Exercices corrigés : probabilités et statistiques (maths complémentaires)

a) On traduit chaque pourcentage en distinguant les probabilités SIMPLES des probabilités CONDITIONNELLES, ce qui est l'étape décisive. Le $40\ \%$ porte sur toute la clientèle, donc $P(A)=0{,}4$ et $P(\overline{A})=0{,}6$. Les deux autres taux portent sur une sous-population, ce sont donc des conditionnelles : $P_{A}(L)=0{,}7$ et $P_{\overline{A}}(L)=0{,}25$. L'arbre a deux niveaux et quatre chemins, avec les probabilités simples sur les premières branches et les conditionnelles sur les secondes.

b) On MULTIPLIE le long d'un chemin : $P(A\cap L)=P(A)\times P_{A}(L)=0{,}4\times 0{,}7=0{,}28$ et $P(\overline{A}\cap L)=0{,}6\times 0{,}25=0{,}15$. Ces deux nombres se lisent respectivement comme les $28\ \%$ de clients qui sont abonnés ET achètent en ligne, et les $15\ \%$ qui achètent en ligne sans être abonnés.

c) On ADDITIONNE les chemins qui mènent au même événement, ce qui est la formule des probabilités totales : $P(L)=P(A\cap L)+P(\overline{A}\cap L)=0{,}28+0{,}15=0{,}43$. Quarante-trois clients sur cent achètent donc en ligne, tous profils confondus.

d) La question RETOURNE le conditionnement : on connaissait $P_{A}(L)$ et l'on cherche $P_{L}(A)$. Par définition, $P_{L}(A)=\frac{P(A\cap L)}{P(L)}=\frac{0{,}28}{0{,}43}\approx 0{,}651$. Sachant que le client achète en ligne, la probabilité qu'il soit abonné passe donc de $0{,}4$ à environ $0{,}651$.

Le mécanisme mérite d'être formulé, car il gouverne tout le chapitre et sera repris à l'exercice 6. Observer un comportement plus fréquent chez les abonnés REND plus probable le fait d'être abonné : l'information reçue met à jour la probabilité de départ. Il faut surtout retenir que $P_{A}(L)$ et $P_{L}(A)$ sont deux nombres DIFFÉRENTS, ici $0{,}7$ et $0{,}651$, et les confondre est l'erreur qui traverse toute l'inférence bayésienne. On les distingue en se demandant chaque fois quelle population sert de référence, l'ensemble des abonnés dans un cas, l'ensemble des acheteurs en ligne dans l'autre.

a) Les trois régions forment une PARTITION du chiffre d'affaires, ce qu'on vérifie d'abord : $0{,}45+0{,}35+0{,}20=1$ ✓. La formule des probabilités totales s'applique donc, avec trois branches au lieu de deux : $P(S)=0{,}45\times 0{,}80+0{,}35\times 0{,}90+0{,}20\times 0{,}70=0{,}36+0{,}315+0{,}14=0{,}815$. Environ $81{,}5\ \%$ des clients sont satisfaits.

b) On retourne le conditionnement comme à l'exercice 1 : $P_{S}(\text{Nord})=\frac{0{,}36}{0{,}815}\approx 0{,}442$. Parmi les clients satisfaits, un peu plus de quatre sur dix viennent du Nord.

c) De même $P_{S}(\text{Centre})=\frac{0{,}315}{0{,}815}\approx 0{,}387$ et $P_{S}(\text{Sud})=\frac{0{,}14}{0{,}815}\approx 0{,}172$. Le dénominateur est le même pour les trois, seul le numérateur change : c'est la contribution de chaque région au total des satisfaits.

d) $0{,}442+0{,}387+0{,}172\approx 1{,}001$, l'écart de un millième venant UNIQUEMENT des arrondis. Le calcul exact donne bien une somme égale à $1$, puisque $\frac{0{,}36+0{,}315+0{,}14}{0{,}815}=\frac{0{,}815}{0{,}815}=1$ : un client satisfait vient nécessairement de l'une des trois régions, et il n'y a pas d'autre possibilité.

e) C'est le NORD, avec environ $44\ \%$ des clients satisfaits, alors que son taux de satisfaction n'est que de $80\ \%$ contre $90\ \%$ au Centre. Le Nord l'emporte par son VOLUME : ce qui compte est le produit de la part de marché par le taux, soit $0{,}45\times 0{,}80=0{,}36$ contre $0{,}35\times 0{,}90=0{,}315$, et non le taux seul.

