Fiche de révision : probabilités et statistiques (maths complémentaires)

L'arbre pondéré porte toute l'information

• • Sur une branche partant d'un noeud, on lit une probabilité CONDITIONNELLE, sachant tout ce qui précède sur le chemin.
• • La somme des probabilités des branches issues d'un même noeud vaut toujours $1$.
• • Un CHEMIN complet se calcule en MULTIPLIANT les probabilités rencontrées : c'est $P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)$.
• • Plusieurs chemins menant au même événement s'ADDITIONNENT : c'est la formule des probabilités totales.

La règle tient en deux mots : le long d'un chemin, on multiplie; entre plusieurs chemins, on additionne. Toutes les questions du chapitre se ramènent à ces deux gestes.

Les trois formules, et ce qu'elles ne disent pas

• • Conditionnelle : $P_{A}(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$, donc $P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)$.
• • Probabilités totales : si $A_{1},\dots,A_{n}$ partitionnent l'univers, alors $P(B)=\sum P(A_{i})\times P_{A_{i}}(B)$. Toutes les branches, sans exception.
• • Inférence bayésienne : $P_{B}(A)=\frac{P(A)\times P_{A}(B)}{P(B)}$, ce qui met à jour une probabilité a priori en probabilité a posteriori.
• • $P_{A}(B)$ et $P_{B}(A)$ sont deux nombres DIFFÉRENTS : ils ne coïncident que si $P(A)=P(B)$.
• • Valeurs prédictives d'un test : $\mathrm{VPP}=P_{T}(M)$ et $\mathrm{VPN}=P_{\overline{T}}\left(\overline{M}\right)$. Sensibilité $P_{M}(T)$ et spécificité $P_{\overline{M}}\left(\overline{T}\right)$ sont des qualités du test ; les valeurs prédictives, elles, dépendent de la prévalence $P(M)$.

Corrélation, ajustement et causalité

• • La droite d'ajustement par moindres carrés passe TOUJOURS par le point moyen $\left(\overline{x}\,;\overline{y}\right)$, jamais nécessairement par l'origine.
• • Un coefficient de corrélation proche de $1$ en valeur absolue signale un alignement fort des points, rien de plus.
• • Une corrélation forte n'établit JAMAIS une causalité : il peut exister une cause commune, un biais de sélection, ou un lien fortuit.
• • Un ajustement n'est valable que sur le domaine des données : extrapoler bien au-delà n'a aucune garantie.
• • Un nuage courbé se redresse par CHANGEMENT DE VARIABLE : si les rapports successifs sont à peu près constants, on ajuste $z=\ln y$ par les moindres carrés, puis l'on revient à $y=k\,\mathrm{e}^{ax}$. Un $r$ proche de $\pm 1$ ne choisit pas entre deux modèles.

Lois discrètes : la loi se nomme par l'expérience

• • Loi UNIFORME sur $\{1,\ \ldots,\ n\}$ : un seul tirage équiprobable, $P(X=k)=\frac{1}{n}$ et $E(X)=\frac{n+1}{2}$, jamais $\frac{n}{2}$.
• • Loi de BERNOULLI de paramètre $p$ : une seule expérience à deux issues, $X$ vaut $1$ ou $0$ ; $E(X)=p$, $V(X)=p(1-p)$, $\sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}$, maximal pour $p=\frac{1}{2}$.
• • Coefficient binomial $\binom{n}{k}$ : le NOMBRE de chemins à $k$ succès dans l'arbre de $n$ épreuves. Triangle de Pascal $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$, symétrie $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.
• • Loi BINOMIALE $\mathcal{B}(n\,;p)$ : $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, on COMPTE les succès. $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$, avec $E(X)=np$.
• • Loi GÉOMÉTRIQUE : on ATTEND le premier succès. $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$, $P(X>n)=(1-p)^{n}$, $E(X)=\frac{1}{p}$, et absence de mémoire $P_{X>n}(X>n+m)=P(X>m)$, qui la caractérise.
• • Espérance d'un gain : somme des gains multipliés par leurs probabilités, avec les pertes comptées NÉGATIVEMENT.
• • Indice de Gini : $G=1-2\mathcal{A}$, où $\mathcal{A}$ est l'aire sous la courbe de Lorenz. $G=0$ correspond à l'égalité parfaite, $G=1$ à l'inégalité maximale.

Avant toute formule, une phrase : « $X$ compte les succès de $n$ épreuves indépendantes de même probabilité $p$, donc $X$ suit $\mathcal{B}(n\,;p)$ ». C'est elle que le correcteur cherche d'abord.