Maths complémentaires, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : probabilités et statistiques (maths complémentaires)

Les probabilités des maths complémentaires servent à décider : un test de dépistage, un contrat d'assurance, un contrôle qualité. La difficulté n'est jamais le calcul, qui tient en trois multiplications, mais la lecture de l'énoncé : de quel événement parle-t-on, et sachant quoi.

Cette fiche liste les huit erreurs qui reviennent, avec la phrase exacte qui les remet, la lecture d'un arbre pondéré, l'arbre de choix entre conditionnelle et intersection, et un test de dépistage décortiqué jusqu'à un résultat qui surprend presque tout le monde.

Le fil du chapitre

$P_{A}(B)$ et $P_{B}(A)$ sont deux nombres différents, et les confondre est l'erreur la plus coûteuse du chapitre : c'est elle qui fait croire qu'un test positif signifie presque à coup sûr qu'on est malade.

Ce chapitre fait partie de Maths complémentaires en Terminale

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les variables aléatoiresPremière, Mathématiques Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Probabilités et échantillonnageSeconde, Mathématiques
2Probabilités conditionnellesPremière, Mathématiques
3Les variables aléatoiresPremière, Mathématiques
4Probabilités et arbres à deux épreuvesTroisième, Mathématiques

L'essentiel

L'arbre pondéré porte toute l'information

• Sur une branche partant d'un noeud, on lit une probabilité CONDITIONNELLE, sachant tout ce qui précède sur le chemin.
• La somme des probabilités des branches issues d'un même noeud vaut toujours $1$ .
• Un CHEMIN complet se calcule en MULTIPLIANT les probabilités rencontrées : c'est $P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)$ .
• Plusieurs chemins menant au même événement s'ADDITIONNENT : c'est la formule des probabilités totales.

Les deux premières branches se somment à

1

, et les deux branches issues de chaque noeud aussi. Deux chemins mènent à un test positif : c'est leur SOMME qui donnera la probabilité d'un test positif.

La règle tient en deux mots : le long d'un chemin, on multiplie; entre plusieurs chemins, on additionne. Toutes les questions du chapitre se ramènent à ces deux gestes.

Les trois formules, et ce qu'elles ne disent pas

• Conditionnelle : $P_{A}(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ , donc $P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)$ .
• Probabilités totales : si $A_{1},\dots,A_{n}$ partitionnent l'univers, alors $P(B)=\sum P(A_{i})\times P_{A_{i}}(B)$ . Toutes les branches, sans exception.
• Inférence bayésienne : $P_{B}(A)=\frac{P(A)\times P_{A}(B)}{P(B)}$ , ce qui met à jour une probabilité a priori en probabilité a posteriori.
• $P_{A}(B)$ et $P_{B}(A)$ sont deux nombres DIFFÉRENTS : ils ne coïncident que si $P(A)=P(B)$ .

Corrélation, ajustement et causalité

• La droite d'ajustement par moindres carrés passe TOUJOURS par le point moyen $\left(\overline{x}\,;\overline{y}\right)$ , jamais nécessairement par l'origine.
• Un coefficient de corrélation proche de $1$ en valeur absolue signale un alignement fort des points, rien de plus.
• Une corrélation forte n'établit JAMAIS une causalité : il peut exister une cause commune, un biais de sélection, ou un lien fortuit.
• Un ajustement n'est valable que sur le domaine des données : extrapoler bien au-delà n'a aucune garantie.

Lois discrètes et indicateurs d'inégalité

• Loi BINOMIALE $\mathcal{B}(n\,;p)$ : $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ , avec $E(X)=np$ . Elle compte des succès sur un nombre FIXÉ d'essais.
• Loi GÉOMÉTRIQUE : $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ et $E(X)=\frac{1}{p}$ . Elle compte le temps d'ATTENTE du premier succès.
• Espérance d'un gain : somme des gains multipliés par leurs probabilités, avec les pertes comptées NÉGATIVEMENT.
• Indice de Gini : $G=1-2\mathcal{A}$ , où $\mathcal{A}$ est l'aire sous la courbe de Lorenz. $G=0$ correspond à l'égalité parfaite, $G=1$ à l'inégalité maximale.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Confondre les deux probabilités conditionnelles