La question e) illustre une distinction qui revient constamment en statistique appliquée, celle entre un TAUX et une CONTRIBUTION. Le Centre est meilleur en qualité, le Nord est plus gros, et le produit des deux décide. Cette lecture a des conséquences pratiques opposées : pour améliorer la satisfaction moyenne de l'entreprise, il vaut mieux agir sur le Nord, dont chaque point gagné vaut $0{,}45$ point global, que sur le Sud, dont chaque point ne vaut que $0{,}20$. On retrouvera ce raisonnement de pondération à l'exercice 5 avec la moyenne, et à l'exercice 10 avec l'échantillonnage.

a) Trois conditions doivent être réunies et il faut les énoncer toutes : l'épreuve se RÉPÈTE un nombre fixé de fois, ici $8$ ; chaque répétition n'a que deux issues, créer un compte ou non ; les répétitions sont INDÉPENDANTES et la probabilité de succès reste constante à $0{,}25$. Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(8\,;\,0{,}25)$.

b) $P(X=2)=\binom{8}{2}\times 0{,}25^{2}\times 0{,}75^{6}$. Le coefficient vaut $\binom{8}{2}=\frac{8\times 7}{2}=28$, et il compte le nombre de FAÇONS de placer les deux succès parmi les huit visiteurs. Ensuite $0{,}25^{2}=0{,}0625$ et $0{,}75^{6}\approx 0{,}177979$, donc $P(X=2)\approx 28\times 0{,}0625\times 0{,}177979\approx 0{,}3115$.

c) $P(X=0)=\binom{8}{0}\times 0{,}25^{0}\times 0{,}75^{8}=0{,}75^{8}\approx 0{,}1001$, c'est-à-dire aucun succès sur huit tentatives. On passe alors par l'événement CONTRAIRE, réflexe systématique devant un au moins : $P(X\geq 1)=1-P(X=0)\approx 1-0{,}1001=0{,}8999$. Calculer directement aurait demandé de sommer huit termes.

d) $E(X)=np=8\times 0{,}25=2$ : sur huit visiteurs, on attend en moyenne deux créations de compte. Cette formule est cohérente avec l'intuition, un quart de huit valant deux, ce qui en fait la plus facile à retenir de tout le chapitre.

Trois remarques utiles. D'abord un contrôle gratuit : la somme de toutes les probabilités $P(X=k)$ pour $k$ allant de $0$ à $8$ doit valoir exactement $1$ ✓, ce qui permet de vérifier un tableau complet. Ensuite, l'espérance n'est pas en général la valeur la plus PROBABLE : elle l'est ici, $P(X=2)\approx 0{,}3115$ dépassant $P(X=1)\approx 0{,}2670$ et $P(X=3)\approx 0{,}2076$, mais c'est une coïncidence, et espérance et mode restent deux notions distinctes. Enfin, l'hypothèse d'INDÉPENDANCE est celle qui pourrait le plus facilement être fausse en pratique : si les huit visiteurs venaient tous du même lien partagé sur un réseau, leurs comportements seraient corrélés et la loi binomiale ne s'appliquerait plus.

a) On raisonne du point de vue de l'ASSUREUR, ce que l'énoncé précise et qui change tous les signes. Sans sinistre, il encaisse la prime et ne verse rien : il gagne $250$ dollars, avec la probabilité $1-0{,}05=0{,}95$. Avec sinistre, il encaisse la prime mais verse $3\,000$ dollars : il gagne $250-3\,000=-2\,750$ dollars, avec la probabilité $0{,}05$. Contrôle : $0{,}95+0{,}05=1$ ✓.

