Exercices corrigés d'arithmétique en Seconde : multiples, diviseurs, parité et approfondissements

$-91=(-13)\times 7$, donc $k=-13$ : $-91$ est un multiple de $7$, et $7$ divise $-91$. Le signe ne change rien à la définition, il passe simplement dans $k$. Ensuite $0=0\times 1\,789$, donc $k=0$ : zéro est multiple de $1\,789$, et le même calcul montre que zéro est multiple de TOUT entier. L'inverse est faux : $5=k\times 0$ n'a aucune solution, puisque $k\times 0$ vaut toujours $0$, donc aucun entier non nul n'est multiple de zéro. Enfin $144=(-12)\times(-12)$, donc $k=-12$ : $144$ est un multiple de $-12$, et $-12$ est un diviseur de $144$. Piège : répondre $k=12$ par réflexe ; le contrôle $12\times(-12)=-144\neq 144$ le détecte en deux secondes.

Dans $\mathbb{N}$, les diviseurs de $18$ se trouvent par paires : $18=1\times 18=2\times 9=3\times 6$, soit $1$, $2$, $3$, $6$, $9$ et $18$. Dans $\mathbb{Z}$, chacun a son opposé, car $18=(-1)\times(-18)=(-2)\times(-9)=(-3)\times(-6)$. Il y en a donc $12$ : $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm 6$, $\pm 9$ et $\pm 18$. Répondre $6$ revient à oublier que la définition de Seconde est posée dans $\mathbb{Z}$, et c'est l'erreur la plus répandue sur cette question.

$-7$ est impair : $-7=2\times(-4)+1$, avec $k=-4$ entier. Le réflexe faux est d'écrire $k=-3$, par analogie avec $7=2\times 3+1$ ; mais $2\times(-3)+1=-5$, pas $-7$. Pour un négatif, on part du multiple de $2$ situé JUSTE EN DESSOUS, ici $-8$, et l'on ajoute $1$. L'égalité $-7=2\times(-3)-1$ est vraie aussi, mais elle n'a pas la forme $2k+1$ exigée par la définition : tant qu'on ne l'a pas réécrite, elle ne prouve rien.

Les multiples de $6$ sont les nombres $6k$ avec $k$ entier. On cherche les $k$ tels que $-100\leqslant 6k\leqslant 100$. Comme $6\times 16=96$ et $6\times 17=102$, il faut $-16\leqslant k\leqslant 16$ : cela fait $16$ valeurs négatives, $16$ positives et $k=0$, soit $33$ multiples. Les multiples strictement négatifs sont les $16$ nombres de $-96$ à $-6$. Oublier zéro donne $32$ ; ne compter que les positifs donne $16$. La droite graduée de l'énoncé dit tout : les multiples sont espacés de $6$, symétriques par rapport à zéro, et zéro en fait partie.

Hypothèse : $m$ et $n$ sont des multiples de $12$, donc il existe deux entiers $k$ et $k'$ tels que $m=12k$ et $n=12k'$. Alors $m+n=12k+12k'=12(k+k')$, et $k+k'$ est un entier, somme de deux entiers : $m+n$ est un multiple de $12$. De même $5m-3n=60k-36k'=12(5k-3k')$, avec $5k-3k'$ entier. Pour $m=84$ et $n=132$ : $84=12\times 7$ et $132=12\times 11$, donc $k=7$ et $k'=11$, puis $5m-3n=420-396=24=12\times 2$, soit $j=5\times 7-3\times 11=2$. Le piège est d'écrire $m=12k$ et $n=12k$ avec la MÊME lettre : on n'aurait traité que le cas $m=n$, et la démonstration ne vaudrait plus rien, alors que chaque ligne de calcul serait juste.

Fausse. Un seul contre-exemple suffit : $5+7=12$ est un multiple de $12$, alors que ni $5$ ni $7$ n'en est un. L'affirmation de l'élève est la RÉCIPROQUE de la propriété démontrée en a), et une implication vraie peut avoir une réciproque fausse. Pour réfuter un énoncé « pour tous $m$ et $n$ », on donne UN couple précis et l'on vérifie les deux moitiés : l'hypothèse est vraie, la conclusion est fausse.

