Maths expertes, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : les nombres complexes (maths expertes)

Q: Pourquoi le module au carré n'est-il pas le carré du nombre ?

Parce que le module est une longueur, donc un réel positif, alors que le carré d'un complexe est en général complexe. Le carré du module s'obtient en multipliant le nombre par son conjugué : les termes imaginaires se compensent et il reste la somme des carrés des deux parties. C'est aussi ce qui rend les dénominateurs réels.

Q: Peut-on comparer deux nombres complexes ?

Non. Aucun ordre compatible avec les opérations n'existe sur les complexes : supposer que i est positif conduit à conclure que moins un l'est aussi, ce qui est absurde. On peut en revanche comparer leurs modules, leurs parties réelles ou leurs parties imaginaires, qui sont des nombres réels.

Q: Comment passer de la forme algébrique à la forme exponentielle ?

On calcule d'abord le module, racine carrée de la somme des carrés des deux parties. On factorise ensuite par ce module, ce qui fait apparaître un cosinus et un sinus. On identifie enfin l'angle qui satisfait les deux à la fois, en s'aidant d'un croquis pour trouver le bon quadrant.

Q: Que devient une équation du second degré à discriminant négatif ?

Elle admet deux solutions complexes conjuguées, données par moins b plus ou moins i fois la racine de l'opposé du discriminant, le tout divisé par deux a. La racine carrée ne porte donc que sur un nombre positif, et le i s'écrit devant elle. Les deux solutions ont la même partie réelle.

Q: Comment reconnaître un cercle et une médiatrice sur une écriture complexe ?

Tout se traduit en distances. Une seule barre de module égalée à un nombre décrit les points situés à distance fixe d'un point : c'est un cercle. Deux barres de module égalées entre elles décrivent les points équidistants de deux points : c'est la médiatrice du segment qu'ils forment.

Q: Pourquoi les solutions de z puissance n égale a forment-elles un polygone régulier ?

Parce qu'elles ont toutes le même module, la racine n-ième de celui de a, et que leurs arguments diffèrent d'un multiple de deux pi sur n. Elles sont donc régulièrement réparties sur un même cercle, à intervalles angulaires égaux, ce qui est exactement la définition d'un polygone régulier.

Les nombres complexes ne sont pas difficiles à calculer : les règles sont celles de l'algèbre ordinaire, plus une seule nouveauté, $\mathrm{i}^{2}=-1$ . Ce qui coûte des points, ce sont les réflexes de $\mathbb{R}$ transportés tels quels : comparer deux complexes, écrire une racine carrée d'un nombre négatif, ou confondre le carré et le module au carré.

Cette fiche liste les huit erreurs qui reviennent, avec la phrase exacte qui les remet, l'arbre qui dit quelle forme employer selon la question, la lecture géométrique des ensembles de points, et une équation de degré trois décortiquée de la solution évidente jusqu'au triangle équilatéral.

Le fil du chapitre

Le module au carré vaut $z\overline{z}$ , jamais $z^{2}$ , et l'ensemble $\mathbb{C}$ n'est pas ordonné. Presque toutes les erreurs du chapitre viennent d'avoir transporté dans $\mathbb{C}$ un réflexe qui n'était vrai que dans $\mathbb{R}$ .

Ce chapitre fait partie de Maths expertes en Terminale

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (11 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les trois identités remarquablesSeconde, Mathématiques
2Nombres et calcul littéralSeconde, Mathématiques
3Le second degréSeconde, Mathématiques
4Configurations et trigonométrieSeconde, Mathématiques
5Le second degréPremière, Mathématiques
6La trigonométriePremière, Mathématiques
7Puissances et écriture scientifiqueQuatrième, Mathématiques
8Pythagore et cosinusQuatrième, Mathématiques
9Thalès et les agrandissementsQuatrième, Mathématiques
10Trigonométrie : sinus et cosinusTroisième, Mathématiques
11Thalès, réciproque et agrandissementsTroisième, Mathématiques