b) $E(X)=0{,}95\times 250+0{,}05\times(-2\,750)=237{,}5-137{,}5=100$ dollars. Chaque contrat rapporte donc en moyenne $100$ dollars par an à l'assureur. L'espérance décrit un comportement à LONG TERME et sur un grand nombre de contrats, pas le résultat d'un contrat isolé, qui vaut soit $+250$ soit $-2\,750$ et jamais $100$.

c) La prime PURE est celle qui rend l'espérance nulle, c'est-à-dire qui couvre exactement le coût moyen du risque : $0{,}05\times 3\,000=150$ dollars. On le vérifie : avec une prime de $150$, l'espérance vaut $0{,}95\times 150+0{,}05\times(-2\,850)=142{,}5-142{,}5=0$ ✓. Au-delà de ce montant, la différence constitue le CHARGEMENT de l'assureur, ici $250-150=100$ dollars, qui couvre ses frais et sa marge.

d) Sur $20\,000$ contrats indépendants, le bénéfice moyen espéré vaut $20\,000\times 100=2\,000\,000$ dollars par an. La linéarité de l'espérance permet cette multiplication directe, sans aucune hypothèse supplémentaire.

Le modèle éclaire le métier de l'assurance mieux qu'un long discours. L'assureur ne parie pas, il exploite la LOI DES GRANDS NOMBRES : sur un contrat isolé le résultat est très incertain, mais sur vingt mille contrats la moyenne se rapproche fortement de l'espérance et le bénéfice devient prévisible. C'est aussi pourquoi la mutualisation exige un grand nombre d'assurés et des risques INDÉPENDANTS : une catastrophe naturelle frappant simultanément tous les contrats d'une même région détruirait l'indépendance et donc la prévisibilité, et c'est précisément ce que les réassureurs prennent en charge. Notons enfin que le rapport entre prime commerciale et prime pure, ici $\frac{250}{150}\approx 1{,}67$, mesure directement le coût de ce service pour l'assuré.

a) La somme des dix durées vaut $12+15+15+18+20+22+25+28+30+35=220$, donc la moyenne est $\frac{220}{10}=22$ minutes.

b) La série est déjà ordonnée et contient $10$ valeurs, un nombre PAIR : la médiane est la moyenne des cinquième et sixième valeurs, soit $\frac{20+22}{2}=21$ minutes. Avec un effectif impair, on aurait pris la valeur du milieu directement.

c) On calcule les écarts à la moyenne, on les élève au carré, on somme : $(-10)^{2}+(-7)^{2}+(-7)^{2}+(-4)^{2}+(-2)^{2}+0^{2}+3^{2}+6^{2}+8^{2}+13^{2}=100+49+49+16+4+0+9+36+64+169=496$. La variance vaut $\frac{496}{10}=49{,}6$ et l'écart type $\sqrt{49{,}6}\approx 7{,}043$ minutes. On notera que la variance s'exprime en minutes CARRÉES, ce qui n'a aucun sens concret, et que c'est justement pourquoi on lui préfère l'écart type.

d) Pour $Q_{1}$, le quart de $10$ vaut $2{,}5$ : on arrondit à l'entier SUPÉRIEUR et l'on prend la troisième valeur, soit $Q_{1}=15$. Pour $Q_{3}$, les trois quarts de $10$ valent $7{,}5$ : on prend la huitième valeur, soit $Q_{3}=28$. L'écart interquartile vaut $28-15=13$ minutes, et il contient par construction la moitié centrale des observations.

e) La moyenne, $22$, dépasse légèrement la médiane, $21$. Cela indique une distribution ÉTIRÉE VERS LA DROITE : quelques trajets longs, comme celui de $35$ minutes, tirent la moyenne vers le haut sans déplacer la médiane, qui est insensible aux valeurs extrêmes.

