Troisième, programme français à Montréal • Fiche de révision
Cette fiche de révision couvre le plus grand diviseur commun, l'algorithme d'Euclide et les fractions irréductibles en classe de troisième du programme français, tels qu'ils sont évalués au brevet et dans les contrôles du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas à Montréal.
Elle ne redit pas le cours, que vous avez déjà : elle dit ce qui fait perdre des points sur ce chapitre, et le geste précis qui évite chaque perte. Le fil est toujours le même : un diviseur commun ne suffit pas, l'énoncé demande LE PLUS GRAND, et seul l'algorithme le garantit.
Le fil du chapitre
Le plus grand diviseur commun ne se devine pas, il se CALCULE : c'est le dernier reste NON NUL de l'algorithme d'Euclide. Presque tout ce qui se perd dans ce chapitre vient d'un diviseur commun pris pour le plus grand, ou d'un zéro pris pour un résultat.
Sur une copie, écrire « divise et divise , donc est un diviseur commun » puis « et c'est le plus grand » sont DEUX affirmations : la seconde demande une justification, l'algorithme ou la liste complète.
Poser les divisions les unes sous les autres, en colonne : le décalage d'une ligne est l'erreur la plus fréquente, et une présentation en colonne la rend visible.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« divise et divise , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« est bien un diviseur commun, mais en est un aussi et il est plus grand : . »
Pourquoi : La question porte sur le PLUS GRAND. Trouver un diviseur commun est une observation, pas une réponse : seule la liste complète ou l'algorithme d'Euclide garantit le maximum.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le dernier reste est , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« Le dernier reste NON NUL est , donc . »
Pourquoi : Le reste nul est le signal d'arrêt, pas le résultat. Le PGCD est le dernier diviseur utilisé, celui qui est enfin tombé juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , puis je divise par . »
Ce qu'il faut écrire
« , puis je divise par : on reprend le DIVISEUR et le RESTE, jamais le dividende. »
Pourquoi : L'algorithme repose sur le fait que et ont les mêmes diviseurs communs que et . Repartir de casse cette chaîne et le résultat n'a plus de sens.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« divise , donc est un multiple de . »
Ce qu'il faut écrire
« divise , donc est un multiple de , et est un diviseur de . »
Pourquoi : Le multiple est le GRAND, le diviseur est le PETIT. L'égalité se lit dans les deux sens, mais chaque mot désigne un côté précis.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« et ne sont pas des nombres premiers, donc ils ne sont pas premiers entre eux. »
Ce qu'il faut écrire
« , donc et sont premiers entre eux, même si aucun des deux n'est un nombre premier. »
Pourquoi : « Premier entre eux » est une propriété du COUPLE, pas de chaque nombre : elle dit seulement qu'ils n'ont aucun facteur commun autre que .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« divise et divise , donc divise . »
Ce qu'il faut écrire
« et divisent , mais : ne divise pas . Un seul contre-exemple suffit. »
Pourquoi : La somme de deux MULTIPLES de est un multiple de , mais la somme de deux DIVISEURS de n'a aucune raison de diviser . Les deux propriétés se ressemblent et une seule est vraie.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , voilà la forme irréductible. »
Ce qu'il faut écrire
« Je divise par le PGCD, qui vaut : , et donc la fraction est irréductible. »
Pourquoi : Diviser par puis par puis par finit par marcher, mais rien ne prouve qu'on est arrivé au bout. Le PGCD, lui, garantit la fin en une seule division.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le PGCD vaut , donc chaque paquet contient stylos. »
Ce qu'il faut écrire
« Le PGCD vaut , donc on peut faire paquets, contenant chacun stylos et gommes. »
Pourquoi : Le PGCD donne le NOMBRE de paquets quand on partage deux lots entre des paquets identiques. Le contenu de chaque paquet s'obtient ensuite, par deux divisions.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , ou aussi , les deux conviennent. »
Ce qu'il faut écrire
« Le reste doit vérifier : seule l'écriture est la division euclidienne. »
Pourquoi : Sans la contrainte sur le reste, l'écriture n'est pas unique et l'algorithme ne descend plus : c'est cette décroissance stricte qui garantit qu'il s'arrête.