L'essentiel

Deux écritures, et à quoi sert chacune

• Forme ALGÉBRIQUE $z=a+\mathrm{i}b$ : c'est celle des additions, des soustractions et des identifications de parties réelle et imaginaire.
• Forme EXPONENTIELLE $z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ avec $r=|z|$ et $\theta$ un argument : c'est celle des produits, des quotients et des puissances.
• Module : $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ , et surtout $z\overline{z}=|z|^{2}$ . C'est ce PRODUIT, et non $z^{2}$ , qui donne le carré du module.
• Conjugué : $\overline{z}=a-\mathrm{i}b$ , c'est-à-dire le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses.

Le module est la LONGUEUR

OM

, l'argument est l'ANGLE que fait

OM

avec l'axe des abscisses. Les deux se lisent sur le même dessin, et c'est ce qui rend la forme exponentielle géométrique.

Pour diviser sous forme algébrique, on multiplie numérateur et dénominateur par le CONJUGUÉ du dénominateur : le dénominateur devient $|z|^{2}$ , donc un réel.

Le produit additionne les angles

• $|zz'|=|z|\,|z'|$ : les modules se MULTIPLIENT.
• $\arg(zz')=\arg z+\arg z'$ modulo $2\pi$ : les arguments s'ADDITIONNENT. C'est toute la puissance de la forme exponentielle.
• Pour un quotient : les modules se divisent, les arguments se soustraient.
• Formule de Moivre : $\left(r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\right)^{n}=r^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}$ , qui est le cas particulier d'un produit de $n$ facteurs égaux.

Le point du produit est plus loin de l'origine, parce que les modules se multiplient, et plus haut, parce que les angles s'ajoutent. Multiplier par un complexe, c'est tourner et dilater.

Le second degré dans $\mathbb{C}$ : plus de discriminant négatif

• Pour $az^{2}+bz+c=0$ à coefficients RÉELS avec $\Delta<0$ : les deux solutions sont $\frac{-b\pm\mathrm{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}$ , et elles sont CONJUGUÉES l'une de l'autre.
• On écrit $\sqrt{-\Delta}$ , avec $-\Delta>0$ : jamais $\sqrt{\Delta}$ , qui n'a pas de sens pour un réel négatif.
• Tout polynôme de degré $n$ à coefficients complexes admet exactement $n$ racines dans $\mathbb{C}$ , comptées avec leur multiplicité.
• Une équation $z^{n}=a$ admet donc $n$ solutions, régulièrement réparties sur un cercle : leurs images forment un polygone régulier.

La notation $\sqrt{\ }$ ne s'emploie JAMAIS sur un nombre complexe ni sur un réel négatif : écrire $\sqrt{-4}=2\mathrm{i}$ est une faute, car $-2\mathrm{i}$ conviendrait tout autant et la fonction ne serait plus définie.

Traduire une écriture en ensemble de points

• $|z-z_{A}|$ est la DISTANCE $AM$ , où $A$ a pour affixe $z_{A}$ et $M$ pour affixe $z$ . Tout part de là.
• $|z-z_{A}|=r$ : l'ensemble des points à distance $r$ de $A$ , donc le CERCLE de centre $A$ et de rayon $r$ .
• $|z-z_{A}|=|z-z_{B}|$ : l'ensemble des points équidistants de $A$ et $B$ , donc la MÉDIATRICE de $[AB]$ .
• $\arg(z-z_{A})=\theta$ : une DEMI-DROITE issue de $A$ , privée de $A$ , et non une droite entière.

Une seule barre de module donne un cercle, deux barres égalées donnent une droite. La différence tient à ce que l'on compare : une distance à un nombre, ou deux distances entre elles.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Écrire que le module au carré vaut le carré du nombre

toute la question, avec un résultat qui n'est pas un nombre réel

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $|z|^{2}=z^{2}$ , donc pour $z=3+4\mathrm{i}$ on a $|z|^{2}=-7+24\mathrm{i}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $|z|^{2}=z\overline{z}$ , donc $|z|^{2}=(3+4\mathrm{i})(3-4\mathrm{i})=9+16=25$ . Le carré $z^{2}$ , lui, vaut $-7+24\mathrm{i}$ et n'est même pas réel. »

Pourquoi : Un module est une longueur, donc un RÉEL POSITIF. Un résultat complexe pour un module signale immédiatement la confusion. C'est le produit par le conjugué, et lui seul, qui fait disparaître la partie imaginaire.