Le choix entre les deux couples d'indicateurs n'est pas une question de goût, et il faut savoir le justifier. Le couple moyenne et écart type utilise TOUTES les valeurs et se prête au calcul, mais il est sensible aux valeurs aberrantes : remplacer le trajet de $35$ minutes par un de $200$ minutes ferait passer la moyenne de $22$ à $38{,}5$ alors que la médiane resterait à $21$. Le couple médiane et écart interquartile est ROBUSTE, il résiste aux extrêmes, mais il ignore une partie de l'information. La règle pratique est d'utiliser la moyenne quand la distribution est à peu près symétrique, et la médiane dès qu'elle est étirée d'un côté, ce qui est le cas de presque toutes les données de salaires, de durées ou de revenus, comme le rappellera l'exercice 10.

a) La probabilité A PRIORI est celle que l'on a avant toute observation : $P(S)=0{,}20$, donc $P(\overline{S})=0{,}80$. Les deux autres données sont CONDITIONNELLES, chacune portant sur une sous-population : $P_{S}(G)=0{,}60$ et $P_{\overline{S}}(G)=0{,}02$. Il faut bien voir que le $60\ \%$ ne dit pas que $60\ \%$ des courriels contiennent le mot, mais que $60\ \%$ des SPAMS le contiennent.

b) Par la formule des probabilités totales : $P(G)=P(S)\times P_{S}(G)+P(\overline{S})\times P_{\overline{S}}(G)=0{,}20\times 0{,}60+0{,}80\times 0{,}02=0{,}12+0{,}016=0{,}136$. Un peu moins de $14\ \%$ des courriels reçus contiennent le mot.

c) $P_{G}(S)=\frac{P(S\cap G)}{P(G)}=\frac{0{,}12}{0{,}136}\approx 0{,}882$. C'est la probabilité A POSTERIORI, celle que l'on a APRÈS avoir observé le mot.

d) La probabilité de spam passe de $0{,}20$ avant observation à environ $0{,}882$ après, soit une multiplication par plus de QUATRE. L'observation d'un seul mot est donc très informative, et la raison en est claire : le mot est trente fois plus fréquent dans les spams que dans les courriels légitimes, puisque $\frac{0{,}60}{0{,}02}=30$. C'est ce RAPPORT, et non la valeur $0{,}60$ prise isolément, qui mesure le pouvoir discriminant d'un indice.

e) Non, de peu : $0{,}882$ reste inférieur au seuil de $0{,}9$. Le courriel n'est donc pas classé en spam sur ce seul indice. C'est précisément pourquoi un filtre réel combine PLUSIEURS mots, chaque nouvelle observation prenant pour probabilité a priori celle obtenue à l'étape précédente.

On peut illustrer ce dernier point par un calcul, car il donne tout son sens à la méthode. Si le courriel contenait un second mot, tout aussi discriminant et indépendant du premier, on repartirait d'un a priori de $0{,}882$ au lieu de $0{,}20$ : la nouvelle probabilité vaudrait $\frac{0{,}882\times 0{,}60}{0{,}882\times 0{,}60+0{,}118\times 0{,}02}\approx 0{,}996$, largement au-dessus du seuil. C'est le principe de l'apprentissage bayésien, où chaque indice AFFINE la conclusion précédente au lieu de repartir de zéro. Une réserve importante toutefois : le calcul suppose l'indépendance des mots sachant la nature du courriel, hypothèse commode mais fausse en pratique, et c'est pourquoi ces filtres sont dits naïfs.

a) Pour que la première réussite ait lieu au rang $k$, il faut $k-1$ ÉCHECS consécutifs suivis d'une réussite. Les tentatives étant indépendantes, on multiplie : $P(X=k)=0{,}8^{k-1}\times 0{,}2$. C'est la loi géométrique, et l'exposant $k-1$ et non $k$ est le point à surveiller.

b) $P(X=1)=0{,}8^{0}\times 0{,}2=0{,}2$, ce qui est bien la probabilité de réussir du premier coup. Et $P(X=3)=0{,}8^{2}\times 0{,}2=0{,}64\times 0{,}2=0{,}128$.

c) L'événement $X>5$ signifie que les cinq premières tentatives ont TOUTES échoué, ce qui se calcule directement sans sommer : $P(X>5)=0{,}8^{5}=0{,}32768$. Autrement dit, environ une fois sur trois, cinq tentatives ne suffisent pas. Cette formule $P(X>n)=q^{n}$ est le grand avantage de la loi géométrique.

d) On passe par le contraire : $P(X\leq 10)=1-P(X>10)=1-0{,}8^{10}\approx 1-0{,}1074=0{,}893$. Il y a donc près de neuf chances sur dix d'obtenir la ligne en dix tentatives ou moins.

e) $E(X)=\frac{1}{p}=\frac{1}{0{,}2}=5$ : il faut en moyenne CINQ tentatives pour obtenir la ligne. Cette formule se retient par le bon sens, une chance sur cinq à chaque coup demandant cinq coups en moyenne.

