)=8$ , donc $x-3=8$ ou $x+1=8$ , donc $x=11$ ou $x=7$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $(x-3)(x+1)=8$ : je développe et je ramène tout d'un côté, $x^{2}-2x-11=0$ . La règle du produit nul exige un ZÉRO au second membre, elle ne s'applique pas ici. »

La parabole coupe

y=8

en deux points (en vert), ni en

7

ni en

11

: en

x=7

, le produit vaut

32

(en rouge). La règle du produit nul ne marche qu'avec un zéro.

Pourquoi : Zéro est le seul nombre qui ne peut s'obtenir qu'avec un facteur nul. $8$ s'écrit $2\times 4$ , $16\times 0{,}5$ et une infinité d'autres façons, donc aucune information ne se déduit des facteurs pris séparément. La vérification tue l'erreur : $x=11$ donne $8\times 12=96$ , pas $8$ .

6. Oublier la valeur interdite dans une équation quotient

1 point, et le correcteur voit que le domaine n'a pas été cherché

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{(x-3)(x+1)}{x-3}=0$ , donc $x=3$ ou $x=-1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le quotient existe pour $x\neq 3$ . Il est nul quand son numérateur l'est, donc $x=3$ ou $x=-1$ , et $x=3$ est exclue du domaine. Ainsi $S=\{-1\}$ . »

Le quotient

\frac{(x-3)(x+1)}{x-3}

se confond avec

x+1

, sauf en

x=3

où il n'existe pas (rond rouge vide) : il ne s'annule qu'en

-1

(en vert).

Pourquoi : Une valeur qui annule le dénominateur ne rend pas la fraction nulle, elle la rend inexistante. Le réflexe attendu en Seconde est d'écrire la ligne « valeur interdite » AVANT de résoudre, jamais après.

7. Multiplier les exposants dans un produit de puissances

1 point, et un résultat faux d'un facteur cent mille

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $10^{3}\times 10^{4}=10^{12}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $10^{3}\times 10^{4}=10^{3+4}=10^{7}$ : dans un PRODUIT les exposants s'additionnent, ils ne se multiplient que dans $(10^{3})^{4}=10^{12}$ . »

Pourquoi : Les deux règles se ressemblent à l'écrit et se distinguent par une paire de parenthèses. Le contrôle mental : $10^{3}\times 10^{4}$ , c'est mille fois dix mille, soit dix millions, un nombre à sept zéros.

8. Écrire une notation scientifique dont la mantisse n'est pas entre 1 et 10

1 point par occurrence, et souvent le point de la conversion d'unité

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $0{,}00047=47\times 10^{-5}$ , c'est l'écriture scientifique. »

Ce qu'il faut écrire

« $0{,}00047=4{,}7\times 10^{-4}$ : la notation scientifique impose $1\leq |a|<10$ , donc un seul chiffre non nul avant la virgule. »

Pourquoi : L'égalité écrite est vraie, seule l'appellation est fausse, ce qui rend l'erreur invisible à la relecture. En physique, c'est la même écriture qui rend lisible le nombre de chiffres significatifs.

9. Classer un nombre d'après son écriture

1 point, et le même réflexe faux sur

\frac{1}{3}

, qu'on croit décimal

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sqrt{9}$ est irrationnel, puisqu'il s'écrit avec une racine. »

Ce qu'il faut écrire

« $\sqrt{9}=3$ est un entier naturel. » On calcule d'abord : $\sqrt{2}$ est irrationnel parce qu'on le démontre, pas parce qu'il a un radical.

Pourquoi : La machine affiche $0{,}3333333$ pour $\frac{1}{3}$ , ce qui ressemble à un décimal, alors que l'écriture de ce nombre ne s'arrête jamais. Tout rationnel n'est pas décimal, et tout radical n'est pas irrationnel.

Quelle méthode choisir

Développer ou factoriser ? La question posée décide

Regarder ce que l'énoncé demande, puis la forme de l'expression.

Le grand carré privé du petit (aire

a^{2}-b^{2}

, en bleu) se découpe et se recolle en un rectangle de côtés

a-b

a+b

: c'est la factorisation

a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

, lue sur les aires.

