Spécialité maths, Première • Fiche de révision à Montréal
Fiche de révision : les variables aléatoires (Première spécialité)
Une variable aléatoire n'est pas un nombre : c'est une FONCTION qui attribue un nombre à chaque issue d'une expérience. Tout le chapitre consiste à résumer cette fonction par deux indicateurs, un centre et une dispersion, et l'essentiel des points se perd sur la nature exacte de ces deux nombres.
Cette fiche ne redit pas les formules du polycopié. Elle montre les huit endroits où les copies se trompent, la phrase exacte à recopier pour chacun, l'arbre qui dit quelle formule employer selon la question posée, et un problème de prime d'assurance décortiqué étape par étape.
Elle suit le programme de Première en vigueur depuis la rentrée 2026, qui nomme la linéarité de l'espérance et la formule de König-Huygens. Les relations V(aX+b)=a2V(X) et σ(aX+b)=∣a∣σ(X) sont de Terminale : elles tiennent dans un dernier encadré.
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Le fil du chapitre
L'espérance est une moyenne sur un très grand nombre de répétitions, pas une valeur que X prend, et encore moins la plus probable. Elle ne dit rien du risque : c'est la variance qui le mesure, et c'est pourquoi deux jeux de même espérance peuvent être opposés.
•La loi de probabilité de X donne toutes les valeurs prises par X et leurs probabilités. La somme de ces probabilités vaut TOUJOURS 1, et c'est le premier contrôle à faire.
•E(X)=∑xipi : chaque valeur est pondérée par sa probabilité. C'est la valeur moyenne obtenue sur un très grand nombre de répétitions.
•E(X) n'est pas forcément une valeur que X peut prendre : une famille peut avoir 2,1 enfants en moyenne.
•E(X) n'est pas non plus la valeur la plus probable. La valeur la plus probable est celle de plus grande probabilité, et elle porte un autre nom.
La variable prend les valeurs 1, 2 et 6 avec les probabilités 0,5, 0,3 et 0,2. L'espérance 2,3 tombe entre deux barres : ni une valeur prise, ni la plus probable, qui est 1.
Une espérance se commente toujours en français : « sur un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne 0,30 dollar par partie ». Cette phrase vaut un point et elle est absente d'une copie sur deux.
Variance et écart-type : la dispersion, pas le centre
•Formule de König-Huygens : V(X)=E(X2)−(E(X))2, où E(X2)=∑xi2pi : on élève les VALEURS au carré, jamais l'espérance déjà calculée, et l'on garde E(X) exacte.
•V(X)≥0 toujours. Une variance négative signale une erreur, en général l'inversion des deux termes de la formule.
•σ(X)=V(X) : l'écart-type s'exprime dans la même unité que X, contrairement à la variance.
•Deux variables peuvent avoir la même espérance et des écarts-types très différents : l'espérance dit le centre, l'écart-type dit le risque.
La même loi que plus haut : l'espérance 2,3 en est le centre (vert), l'écart-type 1,9 la dispersion autour de ce centre, de 0,4 à 4,2 (orange).
Pour une variable à DEUX valeurs séparées d'une distance d, avec probabilités p et 1−p, la variance vaut p(1−p)d2. Ce raccourci évite le tableau des carrés et se vérifie en dix secondes.
Linéarité de l'espérance, et la variance sur la loi
•Linéarité de l'espérance : pour tous réels a et b, E(aX+b)=aE(X)+b. La moyenne suit la transformation, sans recalculer la loi.
•Pour la VARIANCE de aX+b, la linéarité ne dit rien : on établit la loi de aX+b, qui a les MÊMES probabilités que X, puis on applique König-Huygens.
•Exemple : Y=2X+1 prend les valeurs 3, 5 et 13 ; E(Y)=2×2,3+1=5,6 et V(Y)=45,8−5,62=14,44.
•On constate V(Y)=4V(X) : la règle générale est de Terminale, mais le calcul sur la loi la retrouve toujours.
Y=2X+1 déplace les barres de X vers 3, 5 et 13 sans changer leurs hauteurs : l'espérance suit, 2×2,3+1=5,6, et l'écartement des barres double.
Sur une copie, la propriété se nomme : « par linéarité de l'espérance », « d'après la formule de König-Huygens ». Le nom de la propriété fait partie de la justification.
Gain algébrique et jeu équitable
•Le gain ALGÉBRIQUE est ce que le joueur reçoit MOINS ce qu'il a misé. La mise se retranche sur toutes les issues, y compris celles où le joueur gagne.