Un paradoxe apparent mérite d'être levé, car il revient toujours. La valeur la plus PROBABLE est $k=1$, avec $P(X=1)=0{,}2$, alors que la valeur MOYENNE est $5$ : la distribution est strictement décroissante, mais sa longue queue à droite tire la moyenne vers le haut. Mode et espérance ne coïncident donc pas, exactement comme moyenne et médiane divergeaient à l'exercice 5. Un second fait surprend souvent, l'ABSENCE DE MÉMOIRE : sachant que les dix premières tentatives ont échoué, la probabilité de réussir à la onzième reste $0{,}2$, et le nombre de tentatives restantes suit encore la même loi. Le téléphone ne se souvient pas des échecs passés, et croire le contraire est le sophisme du joueur.

a) $\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=\frac{15}{5}=3$ et $\overline{y}=\frac{2{,}1+3{,}9+6{,}2+7{,}8+10{,}1}{5}=\frac{30{,}1}{5}=6{,}02$. Le point moyen $G(3\,;\,6{,}02)$ appartiendra nécessairement à la droite d'ajustement, ce qui servira à la question c).

b) On calcule les écarts à la moyenne puis leurs produits : $(-2)\times(-3{,}92)+(-1)\times(-2{,}12)+0\times 0{,}18+1\times 1{,}78+2\times 4{,}08=7{,}84+2{,}12+0+1{,}78+8{,}16=19{,}9$. Le dénominateur vaut $(-2)^{2}+(-1)^{2}+0^{2}+1^{2}+2^{2}=4+1+0+1+4=10$. La pente est donc $a=\frac{19{,}9}{10}=1{,}99$.

c) La droite des moindres carrés passe TOUJOURS par le point moyen, propriété qui donne l'ordonnée à l'origine sans calcul supplémentaire : $6{,}02=1{,}99\times 3+b$, donc $b=6{,}02-5{,}97=0{,}05$. L'équation est $y=1{,}99x+0{,}05$. Interprétation : chaque millier de dollars investi s'accompagne d'environ $1\,990$ unités vendues de plus.

d) Pour $x=6$ : $y=1{,}99\times 6+0{,}05=11{,}94+0{,}05=11{,}99$ milliers d'unités. C'est une EXTRAPOLATION légère, la valeur $6$ étant juste au-delà de la plage observée $[1\,;\,5]$, et elle reste donc raisonnable ; une estimation pour $x=50$ serait en revanche sans valeur.

e) Non, la conclusion n'est PAS justifiée par ces seules données. Elles montrent une corrélation très forte, mais la corrélation n'établit jamais la CAUSALITÉ. Trois explications alternatives restent ouvertes : une tendance saisonnière qui ferait monter les deux ensemble, une croissance générale du marché qui expliquerait indépendamment les deux hausses, ou même une causalité INVERSE si le budget publicitaire est fixé chaque mois en proportion des ventes du mois précédent. Pour conclure à une causalité, il faudrait une expérience contrôlée, en faisant varier le budget indépendamment du reste, par exemple en le baissant volontairement un mois.

