Troisième, programme français à Montréal • Fiche de révision

Fiche de révision : PGCD, Euclide et fractions irréductibles (Troisième)

Q: Comment calculer le PGCD avec l'algorithme d'Euclide ?

On divise le plus grand nombre par le plus petit et on note le reste. Puis on recommence en divisant l'ancien diviseur par ce reste, et ainsi de suite. On s'arrête quand le reste devient nul : le PGCD est alors le dernier reste non nul, c'est-à-dire le dernier diviseur utilisé.

Q: Pourquoi le PGCD n'est-il pas le dernier reste, qui vaut zéro ?

Parce que zéro ne divise aucun nombre, il ne peut donc pas être un diviseur commun. Le reste nul sert uniquement de signal d'arrêt : il annonce que la division est enfin tombée juste. On remonte alors d'une ligne pour lire le dernier reste non nul, qui est le PGCD.

Q: Que veut dire premiers entre eux en troisième ?

Deux entiers sont premiers entre eux quand leur seul diviseur commun est un, autrement dit quand leur PGCD vaut un. Ils n'ont pas besoin d'être des nombres premiers eux-mêmes. Par exemple huit et neuf sont premiers entre eux, alors que ni l'un ni l'autre n'est premier.

Q: Comment rendre une fraction irréductible en une seule étape ?

On calcule le PGCD du numérateur et du dénominateur, puis on divise les deux termes par ce nombre. Le résultat est forcément irréductible, et il faut l'écrire : les deux nouveaux termes ont pour PGCD un. Simplifier par petites étapes fonctionne aussi, mais rien ne garantit qu'on est arrivé au bout.

Q: À quoi sert le PGCD dans un problème de paquets ?

Le nombre de paquets doit diviser chacune des deux quantités, sans quoi il resterait des objets. C'est donc un diviseur commun, et le plus grand nombre de paquets est le plus grand diviseur commun. Le contenu de chaque paquet s'obtient ensuite en divisant chaque quantité par ce nombre de paquets.

Cette fiche de révision couvre le plus grand diviseur commun, l'algorithme d'Euclide et les fractions irréductibles en classe de troisième du programme français, tels qu'ils sont évalués au brevet et dans les contrôles du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas à Montréal.

Elle ne redit pas le cours, que vous avez déjà : elle dit ce qui fait perdre des points sur ce chapitre, et le geste précis qui évite chaque perte. Le fil est toujours le même : un diviseur commun ne suffit pas, l'énoncé demande LE PLUS GRAND, et seul l'algorithme le garantit.

Mis à jour le 16 octobre 2026

Marque ici la fiche comme lue ou mets-la en favori : un compte gratuit, sans mot de passe, retient tes fiches lues et tes favoris d'une visite à l'autre, te dit quel chapitre attaquer ensuite et te permet de demander la méthode ou l'exercice qui te manque. Crée ton espace, un courriel suffit.

Le fil du chapitre

Le plus grand diviseur commun ne se devine pas, il se CALCULE : c'est le dernier reste NON NUL de l'algorithme d'Euclide. Presque tout ce qui se perd dans ce chapitre vient d'un diviseur commun pris pour le plus grand, ou d'un zéro pris pour un résultat.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Troisième

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 16 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Multiples, diviseurs et nombres premiers Quatrième Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (2 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1 Multiples, diviseurs et divisibilité Sixième
2 Multiples, diviseurs et nombres premiers Quatrième

L'essentiel

Diviseur, multiple, diviseur commun : trois mots à ne pas mélanger

• $b$ divise $a$ signifie qu'il existe un entier $k$ tel que $a=k\times b$ . La même égalité dit aussi que $a$ est un MULTIPLE de $b$ : un seul fait, deux vocabulaires.
• Un entier est PAIR s'il s'écrit $2k$ , IMPAIR s'il s'écrit $2k+1$ . Être pair, c'est exactement être un multiple de $2$ .
• Un diviseur COMMUN de $a$ et $b$ divise les deux. Il y en a toujours au moins un, le nombre $1$ .
• Le PGCD est LE PLUS GRAND de ces diviseurs communs : trouver un diviseur commun ne répond donc jamais à la question.
• Division euclidienne : $a=b\times q+r$ avec $0\le r<b$ . Le reste est toujours strictement plus petit que le diviseur.