Soit $n$ impair : il existe un entier $k$ tel que $n=2k+1$. Alors $n^{2}=4k^{2}+4k+1=2(2k^{2}+2k)+1$, et $2k^{2}+2k$ est un entier : $n^{2}$ est impair. C'est la démonstration du programme. En s'arrêtant plutôt sur $n^{2}=4k(k+1)+1$, on lit davantage : $n^{2}-1=4k(k+1)$ est un multiple de $4$. Pour $n=1\,001=2\times 500+1$, on a $k=500$ et $n^{2}-1=4\times 500\times 501$, donc $j=250\,500$. Vérification : $1\,001^{2}=1\,002\,001$ et $1\,002\,000=4\times 250\,500$. Une démonstration rapporte souvent plus qu'elle n'annonce, pourvu qu'on garde la bonne écriture.

Deux cas, et deux seulement, puisque tout entier est pair ou impair. Si $n$ est pair, $n=2k$ et $n^{2}=4k^{2}$, de la forme $4j$ avec $j=k^{2}$. Si $n$ est impair, la question c) donne $n^{2}=4k(k+1)+1$, de la forme $4j+1$ avec $j=k(k+1)$. Un carré ne s'écrit donc JAMAIS $4j+2$ ni $4j+3$. Or $1\,000\,002=4\times 250\,000+2$ et $1\,000\,003=4\times 250\,000+3$ : aucun des deux n'est un carré. La calculatrice, elle, affiche pour leurs racines des nombres à peine supérieurs à $1\,000$ et laisse un doute d'arrondi ; l'argument de parité n'en laisse aucun. Oublier un des deux cas rend la démonstration incomplète, même si le cas traité est parfait.

La contraposée de « si $P$, alors $Q$ » est « si non $Q$, alors non $P$ ». Ici $P$ est « $5n+3$ est pair » et $Q$ est « $n$ est impair », donc la contraposée est : « si $n$ est pair, alors $5n+3$ est impair ». Démonstration : si $n=2k$, alors $5n+3=10k+3=2(5k+1)+1$, impair. La contraposée est vraie, donc l'implication de départ aussi : les deux disent la même chose. « Si $n$ est impair, alors $5n+3$ est pair » est la RÉCIPROQUE, et « si $5n+3$ est impair, alors $n$ est pair » est l'inverse : ni l'une ni l'autre ne démontre l'énoncé. Ici la réciproque se trouve être vraie, car $5(2k+1)+3=2(5k+4)$, mais c'est un hasard de l'exemple, pas une méthode.

$385$ se termine par $5$ : $385=5\times 77=5\times 7\times 11$. Pour $1\,001$, on essaie $7$ : $1\,001=7\times 143=7\times 11\times 13$. Les diviseurs communs autres que $1$ sont $7$, $11$ et $77$. En divisant en haut et en bas par $77$ : $\frac{385}{1\,001}=\frac{5}{13}$. On ne peut plus simplifier : les seuls diviseurs positifs de $5$ sont $1$ et $5$, et $5$ ne divise pas $13$. Simplifier par $7$ seulement donne $\frac{55}{143}$, fraction égale mais pas irréductible, puisque $11$ divise encore les deux termes : c'est la réponse incomplète la plus fréquente.

$135=5\times 27=3^{3}\times 5$ et $315=5\times 63=3^{2}\times 5\times 7$. Le diviseur commun $3^{2}\times 5=45$ donne $135=45\times 3$ et $315=45\times 7$. Donc $\frac{-135}{315}=-\frac{3}{7}$, avec le signe devant et le dénominateur positif. Écrire $\frac{3}{-7}$ n'est pas faux, mais ce n'est pas la forme attendue ; perdre le signe en route coûte en revanche toute la question.

La boucle part de $m=0$ et ajoute $7$ tant que $m+7\leqslant 100$. Les valeurs successives de $m$ sont $7$, $14$, ..., $98$ : on s'arrête à $98=7\times 14$, car $98+7=105>100$. La boucle a tourné $14$ fois et la fonction renvoie $98$. Le nombre de tours est exactement l'entier $k=14$ de l'écriture $98=7\times 14$ : la boucle trouve $k$ en comptant.