2. Comparer deux nombres complexes

1 à 2 points, et un raisonnement entier bâti sur une comparaison impossible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Comme $2+3\mathrm{i}>1+\mathrm{i}$ , on garde la première solution. »

Ce qu'il faut écrire

« L'ensemble $\mathbb{C}$ n'est PAS ordonné : écrire $z<z'$ n'a aucun sens. On peut en revanche comparer leurs MODULES, qui sont des réels : $|2+3\mathrm{i}|=\sqrt{13}>|1+\mathrm{i}|=\sqrt{2}$ . »

Pourquoi : Aucun ordre compatible avec les opérations n'existe sur $\mathbb{C}$ : si $\mathrm{i}>0$ , alors $\mathrm{i}^{2}=-1>0$ , ce qui est absurde. Seules des quantités réelles issues de $z$ , module ou partie réelle, se comparent.

3. Multiplier les arguments dans un produit

toute la question, et la forme exponentielle perd tout son intérêt

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\arg(zz')=\arg z\times\arg z'$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\arg(zz')=\arg z+\arg z'$ modulo $2\pi$ : les arguments s'ADDITIONNENT, ce sont les modules qui se multiplient. »

Pourquoi : La forme exponentielle rend la règle évidente : $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\times r'\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'}=rr'\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+\theta')}$ . Les exposants d'une exponentielle s'ajoutent, comme dans $\mathbb{R}$ .

4. Calculer un argument par l'arc tangente sans regarder le quadrant

1 point, et un point placé dans le mauvais quadrant

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $z=-1-\mathrm{i}$ , donc $\theta=\arctan\frac{-1}{-1}=\arctan 1=\frac{\pi}{4}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $M(-1\,;-1)$ est dans le TROISIÈME quadrant, donc son argument vaut $\frac{\pi}{4}-\pi=-\frac{3\pi}{4}$ . L'arc tangente ne donne qu'une valeur entre $-\frac{\pi}{2}$ et $\frac{\pi}{2}$ , il faut la corriger. »

Pourquoi : L'arc tangente perd le signe du dénominateur : $\frac{-1}{-1}$ et $\frac{1}{1}$ donnent le même quotient pour deux points diamétralement opposés. Le dessin tranche en une seconde, le calcul seul jamais.

5. Employer une racine carrée sur un nombre négatif ou complexe

0,5 à 1 point de rigueur, régulièrement compté

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\Delta=-12$ , donc $\sqrt{\Delta}=\sqrt{-12}=2\mathrm{i}\sqrt{3}$ et $z=\frac{-2\pm 2\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« On écrit $z=\frac{-b\pm\mathrm{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}$ , avec $-\Delta=12>0$ : la racine ne porte que sur un RÉEL POSITIF, et le $\mathrm{i}$ est écrit devant. Le résultat, $-1\pm\mathrm{i}\sqrt{3}$ , est le même, mais l'écriture est licite. »

Pourquoi : La fonction racine carrée n'est définie que sur les réels positifs : sur $\mathbb{C}$ , deux nombres opposés auraient le même carré et le symbole serait ambigu. L'écriture avec $\mathrm{i}$ devant lève l'ambiguïté.

6. Prendre un ensemble défini par un module pour une droite

toute la question, et le tracé demandé est faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $|z-1-\mathrm{i}|=2$ définit une droite. »

Ce qu'il faut écrire

« $|z-z_{A}|$ est la distance $AM$ : l'égalité $AM=2$ définit le CERCLE de centre $A(1\,;1)$ et de rayon $2$ . C'est l'égalité de DEUX distances, $|z-z_{A}|=|z-z_{B}|$ , qui donne une droite, la médiatrice. »

Pourquoi : Tout se lit sur la traduction du module en distance. Une distance égalée à un nombre donne un cercle; deux distances égalées entre elles donnent une médiatrice. Le reste du chapitre en découle.