Les deux rangées de points sont les diviseurs de

24

et de

36

; les pointillés relient ceux qui sont communs. Il y en a six, et le PGCD est le plus à droite d'entre eux,

12

Sur une copie, écrire « $12$ divise $24$ et $12$ divise $36$ , donc $12$ est un diviseur commun » puis « et c'est le plus grand » sont DEUX affirmations : la seconde demande une justification, l'algorithme ou la liste complète.

L'algorithme d'Euclide, dans l'ordre

• On divise le plus grand par le plus petit, puis on recommence avec le DIVISEUR et le RESTE. Jamais avec le dividende de départ.
• On s'arrête quand le reste est nul. Le PGCD est alors le DERNIER RESTE NON NUL, c'est-à-dire le dernier diviseur utilisé.
• Si le premier reste est déjà nul, le plus petit nombre divise le plus grand, et c'est lui le PGCD.
• Propriété qui fait marcher l'algorithme : les diviseurs communs de $a$ et $b$ sont exactement ceux de $b$ et $r$ , donc le PGCD ne change pas d'une ligne à l'autre.

30=2\times 12+6

: deux carrés de

12

et il reste une bande de

6

;

12=2\times 6+0

: la bande se remplit de carrés de

6

sans reste. Le PGCD est

6

Poser les divisions les unes sous les autres, en colonne : le décalage d'une ligne est l'erreur la plus fréquente, et une présentation en colonne la rend visible.

Premiers entre eux, et fraction irréductible

• Deux entiers sont PREMIERS ENTRE EUX quand leur PGCD vaut $1$ . Ils n'ont pas besoin d'être premiers eux-mêmes : $8$ et $9$ sont premiers entre eux.
• Une fraction est IRRÉDUCTIBLE quand son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
• Pour la rendre irréductible en UNE SEULE fois, on divise les deux termes par leur PGCD.
• La justification finale est obligatoire : « $7$ et $5$ ont pour PGCD $1$ , donc la fraction est irréductible ».

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Prendre un diviseur commun pour LE plus grand

toute la question, souvent 3 points, et le problème entier qui en dépend

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $6$ divise $24$ et $6$ divise $36$ , donc $\text{PGCD}(24\,;36)=6$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $6$ est bien un diviseur commun, mais $12$ en est un aussi et il est plus grand : $\text{PGCD}(24\,;36)=12$ . »

Ce sol de

60

cm sur

36

cm se carrelle sans découpe avec des dalles de

12

cm, mais aussi avec des dalles de

6

, de

4

, de

3

, de

2

ou de

1

cm : seule la dalle de

12

répond à « la plus grande possible ».

Pourquoi : La question porte sur le PLUS GRAND. Trouver un diviseur commun est une observation, pas une réponse : seule la liste complète ou l'algorithme d'Euclide garantit le maximum.

2. Arrêter l'algorithme d'Euclide sur le reste nul

3 points, et une réponse impossible, car

0

ne divise rien

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le dernier reste est $0$ , donc $\text{PGCD}(252\,;180)=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le dernier reste NON NUL est $36$ , donc $\text{PGCD}(252\,;180)=36$ . »

Pourquoi : Le reste nul est le signal d'arrêt, pas le résultat. Le PGCD est le dernier diviseur utilisé, celui qui est enfin tombé juste.

3. Décaler d'une ligne dans les divisions successives

3 points, l'algorithme ne converge plus vers le bon nombre

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $252=1\times 180+72$ , puis je divise $252$ par $72$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $252=1\times 180+72$ , puis je divise $180$ par $72$ : on reprend le DIVISEUR et le RESTE, jamais le dividende. »

Pourquoi : L'algorithme repose sur le fait que $a$ et $b$ ont les mêmes diviseurs communs que $b$ et $r$ . Repartir de $a$ casse cette chaîne et le résultat n'a plus de sens.