Si l'énoncé demande de RÉSOUDRE une équation ou une inéquation → factoriser, puis produit nul ou tableau de signes

Exemple : $x^{2}-9=0$ devient $(x-3)(x+3)=0$

une équation de degré 2 se factorise ; mais si les $x^{2}$ s'éliminent après développement, on résout l'équation du premier degré obtenue
Si l'énoncé demande de CALCULER une valeur, de comparer, ou de montrer une égalité → développer et réduire les deux membres

Exemple : montrer que $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}=4x$
Si un même facteur apparaît dans tous les termes → mettre ce facteur commun en évidence, y compris quand c'est une parenthèse

Exemple : $(2x-1)(x+4)+(2x-1)^{2}=(2x-1)(3x+3)=3(2x-1)(x+1)$

le facteur commun peut être caché : $(x-3)$ et $(3-x)$ diffèrent d'un signe
Si l'expression est une différence de deux carrés → appliquer $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$

Exemple : $(2x-3)^{2}-(x+5)^{2}=(x-8)(3x+2)$
Si l'expression a trois termes dont deux sont des carrés → tester le carré parfait en vérifiant le double produit

Exemple : $4x^{2}-12x+9=(2x-3)^{2}$ car $2\times 2x\times 3=12x$

Si aucune branche ne s'applique, l'expression n'est probablement pas factorisable au programme de Seconde : le discriminant est un outil de Première.

Quel outil pour résoudre ?

Regarder la forme de l'équation ou de l'inéquation une fois tout ramené d'un seul côté.

Si produit de facteurs $=0$ → règle du produit nul, un facteur à la fois

Exemple : $(x-3)(2x+1)=0$ donne $x=3$ ou $x=-\frac{1}{2}$
Si quotient $=0$ → numérateur nul, dénominateur non nul, et écrire les deux conditions

Exemple : $\frac{x+2}{x-1}=0$ donne $x=-2$ , avec $x\neq 1$
Si $x^{2}=a$ → deux solutions $\pm\sqrt{a}$ si $a>0$ , une seule si $a=0$ , aucune si $a<0$

Exemple : $x^{2}=7$ donne $x=\sqrt{7}$ ou $x=-\sqrt{7}$

écrire « pas de solution réelle » rapporte le point quand $a<0$
Si INÉQUATION avec un produit ou un quotient → tableau de signes, une ligne par facteur

Exemple : $\frac{x-2}{x+3}\leq 0$ se lit sur un tableau à trois colonnes
Si inéquation du premier degré → isoler $x$ , en retournant l'inégalité si on divise par un négatif

Exemple : $-3x+1\leq 7$ donne $x\geq -2$

Aucune de ces méthodes n'autorise à multiplier les deux membres d'une inéquation par une expression contenant $x$ dont le signe n'est pas connu.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre une inéquation produit ou quotient par un tableau de signes

Quand l'utiliser : Dès que l'inéquation, tout ramené d'un côté, se présente comme un produit ou un quotient de facteurs du premier degré.

1 Ramener tout dans le membre de gauche et $0$ à droite, puis factoriser. Ne jamais multiplier en croix.
2 Écrire la ligne des valeurs interdites : « le dénominateur s'annule en $x=\ldots$ , cette valeur est exclue ».
3 Chercher le zéro de chaque facteur du premier degré : $ax+b$ s'annule en $x=-\frac{b}{a}$ .
4 Construire le tableau, une ligne par facteur, une dernière ligne pour le produit ou le quotient, et placer les zéros dans l'ordre CROISSANT.
5 Remplir chaque ligne avec la règle du signe de $a$ : le facteur est du signe de $a$ APRÈS son zéro.
6 Lire la ligne du bas et conclure en écrivant l'ensemble des solutions sous forme d'intervalles, avec un crochet ouvert sur toute valeur interdite.

Phrase de conclusion

« Le tableau montre que le quotient est négatif ou nul sur $[-2;3[$ , donc $S=[-2;3[$ , la valeur $3$ étant exclue car elle annule le dénominateur. »

Le piège : Fermer le crochet sur une valeur interdite parce que l'inégalité est large. Une valeur interdite reste exclue même avec un symbole $\leq$ .

Barème : Souvent 1 point pour les zéros, 2 points pour le tableau complet, 1 point pour l'ensemble des solutions écrit en intervalles.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Remplacer par une valeur simple

Après un développement ou une factorisation, choisir $x=1$ ou $x=2$ et calculer les DEUX expressions. Elles doivent donner le même nombre.