•Un jeu est équitable lorsque l'espérance du gain algébrique du joueur est NULLE.
•Une espérance négative signifie que le joueur perd en moyenne, donc que l'organisateur gagne. C'est le cas de tous les jeux d'argent réels.
•Une question du type « quelle mise rend le jeu équitable » se résout en posant la mise comme inconnue, en écrivant l'espérance en fonction d'elle, puis en résolvant une équation du premier degré.
Un jeu où l'on perd 2 dollars avec la probabilité 0,8 et où l'on en gagne 8 avec la probabilité 0,2 : la loi s'équilibre en 0, E(G)=−1,6+1,6=0, le jeu est équitable.
Se demander qui parle : l'énoncé peut demander le gain du JOUEUR ou celui de l'ORGANISATEUR. Les deux sont opposés, et l'un des deux est demandé, pas l'autre.
Pour aller plus loin, en Terminale : le coefficient au carré
•En Terminale : V(aX+b)=a2V(X), le coefficient est ÉLEVÉ AU CARRÉ et la constante b disparaît.
•En Terminale : σ(aX+b)=∣a∣σ(X), la valeur absolue n'est pas décorative, un écart-type est toujours positif.
•Ajouter une constante déplace le centre sans changer la dispersion : V(X+b)=V(X), quel que soit b. En Première, on le constate sur la loi.
Le sens physique : décaler tous les résultats de 10 ne change rien à leur écartement; les doubler double l'écartement, donc quadruple la variance qui est un carré.
Les pièges qui coûtent des points
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
1.Prendre l'espérance pour une valeur que X atteint
le temps perdu à refaire un calcul juste, et souvent une réponse raturée puis fausse
Ce qu'il ne faut pas écrire
« E(X)=2,3, or X ne prend jamais la valeur 2,3, donc il y a une erreur dans mon calcul. »
Ce qu'il faut écrire
« E(X)=2,3 : sur un grand nombre de répétitions, la valeur moyenne obtenue est 2,3. Ce n'est pas une valeur prise par X, et il n'y a aucune raison qu'elle le soit. »
Pourquoi : L'espérance est une moyenne pondérée : comme toute moyenne, elle tombe entre les valeurs extrêmes sans avoir à coïncider avec l'une d'elles. Le nombre moyen d'enfants par famille en est l'exemple courant.
2.Confondre l'espérance et la valeur la plus probable
toute la question, et l'écart peut être considérable
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La valeur la plus probable est 1 avec 0,5, donc E(X)=1. »
Ce qu'il faut écrire
« La valeur la plus probable est 1, mais l'espérance vaut 1×0,5+2×0,3+6×0,2=2,3 : TOUTES les valeurs comptent, chacune pondérée par sa probabilité. »
Pourquoi : Une valeur rare mais très grande tire fortement l'espérance vers le haut. Ici 6 n'a qu'une probabilité de 0,2 et fournit pourtant plus de la moitié de l'espérance.
3.Élever l'espérance au carré au lieu des valeurs
toute la question, et la variance trouvée vaut systématiquement zéro
Ce qu'il ne faut pas écrire
« V(X)=E(X2)−(E(X))2 avec E(X2)=(E(X))2=5,29, donc V(X)=0. »
Ce qu'il faut écrire
« E(X2)=12×0,5+22×0,3+62×0,2=8,9, donc V(X)=8,9−5,29=3,61 et σ(X)=1,9. »
Pourquoi : E(X2) est la moyenne des CARRÉS, (E(X))2 est le carré de la moyenne : les deux ne coïncident que si X est constante. Une variance nulle signifierait justement que X ne varie pas.
4.Arrondir l'espérance avant d'appliquer König-Huygens
toute la question, et l'écart-type qui en découle
Ce qu'il ne faut pas écrire
« E(X)≈2, donc V(X)=E(X2)−22=8,9−4=4,9. »
Ce qu'il faut écrire
« E(X)=2,3 exactement, donc V(X)=8,9−2,32=8,9−5,29=3,61 et σ(X)=1,9. »
Pourquoi : König-Huygens soustrait deux nombres souvent proches : une petite erreur sur E(X) devient une grosse erreur sur la différence, jusqu'à une variance négative. On garde l'espérance EXACTE jusqu'au bout, ou l'on passe par la définition.
