Spécialité maths, Première • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : les variables aléatoires (Première spécialité)

Une variable aléatoire n'est pas un nombre : c'est une FONCTION qui attribue un nombre à chaque issue d'une expérience. Tout le chapitre consiste à résumer cette fonction par deux indicateurs, un centre et une dispersion, et l'essentiel des points se perd sur la nature exacte de ces deux nombres.

Cette fiche ne redit pas les formules du polycopié. Elle montre les huit endroits où les copies se trompent, la phrase exacte à recopier pour chacun, l'arbre qui dit quelle formule employer selon la question posée, et un problème de prime d'assurance décortiqué étape par étape.

Le fil du chapitre

L'espérance est une moyenne sur un très grand nombre de répétitions, pas une valeur que $X$ prend, et encore moins la plus probable. Elle ne dit rien du risque : c'est la variance qui le mesure, et c'est pourquoi deux jeux de même espérance peuvent être opposés.

Ce chapitre fait partie de Spécialité mathématiques en Première

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Probabilités conditionnelles Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Probabilités et échantillonnageSeconde
2Probabilités conditionnelles
3Statistiques et probabilitésQuatrième
4Probabilités et arbres à deux épreuvesTroisième

L'essentiel

L'espérance est une moyenne, pas une valeur de $X$

• La loi de probabilité de $X$ donne toutes les valeurs prises par $X$ et leurs probabilités. La somme de ces probabilités vaut TOUJOURS $1$ , et c'est le premier contrôle à faire.
• $E(X)=\sum x_{i}\,p_{i}$ : chaque valeur est pondérée par sa probabilité. C'est la valeur moyenne obtenue sur un très grand nombre de répétitions.
• $E(X)$ n'est pas forcément une valeur que $X$ peut prendre : une famille peut avoir $2{,}1$ enfants en moyenne.
• $E(X)$ n'est pas non plus la valeur la plus probable. La valeur la plus probable est celle de plus grande probabilité, et elle porte un autre nom.

La variable prend les valeurs

1

2

6

avec les probabilités

0{,}5

0{,}3

0{,}2

. L'espérance

2{,}3

tombe entre deux barres : ni une valeur prise, ni la plus probable, qui est

1

Une espérance se commente toujours en français : « sur un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne $0{,}30$ dollar par partie ». Cette phrase vaut un point et elle est absente d'une copie sur deux.

Variance et écart-type : la dispersion, pas le centre

• $V(X)=E\left(X^{2}\right)-\left(E(X)\right)^{2}$ , où $E\left(X^{2}\right)=\sum x_{i}^{2}\,p_{i}$ : on élève les VALEURS au carré, jamais l'espérance déjà calculée.
• $V(X)\ge 0$ toujours. Une variance négative signale une erreur, en général l'inversion des deux termes de la formule.
• $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ : l'écart-type s'exprime dans la même unité que $X$ , contrairement à la variance.
• Deux variables peuvent avoir la même espérance et des écarts-types très différents : l'espérance dit le centre, l'écart-type dit le risque.

Pour une variable à DEUX valeurs séparées d'une distance $d$ , avec probabilités $p$ et $1-p$ , la variance vaut $p(1-p)d^{2}$ . Ce raccourci évite le tableau des carrés et se vérifie en dix secondes.

Transformation affine : le coefficient au carré

• $E(aX+b)=a\,E(X)+b$ : l'espérance suit la transformation exactement.
• $V(aX+b)=a^{2}\,V(X)$ : le coefficient est ÉLEVÉ AU CARRÉ, et la constante $b$ disparaît.
• $\sigma(aX+b)=\left|a\right|\,\sigma(X)$ : la valeur absolue n'est pas décorative, un écart-type est toujours positif.
• Ajouter une constante déplace le centre sans changer la dispersion : $V(X+b)=V(X)$ , quel que soit $b$ .

Le sens physique : décaler tous les résultats de $10$ ne change rien à leur écartement; les doubler double l'écartement, donc quadruple la variance qui est un carré.