4. Confondre diviseur et multiple

1 point à chaque question de vocabulaire

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $6$ divise $24$ , donc $6$ est un multiple de $24$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $6$ divise $24$ , donc $24$ est un multiple de $6$ , et $6$ est un diviseur de $24$ . »

Les multiples de

6

sont les points de

6

6

;

24

en fait partie, donc

24

est un MULTIPLE de

6

, et

6

un DIVISEUR de

24

Pourquoi : Le multiple est le GRAND, le diviseur est le PETIT. L'égalité $24=4\times 6$ se lit dans les deux sens, mais chaque mot désigne un côté précis.

5. Croire que « premiers entre eux » veut dire « tous deux premiers »

2 points, et la conclusion d'irréductibilité tombe avec

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $8$ et $9$ ne sont pas des nombres premiers, donc ils ne sont pas premiers entre eux. »

Ce qu'il faut écrire

« $\text{PGCD}(8\,;9)=1$ , donc $8$ et $9$ sont premiers entre eux, même si aucun des deux n'est un nombre premier. »

Les diviseurs de

8

et ceux de

9

n'ont que

1

en commun (vert) :

\text{PGCD}(8\,;9)=1

, bien que ni

8

9

ne soit premier.

Pourquoi : « Premier entre eux » est une propriété du COUPLE, pas de chaque nombre : elle dit seulement qu'ils n'ont aucun facteur commun autre que $1$ .

6. Additionner des diviseurs

2 points, et c'est presque toujours l'une des cinq affirmations à corriger

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $2$ divise $12$ et $3$ divise $12$ , donc $5$ divise $12$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $2$ et $3$ divisent $12$ , mais $12=2\times 5+2$ : $5$ ne divise pas $12$ . Un seul contre-exemple suffit. »

Pourquoi : La somme de deux MULTIPLES de $a$ est un multiple de $a$ , mais la somme de deux DIVISEURS de $a$ n'a aucune raison de diviser $a$ . Les deux propriétés se ressemblent et une seule est vraie.

7. Simplifier une fraction et s'arrêter avant l'irréductible

2 points, dont 1 pour la justification finale absente

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{252}{180}=\dfrac{126}{90}$ , voilà la forme irréductible. »

Ce qu'il faut écrire

« Je divise par le PGCD, qui vaut $36$ : $\dfrac{252}{180}=\dfrac{7}{5}$ , et $\text{PGCD}(7\,;5)=1$ donc la fraction est irréductible. »

Pourquoi : Diviser par $2$ puis par $2$ puis par $3$ finit par marcher, mais rien ne prouve qu'on est arrivé au bout. Le PGCD, lui, garantit la fin en une seule division.

8. Répondre par le PGCD alors que la question demande autre chose

2 points sur 3, la question est comprise à l'envers

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le PGCD vaut $36$ , donc chaque paquet contient $36$ stylos. »

Ce qu'il faut écrire

« Le PGCD vaut $36$ , donc on peut faire $36$ paquets, contenant chacun $\dfrac{252}{36}=7$ stylos et $\dfrac{180}{36}=5$ gommes. »

Le PGCD

36

est le NOMBRE de paquets ; ce que contient UN paquet se calcule ensuite :

\dfrac{252}{36}=7

stylos et

\dfrac{180}{36}=5

gommes.

Pourquoi : Le PGCD donne le NOMBRE de paquets quand on partage deux lots entre des paquets identiques. Le contenu de chaque paquet s'obtient ensuite, par deux divisions.