5.Appliquer la linéarité à la variance
toute la question, et un écart-type faux d'environ vingt-cinq pour cent
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Par linéarité, V(2X+1)=2V(X)+1=2×3,61+1=8,22. »
Ce qu'il faut écrire
« La linéarité vaut pour l'ESPÉRANCE seulement. Y=2X+1 prend 3, 5 et 13, donc E(Y2)=9×0,5+25×0,3+169×0,2=45,8 et V(Y)=45,8−5,62=14,44. »
Pourquoi : La variance est une moyenne de CARRÉS d'écarts : doubler les valeurs double les écarts et quadruple leurs carrés, et ajouter 1 ne change aucun écart. Le calcul sur la loi le montre sans aucune formule de Terminale : 14,44=4×3,61.
6.Oublier la mise dans le gain algébrique
toute la question, et l'espérance trouvée est décalée de la valeur de la mise
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le joueur mise 2 dollars et remporte 10 dollars s'il gagne, donc son gain vaut 10. »
Ce qu'il faut écrire
« Le gain ALGÉBRIQUE vaut 10−2=8 dollars s'il gagne, et 0−2=−2 dollars s'il perd. La mise se retranche sur TOUTES les issues. »
La mise de 2 dollars se retire de TOUTES les issues : le gain brut 0 ou 10 (rouge) devient le gain algébrique −2 ou 8 (vert).
Pourquoi : La mise est versée avant de connaître le résultat : elle est perdue dans tous les cas, y compris quand le joueur gagne. Le contrôle : l'issue la plus défavorable doit donner un gain NÉGATIF, égal à l'opposé de la mise.
7.Supposer l'équiprobabilité quand la loi ne l'est pas
toute la question, et la loi obtenue ne correspond à aucune expérience
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La somme de deux dés prend les valeurs de 2 à 12, soit onze valeurs, donc chacune a la probabilité 111. »
Ce qu'il faut écrire
« Il y a 36 issues équiprobables pour le COUPLE de dés, mais elles ne se répartissent pas également sur les sommes : P(S=2)=361 alors que P(S=7)=366. »
En hauteur, le nombre d'issues sur 36 qui donnent chaque somme. La ligne en pointillés est ce que donnerait une loi uniforme sur onze valeurs : elle ne colle à aucune barre.
Pourquoi : L'équiprobabilité porte sur les ISSUES de l'expérience, pas sur les valeurs de la variable. Une même valeur peut être atteinte par plusieurs issues, et c'est le nombre d'issues qui donne la probabilité.
8.Croire qu'une même espérance signifie un même risque
toute la question de comparaison, qui est celle qui vaut le plus de points
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les deux jeux ont pour espérance 2, donc ils sont équivalents pour le joueur. »
Ce qu'il faut écrire
« Les deux jeux ont la même espérance 2, mais des écarts-types de 0,82 et 1,63 : le second est deux fois plus dispersé, donc deux fois plus risqué. »
Les deux lois ont la même espérance 2, marquée par la verticale en pointillés. Celle du bas serre ses valeurs autour du centre, celle du haut les écarte deux fois plus : même centre, risque double.
Pourquoi : L'espérance est un centre, elle ne dit rien de l'écartement autour de ce centre. C'est exactement la raison d'être de la variance, et les sujets construisent presque toujours deux variables de même espérance pour l'évaluer.
9.Annoncer la variance là où l'énoncé demande l'écart-type
1 point, et le résultat est absurde au regard des sommes en jeu
Ce qu'il ne faut pas écrire
« L'écart-type du gain vaut 465600 dollars. »
Ce qu'il faut écrire
« La variance vaut 465600, donc l'écart-type vaut 465600≈682 dollars. C'est lui qui s'exprime en dollars, comme le gain. »
Pourquoi : La variance est en dollars CARRÉS, une unité sans signification concrète. L'écart-type ramène la dispersion à l'unité de la variable, et c'est pour cela que les énoncés le demandent presque toujours.
Quelle méthode choisir
Quelle formule selon la question posée
On regarde ce que la question demande, en un mot. Il n'y a que six formules dans tout le chapitre, et chacune répond à un mot précis.
Si « déterminer la loi de probabilité » → tableau à deux lignes, valeurs puis probabilités, et somme des probabilités vérifiée à 1
Si « en moyenne », « espérance », « à long terme » → E(X)=∑xipi, suivie d'une phrase d'interprétation
Exemple : 1×0,5+2×0,3+6×0,2=2,3
Si « variance », « dispersion » → formule de König-Huygens, V(X)=E(X2)−(E(X))2, avec les valeurs élevées au carré dans la première somme
Pour une variable à deux valeurs séparées de d, le raccourci p(1−p)d2 va cinq fois plus vite.
