Terminale • Lycée • Montréal

Maths complémentaires en Terminale

L'option maths complémentaires s'adresse aux élèves qui ont abandonné la spécialité mathématiques mais en ont encore besoin pour leurs études supérieures. Le programme privilégie les modèles et les applications sur la technique pure.

7 séries d'exercices entièrement corrigés (114 exercices), 7 fiches de révision, un examen blanc. Gratuit, sans compte.

1 Fonctions et modèles d'évolution Dérivation et variations, croissance exponentielle et temps de doublement, échelle logarithmique des décibels, point d'inflexion interprété comme un changement de régime, aire et valeur moyenne, puis une partie appliquée : refroidissement d'une boisson, équation différentielle du même modèle, pic de concentration d'un médicament, coût moyen minimal, et lecture critique d'un modèle. Une partie C ajoute cinq classiques : la règle de 70 des financiers expliquée par une tangente, la loi de puissance de Kleiber entre la souris et l'éléphant, la lumière qui s'éteint avec la profondeur d'un lac, la canette qui utilise le moins de métal, et les points d'inflexion de la courbe en cloche. Une partie D traite le théorème des valeurs intermédiaires et la dichotomie sur le vol d'un drone, la fonction réciproque qui remonte d'une trace de freinage à la vitesse, et la méthode d'Euler pour la chute d'un parachutiste. En ouverture, un exercice de calculs : dix dérivées à calculer directement, du polynôme au quotient de ln x par x. Fiche
2 Suites et modèles discrets Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique, limites selon la raison, somme des termes d'une géométrique, méthode de la suite auxiliaire pour une suite arithmético-géométrique, seuil et algorithme Python, puis une partie appliquée : doses répétées d'un médicament lues sur une construction en escalier, remboursement d'un emprunt et mensualité minimale, modèle linéaire contre modèle exponentiel, gestion d'un stock de pêche et stabilité de l'équilibre, lecture critique d'un modèle discret. Une partie C ajoute cinq classiques : une épargne qui augmente chaque semaine, la légende de l'échiquier et ses grains de blé, le flocon de Koch au périmètre infini et à l'aire finie, les lapins de Fibonacci et le nombre d'or, et un budget carbone calculé par une somme géométrique. Une partie D sort des récurrences affines avec le modèle de Verhulst discret : construction en escalier contre une parabole, points fixes, et une population qui converge ou qui oscille selon la pente au point d'équilibre. En ouverture, un exercice de calculs : onze calculs directs, des termes et des sommes aux limites et au point fixe. Fiche
3 La fonction logarithme, approche historique Le thème historique du logarithme, des tables de Napier aux échelles de mesure : propriétés du logarithme décimal retrouvées à la main à partir de deux valeurs de table, multiplication, puissance et racine calculées avec une table à la manière de Napier, échelle de Richter, pH et mélange de deux solutions, équations exponentielles, puis une partie appliquée : lecture d'un papier semi-logarithmique, magnitude des étoiles depuis Hipparque, datation au carbone 14, modèle de rendement décroissant, lecture critique des échelles logarithmiques. Une partie C ajoute cinq héritiers modernes des tables : compter les chiffres d'un nombre géant, la loi de Benford, octaves et demi-tons en logarithme de base 2, la force d'un mot de passe mesurée en bits, et la loi de Moore confrontée aux processeurs réels. Fiche
4 Le logarithme népérien, réciproque de l'exponentielle La fonction ln comme objet, telle que le programme de l'option la demande : réciproque de l'exponentielle et courbes symétriques, relation fonctionnelle démontrée avec ses conséquences, limites en 0 et en l'infini, dérivée de ln et de ln u démontrée, équations et inéquations où le domaine décide, seuils par la relation ln q puissance n égale n ln q. Puis des problèmes : des photocopies de photocopies, l'algorithme de Briggs par racines carrées successives, cinq affirmations à corriger, la fusée à étages de Tsiolkovski et la loi de Hick sur les menus. En ouverture, un exercice de calculs : dix calculs directs, des simplifications de ln aux équations, inéquations et seuils. Fiche
5 Intégrales et calculs d'aires Primitives des fonctions usuelles, propriétés de l'intégrale et relation de Chasles, énergie consommée comme aire sous une courbe de puissance, aire entre une parabole et une droite retrouvée par le théorème d'Archimède, encadrement par rectangles et méthode des trapèzes, puis une partie appliquée : lecture graphique d'une quantité cumulée, surplus du consommateur et perte sèche d'un prix plafond, valeur actualisée d'un flux financier, l'aire sous l'hyperbole comme définition historique du logarithme, lecture critique des intégrales. Une partie C ajoute cinq classiques : la taille d'une plante retrouvée à partir de sa vitesse de croissance, le coût total tiré du coût marginal, une aire sous l'exponentielle convertie en centimètres carrés, l'aire d'un étang estimée par la méthode des trapèzes, et le nombre de cas d'une épidémie compté par une intégrale. Une partie D démontre que la fonction aire est une primitive, estime une aire et le nombre pi par la méthode de Monte-Carlo, calcule l'indice de Gini de deux courbes de Lorenz par une intégrale et travaille les primitives des formes 2uu' et u'e^u. En ouverture, un exercice de calculs : dix intégrales à calculer directement par une primitive, du polynôme aux formes u'/u, u'e^u et 2uu'. Fiche
6 Probabilités et statistiques Arbres pondérés et probabilités totales, loi binomiale, espérance appliquée à un contrat d'assurance, indicateurs d'une série statistique, puis une partie appliquée : inférence bayésienne sur un filtre anti-spam, temps d'attente et loi géométrique, ajustement affine avec la distinction corrélation-causalité, courbe de Lorenz et indice de Gini, et lecture critique de statistiques publiées. Une partie C ajoute cinq classiques : deux jeux de même espérance mais de risques différents, répondre au hasard à un QCM, un tableau croisé où sport et musique sont indépendants, le paradoxe de Simpson et le paradoxe des anniversaires. Une partie D couvre les lois discrètes du programme : loi uniforme, loi de Bernoulli et triangle de Pascal sur un dé à vingt faces, intervalles d'une loi binomiale pour tester une pièce et régler une surréservation, absence de mémoire d'une crue centennale, valeurs prédictives d'un test antidopage selon la prévalence, et coefficient de corrélation avec ajustement exponentiel de la pression en altitude. En ouverture, un exercice de calculs : dix calculs directs avec la loi binomiale, du triangle de Pascal à l'événement contraire. Fiche
7 Lois à densité et temps d'attente La partie « lois à densité » de l'option et le thème « temps d'attente » : reconnaître une densité, lire une probabilité comme une aire, fonction de répartition, espérance et variance par une intégrale, loi uniforme de random() à l'arrêt de bus, loi exponentielle sur une crevaison de vélo, vie moyenne et demi-vie du radon, absence de mémoire et passage à la loi géométrique, simulation en Python, paradoxe de l'inspection des bus irréguliers, garantie et redondance de cartes électroniques. En ouverture, un exercice de calculs : onze probabilités à calculer directement, de la loi uniforme à l'absence de mémoire. Fiche