$3x+6$ divisé par $3$ : en $x=4$ , l'expression de départ vaut $6$ . La réponse $x+6$ donne $10$ , donc elle est fausse ; la réponse $x+2$ donne $6$ , elle est juste.
Réinjecter chaque solution dans l'équation de départ

Une solution d'équation se vérifie en trois secondes en la remplaçant dans l'énoncé initial, pas dans la ligne intermédiaire.

$(x-3)(x+1)=8$ avec $x=11$ donne $8\times 12=96$ , donc $11$ n'est pas solution et la méthode employée était fausse.
Tester un point dans chaque intervalle

Pour une inéquation, prendre un nombre au hasard dans chaque intervalle annoncé et un nombre à l'extérieur, puis calculer le signe.

Si le tableau annonce $S=\,]-\infty;-3[$ , tester $x=-4$ : l'inégalité doit être vraie. Tester $x=0$ : elle doit être fausse.
Le contrôle de l'ordre de grandeur en notation scientifique

Compter les zéros à la main sur un cas simple avant de faire confiance à la calculatrice, et vérifier que la mantisse est bien entre $1$ et $10$ .

$10^{3}\times 10^{4}$ , c'est mille fois dix mille : dix millions, donc $10^{7}$ et non $10^{12}$ .

L'exercice type décortiqué

Une expression à factoriser, puis une équation et une inéquation

On pose $A(x)=(2x-3)^{2}-(x+5)^{2}$ .

1. Développer et réduire $A(x)$ .

2. Factoriser $A(x)$ .

3. Résoudre $A(x)=0$ .

4. Résoudre $A(x)\geq 0$ .

Étape 1

$(2x-3)^{2}=4x^{2}-12x+9$ et $(x+5)^{2}=x^{2}+10x+25$ , donc $A(x)=4x^{2}-12x+9-(x^{2}+10x+25)=3x^{2}-22x-16$ .

Pourquoi

La parenthèse devant la soustraction est le point noté : sans elle, seul le premier terme change de signe et le résultat est faux dès la ligne suivante. Écrire le soustrait entre parenthèses avant de distribuer le moins.

Étape 2

$A(x)$ est une différence de deux carrés, avec $a=2x-3$ et $b=x+5$ . Donc $A(x)=\big((2x-3)-(x+5)\big)\big((2x-3)+(x+5)\big)$ .

Pourquoi

On factorise depuis la forme de DÉPART, pas depuis la forme développée : $3x^{2}-22x-16$ ne se factorise pas à vue en Seconde, alors que la différence de carrés se voit immédiatement.

Étape 3

$(2x-3)-(x+5)=x-8$ et $(2x-3)+(x+5)=3x+2$ , donc $A(x)=(x-8)(3x+2)$ .

Pourquoi

Chaque parenthèse se réduit séparément, avec la même vigilance sur le signe moins distribué. Cette forme factorisée est la seule qui permette de résoudre, elle vaut donc plus que la forme développée.

Étape 4

$A(x)=0$ équivaut à $x-8=0$ ou $3x+2=0$ , donc $x=8$ ou $x=-\frac{2}{3}$ .

Pourquoi

C'est ici que la factorisation paie : la règle du produit nul s'applique parce que le second membre est exactement $0$ . Sans forme factorisée, cette question serait hors de portée en Seconde.

Étape 5

Tableau de signes sur $\big]-\infty;+\infty\big[$ avec les zéros $-\frac{2}{3}$ et $8$ rangés dans l'ordre croissant. $x-8$ est négatif avant $8$ , positif après. $3x+2$ est négatif avant $-\frac{2}{3}$ , positif après. Le produit est donc positif, négatif, puis positif.

Pourquoi

Les deux coefficients directeurs sont positifs, donc chaque facteur est du signe de $a$ après son zéro. Ranger les zéros dans le désordre est la première cause de tableau faux.

Étape 6

$A(x)\geq 0$ sur $\big]-\infty;-\frac{2}{3}\big]\cup\big[8;+\infty\big[$ . Les crochets sont fermés car l'inégalité est large et qu'aucune valeur n'est interdite.

Pourquoi

Le symbole $\geq$ inclut les zéros, ce qui ferme les crochets. Ce serait faux avec un quotient, où le zéro du dénominateur reste exclu même en inégalité large.

