Exercices corrigés : probabilités et statistiques (maths complémentaires)

a) $P(A)=0{,}4$ donc $P(\overline{A})=0{,}6$. Ensuite $P_{A}(L)=0{,}7$ et $P_{\overline{A}}(L)=0{,}25$. L'arbre a deux niveaux et quatre chemins.

b) $P(A\cap L)=0{,}4\times 0{,}7=0{,}28$ et $P(\overline{A}\cap L)=0{,}6\times 0{,}25=0{,}15$.

c) Par la formule des probabilités totales : $P(L)=0{,}28+0{,}15=0{,}43$.

d) $P_{L}(A)=\frac{0{,}28}{0{,}43}\approx 0{,}651$. Sachant que le client achète en ligne, la probabilité qu'il soit abonné passe de $0{,}4$ à environ $0{,}651$.

a) $P(S)=0{,}45\times 0{,}80+0{,}35\times 0{,}90+0{,}20\times 0{,}70=0{,}36+0{,}315+0{,}14=0{,}815$.

b) $P_{S}(\text{Nord})=\frac{0{,}36}{0{,}815}\approx 0{,}442$.

c) $P_{S}(\text{Centre})=\frac{0{,}315}{0{,}815}\approx 0{,}387$ et $P_{S}(\text{Sud})=\frac{0{,}14}{0{,}815}\approx 0{,}172$.

d) $0{,}442+0{,}387+0{,}172\approx 1{,}001$, l'écart venant uniquement des arrondis. Le calcul exact donne bien une somme égale à 1, puisqu'un client satisfait vient nécessairement d'une des trois régions.

e) C'est le Nord, avec environ 44 % des clients satisfaits, alors que son taux de satisfaction n'est que de 80 % contre 90 % au Centre. Le Nord l'emporte par son volume : ce qui compte est le produit de la part de marché par le taux, pas le taux seul.

a) Chaque visiteur crée un compte avec la probabilité $0{,}25$, indépendamment des autres, et on répète 8 fois la même épreuve. Donc $X$ suit $\mathcal{B}(8\ ;\ 0{,}25)$.

b) $P(X=2)=\binom{8}{2}\times 0{,}25^{2}\times 0{,}75^{6}=28\times 0{,}0625\times 0{,}177979\approx 0{,}3115$.

c) $P(X=0)=0{,}75^{8}\approx 0{,}1001$, donc $P(X\geq 1)=1-0{,}1001\approx 0{,}8999$.

d) $E(X)=8\times 0{,}25=2$ : sur 8 visiteurs, on attend en moyenne 2 créations de compte.

a) Sans sinistre, l'assureur gagne 250 dollars, avec la probabilité $0{,}95$. Avec sinistre, il gagne $250-3000=-2750$ dollars, avec la probabilité $0{,}05$.

b) $E(X)=0{,}95\times 250+0{,}05\times(-2750)=237{,}5-137{,}5=100$ dollars. Chaque contrat rapporte en moyenne 100 dollars par an.

c) La prime pure couvre exactement le coût moyen du risque, soit $0{,}05\times 3000=150$ dollars. Au-delà de ce montant, la différence constitue la marge de l'assureur, ici de 100 dollars.

d) $20\ 000\times 100=2\ 000\ 000$ dollars de bénéfice moyen annuel.

a) La somme vaut 220, donc la moyenne est $\frac{220}{10}=22$ minutes.

b) La série est déjà ordonnée et contient 10 valeurs. La médiane est la moyenne des cinquième et sixième valeurs : $\frac{20+22}{2}=21$ minutes.

c) La somme des carrés des écarts à la moyenne vaut $100+49+49+16+4+0+9+36+64+169=496$. La variance est $\frac{496}{10}=49{,}6$ et l'écart-type $\sqrt{49{,}6}\approx 7{,}043$ minutes.

d) Pour $Q_{1}$ : le quart de 10 vaut $2{,}5$, on prend donc la troisième valeur, soit $Q_{1}=15$. Pour $Q_{3}$ : les trois quarts de 10 valent $7{,}5$, on prend la huitième valeur, soit $Q_{3}=28$. L'écart interquartile vaut $28-15=13$ minutes.

e) La moyenne (22) dépasse légèrement la médiane (21). Cela indique une distribution étirée vers la droite : quelques trajets longs, comme celui de 35 minutes, tirent la moyenne vers le haut sans déplacer la médiane, qui est insensible aux valeurs extrêmes.

a) La probabilité a priori est $P(S)=0{,}20$, donc $P(\overline{S})=0{,}80$. Les deux autres données sont conditionnelles : $P_{S}(G)=0{,}60$ et $P_{\overline{S}}(G)=0{,}02$.

b) $P(G)=0{,}20\times 0{,}60+0{,}80\times 0{,}02=0{,}12+0{,}016=0{,}136$.

c) $P_{G}(S)=\frac{0{,}12}{0{,}136}\approx 0{,}882$.

d) La probabilité de spam passe de $0{,}20$ avant observation à environ $0{,}882$ après. L'observation d'un seul mot multiplie la probabilité par plus de quatre : le mot « gratuit » est très discriminant, précisément parce qu'il est trente fois plus fréquent dans les spams que dans les courriels légitimes.

e) Non, de peu : $0{,}882$ reste inférieur à $0{,}9$. Le courriel n'est pas classé en spam sur ce seul indice. C'est justement pourquoi un filtre réel combine plusieurs mots, chaque nouvelle observation mettant à jour la probabilité obtenue à l'étape précédente.