Gain algébrique et jeu équitable

• Le gain ALGÉBRIQUE est ce que le joueur reçoit MOINS ce qu'il a misé. La mise se retranche sur toutes les issues, y compris celles où le joueur gagne.
• Un jeu est équitable lorsque l'espérance du gain algébrique du joueur est NULLE.
• Une espérance négative signifie que le joueur perd en moyenne, donc que l'organisateur gagne. C'est le cas de tous les jeux d'argent réels.
• Une question du type « quelle mise rend le jeu équitable » se résout en posant la mise comme inconnue, en écrivant l'espérance en fonction d'elle, puis en résolvant une équation du premier degré.

Se demander qui parle : l'énoncé peut demander le gain du JOUEUR ou celui de l'ORGANISATEUR. Les deux sont opposés, et l'un des deux est demandé, pas l'autre.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Prendre l'espérance pour une valeur que $X$ atteint

le temps perdu à refaire un calcul juste, et souvent une réponse raturée puis fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $E(X)=2{,}3$ , or $X$ ne prend jamais la valeur $2{,}3$ , donc il y a une erreur dans mon calcul. »

Ce qu'il faut écrire

« $E(X)=2{,}3$ : sur un grand nombre de répétitions, la valeur moyenne obtenue est $2{,}3$ . Ce n'est pas une valeur prise par $X$ , et il n'y a aucune raison qu'elle le soit. »

Pourquoi : L'espérance est une moyenne pondérée : comme toute moyenne, elle tombe entre les valeurs extrêmes sans avoir à coïncider avec l'une d'elles. Le nombre moyen d'enfants par famille en est l'exemple courant.

2. Confondre l'espérance et la valeur la plus probable

toute la question, et l'écart peut être considérable

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La valeur la plus probable est $1$ avec $0{,}5$ , donc $E(X)=1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La valeur la plus probable est $1$ , mais l'espérance vaut $1\times 0{,}5+2\times 0{,}3+6\times 0{,}2=2{,}3$ : TOUTES les valeurs comptent, chacune pondérée par sa probabilité. »

Pourquoi : Une valeur rare mais très grande tire fortement l'espérance vers le haut. Ici $6$ n'a qu'une probabilité de $0{,}2$ et fournit pourtant plus de la moitié de l'espérance.

3. Élever l'espérance au carré au lieu des valeurs

toute la question, et la variance trouvée vaut systématiquement zéro

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $V(X)=E\left(X^{2}\right)-\left(E(X)\right)^{2}$ avec $E\left(X^{2}\right)=\left(E(X)\right)^{2}=5{,}29$ , donc $V(X)=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $E\left(X^{2}\right)=1^{2}\times 0{,}5+2^{2}\times 0{,}3+6^{2}\times 0{,}2=8{,}9$ , donc $V(X)=8{,}9-5{,}29=3{,}61$ et $\sigma(X)=1{,}9$ . »

Pourquoi : $E\left(X^{2}\right)$ est la moyenne des CARRÉS, $\left(E(X)\right)^{2}$ est le carré de la moyenne : les deux ne coïncident que si $X$ est constante. Une variance nulle signifierait justement que $X$ ne varie pas.

4. Sortir le coefficient de la variance sans l'élever au carré

toute la question, et l'écart-type qui en découle est faux d'un facteur trois

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $V(3X+5)=3V(X)+5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $V(3X+5)=3^{2}\,V(X)=9\,V(X)$ : le coefficient est élevé au carré et la constante disparaît. »

Pourquoi : La variance est une moyenne de CARRÉS d'écarts : multiplier les valeurs par $3$ multiplie les écarts par $3$ , donc leurs carrés par $9$ . Et ajouter $5$ déplace tout le monde de la même quantité, sans changer aucun écart.

5. Oublier la valeur absolue dans l'écart-type d'une transformation

1 point, et le résultat contredit la définition même de l'écart-type

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sigma(-2X+7)=-2\,\sigma(X)=-3{,}8$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\sigma(-2X+7)=\left|-2\right|\,\sigma(X)=2\times 1{,}9=3{,}8$ . Un écart-type est une racine carrée, donc toujours positif. »

Pourquoi : L'écart-type mesure un écartement, qui n'a pas de signe. Le repère : $V(-2X+7)=4V(X)$ , et la racine carrée de $4V(X)$ vaut $2\sqrt{V(X)}$ , jamais $-2\sqrt{V(X)}$ .