Repérer la formule exacte du problème, car le PGCD se cache derrière plusieurs formulations.
Si « le plus grand nombre de paquets identiques », « sans qu'il reste rien » → calculer le PGCD des deux quantités, puis diviser chaque quantité par lui
Exemple : stylos et gommes donnent paquets de et
Si « la plus grande dalle carrée », « découper sans perte » → calculer le PGCD des deux dimensions : c'est le CÔTÉ du carré
Exemple : cm sur cm donnent des dalles de cm
Si « rendre la fraction irréductible » → calculer le PGCD du numérateur et du dénominateur, puis diviser les deux par lui
Exemple :
Si « ces deux nombres sont-ils premiers entre eux » → calculer le PGCD et le comparer à
Exemple : , donc oui
Si « montrer que cette affirmation est fausse » → exhiber UN contre-exemple numérique, et un seul suffit
Exemple : et divisent , mais ne le divise pas
Si l'énoncé parle du plus petit nombre commun à deux répétitions, il ne s'agit plus du PGCD : au collège, ce cas se traite en listant les multiples.
Regarder l'ordre de grandeur des deux entiers.
Si deux nombres inférieurs à → lister les diviseurs de chacun et comparer les deux listes
Exemple : et : le plus grand commun se lit, c'est
lister par paires, et , et , et , et , garantit de n'en oublier aucun
Si des nombres qui se décomposent facilement → décomposer en facteurs premiers et garder les facteurs communs
Exemple : et donnent
Si deux grands nombres, ou une consigne qui impose la méthode → appliquer l'algorithme d'EUCLIDE, divisions posées en colonne
Exemple : et donnent , puis , puis
Si l'un des deux divise l'autre → le PGCD est le plus petit des deux, sans aucun calcul
Exemple :
Quand l'énoncé écrit « en détaillant les étapes » ou « à l'aide de l'algorithme d'Euclide », la méthode fait partie du barème : le bon résultat obtenu autrement ne rapporte pas les points de méthode.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé demande la forme irréductible d'une fraction, ou « simplifier au maximum ».
Phrase de conclusion
« La forme irréductible de est , car et sont premiers entre eux. »
Le piège : S'arrêter après la division sans écrire la dernière phrase : elle vaut un point à elle seule, et c'est elle qui prouve que la fraction est bien irréductible.
Barème : 1 point pour les divisions posées, 1 point pour le PGCD, 1 point pour la fraction simplifiée, 0,5 point pour la justification finale.
Quand l'utiliser : L'énoncé partage deux lots en paquets identiques, sans reste, et demande le plus grand nombre de paquets.
Phrase de conclusion
« On peut réaliser au maximum paquets identiques ; chacun contient alors stylos et gommes. »
Le piège : Confondre le nombre de paquets et le contenu d'un paquet. Le PGCD donne le nombre de paquets ; le contenu vient ensuite.
Barème : 1 point pour la traduction en diviseur commun, 1 point pour le PGCD, 1 point pour le contenu des paquets.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Le PGCD divise bien les deux nombres
Reprendre le résultat et faire les deux divisions : elles doivent tomber juste, sans reste. Un PGCD qui ne divise pas l'un des deux est faux à coup sûr.
et : les deux tombent juste. Un reste, même de , signale une ligne fausse dans l'algorithme.
Les quotients sont premiers entre eux
Après division par le PGCD, les deux quotients ne doivent plus avoir de facteur commun. S'ils sont tous deux pairs, ou tous deux multiples de , le PGCD trouvé était trop petit.
et n'ont aucun facteur commun : le PGCD était bien le plus grand. et , eux, sont encore tous deux pairs.
Les restes diminuent strictement
Relire la colonne des restes de l'algorithme : elle doit être strictement décroissante jusqu'à zéro. Un reste plus grand que le précédent signale une division inversée.
, puis , puis : correct. , puis : une ligne a été écrite à l'envers.