toute la question, et une conclusion médicale gravement fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le test détecte $95\ \%$ des malades, donc un test positif signifie qu'on est malade à $95\ \%$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $P_{M}(T)=0{,}95$ et $P_{T}(M)$ sont deux nombres différents. La formule de Bayes donne $P_{T}(M)=\frac{0{,}02\times 0{,}95}{0{,}0484}\approx 0{,}39$ : un test positif ne signifie la maladie que dans $39\ \%$ des cas. »

Pourquoi : La maladie est rare, donc les faux positifs, prélevés sur les $98\ \%$ de gens sains, sont plus nombreux que les vrais positifs. L'écart entre les deux conditionnelles vient entièrement de cette différence de taille des populations.

2. Oublier une branche dans la formule des probabilités totales

toute la question, et le calcul de Bayes qui suit devient faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P(T)=P(M)\times P_{M}(T)=0{,}02\times 0{,}95=0{,}019$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Il y a DEUX chemins menant à un test positif : $P(T)=0{,}02\times 0{,}95+0{,}98\times 0{,}03=0{,}019+0{,}0294=0{,}0484$ . Les faux positifs comptent aussi. »

Pourquoi : La formule des probabilités totales additionne TOUS les chemins menant à l'événement. Oublier celui des faux positifs revient à supposer le test parfait, ce qui est précisément ce que l'énoncé nie.

3. Confondre une intersection et une conditionnelle

1 à 2 points, et un arbre mal lu jusqu'au bout

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La probabilité d'être malade ET d'avoir un test positif vaut $0{,}95$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $0{,}95$ est la probabilité d'un test positif SACHANT qu'on est malade. L'intersection vaut $P(M\cap T)=P(M)\times P_{M}(T)=0{,}02\times 0{,}95=0{,}019$ . »

Pourquoi : Une probabilité lue SUR une branche est conditionnelle; une probabilité obtenue en multipliant le long d'un chemin est une intersection. Les deux vivent au même endroit de l'arbre et se lisent différemment.

4. Additionner des probabilités d'événements non incompatibles

1 à 2 points, et parfois une probabilité supérieure à $1$

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ : on retire l'intersection, comptée deux fois. L'addition simple n'est valable que si $A$ et $B$ sont INCOMPATIBLES. »

Pourquoi : Deux événements qui peuvent se produire ensemble partagent une zone que la somme compte deux fois. Le contrôle est immédiat : une probabilité supérieure à $1$ signale toujours cette erreur.

5. Déduire une causalité d'une corrélation

1 à 2 points, sur la question de commentaire

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le coefficient de corrélation vaut $0{,}98$ , donc la première grandeur CAUSE la seconde. »

Ce qu'il faut écrire

« Une corrélation forte signale seulement un alignement des points. Elle n'établit aucune causalité : il peut y avoir une cause commune, un biais de sélection, ou une coïncidence. »

Les points sont presque alignés et la droite passe par le point moyen

(5\,;11)

. Rien ici ne dit laquelle des deux grandeurs agit sur l’autre.

Pourquoi : La corrélation est une propriété du nuage de points, symétrique en les deux variables : elle ne distingue même pas laquelle agirait sur l'autre. Seule une expérience contrôlée, ou un mécanisme connu, établit une causalité.

6. Faire passer la droite d'ajustement par l'origine

1 point, et une prévision décalée sur tout le domaine

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La droite de régression passe par l'origine, donc son équation est $y=ax$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Elle passe par le POINT MOYEN $\left(\overline{x}\,;\overline{y}\right)$ , ce qui n'est l'origine que si les deux moyennes sont nulles. Son équation est $y=ax+b$ , avec $b=\overline{y}-a\overline{x}$ . »

Pourquoi : La méthode des moindres carrés minimise la somme des écarts verticaux, ce qui force le passage par le point moyen. Rien n'oblige la droite à passer par l'origine, sauf coïncidence.