9. Oublier la condition $0\le r<b$ dans la division euclidienne

1 point, et un algorithme qui tourne en rond

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $252=1\times 180+72$ , ou aussi $252=0\times 180+252$ , les deux conviennent. »

Ce qu'il faut écrire

« Le reste doit vérifier $0\le r<180$ : seule l'écriture $252=1\times 180+72$ est la division euclidienne. »

Pourquoi : Sans la contrainte sur le reste, l'écriture n'est pas unique et l'algorithme ne descend plus : c'est cette décroissance stricte qui garantit qu'il s'arrête.

Quelle méthode choisir

Que demande vraiment l'énoncé ?

Repérer la formule exacte du problème, car le PGCD se cache derrière plusieurs formulations.

Si « le plus grand nombre de paquets identiques », « sans qu'il reste rien » → calculer le PGCD des deux quantités, puis diviser chaque quantité par lui

Exemple : $252$ stylos et $180$ gommes donnent $36$ paquets de $7$ et $5$
Si « la plus grande dalle carrée », « découper sans perte » → calculer le PGCD des deux dimensions : c'est le CÔTÉ du carré

Exemple : $60$ cm sur $36$ cm donnent des dalles de $12$ cm
Si « rendre la fraction irréductible » → calculer le PGCD du numérateur et du dénominateur, puis diviser les deux par lui

Exemple : $\dfrac{252}{180}=\dfrac{7}{5}$
Si « ces deux nombres sont-ils premiers entre eux » → calculer le PGCD et le comparer à $1$

Exemple : $\text{PGCD}(8\,;9)=1$ , donc oui
Si « montrer que cette affirmation est fausse » → exhiber UN contre-exemple numérique, et un seul suffit

Exemple : $2$ et $3$ divisent $12$ , mais $5$ ne le divise pas

Si l'énoncé parle du plus petit nombre commun à deux répétitions, il ne s'agit plus du PGCD : au collège, ce cas se traite en listant les multiples.

Quelle méthode selon la taille des nombres ?

Regarder l'ordre de grandeur des deux entiers.

Si deux nombres inférieurs à $50$ → lister les diviseurs de chacun et comparer les deux listes

Exemple : $24$ et $36$ : le plus grand commun se lit, c'est $12$

lister par paires, $1$ et $24$ , $2$ et $12$ , $3$ et $8$ , $4$ et $6$ , garantit de n'en oublier aucun
Si des nombres qui se décomposent facilement → décomposer en facteurs premiers et garder les facteurs communs

Exemple : $252=2^{2}\times 3^{2}\times 7$ et $180=2^{2}\times 3^{2}\times 5$ donnent $36$
Si deux grands nombres, ou une consigne qui impose la méthode → appliquer l'algorithme d'EUCLIDE, divisions posées en colonne

Exemple : $252$ et $180$ donnent $72$ , puis $36$ , puis $0$
Si l'un des deux divise l'autre → le PGCD est le plus petit des deux, sans aucun calcul

Exemple : $\text{PGCD}(12\,;36)=12$

Quand l'énoncé écrit « en détaillant les étapes » ou « à l'aide de l'algorithme d'Euclide », la méthode fait partie du barème : le bon résultat obtenu autrement ne rapporte pas les points de méthode.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rendre une fraction irréductible en une seule fois

Quand l'utiliser : L'énoncé demande la forme irréductible d'une fraction, ou « simplifier au maximum ».

1 Annoncer le calcul du PGCD du numérateur et du dénominateur : « je calcule $\text{PGCD}(252\,;180)$ ».
2 Poser les divisions d'Euclide en colonne : $252=1\times 180+72$ , $180=2\times 72+36$ , $72=2\times 36+0$ .
3 Conclure sur le PGCD : « le dernier reste non nul est $36$ , donc $\text{PGCD}(252\,;180)=36$ ».
4 Diviser les deux termes par ce PGCD : $\dfrac{252}{180}=\dfrac{252\div 36}{180\div 36}=\dfrac{7}{5}$ .
5 Justifier l'irréductibilité : « $7$ et $5$ ont pour PGCD $1$ , donc la fraction est irréductible ».