La question e) est celle que l'épreuve valorise, et il vaut la peine de savoir nommer les trois écueils. Le premier est la VARIABLE CACHÉE, ou facteur de confusion, comme la saison ici et la taille de la ville à l'exercice 10. Le deuxième est la CAUSALITÉ INVERSE, où l'on prend l'effet pour la cause. Le troisième est le HASARD, cinq points pouvant s'aligner par coïncidence, ce qui est d'autant plus probable que l'échantillon est petit, et cinq mois c'est très peu. La formulation défendable existe pourtant : on peut écrire que, sur les cinq mois observés, chaque millier de dollars supplémentaire s'est accompagné d'environ deux mille unités vendues de plus, ce qui est vrai et n'engage rien de plus que les données.

a) On CUMULE les parts de gauche à droite : $5\ \%$, puis $5+10=15\ \%$, puis $15+15=30\ \%$, puis $30+25=55\ \%$, puis $55+45=100\ \%$. Les points de la courbe de Lorenz sont donc $(0{,}2\,;\,0{,}05)$, $(0{,}4\,;\,0{,}15)$, $(0{,}6\,;\,0{,}30)$, $(0{,}8\,;\,0{,}55)$ et $(1\,;\,1)$, en partant de l'origine $(0\,;\,0)$. L'abscisse est la part cumulée de POPULATION, l'ordonnée la part cumulée de REVENU.

b) Dans une égalité parfaite, chaque groupe de $20\ \%$ de la population détiendrait exactement $20\ \%$ du revenu : les points cumulés seraient $(0{,}2\,;\,0{,}2)$, $(0{,}4\,;\,0{,}4)$ et ainsi de suite, donc la courbe serait la première BISSECTRICE, d'équation $y=x$. Toute inégalité éloigne la courbe de cette diagonale vers le bas.

c) On additionne les aires des cinq trapèzes de largeur $0{,}2$, chacun ayant pour hauteurs les deux ordonnées consécutives : $0{,}2\times\left(\frac{0+0{,}05}{2}+\frac{0{,}05+0{,}15}{2}+\frac{0{,}15+0{,}30}{2}+\frac{0{,}30+0{,}55}{2}+\frac{0{,}55+1}{2}\right)=0{,}2\times\left(0{,}025+0{,}1+0{,}225+0{,}425+0{,}775\right)=0{,}2\times 1{,}55=0{,}31$.

d) L'indice de Gini est le double de l'aire comprise entre la bissectrice et la courbe. Comme l'aire sous la bissectrice vaut $\frac{1}{2}$, on obtient $G=2\left(\frac{1}{2}-0{,}31\right)=1-2\times 0{,}31=1-0{,}62=0{,}38$. Le facteur $2$ sert à normaliser l'indice pour qu'il varie entre $0$ et $1$.

e) Un indice de $0{,}38$ traduit une inégalité MODÉRÉE. La valeur $0$ correspondrait à une égalité parfaite, où la courbe se confondrait avec la bissectrice, et la valeur $1$ à une concentration totale, où une seule personne détiendrait tout le revenu. À titre de repère, les pays européens se situent souvent entre $0{,}25$ et $0{,}35$, et les pays les plus inégalitaires dépassent $0{,}55$.

L'intérêt de l'indice de Gini est de résumer toute une courbe par un SEUL nombre, ce qui permet de comparer des pays ou de suivre une évolution. Sa limite est exactement la même : deux courbes de formes très différentes peuvent donner le même indice, l'une traduisant une pauvreté généralisée avec une élite étroite, l'autre une classe moyenne large avec des extrêmes marqués. C'est la raison pour laquelle les économistes publient aussi le rapport entre les revenus du dernier et du premier quintile, qui vaut ici $\frac{45}{5}=9$ : les $20\ \%$ les plus riches perçoivent neuf fois plus que les $20\ \%$ les plus pauvres. Aucun indicateur unique ne remplace la lecture de la distribution complète, ce que l'exercice 10 rappellera sur les salaires.

a) C'est une confusion entre corrélation et causalité, avec une VARIABLE CACHÉE évidente : la taille de la ville. Les grandes villes ont plus de pompiers ET davantage d'incendies importants, ce qui crée un lien statistique parfaitement réel entre les deux. L'interprétation causale est non seulement injustifiée mais inversée, puisque les pompiers réduisent les dégâts. Le test qui démasque ce type d'énoncé consiste à chercher un facteur qui expliquerait les deux à la fois.