Si « écart-type », « risque », « régularité » → σ(X)=V(X), à donner avec l'unité de X
Si la question porte sur aX+b et non sur X → E(aX+b)=aE(X)+b par linéarité ; pour la variance, établir la loi de aX+b puis appliquer König-Huygens
Exemple : Y=2X+1 : E(Y)=5,6 et V(Y)=45,8−5,62=14,44, et non 2V(X)+1
Si « le jeu est-il équitable », « quelle mise rendrait le jeu équitable » → poser le gain ALGÉBRIQUE, écrire son espérance, et résoudre E=0
Exemple : une prime p avec E(G)=p−120 donne p=120 pour l'équité
Aucune branche ne s'applique ? La question porte probablement sur la loi elle-même, et il faut alors revenir au dénombrement des issues, jamais au comptage des valeurs.
Comment établir la loi selon la forme de l'énoncé
On repère comment l'expérience est décrite, car c'est cela qui dit où chercher les probabilités.
Si un tirage dans une urne, un jet de dé, un tirage de carte → dénombrer les ISSUES favorables à chaque valeur, et diviser par le nombre total d'issues
Exemple : somme de deux dés : 36 issues, dont 6 donnent la somme 7
Si un arbre pondéré, ou une succession d'épreuves → multiplier le long de chaque chemin, puis additionner les chemins qui donnent la même valeur
Si un tableau d'effectifs → diviser chaque effectif par l'effectif total, et vérifier que la somme fait 1
Si un jeu avec une mise → établir d'abord la loi du gain BRUT, puis retrancher la mise à toutes les valeurs pour obtenir le gain algébrique
Retrancher la mise ne change pas les probabilités : par linéarité, l'espérance baisse exactement du montant de la mise.
Si une situation d'assurance, de garantie, de contrat → deux issues seulement en général, sinistre ou pas, et la loi tient en deux colonnes
Exemple : G=p avec la probabilité 0,97, et G=p−4000 avec la probabilité 0,03
Le tableau de loi se présente toujours en deux lignes, valeurs en haut et probabilités en bas, avec les valeurs rangées dans l'ordre croissant. Cette présentation vaut un demi-point de forme.
La rédaction attendue
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Établir et présenter une loi de probabilité
Quand l'utiliser : La première question de presque tous les exercices du chapitre, et celle dont dépendent toutes les autres.
1Dire ce que X représente, en une phrase, même si l'énoncé l'a déjà dit. « X désigne le gain algébrique du joueur, en dollars. »
2Donner l'ensemble des valeurs prises par X, rangées dans l'ordre croissant.
3Calculer chaque probabilité séparément, en justifiant le dénombrement ou le chemin de l'arbre.
4Présenter le résultat dans un tableau à deux lignes.
5VÉRIFIER que la somme des probabilités vaut exactement 1, et l'écrire.
Phrase de conclusion
La variable aléatoire X prend les valeurs −2, 3 et 8, avec les probabilités respectives 21, 31 et 61, dont la somme vaut bien 1.
Le piège : Oublier une valeur possible, en particulier celle qui correspond à « ne rien gagner ». Le contrôle de la somme à 1 la fait apparaître immédiatement.
Barème : 0,5 point pour les valeurs, 1,5 point pour les probabilités, 0,5 point pour la présentation en tableau et la vérification de la somme.
Répondre à une question de jeu équitable
Quand l'utiliser : L'énoncé demande si le jeu est équitable, ou quelle mise le rendrait équitable, ou quelle prime assure un bénéfice donné.
1Poser l'inconnue explicitement. « Soit p la prime annuelle, en dollars. »
2Établir la loi du gain algébrique EN FONCTION de cette inconnue, en retranchant la mise sur toutes les issues.
3Calculer l'espérance et la simplifier jusqu'à une expression du premier degré en p.
4Écrire l'équation demandée : E=0 pour l'équité, E=k pour un bénéfice moyen de k.
5Résoudre, puis conclure par une phrase en français avec l'unité et le sens du résultat.
Phrase de conclusion
L'espérance du gain de la compagnie vaut E(G)=p−120; le contrat est équitable lorsque E(G)=0, c'est-à-dire pour une prime de 120 dollars, et tout ce qui est facturé au-delà constitue le bénéfice moyen par contrat.