7. Oublier que les racines d'un trinôme réel sont conjuguées

1 point, et un contrôle qui aurait pris cinq secondes

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les solutions de $z^{2}+2z+4=0$ sont $-1+\mathrm{i}\sqrt{3}$ et $1-\mathrm{i}\sqrt{3}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les coefficients étant RÉELS, les deux solutions sont CONJUGUÉES : $-1+\mathrm{i}\sqrt{3}$ et $-1-\mathrm{i}\sqrt{3}$ . Leur partie réelle est la même, seule la partie imaginaire change de signe. »

Pourquoi : Si $z$ est racine d'un polynôme à coefficients réels, alors $\overline{z}$ l'est aussi. Deux racines qui n'ont pas la même partie réelle signalent donc une erreur de signe dans la formule.

8. Développer un carré sans utiliser $\mathrm{i}^{2}=-1$

toute la question, et l'erreur est invisible à la relecture

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(2+3\mathrm{i})^{2}=4+12\mathrm{i}+9\mathrm{i}^{2}=4+12\mathrm{i}+9=13+12\mathrm{i}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\mathrm{i}^{2}=-1$ , donc $(2+3\mathrm{i})^{2}=4+12\mathrm{i}-9=-5+12\mathrm{i}$ . »

Pourquoi : L'identité remarquable s'applique exactement comme dans $\mathbb{R}$ ; la seule différence est la valeur de $\mathrm{i}^{2}$ . C'est la ligne où l'on remplace $\mathrm{i}^{2}$ qu'il faut écrire explicitement, sous peine d'oublier le signe.

Quelle méthode choisir

Quelle forme employer selon la question

On regarde l'opération demandée : additions et identifications d'un côté, produits et angles de l'autre.

Si il faut ADDITIONNER ou soustraire des complexes → forme algébrique, en regroupant parties réelles et parties imaginaires
Si il faut identifier une partie réelle ou imaginaire → forme algébrique, obligatoirement

Une expression donnée sous forme exponentielle se ramène par $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta$ .
Si il faut MULTIPLIER, diviser, ou élever à une puissance élevée → forme exponentielle : les modules se multiplient, les arguments s'additionnent

Exemple : $\left(1+\mathrm{i}\right)^{8}=\left(\sqrt{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}\right)^{8}=16\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi}=16$
Si il faut DIVISER sous forme algébrique → multiplier haut et bas par le CONJUGUÉ du dénominateur, qui devient alors réel

Exemple : $\frac{1}{1+\mathrm{i}}=\frac{1-\mathrm{i}}{2}$
Si il faut résoudre $z^{n}=a$ → forme exponentielle des deux côtés, puis égalité des modules et des arguments MODULO $2\pi$

C'est le modulo qui fait apparaître les $n$ solutions distinctes, pour $k$ de $0$ à $n-1$ .
Si il faut interpréter géométriquement → traduire chaque module en DISTANCE et chaque argument en ANGLE, puis reconnaître la figure

Le passage d'une forme à l'autre coûte deux lignes et fait gagner dix minutes : une puissance huitième sous forme algébrique est un calcul d'une demi-page, et une ligne sous forme exponentielle.

Quel ensemble de points selon l'écriture

On traduit d'abord chaque module en distance, puis on lit la condition géométrique correspondante.