b) L'échantillon n'est pas REPRÉSENTATIF : interroger les visiteurs du site d'une marque, c'est par construction interroger des personnes déjà intéressées par elle. C'est un biais de SÉLECTION, et il est ici massif. Pour mesurer l'opinion générale, il faudrait interroger un échantillon tiré au hasard dans la population entière, et non des personnes recrutées sur le lieu même de leur engagement. Le chiffre de $92\ \%$ peut être exact et ne rien dire de ce qu'il prétend mesurer.

c) Faux. Un prix de $100$ baisse de $20\ \%$ à $80$, puis augmente de $20\ \%$ de $80$, soit $+16$, pour atteindre $96$. On ne retrouve pas $100$, il manque $4$. Les pourcentages ne s'ADDITIONNENT pas, parce qu'ils s'appliquent à des bases différentes : la seconde hausse porte sur un montant déjà réduit. La règle correcte est multiplicative, $0{,}8\times 1{,}2=0{,}96$, soit une baisse nette de $4\ \%$, et le résultat est le même quel que soit l'ordre des deux opérations.

d) L'affirmation est inexploitable sans la valeur ABSOLUE de départ. Passer de $2$ à $4$ cas est une hausse de $100\ \%$, tout comme passer de $5\,000$ à $10\,000$, et les deux situations n'ont évidemment rien à voir. Un pourcentage de variation doit toujours être accompagné de l'effectif initial, sans quoi il ne renseigne sur rien, et c'est un procédé courant pour dramatiser de petits nombres.

e) La moyenne est très sensible aux valeurs EXTRÊMES. Si quelques dirigeants gagnent plusieurs centaines de milliers de dollars, ils tirent la moyenne vers le haut alors que la majorité gagne bien moins. Avec six salaires valant $40\,000$, $42\,000$, $45\,000$, $48\,000$, $50\,000$ et $500\,000$, la moyenne dépasse $120\,000$ dollars alors que la médiane, elle, n'est que de $46\,500$ : c'est cette dernière qui décrit le salarié typique. Il faudrait donc donner la médiane, et idéalement la distribution complète.

Ces cinq énoncés couvrent les cinq façons dont une statistique exacte peut induire en erreur, et il vaut la peine de les nommer pour les repérer. La confusion CAUSALE, l'échantillon BIAISÉ, l'arithmétique des POURCENTAGES, le pourcentage SANS BASE, et l'indicateur MAL CHOISI. Aucun de ces cinq énoncés ne contient de chiffre faux, ce qui est précisément ce qui les rend efficaces : la tromperie est dans l'interprétation, pas dans le calcul. Le réflexe protecteur tient en trois questions à se poser devant toute statistique : sur quelle population a-t-elle été mesurée, par rapport à quoi le pourcentage est-il calculé, et quel indicateur aurait donné une image différente ?

a) Gain net $3-2=+1$ avec la probabilité $0{,}5$, $-2$ avec la probabilité $0{,}5$. $E(X_{A})=0{,}5\times 1+0{,}5\times(-2)=-0{,}5$ dollar. Oublier la mise donnerait $E=1{,}5$ et un jeu faussement avantageux.

b) $E(X_{A}^{2})=0{,}5\times 1+0{,}5\times 4=2{,}5$, donc $V(X_{A})=2{,}5-0{,}25=2{,}25$ et $\sigma(X_{A})=1{,}5$ dollar.

c) Gain net $+48$ avec la probabilité $0{,}03$, $-2$ avec la probabilité $0{,}97$. $E(X_{B})=0{,}03\times 48-0{,}97\times 2=1{,}44-1{,}94=-0{,}5$ dollar : la même espérance qu'au jeu A.

d) $E(X_{B}^{2})=0{,}03\times 2\,304+0{,}97\times 4=69{,}12+3{,}88=73$, donc $V(X_{B})=73-0{,}25=72{,}75$ et $\sigma(X_{B})\approx 8{,}53$ dollars, près de six fois plus qu'au jeu A.