Quand les chapitres sont faits

Une épreuve complète, en conditions d'examen. À faire une fois derrière vous les chapitres qu'elle couvre : elle mesure ce que vous savez faire sur une question jamais vue.

Examen blanc

Examen de synthèse

Examen de fin d'année sur cinq des neuf thèmes de l'option, 12 exercices sur 100 points en 3 heures, quatre parties sur 25, deux graphiques. Fonctions et modèles : diffusion logistique d'une application, prix qui maximise la recette, dose d'engrais optimale où deux doses donnent le même rendement. Suites : valeur de revente d'un véhicule opposée à une décote linéaire, taux de reproduction d'une épidémie et total fini des cas quand le taux passe sous un, population stabilisée lue sur une construction en escalier. Logarithme et aires : demi-vie d'un médicament et posologie, facture d'électricité à tarif progressif calculée comme une aire, troisième loi de Kepler retrouvée sur un papier log-log. Probabilités : test de dépistage et paradoxe des faux positifs, sondage et fourchette de sondage, puis cinq affirmations fausses à corriger.

12 exercices
100 points
180 minutes

Passer l'épreuve

Ce qu'il faut tenir avant

Le programme de mathématiques complémentaires en Terminale s'appuie sur 3 chapitres venus d'avant. Ce ne sont pas des révisions de confort : chacun est le point d'appui d'un chapitre listé ci-dessus, et un élève qui décroche en cours d'année décroche presque toujours sur l'un d'eux. Tous ont leur fiche de révision, à lire d'une traite avant la rentrée.

Première, Mathématiques

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