6. Oublier la mise dans le gain algébrique

toute la question, et l'espérance trouvée est décalée de la valeur de la mise

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le joueur mise $2$ dollars et remporte $10$ dollars s'il gagne, donc son gain vaut $10$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le gain ALGÉBRIQUE vaut $10-2=8$ dollars s'il gagne, et $0-2=-2$ dollars s'il perd. La mise se retranche sur TOUTES les issues. »

Pourquoi : La mise est versée avant de connaître le résultat : elle est perdue dans tous les cas, y compris quand le joueur gagne. Le contrôle : l'issue la plus défavorable doit donner un gain NÉGATIF, égal à l'opposé de la mise.

7. Supposer l'équiprobabilité quand la loi ne l'est pas

toute la question, et la loi obtenue ne correspond à aucune expérience

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La somme de deux dés prend les valeurs de $2$ à $12$ , soit onze valeurs, donc chacune a la probabilité $\frac{1}{11}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Il y a $36$ issues équiprobables pour le COUPLE de dés, mais elles ne se répartissent pas également sur les sommes : $P(S=2)=\frac{1}{36}$ alors que $P(S=7)=\frac{6}{36}$ . »

En hauteur, le nombre d'issues sur

36

qui donnent chaque somme. La ligne en pointillés est ce que donnerait une loi uniforme sur onze valeurs : elle ne colle à aucune barre.

Pourquoi : L'équiprobabilité porte sur les ISSUES de l'expérience, pas sur les valeurs de la variable. Une même valeur peut être atteinte par plusieurs issues, et c'est le nombre d'issues qui donne la probabilité.

8. Croire qu'une même espérance signifie un même risque

toute la question de comparaison, qui est celle qui vaut le plus de points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les deux jeux ont pour espérance $2$ , donc ils sont équivalents pour le joueur. »

Ce qu'il faut écrire

« Les deux jeux ont la même espérance $2$ , mais des écarts-types de $0{,}82$ et $1{,}63$ : le second est deux fois plus dispersé, donc deux fois plus risqué. »

Les deux lois ont la même espérance

2

, marquée par la verticale en pointillés. Celle du bas serre ses valeurs autour du centre, celle du haut les écarte deux fois plus : même centre, risque double.

Pourquoi : L'espérance est un centre, elle ne dit rien de l'écartement autour de ce centre. C'est exactement la raison d'être de la variance, et les sujets construisent presque toujours deux variables de même espérance pour l'évaluer.

9. Annoncer la variance là où l'énoncé demande l'écart-type

1 point, et le résultat est absurde au regard des sommes en jeu

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'écart-type du gain vaut $465\,600$ dollars. »

Ce qu'il faut écrire

« La variance vaut $465\,600$ , donc l'écart-type vaut $\sqrt{465\,600}\approx 682$ dollars. C'est lui qui s'exprime en dollars, comme le gain. »

Pourquoi : La variance est en dollars CARRÉS, une unité sans signification concrète. L'écart-type ramène la dispersion à l'unité de la variable, et c'est pour cela que les énoncés le demandent presque toujours.

Quelle méthode choisir

Quelle formule selon la question posée

On regarde ce que la question demande, en un mot. Il n'y a que six formules dans tout le chapitre, et chacune répond à un mot précis.