e) Par linéarité, $100\times(-0{,}5)=-50$ dollars en moyenne dans les deux cas. Le joueur prudent choisira A : ses résultats restent proches de cette moyenne, alors qu'au jeu B on perd presque toujours, avec de rares gros gains. L'espérance mesure le résultat moyen, l'écart-type la dispersion autour de lui, c'est-à-dire le RISQUE.

a) Dix répétitions indépendantes d'une épreuve à deux issues, de probabilité de succès $\frac{1}{4}$ : $X$ suit $\mathcal{B}(10\,;0{,}25)$ et $E(X)=10\times 0{,}25=2{,}5$.

b) $P(X=5)=\binom{10}{5}\times 0{,}25^{5}\times 0{,}75^{5}=252\times 0{,}000977\times 0{,}2373\approx 0{,}0584$.

c) $P(X\geq 5)=P(X=5)+\dots+P(X=10)\approx 0{,}0584+0{,}0162+0{,}0031+0{,}0004+\dots\approx 0{,}0781$ : moins de $8\ \%$ de chances d'avoir la moyenne en répondant au hasard.

d) $\sigma(X)=\sqrt{10\times 0{,}25\times 0{,}75}=\sqrt{1{,}875}\approx 1{,}369$.

e) $N=X-\frac{1}{3}(10-X)=\frac{4X-10}{3}$. Par linéarité, $E(N)=\frac{4\times 2{,}5-10}{3}=0$. En moyenne, répondre au hasard ne rapporte plus rien : c'est tout l'objet de la pénalité de $\frac{1}{3}$, calculée pour que le gain espéré d'une réponse au hasard, $\frac{1}{4}\times 1-\frac{3}{4}\times\frac{1}{3}$, soit nul.

a) $P(S)=\frac{120}{200}=0{,}6$, $P(M)=\frac{50}{200}=0{,}25$, $P(S\cap M)=\frac{30}{200}=0{,}15$.

b) Parmi les $120$ sportifs, $30$ jouent d'un instrument : $P_{S}(M)=\frac{30}{120}=0{,}25$.

c) Oui. Première façon : $P(S)\times P(M)=0{,}6\times 0{,}25=0{,}15=P(S\cap M)$. Seconde façon : $P_{S}(M)=0{,}25=P(M)$, savoir qu'un élève est sportif ne change pas la probabilité qu'il soit musicien. Les deux critères sont équivalents.

d) $P(S\cup M)=P(S)+P(M)-P(S\cap M)=0{,}6+0{,}25-0{,}15=0{,}7$. Additionner sans retrancher $0{,}15$ compterait deux fois les élèves qui font les deux.

e) $P_{M}(S)=\frac{30}{50}=0{,}6=P(S)$ : l'indépendance marche dans les deux sens. Attention, indépendants ne veut pas dire incompatibles : ici $30$ élèves font les deux, alors que des événements incompatibles n'auraient aucun élève en commun.

a) A : $\frac{45+75}{200}=\frac{120}{200}=60\ \%$. B : $\frac{128+20}{200}=\frac{148}{200}=74\ \%$. L'hôpital B semble nettement meilleur.

b) A : $\frac{45}{50}=90\ \%$. B : $\frac{128}{150}\approx 85{,}3\ \%$. L'hôpital A est meilleur pour les cas légers.

c) A : $\frac{75}{150}=50\ \%$. B : $\frac{20}{50}=40\ \%$. L'hôpital A est aussi meilleur pour les cas graves.

d) L'hôpital A est meilleur dans CHAQUE catégorie, mais moins bon globalement. Il n'y a pas de contradiction : A soigne surtout des cas graves, $150$ sur $200$, qui guérissent moins souvent partout. Son taux global est une moyenne pondérée tirée vers le bas par cette répartition. C'est le paradoxe de Simpson : regrouper des populations de compositions différentes peut inverser une comparaison. La gravité est ici une variable cachée.

e) A : $\frac{90+50}{200}=70\ \%$. B : $\frac{85{,}3+40}{200}\approx 62{,}7\ \%$. À répartition égale, l'hôpital A reprend l'avantage de $7{,}3$ points. Un classement qui ne tient pas compte de la gravité des cas pénaliserait injustement l'hôpital qui accepte les patients les plus difficiles.