Le piège : Calculer l'espérance du gain du JOUEUR quand l'énoncé demande celui de l'organisateur, ou l'inverse. Les deux sont opposés, et une seule des deux réponses est acceptée.
Barème : 0,5 point pour l'inconnue posée, 1 point pour la loi en fonction de p, 1 point pour l'espérance, 0,5 point pour l'équation résolue et la conclusion.
Vérifier avant de rendre
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Additionner les probabilités de la loi
Le total doit valoir exactement 1. C'est le contrôle le plus rapide du chapitre, et il attrape toutes les valeurs oubliées.
Une loi dont les probabilités totalisent 0,85 : il manque une issue, presque toujours celle où le joueur ne gagne rien.
Encadrer l'espérance par les valeurs extrêmes
E(X) est une moyenne pondérée, donc elle est comprise entre la plus petite et la plus grande valeur prise par X. Deux comparaisons, aucun calcul.
Une espérance de 7 annoncée pour une variable prenant les valeurs 1, 2 et 6 : c'est impossible, une probabilité a été mal placée.
Vérifier que la variance est positive
V(X)≥0 toujours, et V(X)=0 seulement si X est constante. Une variance négative signale l'inversion des deux termes de la formule.
Un V(X)=5,29−8,9=−3,61 : les deux termes ont été écrits dans le mauvais ordre, la bonne valeur est 3,61.
Comparer l'écart-type à l'étendue des valeurs
L'écart-type est du même ordre de grandeur que les écarts observés, et il ne dépasse jamais la moitié de l'étendue pour une variable à deux valeurs.
Un écart-type de 682 dollars pour un gain qui varie entre 150 et −3850 : c'est cohérent, l'étendue vaut 4000.
Recalculer une variance par le raccourci des deux valeurs
Quand X ne prend que deux valeurs séparées d'une distance d, avec probabilités p et 1−p, la variance vaut p(1−p)d2. Le résultat doit coïncider avec celui du tableau.
0,03×0,97×40002=465600, exactement ce que donne E(G2)−(E(G))2.
L'exercice type décortiqué
La prime d'assurance, comme au contrôle
Une compagnie assure des clients contre un sinistre dont la probabilité annuelle est de 0,03. En cas de sinistre, elle rembourse 4000 dollars. Chaque client verse une prime annuelle de p dollars. On note G le gain algébrique de la compagnie sur un contrat, en dollars.
1. Donner la loi de G en fonction de p. 2. Exprimer E(G) en fonction de p. 3. Déterminer la prime qui rend le contrat équitable. 4. Déterminer la prime qui assure un bénéfice moyen de 30 dollars par contrat, puis calculer l'écart-type du gain pour cette prime.
Étape 1
S'il n'y a pas de sinistre, la compagnie encaisse la prime : G=p, avec la probabilité 0,97. S'il y a sinistre, elle encaisse la prime et verse 4000 : G=p−4000, avec la probabilité 0,03.
Pourquoi
La prime est encaissée dans les DEUX cas, y compris celui du sinistre : c'est exactement le piège du gain algébrique, mise comprise. La somme des deux probabilités vaut 1, le tableau est complet.
Étape 2
E(G)=0,97p+0,03(p−4000)=0,97p+0,03p−120=p−120.
Pourquoi
Les deux termes en p se regroupent parce que leurs coefficients totalisent 1 : c'est vrai chaque fois que la mise est encaissée sur toutes les issues, et cela simplifie tout le reste de l'exercice.
Étape 3
Le contrat est équitable lorsque E(G)=0, soit p−120=0, donc p=120 dollars.
Pourquoi
L'équité se définit sur l'espérance du gain ALGÉBRIQUE, pas sur l'égalité des probabilités. Ici 120 dollars est exactement le coût moyen d'un sinistre, 0,03×4000.
Étape 4
Pour un bénéfice moyen de 30 dollars : p−120=30, donc p=150 dollars.
Pourquoi
L'équation est du premier degré, et sa forme vient entièrement de la question 2. On ne recalcule pas l'espérance, on réutilise l'expression déjà obtenue.
Étape 5
Pour p=150, G vaut 150 avec la probabilité 0,97 et −3850 avec la probabilité 0,03. Les deux valeurs sont séparées de 4000, donc V(G)=0,03×0,97×40002=465600, et σ(G)=465600≈682 dollars.
Pourquoi
Le raccourci p(1−p)d2 évite le tableau des carrés, où 38502 est une source d'erreur de saisie. L'écart-type se donne en dollars, la variance non.