7. Calculer une espérance sans compter les pertes négativement

toute la question, et la conclusion sur l'équité est inversée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le joueur gagne $10$ avec une probabilité $0{,}2$ et perd $5$ avec une probabilité $0{,}8$ : $E=10\times 0{,}2+5\times 0{,}8=6$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Une perte se compte NÉGATIVEMENT : $E=10\times 0{,}2+(-5)\times 0{,}8=2-4=-2$ . Le jeu est défavorable au joueur. »

Pourquoi : L'espérance est un gain moyen algébrique : les sorties d'argent y entrent avec un signe moins. Une espérance positive annoncée pour un jeu de casino devrait alerter à elle seule.

8. Inverser l'interprétation de l'indice de Gini

1 point, sur la question d'interprétation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'indice de Gini vaut $0$ : la répartition est donc totalement inégale. »

Ce qu'il faut écrire

« $G=0$ correspond à l'ÉGALITÉ PARFAITE, la courbe de Lorenz étant alors confondue avec la diagonale. $G=1$ correspond à l'inégalité maximale, une seule personne détenant tout. »

Plus la courbe s’écarte de la diagonale, plus la répartition est inégale. L’aire hachurée donne ici un indice de

\frac{1}{3}

Pourquoi : L'indice mesure l'ÉCART à la diagonale d'égalité : plus il est grand, plus la répartition est concentrée. Un pays réel se situe généralement entre $0{,}25$ et $0{,}60$ .

Quelle méthode choisir

Quelle formule selon la formulation de l'énoncé

Le mot employé dit s'il s'agit d'une intersection, d'une conditionnelle ou d'une réunion.

Si « la probabilité que $A$ ET $B$ se produisent » → INTERSECTION : $P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)$ , c'est-à-dire un produit le long d'un chemin
Si « sachant que », « parmi les », « chez les » → CONDITIONNELLE : on se restreint à la sous-population, et la probabilité se lit sur une branche

Exemple : « parmi les malades, $95\ \%$ ont un test positif » donne $P_{M}(T)=0{,}95$
Si « la probabilité que $A$ OU $B$ » → RÉUNION : $P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ , et l'on ne retire rien que si les événements sont incompatibles
Si l'événement peut survenir par plusieurs chemins de l'arbre → probabilités TOTALES : on additionne les produits de tous les chemins qui y mènent
Si l'énoncé donne un résultat et demande la cause → BAYES : $P_{B}(A)=\frac{P(A)\times P_{A}(B)}{P(B)}$ , et le dénominateur se calcule par les probabilités totales

C'est le cas du test de dépistage : on connaît le résultat du test et l'on cherche l'état du patient.
Si l'énoncé demande un nombre de succès sur $n$ essais → loi BINOMIALE; s'il demande le rang du premier succès, loi GÉOMÉTRIQUE

Le repère qui tranche : une conditionnelle change la POPULATION de référence, une intersection non. « Parmi les malades » restreint à une sous-population; « malade et positif » compte dans la population entière.

Comment lire un nuage de points

On regarde d'abord la forme, puis on décide ce qu'on a le droit d'en conclure.

Si les points s'alignent autour d'une droite → ajustement AFFINE, avec une droite qui passe par le point moyen
Si les points s'alignent une fois le logarithme pris en ordonnée → modèle EXPONENTIEL : $\log y$ affine en $x$
Si le coefficient de corrélation est proche de $1$ en valeur absolue → l'ajustement affine est pertinent, mais cela ne dit RIEN d'une causalité
Si l'énoncé demande une PRÉVISION dans le domaine des données → interpolation : on substitue dans l'équation de la droite, ce qui est légitime
Si l'énoncé demande une prévision bien au-delà des données → extrapolation : on donne la valeur ET on signale que rien ne garantit la validité du modèle
Si l'énoncé demande de commenter un lien → évoquer explicitement les trois explications possibles : causalité, cause commune, coïncidence

La question de commentaire vaut souvent autant que tous les calculs réunis. Elle attend le mot « corrélation n'est pas causalité », mais accompagné d'une explication concrète tirée du contexte de l'énoncé.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Exploiter un arbre pondéré

Quand l'utiliser : L'exercice type du chapitre : deux caractères croisés, un dépistage, un contrôle qualité.