Phrase de conclusion

« La forme irréductible de $\dfrac{252}{180}$ est $\dfrac{7}{5}$ , car $7$ et $5$ sont premiers entre eux. »

Le piège : S'arrêter après la division sans écrire la dernière phrase : elle vaut un point à elle seule, et c'est elle qui prouve que la fraction est bien irréductible.

Barème : 1 point pour les divisions posées, 1 point pour le PGCD, 1 point pour la fraction simplifiée, 0,5 point pour la justification finale.

Résoudre un problème de paquets identiques

Quand l'utiliser : L'énoncé partage deux lots en paquets identiques, sans reste, et demande le plus grand nombre de paquets.

1 Traduire l'énoncé : « le nombre de paquets doit diviser $252$ et diviser $180$ , c'est donc un diviseur commun ».
2 Traduire le mot « plus grand » : « on cherche le PLUS GRAND diviseur commun de $252$ et $180$ ».
3 Calculer ce PGCD par l'algorithme d'Euclide, divisions écrites.
4 Répondre à la question posée, puis calculer le contenu d'un paquet par deux divisions.

Phrase de conclusion

« On peut réaliser au maximum $36$ paquets identiques ; chacun contient alors $7$ stylos et $5$ gommes. »

Le piège : Confondre le nombre de paquets et le contenu d'un paquet. Le PGCD donne le nombre de paquets ; le contenu vient ensuite.

Barème : 1 point pour la traduction en diviseur commun, 1 point pour le PGCD, 1 point pour le contenu des paquets.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le PGCD divise bien les deux nombres

Reprendre le résultat et faire les deux divisions : elles doivent tomber juste, sans reste. Un PGCD qui ne divise pas l'un des deux est faux à coup sûr.

$252\div 36=7$ et $180\div 36=5$ : les deux tombent juste. Un reste, même de $1$ , signale une ligne fausse dans l'algorithme.
Les quotients sont premiers entre eux

Après division par le PGCD, les deux quotients ne doivent plus avoir de facteur commun. S'ils sont tous deux pairs, ou tous deux multiples de $3$ , le PGCD trouvé était trop petit.

$7$ et $5$ n'ont aucun facteur commun : le PGCD était bien le plus grand. $126$ et $90$ , eux, sont encore tous deux pairs.
Les restes diminuent strictement

Relire la colonne des restes de l'algorithme : elle doit être strictement décroissante jusqu'à zéro. Un reste plus grand que le précédent signale une division inversée.

$72$ , puis $36$ , puis $0$ : correct. $72$ , puis $108$ : une ligne a été écrite à l'envers.
Le contrôle de parité et de somme des chiffres

Vérifier vite qu'un diviseur annoncé est plausible : un nombre pair n'est divisible par un impair qu'à certaines conditions, et la somme des chiffres décide de la divisibilité par $3$ et par $9$ .

$252$ a pour somme de chiffres $9$ , donc il est divisible par $9$ ; $180$ aussi. Le PGCD est donc au moins un multiple de $9$ , ce que $36$ respecte.

L'exercice type décortiqué

Des paquets identiques, puis la fraction irréductible

Un professeur dispose de $252$ stylos et de $180$ gommes. Il veut constituer des paquets identiques, en utilisant tous les stylos et toutes les gommes.

1. Quel est le plus grand nombre de paquets qu'il peut réaliser ?

2. Que contient alors chaque paquet ?

3. Écrire $\dfrac{252}{180}$ sous forme irréductible.

Étape 1

Traduction : le nombre de paquets divise $252$ et divise $180$ , c'est donc un diviseur commun. On cherche le plus grand, c'est-à-dire $\text{PGCD}(252\,;180)$ .

Pourquoi

Cette ligne vaut un point à elle seule et elle est presque toujours absente des copies : elle montre au correcteur qu'on a traduit le problème, et pas seulement reconnu un exercice de PGCD.