Si « déterminer la loi de probabilité » → tableau à deux lignes, valeurs puis probabilités, et somme des probabilités vérifiée à $1$
Si « en moyenne », « espérance », « à long terme » → $E(X)=\sum x_{i}p_{i}$ , suivie d'une phrase d'interprétation

Exemple : $1\times 0{,}5+2\times 0{,}3+6\times 0{,}2=2{,}3$
Si « variance », « dispersion » → $V(X)=E\left(X^{2}\right)-\left(E(X)\right)^{2}$ , avec les valeurs élevées au carré dans la première somme

Pour une variable à deux valeurs séparées de $d$ , le raccourci $p(1-p)d^{2}$ va cinq fois plus vite.
Si « écart-type », « risque », « régularité » → $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ , à donner avec l'unité de $X$
Si la question porte sur $aX+b$ et non sur $X$ → $E(aX+b)=aE(X)+b$ , $V(aX+b)=a^{2}V(X)$ , $\sigma(aX+b)=\left|a\right|\sigma(X)$

Exemple : $V(3X+5)=9V(X)$ , et non $3V(X)+5$
Si « le jeu est-il équitable », « quelle mise rendrait le jeu équitable » → poser le gain ALGÉBRIQUE, écrire son espérance, et résoudre $E=0$

Exemple : une prime $p$ avec $E(G)=p-120$ donne $p=120$ pour l'équité

Aucune branche ne s'applique ? La question porte probablement sur la loi elle-même, et il faut alors revenir au dénombrement des issues, jamais au comptage des valeurs.

Comment établir la loi selon la forme de l'énoncé

On repère comment l'expérience est décrite, car c'est cela qui dit où chercher les probabilités.

Si un tirage dans une urne, un jet de dé, un tirage de carte → dénombrer les ISSUES favorables à chaque valeur, et diviser par le nombre total d'issues

Exemple : somme de deux dés : $36$ issues, dont $6$ donnent la somme $7$
Si un arbre pondéré, ou une succession d'épreuves → multiplier le long de chaque chemin, puis additionner les chemins qui donnent la même valeur
Si un tableau d'effectifs → diviser chaque effectif par l'effectif total, et vérifier que la somme fait $1$
Si un jeu avec une mise → établir d'abord la loi du gain BRUT, puis retrancher la mise à toutes les valeurs pour obtenir le gain algébrique

Retrancher la mise ne change pas les probabilités : c'est une transformation affine avec $a=1$ , donc la variance est inchangée.
Si une situation d'assurance, de garantie, de contrat → deux issues seulement en général, sinistre ou pas, et la loi tient en deux colonnes

Exemple : $G=p$ avec la probabilité $0{,}97$ , et $G=p-4000$ avec la probabilité $0{,}03$

Le tableau de loi se présente toujours en deux lignes, valeurs en haut et probabilités en bas, avec les valeurs rangées dans l'ordre croissant. Cette présentation vaut un demi-point de forme.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Établir et présenter une loi de probabilité

Quand l'utiliser : La première question de presque tous les exercices du chapitre, et celle dont dépendent toutes les autres.

1 Dire ce que $X$ représente, en une phrase, même si l'énoncé l'a déjà dit. « $X$ désigne le gain algébrique du joueur, en dollars. »
2 Donner l'ensemble des valeurs prises par $X$ , rangées dans l'ordre croissant.
3 Calculer chaque probabilité séparément, en justifiant le dénombrement ou le chemin de l'arbre.
4 Présenter le résultat dans un tableau à deux lignes.
5 VÉRIFIER que la somme des probabilités vaut exactement $1$ , et l'écrire.

Phrase de conclusion

La variable aléatoire $X$ prend les valeurs $-2$ , $3$ et $8$ , avec les probabilités respectives $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ et $\frac{1}{6}$ , dont la somme vaut bien $1$ .

Le piège : Oublier une valeur possible, en particulier celle qui correspond à « ne rien gagner ». Le contrôle de la somme à $1$ la fait apparaître immédiatement.

Barème : 0,5 point pour les valeurs, 1,5 point pour les probabilités, 0,5 point pour la présentation en tableau et la vérification de la somme.

Répondre à une question de jeu équitable

Quand l'utiliser : L'énoncé demande si le jeu est équitable, ou quelle mise le rendrait équitable, ou quelle prime assure un bénéfice donné.