1 DÉFINIR les événements avec des lettres et une phrase : « $M$ : la personne est malade; $T$ : le test est positif ».
2 Construire l'arbre en plaçant sur chaque branche la probabilité conditionnelle correspondante, et vérifier que chaque noeud somme à $1$ .
3 Traduire chaque question en événement, en repérant si c'est une intersection, une conditionnelle ou une réunion.
4 Calculer les intersections en multipliant le long des chemins.
5 Calculer les probabilités totales en additionnant TOUS les chemins menant à l'événement.
6 Pour une probabilité inversée, appliquer Bayes, puis INTERPRÉTER le résultat dans le contexte.

Phrase de conclusion

Deux chemins mènent à un test positif, donc $P(T)=P(M)\times P_{M}(T)+P\left(\overline{M}\right)\times P_{\overline{M}}(T)=0{,}02\times 0{,}95+0{,}98\times 0{,}03=0{,}0484$ .

Le piège : Écrire directement les nombres sans définir les événements. Le correcteur ne peut alors pas savoir si $0{,}95$ est une conditionnelle ou une intersection, et le point de rédaction est perdu même si le calcul est juste.

Barème : 0,5 point pour la définition des événements, 1 point pour l'arbre complet, 1 point par probabilité calculée, 1 point pour l'interprétation finale.

Calculer et interpréter une espérance

Quand l'utiliser : Un jeu, un contrat d'assurance, une décision économique.

1 Définir la variable aléatoire et dire ce qu'elle mesure, avec son unité.
2 Dresser le TABLEAU de la loi : toutes les valeurs possibles, avec leurs probabilités.
3 Vérifier que la somme des probabilités vaut exactement $1$ .
4 Calculer $E(X)=\sum x_{i}P(X=x_{i})$ , en comptant les pertes NÉGATIVEMENT.
5 Donner le résultat avec son unité, et préciser qu'il s'agit d'un gain moyen sur un grand nombre de parties.
6 Conclure sur l'équité : un jeu est équitable si et seulement si son espérance est nulle.

Phrase de conclusion

L'espérance vaut $E(X)=10\times 0{,}2+(-5)\times 0{,}8=-2$ dollars : sur un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne deux dollars par partie, le jeu lui est donc défavorable.

Le piège : Interpréter l'espérance comme un gain garanti. C'est une moyenne sur un TRÈS GRAND nombre de répétitions : sur une seule partie, elle ne prédit rien, et le joueur peut parfaitement gagner.

Barème : 0,5 point pour la variable définie, 1 point pour le tableau de loi, 1 point pour le calcul avec les signes, 1 point pour l'interprétation.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Vérifier que chaque noeud de l'arbre somme à 1

Les branches issues d'un même point forment un système complet : leurs probabilités s'additionnent à $1$ . Un noeud qui ne somme pas à $1$ contient une erreur de lecture.

$0{,}95+0{,}05=1$ pour les malades, et $0{,}03+0{,}97=1$ pour les sains : l'arbre est cohérent.
Contrôler qu'une probabilité reste entre 0 et 1

Toute probabilité calculée doit tomber dans cet intervalle. Un dépassement signale presque toujours une addition d'événements non incompatibles.

$P(A)+P(B)=1{,}1$ pour deux événements compatibles : il fallait retirer l'intersection.
Recouper les probabilités totales

La somme des probabilités de tous les chemins de l'arbre doit valoir exactement $1$ . C'est le contrôle le plus complet, et il valide l'arbre entier.

$0{,}019+0{,}001+0{,}0294+0{,}9506=1$ : les quatre chemins sont corrects.
Comparer les deux probabilités conditionnelles

$P_{A}(B)$ et $P_{B}(A)$ ne coïncident que si $P(A)=P(B)$ . Un exercice de dépistage donne toujours deux valeurs très différentes, et il faut vérifier laquelle est demandée.