Le contrôle de parité et de somme des chiffres
Vérifier vite qu'un diviseur annoncé est plausible : un nombre pair n'est divisible par un impair qu'à certaines conditions, et la somme des chiffres décide de la divisibilité par et par .
a pour somme de chiffres , donc il est divisible par ; aussi. Le PGCD est donc au moins un multiple de , ce que respecte.
Un professeur dispose de stylos et de gommes. Il veut constituer des paquets identiques, en utilisant tous les stylos et toutes les gommes.
1. Quel est le plus grand nombre de paquets qu'il peut réaliser ?
2. Que contient alors chaque paquet ?
3. Écrire sous forme irréductible.
Étape 1
Traduction : le nombre de paquets divise et divise , c'est donc un diviseur commun. On cherche le plus grand, c'est-à-dire .
Pourquoi
Cette ligne vaut un point à elle seule et elle est presque toujours absente des copies : elle montre au correcteur qu'on a traduit le problème, et pas seulement reconnu un exercice de PGCD.
Étape 2
Algorithme d'Euclide : , puis , puis .
Pourquoi
À chaque ligne on reprend le DIVISEUR et le RESTE de la ligne précédente. Les écrire les unes sous les autres rend le décalage d'une ligne immédiatement visible, et c'est l'erreur numéro un du chapitre.
Étape 3
Le dernier reste non nul est , donc . Le professeur peut faire au maximum paquets.
Pourquoi
Le reste nul est le signal d'arrêt et non le résultat : on remonte d'une ligne. Répondre est impossible, puisqu'aucun nombre n'est divisible par zéro.
Étape 4
Contenu d'un paquet : stylos et gommes.
Pourquoi
La question 2 est une question distincte : le PGCD donne le NOMBRE de paquets, pas leur contenu. Les deux divisions valent chacune un demi-point.
Étape 5
Fraction : , et .
Pourquoi
On réutilise le PGCD déjà calculé au lieu de simplifier par étapes : une seule division, et la certitude d'être arrivé au bout. La dernière égalité est la justification, pas une coquetterie.
Étape 6
Vérification : et . Les deux lots sont entièrement utilisés.
Pourquoi
On repart des données de l'énoncé et non d'une ligne intermédiaire : le contrôle reste valable même si l'algorithme comportait une erreur.
Conclusion rédigée
« Le professeur peut réaliser au maximum paquets. Chaque paquet contient stylos et gommes. Enfin, , fraction irréductible car et sont premiers entre eux. »
L'erreur classique sur cet exercice : Répondre « stylos par paquet » à la question 2, en reprenant le PGCD au lieu de faire la division. La vérification , très loin de , la démasque en trois secondes.
On divise le plus grand nombre par le plus petit et on note le reste. Puis on recommence en divisant l'ancien diviseur par ce reste, et ainsi de suite. On s'arrête quand le reste devient nul : le PGCD est alors le dernier reste non nul, c'est-à-dire le dernier diviseur utilisé.
Parce que zéro ne divise aucun nombre, il ne peut donc pas être un diviseur commun. Le reste nul sert uniquement de signal d'arrêt : il annonce que la division est enfin tombée juste. On remonte alors d'une ligne pour lire le dernier reste non nul, qui est le PGCD.
Deux entiers sont premiers entre eux quand leur seul diviseur commun est un, autrement dit quand leur PGCD vaut un. Ils n'ont pas besoin d'être des nombres premiers eux-mêmes. Par exemple huit et neuf sont premiers entre eux, alors que ni l'un ni l'autre n'est premier.
On calcule le PGCD du numérateur et du dénominateur, puis on divise les deux termes par ce nombre. Le résultat est forcément irréductible, et il faut l'écrire : les deux nouveaux termes ont pour PGCD un. Simplifier par petites étapes fonctionne aussi, mais rien ne garantit qu'on est arrivé au bout.
Le nombre de paquets doit diviser chacune des deux quantités, sans quoi il resterait des objets. C'est donc un diviseur commun, et le plus grand nombre de paquets est le plus grand diviseur commun. Le contenu de chaque paquet s'obtient ensuite en divisant chaque quantité par ce nombre de paquets.
