Fiche de révision : les nombres complexes (maths expertes)

Deux écritures, et à quoi sert chacune

• • Forme ALGÉBRIQUE $z=a+\mathrm{i}b$ : c'est celle des additions, des soustractions et des identifications de parties réelle et imaginaire.
• • Forme EXPONENTIELLE $z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ avec $r=|z|$ et $\theta$ un argument : c'est celle des produits, des quotients et des puissances.
• • Module : $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$, et surtout $z\overline{z}=|z|^{2}$. C'est ce PRODUIT, et non $z^{2}$, qui donne le carré du module.
• • Conjugué : $\overline{z}=a-\mathrm{i}b$, c'est-à-dire le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses.

Pour diviser sous forme algébrique, on multiplie numérateur et dénominateur par le CONJUGUÉ du dénominateur : le dénominateur devient $|z|^{2}$, donc un réel.

Le produit additionne les angles

• • $|zz'|=|z|\,|z'|$ : les modules se MULTIPLIENT.
• • $\arg(zz')=\arg z+\arg z'$ modulo $2\pi$ : les arguments s'ADDITIONNENT. C'est toute la puissance de la forme exponentielle.
• • Pour un quotient : les modules se divisent, les arguments se soustraient.
• • Formule de Moivre : $\left(r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\right)^{n}=r^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}$, qui est le cas particulier d'un produit de $n$ facteurs égaux.

Le cercle $\mathbb{U}$ des nombres de module $1$

• • $\mathbb{U}$ est l'ensemble des complexes de module $1$, les $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ : leurs images forment le cercle de centre $O$ et de rayon $1$.
• • Il est stable par produit, car $|uv|=|u|\,|v|=1$, et par inverse : pour $u\in\mathbb{U}$, $u\overline{u}=|u|^{2}=1$, donc $\frac{1}{u}=\overline{u}$.
• • Il n'est PAS stable par somme : $1$ et $\mathrm{i}$ sont dans $\mathbb{U}$, mais $|1+\mathrm{i}|=\sqrt{2}$.
• • Développer $\mathrm{e}^{\mathrm{i}a}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}b}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a+b)}$ redonne les formules de $\cos(a+b)$ et de $\sin(a+b)$.

Le second degré dans $\mathbb{C}$ : plus de discriminant négatif

• • Pour $az^{2}+bz+c=0$ à coefficients RÉELS avec $\Delta<0$ : les deux solutions sont $\frac{-b\pm\mathrm{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}$, et elles sont CONJUGUÉES l'une de l'autre.
• • On écrit $\sqrt{-\Delta}$, avec $-\Delta>0$ : jamais $\sqrt{\Delta}$, qui n'a pas de sens pour un réel négatif.
• • Un polynôme de degré $n$ admet AU PLUS $n$ racines : c'est ce que dit le programme, et c'est ce qui garantit qu'une fois $n$ racines trouvées, il n'y en a pas d'autre. Que $n$ racines existent toujours n'est pas au programme. La série « Équations polynomiales » travaille la factorisation par $z-a$ et ce théorème.
• • Pour $z^{n}=a$ avec $a\neq 0$, la forme exponentielle en fournit $n$ distinctes, régulièrement réparties sur un cercle : leurs images forment un polygone régulier, et le « au plus $n$ » dit qu'il n'y en a pas d'autre.

La notation $\sqrt{\ }$ ne s'emploie JAMAIS sur un nombre complexe ni sur un réel négatif : écrire $\sqrt{-4}=2\mathrm{i}$ est une faute, car $-2\mathrm{i}$ conviendrait tout autant et la fonction ne serait plus définie.

Traduire une écriture en ensemble de points

• • $|z-z_{A}|$ est la DISTANCE $AM$, où $A$ a pour affixe $z_{A}$ et $M$ pour affixe $z$. Tout part de là.
• • $|z-z_{A}|=r$ : l'ensemble des points à distance $r$ de $A$, donc le CERCLE de centre $A$ et de rayon $r$.
• • $|z-z_{A}|=|z-z_{B}|$ : l'ensemble des points équidistants de $A$ et $B$, donc la MÉDIATRICE de $[AB]$.
• • $\arg(z-z_{A})=\theta$ : une DEMI-DROITE issue de $A$, privée de $A$, et non une droite entière.