$P_{M}(T)=0{,}95$ contre $P_{T}(M)=0{,}39$ : l'écart vient de la rareté de la maladie.
Vérifier que la droite d'ajustement passe par le point moyen

Substituer $\overline{x}$ dans l'équation trouvée doit donner exactement $\overline{y}$ . C'est une propriété de la méthode des moindres carrés, et elle valide l'équation.

$2\times 5+1=11=\overline{y}$ : l'équation est cohérente avec le nuage.

L'exercice type décortiqué

Un test de dépistage, comme à l'examen

Une maladie touche $2\ \%$ d'une population. Un test de dépistage est positif chez $95\ \%$ des personnes malades, et négatif chez $97\ \%$ des personnes saines. On choisit une personne au hasard; on note $M$ l'événement « elle est malade » et $T$ l'événement « son test est positif ».

1. Construire l'arbre pondéré. 2. Calculer $P(M\cap T)$ . 3. Calculer $P(T)$ . 4. Calculer $P_{T}(M)$ et interpréter. 5. Pourquoi ce résultat surprend-il ?

Étape 1

L'arbre part de deux branches : $P(M)=0{,}02$ et $P\left(\overline{M}\right)=0{,}98$ . De $M$ partent $P_{M}(T)=0{,}95$ et $P_{M}\left(\overline{T}\right)=0{,}05$ ; de $\overline{M}$ partent $P_{\overline{M}}(T)=0{,}03$ et $P_{\overline{M}}\left(\overline{T}\right)=0{,}97$ .

Pourquoi

Le $0{,}03$ vient de « négatif chez $97\ \%$ des personnes saines » : c'est le complément à $1$ , et c'est le taux de faux positifs. Chaque noeud somme bien à $1$ .

Étape 2

$P(M\cap T)=P(M)\times P_{M}(T)=0{,}02\times 0{,}95=0{,}019$ .

Pourquoi

On multiplie le long du chemin : c'est la règle de l'arbre. Ce nombre représente la proportion de VRAIS positifs dans la population entière, soit $1{,}9$ personne sur cent.

Étape 3

Le chemin des faux positifs donne $P\left(\overline{M}\cap T\right)=0{,}98\times 0{,}03=0{,}0294$ .

Pourquoi

Ce nombre est PLUS GRAND que celui des vrais positifs, alors que le taux de faux positifs est de seulement $3\ \%$ : c'est la taille de la population saine qui l'emporte, et c'est toute l'explication du résultat final.

Étape 4

Par la formule des probabilités totales : $P(T)=0{,}019+0{,}0294=0{,}0484$ . Environ $4{,}8\ \%$ des tests sont positifs.

Pourquoi

On additionne les DEUX chemins menant à un test positif. Oublier celui des faux positifs donnerait $0{,}019$ et fausserait tout le calcul de Bayes.

Étape 5

$P_{T}(M)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}=\frac{0{,}019}{0{,}0484}\approx 0{,}39$ .

Pourquoi

C'est la formule de Bayes, écrite sous sa forme la plus simple : une intersection divisée par la probabilité de l'événement conditionnant. Le dénominateur est celui qu'on vient de calculer.

Étape 6

Interprétation : parmi les personnes dont le test est positif, environ $39\ \%$ seulement sont réellement malades. Une majorité des tests positifs sont donc des FAUX positifs.

Pourquoi

La phrase reformule la conditionnelle dans le contexte : « parmi les personnes dont le test est positif ». C'est ce que le barème appelle interpréter, et c'est un point entier.

Étape 7

Ce résultat surprend parce qu'on confond spontanément $P_{M}(T)=0{,}95$ et $P_{T}(M)=0{,}39$ . La maladie étant rare, les $3\ \%$ de faux positifs prélevés sur $98\ \%$ de la population donnent plus de cas que les $95\ \%$ de vrais positifs prélevés sur $2\ \%$ .

Pourquoi

L'explication doit être QUANTITATIVE : c'est le rapport des tailles de population, $98$ contre $2$ , qui renverse la conclusion. Sans ce chiffre, la réponse reste une impression.