La fonction renvoie $144=12\times 12$, puisque $144+12=156>150$. On en tire $150=12\times 12+6$, avec $0\leqslant 6<12$ : $q=12$ et $r=6$. C'est exactement la division euclidienne de $150$ par $12$, que l'exercice 1 reprend pour elle-même. Le même algorithme répond aussi au premier algorithme du programme : $b$ est multiple de $a$ si et seulement si le plus grand multiple de $a$ inférieur ou égal à $b$ est $b$ lui-même. Ainsi plus_grand_multiple(12, 144) renvoie $144$, donc $144$ est un multiple de $12$, alors que plus_grand_multiple(12, 150) ne renvoie pas $150$.

Avec $b=-10$, le test $0+4\leqslant -10$ est faux dès le départ : la boucle ne tourne pas et la fonction renvoie $0$. Or $0>-10$ : ce n'est même pas un nombre inférieur ou égal à $b$. Le bon résultat est $-12=4\times(-3)$, car $-12\leqslant -10<-8$. La fonction supposait sans le dire que $b\geqslant 0$. La version corrigée descend d'abord par pas de $a$ tant que $m>b$, puis remonte tant que c'est possible : elle donne $-12$ pour $b=-10$ et garde $98$ pour plus_grand_multiple(7, 100). Tester un programme sur les cas limites, zéro, un négatif, une égalité, est le contrôle que le programme de Seconde attend.

On cherche le plus grand multiple de $7$ inférieur ou égal à $253$. Comme $7\times 36=252$ et $7\times 37=259$, c'est $252$. Donc $253=7\times 36+1$ : le quotient vaut $q=36$ et le reste $r=1$. Vérification obligatoire, et elle prend trois secondes : on recalcule $7\times 36+1=253$, et l'on contrôle que $0\leqslant 1<7$. Un reste supérieur ou égal au diviseur signifie qu'on s'est arrêté trop tôt, et c'est l'erreur la plus fréquente quand on pose la division à la main.

L'encadrement s'écrit $7\times 36\leqslant 253<7\times 37$, c'est-à-dire $252\leqslant 253<259$. Le quotient est le coefficient du multiple de GAUCHE : c'est la définition même, et c'est ce que montre la figure. On peut aussi l'écrire $36\leqslant\dfrac{253}{7}<37$, ce qui dit que le quotient euclidien est la partie entière de $\dfrac{253}{7}\approx 36{,}14$. Cette lecture est la plus rapide à la calculatrice. Attention : pour un dividende négatif, la partie entière n'est plus la troncature du nombre affiché, ce que montre la question suivante.

Il faut $-17=5q+r$ avec $0\leqslant r<5$. Le réflexe faux est d'écrire $-17=5\times(-3)-2$ : le reste vaudrait $-2$, ce qui est INTERDIT. On descend donc d'un cran, jusqu'au plus grand multiple de $5$ inférieur ou égal à $-17$, qui est $5\times(-4)=-20$. Alors $-17=-20+3$, c'est-à-dire $-17=5\times(-4)+3$, avec $q=-4$ et $r=3$, et la condition $0\leqslant 3<5$ est respectée. Le quotient n'est donc PAS la troncature de $-3{,}4$, mais son arrondi par défaut. L'erreur coûte toute la question, et elle se propage partout où l'on travaille sur les restes.

Supposons $a=bq+r=bq'+r'$ avec les deux restes dans $[0\,;b[$. En soustrayant, $b(q-q')=r'-r$. Le membre de gauche est un multiple de $b$. Le membre de droite est une différence de deux nombres de $[0\,;b[$, donc $|r'-r|<b$ : c'est un multiple de $b$ dont la valeur absolue est strictement inférieure à $b$, il ne peut être que $0$. Donc $r=r'$, puis $b(q-q')=0$ et, comme $b\neq 0$, $q=q'$. Le couple est bien unique. Retenez l'argument, il resservira : « un multiple de $b$ strictement plus petit que $b$ en valeur absolue est nul » est l'outil de démonstration numéro un de tout le chapitre.