Si $|z-z_{A}|=r$ avec $r>0$ → cercle de centre $A$ et de rayon $r$

Exemple : $|z-1-\mathrm{i}|=2$ donne le cercle de centre $(1\,;1)$ et de rayon $2$
Si $|z-z_{A}|=|z-z_{B}|$ → médiatrice du segment $[AB]$
Si $|z-z_{A}|\le r$ → disque fermé de centre $A$ et de rayon $r$ , bord compris
Si $\arg(z-z_{A})=\theta$ modulo $2\pi$ → DEMI-droite issue de $A$ , privée de $A$ , faisant l'angle $\theta$ avec l'axe des abscisses

Modulo $\pi$ au lieu de $2\pi$ , on obtient la droite entière, toujours privée de $A$ .
Si $z$ est réel → l'axe des abscisses; si $z$ est imaginaire pur, l'axe des ordonnées
Si $\frac{z-z_{A}}{z-z_{B}}$ est réel, ou imaginaire pur → alignement de $M$ , $A$ , $B$ dans le premier cas; cercle de diamètre $[AB]$ dans le second

Le point $A$ est toujours EXCLU d'un ensemble défini par un argument, puisque $\arg 0$ n'existe pas. C'est un demi-point que les copies laissent presque toujours.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre une équation du second degré à discriminant négatif

Quand l'utiliser : Question standard du chapitre, souvent la première étape d'une équation de degré trois.

1 Identifier $a$ , $b$ et $c$ , et vérifier qu'ils sont RÉELS : c'est la condition d'emploi de la formule.
2 Calculer $\Delta=b^{2}-4ac$ et constater qu'il est négatif.
3 Écrire les solutions sous la forme $z=\frac{-b\pm\mathrm{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}$ , avec $-\Delta$ positif sous la racine.
4 Simplifier, et vérifier que les deux solutions sont bien CONJUGUÉES.
5 Contrôler par la somme et le produit des racines : $z_{1}+z_{2}=-\frac{b}{a}$ et $z_{1}z_{2}=\frac{c}{a}$ .
6 Conclure en donnant l'ensemble des solutions.

Phrase de conclusion

$\Delta=4-16=-12<0$ , donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées : $z_{1}=\frac{-2+\mathrm{i}\sqrt{12}}{2}=-1+\mathrm{i}\sqrt{3}$ et $z_{2}=-1-\mathrm{i}\sqrt{3}$ .

Le piège : Écrire $\sqrt{\Delta}$ avec $\Delta$ négatif. La racine ne porte que sur $-\Delta$ , et le $\mathrm{i}$ se place devant : c'est une question d'écriture licite, et elle est notée.

Barème : 0,5 point pour le discriminant, 1 point pour l'écriture correcte des solutions, 0,5 point pour la vérification de la conjugaison.

Passer de la forme algébrique à la forme exponentielle

Quand l'utiliser : Dès qu'une puissance élevée, un produit répété ou une interprétation géométrique est demandé.

1 Calculer le module : $r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ , en le laissant sous forme exacte.
2 Factoriser par $r$ : $z=r\left(\frac{a}{r}+\mathrm{i}\frac{b}{r}\right)$ , ce qui fait apparaître un cosinus et un sinus.
3 Identifier l'angle $\theta$ tel que $\cos\theta=\frac{a}{r}$ ET $\sin\theta=\frac{b}{r}$ : les DEUX conditions, pas une seule.
4 Placer le point dans le plan pour vérifier le quadrant, ce qui lève l'ambiguïté de l'arc tangente.
5 Écrire $z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ et vérifier en développant $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta$ .

Phrase de conclusion

$|1+\mathrm{i}|=\sqrt{2}$ et $1+\mathrm{i}=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ , donc $\cos\theta=\sin\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\theta=\frac{\pi}{4}$ : ainsi $1+\mathrm{i}=\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}$ .

Le piège : Déterminer $\theta$ par le seul cosinus. Deux angles opposés ont le même cosinus : il faut le sinus pour choisir, ou un dessin.

Barème : 0,5 point pour le module, 1 point pour la factorisation, 1 point pour l'angle justifié par les deux lignes trigonométriques.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Vérifier qu'un module est un réel positif

Un module est une longueur : il ne peut être ni négatif ni complexe. Un résultat comportant un $\mathrm{i}$ signale la confusion entre $z\overline{z}$ et $z^{2}$ .