Étape 6
Vérification par la formule générale : E(G2)=0,97×1502+0,03×38502=21825+444675=466500, et 466500−302=465600. Interprétation : la compagnie gagne en moyenne 30 dollars par contrat, mais avec un écart-type de 682 dollars, donc l'équilibre ne tient que sur un très grand nombre de contrats.
Pourquoi
Les deux méthodes donnent le même nombre, ce qui valide le raccourci. Et l'interprétation est la réponse réelle de l'exercice : une espérance de 30 dollars adossée à un écart-type vingt fois plus grand ne signifie rien sur un contrat isolé.
Conclusion rédigée
Le gain de la compagnie a pour espérance p−120; le contrat est équitable pour une prime de 120 dollars, il rapporte 30 dollars en moyenne pour une prime de 150 dollars, et l'écart-type du gain vaut alors environ 682 dollars.
L'erreur classique sur cet exercice : Écrire G=−4000 en cas de sinistre, en oubliant que la prime est encaissée quand même. L'espérance devient 0,97p−120, l'équation d'équité donne 123,7 au lieu de 120, et toutes les questions suivantes suivent l'erreur.
À savoir par cœur
•La somme des probabilités d'une loi vaut TOUJOURS 1. C'est le premier contrôle, et il attrape la valeur oubliée.
•E(X)=∑xipi : une moyenne pondérée, qui n'est ni une valeur prise par X, ni la plus probable.
•σ(X)=V(X), dans la même unité que X. La variance, elle, est dans l'unité au carré.
•Linéarité de l'espérance : E(aX+b)=aE(X)+b. La variance de aX+b se calcule sur sa loi.
•Formule de König-Huygens : V(X)=E(X2)−(E(X))2, avec E(X) EXACTE.
•Gain algébrique : la mise se retranche sur TOUTES les issues. Jeu équitable : espérance du gain nulle.
•Variable à deux valeurs séparées de d, de probabilités p et 1−p : V=p(1−p)d2.
Questions fréquentes
L'espérance est-elle une valeur que la variable peut prendre ?
Non, pas nécessairement. C'est une moyenne pondérée, donc elle tombe entre la plus petite et la plus grande valeur, sans avoir à coïncider avec l'une d'elles. Une famille peut compter deux virgule un enfants en moyenne. L'espérance n'est pas non plus la valeur la plus probable, qui est simplement celle de plus grande probabilité.
Comment calculer la variance sans se tromper ?
On applique la formule de König-Huygens : la variance est la moyenne des carrés des valeurs moins le carré de l'espérance. On élève donc au carré chaque VALEUR, on la multiplie par sa probabilité, on additionne, puis on retranche le carré de l'espérance gardée exacte. Arrondir l'espérance avant cette soustraction peut donner une variance fausse, voire négative.
Que dit la linéarité de l'espérance en Première ?
Pour tous réels a et b, l'espérance de a fois X plus b vaut a fois l'espérance de X plus b : la moyenne suit la transformation. Elle ne s'applique pas à la variance, qui se calcule sur la loi de la nouvelle variable. La règle du coefficient au carré pour la variance est étudiée en Terminale.
Qu'est-ce qu'un gain algébrique dans un jeu ?
C'est ce que le joueur reçoit moins ce qu'il a misé. La mise étant versée avant de connaître le résultat, elle se retranche sur toutes les issues, y compris celles où le joueur gagne. Le contrôle immédiat : l'issue la plus défavorable doit donner un gain négatif, égal à l'opposé de la mise.
Quand un jeu est-il équitable ?
Quand l'espérance du gain algébrique du joueur est nulle. Si elle est négative, le joueur perd en moyenne et l'organisateur gagne. Pour trouver la mise qui rend un jeu équitable, on pose cette mise comme inconnue, on écrit l'espérance en fonction d'elle, et on résout une équation du premier degré.
Deux jeux de même espérance sont-ils équivalents ?
Non. L'espérance donne le centre, elle ne dit rien de l'écartement autour de ce centre. Deux jeux peuvent avoir la même espérance et des écarts-types très différents : le plus dispersé est le plus risqué. C'est exactement la raison d'être de la variance, et les sujets construisent souvent ce cas de figure.
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Exercices corrigés : Les variables aléatoires
Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.
Il manque quelque chose dans cette fiche ?Une méthode, un piège, un exercice pour l'appliquer, une erreur repérée : dis-le-moi, je lis chaque demande.
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