1 Poser l'inconnue explicitement. « Soit $p$ la prime annuelle, en dollars. »
2 Établir la loi du gain algébrique EN FONCTION de cette inconnue, en retranchant la mise sur toutes les issues.
3 Calculer l'espérance et la simplifier jusqu'à une expression du premier degré en $p$ .
4 Écrire l'équation demandée : $E=0$ pour l'équité, $E=k$ pour un bénéfice moyen de $k$ .
5 Résoudre, puis conclure par une phrase en français avec l'unité et le sens du résultat.

Phrase de conclusion

L'espérance du gain de la compagnie vaut $E(G)=p-120$ ; le contrat est équitable lorsque $E(G)=0$ , c'est-à-dire pour une prime de $120$ dollars, et tout ce qui est facturé au-delà constitue le bénéfice moyen par contrat.

Le piège : Calculer l'espérance du gain du JOUEUR quand l'énoncé demande celui de l'organisateur, ou l'inverse. Les deux sont opposés, et une seule des deux réponses est acceptée.

Barème : 0,5 point pour l'inconnue posée, 1 point pour la loi en fonction de $p$ , 1 point pour l'espérance, 0,5 point pour l'équation résolue et la conclusion.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Additionner les probabilités de la loi

Le total doit valoir exactement $1$ . C'est le contrôle le plus rapide du chapitre, et il attrape toutes les valeurs oubliées.

Une loi dont les probabilités totalisent $0{,}85$ : il manque une issue, presque toujours celle où le joueur ne gagne rien.
Encadrer l'espérance par les valeurs extrêmes

$E(X)$ est une moyenne pondérée, donc elle est comprise entre la plus petite et la plus grande valeur prise par $X$ . Deux comparaisons, aucun calcul.

Une espérance de $7$ annoncée pour une variable prenant les valeurs $1$ , $2$ et $6$ : c'est impossible, une probabilité a été mal placée.
Vérifier que la variance est positive

$V(X)\ge 0$ toujours, et $V(X)=0$ seulement si $X$ est constante. Une variance négative signale l'inversion des deux termes de la formule.

Un $V(X)=5{,}29-8{,}9=-3{,}61$ : les deux termes ont été écrits dans le mauvais ordre, la bonne valeur est $3{,}61$ .
Comparer l'écart-type à l'étendue des valeurs

L'écart-type est du même ordre de grandeur que les écarts observés, et il ne dépasse jamais la moitié de l'étendue pour une variable à deux valeurs.

Un écart-type de $682$ dollars pour un gain qui varie entre $150$ et $-3\,850$ : c'est cohérent, l'étendue vaut $4\,000$ .
Recalculer une variance par le raccourci des deux valeurs

Quand $X$ ne prend que deux valeurs séparées d'une distance $d$ , avec probabilités $p$ et $1-p$ , la variance vaut $p(1-p)d^{2}$ . Le résultat doit coïncider avec celui du tableau.

$0{,}03\times 0{,}97\times 4000^{2}=465\,600$ , exactement ce que donne $E\left(G^{2}\right)-\left(E(G)\right)^{2}$ .

L'exercice type décortiqué

La prime d'assurance, comme au contrôle

Une compagnie assure des clients contre un sinistre dont la probabilité annuelle est de $0{,}03$ . En cas de sinistre, elle rembourse $4\,000$ dollars. Chaque client verse une prime annuelle de $p$ dollars. On note $G$ le gain algébrique de la compagnie sur un contrat, en dollars.

1. Donner la loi de $G$ en fonction de $p$ . 2. Exprimer $E(G)$ en fonction de $p$ . 3. Déterminer la prime qui rend le contrat équitable. 4. Déterminer la prime qui assure un bénéfice moyen de $30$ dollars par contrat, puis calculer l'écart-type du gain pour cette prime.

Étape 1

S'il n'y a pas de sinistre, la compagnie encaisse la prime : $G=p$ , avec la probabilité $0{,}97$ . S'il y a sinistre, elle encaisse la prime et verse $4\,000$ : $G=p-4\,000$ , avec la probabilité $0{,}03$ .

Pourquoi

La prime est encaissée dans les DEUX cas, y compris celui du sinistre : c'est exactement le piège du gain algébrique, mise comprise. La somme des deux probabilités vaut $1$ , le tableau est complet.