a) Pour que la première réussite ait lieu au rang $k$, il faut $k-1$ échecs suivis d'une réussite : $P(X=k)=0{,}8^{k-1}\times 0{,}2$.

b) $P(X=1)=0{,}2$ et $P(X=3)=0{,}8^{2}\times 0{,}2=0{,}64\times 0{,}2=0{,}128$.

c) $X>5$ signifie que les cinq premières tentatives ont échoué : $P(X>5)=0{,}8^{5}=0{,}32768$. Autrement dit, environ une fois sur trois, cinq tentatives ne suffisent pas.

d) $P(X\leq 10)=1-P(X>10)=1-0{,}8^{10}\approx 1-0{,}1074=0{,}893$.

e) $E(X)=\frac{1}{0{,}2}=5$ : il faut en moyenne 5 tentatives pour obtenir la ligne. On notera que la valeur la plus probable est pourtant $k=1$ : la distribution est décroissante, mais sa longue queue tire la moyenne vers le haut.

a) $\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$ et $\overline{y}=\frac{30{,}1}{5}=6{,}02$.

b) Le numérateur vaut $(-2)(-3{,}92)+(-1)(-2{,}12)+0+(1)(1{,}78)+(2)(4{,}08)=7{,}84+2{,}12+0+1{,}78+8{,}16=19{,}9$. Le dénominateur vaut $4+1+0+1+4=10$. La pente est donc $\frac{19{,}9}{10}=1{,}99$.

c) La droite passe par le point moyen : $6{,}02=1{,}99\times 3+b$, donc $b=6{,}02-5{,}97=0{,}05$. L'équation est $y=1{,}99x+0{,}05$.

d) Pour $x=6$ : $y=1{,}99\times 6+0{,}05=11{,}99$ milliers d'unités.

e) Non. Les données montrent une corrélation très forte, mais la corrélation ne suffit jamais à établir la causalité. Plusieurs autres explications restent possibles : une tendance saisonnière qui ferait monter les deux ensemble, une croissance générale du marché, ou même une causalité inverse si le budget publicitaire est fixé en proportion des ventes du mois précédent. Pour conclure à une causalité, il faudrait une expérience contrôlée, en faisant varier le budget indépendamment du reste.

a) Les parts cumulées sont 5 %, 15 %, 30 %, 55 % et 100 %. Les points de la courbe de Lorenz sont donc $(0{,}2\ ;\ 0{,}05)$, $(0{,}4\ ;\ 0{,}15)$, $(0{,}6\ ;\ 0{,}30)$, $(0{,}8\ ;\ 0{,}55)$ et $(1\ ;\ 1)$, en partant de l'origine $(0\ ;\ 0)$.

b) Dans une égalité parfaite, chaque groupe de 20 % de la population détiendrait 20 % du revenu : la courbe serait la première bissectrice, d'équation $y=x$.

c) On additionne les aires des cinq trapèzes de largeur $0{,}2$ : $0{,}2\times\left(\frac{0+0{,}05}{2}+\frac{0{,}05+0{,}15}{2}+\frac{0{,}15+0{,}30}{2}+\frac{0{,}30+0{,}55}{2}+\frac{0{,}55+1}{2}\right)=0{,}2\times(0{,}025+0{,}1+0{,}225+0{,}425+0{,}775)=0{,}2\times 1{,}55=0{,}31$.

d) $G=1-2\times 0{,}31=1-0{,}62=0{,}38$.

e) Un indice de $0{,}38$ traduit une inégalité modérée. La valeur 0 correspondrait à une égalité parfaite, où tous auraient le même revenu, et la valeur 1 à une concentration totale, où une seule personne détiendrait tout. À titre de repère, les pays européens se situent souvent entre $0{,}25$ et $0{,}35$.

a) C'est une confusion entre corrélation et causalité, avec une cause commune évidente : la taille de la ville. Les grandes villes ont plus de pompiers ET plus d'incendies importants. Le lien statistique est réel, l'interprétation causale est absurde, et elle est même inversée puisque les pompiers réduisent les dégâts.

b) L'échantillon n'est pas représentatif : interroger les visiteurs du site d'une marque, ce sont par construction des personnes déjà intéressées par elle. C'est un biais de sélection. Pour mesurer l'opinion générale, il faudrait interroger un échantillon de la population entière, pas des personnes recrutées sur le lieu même de l'engagement.

c) Faux. Un prix de 100 baisse de 20 % à 80, puis augmente de 20 % de 80, soit $+16$, pour atteindre 96. On ne retrouve pas 100. Les pourcentages ne s'additionnent pas, parce qu'ils s'appliquent à des bases différentes : la seconde hausse porte sur un montant déjà réduit.

d) L'affirmation est inexploitable sans la valeur absolue. Passer de 2 à 4 cas est une hausse de 100 %, tout comme passer de 5000 à 10 000. Un pourcentage de variation doit toujours être accompagné de l'effectif de départ, sans quoi il ne renseigne sur rien.

e) La moyenne est très sensible aux valeurs extrêmes. Si quelques dirigeants gagnent plusieurs centaines de milliers de dollars, ils tirent la moyenne vers le haut alors que la majorité gagne bien moins. Il faudrait donner la médiane, qui indique le salaire du milieu, et idéalement la distribution complète. C'est le même phénomène que celui observé à l'exercice 5.