$2\,025$ se termine par $5$, donc c'est un multiple de $5$ : $2\,025=5\times 405$. Alors $2\,026=5\times 405+1$, reste $1$, et $2\,027=5\times 405+2$, reste $2$. Pour une division par $5$, le reste ne dépend que du chiffre des unités, ce qui rend la lecture immédiate.

Écrivons $2\,026=5k+1$ et $2\,027=5k+2$ avec $k=405$. La somme vaut $5k+1+5k+2=5(2k)+3$ : le reste est $3$, puisque $0\leqslant 3<5$. Vérification : $2\,026+2\,027=4\,053$, et $4\,053=5\times 810+3$. La règle générale est que le reste d'une somme est le reste de la somme des restes. Attention : si la somme des restes atteint ou dépasse $n$, il faut encore réduire. Par exemple $3+4=7$ modulo $5$ donne $2$, pas $7$, et oublier cette dernière réduction est l'erreur classique.

Avec les mêmes écritures, $2\,026\times 2\,027=(5k+1)(5k+2)=25k^{2}+15k+2=5(5k^{2}+3k)+2$ : le reste est $2$. Le produit lui-même vaut $4\,106\,702$, mais on ne l'a pas calculé, et c'est tout l'intérêt : seuls les restes $1$ et $2$ ont servi, et $1\times 2=2$. Le contrôle à la main est immédiat, le produit se termine par $2$ donc son reste par $5$ vaut bien $2$. Ce raccourci est ce qui permettra, à l'exercice 3, de traiter une puissance de plus de mille chiffres.

Pour $9$, le reste se lit sur la somme des chiffres, ce que l'exercice 4 démontrera : $2+0+2+6=10$, puis $1+0=1$, donc $2\,026$ a pour reste $1$ par $9$. En écrivant $2\,026=9m+1$, le carré vaut $(9m+1)^{2}=81m^{2}+18m+1=9(9m^{2}+2m)+1$ : le reste est encore $1$. Contrôle : $2\,026^{2}=4\,104\,676$, dont la somme des chiffres est $4+1+0+4+6+7+6=28$, puis $2+8=10$, puis $1$. Un nombre de sept chiffres traité par deux additions de tête.

$7^{1}=7$, $7^{2}=49$, $7^{3}=343$, $7^{4}=2\,401$, $7^{5}=16\,807$. Les unités sont donc $7$, $9$, $3$, $1$, puis $7$ : le cycle a pour longueur $4$. On n'a pas besoin des nombres entiers pour l'obtenir, seulement des unités : $7\times 7$ finit par $9$, $9\times 7$ finit par $3$, $3\times 7$ finit par $1$, $1\times 7$ finit par $7$. C'est exactement la règle du produit de l'exercice 2, appliquée avec $n=10$.

Il faut placer $2\,026$ dans le cycle, donc calculer son reste par $4$ : $2\,026=4\times 506+2$, reste $2$. Le reste $2$ correspond à la DEUXIÈME position du cycle, celle de $7^{2}$, donc le chiffre des unités de $7^{2\,026}$ est $9$. Attention au piège de numérotation : un reste de $0$ ne signifie pas la première position mais la QUATRIÈME, celle de $7^{4}$, puisque $7^{4}$, $7^{8}$, $7^{12}$ ont tous un exposant multiple de $4$. Confondre les deux fait perdre toute la question, et c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Les unités de $3^{n}$ donnent $3$, $9$, $7$, $1$, puis $3$ : cycle de longueur $4$ là encore. Or $100=4\times 25$, reste $0$ : on est donc en quatrième position, celle de $3^{4}=81$, et le chiffre des unités de $3^{100}$ est $1$. C'est exactement le cas où le reste nul renvoie à la fin du cycle et non au début. Contrôle de bon sens : $3^{4}=81$ finit par $1$, donc $3^{100}=(3^{4})^{25}=81^{25}$ finit par $1$, puisqu'un produit de nombres finissant par $1$ finit par $1$.