Étape 2

$E(G)=0{,}97\,p+0{,}03\left(p-4\,000\right)=0{,}97p+0{,}03p-120=p-120$ .

Pourquoi

Les deux termes en $p$ se regroupent parce que leurs coefficients totalisent $1$ : c'est vrai chaque fois que la mise est encaissée sur toutes les issues, et cela simplifie tout le reste de l'exercice.

Étape 3

Le contrat est équitable lorsque $E(G)=0$ , soit $p-120=0$ , donc $p=120$ dollars.

Pourquoi

L'équité se définit sur l'espérance du gain ALGÉBRIQUE, pas sur l'égalité des probabilités. Ici $120$ dollars est exactement le coût moyen d'un sinistre, $0{,}03\times 4\,000$ .

Étape 4

Pour un bénéfice moyen de $30$ dollars : $p-120=30$ , donc $p=150$ dollars.

Pourquoi

L'équation est du premier degré, et sa forme vient entièrement de la question 2. On ne recalcule pas l'espérance, on réutilise l'expression déjà obtenue.

Étape 5

Pour $p=150$ , $G$ vaut $150$ avec la probabilité $0{,}97$ et $-3\,850$ avec la probabilité $0{,}03$ . Les deux valeurs sont séparées de $4\,000$ , donc $V(G)=0{,}03\times 0{,}97\times 4\,000^{2}=465\,600$ , et $\sigma(G)=\sqrt{465\,600}\approx 682$ dollars.

Pourquoi

Le raccourci $p(1-p)d^{2}$ évite le tableau des carrés, où $3\,850^{2}$ est une source d'erreur de saisie. L'écart-type se donne en dollars, la variance non.

Étape 6

Vérification par la formule générale : $E\left(G^{2}\right)=0{,}97\times 150^{2}+0{,}03\times 3\,850^{2}=21\,825+444\,675=466\,500$ , et $466\,500-30^{2}=465\,600$ . Interprétation : la compagnie gagne en moyenne $30$ dollars par contrat, mais avec un écart-type de $682$ dollars, donc l'équilibre ne tient que sur un très grand nombre de contrats.

Pourquoi

Les deux méthodes donnent le même nombre, ce qui valide le raccourci. Et l'interprétation est la réponse réelle de l'exercice : une espérance de $30$ dollars adossée à un écart-type vingt fois plus grand ne signifie rien sur un contrat isolé.

Conclusion rédigée

Le gain de la compagnie a pour espérance $p-120$ ; le contrat est équitable pour une prime de $120$ dollars, il rapporte $30$ dollars en moyenne pour une prime de $150$ dollars, et l'écart-type du gain vaut alors environ $682$ dollars.

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $G=-4\,000$ en cas de sinistre, en oubliant que la prime est encaissée quand même. L'espérance devient $0{,}97p-120$ , l'équation d'équité donne $123{,}7$ au lieu de $120$ , et toutes les questions suivantes suivent l'erreur.

À savoir par cœur

• La somme des probabilités d'une loi vaut TOUJOURS $1$ . C'est le premier contrôle, et il attrape la valeur oubliée.
• $E(X)=\sum x_{i}p_{i}$ : une moyenne pondérée, qui n'est ni une valeur prise par $X$ , ni la plus probable.
• $V(X)=E\left(X^{2}\right)-\left(E(X)\right)^{2}$ : on élève les VALEURS au carré, pas l'espérance déjà calculée.
• $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ , dans la même unité que $X$ . La variance, elle, est dans l'unité au carré.
• $E(aX+b)=aE(X)+b$ , mais $V(aX+b)=a^{2}V(X)$ et $\sigma(aX+b)=\left|a\right|\sigma(X)$ .
• Ajouter une constante ne change pas la dispersion : $V(X+b)=V(X)$ .
• Gain algébrique : la mise se retranche sur TOUTES les issues. Jeu équitable : espérance du gain nulle.
• Variable à deux valeurs séparées de $d$ , de probabilités $p$ et $1-p$ : $V=p(1-p)d^{2}$ .