$|3+4\mathrm{i}|^{2}=25$ ; si le calcul donne $-7+24\mathrm{i}$ , c'est le carré du nombre, pas celui du module.
Contrôler les racines par leur somme et leur produit

Pour $az^{2}+bz+c=0$ , la somme des racines vaut $-\frac{b}{a}$ et leur produit $\frac{c}{a}$ . Deux additions de dix secondes valident toute la résolution.

$(-1+\mathrm{i}\sqrt{3})+(-1-\mathrm{i}\sqrt{3})=-2$ et leur produit vaut $1+3=4$ : conforme à $z^{2}+2z+4$ .
Placer le point avant d'annoncer un argument

Un croquis rapide dans le plan complexe donne le quadrant, donc le signe et l'intervalle de l'argument. C'est plus rapide et plus sûr qu'une discussion sur l'arc tangente.

Pour $-1-\mathrm{i}$ , le point est dans le troisième quadrant : l'argument est proche de $-\frac{3\pi}{4}$ , certainement pas de $\frac{\pi}{4}$ .
Vérifier une forme exponentielle en la redéveloppant

Remplacer $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ par $\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta$ et multiplier par $r$ doit redonner la forme algébrique de départ.

$\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=1+\mathrm{i}$ : la conversion est validée.
Compter les solutions d'une équation de degré $n$

Une équation polynomiale de degré $n$ a exactement $n$ solutions dans $\mathbb{C}$ , comptées avec leur multiplicité. En trouver moins signale une racine oubliée.

$z^{3}=8$ doit avoir trois solutions : $2$ seule ne suffit pas, il en manque deux, conjuguées l'une de l'autre.

L'exercice type décortiqué

Résoudre $z^{3}=8$ dans $\mathbb{C}$ , comme au baccalauréat

On cherche toutes les solutions complexes de l'équation $z^{3}=8$ .

1. Vérifier que $2$ est solution et factoriser $z^{3}-8$ . 2. Résoudre l'équation du second degré obtenue. 3. Donner la forme exponentielle des trois solutions. 4. Placer leurs images et montrer que le triangle formé est équilatéral.

Les trois solutions sont sur un même cercle de rayon

2

et séparées par des angles de

120^{\circ}

: c'est la configuration de toute équation

z^{n}=a

, quel que soit

n

Étape 1

$2^{3}=8$ : le nombre $2$ est bien solution. On peut donc factoriser par $(z-2)$ : $z^{3}-8=(z-2)\left(z^{2}+2z+4\right)$ , ce qu'on vérifie en développant.

Pourquoi

Une solution évidente réelle transforme un degré trois en un degré deux, seul cas que le programme sait résoudre directement. Le développement de contrôle prend dix secondes et évite une erreur de coefficient.

Étape 2

$z^{2}+2z+4=0$ : $\Delta=2^{2}-4\times 1\times 4=4-16=-12<0$ .

Pourquoi

Le discriminant est négatif, ce qui dans $\mathbb{R}$ arrêtait le calcul et dans $\mathbb{C}$ le poursuit. C'est exactement la nouveauté du chapitre, et il faut le dire.

Étape 3

Les solutions sont $z=\frac{-2\pm\mathrm{i}\sqrt{12}}{2}=\frac{-2\pm 2\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}=-1\pm\mathrm{i}\sqrt{3}$ .

Pourquoi

La racine porte sur $-\Delta=12$ , un réel positif, et le $\mathrm{i}$ est écrit devant. La simplification par $2$ se fait sur les DEUX termes du numérateur, ce qui est l'erreur d'étourderie la plus fréquente.

Étape 4

Contrôle : la somme des deux racines vaut $-2$ , conforme à $-\frac{b}{a}$ , et leur produit vaut $(-1)^{2}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}=1+3=4$ , conforme à $\frac{c}{a}$ .

Pourquoi

Deux contrôles indépendants qui valident à la fois le discriminant et la simplification. Le produit de deux conjugués est le module au carré, ce qui donne un réel : c'est un troisième contrôle gratuit.