Étape 8

Contrôle : les quatre chemins somment à $0{,}019+0{,}001+0{,}0294+0{,}9506=1$ , ce qui valide l'arbre entier.

Pourquoi

Une addition de quatre nombres qui vérifie l'ensemble du travail. Un total différent de $1$ signalerait une branche mal lue ou un produit faux.

Conclusion rédigée

Sur cette population, $4{,}8\ \%$ des tests sont positifs, mais seuls $39\ \%$ des personnes testées positives sont réellement malades : la rareté de la maladie fait que les faux positifs, issus d'une population saine seize fois plus nombreuse, dépassent les vrais positifs.

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre $95\ \%$ à la question 4, en reprenant la donnée de l'énoncé. C'est exactement l'inversion des deux conditionnelles, et elle conduit à une conclusion médicale opposée à la réalité.

À savoir par cœur

• Le long d'un CHEMIN on multiplie, entre plusieurs chemins on ADDITIONNE.
• $P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)$ : une branche porte une conditionnelle, un chemin donne une intersection.
• Probabilités totales : additionner TOUS les chemins menant à l'événement, sans en oublier.
• $P_{A}(B)$ et $P_{B}(A)$ sont DIFFÉRENTS : Bayes fait passer de l'un à l'autre.
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ : on ne retire rien que si les événements sont incompatibles.
• Espérance : les pertes se comptent NÉGATIVEMENT; un jeu est équitable si son espérance est nulle.
• Binomiale : nombre de succès sur $n$ essais, $E(X)=np$ . Géométrique : rang du premier succès, $E(X)=\frac{1}{p}$ .
• La droite d'ajustement passe par le POINT MOYEN, pas par l'origine.
• Corrélation n'est jamais causalité : cause commune, biais, ou coïncidence.
• Gini : $G=0$ pour l'égalité parfaite, $G=1$ pour l'inégalité maximale.

Questions fréquentes

Pourquoi un test positif ne signifie-t-il pas qu'on est malade ?

Parce que la probabilité d'être positif sachant qu'on est malade et celle d'être malade sachant qu'on est positif sont deux nombres différents. Quand la maladie est rare, les faux positifs, prélevés sur une immense population saine, deviennent plus nombreux que les vrais positifs, et la probabilité a posteriori chute très en dessous de la sensibilité annoncée.

Comment lit-on un arbre pondéré ?

Chaque branche porte une probabilité conditionnelle, sachant tout ce qui précède sur le chemin. On multiplie les probabilités le long d'un chemin pour obtenir une intersection, et on additionne les chemins qui mènent au même événement. Les branches issues d'un même point somment toujours à un.

Quelle différence entre une intersection et une probabilité conditionnelle ?

Une intersection se calcule dans la population entière : c'est la proportion de gens qui vérifient les deux conditions. Une conditionnelle se calcule dans une sous-population : elle change la référence. Les mots sachant que, parmi les, ou chez les signalent toujours une conditionnelle.

Une corrélation forte prouve-t-elle une causalité ?

Non, jamais. La corrélation décrit seulement l'alignement des points d'un nuage, et elle est symétrique entre les deux variables : elle ne dit même pas laquelle agirait sur l'autre. Trois explications restent possibles : une vraie causalité, une cause commune aux deux grandeurs, ou une coïncidence.

Par quel point passe la droite d'ajustement ?

Par le point moyen, dont les coordonnées sont les moyennes des deux séries. C'est une propriété de la méthode des moindres carrés. Rien ne l'oblige à passer par l'origine, sauf si les deux moyennes sont nulles. Substituer la moyenne des abscisses dans l'équation trouvée doit redonner la moyenne des ordonnées.

Que signifie un indice de Gini proche de zéro ?

Une répartition très égalitaire : la courbe de Lorenz est alors presque confondue avec la diagonale. Un indice proche de un signifie au contraire que la quasi-totalité de la ressource est détenue par une infime minorité. Les pays réels se situent le plus souvent entre zéro virgule vingt-cinq et zéro virgule soixante.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Probabilités et statistiques

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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