Questions fréquentes

L'espérance est-elle une valeur que la variable peut prendre ?

Non, pas nécessairement. C'est une moyenne pondérée, donc elle tombe entre la plus petite et la plus grande valeur, sans avoir à coïncider avec l'une d'elles. Une famille peut compter deux virgule un enfants en moyenne. L'espérance n'est pas non plus la valeur la plus probable, qui est simplement celle de plus grande probabilité.

Comment calculer la variance sans se tromper ?

On calcule d'abord la moyenne des carrés des valeurs, c'est-à-dire la somme de chaque valeur élevée au carré et multipliée par sa probabilité. On en retranche ensuite le carré de l'espérance. L'erreur classique consiste à élever au carré l'espérance déjà calculée dans les deux termes, ce qui donne toujours zéro.

Pourquoi le coefficient est-il au carré dans la variance ?

Parce que la variance est une moyenne de carrés d'écarts. Multiplier toutes les valeurs par trois multiplie les écarts par trois, donc leurs carrés par neuf. Ajouter une constante déplace toutes les valeurs de la même quantité et ne change donc aucun écart : la constante disparaît de la variance.

Qu'est-ce qu'un gain algébrique dans un jeu ?

C'est ce que le joueur reçoit moins ce qu'il a misé. La mise étant versée avant de connaître le résultat, elle se retranche sur toutes les issues, y compris celles où le joueur gagne. Le contrôle immédiat : l'issue la plus défavorable doit donner un gain négatif, égal à l'opposé de la mise.

Quand un jeu est-il équitable ?

Quand l'espérance du gain algébrique du joueur est nulle. Si elle est négative, le joueur perd en moyenne et l'organisateur gagne. Pour trouver la mise qui rend un jeu équitable, on pose cette mise comme inconnue, on écrit l'espérance en fonction d'elle, et on résout une équation du premier degré.

Deux jeux de même espérance sont-ils équivalents ?

Non. L'espérance donne le centre, elle ne dit rien de l'écartement autour de ce centre. Deux jeux peuvent avoir la même espérance et des écarts-types très différents : le plus dispersé est le plus risqué. C'est exactement la raison d'être de la variance, et les sujets construisent souvent ce cas de figure.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les variables aléatoires

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Loi binomiale et concentrationTerminale Probabilités et statistiquesTerminale, Mathématiques complémentaires

Voir aussi

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Fiche de révision : les variables aléatoires (Première spécialité)

L'essentiel

L'espérance est une moyenne, pas une valeur de XXX

Variance et écart-type : la dispersion, pas le centre

Transformation affine : le coefficient au carré

Gain algébrique et jeu équitable

Les pièges qui coûtent des points

1. Prendre l'espérance pour une valeur que XXX atteint

2. Confondre l'espérance et la valeur la plus probable

3. Élever l'espérance au carré au lieu des valeurs

4. Sortir le coefficient de la variance sans l'élever au carré

5. Oublier la valeur absolue dans l'écart-type d'une transformation

6. Oublier la mise dans le gain algébrique

7. Supposer l'équiprobabilité quand la loi ne l'est pas

8. Croire qu'une même espérance signifie un même risque

9. Annoncer la variance là où l'énoncé demande l'écart-type

Quelle méthode choisir

Quelle formule selon la question posée

Comment établir la loi selon la forme de l'énoncé

La rédaction attendue

Établir et présenter une loi de probabilité

Répondre à une question de jeu équitable

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

La prime d'assurance, comme au contrôle

À savoir par cœur

Questions fréquentes

L'espérance est-elle une valeur que la variable peut prendre ?

Comment calculer la variance sans se tromper ?

Pourquoi le coefficient est-il au carré dans la variance ?

Qu'est-ce qu'un gain algébrique dans un jeu ?

Quand un jeu est-il équitable ?

Deux jeux de même espérance sont-ils équivalents ?

Exercices corrigés : Les variables aléatoires

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L'espérance est une moyenne, pas une valeur de $X$

1. Prendre l'espérance pour une valeur que $X$ atteint