Étape 5

Modules : $|2|=2$ et $\left|-1\pm\mathrm{i}\sqrt{3}\right|=\sqrt{1+3}=2$ . Les trois solutions ont donc le MÊME module $2$ , et leurs images sont sur le cercle de centre $O$ et de rayon $2$ .

Pourquoi

Ce n'est pas un hasard : si $z^{3}=8$ , alors $|z|^{3}=8$ , donc $|z|=2$ pour toutes les solutions. Le module se déduit de l'équation avant même de la résoudre.

Étape 6

Arguments : $2=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\times 0}$ ; pour $-1+\mathrm{i}\sqrt{3}$ , $\cos\theta=-\frac{1}{2}$ et $\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , donc $\theta=\frac{2\pi}{3}$ ; pour le conjugué, $\theta=-\frac{2\pi}{3}$ . D'où $2\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/3}$ et $2\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\pi/3}$ .

Pourquoi

On donne le cosinus ET le sinus pour fixer l'angle sans ambiguïté. Les trois arguments sont séparés de $\frac{2\pi}{3}$ , ce qui annonce déjà la régularité de la figure.

Étape 7

Longueurs des côtés : entre $2$ et $-1+\mathrm{i}\sqrt{3}$ , la distance vaut $\left|-3+\mathrm{i}\sqrt{3}\right|=\sqrt{9+3}=2\sqrt{3}$ . Entre les deux racines conjuguées, $\left|2\mathrm{i}\sqrt{3}\right|=2\sqrt{3}$ . Par symétrie, le troisième côté vaut aussi $2\sqrt{3}$ .

Pourquoi

Trois longueurs égales suffisent à conclure. La distance entre deux points se calcule par le MODULE de la différence de leurs affixes, ce qui évite tout passage par des coordonnées.

Étape 8

Le triangle est donc ÉQUILATÉRAL, de côté $2\sqrt{3}\approx 3{,}46$ , inscrit dans le cercle de rayon $2$ .

Pourquoi

Le résultat se généralise : les $n$ solutions de $z^{n}=a$ forment toujours un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans un cercle. C'est la conséquence géométrique du modulo $2\pi$ sur les arguments.

Conclusion rédigée

L'équation $z^{3}=8$ admet exactement trois solutions, $2$ , $-1+\mathrm{i}\sqrt{3}$ et $-1-\mathrm{i}\sqrt{3}$ , de même module $2$ et d'arguments séparés de $\frac{2\pi}{3}$ ; leurs images forment un triangle équilatéral de côté $2\sqrt{3}$ inscrit dans le cercle de rayon $2$ .

L'erreur classique sur cet exercice : S'arrêter à la solution $z=2$ en concluant que l'équation est résolue. Un polynôme de degré trois a TROIS racines dans $\mathbb{C}$ : la factorisation par $(z-2)$ est justement là pour aller chercher les deux autres.

À savoir par cœur

• $|z|^{2}=z\overline{z}$ , JAMAIS $z^{2}$ . Un module est un réel positif.
• $\mathbb{C}$ n'est pas ordonné : $z<z'$ n'a aucun sens, seuls les modules se comparent.
• Les modules se MULTIPLIENT, les arguments s'ADDITIONNENT.
• Moivre : $\left(r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\right)^{n}=r^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}$ .
• $\Delta<0$ à coefficients réels : $z=\frac{-b\pm\mathrm{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}$ , deux racines CONJUGUÉES.
• On n'écrit jamais $\sqrt{\ }$ d'un nombre négatif ni d'un complexe.
• Un argument se détermine par le cosinus ET le sinus, ou par un croquis; l'arc tangente seule ne suffit pas.
• $|z-z_{A}|=r$ donne un CERCLE; $|z-z_{A}|=|z-z_{B}|$ donne une MÉDIATRICE.
• Une équation de degré $n$ a exactement $n$ solutions dans $\mathbb{C}$ , et $z^{n}=a$ donne un polygone régulier.