Étape 2

Algorithme d'Euclide : $252=1\times 180+72$ , puis $180=2\times 72+36$ , puis $72=2\times 36+0$ .

Pourquoi

À chaque ligne on reprend le DIVISEUR et le RESTE de la ligne précédente. Les écrire les unes sous les autres rend le décalage d'une ligne immédiatement visible, et c'est l'erreur numéro un du chapitre.

Étape 3

Le dernier reste non nul est $36$ , donc $\text{PGCD}(252\,;180)=36$ . Le professeur peut faire au maximum $36$ paquets.

Pourquoi

Le reste nul est le signal d'arrêt et non le résultat : on remonte d'une ligne. Répondre $0$ est impossible, puisqu'aucun nombre n'est divisible par zéro.

Étape 4

Contenu d'un paquet : $252\div 36=7$ stylos et $180\div 36=5$ gommes.

Pourquoi

La question 2 est une question distincte : le PGCD donne le NOMBRE de paquets, pas leur contenu. Les deux divisions valent chacune un demi-point.

Étape 5

Fraction : $\dfrac{252}{180}=\dfrac{252\div 36}{180\div 36}=\dfrac{7}{5}$ , et $\text{PGCD}(7\,;5)=1$ .

Pourquoi

On réutilise le PGCD déjà calculé au lieu de simplifier par étapes : une seule division, et la certitude d'être arrivé au bout. La dernière égalité est la justification, pas une coquetterie.

Étape 6

Vérification : $36\times 7=252$ et $36\times 5=180$ . Les deux lots sont entièrement utilisés.

Pourquoi

On repart des données de l'énoncé et non d'une ligne intermédiaire : le contrôle reste valable même si l'algorithme comportait une erreur.

Conclusion rédigée

« Le professeur peut réaliser au maximum $36$ paquets. Chaque paquet contient $7$ stylos et $5$ gommes. Enfin, $\dfrac{252}{180}=\dfrac{7}{5}$ , fraction irréductible car $7$ et $5$ sont premiers entre eux. »

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre « $36$ stylos par paquet » à la question 2, en reprenant le PGCD au lieu de faire la division. La vérification $36\times 36=1296$ , très loin de $252$ , la démasque en trois secondes.

À savoir par cœur

• $b$ divise $a$ veut dire $a=k\times b$ : le MULTIPLE est le grand, le DIVISEUR est le petit.
• Division euclidienne : $a=bq+r$ avec $0\le r<b$ , et le reste est STRICTEMENT plus petit que le diviseur.
• Euclide : on recommence avec le DIVISEUR et le RESTE, jamais avec le dividende de départ.
• Le PGCD est le dernier reste NON NUL. Le reste $0$ est un signal d'arrêt, pas un résultat.
• Premiers entre eux veut dire PGCD égal à $1$ : $8$ et $9$ le sont, sans être premiers.
• Fraction irréductible : on divise les deux termes par leur PGCD, une seule fois, puis on JUSTIFIE.
• Un contre-exemple suffit à réfuter ; aucun nombre d'exemples ne suffit à prouver.

Questions fréquentes

Comment calculer le PGCD avec l'algorithme d'Euclide ?

On divise le plus grand nombre par le plus petit et on note le reste. Puis on recommence en divisant l'ancien diviseur par ce reste, et ainsi de suite. On s'arrête quand le reste devient nul : le PGCD est alors le dernier reste non nul, c'est-à-dire le dernier diviseur utilisé.

Pourquoi le PGCD n'est-il pas le dernier reste, qui vaut zéro ?

Parce que zéro ne divise aucun nombre, il ne peut donc pas être un diviseur commun. Le reste nul sert uniquement de signal d'arrêt : il annonce que la division est enfin tombée juste. On remonte alors d'une ligne pour lire le dernier reste non nul, qui est le PGCD.

Que veut dire premiers entre eux en troisième ?