Étape 7

Contrôle en $x=0$ : $A(0)=(0-8)(0+2)=-16$ , et la forme de départ donne $(-3)^{2}-5^{2}=9-25=-16$ . Les deux formes concordent, et $0$ est bien dans l'intervalle où $A$ est négatif.

Pourquoi

Une seule valeur teste à la fois la factorisation et le tableau. C'est le contrôle le plus rentable de la copie, il coûte dix secondes et sauve quatre points.

Conclusion rédigée

$A(x)=(x-8)(3x+2)$ , l'équation $A(x)=0$ a pour solutions $-\frac{2}{3}$ et $8$ , et $A(x)\geq 0$ sur $\big]-\infty;-\frac{2}{3}\big]\cup\big[8;+\infty\big[$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Développer avant de factoriser, puis rester bloqué sur $3x^{2}-22x-16$ . La question 1 sert au contrôle numérique, pas à la question 2 : la factorisation part toujours de l'écriture initiale.

À savoir par cœur

• $\sqrt{a+b}$ n'est PAS $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ , et $\sqrt{x^{2}}=|x|$ .
• $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ : le double produit est le terme qui rapporte le point.
• $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ , mais $(a^{m})^{n}=a^{mn}$ .
• Notation scientifique : mantisse $a$ telle que $1\leq |a|<10$ , un seul chiffre non nul avant la virgule.
• Un produit vaut $0$ si et seulement si l'un de ses facteurs vaut $0$ . La règle exige un ZÉRO au second membre.
• Un quotient vaut $0$ si et seulement si son numérateur vaut $0$ ET son dénominateur ne s'annule pas.
• Multiplier ou diviser une inéquation par un nombre strictement négatif RETOURNE l'inégalité.
• On ne multiplie jamais une inéquation par une expression contenant $x$ sans connaître son signe.
• $\sqrt{9}=3$ est entier, $\frac{1}{3}$ est rationnel sans être décimal, $\sqrt{2}$ est irrationnel.

Questions fréquentes

Comment savoir s'il faut développer ou factoriser en Seconde ?

La question posée décide. Si l'énoncé demande de résoudre une équation ou une inéquation de degré deux, il faut factoriser, car seule la forme factorisée permet la règle du produit nul ou un tableau de signes. Exception : si les carrés s'éliminent après développement, il reste une équation du premier degré, qu'on résout directement. Si l'énoncé demande de calculer une valeur, de comparer ou de démontrer une égalité, il faut développer et réduire les deux membres.

Pourquoi la racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines ?

Parce qu'un seul contre-exemple suffit à interdire la règle. La racine de neuf plus seize vaut la racine de vingt-cinq, soit cinq, alors que la racine de neuf plus la racine de seize font trois plus quatre, soit sept. La racine traverse un produit et un quotient, jamais une somme ni une différence.

Quand faut-il changer le sens d'une inéquation ?

Uniquement quand on multiplie ou qu'on divise les deux membres par un nombre strictement négatif. Ajouter ou retrancher un nombre, même négatif, ne change jamais le sens. Et on ne multiplie jamais par une expression qui contient l'inconnue sans connaître son signe : dans ce cas on passe par un tableau de signes.

Qu'est-ce qu'une valeur interdite et où l'écrire sur la copie ?

C'est une valeur qui annule un dénominateur : la fraction n'existe pas pour cette valeur, elle est donc exclue de l'ensemble des solutions. Elle s'écrit tout en haut de la résolution, avant les calculs, sur une ligne du type la valeur trois est interdite. Elle reste exclue même quand l'inégalité est large.

Comment vérifier une factorisation sans refaire le calcul ?

On remplace la lettre par un nombre simple, souvent zéro, un ou deux, dans l'expression de départ et dans l'expression factorisée. Les deux doivent donner exactement le même résultat. Une seule valeur ne prouve pas l'égalité, mais elle détecte presque toutes les erreurs de signe et de distribution.

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Exercices corrigés : Nombres et calcul littéral

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

17 exercices corrigés
170 points
225 minutes

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Le second degré Carrés et racines carrées

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/2nde-calcul-numerique-litteral. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Contactez-moi pour une première séance. On reprend les gestes du calcul littéral qui coûtent des points, de la factorisation jusqu'au tableau de signes, puis on les met à l'épreuve sur des exercices du niveau réel des contrôles au Lycée Marie de France et au Collège Stanislas.

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