Questions fréquentes

Pourquoi le module au carré n'est-il pas le carré du nombre ?

Parce que le module est une longueur, donc un réel positif, alors que le carré d'un complexe est en général complexe. Le carré du module s'obtient en multipliant le nombre par son conjugué : les termes imaginaires se compensent et il reste la somme des carrés des deux parties. C'est aussi ce qui rend les dénominateurs réels.

Peut-on comparer deux nombres complexes ?

Non. Aucun ordre compatible avec les opérations n'existe sur les complexes : supposer que i est positif conduit à conclure que moins un l'est aussi, ce qui est absurde. On peut en revanche comparer leurs modules, leurs parties réelles ou leurs parties imaginaires, qui sont des nombres réels.

Comment passer de la forme algébrique à la forme exponentielle ?

On calcule d'abord le module, racine carrée de la somme des carrés des deux parties. On factorise ensuite par ce module, ce qui fait apparaître un cosinus et un sinus. On identifie enfin l'angle qui satisfait les deux à la fois, en s'aidant d'un croquis pour trouver le bon quadrant.

Que devient une équation du second degré à discriminant négatif ?

Elle admet deux solutions complexes conjuguées, données par moins b plus ou moins i fois la racine de l'opposé du discriminant, le tout divisé par deux a. La racine carrée ne porte donc que sur un nombre positif, et le i s'écrit devant elle. Les deux solutions ont la même partie réelle.

Comment reconnaître un cercle et une médiatrice sur une écriture complexe ?

Tout se traduit en distances. Une seule barre de module égalée à un nombre décrit les points situés à distance fixe d'un point : c'est un cercle. Deux barres de module égalées entre elles décrivent les points équidistants de deux points : c'est la médiatrice du segment qu'ils forment.

Pourquoi les solutions de z puissance n égale a forment-elles un polygone régulier ?

Parce qu'elles ont toutes le même module, la racine n-ième de celui de a, et que leurs arguments diffèrent d'un multiple de deux pi sur n. Elles sont donc régulièrement réparties sur un même cercle, à intervalles angulaires égaux, ce qui est exactement la définition d'un polygone régulier.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les nombres complexes

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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Fiche de révision : les nombres complexes (maths expertes)

L'essentiel

Deux écritures, et à quoi sert chacune

Le produit additionne les angles

Le second degré dans C\mathbb{C}C : plus de discriminant négatif

Traduire une écriture en ensemble de points

Les pièges qui coûtent des points

1. Écrire que le module au carré vaut le carré du nombre

2. Comparer deux nombres complexes

3. Multiplier les arguments dans un produit

4. Calculer un argument par l'arc tangente sans regarder le quadrant

5. Employer une racine carrée sur un nombre négatif ou complexe

6. Prendre un ensemble défini par un module pour une droite

7. Oublier que les racines d'un trinôme réel sont conjuguées

8. Développer un carré sans utiliser i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1i2=−1

Quelle méthode choisir

Quelle forme employer selon la question

Quel ensemble de points selon l'écriture

La rédaction attendue

Résoudre une équation du second degré à discriminant négatif

Passer de la forme algébrique à la forme exponentielle

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Résoudre z3=8z^{3}=8z3=8 dans C\mathbb{C}C, comme au baccalauréat

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi le module au carré n'est-il pas le carré du nombre ?

Peut-on comparer deux nombres complexes ?

Comment passer de la forme algébrique à la forme exponentielle ?

Que devient une équation du second degré à discriminant négatif ?

Comment reconnaître un cercle et une médiatrice sur une écriture complexe ?

Pourquoi les solutions de z puissance n égale a forment-elles un polygone régulier ?

Exercices corrigés : Les nombres complexes

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Le second degré dans $\mathbb{C}$ : plus de discriminant négatif

8. Développer un carré sans utiliser $\mathrm{i}^{2}=-1$

Résoudre $z^{3}=8$ dans $\mathbb{C}$ , comme au baccalauréat