Deux entiers sont premiers entre eux quand leur seul diviseur commun est un, autrement dit quand leur PGCD vaut un. Ils n'ont pas besoin d'être des nombres premiers eux-mêmes. Par exemple huit et neuf sont premiers entre eux, alors que ni l'un ni l'autre n'est premier.

Comment rendre une fraction irréductible en une seule étape ?

On calcule le PGCD du numérateur et du dénominateur, puis on divise les deux termes par ce nombre. Le résultat est forcément irréductible, et il faut l'écrire : les deux nouveaux termes ont pour PGCD un. Simplifier par petites étapes fonctionne aussi, mais rien ne garantit qu'on est arrivé au bout.

À quoi sert le PGCD dans un problème de paquets ?

Le nombre de paquets doit diviser chacune des deux quantités, sans quoi il resterait des objets. C'est donc un diviseur commun, et le plus grand nombre de paquets est le plus grand diviseur commun. Le contenu de chaque paquet s'obtient ensuite en divisant chaque quantité par ce nombre de paquets.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : PGCD, Euclide et fractions irréductibles

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

16 exercices corrigés
160 points
205 minutes

Faire les exercices

Il manque quelque chose dans cette fiche ? Une méthode, un piège, un exercice pour l'appliquer, une erreur repérée : dis-le-moi, je lis chaque demande.

L'envoi passe par ton espace gratuit : c'est ce qui me permet de te répondre et de te prévenir quand l'exercice est ajouté. Un courriel suffit, pas de mot de passe. Crée ton espace. Pas envie de créer un compte ? Écris-moi directement.

Fiche précédente Les fonctions affines Fiche suivante Trigonométrie : sinus et cosinus

Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Multiples, diviseurs, parité et approfondissements Seconde L'arithmétique Terminale, Mathématiques expertes

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/3eme-arithmetique. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Tuteur Troisième Algorithmique et Scratch (Troisième)Brevet blanc de mathématiques Préparer le brevet

Le PGCD et les fractions bloquent en troisième à Montréal ?

Contactez-moi pour une première séance. Ce chapitre est celui qui prépare le raisonnement du lycée : la division euclidienne, la notion de contre-exemple et la rédaction d'une justification y prennent leur forme définitive, et on les retrouve en Seconde dès le chapitre sur les ensembles de nombres.

Me contacter WhatsApp

Site par Studio Squalli

Fiche de révision : PGCD, Euclide et fractions irréductibles (Troisième)

L'essentiel

Diviseur, multiple, diviseur commun : trois mots à ne pas mélanger

L'algorithme d'Euclide, dans l'ordre

Premiers entre eux, et fraction irréductible

Les pièges qui coûtent des points

1. Prendre un diviseur commun pour LE plus grand

2. Arrêter l'algorithme d'Euclide sur le reste nul

3. Décaler d'une ligne dans les divisions successives

4. Confondre diviseur et multiple

5. Croire que « premiers entre eux » veut dire « tous deux premiers »

6. Additionner des diviseurs

7. Simplifier une fraction et s'arrêter avant l'irréductible

8. Répondre par le PGCD alors que la question demande autre chose

9. Oublier la condition 0≤r<b0\le r<b0≤r<b dans la division euclidienne

Quelle méthode choisir

Que demande vraiment l'énoncé ?

Quelle méthode selon la taille des nombres ?

La rédaction attendue

Rendre une fraction irréductible en une seule fois

Résoudre un problème de paquets identiques

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Des paquets identiques, puis la fraction irréductible

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment calculer le PGCD avec l'algorithme d'Euclide ?

Pourquoi le PGCD n'est-il pas le dernier reste, qui vaut zéro ?

Que veut dire premiers entre eux en troisième ?

Comment rendre une fraction irréductible en une seule étape ?

À quoi sert le PGCD dans un problème de paquets ?

Exercices corrigés : PGCD, Euclide et fractions irréductibles

Ce chapitre resservira dans

Voir aussi

Le PGCD et les fractions bloquent en troisième à Montréal ?

9. Oublier la condition $0\le r<b$ dans la division euclidienne